Формы алгебр Ли картановского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.2

§1. Формы классических алгебр Ли .2

§2. Формы модулярных алгебр Ли картановского типа . . 6

§3. Содержание диссертации . . .13

§4. Общие соглашения.17

Глава I. Алгебры Ли картановского типа .18

§1. Пары Ли-Картана и модули коэффициентов де Рама . 18

§2. Дифференциальные формы . 20

§3. Алгебры Ли специального типа.25

§4. Гамильтоновы алгебры Ли .27

§5. Контактные алгебры Ли.,.30

§6. Расширение скаляров .37

Глава II. Модулярная теория .40

§1. КоиндуцироваНные модули и теорема импримитивности' 40

§2. Характеризация дифференциально простых коммутативных . алгебр. . .44

§3. Модулярные пары Ли-Картана .48

§4. Вычисление когомологий де Рама . . . . . . . . 52

§5. Модулярные алгебры Ли картановского типа . . 55

§6. Фильтрации и градуировки.57

§7. Вложение в алгебру Ли картановского типа.64

Глава III. Характеризация выделенных подалгебр.70

§0. Таблицы исключений.70

§1. Инвариантность подалгебры £>о в случае поля скаляров 70

§2. Представимые Ii-функторы.76

§3. Функтор инфинитезимальных деформаций подалгебры . 80

§4. Критерий жесткости подалгебры .82

§5. Формулировки результатов для алгебр Ли картановского типа.90

§6. Вычисление группы 1-коциклов .■.,.91

§7. Инъективность отображения препятствий.97

122

Глава IV. Изоморфизмы и формы. . 101

§1. Стандартные изоморфизмы.101

§2. Теорема об изоморфизмах для фильтрованных алгебр . 102

§3. Метод строго плоского спуска .107

§4. Описание форм алгебр Ли картановского типа . 108

§5. Теорема об изоморфизмах для форм.112

§6. Контрпримеры в характеристиках 2, .113

Итогом диссертации является описание форм алгебр Ли карта-новского типа над полями характеристики р > 0. Напомним, что если А — произвольная алгебра над полем к и к' С к — подполе, то ^'-подалгебра А' С А называется &'-формой алгебры А, если каноническое линейное отображение к А' —А биективно. Задача об описании форм представляет особый интерес для простых алгебр. Действительно, в процессе классификации простых алгебр приходится работать над алгебраически замкнутым полем, так как это позволяет использовать весовые разложение алгебры относительно линейных операторов. Распространение классификации на незамкнутые поля требует нахождения форм простых алгебр над алгебраически замкнутым полем.

Классификация простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем в настоящее время завершена только при р > 7 [73]. В соответствии с гипотезой Кострикина-Шафаревича единственными простыми алгебрами Ли при р > 7 являются классические алгебры и алгебры картановского типа.

В этом введении дается обзор предшествовавших результатов о формах алгебр Ли классических и картановских типов, а также обсуждаются различные методы спуска.

§1. Формы классических алгебр Ли

1.1. Спуск Галуа

Наиболее известен метод спуска в случае, когда к/к' — конечное расширение Галуа. Пусть О — Са1 (к/к') — группа Галуа и А — алгебра над к. Если а 6 то к'-линейная биекция (р : А —А называется <т-полулинейным автоморфизмом алгебры А, если ср(аЬ) = р(а)<р(Ь) и (¿>(.Аа) = <т(А )<р(а) для всех а,Ь 6 А, А Е к. Обозначим через О-АиХА группу всех сг-полулинейных автоморфизмов алгебры А для различных о 6 С. Гомоморфизм групп р : О -С-г-Аи^ А называется предкоциклом, если р(а) является сг-полулинейным для каждого а Е С. Тогда к'-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с пред-коциклами —> О-Ахй А. При этом к'-форме А' соответствует пред-коцикл /э, заданный по правилу р(а) = а ® 1сЦ/ при отождествлении А = к А'. В обратную сторону, предкоциклу р соответствует ¿/-форма

А' = Ap(G) = {а е А | р(<т)а = а для всех a G G}.

Заметим, что группа Aut А всех к-линейных автоморфизмов алгебры А есть нормальный делитель группы G-AutA. В случае, когда зафиксирована некоторая /г'-форма Aq, суперпозиция соответствующего ей предкоцикла ро : G —У G-Aut А и присоединенного представления группы G-Aut А в Aut А задает действие группы G автоморфизмами группы Aut А. В этом случае к'-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с коциклами / ': G —Aut А, цод которыми понимаются отображения, удовлетворяющие тождеству

Дат) = Да) - 7(г), а,

Предкоциклу р соответствует коцикл Да) = р{о) pq{<j)~1 , а 6 G. Сопряженность fc'-форм относительно действия группы автоморфизмов Aut А соответствует некоторому отношению эквивалентности на множестве коциклов, причем классы эквивалентности образуют множество Hl(G, Aut А) классов когомологий с некоммутативными коэффициентами.

Часто оказывается, что формы одной алгебры определяют при помощи некоторой конструкции формы другой алгебры. Примером может служить соответствие между формами заданной алгебры А и формами алгебры Ли L = Der А всех fc-линейных дифференцирований алгебры А. Ясно, что с каждой /г'-формой А' алгебры А связывается ¿/-форма I/ = Der А' алгебры Ли L.

Предложение. Если канонический гомоморфизм групп Aut А —У Aut L биективен и алгебра А обладает хотя бы одной к'-формой, то соответствие между к'-формами алгебр А и L взаимно однозначно.

Заметим, что наличие fc'-формы алгебры А существенно, так как без этого нельзя установить биективность гомоморфизма G-Aut А —>

G-Aut L.

В сформулированном предложении под А может пониматься алгебра в универсальном смысле, т. е. векторное пространство с некоторым набором полилинейных операций. При этом в Der А входят линейные операторы D на А с условием, что п

D (Цсц,., ar)) = X) Цai 5 • • • ? Dai, .,аг) г=1 для каждой полилинейной операции со арности г, входящей в заданную структуру алгебры, и . ,аг € А.

Спуск Галуа обобщается и на случай бесконечного расширения Галуа в предположении, что А конечномерна. В этом случае группа G снабжается топологией Крулля, а группа G-Aut А — топологией, в которой базис окрестностей единичного элемента образуют множества, состоящие из полулинейных автоморфизмов, действующих тождественно на некотором конечном подмножестве из А (индуцированная топология на Аг^А дискретна). Тогда /г'-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с непрерывными предкоциклами О-АиЬ А (а также с непрерывными коциклами

С? —Агй, А при фиксации &'-формы).

