Многообразие колец, порожденное полным матричным кольцом над кольцом Галуа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГБ ОД 2 5 ДЕК ш

На правах рукописи

Олексенко Анна Николаевна

МНОГООБРАЗИЕ КОЛЕЦ, ПОРОЖДЕННОЕ ПОЛНЫМ МАТРИЧНЫМ КОЛЬЦОМ НАД КОЛЬЦОМ ГАЛУА

01.01.06. — математическая логика, алгебра

и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2000

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Ю.Н. Мальцев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук А.Н. Зубков, кандидат физико-математических наук М.А. Шевелин

Ведущая организация: Институт математики

им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита диссертации состоится " ЧзХЬХМ 2000 года в (Ч ОСу часов на заседании диссертационного Совета К 064.36.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55-А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан "'2.<5" иаА&Е А 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физ.-мат. наук, профессор

В4Г2 , ¿>3

Романьков В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Матричные кольца1 и их тождества - давно и интенсивно изучаемые объекты в теории Р1-колец, что отражено в обзоре [22] и в [25]. Их особую значимость осознали еще в сороковых годах с появлением результата И. Капланского о строении примитивных Р1-колец [27]. Каждое такое кольцо - это в точности кольцо матриц над телом, причем его размерность над центром ограничена степенью тождества, которому она удовлетворяет. Более того, не только примитивное, но и любое полупервичное Р1~кольцо Д'вЛ'ожимо в кольцо матриц Мг(А'), где I зависит лишь от степени выполняемого тождества, а К - некоторое коммутативное кольцо с единицей. Таким образом, все тождества М^К) переносятся и на Д. Вообще, класс колец, пред-ставимых матрицами над коммутативным кольцом, достаточно широк, что говорит о необходимости изучения матричных многообразий.

Исторически первым направлением в исследовании матричных тождеств является построение и изучение однородных тождеств.

Одним из первых и наиболее важных в этом направлении результатов явилась теорема Амицура-Левицкого [20]. В ней было доказано, что в М4(Я), где К - коммутативное кольцо, выполняется стандартное тождество степени то есть следующее:

ьЕп^ХсЩ . ..ха(п) = 0.

СТб 524

(Здесь и далее через 5ь мы обозначаем симметрическую группу на множестве {1,..., Л}.) Следующим существенным шагом стал результат Ю.П. Размыслова [19], который сконструировал однородный центральный многочлен для кольца Мь(К) (К -поле характеристики 0), то есть полином /, не являющийся

1 Здесь и далее в тексте, чтобы избежать разночтений, слово "кольцо" употребляется в одном смысле - "ассоциативное кольцо".

тождеством кольца Мг{К) и принимающий на нем лишь скалярные значения. Таким образом, в Мг(К) выполняется тождество [/, у] = 0.

Если характеристика поля К положительна, то кольцо Мг{К) удовлетворяет тождеству следующего вида:

У: ха{1) ■ а{к) = 0. ae.Sk

Причем в [9] доказано, что это происходит в том и только том случае, когда к> р1.

Достаточно большую группу среди известных полилинейных матричных тождеств составляют так называемые тождества Капелли. Это тождества вида

где & — &1 х ... х сге и 8§п((т) = з§п(<т1) + ... + sgn(cгs). В [23] и [26] доказано, что двойное (в = 2) тождество Капелли является тождеством кольца Мг(К) при к >22.

Довольно универсальный способ построения полилинейных матричных тождеств предложили Е. Сигети, 3. Туза, Г. Ре-вес и М. Домокос в серии работ [24], [29], [30], развив идею применения ориентированных графов в теории многообразий матричных колец, принадлежащую Р. Свену [31].

В 70-х годах возникло еще одно направление в изучении матричных многообразий, связанное с нахождением базисов тождеств конкретных матричных колец, часто встречающихся в приложениях. Первые шаги в этой области сделаны Ю.Н. Мальцевым, нашедшим базис тождеств кольца Лг(К) верхнетреугольных матриц (см. [12]), и Ю.П. Размысловым, указавшим явный вид образующих идеала тождеств кольца Мг(ЛГ) (см. [18]) (в обоих случаях К - поле характеристики 0).

Напомним, что кольцо Галуа СВ,{рт, га) (р - простое число, п,т £ М) определяется как фактор-кольцо кольца многочленов Жр™[х] по идеалу (/(г)), где /(ж) - многочлен степени тг,

неприводимый над GF(p). Р. Уилсон в работах [32], [33] доказал следующую теорему, усиливающую знаменитую теорему Веддерберна в случае конечных колец:

Теорема. Пусть R - конечное кольцо с единицей, char R = рт. Тогда R содержит подкольцо Q такое, что выполняются следующие условия:

1. R = Q+N (сумма абелевых групп), где J(Q) = pQ и N С J(R), N - (Q, Q) - бимодулъ;

2. R/J(R) = Q/pQ;

3. Q - прямая сумма матричных колец над кольцами Галуа.

Данная теорема показывает, что описание базиса тождеств кольца Mt(GFi(]jm , п)) имеет важное значение для теории конечных колец.

В 1973 году появились работы И.В. Львова [10], [11] и Р. Крузе [28], в которых было показано, что идеал тождеств конечного кольца порождается конечным числом многочленов. В указанных работах впервые была выявлена важная роль критических колец для изучения локально конечных многообразий колец (напомним, что кольцо называется критическим, если оно конечно и не лежит в многообразии, порожденном собственными подкольцами и гомоморфными образами). В частности, возник следующий метод доказательства теорем о базисах тождеств конечных колец.

Пусть R~ конечное кольцо, 5- конечное множество многочленов, vari? (var{5)) - многообразие, порожденное кольцом R (соответственно, многообразие, идеал тогкдеств которого порожден множеством S). Пусть, кроме того, var(S) имеет конечный индекс и экспоненту. Тогда для доказательства того, что var(S) С var R достаточно показать, что все критические кольца из var(5) лежат в vari?. При доказательстве этого факта существенно используется теорема Уилсона.

Данный метод был успешно применен для построения базиса тождеств кольца Mt(GF(pn)) при t < 4 в работах [14], [б],

[7].

В 1988 году Ю.Н. Мальцев поставил проблему нахождения базиса тождеств полного матричного кольца над кольцом Га-луа GR(pm, п) (см. [16]). При т >1 единственное продвижение в этом вопросе до настоящего времени - результат A.A. Нечаева [17], построившего базис обобщенных тождеств конечного коммутативного локального кольца главных идеалов. Восполнению пробелов в этом вопросе посвящена первая глава диссертации.

Важным подходом при изучении многообразий колец является исследование решеточных свойств многообразий.

Одно из направлений в этой области - описание многообразий с ограничениями на решетку подмногообразий. Пусть W, Wi и W2 ~ многообразия колец. Напомним несколько определений.

Многообразие W называется цепным, если решетка подмногообразий L(W) - цепь.

Многообразие >V называется почти цепным, если каждое его собственное подмногообразие - цепное, а само оно таковым не является.

