Дифференциальные идеалы

Трушин, Дмитрий Витальевич

Дифференциальные идеалы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Трушин, Дмитрий Витальевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Дифференциальные идеалы»

Автореферат диссертации на тему "Дифференциальные идеалы"

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.628.2+512.552.12 0046123ЭИ

Трушин Дмитрий Витальевич

Дифференциальные идеалы

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2010

1 1 НОЯ 2010

004612358

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Михалев Александр Васильевич Официальные ошюненты; доктор физико-математических наук,

профессор Туганбаев Аскар Аканович доктор физико-математических наук, профессор Абрамов Сергей Александрович Ведущая организация: Тульский государственный

педагогический университет имени Л.Н. Толстого

Защита диссертации состоится 12 ноября 2010 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова но адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 12 октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук профессор

А.О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Понятие дифференциального идеала является одним из наиболее фундаментальных в дифференциальной алгебре. Первый вопрос при изучении дифференциального кольца - это вопрос о структуре его дифференциальных идеалов. Кроме того, в терминах дифференциальных идеалов могут быть выражены различные проблемы, связанные с дифференциальными кольцами. Спектр задач, решаемых на языке дифференциальных идеалов весьма широк1,2. Мы опишем.лишь направления, затронутые в работе.

1 Михалев А. В., Панкратьев Е. В., Дифференциальная и разностная алгебра, Итоги науки п техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия, том 25, Москва, 1987

2Kondratieva M. V., Levin А. В., Mikhalev A.V., Paukratiev E.V., Differential and Difference Dimension Polynomials., Kluwer Academic Publisher, 1999.

3Boulier F., Lazard D., Ollivier F., Petitot M., Representation for the Radical of a Finitely Generated Differential Ideal., in Proceedings of 1095 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 158-166, ACM Press, 1995.

4Boulier F., Étude et implantation de quelques algorightmes en algèbre différentielle., Thèse de I'Uuiversitnto des Seines et Technologies de Lille, 1994.

"Hubert E., Notes on triangidar sets and triangulation-décomposition algorithms. II: Differential Systems.. Symbolic and Numerical Scientific Computing 20U1, 40-87, 2003.

"Ollivier F., Le problème de l'identifiablité structurelle globale., thèse de doctorat, Ecole polytechnique, 1990.

'Ollivier F., Standard bases of differential ideals., Lectures notes in computer science, 508: 304-321, 1990

sCarr& Ferro G., Differential Gröbner Bases in One Variable and in the Partial Case., Math. Comput.

ввел понятие дифференциальных стандартных базисов, которые но аналогии с базисами Гребнера решают вычислительные проблемы. Однако такие базисы, вообще говоря, оказываются счетными. И для эффективной работы требуются некоторые критерии конечности для них. Сами основатели теории формулировали некоторые необходимые и достаточные условия конечности, но все они были трудно проверяемые и в результате не давали практической пользы7'8'9. Достаточно подробно вопросы конечности дифференциальных стандартных базисов изучались в работах А. И. Зобнина10,11,12'13. Развития в этом направлении удалось достичь за счет расширения класса рассматриваемых упорядочений. С другой стороны, проверку конечности дифференциальных стандартных базисов хотелось бы сформулировать в терминах идеалов, а именно, проверку конечности дифференциального стандартного базиса требуется свести к проверки равенства некоторого идеала всему кольцу. В случае обыкновенного кольца дифференциальных многочленов от одной неременной такой критерий был найден [1]. Для любого дифференциального идеала в кольце обыкновенных дифференциальных многочленов от одной неизвестной можно построить идеал сепарант, который и отвечает за конечность дифференциального стандартного базиса. Указанному критерию посвящена первая часть работы. Более того, предложены способы эффективной проверки требуемого условия, что позволило эффективно опровергать гипотезы о конечности дифференциальных стандартных базисов дифференциальных идеалов из достаточно широкого класса. Следующая задача, возникающая после установления наличия конечного дифференциального стандартного базиса, - это нахождение этого базиса. Первый алгоритмический способ проверки был предложен Ф. Оливье7. Впоследствии его значительно улучшил А. И. Зобнин в своей диссертационной работе. Последний предложенный алгоритм заведомо останавливался в случае существования конечного дифференциального стандартного базиса. При этом хочется понять насколько

Model., Pergamon Press, vol. 25, НО, 199T.

9Carríi Forro O., Gröbner Шел and differential algebra., tatures notes in computar seicncc, 350:123 140, 1989

103обнин А., О стандартных базисах в кольце дифференциальных многочленов, Фундаментальная и прикладная математика, том 9, nun. 3, стр. 89-102 (2003).

"Zobnin A., On Testing the Membership to Differential Ideals., In Proceedings of the 7th International VVorkcliop oil Computer Algebra in Sciutific Computin (CASC-2004), July 12-19, St. Petersburg, Russia, pp. 485-496 (2004).

12Zobnin A., Some Results on Differential Grobner Bases., In Proceeding of A3L-2005 (Conference in Homor of the 00th Birthday of Volker Weispframing), April 3-0, Passau, Germany, pp. 309 314.

13Zobnin A., Admissible Orderinys and Finitness Criteria for Differential Standard Bases., In Proceeding

of International Symposiom on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC-2005), Jully 24-27, Beijing, China, pp. 365-372 (2005)

трудоемкими могут быть вычисления. Одной из характеристик сложности работы алгоритма является максимальный порядок элементов стандартного базиса. Используя метод идеала сепарант, можно оценить сверху указанные порядки дифференциального стандартного базиса.

