О многообразиях, порожденных конечными ассоциативными кольцами, и свойствах экстремальности и критичности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Г Б ОД

7 ФЕВ V

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 512.552.4

Абиш Мекей

О МНОГООБРАЗИЯХ, ПОРОЖДЕННЫХ КОНЕЧНЫМИ АССОЦИАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ, И СВОЙСТВАХ ЭКСТРЕМАЛЬНОСТИ И КРИТИЧНОСТИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика,

алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1995 г.

Работа выполнена на кафедрах Высшей алгебры Монгольского Государственного Университета и Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова

Официальные оппоненты.

- Доктор физико-математических наук, профессор Мищенко С.П.

- Доктор физико-математических наук, профессор Нечаев A.A.

- Доктор физико-математических наук, профессор Туганбаев A.A.

Ведущая организация. Московский педагогический государственный университет им. В.И.Ленина.

Защита диссертации состоится: " Р.Р...РЗ..-:1995 года час.ка заседании диссертационного совета №.г£-по математике Д.053.05.05. при Московском государсивенном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05. при МГУ доктор физико-математических наук профессор

/

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть ЩХ] (или ^[Х]), где Х = {Ж1,Ж2,... ,х„,... ^свободное ассоциативное кольцо (алгебра над полем Р) со счетным числом некоммутирующих между собой переменных х,, г 6 N.

Положим /(я^яг,... ,ж„) € 2[Х] полином от переменных ... ,хп и Я ассоциативное кольцо. Если для любых аь... ,а„ € Л значения полинома /(21,... , х„) при ж,- = а,-,» = 1,2... , п равны нулю, т.е. /(а1,а2,... ,ап) = 0, то говорят, что в кольце Д выполнено (полиномиальное) тождество /(ах, ... ,х„) = 0 или Я-кольцо с тождественными соотношениями.

В этом случае кольцо (алгебра) Л называется кольцом (алгеброй) с полиномиальным тождеством или,коротко>Р7-кольцом (алгеброй). Примерами Р7-колец (алгебр) являются все конечномерные алгебры, все нильпотентные кольца, все конечные кольца, все коммутативные кольца, и др.

В настоящее время теория колец (алгебр) с тождественными соотношениями является самостоятельной ветвью современной теории колец(алгебр). У истоков этой области стояли такие крупные математики как А.И. Мальцев, [37], (38], [39], Н.Джехобсон [18], И.Капланский

[22], Ш.А. Амицур [1], Дж. Левицкий [ 6];А.И. Ширшов [57], [58] и др. В следующем поколении математиков весомый вклад внесли В.Н. Латышев [26]-[29], Ю.П.Размыслов [59] [60], А.Р.Кемер [24]-[25], Е.Форманек [64], С. Прочези [65], [66] и др.

Исторически первая работа о Р/-алгебрах вышла в свет в 1922 году [17], она была связана с проективной геометрией. Работа В. Шпехта [56], вышедшая в 1950 году, заложила начало дальнейшему развитию'этой области. Им был создан метод исследования тождеств в алгебрах с единицей над полем нулевой характеристики и указана некоторая система порождающих лолиномов>в настоящее время, ¡называема!' Вазой Шпехта. Там же поставлена знаменитая проблема

конечной порождаемости (кале Г-идеала) Г-идеала тождеств произвольной Р/-алгебры. Касаясь этой проблематики, заметим следующее. Систематическое исследование проблемы Шпехта было начато В.Н.Латышевым и созданная им комбинаторная техника для исследования Т-идеалов [26]-[29] и др. ¿щложила основу дальнейшего изучения в этом направлении. В его работах была охарактеризована сложность нематричных многообразий и решена проблема Шпехта для нематричных многообразий, порожденных алгеброй с конечным числом образующих, и ряд других результатов. Эта проблема решена А.Р. Кемером в [25] для алгебр над полем характеристики нуль. Заметим также, что созданная Гришиным A.B. техника исследования дифференциально замкнутых пространств (Г-пространств) свободной ассоциативной алгебры [3,0], [3jl] позволила ему решить проблему Шпехта в случае алгебртсонечным числом образующих над полем характеристики нуль. Стоит отметить, что для многообразий колец и алгебр над полем ненулевой характеристики эта проблема далека от своего завершения, например, даже в классе локально конечных многообразий, получены частичные результаты в работах: [32], [23], [61] и др.

Многообразие колец (алгебр) ffi-это абстрактный класс колец (алгебр)^ удовлетворяющих фиксированной совокупности тождеств fi(xi,... ,х„) = 0, где г € I. Изучение многообразий как абстрактного класса колец, замкнутого относительно взятия подколец, гомоморфных образов и прямых произведений, было начато Г. Биркгофом в работе [7]. Многообразие является языком изучения тождественных Соотношений колец (алгебр) и средством классификации, описания строения колец (алгебр), родственных в смысле определяющих соотношений и порождающих колец (алгебр). На международном конгрессе А.И.Мальцев [37] отмечал общность постановки задач, идей и методов рассмотрения многообразий во всех алгебраических системах.

Заметим, что структурная теория (отдельно взятых) PJ-алгебр (колец) достаточно развита и важные результаты о примитивных PI-

алгебрах, ниль Р1-алгебрах, первичных РГ-алгебрах, и др. вошли уже во все книги и монографии по теории колец.