1.2. Случай поля характеристики нуль

Описание форм алгебр Ли типов Ап, Вп, Сп, Е)п за исключением 1)4 получено в [23, 24, 25, 41, 42]. Для типа О? это сделано в [26], а для типа — в [76, 77].

Теорема. Формы простых алгебр Ли типов Ап, Вп, Сп, 1Эп, Р4, (?2 исключением £>4 находятся во взаимно однозначном соответствии с центральными простыми конечномерными алгебрами из следующих классов: для типов А, В, С, О — ассоциативные алгебры с инволюцией, для типа С?2 — неассоциативные альтернативные алгебры, для типа -£4 — исключительные йордановы алгебры.

Соответствие между формами задается конструкцией из п° 1.1. Каждый раз применимо сформулированное там предложение, поскольку любая конечномерная центральная простая алгебра Ли расщепляется над некоторым конечным расширением Галуа.

Ассоциативная алгебра с инволюцией есть пара (А, 7), где А — ассоциативная алгебра, а <7 — ее инволютивный антиавтоморфизм. Если алгебра (А, <7) — центральная простая, то А сепарабельна, и любое ее дифференцирование является внутренним. Кроме того, дифференцирование И — ада, где а £ А, коммутирует с J тогда и только тогда, когда </(а) = —а. Подпространство д = {а € А | J(a) = —а} есть лиевская подалгебра в А и д = [д, д] ф (д П С), где С — центр алгебры А. Отсюда

Бег (А, <7) = д/д П С = [д, д].

Это дает более традиционное описание форм алгебр Ли типов Ап-Бп (см. [28]).

В случае типов £)4, Ее, Е7, Е% отсутствует столь простое описание форм. Различные классы форм в терминах алгебр более сложной структуры были построены в [1, 3, 16, 17].

1.3. Модулярный случай

Теорема из п° 1.2 остается верной и для полей характеристики р > 0 при определенных ограничениях на р. Причина, по которой это обобщение больших трудностей не вызывает, усматривается из следующих ниже двух лемм (приведены наброски доказательств, поскольку автору не известны точные ссылки). Заметим, что для любого поля к характеристики р и любой системы корней Ф определена ^-алгебра Ли к 0Ж5 гДе Ш — порядок Шевалле комплексной полупростой алгебры Ли с системой корней Ф (см. [10]). Получаемые таким образом ^-алгебры Ли будем называть ^-формами Шевалле. Предположим, что д — произвольная &-форма некоторой классической алгебры Ли над алгебраическим замыканием к поля к.

Лемма. Если д содержит расщепляемую подалгебру Картана то д — форма Шевалле.

Доказательство. Подалгебра {) = к § является картановской в д = к д. Так как все подалгебры Картана в д сопряжены относительно группы автоморфизмов, существует система Шевалле (Ха)а£ф (см. [10]), состоящая из корневых элементов относительно {). При этом да = кХа является корневым пространством алгебры 0 относительно I) для каждого а £ Ф. Так как Ц расщепляема, то да = где да — некоторое корневое пространство алгебры д относительно (). Пусть ок1,.,ап — базис системы корней Ф. Используя тор автоморфизмов алгебры д, сохраняющий корневые подпространства да, можно подправить систему Шевалле таким образом, чтобы £ Для любого простого корня а*. .Для каждого I найдется такое 0 ф а е к, что € Тогда с^Я^ = [X

ОТ. 5 аХ а; I и = [с^На;, Хщ] тоже лежат в д для любого Отсюда С{ € к) т. е. € д. Тогда Ха € д для любого ск £ Ф, и д = 1) © (ФаеФ кХ а) — форма Шевалле.

Лемма. Существует конечное расширение Галуа к]к такое, что к-алгебра Ли к ®& д содержит расщепляемую подалгебру Картана.

Доказательство. Пусть § С д — подалгебра Картана. Тогда () = к § — подалгебра Картана в д. Так как все подалгебры Картана в д сопряжены относительно группы автоморфизмов, то 1) — тор. Ограниченная универсальная обертывающая алгебра м({)) = к<^>ки(Ь) изоморфна прямому произведению N = йти(()) экземпляров поля к. Значит, существует ровно N гомоморфизмов —> к, а тогда и (I}) есть прямое произведение к\ х • • • х кт некоторого числа конечных сепарабельных расширений поля к. Возьмем в качестве к конечное расширение Галуа поля в которое вкладывается каждое из полей к{. Тогда к м(()) есть прямое произведение N экземпляров поля к, а значит любое р-представление подалгебры Картана к Ь С к д есть прямая сумма одномерных представлений.

Таким образом, нахождение форм классических алгебр Ли сводится к случаю конечного расширения Галуа. Поскольку группы автоморфизмов при р > 3 устроены также, как и в характеристике нуль (см. [50]), то и результаты о формах сохраняются.

§2. Формы модолярных алгебр Ли картановского типа

2.1. Первые исследования

Пусть к — поле характеристики р > 0. Первый пример простой неклассической конечномерной алгебры Ли, приписываемый Вит-ту, был обобщен Джекобсоном, который стал изучать алгебру Ли Wn = Derü?n всех А;-линейных дифференцирований коммутативной ассоциативной ^-алгебры Вп = к[х х,.,жп], х\ — 0 [27]. Джекобсон доказал, что Aut Wn = Aut Вп при р > 3. Это позволяет применить предложение из п° 1.1 в случае конечного расширения Галуа к/к'. Формы алгебры Вп легко находятся для любого подполя к' С к. Ими являются fc'-алгебры В1 = fc'[yx,., yn]> Vi — olí-, Для различных наборов элементов ai,. ,ап Е к'. Естественно назвать такую форму расщепляемой, если определяющие соотношения в подходящей системе образующих ух,. ,уп отвечают параметрам «х = • • • = ап = 0. Заметим, что заданная fc'-форма В' расщепляется при переходе к надполю к" D к' тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм fc'-алгебр В' —> к". Поэтому минимальное такое надполе к" является чисто несепарабельным расширением поля к'. В случае если к/к' сепарабельно, алгебра Вп, а значит и Wn, не имеют нетривиальных форм. Таким образом, принципиальное отличие задачи об описании форм алгебры Wn (а также и других алгебр Ли картановского типа) по сравнению со случаем классических алгебр Ли состоит в необходимости рассматривать несепарабельные расширения полей.

