Внутренние категории и теория Галуа коммутативных колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

"АНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИП ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На праввх рукописи ДШЕЛНДЗЕ Георгий Зурзбозич

ВНУТРЕННИЕ КАТЕГОРИИ И ТЕОРИЯ ГлЛУА

конмутатизних колец

01.01.06 - пахе этическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора днзико-иатемагических наук

Санкт-Петербург1992

Рабита выполнена и отделе алгебры Тбилисского математического института им.А.М.Размадзе АН Грузии

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор БОРЕВИЧ В.И.

доктор физико-математических наук, профессор ХАРЧЕНКО В.К.

доктор физико-ыэтсматических наук, профессор ЯНЧЕВСКИ/ В Л.

Ведущая организация : Московский государственный университет им.М.В Ломоносова

Защита состоится " З.Ц " (ЛЮН-£\ 1992 г. в ■( \ часов на заседании специализированного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета; 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, Санкт-Петербургский государственный университет, ыэтематико-иеханический факультет.

Защита будет проводить по адресу: 1910П, Санкт-Петербург, Набережная реки Фонтанки, 27.

С диссертацией мокно ознакомиться в научной библиотеке иы.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан М О _ 1992 г.

Ученый секретарь совета

С.М.АНАНШС1ШЙ

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвяцсна теории Галуа коммутативных колец.

Под теорией Галуа для тех или иных математических структур обычно подразумевается следующее: выделяется класс расширений, называемых расширениями Галуа, а дается описание заиыканиЛ,возникающих из стандартного соответствия Галуа мевду подрасиирени-ями расширения Галуа и подгруппами группы его автоморфизмов.

Теория Галуа коыздтатизных колец, возникшая и 60-х годах в работах Аусле.чд^ра и Голдыенэ, Чейза , Харриоона и Розенберга и других, гораздо блвьо к классической теории Галуа полей: в нео входят и такие вопросы, как когоыологии Галуа, теория Куимсра и т.п. 3 настоящее врет теория Галуа коммутативных колец ивлногся одним из важных направлений на рубеке комвдтатиьной алгебры и абстрактной алгебраической геоиз.риа ( тоории эталъных накрытий). В последние годы иеазшими математиками И.Кмрстен и К.Грийтхзрои получены интересные применения в теории полей и теории чисел.

Основный вопросом теории Галуа коицутатизных колец по-видимо-ыу, следует считать вопрос описания и, в частных случаях, вычислена! функтора расширений Галуа Эа1СЯ,-) кольца -последнее зключает в частности обратную задачу теории Галуа для кольца к .

В связи с определенней функтора ЭрКЕ.,-) возникает проблема о том, что следует считать его областью определения, т.е.что считать группой Галуа. Существует несколько возможностей,из которых отметим две:

1. Группами Галуа служат конечные ( или проконечные) группы, а расширения Галуа - это расширения Галуа в смысле Чейзе-Харрисо-на-Розенборга С соответственно направленные прямые пределы таковых) .

2. Группами Галуа служат групповые объекты категории, двойственной к категории коммутативных (^.-алгебр ("Алгебры Хопфэ с антиподом"), а расширения Аелуа - это объекты Галуа в смысле Чейза-Сзидлера в той ьс категории.

В первом случае ситуация недостаточно общая, например, с точки зрения нувд теории сепзрабелъных полиномов над кольцами, имеющими нетривиальные идемготенты ( "гру ппой Галуа" полинома р над кольцом Я ** естественно считать, пару, состоящую

из "групп Галуа" соответствующих полиномов р, и ). Во втором случае - наоборот слишком общая, ибо не представляется возможным получить достаточно простого описания функтора 6«1Сй,-).

В связи с этим представляется естественным рассмотреть промежуточную ситу8Цию,когда группами Галуа служат так называемые проконечные семейства групп, т.е. топологические семейства про-конечных групп, в которых пространством индексов еду кнг проко-нечное пространство, соответствующее ( по двойственности Стоуна) булевой алгебре идемпотентов основного кольца Р..

Цель работы. Целью работы является:

1. Решение ряда вопросов теории Галуа комвдтзтивных колец: когомологическое описание функтора (З-а^Й.,-) расширений Галуа коммутативного кольца Й. с проконечнши семействами групп Галуа, построение теории Галуа сепарабельных полиномое (разрешимость в радикалах при дополнительных ограничениях), построение обобщенной теории Куимера для расширений с нормальным базисом.