Активное исследование многообразий колец в целом начато со второй половины 60-тых годов. В 1973 году появились работы И.В. Львова [32], [33] и Р.Крузе [23], в которых доказано, что идеал тождеств конечного ассоциативного кольца порождается конечным числом полиномов. Там же [32] описано локально конечное многообразие ассоциативных колец. Эти работы дали большой толчок дальнейшему исследованию в области многообразий колец. Результаты И.В.Львова и Р.Крузе показали параллелизм между теориями многообразий колец и групп. Заметим, что многообразия групп - очень развитая часть теории групп. В ее развитие большой вклад внесли сотрудники МГУ им. Ломоносова, а именно: А.И.Кострикин, А.Л.Шмелькин, А.Ю.Ольшанский, Ю.А.Бахтурин и др.

В выше упомянутых работах И.В.Львова и Р.Крузе показана важная роль критических колец как порождающих объектов многообразий, порожденных конечными кольцами, как, например, в классе локально конечных многообразий, а также указаны некоторые свойства критических колец. Последующим описанием критических колец занимались многие ученые. Критерии некритичности ассоциативных колец даны В.Н^Латышевым в [26], описание некоторых классов критических колец даны Г.К.Геновым, П.Н.Сидеровым, Ю.Н.Мальцевым и А.А.Нечаевым в работах [14], [15], [43], [46], [47], [50], [52], [62]. Описание критических (в том числе подпрямо нераз ложимых)колец является открытым вопросом (например, [40], вопрос 1.94).

Проведено также большое количество исследований по описанию многообразий с тем или иным свойством. А именно, описаны минимальные не нильпотентные, почти кроссовые многообразия в [33], почти энгеловы локально конечные многообразия в [42], хопфовы и почти хопфовы многообразия алгебр в [44], почти коммутативные многообразия в [43], [19], [87], минимальные многообразия в [55], многообразия алгебр с дистрибутивной решеткой подмногообразий в [5], много-

образия алгебр с почти дистрибутивной решеткой подмногообразий в [77], многообразия, решетка подмногообразий которых самодуальна или дуальна в [12], слабо нетеровы многообразия, почти слабонете-ровы многообразия алгебр с единицей в [63], локально слабо нетеровы многообразия алгебр над коммутативным нетеровым кольцом в [34]. Многообразия алгебр с условием максимальности для подмногообразий в [32]. Локально финитно аппроксимируемые, локально предста-вимые многообразия колец и алгебр в [32], многообразия ассоциативных колец, все конечные кольца которых представимы матрицами над коммутативными кольцами, в [48], периодическое многообразие в [10], дистрибутивность и недистрибутивность решетки подмногообразий некоторых многообразий, удовлетворяющих тождествам конкретного типа, в [9], [45] и др.

Анализируя имеющиеся результаты исследований, мы можем сказать, что развитие теории многообразий ассоциативных колец идет в следующих направлениях:

1) Проблема конечной базируемости: [32], [23], [26]—[29], [25], [30], [31], [59], [61] и др.

2) Описание тождеств конкретных колец (алгебр) и вопрос наличия тождеств в кольце: [1], [13], [14], [15], [42], [49], [53]и др.

3) Описание многообразия с тем или иным свойством (на языке порождающих колец или тождеств , операции над многообразиями, а также относительно свойства, решетки подмногообразии): [33], [43], [3], [4], [13], [16], [20], [21], [43], [44], [55], [63], [87], [77], [67], [9], [45], и др.

4) Изучение строения конкретных колец и алгебр с тождественными соотношениями (сюда же относятся представимость Р7-колец матрицами, свойства радикала, строение относительно свободных колец (алгебр) и критических колец и алгебр и др.): [6], [22], [23], [41], [46], [47], [48], [50*], [52], [57], [58], [60], [62], [104], [65], [66], [68], и др.

Заметим, что эта классификация формальна в том смысле, что четкое различие этих направлений очень трудно, так как в конкретном

исследовании эти аспекты имеют большое пересечение между собой.

Настоящая диссертация посвящена описанию некоторых классов многообразий ассоциативных колец и описанию некоторых классов критических колец, т.е. основное содержание диссертации относится к вопросам типа 3) и 4) теории многообразий ассоциативных колец. Изучение ассоциативных колец на основе их тождественных соотношений является в настоящее время общепринятым.

Цель работы. Исследование свойств многообразий ассоциативных колец в следующих направлениях:

1) описание некоторых многообразий, обладающих свойством разложимости в прямое объединение, свойством конечности числос атомов и свойством экстремальности; "

2) описание строения колец, принадлежащих многообразию, порожденному конечными ассоциативными кольцами, и нахождение новых типов полезных тождеств;

3) изучение критических (подпрямо неразложимых) колец;

4) изучение свойств алгебры над полем, обладающей подалгеброй конечной коразмерности.

Основные методы исследования. Основным методом является описание многообразий путем нахождения определяющих их тождественных соотношений, в частности, построения базы'Г-идеала,соот-ветствующего описываемому многообразию. Широко используются факты структурной теории колец и критические тождества.

Научная новизна. Все важнейшие результаты диссертации являются новыми.