Джекобсон разработал метод спуска для случая, когда к/к' конечно и чисто несепарабельно экспоненты 1 [27, 29]. Пусть D = Der^ к — алгебра Ли всех ¿/-линейных дифференцирований поля к. Если 8 G 2), то ¿-полулинейным дифференцированием алгебры А назовем такой fc'-линейный оператор D : А —>• А, что

D(ab) = D(a)b + aD(b) и D(\a) = ¿(A)a + A D(a) для всех a,b G А, Хек. Обозначим через £>-Der А совокупность всех í-полулинейных дифференцирований алгебры А для различных ¿ Е D. Ясно, что £>-Der А есть р-алгебра Ли над полем к'. Гомоморфизм р-алгебр Ли р : D —У £>-Der А называется предкоциклом, если р(8) является ¿-полулинейным и р(\8) = Ар{8) для всех 8 Е £>, А € к. Как показал Джекобсон, fc'-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с предкоциклами Т) —£>-Der А. При этом fc'-форме А' соответствует предкоцикл р, заданный по правилу р(5) = (5 ® icU' при отождествлении А = к <8>&/ А'. В обратную сторону, предкоциклу р соответствует fc'-форма

А' = Арт = {а<ЕА | р(6)а = 0 для всех ¿еЭ}.

Пусть, далее, L = Der А. Если DerL = L и если А имеет хотя бы одну /г'-форму, то из приведенного выше описания форм легко вывести, что соответствие между /г'-формами алгебр А и L взаимно однозначно. Джекобсон доказал, что все дифференцирования алгебры Ли Wn внутренние и тем самым получил описание ее форм и для чисто несепарабельного расширения экспоненты 1.

При попытке работать с произвольным расширением полей к/к', используя башню сепарабельных расширений и чисто несепарабель-ных экспоненты 1, возникает существенный момент, связанный с условием о существовании ¿/-форм для форм алгебры А над промежуточными подполями. Максимум, что удается выжать из описанной выше техники спуска — это

Предложение. Предположим, что А конечномерна, к есть алгебраическое замыкание поля к' и выполнены следующие условия: канонический гомоморфизм групп Aut А —> Aut L биективен, канонический гомоморфизм р-алгебр JIu Der А —»• DerL биективен, для любой к"-формы А" алгебры А, где к' С к" С к, существует се-парабелъное расширение к/к" такое, что k-алгебра кА" обладает к'-формой.

Тогда соответствие между к'-формами алгебр А и L взаимно однозначно.

Приведенный результат есть специальный случай теоремы 7 из [29] (Джекобсон рассматривал более общую ситуацию соответствия между классами форм на двух векторных пространствах). Предложение, увы, ничего не дает для алгебр Ли картановского типа.

1.2. Формы простых р-алгебр Ли картановского типа

Высказанная Джекобсоном гипотеза о формах алгебры Wn была доказана Алленом и Свидлером [2]:

Теорема. Если р > 3, то любая форма алгебры Wn имеет вид Der В', где В' — некоторая форма алгебры Вп.

В этой работе был применен метод спуска, основанный на использовании алгебр Хопфа. Предположим, что [к : к'] < оо и к снабжено структурой if-модуля, где Н — алгебра Хопфа над к1, причем отображение умножения к®у к к является гомоморфизмом LT-модулей условимся, что Н действует в тензорных произведениях своих модулей посредством гомоморфизма коумножения Н —>• Н <S>k' Н). Говорят, что к/к' есть HGE (Hopf Galois extension), если подполе Н-инвариантных элементов кн совпадает с к' и [к : к'] = dim&' Н. Если к/к' есть HGE, то ¿/-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии со структурами ii-модуля на А, для которых оба отображения умножения А А А и к (£)&' А —» А являются гомоморфизмами Н-модулей.

Исследование соответствия между формами двух различных алгебр приводит к вопросу о том, когда гомоморфизм между коком-мутативными расщепляемыми алгебрами Хопфа биективен. Ответ на него может быть дан в терминах последовательностей разделенных степеней в алгебрах Хопфа [2, 3.1, 3.3]. В случае алгебры Хопфа, связанной с алгеброй А, соответствующее понятие известно под именем системы высших дифференцирований. Это такая последовательность линейных операторов Dq,D\,. , Dr на А, что

Do = idA и Di(ab) = £ Dj{a)Di4{b) з=о для всех г < г, а,Ь 6 А. Заметим, что Di является обычным дифференцированием алгебры А. Сформулируем результаты Аллена и Свидлера в следующей интерпретации:

Предложение. Пусть к' — произвольное поле, к — его алгебраическое замыкание, А — конечномерная k-алгебра и L = Der А. Предположим, что канонический гомоморфизм групп Aut А —> Aut L биективен, канонический гомоморфизм р-алгебр JIu Der А —> DerL биективен, всякий раз, когда для D € L существует система высших дифференцирований Ao,Ai,. ,АГ алгебры L, где = ad D, существует также система высших дифференцирований Dq, Di, ., Dr алгебры А той же длины г, у которой D\ — D.

Тогда соответствие между к'-формами алгебр А и L взаимно однозначно.

В случае когда А = Вп — алгебра срезанных многочленов, третье условие этого предложения выполняется, как и два предыдущих. Более точно, справедлива

Лемма [2, 3.5]. Пусть ш — максимальный идеал алгебры Вп и D £ Wn. Если Dm С tri, то D включается в бесконечную систему высших дифференцирований алгебры Вп. Если Dm <£ m, то adD не может быть включено в систему высших дифференцирований алгебры

Wn длины > р.

Формы простых р-алгебр Ли Sn\ Кп^ были описаны Серконек и Уилсоном [51]. Рассмотренная ранее модельная ситуация с некоторыми оговорками охватывает и этот случай, поскольку ¿>п, Нпу Кп представляют собой стабилизаторы дополнительных структур, заданных на Вп, и реализуются в виде алгебр Ли дифференцирований некоторых универсальных алгебр. Серконек и Уилсон работают непосредственно с системами высших дифференцирований, обходя обращение к алгебрам Хопфа. Из приведенной выше леммы они выводят ее аналог для других картановских типов (здесь требуются системы высших дифференцирований Do, D1,., Dr, правильным образом действующие на дифференциальные формы).