Часто для изучения кольца полезно ограничиться знаниями о структуре его простых идеалов. Подобная идея идет из теории схем, которые эффективно применяются для изучения алгебраических многообразий. В дифференциальной алгебре естественным образом возникает понятие простого дифференциального идеала и простого дифференциального спектра. Однако имеется один неприятный эффект, для нетривиального дифференциального кольца его дифференциальный спектр может быть пуст. Таким образом, из поля зрения выпадает очень широкий класс дифференциальных колец. В 80-х годах У. Киром был предложен метод, позволяющий преодолеть это препятствие14. Им было введено понятие квазипростого дифференциального идеала. Соответственно, у дифференциальных колец возникают квазиспектры, для которых Кир строил соответствующую теорию15,16. Теория схем очень сильно опирается на категорную точку зрения, которой придерживался и Кир. Для категории дифференциальных колец существует забывающий функтор в категорию колец. Важным наблюдением Кира является существование левого сопряженного к нему. Таким функтором является функтор построения рядов Гурвица над коммутативным кольцом. В работах Кира возникла необходимость выяснить связь ква-зисиектра исходного дифференциального кольца и кольца его рядов Гурвица. Эта задача связана с изучением естественно возникающего морфиз-ма функторов в категории дифференциальных колец. Автором предложен метод [2], с помощью которого конструктивно описываются квазинроетые дифференциальные идеалы рядов Гурвица в терминах исходного кольца. Для этого требуется ввести некоторую топологию на рядах. При построении теории было замечено, что функтор рядов Гурвица можно обобщить на случай некоммутативного кольца. Соответствующая конструкция возникает как обобщение конструкции алгебры разделенных степеней для некоторой алгебры Ли. В итоге, в работе решается задача описания связи квазиспектров в наиболее общем случае, а именно, в случае некоммутативного кольца, на котором действует некоторая свободная конечно порожденная алгебра Ли.

"Keighev W., Quani-Jirimr. idmls in differential rings.. Houston J. Math 4, (1978), 37!) 388.

!5Keigher YV\, On the quasi-affine scheine of a differential ring., Advances in Math. 42 (1981), 143-153,

16Keigher W„ On the structure sheaf of a differential ring., J. Pure Appl. Algebra 27 (1983) 163-172.

17Пуаза В., Курс теории моделей. 2001. Электронная книга http://www.irLath.nsc.ru/LBRT/logic/books/poizat/, глава 18

lBPillay A., Differential Galois theory I., Illinois J. Math., 42 (1098), 678 699.

19Pillay A., Differential Galois theory If, Annals of Pure and Applied Logic Volume 88, Issues 2-3, 17 November 1997, Pages 181-191

20McGrail T., The Model Theory of Differential Fields with Finitely Many Commuting Derivations., The Journal of Symbolic Logic, Vol. 65, No. 2 (Jim., 2000), pp. 885-913

2,Kolchin E.R., Constrained Extensions of Differential Fields., Advances in Math, 12, 1974, pp. 141-170.

22Macintyre A., Generic, tmlomorjihism-s of fields., Ann. Pure Appl. Logic 88:2-3 (1997), 165-180.

23Chatzidakis Z., Hrushovski E., Model theory of difference fields., Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), no. 8, 2997 3071.

и посвящен третий раздел работы [3, 4]. За образец мы берем оригинальное доказательство С. Шелаха24. Оказывается, что построение желаемого алгебраического аппарата основывается на изучении дифференциальных идеалов в тензорных произведениях дифференциальных колец. Вопросы существования специальных типов дифференциальных идеалов напрямую связаны со структурой дифференциального замыкания дифференциальных полей характеристики нуль. Более того, полученные алгебраические методы не апеллируют к продвинутой алгебраической технике, все они строятся на классических результатах коммутативной и дифференциальной алгебры. Эта техника развивается таким образом, чтобы как можно меньше апеллировать к дифференциальной структуре кольца, это сделано с целью возможности дальнейшего ее применения и в теории разностных колец. В качестве примера на основе полученного алгебраического аппарата строится самый общий вариант дифференциальной теории Галуа. Тем самым мы иллюстрируем, что все основные механизмы, используемые логиками, задействованы и в нашем подходе, тем самым полученная теория позволяет получать чисто алгебраическими методами те результаты, которые до этого имели только теоретико-модельные доказательства.

Цель работы

Так как мы решаем три более или менее независимые задачи, то наши цели можно разбить по трем направлениям.

Алгоритмическая часть :

- Построение критерия конечности дифференциального стандартного базиса в обыкновенном кольце дифференциальных многочленов от одной неизвестной в терминах проверки на равенство некоторого идеала всему кольцу.

- Получение эффективных методов проверка нового критерия.

- Получение численных оценок на характеристики алгоритмов построения дифференциальных стандартных базисов.

24Shclah S., Uniqueness and characterization of prime models over sets for totally transcendental first, order theories.. J. Symbolic Logic, vol 37, 1972, pp. 107 113.

Квазиспектры :

- Обобщение конструкции рядов Гурвпца на случай некоммутативных колец с действием некоторой алгебры Ли.

- Обобщение понятия квазиспектра на случай некоммутативных колец с действием некоторой алгебры Ли.

Описание связи квазиспектра алгебры разделенных степеней с квазиспектром исходного кольца.

- Получение следствия из общего результата на случай рядов Гурвица.

Идеалы в тензорных произведениях :

- Развитие техники поиска простых дифференциальных идеалов в тензорных произведениях дифференциальных алгебр над полем нулевой характеристики.

- Построение алгебраической теории на основе техники поиска дифференциальных идеалов в тензорных произведениях, такую, что с ее помощью можно перенести теоретико-модельное доказательство существования и единственности дифференциального замыкания для дифференциального поля нулевой характеристики на алгебраический язык, а также построить наиболее общее соответствие Галуа для произвольных систем дифференциальных уравнений.

- Демонстрация того, что полученная теория позволяет успешно элиминировать теоретико-модельные методы при доказательстве результатов теории дифференциальных полей характеристики нуль.

Научная новизна

Заметим, что в работе результаты либо являются ответами на открытые вопросы, либо построением отсутствующей алгебраической техники. То есть, все полученные результаты являются новыми. Перечислим их явно:

1. Получен критерий конечности дифференциальных стандартных базисов и эффективный способ его проверки в обыкновенном кольце дифференциальных многочленов с одной неизвестной (теорема 1, следствие 3).