- Автором введено понятие прямого разложения (объединения) многообразий. Дан критерий разложимости многообразия в прямое объединение своих подмногообразий и приведено полное описание п-атомного многообразия и некоторых многообразий ассициативных колец с эстремальными свойствами.

- Установлены основные свойства главных факторов и их анну-ляторов для колец, принадлежащих многообразиям, порожденным конечными ассициативными кольцами. Применением этих результатов получено новое, ■ описание кроссова многообразия и описание многообразия финитно аппроксимируемых колец (последнее получено независимо Маккензи и диссертантом).

- Найдены новые классы критических колец, являющийся кольцами эндоморфизмов конечных абелевых р-групп, имеющие принципиальное значение для проблемы описания критических колец. Указаны критические тождества этих критических колец.

- Изучены алгебры, обладающие подалгеброй конечной коразмерности (впервые'систематически изучены) и установлены их свойства, касающиеся примитивности, полупервичности, представимости матрицами над полем, аппроксимируемости конечномерными алгебрами и оценка коразмерности идеала алгебры, содержащегося в подалгебре конечной коразмерности.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в теории колец. Они могут бать использованы при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров в Университетах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной алгебраической конференции (Новосибирск 1977), Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Новосибирск 1981), Всемирном конгрессе математиков (Варшава 1983, Калифорния 1986), Международной конференции по алгебре (Новосибирск 1989), Международной конференции ^етод^теории модулей "(Германия, Обервольфох 1993), Международной конференции по алгебре (Улан Батор 1990), и на научно-исследовательском семинаре по алгебре в МГУ (1983,1994), на семинаре по теории колец и модулей в МГУ (1983, 1985, 1989, 1993), на алгебраических семинарах Варшавского университета (1987), Университета Дюсельдорфа (1993),

Университета Билефельда (Германия 1993).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы

в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

U« —

Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы. Список литературы содержит 138 наименований. Полный объем диссертации занимает 180 страниц, написанных системой ТЕХ.

Содержание работы

Перейдем к изложению содержания диссертации и сформулируем некоторые главные результаты работы.

Диссертация состоит из введения и пяти глав. Первая глава содержит некоторые важные понятия, определения и известные результаты, на которые мы будем ссылаться в дальнейшем. Она невелика по объему.

Вторая глава посвящена описанию некоторых классов многообразий, и многообразий, обладающих свойством экстремальности. Все результаты этой главы имеют законченный характер. Основным результатом этой главы является следующая:

Теорема 1. Многообразие ассоциативных колец Ш предста-вимо в виде прямого объединения двух своих подмногообразий тогда и только тогда, когда в Т(Щ содержатся полиномы вида

f(x)y°(z-f(z)), i=i

к к

¿=1 ¡=1 где е, £ij G {0,1}, f{x) их — j(x) полиномы от одной переменной х, не содержащиеся в Т(21). Эта теорема, (теорема 2.2 § 1) дает описание

многообразий ассоциативных колец, разложимых в прямое объединение (или, коротко, прямо разложимй* ) двух своих подмногообразий на языке определяющих тождеств. Заметим, что понятие прямого объединения многообразии впервые введено диссертантом в [73].

В первом параграфе показаны также основные свойства прямого объединения многообразий, условие разложимости кроссова многообразия экспоненты рк и единственность прямого объединения многообразий, решетки подмногообразии которых удовлетворяют условию максимальности и минимальности для подмногообразий. Результат опубликован в [73]. Заметим, что позже в [12] введено понятие прямого разложения многообразий для описания многообразий, решетка подмногообразии которых дуальна или самодуальна с точки зрения свойств решеток, причем эти результаты получены независимо друг от друга.

Результаты § 1 используются постоянно во всех остальных параграфах этой главы и в § 3 глав III.

Во втором параграфе дано описание п-атомного многообразия ассоциативных колец также на языке тождественных соотношений. Атом-это минимальное подмногообразие данного многообразия. Заметим, что многообразия с единственным атомом описаны в [67]. Показано, что «-атомное многообразие обязательно имеет нетривиальную экспоненту. Основным результатом является теорема 2.11. п-атомное многообразие разлагается в прямое объединение своих подмногообразий, имеющих экспоненту вида рк, где р-простое число, к > 1. Прямо неразложимое многообразие экспоненты рк имеет либо один атом уаг Ар или таг СР{р), либо точно два атома (уаг Лр, уахСР(р)), где .Ар-циклическая абелева группа с нулевым умножением, б?.Р(р)-простое поле. В основной теореме 2.11 этого параграфа дано описание (АР1...ЛР,, ... ,СТ{рк), (ЛЧ1рР^г $,...,

-атомного многообразия, где рм (¿¡-простые числа.

Результаты опубликованы в [74], [75] и [90]. В § 3 дано описание почти минимального многообразия ассоциативных колец на языке! то-

ждественных соотношений (теорема 2.12). Они исчерпывается 8-ю типами многообразий.

В § 4 дано описание почти локально конечных многообразий ассоциативных колец. Они исчерпываются двумя типами многообразий (теорема 2.13) в зависимости от экспоненты и нильиндекса нильпотентности.