Многообразие W называется квазицепным, если L(W) содержит ровно одну пару несравнимых элементов.

Кардинальное число г называется ¿-шириной частично упорядоченного множества S, если S содержит г попарно несравнимых элементов и г - наибольшее число с таким свойством. Под ¿/-шириной многообразия W мы понимаем ci-ширину решетки L(W).

Говорят, что многообразия Wi и W2 дуальны друг к другу, если дуальны (антиизоморфны) решетки L(W\) и ¿(И^).

Многообразие W называется самодуальным, если оно дуально само к себе, т.е. если самодуальна решетка L{W).

Многообразие W называется допускающим дуализм, если существует дуальное к W многообразие.

Многообразие W.называется наследственно самодуальным, если самодуально каждое его подмногообразие.

Многообразие W называется наследственно допускающим

дуализм (сокращенно - н.д.д.), если каждое его подмногообразие допускает дуализм.

Многообразие УУ называется дистрибутивным, если дистрибутивна решетка Ь(№>).

Цепные многообразия колец описаны В.А. Артамоновым [21], почти цепные многообразия - М.В. Волковым и Н.М. Берниковым [1]. Описания квазицепных, наследственно самодуальных, н.д.д. многообразий и ненильпотентных многообразий ¿-ширины 2 получены Б.М. Берниковым [2]. Такие описания оказываются очень полезными при исследовании решеток конкретных многообразий.

В [8] поставлена задача (Л.А. Бокуть, N 19) описания многообразий колец с дистрибутивной решеткой подмногообразий. Существенные продвижения в изучении дистрибутивных многообразий колец получены М.В. Волковым [3], [-1], [5] и Ю.Н. Мальцевым [15]. Тем не менее, решение указанной проблемы далеко от завершения. Поэтому представляется полезным получение информации о дистрибутивности решеток конкретных многообразий.

Освещению описанного круга вопросов применительно к решетке многообразия чагМ2{СИ{р2, п)) посвящена вторая глава диссертации.

В работе используются методы, конструкции и результаты теории колец и теории многообразий колец.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

построен базис тогкдеств многообразия чаг М2(СгД(р2,п)); исследованы критические кольца этого многообразия;

описаны тождества многообразия чаг Мч^Щр™,п))\

изучены решеточные свойства многообразия уаг М2{СЯ(р2,п)), а именно, описаны цепные, почти цепные, квазицепные, наследственно самодуальные, и.д.д. подмногообразия уаг М2(ОВ.(р~,п)); кроме того, исследована на дистрибутивность решетка нильпотентной части многообразия; также

найдены подмногообразия \/аг га)) ¿-ширины 2;

получено описание почти коммутативных нильпотентных индекса 4 многообразий колец.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в теорий колец и теории многообразий колец.

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара "Многообразия колец" кафедры алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета, заседаниях семинара "Теория колец" Института математики СО РАН (1998,1999), заседании Алгебраического семинара кафедры алгебры Омского государственного университета (2000), третьей краевой конференции по математике (Барнаул, 2000), Четвертом Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике "ИНПРИМ-2000" (Новосибирск, 2000).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34]-[40].

Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на Б параграфов, и библиографии, включающей 43 наименования. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

По введении даны основные определения, обоснование и описание рассматриваемых вопросов, а также обзор результатов диссертации.

Первая глава посвящена тождествам матричных колец над кольцами Галуа.

Прежде чем сформулировать результаты §1, введем необходимые обозначения. Пусть ц = рп. Положим Яр71'"^ ~ М2{СЩрт,п)). Введем ряд многочленов. Пусть

Мх,у) = {х-х?)(у-у?)(1-[х, у}'!-1),

/2(Х,у) = (Х-Х^(у-уГ)(1-[Х,у]1-1), Мх,у) = (1-{у,х]^-1)(у-у^)(х-хЯ), Ф1(х,у,г,$ = /г{х,у) • Фз (х,у) = рЬ{х,у),

Ф4{х,у,з,г) = !2{х,у)-

$б(х,у) = {{х',у),[х,у]\, Ф7(х,у, г) =

(!-[?/, (И®,у]«"1).

Определим многообразия колец = уагДр"1'"^ и Мр=

Уаг<Ф; = 0|г-=ГГ7).

Теорема 1.1. А$'п) -

При доказательстве теоремы описаны критические кольца многообразия

Естественным образом возникает желание выяснить строение тождеств многообразия Ар*"'™^ при т > 2. Этому вопросу посвящен §2.

Нам понадобятся новые обозначения. Пусть - это подмножество свободного кольца Ж,рт[х1>..., состоящее из элементов вида ха(1)... 1а(,) - ... хр(г) (а, /3 € таких, что

{a(i')|l < г < t,i = 1 (mocl 2)} = {ß{i)\l <i <t,i= 1 (mod 2)}. Через Czpm (S) обозначим линейную оболочку множества S С

Zpmfii,..a;t]. Определим многообразие как многооб-

разие, состоящее из всех нильпотентных колец многообразия

.(m,n) •лтр

Из вспомогательньгх утверждений §2 выделим следующие утверждения.

Предложение 2.1. Индекс нильпотентности многообразия

tf(m.n) п

Np ' равен 2то.

Предложение 2.2. Пусть F - свободное кольцо многообразия Npm'n\ Тогда экспонента кольца F1 при t = 1,2m — 1 равна

рт~Ш.

В доказательстве теоремы 1.1 существенно используется тот факт, что идеал тождеств Т(.А/р2'"') порождается многочленами р2х, рху, xyz — zyx, xyzt. Оказывается, что идеал тождеств многообразия Afp1"'"^ при т > 2 устроен подобным образом.

Теорема 2.1. В2т-1 С Г(ЛГр(т'п)).

Теорема 2.2. Пусть полилинейный многочлен f(xi,...,xt) G Т(4т'п)) (3 < t < 2m - 1). Тогда / е Czpm{Bt) + ... ^((jjo- G 5i).

Отсюда легко вывести

Следствие 2.1. Пусть многочлен f(x\,..., xt) € (3 < t < 2m — 1) представим в виде f(x\,... ,xt) = g(xi,..., xt) + h(xi,..., xt), где g - полилинейный многочлен, ah- сумма одночленов степени > 2то. Тогда <7 G £%pm(Bt) -f • • »<,(()(о- G St).

Вторая глава посвящена изучению решеточных свойств многообразия .Др2'™'.

. В §3 изучены подмногообразия удовлетворяющие не-

которым ограничениям на строение решетки.Цепные, почти цепные и квазицепные подмногообразия Лр2'"^ описаны в предложениях 3.1, 3.2 и 3.3 соответственно. В предложении 3.4 исследованы нецепные наследственно самодуальные подмногообразия .Ду2'"'. Предложения 3.1 и 3.4 дают полное описание наследственно самодуальных подмногообразий Лр2'п\ Н.д.д. подмногообразия Арописаны в предложении 3.5.

В §4 для исследования решеточных свойств многообразия применяется метод изучения порождающих подмножеств идеалов тождеств подмногообразий Лр2'"^.