2. На основе критерия получен метод вычисления длительности работы алгоритма построения дифференциального стандартного базиса в случае его конечности (лемма 6).

3. Получена связь квазипростых спектров алгебры разделенных степеней и исходного некоммутативного кольца с действием свободной конечно порожденной алгебры Ли. Описан квазиспектр рядов Гурвица в терминах спектра исходного кольца. • (Теорема 9).

4. Получены алгебраические доказательства теоремы Рессера и теоремы единственности дифференциального замыкания для дифференциального поля нулевой характеристики (теорема 12 и теорема 14).

5. Построена общая теория Галуа для дифференциальных уравнений методами не использующими теоретико-модельную технику. В терминах действия группы Галуа дифференциального замыкания описана связь дифференциально алгебраического многообразия со структурой локально замкнутых точек дифференциального спектра (теорема 15 и теорема 16).

Основные методы исследования

В цервой части работы применяются классические результаты вычислительной дифференциальной алгебры отраженные в работах Оливье7, Kappa Ферро8'9, Зобнина10'11,12,13. Основная техника вычисления с сепарантами в кольце дифференциальных многочленов.

Во второй части работы в коммутативном случае автор опирается на базовую технику, разработанную Киром14'25. Для обобщения полученных результатов на случай некоммутативных колец используются идеи, развитые Размысловым26, и общие результаты теории некоммутативных колец. Для ссылок на базовые результаты из некоммутативной алгебры мы используем книгу Ламбека27.

Наиболее сложной с технической стороны является третья часть работы. Элиминация теоретико-модельных методов требует несколько более изысканной алгебраической техники. Для лас являются основными методы работы со спектрами коммутативных колец и обобщения этих методов на

25Keigher W., On the ring of Hurwitz series., Comm. Algebra 25 (1997), 1845-1859.

20Размыслов Ю. П., Введение в теорию алгебр и их представлений.. Издательство московского уни-

верситета, Москва. 1991.

2ГЛамбек И., Кольца и модули, M.: Изд-во «Факториал Пресс», 2005.

случай дифференциальной алгебры. В наибольшей степени развитая автором техника представляет из себя обобщение разного сорта результатов из коммутативной алгебры28 и комбинацию их с классическими результатами Колчина29.

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа имеет как теоретический, так и прикладной характер. Наибольшее применение имеет первая часть работы, связанная с дифференциальными стандартными базисами. Подробная связь дифференциальных стандартных базисов с прикладными задачами описывается в диссертации А. И. Зобнина. Вторая и третья часть работы имеют теоретическую направленность. В случае квазиспектров мы даем ответ на вопрос, поставленный Киром30, но в более общей форме. В третьей же части очень важным является развитие принципиально новой техники, которая призвана заменить существующие теоретико-модельные методы сугубо алгебраическими.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ, неоднократно 2007-2010.

• на семинаре «Дифференциальная алгебра и базисы Гребнера» кафедры высшей алгебры МГУ, 2007.

• на выездных заседаниях международного семинара по компьютерной алгебре в г. Дубна в 2006, 2007 гг.

• научная конференция "Differential Algebra and Related Topics 2", Newark, USA, 2007.

• научная конференция "Kolchin seminar", New York, USA, 2010.

• научная конференция "Algebraic Methods in Dynamical Systems", Poznan, Poland, 2010.

23Атья M., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003.

MKolchm E.R., Differential Algebra and Algebraic Groups., Academic Press, New York, 1976.

30Вопрос был сформулирован Киром в апреле 2007-го года на конференции в Ньюарке

Публикации

По теме диссертации опубликовано 4 работы, из них 2 в журналах из Перечня ВАК. Список работ приводится в конце автореферата [1-4].

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, трех глав, посвященных трем описанным выше проблемам, и библиографии (44 наименования). Общий объем диссертации составляет 89 страниц.

Краткое содержание работы

В первой главе рассматриваются условия конечности дифференциальных стандартных базисов в обыкновенном кольце дифференциальных многочленов с одной неизвестной.

Пусть К - обыкновенное дифференциальное поле с дифференцированием д и К{у) - кольцо дифференциальных уравнений. Мы рассматриваем лексикографическое упорядочивание на переменных yt < yi+1. Если I Q К{у} ■ дифференциальный идеал, то идеалом сепарант идеала I называется следующий идеал

Si = {Sf\f€l}.

Следующий результат является отправное точкой для данной работы.

Теорема 1. Пусть К{|/} - кольцо дифференциальных многочленов от одной неизвестной с одним дифференцированием над дифференциальным полем К, и а <1 К{у} - дифференциальный идеал. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Факторалгебра К{у}/а конечно порождена.

2) В идеале а существует квазилинейный многочлен.

3) lex DSB для идеала а конечен.

4) Идеал сепарант Sa равен единичному.

Вопрос принадлежности дифференциального многочлена произвольному дифференциальному идеалу кольца К{у} алгоритмически не разрешим. Поэтому рассматривают случай дифференциально конечно порожденных идеалов и в частности главных дифференциальных идеалов. Следующие результаты доставляют некоторые способы проверки условия 4 предыдущей теоремы.

Лемма 2. Имеют место включения \I} + (Sf)CSlf]C[f):sr+(Sf).

Следствие 3. Пусть для идеала [/] верно, что [/, Sf] = (1). Тогда равенство идеалов

•%] = (1)

верно в том и только в том случае, когда верно равенство

[Я+ (£/) = ( !)•

В качестве основного модельного примера выступает семейство дифференциальных многочленов [/nm¡ — [(у\ + \)т — уп]. Для него верна следующая лемма.

Лемма 4. В идеале [/nm] существует квазилинейный многочлен тогда и только тогда, когда т = 1 или т\п.

И следовательно дифференциальный стандартный базис конечен тогда только тогда когда выполнены условия леммы.