2. Построение теории Галуа в категориях, доказывающей естественность теории Галуа коммутативных юлеч, и дающей новый метод построения теории Галуа для других математических объектов.

Методы исследования. Кроме теории булевой локализации Пирса и других методов, обычно применяемы в теории пГалув коммутативных колец, использованы аппараты теории внутренних категорий, теории монад и категорной гомологической алгебры.

Научная новизна. Все важнейшие результаты диссертации являются новыми „

В диссертации развит аппарат гомологической алгебра низших размерностей С Н' и Е*!1 ) для внутренних категорий и внутренних модулей, примененный в описании функтора расширений Галуа в терминах одномерных неабелевых когомологий фундаментального группоида основного кольца, и построений обобщенной теории Кум-мера для расширений с нормальным базисом. Эти описания были известны раньше только в весьма частных случаях. Кзк следствие получено новое описание кольца разложения сз.гарэбельного полинома. При дополнительных ограничениях получен критерий разрешимости

сепьрзбель:шх по^инокоз в радикалах, обобцаю^нЯ класспчесий резулы-ат для полей.

Kpout того, построена теория Гэлуа в категориях, которая в случае ном.утативнцх ьолзц дьет теореиу Мэгида, известную как сац&я обадя ^ор!.:а фундамента л*ной теоремы теории Галуа ( коммутативных колец). Геи свмиа уст&новлзно, что эта георсио un.er öl:ii- доказана чисто катете рпо, т.е. без применен:;)! сложной техник* проективных модулей и теор.гл пучкоч лад проконич-ныыз пространствами, которые тьм о Очно применяются. Установлено такье, что те с рил центрьльк-.х расширений групп и ди^Ьорен-циальньк теория Гелув могут быть получени ::ак чьитныЙ сличал.

Практическая ч тсорегичесхеп ценность., Диссертационная рэботь ногат теоретически ¿а ранге р. Ее результаты могут быть 1;спол1 /iO;;C(iu в обратно.,. задаче reoр;::т Галуа кошт/таги„яих колец и для построения теории Галуа других, мате магически.; объектов.

А:;'о'а•:•.::•'■ габоты. Результаты диссертации докладывались на алгебраических сеыи ¡арах-ТСилиссгого _1Г1теиэтччс2М5ЯЗ"ГЛЖ'а"ь туте и, университетов Носкаи, Ссн::т-Петербу рга, Минска, Новоси-бк»Спа, Торонто, Халяве не з, Чикаго, Мидзна Бяло ¿в ль-

да, Бр.-аеыа, Xare.ia, Орьнк'¡урта, Хпьхона, Сиднея, Сингапура и Будапешта, a jaiue hü Bceoo»sa.jx и »скд;народа.т ьонфе реацаих (ЛенилгруЯ 196Ï, Ukhc.k 1Ч8о, Кишинев 1^85, ЛуО'ровник 1985s Триест i486, ;»bi)OB 19Ь7,.Лёзен 198с, Беку 198?. Берлин 1588, Прага i%6, Пределе Бангор I9E9, Новосибирск 1589, Коио

1^0, йонреаль 1991).

П; Зллкации. По Тиме дисеертпц :/. автором опубликовано I? работ, список когор п;иао^агся в конце авторе [«para.

Об: eu работы. Диссертация состоит из введения,7 ïpex глав (с öS* 1-3, 4-.', 8-II) и сшеаа литературы. Полный объем гацаа занимает 290 страниц ?.а™иаописного текста. ../n'^v,

CGjlLF-:-AHl" Ч РАБОТЫ

Во зв'.денг.:'. дьотся ьбзор известных результатов по вопросам irtO-:'n Галуа комщтвтизсых колец, рассматриваемый в диссертации,

- б -

ГЛАВА I. Boni QCM гомологической алгебры в общих категориях.

§ I. Сзготлчгы и 4)У1!кгощ Ext ii нзалл1Ь'И?н:1х категориях.

В начало параграфа приводится определе.и'.е сателлитов относительно связок и сведение их вычисления к вычислению некоторых пределов. После этого доказано, что , в достаточно общей ситуации, внчисчеш'у предела функтора сводится к частниц, случаям,когда областью определения функтора служит либо моноид, либо упорядоченное множество. Отсюда получаются некоторые формулы для вычисления сателлитов относительно собственных классов мономорфизмов С или эпиморфизмов) в неаддитивнь:х категориях. В качестве призеров рассматриваются фуькторы Ext для групп,моноидов и колец; установлено, что эха функторы для групп и шкоидов тривиальны, для a tie левых моноидов, сводятся, в достаточно общей ситуации, к случаю абелевкх групп, е для колец это совершенно новые функторы, которые удается вычислить лишь в простейших случаях.