Теорема 4.1. Идеал тождеств любого собственного подмногообразия Мр2'"^ порождается внутри некоторым подмножеством множества Бр, где

£>2 = {2ж, ху 4- ух + х2у + ху", х2у, хух, х2у + хух, х2у + ху2, хух + уху, хуг, хуг 4- угх + гху};

Дз = {За;, х2, ж3, Зх + х-3, 0>х + ж3, ху, ху — ух, х2у — хух, хуг, хуг - ухг, хуг + угх + гху};

Ор = {рх, х2, х3, ху, ху-ух, х2у-хух, хуг, хуг-ухг} {р > 3).

Из теоремы 4.1 вытекает следующий важный результат. Следствие 4.1. Решетка Многообразия

недистрибутивна при р = 2, 3 и дистрибутивна при р > 3.

Полученная информация о порождающих элементах идеалов тождеств подмногообразий Л^2'^ позволяет описать подмногообразия

¿-ширины 2. Введем ряд обозначений для конкретных многообразий колец: 5р° = (рх = 0) П/42, ^ = (*2 = 0>П^2'п), 5р2 = (х3=0)ПЛ''Р(2:"), % = {ху-ух = 0)ПЛ"р(2'п>, 3% = (х2у-хух = 0)ПАГ?-п),

81 = (хух-ухг = 0)П^(2'п), 81 = {хух =

= (Зх- + х-3==0)ПЛ/з(2'п),

¿»з1 = (хуг + угх + гху = 0) П Л/32,п\ = (» = 1.....11).

Теорема 4.2. Следующие многообразия и только они являются неквазицепными подмногообразиями

а-ширины 2:

Л <->7,0 с.9,0 о

1.5,, ¿у , о,' при р = 2;

9 с7.°п <?2 с7,0 О2,0 С4пр2 сЭ п <?7 СШлС!

мг>3,о3 , с>3 , о3 , с>3 , ¿>з, г>311о3, о311<>з, о3 по3

при р = 3;

3. 5р7-0, 6°р, 5р4 при Р> 3.

Ненильпотентные подмногообразия ¿-ширины 2 опи-

саны в предложении 4.1. Предло?кение 3.3, теорема 4.2 и предложение 4.1 дают полное описание подмногообразий ¿-ширины 2 многообразия А)?'п\

Метод, аналогичный методу исследования тождеств подмногообразий ЛГр"'п\ применен в §5 для описания почти коммутативных нильпотентентных индекса 4 многообразий колец.

Теорема 5.1. Нилъпотенгпное индекса 4 многообразие колец УУ является почти коммутативным тогда и только тогда, когда Т(И>) = Т[1] или Т(Щ = т¥'к\ где Г{1} = (2гх,2[х,у],[х,у}+ 21'1(Фх2у+ Фху2),*^) (¿€Ш),

= (21х,2{х,у],[х,у} + 21-1Ху,[х,у1+2*(Фх2у+Уху2),хугг) (1,кеШ,1>2,0<к<1- 1), Ф,Ф € 2, ФФ {той А).

Введем обозначения для конкретных колец:

1 — у 0 0 ) ' 4Р,5'г) = {( ° ?Л; 0,6е&Р(р5"), <х-автоморфизм поляб^(^5)1

- простые числа, г > 1). Из теоремы 5.1 и результата [13] вытекает

Следствие 5.1. Следующие многообразия и только они являются почти коммутативными подмногообразиями Ар2'"^:

1. У\?иТ(Щ) = {2х,хуг) прир = 2;

2. >У2, Т{\У2) = Т^ при р = 2;

3. уагЛ^;

4. (вг делит га).

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю.Н. Мальцеву за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Литература

[1] Берников В.М., Волков М.В. Почти цепные многообразия альтернативных колец // Исслед. по соврем, алгебре. Свердловск, 1979, С.22-39.

[2] Берников Б.М. Многообразия ассоциативных колец и полугрупп с ограничениями на решетку подмногообразий: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Свердловск, 1989, 125с.

[3] Волков М.В. Многообразия ассоциативных колец с ограничениями на структуру подмногообразий // Деп. ВИНИТИ, 3805-79ДЕП, 1979.

[4] Волков М.В. Дистрибутивность некоторых структур многообразий ассоциативных колец // Сиб. матем. ж. 1984. Т.2-5, N6, С.23-30.

[5] Волков М.В. О почти дистрибутивных многообразиях ассоциативных колец // V Сибирская школа по многообразиям алгебраич. систем: Тез. сообщ. Барнаул, 1988. С.86-88.

[6] Генов Г.К. Базис тождеств алгебры матриц третьего порядка над конечным полем // Алгебра и логика. 1981. Т.20, N4, С.365-388.

[7] Генов Г.К., Сидеров П.Н. Базис тождеств алгебры матриц четвертого порядка над конечным полем. I, II // Сердика Българско мат. списание. 1982. Т.8, С.313-323, 351-366.

[8] Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы в теории колец и модулей. 3-е изд. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1982.

[9] Залесский А.Е. Симметричный аналог теоремы Амицура-Левицкого // Вести АН БССР. Сер. физ.-матем. 1985, С.108-110.

[10] Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец. I // Алгебра и логика. 1973. Т.12, N3, С.269-297.

[11] Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец. II // Алгебра и логика. 1973. Т.12, N6, С.667-688.

[12] Мальцев 10.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц // Алгебра и логика. 1971. Т.10, N4, С.393-400.

[13] Мальцев Ю.Н. Почти коммутативные многообразия колец // Сиб. матем. ж. 1976. Т.17, N5, С.1086-1096.

[14] Мальцев 10.Н., Кузьмин E.H. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над конечным полем // Алгебра и логика. 1978. Т.17, N1, С.28-32.

[15] Мальцев Ю.Н. О дистрибутивных многообразиях ассоциативных алгебр // Исслед. по теории колец, алгебр и модулей. Кишинев, 1984, С.73-98.

[16] Мальцев Ю.Н. Некоторые открытые вопросы для многообразий ассоциативных колец // V Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем: Тез. сообщ. Барнаул, 1988. С.41-43.

[17] Нечаев A.A. Базис обобщенных тождеств конечного коммутативного локального кольца главных идеалов // Алгебра и логика. 1979. Т.18, N2, С.186-193.

[18] Размыслов 10 .II. О конечной базируемое™ тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1973. Т.12, N1, С.83-113.

[19] Размыслов 10.П. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики 0 // Известия АН СССР. Сер. матем. 1974, Т.38, С.723-756.

[20] Amitsur S.A., Levitzki J. Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1950. V.l, P ,449-463.

[21] Artamonov V.A. On chain varieties of linear algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1976. V.221, N2, P.323-338.

[22] Artamonov V.A. Varieties of algebras // Handbook of algebra. 2000. V.2, P.545-575.

[23] Chang Q. Some consequences of the standard polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.104, N3, P.707-710.

[24] Domokos M. Eulerian polynomial identities and algebras satisfying a standard identity // J. Algebra. 1994. V.169, P.913-928.