Теорема. При р > 3 любая к'-форма одной из алгебр Нп\ К^ изоморфна соответственно алгебре вида S(B',t)^1\ Н(В',т)^ или К(В',г)(1\ где В' — некоторая к'-форма алгебры Вп, т — дифференциальная форма на В', которая становится сопряженной со стандартной формой обвема, гамильтоновой или контактной формой на Вп при расширении скаляров и

S(B' ,г) = {De Der В' \ Dt- 0}, Н{В',т) = {De Der В' \ Dt = 0}, К{В',т) = {D е Der В' \ Dt G ß'r},

Если к' совершенно, то нетривиальных форм не возникает.

2.3. Строго плоский спуск

Этот метод, изобретенный Гротендиком [21], описывает данные спуска для строго плоского расширения коммутативных колец. В частности, в случае расширения полей k/k' никаких ограничений не накладывается. Пусть = k <g>k' к и г1, г2 : к —к— гомоморфизмы колец, отображающие к на первый и второй сомножители соответственно. Обозначим через г* и г2 — соответствующие операции расширения скаляров. Если А — алгебра над fc, то ее fc'-формы находятся во взаимно однозначном соответствии с изоморфизмами -алгебр i\A ^ г2А, удовлетворяющими уравнению предкоцикла (см. §3 гл. IV).

Всегда имеется канонический полулинейный изоморфизм i\A Щ-г2А, соответствующий перестановке сомножителей в к^2\ Но только фиксация fc'-формы Ад алгебры А позволяет отождествить i\A и г2 А при помощи

-линейного изоморфизма. В этом случае fc'-формы алгебры А определяются автоморфизмами к^-алгебры к^ ®k' Ад (а классы изоморфизма форм — по-прежнему некоторым множеством когомологий с некоммутативными коэффициентами).

Строго плоский спуск позволяет доказать, что соответствие между ¿/-формами алгебр А и L = Der А взаимно однозначно при условии, что А обладает //-формой и что гомоморфизм групп К-линейных автоморфизмов knt{K®k А) —у Aut(К ®k L) биективен для каждой коммутативной fc-алгебры К. На возможность применения этой техники для описания форм алгебры Джекобсона-Витта Wn внимание обратил Уотерхаус [79].

2.4. Общий случай

Имеется в виду описание форм алгебр Ли W(m) для произвольного набора высот m = (mi,.,mn) (см. [34]), а также алгебр Ли специального, гамильтонова и контактного типов, отвечающих произвольным формам объема, гамильтоновым и контактным формам на W(m). Все эти алгебры реализуются как алгебры Ли дифференцирований некоторой алгебры О(т), изоморфной алгебре срезанных многочленов. Решение задачи, основанное на методе строго плоского спуска, было получено Уотерхаусом [81] для типа W и независимо автором [64, 68] для всех четырех типов. По сравнению со случаем простых р-алгебр Ли следует отметить два обстоятельства:

• лемма из п° 2.2 не обобщается в нужном виде (если D G W(m) оставляет инвариантным максимальный идеал алгебры О(т), то вообще говоря 0(т) может не допускать такой бесконечной системы высших дифференцирований Do, Di,. с Di = D, что W(m) устойчива относительно индуцированной системы высших дифференцирований на DerO(m)),

• над любым бесконечным полем существуют гамильтоновы формы, не определенные над простым полем [см. 40, 53, 61] (это не позволяет ограничиться рассмотрением автоморфизмов расширенных алгебр Ли).

Пусть L С W(m) — алгебра Ли картановского типа над полем к. Ее fc'-форма £/ была названа в [64] стандартной, если 0(т) обладает /С'-инвариантной ¿/-формой. В [64] было получено полное описание стандартных форм алгебр Ли картановского типа. Проверка стандартности формы сводится к вопросу о том, будет ли соответствующий данной форме изоморфизм ^ г^С индуцироваться некоторым изоморфизмом коммутативных -алгебр г*0(т) г*0(т).

Теорема об изоморфизмах для алгебр Ли картановского типа над полем была сформулирована Кацем [30]. Существенным моментом в ее доказательстве является инвариантность выделенных максимальных подалгебр в алгебрах Ли картановского типа. Отметим, что доказательство Каца содержит пробелы [см. 30, предл. 5.2, лемма 7.4]. Их устранение основано на построенном в [55, 57] изоморфизме

О(т) !* Ноти(ь) (ЩИ), к), где () — нормализатор выделенной максимальной подалгебры £0 С£ в универсальной р-оболочке -Р(Х), «(()) — ее ограниченная универсальная обертывающая алгебра и £/(£) — универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли £>.

В [64] автор обобщил данный подход к изоморфизмам алгебр Ли картановского типа на случай кольца скаляров. Рассматриваемая в [64] ситуация включает две алгебры Ли картановского типа £ и £ над возможно разными полями к тл к характеристики р и пару кольцевых гомоморфизмов г : к —^ К, г : к —>• К. Пусть г*, г* — операции расширения скаляров и 3(К) = {а 6 К | ар = 0}. В предположении сюръективности канонического линейного отображения Р(,С) —У Н1 (Хоэ'С'/'&о), что может нарушаться только при р = 2,3, справедлива

Теорема [64, ТЬ. 9.4]. Изоморфизм К-алгебр Ли Ф : г*£ ^ г*,С индуцируется некоторым изоморфизмом К-алгебр г*0(т,к) г*0(т,к) тогда и только тогда, когда Ф отображает г*Хо + У {К) • на г*£о + 3(К) • г*£.

Из этой теоремы вытекает стандартность любой ¿/-формы алгебры Ли картановского типа в случае, когда расширение к ¡к' сепа-рабельно или чисто несепарабельно экспоненты 1. Доказательство стандартности в случае произвольного расширения полей было завершено в [68] и потребовало привлечения новых идей (см. §3 введения). .