Улучшенный алгоритм построения дифференциального стандартного базиса в дифференциальном идеале, разработанный А.И. Зобниным в его диссертационной работе, останавливается после получения квазилинейного многочлена. Поэтому его порядок может рассматриваться как характеристика времени исполнения алгоритма. Мы дадим два способа получения оценок на порядок квазилинейного многочлена. Общий способ основан на разложении единица в идеале S¡, а второй на целых расширениях дифференциальных колец. Первый способ более универсальные, так применим для любого главного дифференциального идеала I, такого, что S¡ — (1), и как следствие более грубый. Второй способ представляет из себя некий рецепт, пользуюсь которым, можно попытаться получить более тонкую оценку на порядок.

Следующее определение вводит меру сложности вычислений.

Определение 5. Пусть f,g- дифференциальные многочлены и 9 ^ \/[f] + (Sf). Тогда определим:

V{g) = min{max(ord(/i),ord(5/),ord(í)) | Эп 6 N, he K{f/}, t е [/]: gn = hSf +1}, где ord - номер старшей переменной.

Следующая лемма доставляет правила, по которым можно оценить величину 7>(1) в случае, когда [/] + (Sf) = (1).

Лемма 6. Пусть f, д элементы идеала ^/[1] + (Si), а а произвольный дифференциальный многочлен. Тогда

1) V(af) ^ max(ord(a), Р(/)).

2)П/ + 9)<гпах(Г(Л,Т(д)).

Пользуясь этим результатом для нашего примера имеем.

Лемма 7. При условии т\п в идеале [/nm] существует квазилинейный многочлен порядка п 4-2.

Второй способ основан на целых расширениях дифференциальных колец и доставляет следующий результат.

Лемма 8. При условии m = 2 и п - нечетное, в идеале [/пг] существует квазилинейный многочлен порядка [|] + 3.

Во второй главе исследуется квазиснектр алгебры разделенных степеней.

По аналогии с кольцом рядов Гурвица можно определить алгебру разделенных степеней для произвольной алгебры Ли. Пусть R - коммутативное кольцо, L - произвольная алгебра Ли над R и В - ассоциативное кольцо с единицей. Пусть 11ц(Ь) - универсальная обертывающая алгебра для L над R. Тогда алгебру разделенных степеней определим как

0B(L) = Eomu(Uid(L), В).

Построенное кольцо обладает естественной фильтрацией, а именно, положим

И = (щ ■ • ■ щ | s < к, щ е Ь)ц С Uid(L) и У0 = О тогда Uid(L) — lim VI- Система окрестностей нуля тогда имеет вид 0%(L) = { f 6 0B(L) 114 С ker / }, так что

0B(L) = 0*(L) 2 Of(L) Э...Э Ol (L) э ...

Для произвольного ассоциативного кольца с единицей В через Spec В обозначим множество первичных идеалов кольца В. Предположим, что алгебра Ли L действует на кольце В дифференцированиями. Определим квазипервичный идеал следующим образом: q квазинервичный идеал, если существует такое m-множество S С В (то есть для любых двух элементов а, Ъ € S существует г 6 R, что arb 6 5), что q - максимальный ¿-идеал (то есть устойчивый относительно действия L идеал) непересекающий S.

Мы снабдим каждое ассоциативное кольцо дискретной топологией. Для произвольного топологического кольца В через Spec В обозначим множество замкнутых первичных идеалов. Если на кольце В дополнительно действует алгебра Ли ¿, так что каждое дифференцирование является непрерывным отображением, то через QSpec В обозначим множество замкнутых квазинервичных идеалов. Для произвольного кольца с дискретной топологией кольцо В кольцо Ов{Ь) снабжается топологией определенной выше.

Для L-дифференциального кольца В с дискретной топологией определен гомоморфизм Тейлора Ф: В —» Ов(Ь), который является непрерывным отображением. Можно показать, что этот гомоморфизм определяет непрерывное отображение Ф*: QSpec Ов (¿) QSpec В но правилу Ф*(р) = Ф_1(р). Также для произвольного ¿-дифференциального кольца В существует отображение 7г: Spec В —> QSpec В, которое каждому первичному идеалу р ставит в соответствие максимальный ¿-дифференциальный идеал, лежащий в р. Для произвольного ¿-дифференциального кольца В мы показываем, что отображение р —> Ov(L) дает биекцию между Spec В и QSpec Os(L). Основным результатом раздела является следующая теорема.

Теорема 9. Пусть алгебра Ли L свободна и конечно порождена как модуль и В - L-дифференциалъное кольцо. Пусть Ф: В —> Ов(Ь) - гомоморфизм Тейлора для <р = Ids- Тогда следующая диаграмма коммутативна

Spec В Spec В

"1 II

QSpec В QSpec 0B{L) где все отображения непрерывны, равенство обозначает описанную биекцию между Spec В и QSpec 0B(L), a it и Ф* сюръективны.

Оставшаяся часть главы посвящена коммутативному случаю, и в частности случаю колец конечной характеристики. В этом случае доказывается следующий результат.

Теорема 10. Пусть В - L-дифференциалъное коммутативное кольцо, char В = п ф 0. Тогда в следующей диаграмме все отображения гомеоморфизмы

Spec В Spec 0B(L)

QSpec В Л- QSpec 0B(L)

В третьей главе развивается техника построения простых дифференциальных идеалов в тензорных произведениях дифференциально конечно порожденных алгебр Рнтта.

В дифференциальной алгебре существует несколько доказательств существования и единственности дифференциального замыкания для дифференциального ноля характеристики нуль. Одним из самых мощных является доказательство С. Шелаха, использующее понятие тотально трансцендентных теорий. Мы показываем как, использую нашу технику для построения простых дифференциальных идеалов, получить чисто алгебраическое доказательство основанное на методе разработанном С. Шелахом.

Основным техническим результатом является следующая теорема.