[25] Formanek*'Et-The polynomial identities and invariants of n x n matrices // Regional conference series in mathematics. 1991, N78, 55p.

[26] Giambruno A., Sehgal S.K. On polynomial identity for nxn matrices // J. Algebra. 1989. V.126, 451-453.

[27] Kaplansky I. Rings with polynomial identity // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. V.54, P.575-580.

[28] Kruse R. Identities, satisfied by a finite ring // J. Algebra. 1973. V.26, N2, P.298-318.

[29] Szigeti J., TuzaZs., Revesz G. Eulerian polynomial identities on matrix rings // J. Algebra. 1993. V.164, P.90-101.

[30] Szigeti J. Permanental polynomial identities on matrix rings // J. Algebra. 1994. V.165, P.389-393.

[31] Swan R.G. An application of graph theory to algebra, Proc. Amer. Math. Soc. 1963. V.14, P.367-380.

[32] Wilson R. On the structure of finite rings // Compozitio Math. 1973. V.26, P.79-93.

[33] Wilson R. On the structure of finite rings. II // Pacific. J. Math. 1974. V.51, N1, P.317-325.

Работы автора по теме диссертации

[34] Олексенко А.Н. Базис тождеств кольца матриц второго порядка над Z4 // Известия Алтайского гос. ун-та. 1999, N1, С.17-19.

[35] Олексенко А.Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над Zрз // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6, N2, С.1-31.

[36] Олексенко А.Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над GR(p2,n) // Деп. в ВИНИТИ, 28.02.00, N505-В00, С. 1-32.

[37] Олексенко А.Н. О решетке подмногообразий многообразия var Мг(СЛ(р2,п)) // Материалы третьей краевой конференции по математике. Барнаул, 2000, С. 6.

[38] Олексенко A.II. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над GR(p2,n) // Четвертый Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике "ИНПРИМ-2000": Тезисы докладов. Новосибирск, 2000. С.112.

[39] Олексенко А.Н. О решетке многообразия varM2(GR(p2, п)). Омск: Омский гос. ун-т. препринт № 17, 2000.

[40] Олексенко А.Н. Почти коммутативные нильпотентпые индекса 4 многообразия колец // Известия Алтайского гос. ун-та. 2001, N1 (принята в печать)

Подписано к печати 17.11.2000 Печать офсетная

Объем 1 п.л. Бумага писчая №1

Бесплатно Тираж 100 экз.

Заказ 357.

Типография издательства АГУ: Барнаул, ул. Димитрова, 66.

Введение

1. Тождества полного матричного кольца второго порядка над кольцом Галуа

1. Базис тождеств кольца М2(ОЯ(р2, п))

2. Тождества кольца М2(ОЯ(рт,п))

2. Решеточные свойства многообразия уагМ2(ОЯ(р2,п))

3. Обобщения линейности и дуальность.

4. Дистрибутивность и ¿-ширина

5. Почти коммутативные нилыютентные многообразия колец

0.1. Обсуждение проблематики

Матричные кольца1 и их тождества - давно и интенсивно изучаемые объекты в теории Р1-колец, что отражено в обзоре [23] и в [26]. Их особую значимость осознали еще в сороковых годах с появлением результата И. Капланского о строении примитивных Р1-колец [28]. Каждое такое кольцо - это в точности кольцо матриц над телом, причем его размерность над центром ограничена степенью тождества, которому она удовлетворяет. Более того, не только примитивное, но и любое полупервичное Р1-кольцо Л вложимо в кольцо матриц М^К), где t зависит лишь от степени выполняемого тождества, а К - некоторое коммутативное кольцо с единицей. Таким образом, все тождества М^К) переносятся и на И. Вообще, класс колец, представимых матрицами над коммутативным кольцом, достаточно широк, что говорит о необходимости изучения матричных многообразий.

Исторически первым направлением в исследовании матричных тождеств является построение и изучение однородных тождеств.

Одним из первых и наиболее важных в этом направлении результатов явилась теорема Амицура-Лёвицкого [21]. В ней было доказано, что в М^К), где К -коммутативное кольцо, выполняется стандартное тождество степени 22, то есть следующее:

Здесь и далее через ,вк мы обозначаем симметрическую группу на множестве {1 ,.,&}.) Следующим существенным шагом стал результат Ю.П. Размыслова [20], который сконструировал однородный центральный многочлен для кольца Мг{К) (К - поле характеристики 0), то есть полином /, не являющийся тождеством кольца Мг(К) и принимающий на нем лишь скалярные значения. Таким образом, в Мг{К) выполняется тождество [/, у] = 0.

1 Здесь и далее в тексте, чтобы избежать разночтений, слово "кольцо" употребляется в одном смысле - "ассоциативное кольцо", а слово алгебра всегда означает "ассоциативная алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей".

Если характеристика поля К положительна, то кольцо Mt(K) удовлетворяет тождеству следующего вида:

У] Ж<7(1) • • -Ха(к) = 0.

Причем в [9] доказано, что это происходит в том и только том случае, когда к > pt.

Достаточно большую группу среди известных полилинейных матричных тождеств составляют так называемые тождества Капелли. Это тождества вида aeskx.xsk г=1 где а = (7i х . х crs и sgn(<7) — sgn(<7i) + • • • + sgn(crí). В [24] и [27] доказано, что двойное (s = 2) тождество Капелли является тождеством кольца Mt(K) при к > 21.

Довольно универсальный способ построения полилинейных матричных тождеств предложили Е. Сигети, 3. Туза, Г. Ревес и М. Домокос в серии работ [25], [32], [33], развив идею применения ориентированных графов в теории многообразий матричных колец, принадлежащую Р. Свену [34].

В 70-х годах возникло еще одно направление в изучении матричных многообразий, связанное с нахождением базисов тождеств конкретных матричных колец, часто встречающихся в приложениях. Первые шаги в этой области сделаны Ю.Н. Мальцевым, нашедшим базис тождеств кольца At(K) верхнетреугольных матриц (см. [12]), и Ю.П. Размысловым, указавшим явный вид образующих идеала тождеств кольца М2(К) (см. [19]) (в обоих случаях К - поле характеристики 0).

Напомним, что кольцо Галуа GR(pm,n) (р - простое число) определяется как фактор-кольцо кольца многочленов Ърт[х] по идеалу (/(ж)), где /(ж) - многочлен степени п, неприводимый над GF(p). Р. Уилсон в работах [35], [36] доказал следующую теорему, усиливающую знаменитую теорему Веддерберна в случае конечных колец:

Теорема. Пусть R - конечное кольцо с единицей, charR = рт. Тогда R содержит подкольцо Q такое, что выполняются следующие условия:

1. R = Q+N (сумма абелевых групп), где J(Q) = pQ и N С J(R), N - (Q,Q)

- бимодулъ;

2. R¡J(R) Q/pQ;

3. Q - прямая сумма матричных колец над кольцами Галуа.

Данная теорема показывает, что описание базиса тождеств кольца Mt(GR(pm, п)) имеет важное значение для теории конечных колец.