В [81] Уотерхаус обобщил метод Ри из работы [47] для нахождения автоморфизмов алгебры Ли ]¥(т,К) = К <8)& ТУ(т) над произвольной коммутативной ^-алгеброй К. Отсюда следует, что любая к!-форма алгебры И^т) реализуется как подалгебра Ли Ш' С Бег В', замкнутая относительно структуры ^'-модуля, где В' — некоторая Аг'-форма алгебры 0(т). Таким образом, ¿/-формы алгебр И^т) для различных т образуют в точности класс алгебр Ли, который рассматривал Ри. Уотерхаус получил эти результаты при р > 2 с исключением трехмерной алгебры Ли при р = 3. Отметим, что в [54, 58] автор диссертации доказал теорему об изоморфизмах для алгебр Ли дифференцирований коммутативных колец, замкнутых относительно структуры модуля над соответствующим коммутативным кольцом. Эта теорема также применима к алгебрам Ли ТУ(ш) при р > 3.

2.5. Другие методы

Как было замечено Кузнецовым [36, сл. 3.7], описание форм алгебры Цассенхауза Цг1(т) может быть получено исходя из характери-зации алгебры О^т), найденной Размысловым [46, теор. 2]. Именно, 0\(т) отождествляется с подалгеброй линейных преобразований пространства И^х(т), являющейся линейной оболочкой операторов 8§па(аа£),1)(ааАг2)(а<1Агз), £>х,£>2,£>з € где суммирование распространяется по всем перестановкам а индексов 1,2,3. Этот метод можно было бы обобщить на произвольную алгебру И^(т), если бы удалось найти полином от некоммутирутощих переменных, который аналогичным образом восстанавливал бы 0(т) как подалгебру в ЕпсЦ И^(т).

В работе [52] был реализован еще один подход к завершению классификации форм простых алгебр Ли картановского типа в общем случае (при р > 3). Он основан на проверке необходимого и достаточного условия из теоремы автора, сформулированной в п° 2.4. Для этого используется подпространство £ = {В £ Л | Вр: £ £}. Легко видеть, что к®к£ + 3(К) ®къ = {век®къ\вр ек ®к £} для любой коммутативной /г-алгебры К. Если тх,.,тп > 1, то £ = -Со, и тем самым К (&к £о + 3(К) ®к £ определяется инвариантно по отношению к изоморфизмам алгебр Ли. Если же среди тх,. • •, тп имеются единичные параметры, то требуются дополнительные конструкции, которые в конечном итоге приводят к тому же заключению. Этот подход более элементарен, но к его недостаткам следует отнести то, что он не работает в случае простых р-алгебр Ли и не обобщается на бесконечномерные линейно компактные алгебры Ли картановского типа.

2.6. Деформации и формы

Пусть Ь — конечномерная алгебра Ли над полем к и К — коммутативная ^-алгебра. Деформацией алгебры Ли Ь с базой К называется алгебра Ли над К, которая является конечно порожденным проективным ^-модулем и специализация которой относительно заданного гомоморфизма К —У к есть Ь. Назовем К"-формой алгебры Ь такую алгебру Ли над кольцом А', которая становится изоморфной Ту'-алгебре К' Ь при расширении скаляров посредством строго плоского гомоморфизма коммутативных колец К —>• К'. Тем самым формы появляются как деформации специального вида.

Если Ь — алгебра Ли картановского типа над к, то естественно рассмотреть класс ее деформаций, которые являются алгебрами Ли картановского типа над кольцом К в смысле определений из гл. I диссертации. Это мотивирует построение теории модулярных алгебр Ли картановского типа над коммутативном кольцом, а не только полем. Методы, разработанные в диссертации, выглядят хорошо приспособленными для этой цели. В целом, задача о полном описании деформаций с произвольной базой более сложна и по-существу в таком виде и не ставилась. Наиболее продвинутые результаты получены Джумадильдаевым [12] в случае, когда Ь имеет картановскйй тип IV, а базой деформации является кольцо формальных степенных рядов.

Если группа когомологий Н2(Ь,Ь) исчерпывается классами препятствий Герстенхабера [см. 20], то любая деформация алгебры Ли Ь с произвольной базой становится формой алгебры Ь после подходящей локализации кольца К [69]. Требуемое условие на группу когомологий выполняется для алгебр Джекобсона-Витта ~\¥п. Для произвольной алгебры Ли картановского типа это уже не верно, но можно ожидать, что, производя подходящие строго плоские замены базы, можно всегда получить деформации с некоторыми специальными свойствами. Нахождение деформаций общего вида сводится тогда к строго плоскому спуску таких специальных деформаций. Попытки этого подхода намечены в [70].

§3. Содержание диссертации

Осознание конечного ответа в задаче о формах потребовало расширения класса модулярных алгебр Ли картановского типа. Первоначальное определение, данное Кострикиным и Шафаревичем [34], охватывало случай градуированных алгебр Ли. В дальнейшем Кац рассмотрел более общие дифференциальные формы с коэффициентами в пополненной алгебре разделенных степеней Оп и сопоставил им фильтрованные алгебры Ли, с которыми ассоциированы градуированные алгебры Ли картановского типа [30]. Другой подход к определению этих алгебр Ли с использованием автоморфизмов алгебры Оп, а не дифференциальных форм был предложен Уилсоном [83].

В главе I диссертации дается общее определение алгебры Ли картановского типа, основанное на понятии пары Ли-Картана. Пара Ли-Картана состоит из коммутативного кольца Я и кольца Ли IV вместе с парой согласованных модульных структур одного на другом. Алгебры Ли специального (соответственно гамильтонова) типов определяются по отношению к формам объема (соответственно гамильтоновым формам) си, принимающим значения в обратимых модулях коэффициентов де Рама Р (модуль коэффициентов де Рама —это аддитивная группа, снабженная правильным образом согласованными структурами .R-модуля и И^-модуля). Контактные алгебры Ли определяются по отношению к контактным формам, принимающим значения в обратимых 1?,-мо дулях. При этом каждый раз возникают некоторые выделенные алгебры Ли картановского типа, образующие цепочки вложенных идеалов. В главе I описываются факторы этих цепочек в терминах групп когомологий де Рама. Это обобщает известные результаты для алгебр Ли векторных полей [4, 43]. Более глубокие результаты о соответствии между идеалами алгебр Ли картановского типа и инвариантными идеалами коммутативных алгебр [59; 66, th. 9.1] в диссертацию не включены.

