Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Алеев, Рифхат Жалялович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Челябинск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ОД
2 о нол ?мт
На правах рукописи
Алеев Рифхат Жалялович
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Екатеринбург, 2000
Работа выполнена на кафедре компьютерной топологии и алгебры Челябинского государственного университета
Научный консультант: Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
доктор физико математических наук. . профессор В.Д. Мазуров
доктор физико-математических наук, профессор В.А. Велоногов
доктор физико-математических наук, профессор Л.С. Казарин
доктор физико-математических наук, профессор В.М. Левчук
Омский государственный университет
Защита состоится 19 декабря 2000 г. в * 14 » часов на заседании диссертационного совета Д 002.07.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.
Автореферат разослан » ноября 2000 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат.наук,
доцент В.В. Кабанов
в/^.з^оз
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, используются не только в алгебре, но и в других разделах математики, например, в топологии.
В теории групповых колец можно выделить два следующих основных направления.
1. Исследование кольцевой структуры. Изучается строение группового кольца с точки зрения теории колец: первичность, регулярность, примитивность и т.п. групповых колец (см. [6]).
2. Исследование мультипликативной структуры. Выясняется строение мультипликативных групп (= групп обратимых элементов = единиц) группового кольца.
Это деление условно, так как зачастую невозможно достичь успеха в одном направлении без изучения свойств, связанных с другим. Наши исследования будут, в основном, касаться второго направления, то есть, мы будем изучать группы единиц групповых колец.
Сначала вопросы мультипликативной структуры рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел, упомянем знаменитую теорему Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел (см. [7, Теорема II.4.5]). Впоследствии получено много разнообразных и впечатляющих результатов. Укажем, к примеру, интересные и полезные результаты Синнота [24] и [25] о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел).
В 1940 году была опубликована замечательная статья Хигма-на "The units of group rings" [20j. После неё Хигман опубликовал много работ, на его работа [20] не потеряла своей актуальности, её результаты определили дальнейшее развитие теории единиц групповых колец и нашли свое применение в других областях.
В настоящее время можно выделить в мультипликативной теории групповых колец такие основные области исследований.
1. Построение таких подгрупп групп единиц, которые имеют определённые свойства (свобода, центральность, конечность индекса и др.).
2. Выяснение свойств группы всех единиц.
Обзоры современного состояния исследований мультипликативной структуры групповых колец можно найти в работах [19] и [211.
Классическими объектами исследований в теории групповых колец служат целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные и глубокие характеристики групповых колец конечных групп. В самом деле, если рассматривать групповые алгебры конечных групп над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами. Если же рассматривать групповые алгебры над полями ненулевой характеристики, то часто там работают совершенно иные методы. Например, при изучении групп единиц таких алгебр используются методы теории р-групп.
Цель диссертации
Основная цель диссертации состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец, то есть, единиц (= обратимых элементов) центров таких колец. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важнейшая часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придаёт результат [18, Теорема 3.7], который утверждает, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. При изучении центральных единиц в диссертации получены как результаты о свойствах отдельных центральных единиц, так и свойства групп всех центральных единиц. Также впервые получены полные описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец некоторых конечных групп. Для изучения
центральных единиц получены результаты о кольцах целых абе-лсвых полей, имеющие самостоятельное значение для алгебраической теории чисел.
Методика исследования
Для изучения центральных единиц привлекаются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры.
Можно выделить, как один из основных подходов к изучению центральных единиц, развиваемых в диссертации — метод, который мы называем локальным и который позволяет строить центральные единицы, связанные с единственным неприводимым комплексным характером.
Применение локального метода позволяет строить подгруппы конечного индекса в группах центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп. После этого исследование мультипликативной структуры центра целочисленного группового кольца сводится к исследованиям фактор-группы группы центральных единиц по построенной подгруппе и тем самым к работе в конечной абелевой группе, что позволяет существенно упростить получение полного описания группы всех центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность
Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для исследований как в алгебре и теории чисел, так и в их приложениях.