§ 2. Когомологии и расширения внутренних моделей.

Основной целью этого параграфа является обобщение классического изоморфизма Opc.v.t « на случаи внутренних модулей над внутренней категорией с в абстрактной категории X . Этот изоморфизм получается как изоморфизм сателлитов в смысле t I,вытекающий из эквивалентности соответствующих связок. Отметим,что роль Н1 играет H'Cs^liii) ,где q -коноид в Х~ и й -е.-иоду ль; сдвиг размерности связан с~нэличием дополнительной структуры, ввиду чего НПС.£ определяются как когомологии

бикомплекса - это определение, о гакье связь с расширениями являются новыми и в случае модулей в обычном смысле. В качестве следствия доказывается, что категория внутренних модулей имеет естественную структуру квазиабелевой ^-категории в смысле-Ионеди, т.е. допускает естественную точную теорию сателлитов, что полезно в теории Галув коыцутативных колец ( глава П), где в качестве X берется категория топологических пространству в качестве с -фундаментальный группоид основного кольца.

§ 3. Дополнение: об одномерных неабелевих когошлогиях внутренних категорий.

Этот параграф носит чисто вспомогательный характер: обсуждаются связи меаду торсораыи и объектами Галуа в кьтего-

риях, что позволяет описывать последние с поиоцью одномерных неабелезых когоиологп", и на основе этого отроится никоторая "теория разложения" объектов Галуа, которая пике будет использована для построения колец разложения сопа^'больных полиномов.

ГЛАВА П. Вопроси теории Галуа коэдташпних колец.

§. 4. Расаирспия Галуа коццугативних колец с помоцъю проко-нечн:.:х и.мэ'ютв групп.

Пусть (2. -коммутативное кольцо ( с единицей) и 3&00-его булев спектр. Проконечное сеипЛство & групп над Я это группа, в категории проконечних топологических пространств над Э£СК) » г-ь» сошйство проконечних групп | * 6 с лроконечно;; топологии;; на их непериоскащемс'я объединении, согласованной с топологиями на слоях <3-х 11 бази ЗёС^) обычным образец. Согласно теории булево/, локализации Пирса кольцу й. соответствует пучок Л. связных С 1-е. не иигкцих нетривиальных ндемпотептов) колед над 9£(Д") » и -о«ло гозорить о иэрфиз-аах из & в я категории топологических пространств над ЭйСЯ-) • Такие аор^лла образуют алгебру Хопда с анти-

подов з с^сле Чызз и Озидлера - объекты Галуа над этой алгеброй Хоп;а назван;.! наш рьс^и]снипии Галуа кольца 6. с помощью про к о печного земства & . Основной результатом Ь 4 является спясаяао таких расширения с поаэщьв одноыернь'Х нс-а беле зкх ко-гоыологиЛ лндыинтьлььогс группоида кольца Я- с коэ^~;.ициен-та\а в £ (с тривиальном ди/.ствиеи). Ответим, что в случае, когда б- является постоянным се из/ст во и, т.е. имеет зад

Э£(_(0 -' 11 ГР^ПГ1Э 6- конечна, расширенна Галуа с по^цьа б -это а точности расширения Галуа в с12;сле -¿е.та-Харрисона-Р^зенбе рга с группой Галуа

§ 5. Кольца разложении сепзрзбельн-.-х полиноков.

Кольца разло'с.е^.ии сепарао'елышх полиномов строятся на основе результатов 1 3 и £ 4 сле-ую^им образои. Пусть р е -сопорабольней колодой степени п ,.и его езободное кольцо разложении; для простоты предполоьпи, что булева алгебра идеи-погенюз кольца Я. полна, и тогда фундаментальный группоид

кольца Я является »¡»конечный сешйстзоы групп над Я.