Теорема 11. Пусть { Ва }а€л - некоторое множество простых дифференциально конечно порожденных К-алгебр и Я = ®аВа. Тогда

1. Существует такой простой дифференциальный идеал р в й = ®аВа, что константы поля вычетов р алгебраичны над С.

2. Существует простой дифференциальный идеал р в кольце Я = ®аВа такой, что любая дифференциально конечно порожденная подалгебра В в поле вычетов идеала р является локально простой.

3. Существует такой простой дифференциальный идеал р в К = <Е>пВ,и что для любого дифференциально замкнутого поля Ь, содержащего К, существует вложение поля вычетов идеала р в Ь над К.

В теории моделей существует понятие конструируемой модели. В случае дифференциальных полей это понятие можно выразить на чисто алгебраическом языке. Более того предыдущая теорема позволяет доказать следующий результат, который в теории моделей известен как теорема Рессэра.

Теорема 12. Пусть Ь и Р - конструируемые дифференциально замкнутые поля, тогда они изоморфны.

В дифференциальной алгебре основным средством работы с дифференциально конечно порожденными алгебрами является метод характеристических множеств. Однако, в том виде, в котором он обычно приводится, он практически бесполезен. Факт существования конечного характеристического множества для дифференциального идеала может быть переформулирован в следующем виде.

Лемма 13 («о расщеплении»). Пусть D - дифференциальная область целостности, а А и В такие его дифференциальные подкольца, что D = А- В и В дифференциально конечно порождено. Тогда существует такое дифференциально конечно порожденное подкольцо С в А и элемент s Е С ■ В, что

Ds = Д®с {С-В),.

Использую эту лемму, можно получить чисто алгебраическое доказательство следующей теоремы (которая и была доказана С. Шелахом).

Теорема 14. Пусть L - дифференциальное замыкание поля К, тогда оно конструируемо.

Развитый нами метод позволяет не только повторить доказательство С. Шелаха на чисто алгебраическом языке, но и развить общую теорию Галуа произвольных систем дифференциальных уравнений. Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 15. Пусть KCL- некоторое нормальное расширение дифференциальных полей. Тогда для любого подполя разложения F в L, содержащего К, выполнено равенство

Р = ¿Gal i(i/F)i

Более того, верно для групп дифференциальных автоморфизмов выполнено равенство

Gala{F/K) = G&\a(L/K)/ Galü(L/F).

Структура дифференциального замыкания тесно связана с теорией дифференциальных схем. А именно, пусть В - произвольная дифференциально конечно порожденная алгебра над полем К. Пусть К - дифференциальное замыкание поля К. Через X^ обозначим множество К точек алгебры В, то есть множество дифференциальных гомоморфизмов из В в К над К. Через G как и обозначим группу GalА(К/К). Группа G действует на Хк естественным образом X

Теорема 16. В сформулированных выше условиях верно равенство

SMaxA В = XTJG.

Полученный результат позволяет переносить результаты с языка теории дифференциальных схем на случай дифференциально алгебраических многообразий. В коммутативной алгебре в случае конечно порожденных

алгебр операция построения максимального спектра является функтори-альной. Поэтому в случае не замкнутого поля достаточно использовать максимальный спектр вместо К-точек. В дифференциальном случае максимальный дифференциальный спектр не выполняет той же роли, что в коммутативном случае, такое соответствие не функториалыю. Предыдущая теорема говорит, что подходящей заменой является множество локально замкнутых точек дифференциального спектра БМахд В.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору кафедры высшей алгебры Александру Васильевичу Михалеву. Неоценимую помощь при работе над результатами диссертации оказали к.ф.-м.н.Марина Владимировна Кондратьева, к.ф.-м.н. Алексей Игоревич Зобнин и к.ф.-м.н. Алексей Игоревич Овчинников. Особенно автор хотел бы поблагодарить Марину Владимировну Кондратьеву за ценные замечания. Автор также признателен доктору физико-математических наук профессору Евгению Соломоновичу Голоду и к.ф.-м.н. Александру Геннадьевичу Кузнецову за то, что они познакомили автора с коммутативной алгеброй, к.ф.-м.н. доценту Виктору Тимофеевичу Маркову и к.ф.-м.н. Елене Игоревне Буниной за знакомство автора с некоммутативной теорией колец. Автор благодарит Уильяма Кира31 за плодотворные беседы но теории дифференциальных колец и Юрия Питиримовича Размыслова за знакомство автора с теорией представлений алгебр.

Автор посвящает работу памяти Евгения Васильевича Панкратьева, который ввел автора в прекрасный мир компьютерной и дифференциальной алгебры.

31\У1Шаш Keigher

Работы автора по теме диссертации

[1] Трушин Д., Идеал сепарант в кольце дифференциальных многочленов. Фундаментальная и прикладная математика, том 13, выи. 1, стр. 215227 (2007).

[2] Трушин Д., Квазиснектр алгебры разделенных степеней. Фундаментальная и прикладная математика, том 14, выи. 4, стр. 213-226 (2008).

[3] Трушин Д., Общая дифференциальная теория Галуа. Вестник Московского университета, вып. 3, 2010, стр. 38-39.

[4] Трушин Д., Поля разложения и общая дифференциальная теория Галуа. Математический сборник, том 21, ном. 9, 2010, стр. 77-110

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡со экз. Заказ Х2 31

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Трушин, Дмитрий Витальевич

1 Введение

2 Идеал сепарант в кольце дифференциальных многочленов

2.1 Основные определения и понятия

2.2 Идеал сепарант.

2.3 Целые расширения.

2.4 Оценки сложности.

3 Квазиспектр алгебры разделенных степеней

3.1 Основные определения и понятия

3.2 Квазипервичные идеалы.

3.3 Топологический случай.

3.4 Коммутативный случай.

3.5 Ряды Гурвица

4 Общая дифференциальная теория Галуа

4.1 Определения и обозначения.

4.2 Идеалы тензорных произведений.