Результаты диссертации позволяют:
• определять показатсли групп единиц фактор-колец колец целых абелепых полей, что полезно в исследованиях по алгебраической теории чисел;
« находить центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп, что очень важно при исследовании мультипликативной структуры таких колец;
• строить подгруппы конечного индекса в группах центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп;
• полностью описывать группы центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп.
Следует отметить, что подходы изучения центральных единиц, развиваемые Сегалом и его соавторами, не позволяют работать с произвольными конечными группами, а могут применяться только к группам близким к абелевым, таким как нилыютентные. Более подробно эта тема освещена в обзоре [21, с. 147-149].
Полученные в диссертации результаты по теории чисел и применяемые для их получения подходы имеют самостоятельный интерес и могут иметь приложения в исследованиях колец целых абелевых полей.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на IV Сибирской школе "Алгебра и анализ" (Омск, 1890), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991), на Международной алгебраической конференции, посвящённой памяти Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997), на Международной конференции но теории групп, посвящённой памяти С.Н. Черникова (Пермь, 1997), на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1997) — пленарный доклад по приглашению оргкомитета, на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Ку-роша (Москва, 1998), на Международной конференции "Комбинаторные и вычислительные методы в математике" (Омск, 1998) — пленарный доклад по приглашению оргкомитета, на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1998), на Международной конференции "Маломерная топология и комбинаторная теория групп" (Челябинск, 1999), на Международной алгебраической конференции, посвящённой 60-летию со дня рождения Ю.И. Мерзлякова (Новосибирск, 2000), на алгебраических семинарах ЙММ УрО РАН, Челябинского, Омского и Южно-Уральского госуниверситетов.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах |26|--|42|.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, библиографии и приложений. Она изложена на 309 страницах (с библиографией, без приложений), библиография содержит 80 наименований. Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя, например, теорема 3.4 — четвёртая теорема третьей главы. Главы делятся на параграфы, которые делятся на разделы, которые могут делиться на пункты. Укажем, что означает равенство по определению.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Поскольку при обзоре содержания диссертации используется довольно много обозначений и не все из них общеприняты, то приведём основные из них.
1. Пусть К — ассоциативное кольцо с единичным элементом 1, рассматриваются только такие кольца. Тогда:
(a) ЩА") — группа единиц кольца К\
(b) ¿{К) — центр кольца К (для центра группы используется такое же обозначение);
(c) ЦК) — (под)кольцо целых коммутативного кольца К, в основном, рассматриваются коммутативные кольца.
2. ф — теоретико-числовая функция Эйлера.
3. — число натуральных делителей данного числа.
4. НОД — наибольший общий делитель.
5. 7г(п) — множество всех простых делителей натурального числа п.
6. Ъ кольцо целых (рациональных) чисел.
7. <3 —- поле рациональных чисап.
8. II — поле действительных чисел.
9. С — поле комплексных чисел.
10. С2(Сп) ~ круговое поле, полученное присоединением (к полю рациональных чисел (2) корней степени п из 1.
11. Пусть К/Ц — расширение Галуа. Тогда
(a) Са1 (К) — группа Галуа расширения К/р,
(b) — след относительно расширения К/Ц,
(c) Гч1^ — норма относительно расширения /•^/Q.
12. Пусть С? — конечная группа. Тогда:
(a) КС — групповое кольцо группы С над кольцом К\
(b) I](2(КС)) — группа центральных единиц группового кольца Кй,
(c) V{'¿{КС)) — нормализованная группа центральных единиц группового кольца К(3, то есть группа единиц, имеющих равную 1 сумму коэффициентов при разложении по элементам группы.
