О представлении конечных колец с единицей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение*.;

Глава I. Треугольное представление конечных колец с единицей.

§1. Треугольная: представимость колец и треугольное произведение пар.

§2. Треугольная представимость конечного кольца с единицей матричными: кольцами над кольцами Галуа.

§3, Кольца, представите факторами кольца обобщенно-треугольных. матриц над гаиксировшшьм. матричным кольцом над кольцом. Галуа.„.

Глава 2. Представление конечных колец с единицей- кольцами матриц; Селе над кольцами Галуа.

§1» Строение бимодулей над конечными кольцами с единицей.

§2. Представление конечного кольца матрицами Селе.

Глава 3. Сложность колец и: модулей.

§1. Псевдорадикал Галуа. Определение сложности.

§2. Сложность модуля над кольцом ж над подкольцом. Соотношение сложностей, родственных колец.

§3. Сложность модули: над кольцом и над подкольцом. Соотношение сложностей, родственных колец (продолжение).

§4. Кольца сложности два.

В последнее время: возродился: интерес многих, исследователе! кг одной: из самых старых областей алгебры - теории конечных колец. !Шк в 1974 году Макдональдом была выпущена монография: [22] , посвященная конечным кольцам с единицей. В большой серии работ (см., например, [6 ] - [в] , [17] , [21 ] ) изучаются, многообразия конечных колец к критические кольца этих многообразий. При этом отыскание критических объектов базируется как правило на сведениях о строении соответствующих колец и, таким образом, эти исследования стимулируют, развитие структурной теории конечных колец.

Эта теория в свою очередь подразделяется на два направления. Задачей первого из них является описание всех конечных колец (или каких-то достаточно богатых подклассов) в качестве подобъектов или гомоморфных образов некоторых полностью изученных колец» Такой тематике была посвящена работа. Селе [24^] , в которой доказана теорема о вложении любого конечного кольца с единицей в специальным способом, сконструированное кольцо матриц, названных впоследствии матрицами Селе» Позднее это вложение было уточнено в: серии работ Уилсона. [25] - [27 ] . К тому же направлению относятся. некоторые теоремы книги [22 ] , в которых конечные кольца с единицей описываются как. гомоморфные образы колец многочленов над кольцами Талу а ^

Задачей, второго направления структурной теории является полное описание объектов, принадлежащих исследуемому классу. Здесь можно отметить работы А» А. Нечаева [э] , [ю] , посвященные конечным кольцам главных идеалов, статью В.Г. Антипкина и

В.ГГ. Елизарова [2] , где перечислены все кольца порядка р2 для: простого числауО , а также результаты В.А. Ратинова (см. [14 ] - [ш] ), из которых вытекает описание некоторых классов конечных колец.

В данной работе- конечные кольца с единицей представляются эндоморфизмами модулей- над кольцом Галуа, а затем на основании этого представления: изучается: строение конечных колец. Следующие результаты диссертации- являются основными:

1). Доказано, что любое конечное кольцо с единицей, является собственным фактором (т.е. шакторкольцом подкольца) кольца обобщенно-треугольных матриц, на диагонали которого стоят кольца, матриц над кольцами Галуа [ю] . Найдены конечные кольца, для которых любое такое представление тривиально.

2). Доказывается, теорема о вложении конечного кольца с единицей в. прямую сумму колец, каждое из которых является кольцом нижнеблочнотреугольных матриц: Селе [24] над кольцом Галуа. Этот результат обобщает основную теорему Уилсона [27] .

3). Вводится понятие сложности конечных модулей, и колец. Исследуются свойства сложности модулей при замене колец. Описываются кольца сложности два.

Приступим к более подробному изложению результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав.