Расположение подгрупп в группах автоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Г > п „./ /■ /" П /Н -- У ¿и ' ! ^ - ^

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 519.46

ПАНИН АЛЕКСАНДР АНДРЕЕВИЧ

РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОДГРУПП В ГРУППАХ АВТОМОРФИЗМОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор ЯКОВЛЕВ А.В.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1998

Оглавление

Введение ..........................................................4

Глава 1. Теория Галуа для дедекиндовых структур.......13

§1. Понятие дедекиндовой структуры.........................13

§2. Соответствия Галуа .......................................14

§3. Формулировка основной теоремы .........................17

§4. Свойства носителя .........................................19

§5. Вспомогательные утверждения............................22

§6. Сетевые наборы в Ь0 .......................................23

§7. Доказательство включения К С ....................27

§8. Доказательство основной теоремы ........................29

§9. Дополнительные сведения о сетевых наборах ............30

§10. Применение к линейным группам ........................33

§11. Описание замкнутых объектов ...........................38

§12. Дополнение: извлечение "трансвекций" .................43

Глава 2. О нижней гирлянде решеток подгрупп в

линейных группах ...........................................53

§13. Понятие гирлянды ........................................53

§14. Общий случай ............................................55

§15. Вычисление нормализатора ..............................56

§16. Вычисление нижней гирлянды ...........................59

§17. Сепарабельные алгебры ..................................61

§18. Случай полной линейной группы ........................62

§19. Случай специальной линейной группы ..................65

§20. Элементарный подход ....................................67

Основные результаты

Литература

Введение

Построение теории Галуа для двух частично упорядоченных множеств позволяет в ряде случаев серьезно облегчить задачу исследования свойств объектов одного из этих множеств. Так, с помощью классической теории 1 алуа полей оказывается возможным сводить многие вопросы теории полей к теоретико-групповым и успешно их решать. Например, разрешимость уравнения в радикалах напрямую зависит от свойств группы Галуа многочлена, определяющего это уравнение.

Классические результаты Галуа о соответствии между промежуточными подполями конечного расширения Галуа полей и подгруппами группы автоморфизмов этого расширения обобщались многими авторами на случай различных классов колец.

Под построением теории Галуа в некотором классе колец обычно понимается доказательство основной теоремы о соответствии Галуа между определенными типами конечных (или приведенно конечных) групп автоморфизмов кольца и определенными типами под-колец из данного класса (см. [31]).

Картаном [35] и Джекобсоном [41] была построена теория Галуа тел. Хохшильд [40] и Накаяма [44] обобщили эту теорию на класс простых артиновых колец. Дьедонне [37] построил теорию Галуа для вполне примитивных колец. Розенберг и Зелинский [46] распространили теорию Галуа на полные кольца непрерывных линейных преобразований. Некоммутативная теория Галуа получила дальнейшее развитие в работе Чейза, Харрисона и Розенберга [36]; В.К.Харченко [30] построил теорию Галуа в классе областей, первичных и полупервичных колец. Также заслуживают упоминания отдельные результаты других авторов [39,43]. Подробная библио-

графин по этому вопросу имеется в монографии [31].

Далеко идущим обобщением теории Галуа колец является построенная А.В.Яковлевым [32] теория Галуа для пучков множеств, на всех слоях которых задана теория Галуа.

Обычным контекстом для установления соответствия Галуа является следующий. Пусть А - множество (как правило, снабженное некоторой структурой), (7 - подгруппа группы всех автоморфизмов А: Н - подгруппа С, В - подобъект А, состоящий из тех элементов, на которые все автоморфизмы из Н действуют тривиально. Тогда произвольной подгруппе группы С, содержащей Н, ставится в соответствие подобъект объекта _£?, состоящий из тех элементов, на которые все автоморфизмы из этой подгруппы действуют тривиально, а подобъекту объекта В - подгруппу группы О, состоящую из автоморфизмов, действующих тривиально на все элементы этого под-объекта.

В первой главе диссертации строится соответствие Галуа для дедекиндовых структур и их групп автоморфизмов.

Пусть Ь - некоторая структура, О - подгруппа группы всех автоморфизмов структуры Ь. Для подгруппы ^Р группы С и подструктуры М структуры Ь положим:

Ь(Р) - множество таких элементов I € что /(7) = I для всех

в(М) - множество таких элементов д £ (7, что д(т) = т для всех га € М.

Пусть Ьо - подструктура Ь] обозначим Н = 0{Ьо), Ь0 = Ь{Н). Тогда, применяя изложенные выше соображения, получим соответствие Галуа между множеством 9Л всех подструктур Ь0 и множеством 9? подгрупп 0: содержащих Н.