(с1) ехр(С?) — показатель (наименьшее общее кратное порядков всех элементов С) группы С;
(е) Ш8(<3) = ехр(и(1(ад<?)))/ида(?))) - число Хиг-мана конечной группы С;
Х(С?) — система представителей классов сопряжённости группы С;
(б) У(х) — классовая сумма в целочисленном групповом кольце группы С класса сопряжённости х°\
(Ь) 1гг(<?) — набор всех неприводимых комплексных характеров группы (?;
(1) Тгг(С, а/с) — система представителей классов эквивалентности алгебраически сопряжённых неприводимых
комплексных характеров;
У) если х - характер из 1гг(С?), то
¡. е(х) - минимальный центральный идемпотент, соответствующий характеру '>• ~ поле характера х (получается присоедине-
нием к С} всех значений характера х), х" характер алгебраически сопряжённый с^с помощью а € Са1(С}(х)), IV. Ггг(х; а1с) — класс характеров, алгебраически сопряжённых с X)
у. г<х) = Ж,
VI. при А 6 С2(х) полагаем
их(Х)= £ е(0+ £ а(Х)е(хП,
^1гг(х,а/с) .тбСаЦЧСх))
напомним, что е(£) определяется нами только для £ 6 1гг(С) и потому первая сумма берётся по всем комплексным неприводимым характерам группы С, алгебраически несопряжённым с х\
(к) Зг(х) ~ коэффициент при е(х) в разложении центрального элемента V алгебры СС по базису {е(х) | х £ 1гг(С)}.
Первая глава "Предварительные сведения и результаты"
В этой главе содержатся необходимые определения, обозначения и результаты, которые используются в последующих главах.
Вторая глава "Теоретико-числовые результаты"
Эта глава посвящена тем результатам из теории чисел, которые используются в дальнейшем в главах 3-5. Сначала исследуются мультипликативные группы колец целых круговых полей, полученных присоединением корней из 1 степеней 12, 15 и 17. Затем изучаются показатели групп единиц фактор-колец колец
вычетов по натуральному модулю, то есть, находится показатель exp (U (ЦК)/z\(K))) группы единиц U (ЦК)/ гЦК)) фактор-кольца ЦК)/ z\(K), где г — натуральное число, К — абелево ноле (поле с абелевой группой Галуа) и 1(/<Г) - - его кольцо целых. Напомним, что если р — единственное простое число в простом идеале Р, то индекс ветвления идеала Р (над р ЦК)) — наибольшее натуральное число е, для которого Ре 3 р I(isT), и / — степень инерции идеала Р, если |I(if)/P| = рЛ Если Р — простой идеал кольца целых К поля с 3 € Р и 2-Зг — индекс ветвления идеала Р, то для х е Р\ Р2 определим d{х) = max{j | (1 + х)зг+1 = 1 (mod Р*)} и положим d = min{d(a;) | х е Р\Р2}. Используя китайскую теорему об остатках, можно найти показатель exp (U (ЦК)/ zl(K))) с помощью следующей теоремы, имеющей самостоятельный интерес.
Теорема А (теорема 2.1).
Пусть К — абелево поле, Р — простой идеал в I(if), содержащий простое число р, е — индекс ветвления, j — степень инерции идеала Р и i —- натуральное число. Положим также ехр(1 + Р/Р") =р\
1. Если р = 2, то е = 2Г и
t—2 при е = 1, / = 1,г ^ 3, г + г — 1 в остальных случаях.
2. Если р = 3, то е = q ■ У, q = 1,2 и
v = <
г + г — 1 при q = 1 или
q = 2, ег > 2,d = 2е, г + г в остальных случаях.
3. Если р ^ 5, то е = q ■ рг, q делит р - 1 и
г+г-1 при q = 1, г + i в остальных случаях.
Этот результат имеет значение не только для теории чисел, но имеет важные приложения в теории центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп (см. ниже теорему Д) •
В конце главы 2 изучается отношение порядка группы единиц и {\{К)/г\(К)) к её показателю, в частности, исследован вопрос о совпадении порядка и показателя, то есть о том, когда группа и {1{К)/ гЦК)) будет циклической.
Третья глава
"Основные результаты о центральных единицах"
Эта глава служит базисом для последующих исследований в главах 4-5, а также показывает полезность результатов о показателях из главы 2 для центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп.