В § 5 данной главы дано описание локально конечного многообразия третьей ступени, т.е. многообразия^ все собственные подмногообразия которого локально конечны или почти локально конечны [79 ]. Дано полное описание таких многообразий в теоремах 2.14 "и 2.15.

Глава III посвящена описанию некоторых многообразий ассоциативных колец, порожденных конечным кольцом, в том числе многообразия финитно аппроксимируемых колец. С целью изучения строения колец из многообразий, порожденных конечным кольцом, автором введено понятие главного фактора, главного аннулятора и тождества специального вида [ 73], [ 58]. Они оказались хорошо работающими. Пусть Я ассоциативное кольцо. Кольцо вида Н/К, где К <2?, НЯ,назовем главным фактором кольца Я, если Н/К является минимальным идеалом фактор-кольца Я/К. Множество Л(Н/К) = {х € Я | Нх С К, хН С К} назывовем главным аннулятором главного фактора И ¡К. В первом параграфе этой главы описаны некоторые свойства подпрямо неразложимых колец из многообразий, порожденных конечным кольцом. Основным результатом этой главы является следующая теорема (теорема З.6.):

Теорема 2. Пусть Ш = уаг 23-многообразие, порожденное конечным кольцом В. Если Я любое кольцо из Ш, то все его главные факторы конечны I' и индексы их главных аннуляторов в Я также конечны."'.

Отсюда получаем следующие следствия:

Следствие 1. а) Пусть 371 = уаг В, где В-конечное кольцо, ¿'ели

Я подпрямо неразложимое кольцо из 9Я, то его сердцевина является конечным кольцом и индекс е 6 главного аннулятора конечен в И.

б) Все примитивные гомоморфные образы любого кольца Д из 9Л являются конечными простыми кольцами.

С . использованием этой теоремы (теорема 3.6.) пока-

зано, что в многообразии финитно аппроксимируемых колец все подпрямо неразложимые кольца являются конечными. Отсюда ^как следствие, доказано следующее утверждение, являющееся основным результатом § 2 этой главы.

Следствие 2. Для многообразия ассоциативных колец ОТ следующие условия эквивалентны:

1) Ш1-многообразие финитно аппроксимируемых (ф.а) колец,

2) Ш1 = \'аг В, где В-конечное кольцо, все нилытотентвые факторы которого абелевы (т.е. с нулевым умножением)

3) в 9Л выполнена пара тождеств вида:

пх = 0, где п > 1,

ху = 3(х,у), где гшпск^/>2. (*)

Заметим, что эти результаты получены в 1981, 1982 годах и содержатся в [78].

В § 1 этой главы для доказательства основной теоремы введена система тождеств определенного вида (Ап)

выполняющихся в каждом кольце, имеющем не более, чем п элементов. Заметим, что полином, подобного использован Ю.Н.Мальцевым и А.А.Нечаевым в [50] в качестве критического тождества, для доказательства критичности кольца Я такого, что С (К)2 — С(Щ, где С(К)~сердцевина кольца Л. Имеются некоторое различия между этими полиномами, например, полином, указанный в [50]^может не быть тождеством в кольце с ^-элементами.

В § 2 изучен класс колец С(т,п,с). Это класс всех колец экспоненты, делящей т, порядки главных факторов которых не больше,

чем п, индекс нильпотентности нильнотентных факторов не больше, чем с. Этот класс аналогичен классу колец V(m, п, с), введенному Крузе в [23], где V(rn,n, с)-это класс всех колец экспоненты, делящей ш, порядки примитивных факторов (простых примитивных конечных колец) которых делят п, индекс нильпотентности нильнотентных факторов не более, чем с. Цель изучения класса С(т, п, с) заключается в том, чтобы оценить порядок не только примитивных факторов, а также факторов, не являющихся примитивными, в том числе порядки сердцевины нодпрямо неразложимых колец и самого подлрямо неразложимого кольца, и дать другое описание кроссова многообразия. Класс колец С{т,п,с)~оказался удобным для поставленных целей. С существенным использованием тождеств (Лп) показано, что этот класс является кроссовым многообразием (теорема 3.9), дано одно описание кроссова многообразия. Эти результаты позволяют коротко доказать язвеств|ую теорему Львова-Крузе о кроссовом многообразии.

В § 3 данной главы дано описание многообразия финитно аппроксимируемых колец на языке тождественных соотношений, а также порождающих колец. Основной результат (теорема 3.13) был упомянут выше в качестве следствия 2. Дано полное' описание всех критических колец многообразия финитно аппроксимируемых колец, именно, доказана следующая теорема (теорема 3.14):

Теорема 3. Любое критическое кольцо многообразия ф.а. колец экспоненты п изоморфно одному из следующих колец:

1) GF(pt), где t > 1, £>-простое число, р/п;

2) M2(GF(pi)), где ^простое число, р/п, алгебра 2 х 2-матриц над полем GF(p');

3) <7(2,7-) = (Z/p2Z)[s]/(/(:e)), где /(¡^-приведенный неприводимый полином по modp степени г, ]f/n, р-простое число

4): {(« а(а))\aiß € а е Aut(GFO'))|, где р - простое число, р/п;

5) € GFtf), ge GIp) fr € M, M — композит полей GFÍp*) и GF(pfc)|, где р-простое число, р/п)

6) I^q Q ^ € GF(p') j, где р-простое число, р/п^

{ ( /3 0 ) I ^ 6 } ' ГД€ ^пР°стое число, р/п)

8) Лр™, где Ар" -циклическая группа с нулевым умножением, р-простое число и рт\п.