4.2.1 Алгебраические расширения констант.

4.2.2 Локальная простота.

4.2.3 Универсальные расширения.

4.3 Конструируемые поля.

4.4 Теорема единственности.

4.5 Поля разложений.

4.5.1 Абстрактное поле разложения

4.5.2 Подполе разложения.

4.5.3 Нормальные расширения.

4.6 Соответствие Галуа для нормальных расширений.

4.7 Связь с дифференциально алгебраическими многообразиями

Введение диссертация по математике, на тему "Дифференциальные идеалы"

Понятие дифференциального идеала является одним из наиболее фундаментальных в дифференциальной алгебре. Первый вопрос при изучении дифференциального кольца - это вопрос о структуре его дифференциальных идеалов. Кроме того, в терминах дифференциальных идеалов могут быть выражены различные проблемы, связанные с дифференциальными кольцами. Спектр задач, решаемых на языке дифференциальных идеалов весьма широк (подробный обзор можно найти в [5,24]). Мы опишем лишь направления, затронутые в работе.

Первый большой пласт задач связан со структурной теорией дифференциальных колец. Большой интерес представляет структура дифференциально конечно порожденных алгебр Ритта. Любая такая алгебра может быть представлена в качестве факторкольца кольца дифференциальных многочленов по некоторому дифференциальному идеалу. Таким образом, задача изучения данного класса алгебр сводится к изучению дифференциальных идеалов в кольце дифференциальных многочленов над некоторым дифференциальным полем характеристики нуль. В этом направлении огромную роль играет вычислительная техника работы с многочленами. Так как кольцо дифференциальных многочленов представляет из себя кольцо многочленов от счетного числа переменных, то эффективные вычисления в этом кольце достаточно затруднены. Тем не менее существуют эффективные методы работы с радикальными идеалами, основанные на работе с характеристическими множествами дифференциальных идеалов [8,9,15]. Однако они слабо применимы к нерадикальиым дифференциальным идеалом и к тому же не позволяют отвечать на все интересующие вопросы. В 80-е годы Ф. Оливье [28,29] и Дж. Kappa Ферро [11] были одними из первых, кто ввел понятие дифференциальных стандартных базисов, которые по аналогии с базисами Гребнера решают вычислительные проблемы. Однако такие базисы, вообще говоря, оказываются счетными. И для эффективной работы требуются некоторые критерии конечности для них. Сами основатели теории формулировали некоторые необходимые и достаточные условия конечности, но все они были трудно проверяемы и в результате не давали практической пользы [10,11,28]. Достаточно подробно вопросы конечности дифференциальных стандартных базисов изучались в работах А. И. Зобнина [2,38-40]. Развития в этом направлении удалось достичь за счет расширения класса рассматриваемых упорядочений. С другой стороны, проверку конечности дифференциальных стандартных базисов хотелось бы сформулировать в терминах идеалов, а именно, проверку конечности дифференциального стандартного базиса требуется свести к проверки равенства некоторого идеала всему кольцу. В случае обыкновенного кольца дифференциальных многочленов от одной переменной такой критерий был найден [41]. Для любого дифференциального идеала в кольце обыкновенных дифференциальных многочленов от одной неизвестной можно построить идеал сепарант, который и отвечает за конечность дифференциального стандартного базиса. Указанному критерию посвящена первая часть работы. Более того, предложены способы эффективной проверки требуемого условия, что позволило эффективно опровергать гипотезы о конечности дифференциальных стандартных базисов дифференциальных идеалов из достаточно широкого класса. Следующая задача, возникающая после установления наличия конечного дифференциального стандартного базиса, - это нахождение этого базиса. Первый алгоритмический способ проверки был предложен Ф. Оливье [28]. Впоследствии его значительно улучшил А. И. Зобнин в своей диссертационной работе. Последний предложенный алгоритм заведомо останавливался в случае существования конечного дифференциального стандартного базиса. При этом хочется понять насколько трудоемкими могут быть вычисления. Одной из характеристик сложности работы алгоритма является максимальный порядок элементов стандартного базиса. Используя метод идеала сепарант, можно оценить сверху указанные порядки дифференциального стандартного базиса.

Часто для изучения кольца полезно ограничиться знаниями о структуре его простых идеалов. Подобная идея идет от теории схем, которые эффективно применяются для изучения алгебраических многообразий. В дифференциальной алгебре естественным образом возникает понятие простого дифференциального идеала и простого дифференциального спектра. Однако имеется один неприятный эффект, для нетривиального дифференциального кольца его дифференциальный спектр может быть пуст. Таким образом, из ноля зрения выпадает очень широкий класс дифференциальных колец. В 80-х годах У. Киром был предложен метод, позволяющий преодолеть это препятствие [16]. Им было введено понятие квазипростого дифференциального идеала. Соответственно, у дифференциальных колец возникают квазиспектры, для которых Кир строил соответствующую теорию [17], [19]. Теория схем очень сильно опирается на категориую точку зрения, которой придерживался и Кир. Для категории дифференциальных колец существует забывающий функтор в категорию колец. Важным наблюдением Кира является существование левого сопряженного к нему. Таким функтором является функтор построения рядов Гурвица над коммутативным кольцом. В работах Кира возникла необходимость выяснить связь квазиспектра исходного дифференциального кольца и кольца его рядов Гурвица. Эта задача связана с изучением естественно возникающего морфизма функторов в категории дифференциальных колец. Автором предложен метод, с помощью которого конструктивно описываются квазипростые дифференциальные идеалы рядов Гурвица в терминах исходного кольца. Для этого требуется ввести некоторую топологию на рядах. При построении теории было замечено, что функтор рядов Гурвица можно обобщить на случай некоммутативного кольца. Соответствующая конструкция возникает как обобщение конструкции алгебры разделенных степеней для некоторой алгебры Ли. В итоге, в работе решается задача описания связи квазиспектров в наиболее общем случае, а именно, в случае некоммутативного кольца, на котором действует некоторая свободная конечно порожденная алгебра Ли.