В 1973 году появились работы И.В. Львова [10], [11] и Р. Крузе [29], в которых было показано, что идеал тождеств конечного кольца порождается конечным числом многочленов. В указанных работах впервые была выявлена важная роль критических колец для изучения локально конечных многообразий колец (напомним, что кольцо называется критическим, если оно конечно и не лежит в многообразии, порожденном собственными подкольцами и гомоморфными образами). В частности, возник следующий метод доказательства теорем о базисах тождеств конечных колец.

Пусть R - конечное кольцо, S - конечное множество многочленов, vari? (var(S'))

- многообразие, порожденное кольцом R (соответственно, многообразие, идеал тождеств которого порожден множеством S). Пусть, кроме того, var(S') имеет конечный индекс и экспоненту. Тогда для доказательства того, что \iar(S) С varÄ достаточно показать, что все критические кольца из var(S) лежат в var R. При доказательстве этого факта существенно используется теорема Уилсона.

Данный метод был успешно применен для построения базиса тождеств кольца Mt(GF(pn)) при К4в работах [14], [6], [7].

В 1988 году Ю.Н. Мальцев поставил проблему нахождения базиса тождеств полного матричного кольца над кольцом Галуа GR(pm,n) (см. [17]). При т > 1 единственное продвижение в этом вопросе до настоящего времени - результат A.A. Нечаева [18], построившего базис обобщенных тождеств конечного коммутативного локального кольца главных идеалов. Настоящая диссертация в определенной степени зацолняет пробелы в этой области.

Важным подходом при изучении многообразий колец является исследование решеточных свойств многообразий.

Одно из направлений в этой области - описание многообразий с ограничениями на решетку подмногообразий. Пусть УУ, Ж и УУ2 - многообразия колец. Напомним несколько определений.

Многообразие УУ называется цепным, если решетка подмногообразий £(УУ) -цепь.

Многообразие УУ называется почти цепным, если каждое его собственное подмногообразие - цепное, а само оно таковым не является.

Многообразие УУ называется квазицепным, если £(УУ) содержит ровно одну пару несравнимых элементов.

Кардинальное число г называется (¿-шириной частично упорядоченного множества 5", если 51 содержит т попарно несравнимых элементов и г - наибольшее число с таким свойством. Под ¿-шириной многообразия УУ мы понимаем ¿-ширину решетки ЦУУ).

Говорят, что многообразия УУ1 и дуальны друг к другу, если дуальны (антиизоморфны) решетки и £(УУ2).

Многообразие УУ называется самодуальным, если оно дуально само к себе, т.е. если самодуальна решетка 1,(УУ).

Многообразие УУ называется допускающим дуализм, если существует дуальное к УУ многообразие.

Многообразие УУ называется наследственно самодуальным, если самодуально каждое его подмногообразие.

Многообразие УУ называется наследственно допускающим дуализм (сокращенно - н.д.д.), если каждое его подмногообразие допускает дуализм.

Многообразие УУ называется дистрибутивным, если дистрибутивна решетка ЦЩ.

Цепные многообразия колец описаны В.А. Артамоновым [22], почти цепные многообразия - М.В. Волковым и Б.М. Берниковым [1]. Описания квазицепных, наследственно самодуальных, н.д.д. многообразий и ненильпотентных многообразий ¿-ширины 2 получены Б.М. Берниковым [2]. Такие описания оказываются очень полезными при исследовании решеток конкретных многообразий.

В [8] поставлена задача (Л.А. Бокуть, N 19) описания многообразий колец с дистрибутивной решеткой подмногообразий. Существенные продвижения в изучении дистрибутивных многообразий колец получены М.В. Волковым [3], [4], [5] и Ю.Н. Мальцевым [15]. Тем не менее, решение указанной проблемы далеко от завершения. Поэтому представляется полезным получение информации о дистрибутивности решеток конкретных многообразий.

В настоящей диссертации описанный круг вопросов рассматривается применительно к решетке многообразия уагМ2((У/?(р2, га)).

0.2. Основные результаты диссертации

В работе получены следующие основные результаты: построен базис тождеств многообразия уаг М2((?Д(р2, п)); исследованы критические кольца этого многообразия; получено некоторое описание тождеств многообразия уаг М2((?-К(рт, п)); изучены решеточные свойства многообразия уагМ2(<972(р2,га)), а именно, описаны цепные, почти цепные, квазицепные, наследственно самодуальные, н.д.д. подмногообразия уагМ2(СД(р2, га)); кроме того, исследована на дистрибутивность решетка нильпотентной части многообразия; также найдены подмногообразия уаг М2(ОЩр2,п)) (¿-ширины 2; получено описание почти коммутативных нильпотентных индекса 4 многообразий колец.

Первая глава посвящена тождествам кольца М2(С?/?(]эт, п)) (§1 и §2). Во второй главе исследуются решеточные свойства многообразия уагМ2(ОК(рт,п)) (§3 и §4), а также почти коммутативные нильпотентные многообразия колец (§5).

Нумерация теорем, лемм, предложений и следствий двойная. Первая цифра соответствует номеру параграфа, вторая - номер утверждения.

Прежде чем сформулировать результаты §1, введем необходимые обозначения. Пусть q = рп. Положим = М2(ОН(рт, га)). Введем ряд многочленов. Пусть

М*,У) = (х- х^)(у - у?2)(1 - [х.г/Г1), /2(х,у) = (1 - [у,х}^)(у - у**)(х - х /з(Ж, у) = (х - х*)(у - /)(1 - [х, уГ1), б

Мх,у) = [(х-х«у2-1,у], ф2(ж,у) =рмх,у),

Ф3(ж) =

Ф4(ж, у, г, г) = Уз(ж, у) • /4(г, г), фб(ж,у) = [[ж2, у], [ж, у]],

Ф7(х, у, г) = [(1 - [ж, - - г<?){у - 1 - [г, у]«"1)

1 - [у, - у«2)(г - г**){х - х*2)(1 - [г, я]*"1)! • (1 - [ж, у}«'1).

Определим многообразия колец А\> г,п) уагК то,и)

И М т,п) var(Фi = 01 г = 1,7).

Теорема 1.1. Л(р2'п) = М{р'п).

При доказательстве теоремы описаны критические кольца многообразия

Естественным образом возникает желание выяснить строение тождеств многообразия при то > 2. Этому вопросу посвящен §2.

Нам понадобятся новые обозначения. Пусть - это подмножество свободного кольца Хргп[х1,., £¿1, состоящее из элементов вида ха^ . — ж/?(1) • • • (а,/? е таких, что {а(г)|1 < г < г, г = 1{то(12)} = {/?(г)|1 < г < г = 1(то(12)}. Через Сгрт{8) обозначим линейную оболочку множества 51 С Определим многообразие Мрт'п^ как многообразие, состоящее из всех нильпотент-ных колец многообразия Л

Из вспомогательных утверждений §2 выделим следующие утверждения.

Предложение 2.1. Индекс нильпотентности многообразия Мрт,п^ равен 2т.