В §3 гл. II аксиоматически описываются те пары Ли-Картана, которым соответствуют интересующие нас конечномерные алгебры Ли картановского типа над полем к характеристики р. Отметим здесь, что RnW сами являются конечномерными /г-алгебрами. Условимся называть эти пары Ли-Картана и соответствующие им алгебры Ли картановского типа модулярными. Предположение о существовании гомоморфизма R —> к выделяет подкласс пар Ли-Картана, называемых фильтрованными. Соответствующие им алгебры Ли картановского типа снабжаются стандартными фильтрациями. Как показано в [64], алгебры Ли картановского типа, подчиненные фильтрованным парам Ли-Картана, — это в точности алгебры Ли, рассматривавшиеся Кацем [30]. В §§5,6 гл. II перечисляются первоначальные свойства модулярных алгебр Ли картановского типа. В частности, результаты главы I позволяют легко вычислить их размерности.

С точки зрения дальнейших применений главным результатом главы II является теорема 7.1. Эта теорема дает условия, при которых транзитивная подалгебра L С W вкладывается в алгебру Ли картановского типа, подчиненную фильтрованной паре Ли-Картана (R,W). Более того, модуль коэффициентов Р и дифференциальная форма и>, участвующие в определении данной алгебры Ли картановского типа, характеризуются некоторым условием универсальности. Источники теоремы 7.1 можно обнаружить в работе Каца [30, леммы 4.1 и 7.1]. Использование теоремы импримитивности (§1 гл. II) позволило дать совершенно прозрачное доказательство более сильного утверждения безо всяких ограничений на характеристику поля. Для наших целей необходима теорема импримитивности для алгебр Ли над коммутативном кольцом. В случае поля скаляров теорема импримитивности была доказана Блаттнером [6] и Кузнецовым [37]. Теорема 2.5 представляет собой второй вариант теоремы импримитивности, основанный на инвариантной характеризации дифференциально простых коммутативных алгебр (теорема 2.2).

В главе III излагается конструкция, которая позволяет восстановить коммутативную алгебру R по заданной алгебре Ли картанов-ского типа /С, подчиненной фильтрованной паре Ли-Картана (Ä, W). Эта конструкция, изобретенная в [68], является решающим звеном для получения конечных результатов. Пусть L0 — выделенная максимальная подалгебра алгебры Ли L. Назовем ii-подалгебру S С Ith = Kf&kL, где К — коммутативная fc-алгебра, инфинитезимальной деформацией подалгебры £о внутри если Ä'-модуль кС/S свободен и

5 + г {К) ■ KL = К ®к L0 + t{K) ■ KL, где с (К) — нильрадикал кольца К. Обозначим через Х(К) множество всех инфинитезимальных деформаций подалгебры £о внутри L для данной алгебры К. Если К К' — гомоморфизм коммутативных fc-алгебр, то операция расширения скаляров определяет отображение Х(К) —> Х(К'). Тем самым 3£ становится функтором из категории коммутативных fc-алгебр в категорию множеств. Теорема 5.1 гл. III может быть сформулирована в следующем виде:

Теорема. Функтор ЗС представим k-алгеброй R, т. е. инфинитези-мальные деформации S С К <8>fc £ подалгебры Lq внутри Я находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с гомоморфизмами к-алгебр R К.

В действительности, теорема 4.4 гл. III дает заключение такого вида для произвольной транзитивной подалгебры Я <ZW при определенных предположениях о группах когомологий Л1 (iLо> и H2{Lо, L/Lo). В §§6,7 эти условия проверяются для алгебр Ли кар-тановского типа (полное описание 2-ой группы когомологий представляет собой намного более трудоемкую задачу даже для типа W [14]). При р > 3 справедливо еще более сильное утверждение: схема подалгебр коразмерности п в £>, где п — codim^ £о> представима ^-алгеброй R (теорема 5.2 гл. III). В §1 гл. III приводится инвариантная характеризация подалгебры Со С «С, когда скалярами является основное поле. Новизна этого результата состоит в использовании инвариантного множества 91(£) и в тщательном исследовании случаев малых характеристик.

В главе IV доказываются результаты об изоморфизмах и формах. Как уже было объяснено, алгебра Ли L картановского типа определяется по отношению к набору данных R, W,P, cj. Пусть £ — вторая алгебра Ли картановского типа, определенная по отношению к аналогичной четверке R,W,P,u>. Изоморфизм алгебр Ли L ^ £ называется стандартным, если он, грубо говоря, индуцирован тройкой изоморфизмов R ^ -R, W ^ W, Р^Рс условием, что каждая алгебраическая операция в одном наборе соответствует аналогичной one

-16 рации в другом, а ей соответствует со. Понятие стандартности имеет смысл и для изоморфизмов алгебр Ли над коммутативным кольцом, получаемых из алгебр Ли картановского типа над полем при расширении скаляров. Предположим, что £ С \¥(хп,к) и £ С И^ш, к) —-две алгебры Ли картановского типа над полями кик соответственно и г : к —> К, г : к —»■ К — кольцевые гомоморфизмы. Теорема 2.2 утверждает, что любой изоморфизм К-алгебр Ли г*£ ^ г*Х стандартен. Наконец, строго плоский спуск приводит к окончательным результатам:

Теорема 4.2. Любая форма модулярной алгебры Ли картановского типа сама является модулярной алгеброй Ли картановского типа.

Теорема 5.1. Любой изоморфизм между модулярными алгебрами Ли картановского типа стандартен.

В формулировках ключевых теорем было опущено упоминание о характеристике поля. Все результаты верны при р > 3 без ограничений. Если р — 2,3, то возникают исключения, таблицы которых приведены в §0 гл. III. Некоторые контрпримеры рассматриваются в §6 гл. IV.

Отметим, что в [68] вся теория излагается также и для бесконечномерных линейно компактных алгебр Ли картановского типа, что требует технических усложнений. В случае поля характеристики нуль формы линейно компактных алгебр Ли картановского типа были найдены Рудаковым [49] (здесь работает спуск Галуа).

В случае совершенного основного поля имеется параметризация модулярных алгебр Ли картановского типа. Она является следствием классификации дифференциальных форм. Классификация форм объема была получена Тюриным [78] и Уилсоном [84]. Окончательные результаты для гамильтоновых и контактных форм принадлежат автору диссертации. [53, 61].