Первый параграф посвящен хигмановой теории центральных единиц. Рассмотрим более подробно тему этого параграфа. В параграфе 2 "Конечные абелевы группы" работы [20] была построена теория групп единиц групповых колец конечных абелевых групп над кольцами целых полей алгебраических чисел, в частности, над кольцом целых чисел. Эта теория сводит нахождение единиц таких групповых колец, во многом, к нахождению единиц в кольцах целых некоторых конечных расширений полей алгебраических чисел, над которыми рассматриваются данные групповые кольца. Отметим, что это сведение — именно во многом, а не полностью, так как остаются нерешенными два следующих важных вопроса.
1. Как находить единицы в таких числовых кольцах?
2. Какие числовые единицы нужны для нахождения единиц групповых колец?
Впоследствии на с. 15 мы более подробно обсудим эти вопросы.
Через 50 лет после работы Хигмана [20] автору удалось перенести эту теорию на группы центральных единиц целочисленных групповых колец, результаты получены в 1989-1990 г. и доложены на IV Сибирской школе "Алгебра и анализ" (Омск, сентябрь
1990 г.), а также на Международной коференции по алгебре памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 20-25 авг. 1991 г.) [26], были депонированы в [27) и опубликованы в [40]. Так как теория Хиг-мана именно переносится (сохраняются с незначительными изменениями основные формулировки и доказательства), то совершенно правомерно говорить о "хигмановой теории центральных единиц". Эта теория изложена в разделе 3.1.3 в теоремах 3.13.6. Приведём формулировки результатов (каждое утверждение соответствует геореме).
Теорема Б (хигманова теория центральных единиц).
1. Центр Z(QG) рациональной групповой алгебры QG изоморфен прямой сумме полей Q(x)> X 6 Iti(G, ale)}, то есть
Z(QG) й 0 Q(x).
*6Irr(G,aIc)
2. Группа единиц U(I(Z(QG))) кольца целых центра рациональной групповой алгебры QG изоморфна прямому произведению групп единиц U(I(Q(x))) колец целых полей Q(x), X £ Irr(G, ale)}, то есть
U(I(Z(QG))) s Д U(I(Q(x))).
X€lrr(G,aic)
3. Любая единица конечного порядка из Z(ZG) тривиальна, то есть имеет вид ±z, где z — центральный элемент группы G.
4■ Существует такое целое I, что l-тая степень всякой единицы из I(¿/(QG)) лежит в Z(ZG).
5. Группа U(Z(ZG)) центральных единиц целочисленного группового кольца ZG и группа единиц кольца целых центра Z(QG) рациональной групповой алгебры QG имеют одинаковый ранг, то есть, одинаковое число бесконечных циклических сомножителей при разложении в прямое произведение циклических подгрупп.
6. /?(2<3) не имеет нетривиальных единиц тогда и только тогда, когда значения любого неприводимого комплексного характера группы й либо целые числа, либо принадлежат мнимому квадратичному полю С}(\/—5) для некоторого натурального числа
В разделе 3.1.4 хигманова теория уточняется для групп единиц целочисленных групповых колец конечных циклических групп, в частности, определяется ранг группы единиц. В качестве основных результатов этого раздела укажем два, которые играют существенную роль в доказательстве приводимой ниже теоремы Л.
Теорема В (теоремы 3.9 и 3.10).
Пусть в = (х) — циклическая группа порядка п, У(2С) — нормализованная группа единиц целочисленного группового кольца группы С, С, — первообразный корень из 1 степени п, и для любого г = 0,..., п — 1 определим отображение
¥>«: У(гс)->щг[<п),
где V = Е-'^о ~ разложение единицы V € У{7,0) по минимальным идемпотентам ео, ■ •., еп-\ комплексной групповой алгебры, соответствующим характерам Х<ь • • • ¡Хп-ъ и для каждого ] = 0,..., тг — 1 имеем Хз (я) = С^ •
1. Пусть г € {0,..., п — 1}. Тогда следующие условия (а), (Ь), (с) равносильны.
(a) Гомоморфизм имеет конечное ядро.
(b) Ранги групп \JiZG) и и(г[(1]) совпадают.
(c) Выполняется одно из следующих двух утверждений.
г. п е {1,2,3,4,6}.