Предложение 2.2. Пусть ^ - свободное кольцо многообразия

Тогда экспонента кольца .Р при £ = 1,2т — 1 равна р"

В доказательстве теоремы 1.1 существенно используется тот факт, что идеал тождеств порождается многочленами р2х, рху, хуг — гух, Оказывается, что идеал тождеств многообразия при т > 2 устроен подобным образом.

Теорема 2.1. В2тС Г(Л^(т,п)).

Теорема 2.2. Пусть полилинейный многочлен ., ж4) € Т(Мрт'п(3 < £ < 2т - 1). Тогда / £ £%рт{В{) + р£жрт(ж<г(1). ж<ф)|сг €

Отсюда легко вывести

Следствие 2.1. Пусть многочлен /(ж!,.,жг) е Т^Др™'7^) (3 < ^ < 2т — 1) представим в виде /(х\,., ж*) = д(ж1,., ж*) + /¿(^1, • • •, г<?е р - полилинейный многочлен, а к - сумма одночленов степени > 2т. Тогда д 6 + г(ж<7(1). жа(г)|<7 € и

Ср — и

Вторая глава посвящена изучению решеточных свойств многообразия Лр Введем ряд обозначений. Пусть г, з - простые числа. Обозначения для конкретных ассоциативных колец: ОР(р) О \ = / ОР(р) СР(р) о / р \ о о а Ь О а

1Р(р3) о\ ( ОР(р°) о о

2,П) с?* = Щ = а,Ь е - автоморфизм поля ОР(раи) > (и > 1), О а Ь

О сг(а) Арп = (а|рпа = а2 = 0), (а, Ь|ра = рЬ = а2 = Ь2 = 0, аЬ = — Ьа), р > 2, (е, а, 6|ре = ра = рЬ = а2 — Ь2 = 0, е2 = е, еа = ае = а, еЬ = Ье = Ь, аЪ = — Ьа), р>2,

Бр = (а\ра = а3 = 0),

Dp = (e, a\pe = pa = a3 = O, e2 = e, ea = ae = a), Zp2 = (e|p2e = O, e2 = e), = {a\p2a = 0,apS = a).

Обозначения для конкретных многообразий ассоциативных колец: О = маг(х = 0),

Ak = var (кх = ху — 0),

7р = var GF(p) = var (рх = хр — х = 0),

7р = var GF{pk) = var (рх = хрк — х = 0), к > 1,

1р'т = 7р и к, т > 1,к ф т,

Ъ* = Ъ и 7« = var{p5S = - ж) = р(ж8 — х) = ху - ух - 0), р ф 5, Bps = Лр U 7« = var(psx = sxy = p(xs — х) = ху — ух = 0), р ф s\ Вр = U 7Р = маг(рх = ху - ух = ху - (ху)р = 0), Vp = var(рж = x\.xk = хр = ху — ух = 0), к > 3, Ур = var (рж — х'р = ху — ух = 0), var(px = х2 = 0), р > 2, /Cf = var(2x = xyz = 0),

С2[т] = var(2x = жу,г + угж + гжг/ = 0,ж1ж2жз = ^t(i)®t(2)®t(3))5 г - транспозиция из S3,

Т-р = var(px = x\.xp+i — ху — ух — 0),

В^ = var(p2a; = xi.xp+i = ху — ух = 0, хр = арх), а = 1, .,р — 1, У32 = U У3 = vaг(р2ж = жг/г = рху = жр = ху — ух — 0), Л2 и Ц, = узг(р2ж = ж2 = = 0), р > 2,

Щ = Ур3 и /С3 = var(pz = xyz = 0), р > 2,

Vp^ '= У£+2 и = var(p2x = Xi.Хр+2 = рху = ху - ух = 0,хр = арх}, а = 1,.,р-1,

•^р4"2 = и = Уаг(рж = Xi.xp+2 = = ху - ух = 0),

J2 = £2[(12)]U/C2[(13)] = £2[(12)]U£2[(23)] = /С2 [(13)] U/C2 [(23)] = var(2x = xyzt = xyz + yzx + zxy = 0),

C32 = var(p2x = xyz = ху — yx = 0), p > 2, var(4x = жуг = x2 = 0), Cf = уаг(ж2 = Ах, xyz — ху — ух = 0),

С3р2 = var(р2х = ж2 = О)}р> 2,

Мр = var(рх = xyzt = х2у = хух = ух2 = 0), р > 2,

Afpa'^ = var {рх = xyzt = xyz + yzx + zxy = ax{xy — ух) + /3(ху — yx)x = 0), p > 3. (a,/?)e{(0,l),(l,0),(l,l),.,(l,p-l)},

Jz[t] = var(3x = xyzt = xyz + yzx + zxy = Ж1Ж2ж3 + жт(1)®т(2)Жт(з) = 0), r -транспозиция из

Мз[т] = var(3x = xyzt = xix2x3 + Жт(1)®т(2)Жт(з) = 0), r - транспозиция из S3, Jl = var(3x = xyztu = xyz + yzx -f ,гжу = xyz + гуж = 0), var(px = xi.xp+2 = xp+1 - xvy + xyp = xy — yx = 0), ТИр-"* = var(px = Ж1.жр+2 = xvy — xyp — xy — уж = 0), p > 2, Mp^ = var(px = Xi.xp+2 = 0, xy — yx = axpy), a = 1, —,p— 1, уаг(2ж = жуг£ = xy — yx = ж2у — жу2 = 0), Z4 = мах(2х — ж3 = xyzi = xy — yx = 0), P2 = уаг(2ж = xyzt = жу — уж = 0), 0,2 = уаг(2ж = xyzt = 0, xy — yx = x2y — xy2), MÎ2,n) = маг(р2х = pxy = xyz — zyx = жу^ = 0), чаг{рх = 0) П Afp2'n\ SI = уаг(ж2 = 0) n yvp(2'n), <S2 = уаг(ж3 = 0} П Àip2'n\ S3 = уаг(жу = 0) П J\fp2'n\ S* = var(xy - yx = 0) П Àfp2,n\ Si = vax(x2y - хух = 0) П S&p = var (xyz = 0) П Àfi2'n\ Sp = var(xyz — yxz = 0) П Mp2,n\

Sp = П ^p' var(xyx = 0) П ЛГ2(2,п), <S| = уаг(3ж + ж3 = 0) П Mi2'n\ <S310 = уаг(6ж + ж3 = 0} П ЛГ3(2'п), «Sg1 = var{xyz + yzx + zxy = 0) n Ml2'n\

В §3 с помощью результатов В.А. Артамонова [22], М.В. Волкова и Б.М. Верникова [1], [2] описаны цепные, почти цепные, квазицепные, наследственно самодуальные и н.д.д. подМногобразия

Предложение 3.1.1. Многообразия /С2[(13)], Тг, В^ являются цепными подмногообразиями ;

2. многообразия Бг/\ В^ являются цепными подмногообразиями

3. многообразия О, Ар, Лр2, \?р, Ур, 1Ср, -ур, 7** (зк делит п) являются цепными подмногообразиями Др2,п' при любом простом р.