Заметим, что многообразия финитно аппроксимируемых колец описаны Маккензи [51] и мною независимо [78], причем методы и идеи доказательств совершенно различные, а в [51] критические кольца полностью не описаны.

В § 4 рассмотрен вопрос о совпадении квазимногообразия и многообразия порожденного конечным кольцом. Основным результатом является теорема 3.16. Доказано, что qvar R = var R тогда и только тогда, когда кольцо R обладает следующими свойствами:

а) все нильпотентные факторы абелевы;

б) все подпрямо неразложимые факторы колец из var R изоморфно вложимы в R. Результат опубликован в [82], хотя он получен в 1983 году.

Глава IV посвящена проблеме описания критических (подпрямо неразложимых) колец, она включает результаты диссертанта, полученные в этом направлении. Дана описание некоторых классов конечных критических и подпрямо неразложимых колец, являющихся кольцами эндоморфизмов конечной абелевой группы. Основным результатом явля'&тся ■ теорем 4.

Заметим, что Кольца эндоморфизмов Вт— End(Zpm, ©• • -ф Zpm,) — EndG-конечной абелевой р-группы G — Zp™¡ ф • • • ф Zpt»., где р-простое число, 1 < mj < mi < ••• < ras, 7тг,~целые числа, циклическая абелева группа порядка рт\ i = 1,2... s, являются под-

прямо неразложимыми кольцами. Если существуют i,j, такие, что m,i < mj, то кольца Вт,,.„ ,га< являются непредставимыми матрицами над коммутативными кольцами.

Теорема!41. Кольца эндоморфизмов End(z7p™ ф Zp«) = ßm,n, при любом т, п 6 N, являются критическими кольцами, где р-простое число, Ztт и Zpn-циклические абелевы группы порядка рт и рп соответственно.

Как известно, всякое конечное кольцо является подпрямой суммой подпрямо неразложимых колец. Кроме того, любое конечное кольцо является подкольцом кольца эндоморфизмов некоторой конечной абелевой группы, следовательно, из этого вытекает , что любое подпрямо неразложимое конечное кольцо изоморфно либо кольцу Bmi,m2...m,t Либо ПОДКОЛЬЦу КОЛЬЦа Вт1,1712,..,171, , [см. 91].

Роль критического кольца в теории многообразий колец показана в работе [32]. Почти все известные критические кольца были либо коммутативными, либо были связаны с коммутативными кольцами, кроме критических колец главных идеалов, указанных A.A. Нечаевым в [52]. Все конечные поля GF(p*), кольцо вычетов Z/p^Z, кольцо матриц над конечным полем MkiGFfö)), кольца Галуа G(k, г) = (Z/pkZ)[x]/(f(x)), где к > 1, jj-простое число, /(аг)-приведенный неприводимый полином степени г по модулю р, все локальные кольца .R-главных идеалов и матричные кольца над ними: М.т{Щ (см. [52]) и кольцо верхне треугольных матриц: Т(т,Л), где Л-конечное простое кольцо (следовательно, либо Л = GF(p%), либо Л = алгебры грассмана Gm{p)~ являются основными классами известных критических колец и алгебр. Заметим, что некоторые классы критических колец описаны Ю.Н. Мальцевым в [48] и Г.К.Геновым и П.Сидеровым в [14] и [15] и др. Критические кольца Вт,п — End(Zpr» ф Zp»), критичность которых доказана в теореме 5, являются отличными от всех известных критических колец и при т < п, все они непред-ставимы матрицами над коммутативным кольцом. Они дают счетное

семейство колец, не родственных коммутативным кольцам. В первом параграфе этой главы ,. _ . установлены некоторые

свойства кольца Вт<п. Во втором параграфе дано доказательство критичности колец Вт.п, т.е. доказана теорема Указаны критические тождества. А именно:

1) если п > 2т, то критическим тождеством является г\ [х1,у1]

П£11(и><-«'?)=0|

2) если и-т = 1ип< 2гп, то га > 2 и критическим тождеством является

2(п—2)

[[г- Д [^1,2/1] ■у[и,ь]и!,г],[г1,г2]} = 0у 1=1

3) если п = к(п — т) и п < 2т, п — т. > 2, то критическим тождеством является

2к-3 п—т

[а П У;]У> А ■ ¿=1 ¿=1

где п = к(п — т) и к > 3.

4) если п — к(п — т) + гио<г<п- т, п — т < т, то критическим тождеством является

2к-1 г

[; Я " П ' ]>< ~ ' У' "]] = 0 "

{=1 1=1

Кроме того, согласно [47] получаем новые серии критических колец вида ЭД),; (-Вт,«). Эти результаты являются существенным вкладом в проблему описания критических и подпрямо неразложимых конечных колец. В этом параграфе также показано, что ни одно кольцо Вт,п не вложимо в кольцо вида Вт^, если (т,п) ф (ш:, п^. В работе [46] Мальцев Ю.Н. показал, что многообразие уаг.В1 ¿-почти представимое. Здесь показано, что кольца Вт,п не всегда обладают этим свойством, а именно, показано, что уаг Дз,4 Э уъхВхъ, следовательно, уагВ3д далеко от почти представимого многообразия. Заметим также, что любое локально конечное многообразие содержит

только конечное число колец видаВ^^Вопрос о критичности кольца

-Bm,,mi„..,m„ ОСТаЛСЯ ОТКрЫТЫМ.