гг. НОД(п,г) = 1 и п — 8,9,12 или п — простое число.
2. Пусть г 6 {0,... ,п — 1}. Гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих двух утвержде?шй.
(a) n = 1,
(b) НОД(п, г) = 1 и п — простое число или п = 6,8,9,12.
Во втором параграфе третьей главы изучаются общие свойства центральных элементов цело численных групповых колец конечных групп. Основные результаты связаны с условиями, обеспечивающими обратимость центральных элементов, то есть с тем, когда центральный элемент становится центральной единицей. Они позволяют находить центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп с помощью имеющих определённые свойства единиц колец целых полей характеров.
Теорема Г (теоремы 3.13 и 3.14).
1. Пусть К — абелево поле, содержащее значения всех неприводимых характеров группы G uv = 52xeirr(G) (х)е(х) ~ элемент из Z(ZG). Тогда следующие условия равносильны:
(a) v — центральная единица кольца ZG;
(b) для любого \ € Irr(G) число 0v(x) является единицей кольца I(Q(x));
(c) nxeIrr(G,o le)NM(x)) = ±l.
2. Пусть для каждого х € Irr(G, ale) определена единица /3(х) кольца I(Q(x))- Если для любого х б X(G) число
^ = Ш X(l)trq (х)(хМ/3(х))
' 1 X€lrr(G,alc)
является целым, то элементи — X)xgx(G) 7(а;)!/(а;) — Митральная единица кольца ZG.
Первое утверждение приведённой теоремы даёт удобный критерий обратимости элемента из Z(ZG), в то время как второе позволяет строить по единицам колец целых полей Q(x), X 6 Irr((3, ale), центральные единицы кольца ZG, проверяя лишь указанные в этом утверждении условия.
Третий параграф третьей главы посвящен локальной теории центральных единиц, когда центральная единица строится для
единственного характера. Вводится и изучается понятие локального соответствия Хигмана, которое устанавливает связь между полем единственного характера и единицами центра рациональной групповой алгебры. Мы не приводим здесь эти результаты, поскольку они носят технический характер. Отметим, что важную роль играют определённые ранее элементы ых(А), каждый из которых определяется по единственному элементу А € С2(х) для единственного характера % € 1гг(£?)- Этим обусловлено употребление термина "локальный".
Вместе с переносом хигмановой теории на центральные единицы целочисленных групповых колец наследуются упомянутые выше на с. 11 два основных вопроса.
Первый вопрос — это классический вопрос теории чисел, и по нему имеется много различных результатов. При рассмотрении центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп нужно находить единицы в кольцах целых полей характеров. Поле характера — подполе кругового поля, и здесь фундаментальные результаты Синнота [24] и [25] во многом отвечают на данный вопрос, позволяя найти подгруппы конечного вычисляемого в этих результатах индекса и порождающие таких подгрупп в группах единиц колец целых полей характеров. Поэтому можно считать, что первый вопрос почти закрыт.
Ответу на второй вопрос посвящен третий параграф третьей главы, в котором он тоже почти закрывается. А именно, результаты этого параграфа позволяют найти такое натуральное число I, что для любой единицы А кольца целых поля любого характера X 6 1гг(С) элемент их(А') будет центральной единицей целочисленного группового кольца данной группы. Данное направление исследований возникло из четвёртого утверждения теоремы Б, откуда можно извлечь только очень грубую оценку сверху для одного из таких чисел I. Так как это оценка сверху и она даже для групп небольшого порядка оказывается чрезвычайно высокой (например, в случае знакопеременной группы эта оценка дает I ^ 602 — 1, в то время как реальное значение наименьшего числа / = 12), то для применения конкретного значения I нужно иметь оценку не сверху, а по делимости, то есть, указать число, которое делится на наименьшее возможное значение I. Дня этого производится редукция к теоретико-числовой задаче уточнением
доказательства четвёртого утверждения теоремы Б. Теорема Д (теорема 3.17.)