Известно, что является расширенном Галуа кольце Й. с

симметрической группок . Отсюда следует, что, по основному результату $ 4, е^' соответствует Х-конипЛ^нугреняип ¿актор = иор.лаз^ проконечних семейстз групп из в постояиьоь семей-

ство, соответствующее £„ • Разломай лгот иор^изи в композицию сиръекции и ильокци;;

\ х

- образ & вообще говоря не является постоянный ( что и справ-дизаег введена наш ироконечных семейств!), и свргекция

бр. -* & определяет - снова согласно результата § 4 -

некоторое расширение Галуа кольца с помощью прокснечкого

сешИства & . Это и есть искомое кольцо разложения.,

Основная часть параграфа посвящена ¿опросу разрешимости в радикалах. Стандартны?, в случае шлей крахерий-разриаишсть группы Гаму а - получается лишь при дополнит с явных ограничениях: п! обратьш в й. и кольцо разговения кьеег нормальный базис. В заключение дается некоторое новое описание функтора расиирз- -ний Галуа поля нулевой или "достаточно солкой" характеристики, овязаньое с кольцьш разлоьен,£яг к кратко обсуадаахся связь с теорией Кумиера и "дункгорпальньш" подходов к обратной задаче теории Галуа»

§ 6. АОолевы расширения обратимого ранга с нормальным базисом.

Дается описание таких расширений в терминах ^ушсгора обобщенное теорию Куммера для расширений с нормальным базисом. Отметим, что в случае бесконечного числа идешютьнтов ( в основном кольце) функтор берется в категории внутренних <£-модулей, где с, -фундаментальный группоид основного кольца, который здесь может быть заменен на группоид Г«луп полииоыа 1"- ( , где о - порядок группы Га;да рассматриваемых распираний. Таким образом существенно использустся копстру нция

из § 2»

§ 7. Примори и прилоуе')'.;я.

Речь идет о простейших примерах ногорые :.:огут бить получены с поиощ.» описаная ¿ункгора pecja рений Га л» а ( 3 4) и ^ункгоро ао'елолых расширены с нормальном базисо'! (§6). Первый из них показывает, что существует кольцо, не обладающее нетривиальными расширениями Гздуа в смысле ЧеИза-Харрисона-Роззнберга.но обладающее нетриииа^ьн! т ^асляренкти Галуа з смысле §' 4» Во втором Г)ке1йятср«ыс вычисления функтора Ext применяются н простейшим "нскуммеровыи" ¿.'иелевин расширениям.

ГЛАЗА lii. К теории Гадуа в общих категориях.

8. Фундаментальна?, теорема теории Галуа в категориях.

Исходя из еесылз обще Л сощатенной пгри ¿у их го роз

С х

и ^

строится теория Гаду а з (абстрактной) категории С - Под этим подраз.ушвасх'ся следусцее:

1. Вводится понятие Ц-яоризлшого объекта в категории Г. и его группоида Гздуэ - последний является внутренним грулпо-идом в X.

2. По данному I-нормальному объекту се С строится категория fjplj-(e-) объектов е С , рас гада идас)! над с относительно X , и доказывается экьиваленгноегь категорий

aaLW

5р!гС^ - X х '

где (с) -группоид Галуа объекта с . При кодло'аащем выборе сопряжения, в качестве с иокно взять расширение Галуа полей к/к -гак, что ¿¡а!^ (с) ^ Ач\СК) -грунта Галуе и Зр1х(?) • -кагегорчя, двойственная к категории конечных произведений подрасши рений расширения К/k. . в то нак X -категории шоьести ( -л г с алодуег из резугагоюз S 9 --.¡и.е). Поэтому эта зквазалонтность дагегорпИ о(.о(3|.\а«т ^ундыаонголънуо

юорепу теории Галуа в форш Гротсндика.

$> 9. Ко г.ыа-тьнге расширения коммутативных колец.

Насколько естественна теория Галуэ коммутативных колец ? Наиболее общие объект з это;; теор'-н;, для которых доказывается фундаментальная теорема теории Га.30, называются нормальными покомпонентно локально строго сепорабельныыи алгебрами и определяйте^ достаточно слокно. В данном параграфе доказано, что это в точности те объекты, которые получаются ;;з теории Галуа в категориях (развитой в 5} 3 ) примененной к естественному сопряжению между кошугатизн; ма кольцам;: и проконечныш пространствами ( эквивалентно булсьыиц кольцами).

§ 10. Центральные расширения цультиоператорных групп.

Доказано, что центральные расширения мультиоиераторних групп в сшоли А.&рилихв (и, в частности, цен^альные рьеши-реш.л групп и колец в обычном смысле) язляагся частным случаем нормальных, объектов в категориях в смысле & 8. Цель этого состоит в том, чтобы показать, что общие конструкции 5 3 имеют содержательные примеры, сильно отличающиеся от известных "ти-орий Галуа".

§ II. Расширения Пикзра-Вессио диХегенцпальных поле!:.