4. других цепных подмногообразий в нет.

Предложение 3.2. 1. Многообразия Т^ являются почти цепными подлшо-гообразиями

2. многообразия )С^2, Мр являются почти цепными подмногообразиями при р > 2;

3. многообразия Вр, •ур'г (п делится на вг), 1Я2 являются почти цепными подмногообразиями при произвольном простом р.

4. других почти цепных подмногообразий в Лр2'™^ нет.

Предложение 3.3.1. Многообразия 1^2, 0,2, М2+\ М^ являются квазицепными подмногообразиями А1£'п\'

2. многообразия являются квазицепными подмногообразиями Др2'1^ при Р > 2;

3. многообразие Л/^1,1^ является квазицепным подмногообразием Др2'7^ при р >

4. многообразия Вр, 7®'г, (п делится на вг), Ур2, чзгЬр, уагЯр, уагСР, чъх2р2, 7*г (5 ф г, п делится на вг) являются квазицепными подмногообразиями при произвольном простом р.

5. других квазицепных подмногообразий в А^'71^ нет.

Предложение 3.4. Многообразие УУ является нецепным наследственно самодуальным подмногообразием в Ар2'п-> тогда и только тогда, когда УУ = С и 7Р или УУ = С и 7®* (вк делит п), где С - произвольное нилъпотентное цепное подмногообразие в Лр.

Предложения 3.1 и 3.4 дают полное описание наследственно самодуальных подмногообразий Лр"п\

Предложение 3.5. 1. Следующие многообразия и только они являются н.д.д. подмногообразиями Лр2'п\ неразложимыми в прямое произведение:

1.1. О, Лрк (к <3), Укр(к <Ь), Ц, К2[(Щ, Тр (р < Ь), (р < 5), ъ, ^ $к делит п);

1.2. %'г (зг делит п), У32, Ц> (при р > 2), (при р > 2), , (* Ф г, вг делит п), Л/р1'1^ (при р > 3), М^2\ Х4;

1.3. УУ = уаг Я, где К - одно из следующих колец; Ьр> Ср, при р > 2), В\, Ц, Щ, с;1* и Х1®Х2; здесь X, е {Ьр,1{р,Ср}, Х2 Е {Ьр, Нр, Ср, Ар2, Кр(при р > 2),БР, 0Р(р8)} и Х^ ф Х2, в делит п.

2. Подмногообразие УУ многообразия является н.д.д. многообразием тогда и только тогда, когда УУ - объединение конечного числа попарно дизъюнктных н.д.д. подмногообразий Лр2'п\ неразложимых в прямое произведение, среди которых имеется не более одного многообразия из множества {уаг2р2,Т2,Т±\ и не более одного многообразия из множества М^}.

В §4 для исследования решеточных свойств многообразия применяется метод изучения порождающих подмножеств идеалов тождеств подмногообразий

Теорема 4.1. Идеал тождеств любого собственного подмногообразия порождается внутри некоторым подмножеством Множества Г)р. где И2 = {2ж, ху + ух + х2у + ху2, х2у, хух, х2у + хух, х2у + ху2, хух + уху, хуг, хуг + угх + гху}\

В3 = {Зж, ж2, ж3, Зх + ж3, бж + ж3, ж у, ху — ух, х2у — хух, хуг, хух — ухг, хуг + угх + гху};

Вр = {рх, х2, ж3, ху, ху — ух, х2у — хух, хуг, хуг — ухг} (р > 3). Из теоремы 4.1 вытекает следующий важный результат.

Следствие 4.1. Решетка Многообразия недистрибутивна при р = 2,3 и дистрибутивна при р > 3.

Полученная информация о порождающих элементах идеалов тождеств подмногообразий л/?-) позволяет описать подмногообразия ¿-ширины 2.

Теорема 4.2. Следующие многообразия и только они являются неквазицепными подмногообразиями Мр2^ й-ширины 2;

1. Я*, ¿>27'°; <529'0 при р = 2;

2. 537'0 П 537'0, ¿>32'0, 53'°, ¿34 П 5|, П 5310 П при р = 3/

3. в;*, 5р°, в* при р>Ъ.

Из результата Б.М. Берникова [2] следует

Предложение 4.7. Ненильпотентное подмногообразие УУ многообразия имеет й-ширину 2 тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1. УУ = сил, где С е {Ар*(к < 3),Укр{к < Ь),ЦМ[{Щ,Тр{Р < < 5), 7Р, 1рк(гк делит п)}, Л € {Лр^р}, Л % С и либо С, е {ъ^рк(гк делит п)}, либо Л = тр, кроме того экспоненты обоих многообразий делят р2;

2. УУ е {7(вкг делит п), ^ (зг делит п), (в2г делит п), г (в2г делит п)};

3. УУ = уагЯ, где Я - одно из следующих колец: Ьр, Яр, Ср, Zp2, Кр (при р > 2), ь;, щ, с;1', г^, с;1*®с;1* (а + Р), гр2®х и здесь X е {Ьр, Яр, Кр(при р > 2), Ор, Щ(при р > 2), С^}, У е

Ьр, Яр, Ср}, г £ {Ьр, Яр, Ср, Кр(при р> 2), Ир, Ар, и У ф з делит п.

Предложение 3.3, теорема 4.2 и предложение 4.7 дают полное описание подмногообразий ¿-ширины 2 многообразия А?р,п\

Многообразие ассоциативных колец УУ называется почти коммутативным, если УУ - некоммутативное многообразие, а каждое собственное подмногообразие Ы С УУ является коммутативным. Из леммы Цорна следует, что каждое некоммутативное многообразие содержит почти коммутативное. Поэтому изучение таких многообразий представляется естественным. Метод, аналогичный методу исследования тождеств подмногообразий Afp2'n\ применен в §5 для описания почти коммутативных нильпотентентных индекса 4 многообразий колец.

Теорема 5.1. Нилъпотентное индекса 4 многообразие колец W является почти коммутативным тогда и только тогда, когда T(W) = Тf или T(W) = где Т? = (21х, 2[х, у], [х,у] + 21~\Ф х2у + Ф ху2), xyztf (I е N), (2гж,2[Ж,у],[Ж,у] + 2г-1Жу,[Ж,у] + 2':(ФЖ2?/ + Фа;у2),Ж^)т (/, к G N, / > 2, О < А; < I - 1), Ф, Ф € Z, ФФ ф 0 (mod 4).

Из теоремы 5.1 и результата [13] вытекает

Следствие 5.1. Многообразие W являются почти коммутативными подмногообразием Л^р''^ тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1.T(W) = (2x,xyz)T (р = 2);

2. T(W) = Гх(1) (р = 2);

3. W = varRp]

4. W = varCpi,cr (/ > 1, s' делит n).

0.3. Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара "Многообразия колец" кафедры алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета, заседаниях семинара "Теория колец" Института математики СО РАН (1998,1999), заседании Алгебраического семинара кафедры алгебры Омского государственного университета (2000), третьей краевой конференции по математике (Барнаул, 2000), Четвертом Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике "ИНПРИМ-2000" (Новосибирск, 2000).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38] — [43].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю.Н. Мальцеву за постановки задач и постоянное внимание к работе.