- 17

§4. Общие соглашения

Термины "коммутативное кольцо" и "коммутативная алгебра" всегда предполагают ассоциативность и наличие единичного элемента. Пусть К — некоторое коммутативное кольцо и Е — коммутативная /^-алгебра. Типичная ситуация, с которой мы будем иметь дело, представляет собой расширение объектов, определенных над кольцом К, до объектов, определенных над Е. Условимся обозначать через еУ — Е ®кУ расширение А'-модул'я V и через е^Р = ® У еУ —> еУ — расширение гомоморфизма А'-модулей <р : V —У V'. Если нужно указать гомоморфизм колец у : К —> Е, который превращает кольцо Е в А'-алгебру, будем писать 7*V вместо ¿У и 7*9? вместо зр-Аналогичные обозначения используются для объектов более сложной структуры.

Если Ь — алгебра Ли над К, то через и(Ь) обозначается ее универсальная обертывающая алгебра. В предположении, что К — коммутативная алгебра над простым конечным полем из р элементов, будем обозначать р-подалгебру Ли в II(Ь), порожденную образом через Р(Ь). Будем называть Р(Ь) универсальной р-оболочкой алгебры Ли Ь. Нильрадикал кольца К обозначается через ъ(К), а идеал кольца К, состоящий из его элементов А таких, что Ар = 0, — через

Начиная с главы II, к обозначает поле характеристики р.

1. H.P. Allen, Jordan algebras and Lie algebras of type D4, J. Algebra 5 (1967) 250-265.

2. H.P. Allen, M.E. Sweedler, A theory of linear descent based upon Hopf algebraic techniques, J. Algebra 12 (1969) 242-294.

3. B.N. Allison, Tensor products of composition algebras, Albert forms and some exceptional simple Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 306 (1988) 667-695.

4. A. Aves, A. Lichnerovicz, A. Diaz-Miranda, Sur l'algèbre des automorphismes infinitésimaux d'une variété symplectique, J. DifF. Geom. 9 (1974) 1-40.

5. G.M. Benkart et al., Isomorphism classes of Hamiltonian Lie algebras, Lect. Notes Math. 1373 (1989) 42-57.

6. R.J. Blattner, Induced and produced representations of Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 144 (1969) 457-474.

7. R.E. Block, Determination of the differentiably simple rings with a minimal ideal, Ann. Math. (2) 90 (1969) 433-459.

8. H. Бурбаки, Алгебра, модули, кольца, формы, Наука, Москва, 1966.

9. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, Мир, Москва, 1971.

10. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, гл. VII, VIII, Мир, Москва, 1978.

11. M. Demazure, P. Gabriel, Groupes Algébriques I, Masson, Paris, 1970.

12. A.C. Джумадильдаев, Деформации алгебр Ли Wn(m), Матем. Сб. 180 (1989) 168-186.

13. A.C. Джумадильдаев, Когомологии срезанных коиндуцированных представлений алгебр Ли положительной характеристики, Матем. Сб. 180 (1989) 456-468.

14. А.С. Джумадильдаев, У.У. Умирбаев, Нерасщепляемые расширения общей алгебры Ли картановского типа W2(m), Матем. Сб. 186 №4 (1995) 61-88.

15. R. Farnsteiner, H. Strade, Shapiro's lemma and its consequences in the coho-mology theory of modular Lie algebras, Math. Z. 206 (1991) 153-168.

16. J.C. Ferrar, Lie algebras of type J. Algebra 13 (1969) 57-72.

17. J.C. Ferrar, Lie algebras of type Ев, II, J. Algebra 52 (1978) 201-209.

18. P. Gabriel, Etude infinitesimal des schémas en groupes, Expose VIIb, in Schémas en Groupes I, Lect. Notes Mathematics, Vol. 151, Springer, Berlin, 1970.

19. M. Gerstenhaber, On the deformations of rings and algebras, Ann. Math. 79 (1964) 59-103.

20. M. Gerstenhaber, On the deformations of rings and algebras II, Ann. Math. 84 (1966) 1-19.

21. A. Grothendieck, Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique, I, in Sém. Bourbaki, no. 190, 1960.

22. J. Herz, Pseudo-algèbre de Lie, Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 236 (1953) 1935-1937.

23. N. Jacobson, A class of normal simple Lie algebras of characteristic zero, Ann. Math. 38 (1937) 508-517.

24. N. Jacobson, Simple Lie algebras of type A, Ann. Math. 39 (1938) 181-188.

25. N. Jacobson, Simple Lie algebras over a field of characteristic zero, Duke Math. J. 4 (1938) 634-551.

26. N. Jacobson, Cayley numbers and simple Lie algebras of type G. Duke Math. J. 5 (1939) 775-783.

27. N. Jacobson, Classes of restricted Lie algebras of characteristic p II, Duke Math. J. 10 (1943) 107-121.

28. N. Jacobson, Lie Algebras, Interscience, New York, 1962.

29. N. Jacobson, Forms of algebras, in Some Recent Advances in the Basic Sciences, Vol. 1, Belfer Graduate School of Science, Yeshiva Univ., New York, 1966, pp. 41-71.

30. В.Г. Кац, Описание фильтрованных алгебр Ли, с которыми ассоциированы градуированные алгебры Ли картановского типа, Изв. АН СССР Сер. матем. 38 (1974) 800-838.

31. D. Kastler, R. Stora, Lie-Cartan pairs, J. Geom. Phys. 2 no. 3 (1985) 1-31.

32. С. А. Кириллов, Специальная алгебра Ли картановского типа, Ин-т прикл. физики, Препринт 247, Горький, 1989.

33. С.А. Кириллов, Гамильтонова алгебра Ли картановского типа, Ин-т прикл. физики, Препринт 257, Горький, 1990.

34. А.И. Кострикин, И.Р. Шафаревич, Градуированные алгебры Ли конечной характеристики, Изв. АН СССР Сер. матем. 33 (1969) 251-322.

35. Я.С. Крылюк, Алгебры картановского типа: продолжения и представления, Канд. дисс., МГУ, Москва, 1978.

36. М.И. Кузнецов, Распределения над алгеброй срезанных многочленов, Матем. Сб. 136 (1988) 187-205.

37. М.И. Кузнецов, Усеченные индуцированные модули над транзитивными алгебрами Ли характеристики р, Изв. АН СССР Сер. матем. 53 (1989) 557-589.

38. M.I. Kuznetsov, On Lie algebras of contact type, Comm. Algebra 18 (1990) 2943-3013.

39. М.И. Кузнецов, Теорема вложения для транзитивных фильтрованных алгебр Ли характеристики р, Изв. вузов Матем. №10 (1991) 43-45.