Здесь содержится ответ на вопрос,поставленный автору С .Наклейном: содержит ли теория Галуа в категориях, развитая ь £ 8, дифференциальную теории Галуа, т.е. является ли расширении Пикара-Вессиа дифференциальных полей частным случаем нормальных объектов в категориях ? Ответ оказался весьма неожиданным: пусть И = и.Сип —■> ^О -расширение Пикарэ-Ъессио и

~ (дифференциальное) подкольцо в И , порожденное- к и -тогда и (2. могут не быть

нормальными, однако таковым является некоторое промежуточное кольцо, а именно: подкольцо в И , порожденное и обратным вронскиана элементов „ Яри этом в качестве исход-

ного сопри^ения берется сопряжение иежду дифференциальными коммутативными кольщзми и коммутативными кольцами.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

I» Джанелидзе Г.З. Описание фуш тора расширений Гэлуа комцугатизного кольца //Тезисы сообщений 1У Вс-совзного симпозиума по теории колец, алгебр и модулей, Кишинев, 1480, с .33-34.

2с Джанелидзе Г.З. Когомологии пары шноидов с коэффициентами в б'лшдуле //Тезисы ХП Всесоюзной алгебраической конференции, Ленинград, 1981, ч.П, с.44.

3о Дканелидзе Г.З. Описание функтора конечных расширений .. Галуа произвольного коммутативного кольца //Сообщения АН ГССР, 1981, 1.101, ?;> I, с.17-20.

■ 4« Джанелидзе Г.З. Когомологии кате горних объектов и расши-. рения Галуа коммутативных колец. - Сообщения АН ГССР, 1981,т.102, Ш I, с.17-20.

5. Дканелидзе Г.З. Об айзлевих расширениях коммутативных колец //Сообщения АН ГССР, 1982, т.108, № 3, с.477-4Б0.

6. Джанелидзе Г.З. Вычисление расширений Кена с пошцью инъекгивных объектов и функторы, Е*^ в неаддитивных категориях //Труды Ш АН ГССР, 1982, т.70, с.42-51.

7» Дканелидзе Г.З. Когомологии пары моноидов^и гомологическая алгебра внутренних модулей //Труды 1!И АН ГССР, 1982, т.70, с.57-68.

8. Дканелидзе Г.З. Расширения Галуа коммутативных колец

с поаовдю проконечных семейств групп// Труды Ш АН ГССР, 1983, т.74, с.39-51.

9. Джанелидзе Г.З. Георема Мэгида в категориях //Сообщения АН ГССР, 1984, г.114, !й 3/, с.497-500.

10. Расширения ебелевых групп в теории Галуа коммутативных колец ,// Тезисы В. Всесоюзного симпозиума по теории групп. Москва, 1984, с.195-196".

11. Джанелидзе Г.З. Об а бе левых расширениях коммутативных колец .II //Тезисы сообщений ХУШ Всесоюзной алгебраической конференции, Кишинев, 1985, ч.1, с.166.

12. Длоиелидзе Г.З. АСолевы р&с^крз.1кя ( обратимого ранга, о нормальным Сеансом) коммутативных колец с» бесконечным числом идемпохелгов //Труды АН TJ3P, 1985, г.77, с.36-49.

13. ¿*.ы;елвдзо Г.З. Теория Гелуз сепарзбельных полиномов над коммутативным гольцом //Сб."Исследования по алгебре", Ш-'{ГУ, 1935, с .44-64.

14. Д»с.колидзе Г.З. Двойственная теории Гвлуа для культк-операторных групп //leзаем сообщен»/. X Всесоюзного силтознуна по теории групп, Гомель, 1986, с.75.

15. Дь&нелидзс Г .У. Теория Гвлуа и Центральные расоире-ния цулы»5эчс1'сгорш.х групп //Тезасы сооб^ний.ХГХ Всесоюзной етгебрэической конференции, Львов, 1987, чЛ, с.£2.

16. Д#.зне;.идзе Г.З. С-ундаиенталыхл теорема теории Гвтуа // Математичрсьий сСорк^к, 1968, i 136 (176)', lu 3 (7), с.ЗЫ-376.

17. Лкензлидзе Г.З. Ди^рерзнциальнея теория Галуо с точки зрения ~eopi:«î монад //Теэиси докладов Иеьду народно?. алгебраической конференции,посвященной памяти A.U.Цальцр~г, Нмо-сисмрск, 1989, ч.: а: геб^кческея геометрия, алгебраические методы, прикладная и компьютерная алгебра, о.56.