На сегодняшний день достаточную силу в алгебре (включая коммутативную и дифференциальную алгебру) приобрели методы теории моделей. Особую силу демонстрирует ее часть, называемая теорией стабильности [6, гдава 18]. В работах таких математиков, как А. Пиллай [30,32] и Т. Мак Грэйл [27] получены очень сильные структурные результаты дифференциальной алгебры методами теории моделей, которые пока не имеют чисто алгебраических доказательств. В частности, в работе Т. Мак Грэйла [27] было доказано существование и единственность дифференциального замыкания для дифференциальных полей характеристики нуль, которое, в отличие от оригинального доказательства Колчина [22], более явно описывало структуру дифференциального замыкания. В работах А. Пиллая [30] по общей дифференциальной теории Галуа дано полное конструктивное описание структуры дифференциального замыкания и описано соответствие Галуа в общем виде. Более того, используемые теоретико-модельные методы позволили перекинуть результаты на смежную к дифференциальной алгебре область - на теорию разностных колец, в которой, например, доказано существование разностно замкнутых полей [13,26]. Появление столь мощного логического аппарата позволило продвинуться в получении алгебраических результатов в дифференциальной и разностой алгебре. Однако, несмотря на то, что непосредственные ссылки на теоретико-модельные результаты, дают ответы на алгебраические вопросы, структура и механизм возникающих эффектов остается загадкой. Проблема в том, что непонятно за счет чего вдруг в смежной области появляются результаты сильнее тех, которые можно получить алгебраическим путем. За счет чего, за счет каких эффектов достигается такая эффективность? Сразу встает вопрос о получении адекватной алгебраической техники, позволяющей элиминировать теорию моделей. Так как для дифференциальной алгебры, как и для любой другой науки, очень важно уметь получать сильные результаты внутренними методами, методами самой науки. Построению такой техники, адекватно отражающей методы теории стабильности в дифференциальной алгебре, и посвящен третий раздел работы. Оказывается, что построение желаемого алгебраического аппарата основывается на изучении дифференциальных идеалов в тензорных произведениях дифференциальных колец. Вопросы существования специальных типов дифференциальных идеалов напрямую связаны со структурой дифференциального замыкания дифференциальных полей характеристики нуль. Более того, полученные алгебраические методы не апеллируют к продвинутой алгебраической технике, все они строятся на классических результатах коммутативной и дифференциальной алгебры. Эта техника развивается таким образом, чтобы как можно меньше апеллировать к дифференциальной структуре кольца, это сделано с целью возможности дальнейшего ее применения и в теории разностных колец. В качестве примера па основе полученного алгебраического аппарата строится самый общий вариант дифференциальной теории Галуа. Тем самым мы иллюстрируем, что все основные механизмы, используемые логиками, задействованы и в нашем подходе, тем самым полученная теория позволяет получать чисто алгебраическими методами те результаты, которые до этого имели только теоретико-модельные доказательства. Ниже мы перечислим явно все основные результаты диссертации:

2. На основе критерия получен метод вычисления длительности работы алгоритма построения дифференциального стандартного базиса в случае его конечности (лемма 32).

5. Построена общая теория Галуа для дифференциальных уравнений методами не использующими теоретико-модельную технику. В терминах действия группы Галуа дифференциального замыкания оиисана связь дифференциально алгебраического многообразия со структурой локально замкнутых точек дифференциального спектра (теорема 112 и теорема 114).

В первой части работы применяются классические результаты вычислительной дифференциальной алгебры отраженные в работах Колчина, Kappa Ферро, Зобнина [2,10,11,28,38-40]. Основная техника - вычисления с сепарантами в кольце дифференциальных многочленов.

Во второй части работы в коммутативном случае автор опирается на базовую технику, разработанную Киром [16,20]. Для обобщения полученных результатов на случай некоммутативных колец используются идеи, развитые Размысловым в [7], и общие результаты теории некоммутативных колец. Для ссылок на базовые результаты из некоммутативной алгебры мы используем книгу Ламбека [4].

Наиболее сложной с технической стороны является третья часть работы. Элиминация теоретико-модельных методов требует несколько более изысканной алгебраической техиики. Для нас являются основными методы работы со спектрами коммутативных колец и обобщения этих методов на случай дифференциальной алгебры. В наибольшей степени эта техника представляет из себя обобщение разного сорта результатов из коммутативной алгебры (для ссылок мы используем книгу [1]) и комбинацию их с классическими результатами Колчина, отраженными в книге [23].

Автор выражает признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору кафедры высшей алгебры Александру Васильевичу Михалеву. Неоценимую помощь при работе над результатами диссертации оказали к.ф.-м.н.Марина Владимировна Кондратьева, к.ф.-м.н. Алексей Игоревич Зобнин и к.ф.-м.н. Алексей Игоревич Овчинников. Особенно автор хотел бы поблагодарить Марину Владимировну Кондратьеву за подробное обсуждение работы и помощь в построении примеров и контрпримеров, приведенных в ней. Автор также признателен доктору физико-математических наук профессору Евгению Соломоновичу Голоду и к.ф.-м.н. Александру Геннадьевичу Кузнецову за то, что они познакомили автора с коммутативной алгеброй, к.ф.-м.н. доценту Виктору Тимофеевичу Маркову и к.ф.-м.н. Елене Игоревне Буниной за знакомство автора с некоммутативной теорией колец. Автор благодарит Уильяма Кира1 за плодотворные беседы по теории дифференциальных колец и Юрия Питиримовича Размыслова за знакомство автора с теорией представлений алгебр.

1\\ШЦат КодЬсг

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Трушин, Дмитрий Витальевич, Москва

1. Атья M., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003.

2. Зобнин А., О стандартных базисах в кольце дифференциальных многочленов. Фундаментальная и прикладная математика, том 9, вып. 3, стр. 89-102 (2003).

3. Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру. М.: Мир, 1959.

4. Ламбек И. Кольца и модули. Факториал-Пресс. 2005.

5. Михалев А. В., Панкратьев Е. В. Дифференциальная и разностная алгебра. Итоги науки и техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия, том 25, Москва, 1987

6. Пуаза Б. Курс теории моделей, 2001. Электронная книга http://www.math.nsc.ru/LBRT/logic/books/poizat/

7. Размыслов Ю. П. Введение в теорию алгебр и их представлений. Издательство московского университета. Москва. 1991.

8. Boulier F., Étude et implantation de quelques algorightmes en algèbre différentielle, Thèse de I'Universiteté des Seines et Technologies de Lille, 1994.

9. Boulier F., Lazard D., Ollivier F., Petitot M., Representation for the Radical of a Finitely Generated Differential Ideal, in Prociidings of 1995 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 158166, ACM Press, 1995.

10. Carrà Ferro G. Grôbner bases and differential algebra. Lectures notes in computer science, 356:129-140, 1989

11. Carra Ferro G. Differential Grôbner Bases in One Variable and in the Partial Case, Math. Comput. Model., Pergamon Press, vol. 25, 1-10, 1997.

12. Chatzidakis Z., Hrushovski E., Model theory of difference fields, Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), no. 8, 2997-3071

13. Eisenbud D. Commutative algebra with a view Toward Algwbraic Geometry. Springer-Verlag. 1994.

14. Hubert E., Notes on triangular sets and triangulation-décomposition algorithms. II: Differential Systems, Symbolic and Numerical Scientific Computing 2001, 40-87, 2003.

15. Kcighcr W. Quasi-prime ideals in differential rings. Houston J. Math 4, (1978), 379-388.

16. Kcigher W. On the quasi-affine scheme of a differential ring. Advances in Math. 42 (1981), 143-153.

17. Keigher W. Differential rings constructed from quasi-prime ideals. J. Pure Appl. Algebra 26 (1982), 191-201.

18. Keigher W. On the structure sheaf of a differential ring. J. Pure Appl. Algebra 27 (1983) 163-172.

19. Keigher W. On the ring of Hurwitz series. Comm. Algebra 25 (1997), 18451859.

20. Kolchin E. R. On the Exponents of Differential Ideals. The Annals of Mathematics, Second Series, Volume 42, Issue 3 (Jul., 1941), 740-777.

21. Kolchin E. R. Constrained Extensions of Differential Fields. Advances in Math, 12, 1974, pp. 141-170.

22. Kolchin E. R. Differential Algebra and Algebraic Groups. Academic Press, New York, 1976.

23. Kondratieva M. V., Levin A. B., Mikhalev A.V., Pankratiev E.V. Differential and Difference Dimension Polynomials, Kluwcr Academic Publisher, 1999.

24. Kovacic J. J. The differential Galois theory of strongly normal extensions. Trans. AMS, Vol 355, Number 11, 2003, pp. 4475-4522.

25. Macintyre A., Generic automorphisms of fields, Ann. Pure Appl. Logic 88:2-3 (1997), 165-180.

26. McGrail T., The Model Theory of Differential Fields with Finitely Many Commuting Derivations, The Journal of Symbolic Logic, Vol. 65, No. 2 (Jun., 2000), pp. 885-913

27. Ollivier F. Standard bases of differential ideals. Lectures notes in computer science, 508: 304-321, 1990

28. Ollivier F., Le problème de l'identifiablité structurelle globale, thèse de doctorat, École polytechnique, 1990.

29. Pillay A. Differential Galois theory II. Annals of Pure and Applied Logic Volume 88, Issues 2-3, 17 November 1997, Pages 181-191

30. Pillay A., Marker D. Differential Galois Theory III: some inverse problems. Journal of Mathematics, vol 3, 1997, pp. 453-461

31. Pillay A. Differential Galois theory I., Illinois J. Math., 42 (1998), 678-699.

32. Ritt J. F. Differential Algebra, volume 33 of American Mathematical Society Colloquium Publication. Lectures notes in computer science American Mathematical Society, New York, 1950.

33. Rosenlicht. M. The nonminimality of the differential closure. Pacific J. Math, vol 52 issue 2, 1974, pp. 529-537

34. Scanlon T. Model Theory and differential algebra. World Scientific. 2002, pp. 125-150

35. Shelah S. Uniqueness and characterization of prime models over sets for totally transcendental first order theories. J. Symbolic Logic, vol 37, 1972, pp. 107-113

36. Singer M. F. and vander Put M. and Galois Theory of Linear Differential Equations Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 328, Springer, 2003.

37. Zobnin A., On Testing the Membership to Differential Ideals. In Proceedings of the 7th International Workchop on Computer Algebra in Scintific Computin (CASC-2004), July 12-19, St. Petersburg, Russia, pp. 485-496 (2004).

38. Zobnin A., Admissible Orderings and Finitness Criteria for Differential Standard Bases. In Proceeding of International Symposiom on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC-2005), Jully 24-27, Beijing, China, pp. 365-372 (2005)

39. Zobnin A., Some Results on Differential Grobncr Bases. Om Proceeding of A3L-2005 (Conference in Homor of the 60th Birthday of Volker Weispfenning), April 3-6, Passau^ Germany, pp. 309-314.

40. Трушин Д., Идеал сепарант в кольце дифференциальных многочленов. Фундаментальная и прикладная математика, том 13, вып. 1, стр. 215227 (2007).

41. Трушин Д., Квазиспектр алгебры разделенных степеней. Фундаментальная и прикладная математика, том 14, вып. 4, стр. 213-226 (2008).

42. Трушин Д., Общая дифференциальная теория Галуа. Вестник московского университета, вып. 3, 2010, стр. 38-39.

43. Трушин Д., Поля разложения и общая дифференциальная теория Галуа. Математический сборник, том 21, ном. 9, 2010, стр. 77-110