40. М.И. Кузнецов, С.А. Кириллов, Гамильтоновы дифференциальные формы над алгеброй срезанных многочленов, Успехи матем. наук 41 №2 (1986) 197-198.

41. W. Landherr, Uber einfache Liesche Ringe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg11 (1935) 41-64.

42. W. Landherr, Liesche Ringe von Typus A, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg12 (1938) 200-241.

43. A. Lichnerowicz, Algebre de Lie des automorphismes infinitesimaux d'une structure unimodulaire, Ann. Inst. Fourier 24 №3 (1974) 219-266.

44. R. Ree, On generalized Witt algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 83 (1956) 510-546.

45. G.S. Rinehart, Differential forms on general commutative algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963) 195-222.

46. A.H. Рудаков, Группы автоморфизмов бесконечномерных алгебр Ли, Изв. АН СССР Сер. матем. 33 (1969) 748-764.

47. G. Seligman, Modular Lie Algebras, Springer, Berlin, 1967.

48. S. Serconek, R.L. Wilson, Classification of forms of restricted simple Lie algebras of Cartan type, Comm. Algebra 19 (1991) 1603-1628.

49. G. Shen, B. Shu, Automorphisms and forms of Lie algebras of Cartan type, Comm. Algebra 23 (1995) 5243-5268.

50. C.M. Скрябин, Канонический вид гамильтоновых и контактных форм над алгебрами разделенных степеней, Деп. ВИНИТИ, 8594-В86 (1986).

51. С.М. Скрябин, Регулярные кольца Ли дифференцирований коммутативных колец, Деп. ВИНИТИ, 4403-В87 (1987).

52. С.М. Скрябин, Изоморфизмы и дифференцирования алгебр Ли карта-новского типа над полем положительной характеристики, Деп. ВИНИТИ, 4404-В87 (1987).

53. С.М. Скрябин, Алгебры Ли дифференцирований коммутативных колец: обобщения алгебр Ли картановского типа, Деп. ВИНИТИ, 4405-В87 (1987).

54. С.М. Скрябин, Изоморфизмы и дифференцирования модулярных алгебр Ли картановского типа, Успехи матем. наук №6 (1987) 201-202.

55. С.М. Скрябин, Регулярные кольца Ли дифференцирований, Вестник МГУ №3 (1988) 59-62.

56. С.М. Скрябин, Теоремы простоты для алгебр Ли дифференцирований коммутативных колец, Вестник МГУ №2 (1989) 51-54.

57. С.М. Скрябин, Формы регулярных колец Ли дифференцирований, Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И. Мальцева. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. Новосибирск,1989. С. 127.

58. С.М. Скрябин, Классификация гамильтоновых форм над алгебрами разделенных степеней, Матем. Сб. 181 (1990) 114-133.

59. С.М. Скрябин, Формы модулярных алгебр Ли картановского типа при сепарабельном расширении полей, IV Всесоюзная школа "Алгебры Ли и их применения в математике и физике". Тезисы сообщений, Казань,1990, С. 42.

60. С.М. Скрябин, Характеризация коммутативных алгебр с заданным действием на них алгебры Ли, IV Всесоюзная школа "Алгебры Ли и их применения в математике и физике". Тезисы сообщений, Казань, 1990, С. 43.

61. S.M. Skryabin, Modular Lie algebras of Cartan type over algebraically non-closed fields. I, Comm. Algebra 19 (1991) 1629-1741.

62. С.М. Скрябин, Групповые схемы автоморфизмов алгебр Ли ТУ(т), Международная конференция по алгебре памяти А.И. Ширшова. Сборник тезисов. Барнаул, 1991. С. 110.

63. S.M. Skryabin, An algebraic approach to the Lie algebras of Cartan type, Comm. Algebra 21 (1993) 1229-1336.

64. C.M. Скрябин, Rigidity of algebras in positive characteristic, III Международная конференция по алгебре. Тезисы сообщений. Красноярск, 1993.

65. S.M. Skryabin, Modular Lie algebras of Cartan type over algebraically non-closed fields. II, Comm. Algebra 23 (1995) 1403-1453.

66. S.M. Skryabin, Group schemes and rigidity of algebras in positive characteristic, J. Pure Appl. Algebra 105 (1995) 195-224.

67. S.M. Skryabin, Smoothness, flatness and deformations of subalgebras, Manchester Centre for Pure Mathematics Preprint, 1997.

68. S.M. Skryabin, Toral rank one simple Lie algebras of low characteristics, J. Algebra 200 (1998) 650-700.

69. S.M. Skryabin, Deformation methods in modular Lie algebras, Kurosh algebraic conference '98. Abstracts of talks. Москва, 1998, 117-118.

70. H. Strade, The classification of the simple modular Lie algebras: VI. Solving the final case, to appear in Trans. Amer. Math. Soc.

71. H. Strade, The Classification of the Simple Lie Algebras over Fields with Positive Characteristic, Hamburger Beiträge zur Mathematik, Heft 31, Universität Hamburg, Hamburg, 1997.

72. M. Takeuchi, Formal schemes over fields, Comm. Algebra 5 (1977) 1483-1528.

73. M.L. Tomber, Lie algebras of type F, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953) 759-768.

74. M.L. Tomber, Lie algebras of type A, B, C, D, F, Trans. Amer. Math. Soc. 88 (1958) 99-106.

75. C.A. Тюрин, Классификация деформаций специальной алгебры Ли картановского типа, Матем. Заметки 24 (1978) 847-857.

76. W.C. Waterhouse, Automorphism schemes and forms of Witt Lie algebras, J. Algebra 17 (1971) 34-40.

77. W.C. Waterhouse, Introduction to affine group schemes, Springer, New York, 1979.

78. W.C. Waterhouse, Automorphisms and twisted forms of generalized Witt Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 327 (1991) 185-200.

79. R.L. Wilson, Classification of generalized Witt algebras over algebraically closed fields, Trans. Amer. Math. Soc. 153 (1971) 191-210.

80. R.L. Wilson, A structural characterization of the simple Lie algebras of generalized Cartan type.over fields of prime characteristic, J. Algebra 40 (1976) 418-465.

81. R.L. Wilson, Simple Lie algebras of type 5", J. Algebra 62 (1980) 292-298.