0.4. Список обозначений

Часть обозначений была введена ранее. Ниже мы их не воспроизводим.

GF(q) - поле из q элементов. А; = M2(GF(q)). eij - матричные единицы. [п] - целая часть числа п. ж, у] = ху — ух - коммутатор элементов х и у.

Z(R) = {а е R | [а, г] = 0 для любого г е R} - центр кольца R.

R+ - аддитивная группа кольца R.

J(R) - радикал Джекобсона кольца R.

R = R/J(R) - фактор-кольцо кольца R по радикалу Джекобсона. а - образ элемента а £ R при естественном гомоморфизме R —R.

T(R) - идеал тождеств кольца R.

Т(М) - идеал тождеств многообразия М.

Запись а = Ь (mod I) означает, что а — Ь 6 /.

Запись R = {S) означает, что кольцо R порождается множеством элементов

S с R. х - набор переменных ж2, . . Количество переменных всегда будет ясно из контекста.

S)T - Т-идеал свободного счетнопорожденного кольца й[жьж2,.], порожденный множеством S С Z[xi, х2,.] .

1. Верников Б.М., Волков М.В. Почти цепные многообразия альтернативных колец // Исслед. по соврем, алгебре. Свердловск, 1979, С.22-39.

2. Верников Б.М. Многообразия ассоциативных колец и полугрупп с ограничениями на решетку подмногообразий: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Свердловск, 1989, 125с.

3. Волков М.В. Многообразия ассоциативных колец с ограничениями на структуру подмногообразий // Деп. ВИНИТИ, 3805-79ДЕП, 1979.

4. Волков М.В. Дистрибутивность некоторых структур многообразий ассоциативных колец // Сиб. матем. ж. 1984. Т.25, N6, С.23-30.

5. Волков М.В. О почти дистрибутивных многообразиях ассоциативных колец // V Сибирская школа по многообразиям алгебраич. систем: Тез. сообщ. Барнаул, 1988. С.86-88.

6. Генов Г.К. Базис тождеств алгебры матриц третьего порядка над конечным полем // Алгебра и логика. 1981. Т.20, N4, С.365-388.

7. Генов Г.К., Сидеров П.Н. Базис тождеств алгебры матриц четвертого порядка над конечным полем. I, II // Сердика Българско мат. списание. 1982. Т.8, С.313-323, 351-366.

8. Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы в теории колец и модулей. 3-е изд. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1982.

9. Залесский А.Е. Симметричный аналог теоремы Амицура-Левицкого // Вести АН БССР. Сер. физ.-матем. 1985, С.108-110.

10. Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец. I // Алгебра и логика. 1973. Т.12, N3, С.269-297.

11. Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец. II // Алгебра и логика. 1973. Т.12, N6, 0.667-688.

12. Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц // Алгебра и логика. 1971. Т.10, N4, С.393-400.

13. Мальцев Ю.Н. Почти коммутативные многообразия колец // Сиб. матем. ж. 1976. Т.17, N5, С.1086-1096.

14. Мальцев Ю.Н., Кузьмин E.H. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над конечным полем // Алгебра и логика. 1978. Т.17, N1, С.28-32.

15. Мальцев Ю.Н. О дистрибутивных многообразиях ассоциативных алгебр // Исслед. по теории колец, алгебр и модулей. Кишинев, 1984, С.73-98.

16. Мальцев Ю.Н. Критические кольца и многообразия ассоциативных колец: Дис. . докт. физ.-мат. наук. Барнаул, 1985, 243с.

17. Мальцев Ю.Н. Некоторые открытые вопросы для многообразий ассоциативных колец // V Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем: Тез. сообщ. Барнаул, 1988. С.41-43.

18. Нечаев A.A. Базис обобщенных тождеств конечного коммутативного локального кольца главных идеалов // Алгебра и логика. 1979. Т.18, N2, С.186-193.

19. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1973. Т.12, N1, С.83-113.

20. Размыслов Ю.П. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики 0 // Известия АН СССР. Сер. матем. 1974. Т.38, С.723-756.

21. Amitsur S.A., Levitzki J. Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1950. V.l, P.449-463.

22. Artamonov V.A. On chain varieties of linear algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1976. V.221, N2, P.323-338.

23. Artamonov V.A. Varieties of algebras // Handbook of algebra. 2000. V.2, P.545-575.

24. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.104, N3, P.707-710.

25. Domokos M. Eulerian polynomial identities and algebras satisfying a standard identity //J. Algebra. 1994. V.169, P.913-928.

26. Formanek E. The polynomial identities and invariants of n x n matrices // Regional conference series in mathematics. 1991, N78, 55p.

27. Giambruno A., Sehgal S.K. On polynomial identity for n x n matrices // J. Algebra. 1989. V.126, 451-453.

28. Kaplansky I. Rings with polynomial identity // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. V.54, P.575-580.

29. Kruse R. Identities, satisfied by a finite ring //J. Algebra. 1973. V.26, N2, P.298-318.

30. Mal'cev Y.N. The structure of associative algebras satisfying the polynomial identities and varieties of algebras. Barnaul: ASU, 1994, 103p.

31. McDonald B. Finite rings with identity. New York: Marcel Dekker. 1974, 429p.

32. Szigeti J., Tuza Zs., Revesz G. Eulerian polynomial identities on matrix rings // J. Algebra. 1993. V.164, P.90-101.

33. Szigeti J. Permanental polynomial identities on matrix rings //J. Algebra. 1994. V.165, P.389-393.

34. Swan R.G. An application of graph theory to algebra, Proc. Amer. Math. Soc. 1963. V.14, P.367-380.

35. Wilson R. On the structure of finite rings // Compozitio Math. 1973. V.26, P.79-93.

36. Wilson R. On the structure of finite rings. II // Pacific. J. Math. 1974. V.51, N1, P.317-325.

37. Олексенко A.H. Базис тождеств кольца матриц второго порядка над Z4 // Известия Алтайского гос. ун-та. 1999, N1, С.17-19.

38. Олексенко А.Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над Zp2 // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т.6, N2, С.1-31.

39. Олексенко А.Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над GR(p2,n) // Деп. в ВИНИТИ, 28.02.00, N505-B00, С.1-32.

40. Олексенко А.Н. О решетке подмногообразий многообразия varM2{GR(p2, п)) // Материалы третьей краевой конференции по математике. Барнаул, 2000, С. 6.

41. Олексенко А.Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над GR(p2,n) // Четвертый Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике "ИНПРИМ-2000": Тезисы докладов. Новосибирск, 2000. С.112.

42. Олексенко А.Н. О решетке многообразия var M2(GR(p2 ,п)). Омск: Омский гос. ун-т. препринт №17, 2000.

43. Олексенко А.Н. Почти коммутативные нильпотентные индекса 4 многообразия колец // Известия Алтайского гос. ун-та. 2001, N1 (принята в печать)