Некоторые результаты по исследованию этого соответствия Га-луа были получены в работе А.З.Симоняна [28]. Обобщению этих результатов посвящены две работы автора [25,27].

Общим во всех разобранных случаях оказывается то, что в каждой промежуточной подгруппе имеется наибольшая замкнутая (в смысле соответствия Галуа) подгруппа, являющаяся ее нормальным делителем.

Основным результатом главы 1 диссертации является следующая теорема.

Теорема. Пусть Ь - полная дедекиндов а структура, Ьо - ее конечная подструктура, являющаяся булевой алгеброй, О - подгруппа группы всех автоморфизмов структуры Ь, Н = о). Тогда, если выполняется ряд ограничений на структуру (приведенных в §<? диссертации), то для любой подгруппы Р ^ Н группы (7 существует подструктура К структуры Ь0, для которой О (К) <3 Р.

Кроме этого, в главе 1 проведено исследование замкнутых объектов и замыкания в смысле соответствия Галуа в множествах 9Л и 9?. В частности, оказалось возможным описать замкнутые подгруппы как те подгруппы группы С, которые действуют тривиально на соответствующих подструктурах структуры £0, ассоциированных с некоторым конечным набором элементов £0, названным "сетевым набором" по аналогии с понятием сети, введенным З.И.Боревичем. При этом полученное описание, с одной стороны, позволяет эффективно вычислять замкнутые объекты и замыкания, а, с другой стороны, с его помощью в основной результат вносится некоторое дополнение. Именно, оказывается, что хотя подструктура А", указанная в формулировке теоремы, в общем случае определена неоднозначно, но подгруппа О (К), являющаяся нормальной в определена уже однозначно.

Пользуясь основной теоремой главы 1 диссертации, легко получить описание подгрупп полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц.

Пусть К - полулокальное кольцо (то есть такое кольцо, фактор-кольцо которого по радикалу Джекобсона артиново), С - его центр (являющийся коммутативным полулокальным кольцом). Под полями вычетов кольца К будем понимать поля вычетов С по его максимальным идеалам. Имеет место следующая

Теорема. Пусть И - полулокальное кольцо, все поля вычетов которого имеют не менее семи элементов, V = Нп - свободный Н-модуль ранга п, ё\ = (1, 0,..., 0),..., ёп = (0,...,0,1) - канонический базис V, = ..., еп = ёпК. Обозначим через Ь = Ь{\Т) структуру правых подмодулей модуля V, а через Ьо - подструктуру структуры Ь, порожденную ... ,еп. Пусть О = ОЬ{п,В) и Н = С(Хо) = 0(п,П). Тогда для любой промежуточной подгруппы И, Н ^ Р ^ ОЬ(п,В), существует подструктура К структуры Ь0, для которой

в{К) <

Вопросы расположения подгрупп в линейных группах оформились в последние годы как одно из актуальных направлений теории линейных групп над полями и кольцами.

В 1962 г. Тите [49] получил описание параболических подгрупп в полной линейной группе над произвольным полем.

В 1965 г. в работе Бореля и Титса [34] были исследованы замкнутые связные подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полем к. Из доказанных ими результатов вытекало описание замкнутых подгрупп в ОЬ(п:к): содержащих группу диагональных матриц и{п,к).

В 1976 г. последний результат был значительно усилен З.И.Бо-ревичем [10]. Как оказалось, для любого поля к все промежуточные

подгруппы F, D(n,k) ^ F ^ GL(n,k), являются группами &-рацио-нальных точек замкнутых подгрупп GL(n,k), содержащих группу D(n,k)] решетка Lat(D(n¡k),GL(n,k)) конечна, и эта решетка не зависит от поля к, если ^ 7. Другое доказательство этих утверждений содержится в работе [51].

В дальнейшем благодаря усилиям З.И.Боревича, Н.А.Вавилова, Г.Зейтца и ряда других авторов было получено исчерпывающее описание решетки промежуточных подгрупп, содержащих группу рациональных точек максимального расщепимого тора, в классических линейных группах и группах Шевалле (а также их расширенных аналогов) над полями, а в ряде случаев эти результаты были обобщены и на некоторые классы колец (см. обзор [50]).

Отметим один из важных результатов в этом направлении. В работах З.И.Боревича и Н.А.Вавилова [11,16,17] было получено описание промежуточных подгрупп в полной линейной группе над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц.