Глава V посвящена исследованию алгебр над полем, обладающих подалгеброй конечной коразмерности [81], [86], [89]. Факт, о том, что всякая подалгебра конечной коразмерности срдержит идеал самой алгебры, по-видимому известен. В лемме 1 показано, что такая подалгебра содержит идеал самой алгебры, уже конечной коразмерности и указана оценка его коразмерности, являющаяся новой. Основной результат этой главы - это- теорема» 5.3; там дан критерий полупервичности алгебры, обладающей подалгеброй конечной коразмерности. Установлены некоторые свойства таких алгебр, дано обобщение одной теоремы А.И. Мальцева [38], (теорема 5.1). Именно^показано, что если алгебра R над полем обладает подалгеброй конечной коразмерности, представимой матрицами, то сама алгебра R предста-вима матрицами над полем. Кроме того доказаны такие факты, как то, что все подалгебры конечной коразмерности свободной ассоциатив-ной'алгебры с конечным числом п > 2 образующих примитивны, бесконечномерная простая алгебра не обладает подалгеброй конечной коразмерности. Заметим^то, выше помянутая теорема А.И.Мальцева обобщена К.И.Бейдаром в [68]усвязь алгебраичности алгебры над левым идеалом и конечной коразмерности левого идеала в аффинной PI

■ 4

алгебре изумись в [2].

Литература

1. Amitsur S.A., LevitzkyJ. Minimal identities for algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 1950. v.l, p. 449-463.

2. Amitsur S.A., Small L.M. Finite dimentional representation of PI algebras. J. Algebra 1990. v. 133, p.244-248.

3. Артамонов В.А. Решетки многообразии линейных алгебр. УМН. 1978. т.ЗЗ, вып.2. с. 135-167.

4. Ананьин А.З. Локально финитно аппроксимируемые и локально представимые многообразия. Алгебра и логика 1977, т.16. №1.

3-33.

5. Ананьин А.З., Кемер А.Р. Мнообразия ассоциативных алгебр решетки подмногообразий которых дистрибутивны. СМЖ. 1976. Т 17. №4, 723-730.

6. Levitzky J. Theorem of polynomial identities. Proc. Amer. Math Soc. 1950. v.l. №3, p.334-341.

7. Birkhoff On the structure of abstract algebras. Proc. Camber. Phi] Soc. 1935. v.31, p.433-454.

8. Bergman G.M. Some examples in PI ring theory. Israel Jour. Math 1974 V.13 №3, p.257-277.

9. Волков M.B. Дистрибутивность некоторых структур мнообра зий ассоциативных колец. СМЖ. 1984, Т.25, 26. 23-30.

10. Волков М.В. Периодические многобразия ассоциативных ко лец. Изв. вузов. Математика. 1979. №8, 3-13.

11. Волков М.В. О нижних этажах структуры многобразий ас социативных колец. В. Кн. Алгебраические системы,многообразия Решетки подмногообразии. Свердловск 1983. 27-38.

12. Верников В.М., Волков М.В. Дуаяизмы в решетках многс образий ассоциативных колец. Изв. Вузов, математика, 1984. № (268) ,66-69.

13. Генов Г.К. Базис тождеств алгебры матриц третьего порядк над конечным полем. Алгебра и логика 1981, Т.20, №4, 365-388.

14. Генов Г.К., Сидеров П. Вазис тождеств алгебры матриц ч« твертого порядка над конечным полем I. Серд. Бълг. мат. списани 1982. Т.8, 313-353.

15. Генов Г.К., Сидеров П. Базис тождеств алгебры матриц ч< твертого порядка над конечным полем II. Серд. Бълг. списание 198! Т.8, 353-366.

16. Голубчик М.З., Михалев A.B. О многообразиях алгебр полугрупповым тождеством. Вестн. МГУ 1982. Т.1, №2, 8-11.

17. Dehn M. Uber die Grundlagn der Proechtiven Geometrie and allg« meine Zahlsisteme. Math. Ann. 1922. V.85, p.184-194.

18. Jacobson N. Structur theory for algebraic algebras of bounded degree, bn. of Math. 1945. V.46, p.695-707.

19. ЗахароЬа E.H. Почти коммутативные нилыготентные много->бразия алгебр. Изв. АН МССР 1982. №1, 3-10.

20. Iscander A A. Definablity in the lattice on ring varieties. Pacif. J. >iath. 1978, V.76, №1, p.&l-67.

21. Кублановский С.И. Локально финитно аппроксимируемые и юкально представимые многообразия ассоциативных колец и алгебр. Зук. деп. в ВИНИТИ. 1.12.82 №1643-82 Деп.