Пусть А — произвольная единица кольца целых поля характера <3(Х). Пусть 1 = ехр(\](ЦС1(х))/г(х)№{х))))- Тогда
Каждое из полей характеров является иодполем некоторого кругового поля и потому является абелевым полем. Таким образом, мы сводим изучаемый вопрос о центральных единицах к следующей теоретико-числовой задаче:
Пусть г — натуральное число и К — абелево поле. Определить показатель ехр (и (I(К)/г ЦК))) •
Эта задача рассмотрена в параграфе 2.2, ключевым результатом которого является приведённая ранее теорема А. Отметим также, что полученные оценки во многих случаях оказываются неулучшаемыми. Приведём лишь два примера.
Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы Р5Хг(И) описана в [2], и из этого результата следует, что 20 будет наименьшим значением такого числа I, что их(Х1) является центральной единицей целочисленного группового кольца группы РЗЬ-2{11) для любой единицы А из кольца 1(<3(\/5)) и любого неприводимого комплексного характера х группы РЗЬ2{ 11). Вычисляя I согласно теореме Д с использованием теоремы А, мы также получим значение I = 20. Более подробно этот случай рассмотрен в пункте 3.4.3.2 диссертации.
РБЬг(16). Пусть р — первообразный корень степени 15 из 1. Число I = 120, определенное по построенной теории (те. орема Д с использованием теоремы А), является наименьшим показателем степени I, для которой их((р~1 +р)1) будет центральной единицей целочисленного группового кольца группы Р52/2(16)) здесь х ~ определённый неприводимый характер группы РЭЬ2(16). Все детали можно найти в пункте 5.2.2.1 диссертации.
В заключение, как применение полученных результатов, показывается, как построить подгруппу конечного индекса в группе; центральных единиц целочисленного группового кольца произвольной конечной группы. Это позволяет дать ответ на естественное обобщение на группы центральных единиц целочисленных групповых колец вопроса A.A. Бовди (см. [5, с. 45]) и проблемы [13, вопрос 12.1.6)].
Теорема Б (теорема 3.18.)
Допустим, что для каждого х € 1гг(С, ale) определены свободная подгруппа Ах ранга гх и конечного индекса ах в U(I(Q(x))) и такое натуральное числоЬх, чтоих(\Ьх) € JJ(Z(ZG)) длялюбой единицы А 6 Ах. Тогда
Л(С):={ П u(A6*)| Ae^,xeIrr(G,aíc)}
х£ ale)
является подгруппой в U(Z(ZG)) конечного индекса, делящего
nx6lrr(G,a(c) axt>x ■
Если для каждого х € Irr(G, ale) определена система свободных порождающих Fx подгруппы Ах, то
{ux(\b*)\\eFx,xeln(G,alc)}
является системой свободных порождающих подгруппы A(G).
Заключительный параграф третьей главы посвящен числам Хигмана конечных групп. Основная цель этого параграфа — получение различных оценок по делимости чисел Хигмана групп в зависимости от строения их полей характеров. Сначала приводятся результаты о различных подходе« к нахождению числа Хигмана. Натуральные числа, удовлетворяющие четвёртому утверждению теоремы Б, упорядочены по делимости и Hig(G) делит все такие числа. Точное нахождение числа Хигмана является трудной задачей, поэтому важно найти числа, которые делятся на него и, по возможности, — как можно меньшие. С использованием результатов параграфа 1.2 и 2.2 доказаны разнообразные утверждения о числах Хигмана. В последнем разделе данного параграфа приведены известные числа Хигмана и оценки для них, полученные разными способами. Результаты о
числах Хигмана довольно громоздки, и потому приведём лишь один из них.
Теорема Ж (часть теоремы 3.21).
Пусть здесь и далее ф — теоретико-числовая функция Эйлера и 7г(п) — множество всех простых делителей натурального числа п. Число Хигмана Б^(С) делит
|С|-НОД(|С|,0(ехр(С))) Д (Р0(ехр(С))-1).
р€*(|с|)
Первоначально вполне правдоподобной казалась гипотеза:
1^(6) делит порядок |£7| группы С или, по крайней мере, 7г(№§((?)) содержится в 7г(|С?|).