Описание подгрупп, приведенное в [11], состоит в следующем. Пусть R - полулокальное кольцо, все поля вычетов которого содержат не менее семи элементов. Тогда для каждой промежуточной подгруппы F, D(n,R) ^ F ^ GL(n,R), однозначно определена D-сеть <т двусторонних идеалов в R порядка п такая, что G(a) ^ F ^ N(a)1 где N(a) - нормализатор G(a) в G.

В дальнейшем в работах [16,17] класс колец, для которых подобное описание имеет место, был несколько расширен.

В §10 диссертации показано, как из полученного описания промежуточных подгрупп в терминах подструктур вытекает этот результат З.И.Боревича и Н.А.Вавилова.

В заключительном параграфе главы 1 диссертации предложен другой подход к доказательству основной теоремы, позволяющий

придать одному важному ограничению на структуры Ь,£,о и группы автоморфизмов 0,Н форму, более удобную для проверки при получении следствий. Из доказанного в этом (и предыдущих) параграфах может быть получено описание промежуточных подгрупп в случае, когда И - полулокальное кольцо, такое, что в разложении Е/.1{Н) я М(пъТ!) е ... Ф М(пт,Тт) все тела Тг отличны от Ж2, Ез, Е*,

Таким образом, можно констатировать, что результаты З.И.Бо-ревича и Н.А.Вавилова о линейных группах могут быть обобщены на объекты, не имеющие ярко выраженного линейного характера.

Естественно поставить вопрос о строении решетки промежуточных подгрупп в линейных группах, содержащих группу рациональных точек других максимальных торов. В самой общей ситуации задача для нерасщепимого тора формулируется следующим образом.

Пусть 5 - ассоциативное кольцо с единицей ий - его унитальное подкольцо, содержащееся в центре кольца 5. Тогда (см. [13]) предлагается исследовать решетку промежуточных подгрупп

ЬаЦАи^З), = {Н : Аи^в) < Я < ^¿(д5)}

В случае, когда 5 является левым свободным /¿-модулем ранга п, эта задача может быть переформулирована как вопрос о строении решетки матричных подгрупп

Ьа^Т, ОЦп,П)) = {Н : Т < вЦп, К)},

где через Т = Т(5) обозначен образ 5* при вложении, переводящем элемент а Е 5* в матрицу оператора умножения на этот элемент справа в выбранном базисе расширения колец.

Если R - коммутативное кольцо и 5 = Rn, то при диагональном вложении R в S мы получаем уже упоминавшуюся задачу описания подгрупп в GL(n,R), содержащих группу диагональных матриц D(n,R).

Если в качестве R рассматривать поле к, а в качестве 5 - его конечное сепарабельное расширение К, то подгруппа Т будет группой ^-рациональных точек максимального нерасщепимого тора в GL{n,k). В работах Дьоковича [38], В.П.Платонова [45], а также Кантора [42] и Зейтца [47] исследованы (качественно или количественно) случаи, когда к - поле вещественных чисел, локальное или конечное. Остальные результаты преимущественно относятся к квадратичным расширениям К ¡к. В работах В.А.Койбаева и других авторов [12,13,19,21,23] исследованы различные классы таких расширений. В частности, полностью описана решетка промежуточных подгрупп для случая квадратичных расширений поля рациональных чисел (а также полей, обладающих некоторым определенным свойством).

Вместе с тем можно рассматривать и более общую задачу. Именно, пусть G ^ Aut(ftS). Тогда предлагается исследовать решетку подгрупп

Lat(Aut(sS)nG',G') = {H' : Aut{sS) П G < И < G}

Конечно, вряд ли можно надеяться получить какие-то содержательные результаты для произвольной подгруппы G . Но такая постановка задачи имеет смысл, по крайней мере, для случая конечного расширения полей (или колец, близких по своим свойствам к полям) и классических групп G .

Поставленная задача решена при различных разумных ограничениях на группу G для поля вещественных чисел [38], локального

[45] и конечного [47] полей.

Во второй главе диссертации исследуются свойства подгрупп, в некотором смысле близких к группе АиЬ($3) П О .

Пусть 5 - кольцо и Я - его целостное подкольцо, содержащееся в центре 5. Также пусть 5 является левым свободным 1?-модулем конечного ранга с базисом ,..., ип.

Рассмотрим вложение кольца 5 в матричное кольцо М(п,П): каждому элементу а = + ...•+ апшп € 5 (где аг 6 Я) ставится в

п

соответствие матрица t(a) = где о^а = ^ tji(a)u^j.

з = 1

Обозначим образ 5* при этом вложении через Т. Пусть к - поле частных кольца К, а к - его алгебраическое замыкание. Обозначим Т = ффй 5)*).

Пусть О = О(Н) для некоторой замкнутой подгруппы О ^ ОЬ(п, к). Положим Т = Т С\0 .

Основными результатами главы 2 диссертации являются следующие две теоремы.

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

1) О - связная редуктивная группа;

2) Т П О - максимальный тор в

3) группа Т плотна в Т П (7 в топологии Зарисского,

Тогда нижняя гирлянда решетки совпадает с интервалом

Теорема. Пусть кольцо 5 аддитивно порождается своими обратимыми элементами и группа Аи1(8/К) кольцевых автоморфизмов Б. постоянных на И. конечна. Пусть Т аддитивно порождается над к компонентой единицы Т'. Тогда нижняя гирлянда решетки Ьа1(Т , С ) совпадает с интервалом ЬаЬ{Т ,Л/"С/Т ), причем нормализатор подгруппыТ в группе О совпадает с пересечением полупрямого произведения нормального делителя Т и группы с группой О .

Эти теоремы являются обобщениями результатов работ [1,2,22].

Пусть Я = к - бесконечное поле, 5 = К\ Ф ... ф где К{/к - конечные расширения поля к. Тогда эти теоремы могут быть применены к случаю полной линейной группы и, если все расширения являются сепарабельными, к случаю специальной линейной группы.

В обзоре [50] отмечено, что решетки Ьа1(0о,0) промежуточных подгрупп в линейных группах, содержащих группу рациональных точек максимального тора, имеют много общего, например, подгруппы £?о часто обладают свойством пара-, поли- или пронормаль-ности (см. [3]), а также свойствами, вытекающими из перечисленных. Полученные в главах 1 и 2 диссертации результаты позволяют сделать вывод, что это так и в рассмотренных случаях.

Глава 1

ТЕОРИЯ ГАЛУА ДЛЯ ДЕДЕКИНДОВЫХ СТРУКТУР

§1. Понятие дедекиндовой структуры

В этом параграфе собраны некоторые понятия теории структур. Подробнее с ними можно познакомиться по книгам [5,18].

Определение 1. Структурой называется частично упорядоченное множество Ь, в котором любые два элемента х,у € Ь имеют точную нижнюю грань, или "пересечение", обозначаемое х ■ у, и точную верхнюю грань, или "объединение", обозначаемое х + у.

Определение 2. Подструктурой данной структуры называется ее подмножество, замкнутое относительно "пересечения" и "объединения" .

Определение 3. Структура Ь называется полной, если любое ее подмножество X имеет в Ь точные верхнюю и нижнюю грани.

Из этого определения вытекает, что любая непустая полная структура содержит наименьший элемент 0 и наибольший 1.

Определение 4. Структура Ь называется дедекиндовой, если в ней выполняется модулярный закон:

если х, у, г € Ь и х ^ г, то х + {у • г) = (х -Ь у) • г (*)

Основным примером дедекиндовой структуры является структура нормальных подгрупп произвольной группы (см. [5, с.27]).

Определение 5. Структура Ь называется дистрибутивной, если в ней выполняется следующее тождество:

если х,у, г £ Ь, то х • (у + г) = х • у + х • г

Определение 6. Структура Ь, содержащая 0 и 1, называется булевой алгеброй, если она дистрибутивна, и каждый ее элемент имеет дополнение, то есть для каждого х £ Ь существует такой у £ Ь, что х-г/= 0 и г +л = 1.

Определение 7. Длиной структуры Ь называется точная верхняя грань длин цепей в Ь. Если она конечна, то о Ь говорят, что она имеет конечную длину.

Определение 8. Атомом структуры Ь называется элемент х £ Ь, такой, что х ф 0 и не существует ненулевого х £ Ь с условием х < х. Двойственно вводится понятие коатома.

Определение 9. Автоморфизмом полной структуры Ь называется биективное отображение 6 : Ь Ь, перестановочное с верхней и нижней гранями любого ее подмножества.

Всюду в этой главе под словом "автоморфизм" понимается именно автоморфизм некоторой полной структуры.

Если Ь - структура, х\,... ,х3 € I, то для каждого г, 1 ^ г зС з мы будем обозначать хг = х\ + ... + хг^\ + хг+\ + ...-)- .

§2. Соответствия Галуа

Определение. Пусть 9Л и 91 - два частично упорядоченных множества. Пара отображений <р: 9Л —+ ф: 91 —9Л называется соответствием Г