22. Kaplansky I. Kings with polynomial identity. Bull. Amer. Math. >oc. 1948. V.54, №6 p.575-580.

23. Kruse R.L. Identities satisfied by a finite ring. J. of algebra. 1973. /.26, p.298-318.

24. Кремер A.P. Многообразия и .^-градуированные алгебры. Ззв. АН СССР сер. мат. 1984. Т.48, №5, 1042-1059.

25. Кремер А.Р. Решение проблемы конечной базируемости то-кдеств- ассоциативных алгебр. ДАН СССР, 1988. Т.282, №2, 273-277.

26. Латышев В.Н. Конечная базируемость тождеств некоторых солец УМН. 1976 т.32, №4, 259-260.

27. Латышев В.Н. Частично упорядоченные множества и не-яатричные многообразия ассоциативных алгебр. Алгебра и логика. .976. Т. 15, №1, 53-70.

28. Латышев В.Н. О сложности нематричных многообразий ас-юциативных алгебр I. Алгебра и логика. 1977. Т.16, №2, 149-183.

29. Латышев В.Н. О сложности нематричных многообразий ассоциативных алгебр II. Алгебра и логика. 1977. Т.16, №2, 184-199.

30. Гришин А.В. О конечной базируемости абстрактных Г-пространств. III Международная конференция по алгебре памяти Vi-И.Каргаполова, сборник тезисов. Крвсноярск 1993, 99-100.

31. Гришин А.В. О конечной базируемости абстрактных Т-про-;транств свободной ассоциативной алгебры. VI Всесоюзная школа ю теории многообразий алгебраических систем. Тезисы сообщений,

Магнитогорск 1990, стр.12.

32. Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец! Алгебра и логика. 1973. Т.12, №3, 269-297.

33. Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец II. Алгебра и логика. 1973. Т.12, №6, 667-689.

34. Львов И.В. Локально слабо неторовы многообразия алгебр над нетрровыми кольцами. В кн. 3-й Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тарту 1976, с. 67.

25. Львов И.В. Условие максимальности в алгебрах с тождественными соотношениями. Алгебра и логика. 1969. Т.8, №4, 449-459.

36. Le-ttin J. Subrings of finite index in finitely generated rings. J. algeba 1968. V.5, p.84-88.

37. Мальцев А.И. О некоторых пограничных вопроса.х алгебры и математической логики. В. кн. Международный конгресс по математике Москва 1966. 217-231.

38. Мальцев А.И. О представлении бесконечных алгебр. Мат. Сб. Нов. серия 1943. 13(55), 263-286.

39. Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем. Сиб. мат. журнал 1976, Т.8, №2, 346-365.

40. Днестровская тетрадь, Новосибирск, 1982.

41. Марков В.Т. О представимости матрицами конечно порожденных PI алгебр. Вестник МГУ серия мат.мех. 1989. №2, стр 17-20.

42. Мальцев Ю.Н. Почти энгеловы локально конечные многообразия ассоциативных колец. Изв. вузов мат., 1982, №11, 41-42.

43. Мальцев Ю.Н. Почти коммутативные многообразия ассоциативных колец. СМЖ. 1976. Т. 17, №5, 1086-1096.

44. Мальцев Ю.Н. О многообразиях ассоциативных алгебр. Алгебра и логика. 1976. Т.15, №5, 571-585.

45. Мальцев Ю.Н. О многообразиях ассоциативных алгебр, решетка подмногообразий которых недистрибутивна. Алгебраическое исследование. Кишинев 1980.

46. Мальцев Ю.Н. О строении некоторых критических колец. СМЖ. 1984, Т.25, №1, 91-100.

47. Мальцев Ю.Н. Кольцо матриц над критическим кольцом яа-вляется критический. УМН. 1984, Т.39, вьпх. 4(238), 171-172.

48. Мальцев Ю.Н. О представлении конечных колец матрицами над коммутативным кольцом. Мат. сборник 1985, 128(170), №3, 383402.

49. Мальцев Ю.Н., Кузьмин Е.И. Базис тождеств алгебры матриц M2(GF(j> п)). Алгебра и логика. 1978. Т.17, №1, 28-32.

50. Мальцев Ю.Н., Нечаев A.A. О критических кольцах многообразиях алгебр. Алгебра и логика. 1979. Т.18, №3, 341-347.

51. Mckenzie R. Residual small varieties of /í-algebras. Algebra Universale. 1982. V.14, №2, p.181-196.

52. Нечаев A.A. Описание конечаых критических колец главных идеалов. УМН. 1982, Т.37, вып. 5(227), 193-194.

53. Ольшанский А.Ю. Многообразия финитно аппроксимируемых групп. Изв. АН СССР, сер. мат. Т.ЗЗ, №4, 1969, 915-927.

54. Пихтильков С.А. О примитивности конечнопорожденных свободных ассоциативных алгебр. УМН. 1974, 29 №1(175), 183-184.

55. Tarsky A. Equationälly complete ringí and related algebras. Indag Math. 1956, V.18, p.39-46.

56. Specht W. Gezetze in Ringen. Math. Z. 1950, V.52, p.557-589.

57. Ширшов А.И. О кольцах с тождественными соотношениями. Мат. Сбор. 1957, Т.43, 277-283.'

58. Ширшов А.И. О некотороых неассоциативных ниль кольцах и алгебраических алгебрах. Мат. Сбор. 1957. 41, №3, 381-394.

59. Размыслов Ю.П. О конечноибазируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль. Алгебра и логика. 1973. Т.12, №1, 83-113.

60. Размыслов Ю.П. О радикале Лжекобсона в PJ-алгебрах. Алгебра и логика. 1974. Т.13, №3, 1337-1360.

61. Рябухин Ю.М., Захарова E.H. О пшехтовости некоторых многообразий ассоциативных колец. В. кн. Исследование по алгебре и топологии. Кишинев. 1983. 122-130.

62. Сидоров П.Н. Замечания о критических ассоциативных алгебрах. Вестник МГУ. Сер. Мат. Мех. 1982, №2, 24-28.

63. Тонов И.К. Почти слабо нетеровы многообразия ассоциативных алгебр с единицей. Плиска. Бълг. Мат. Студ. 1981. Т.2, 162-166.

64. Formanek Е. Central polynomials for matrix rings. J. Algebra, 1972, V.23, №1, 129-132.

65. Procesi C. Finite dimentional representations of algebras. Israel J. Math. 1974. V.19. №1-2,169-182.

66. Procesi C. A noncommutative Hilbert Nullstellensatz. Rend. Math. Appl. Ser. 5, 1965, V.25, №1-2, 17-21.

67. Sundaraman T.R. Precomplete varieties of iî-algebras. Algebra universale, 1975. №5, p.387-405.

68. Вейдар K.H. К теоремам А.И. Мальцева о матричных представлениях алгебр. УМН. №5, стр. 161-162.

69. Мекей А. О херстейаовых полиномах. Изв. Вузов математика. 1974. №1, 3-7.

70. Мекей А. О херстейновости некоторых полиномов. Уч. зал. МонГУ, 1975. №46, 3-14.

71. Мекей А. О херстейновости матричных полиномов. СМЖ. 1977. Т.18. №1. 212-216.

72. Мекей А. Почти минимальное многообразие ассоциативных колец. Изв. АН МНР 1978, №3, 33-41.

73. Мекей А., Энхболд П. О прямом объединении многообразии ассоциативных колец. Уч. зап. Мон ГУ. 1982. №4(80), 67-77.

74. Мекей А., Энхболд П. Об п -атомном многообразии колец. Пятый всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Новосибирск. 1981. стр. 133.

75. Мекей А., Энхболд П. n-атомные многообразия ассоциативных колец. Уч. зап. МонГУ, 1982, 4(80), 55-65.

76. Мекей А. Почти локально конечное многообразие ассоциативных колец. Уч. зап. МонГУ, 1986, №1-2(93-94), 15-22.

77. Мекей А., Энхболд П. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр с эстремальным свойством. Уч. зап. МонГУ, 1982, №1-2(93,94), 23-40.

78. Мекей-А. Многообразие финитно аппроксимируемых колец. Науч. Отчет. Инф. Центр. МНР. 1985. №27-17, Э-0087, стр. 5-22.

79. Мекей А. О некоторых многообразиях колец. Науч. отчет И.И. МНР. 1985. №27-17. Э-0087. 37-60.

80. Мекей А. О представимости кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы матричным кольцом. Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории колец и модулей. Новосибирск. 1989. стр. 85.

81. Мекей А. О подалгебрах конечной коразмерности. Тезисы докладов Международного конгресса математиков США. Калифорния. 1986. стр. 54.

82. Мекей А. О некоторых свойствах квазимногообразия поро-жденгоГРконечным кольцом. Уч. зап. МонГУ, 1989, №100, 31-44.

83. Мекей А. Почтиминимальное многообразие ассоциативных колец. Всесоюзная 14-ая алгебраическая конференция. Новосибирск. №2, стр. 60-61.

84. Мекей А.,Энхболд П. Почти локально конечное многообразие ассоциативных колец. Тезисы сообщений Международного конгресса математиков. Алгебра II. Варшава. 1983. стр. 82.

85. Мекей А. О представимости кольцо зндоморфизмов конечной абелевой группы матрицами над коммутативным кольцом. Науч. Отчет. Инф. Цен. МНР. 1991. №02-910004. стр. 3-15.

86. Мекей А. О подалгебрах конечной коразмерности. Studia. Scient. Math. Hung. 1992. №23. p.119-123.

87. Мекей А. О минимальном некоммутативном нильпотенном

многообразии колец. Уч. зап. МонГУ, 1992, №1(104), 5-8.

88. Мекей А. О кроссовом многообразии ассоциативных колец. Науч. отчет. Инф. Цен. МНР. 1985. 27-17 Э-0087. 22г29.

89. Мекей A., Wisbauer R. On finite codimentional subalgebras of associative algebras. Jour. Math. Wietnamese. Math. Soc. 1993. №3-4, p.94-106.

90. Мекей А. Дашдорж Ц., Гончигдорж P. О результатах исследований в области алгебры I. Уч. зап. 1983. №3, стр. 60-82.

91. Macdonald В.В. Finite rings with identity. New York, Dekker. 1974.

Типография ордена "Знак Почета" издательства МГУ 119899, Москва, Ленинские горы Заказ № /ОЯёГ .Тирах экз.