Однако оказалось [1, 17], что для группы Судзуки число Хигмана 1^(5я(8)) = 672 делится на 3, в то время как порядок |5г(8)| на 3 не делится! Поэтому множители — 1, р е
7г(|<?|), не являются лишними, как казалось вначале.
Четвёртая глава "Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп Р5£2(2")"
Под словами "теория центральных единиц" понимается получение общих результатов, относящихся к центральным единицам целочисленных групповых колец групп Р5£,2(2") для произвольных п, что отличает результаты этой главы от результатов раздела 5.1.2, параграфа 5.2 и работы [4], где рассмотрены случаи п = 2, п=4ип = 3, соответственно. Надо отметить, что в последних двух случаях применяются подходы и результаты данной главы.
В этой главе всё формулируется и доказывается с помощью таблиц характеров, так как основными базисами в центре комплексной групповой алгебры конечной группы являются базисы из классовых сумм и из минимальных центральных идемпо-тентов, связь между которыми описывается с помощью таблицы характеров (см. [12, § 33]). Поэтому, зафиксировав в таблице характеров представители классов и характеры, будем получать
результаты о центральных единицах в терминах классовых сумм для фиксированных представителей и центральных идемпотен-тов для фиксированных характеров.
Можно сказать, что рассмотрение групп РБЬ2(2") — модель-нал задача, так как подобные теории можно построить для других классов групп, например, для линейных групп РБЬ^д), д нечётно, групп Судзуки 5г(д), но отметим, что для этих случаев рассмотрения более сложные.
Теорема 3 (теоремы 4.1 и 4.2).
Пусть (7 = Р5£г(2"), д = 2п, а и Ь — элементы из (7 порядков 9 — 1 и д + 1, соответственно. Тогда выполняются следующие два утверждения.
1. У(2(2<7)) = А х В, где А := {и 6 V | ъ(Ьт) = 0 Ут} и В := {у 6 V | уе(а') = О VI} — подгруппы V.
2. Ранг группы и(2(7(7)) равен д + 1 - и{д — 1) - и(д + 1).
Заметим, что первое утверждение теоремы позволяет значительно упростить поиск центральных единиц в целочисленных групповых кольцах групп РБЬ2(2"). Хорошее подтверждение этого можно найти в параграфе 5.2, где рассматривается случай РвЬ2(16). Также отметим, что результаты аналогичные второму утверждению теоремы 3 получены в [2] и [3|.
Пятая глава "Точное описание групп центральных единиц"
В этой главе получены полные описания групп центральных единиц, которые будут приведены в терминах стандартных базисов из классовых сумм для центров целочисленных групповых колец конечных групп. Следует отметить, что описания даются с точностью до перестановки элементов таких базисов.
Получены описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп А5 и Ад. Эти результаты доказаны в 1989-1990 годах и доложены на IV Сибирской школе "Алгебра и анализ" (Омск, сентябрь 1990 г.), а также на Международной коференции по алгебре памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 20 25 авг. 1991 г.) [26), были депонированы в [27)
и опубликованы в £40]. Значительно позднее в [22] для Аъ был приведен аналогичный результат.
Теорема И (теоремы 5.1 и 5.2).
1. Положим 2/о,..., 2/4 — классовые суммы в групповом кольце 2А5. Тогда \]{2№А5)) = (-1) х (и), причём (и) — бесконечная циклическая группа и
и = 49уо - 16у1 + 26з/з - Ю?/4-
2. Положим 2/о, • • •, 2/6 — классовые суммы в групповом кольце 2А6. Тогда и(£(7Л5)) = (-1) х (г/), причём {у) - бесконечная циклическая группа и
V = 184332/0 - 2304(уг + у3) + 3728у5 - 1424у6.
Далее рассматривается группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы Р5£г(16). Первоначальная цель этого параграфа состояла в явном построении подгруппы конечного индекса группы центральных единиц согласно теореме Е, чтобы показать на примере применимость полученных в теоремах А, Д и Е результатов (первое утверждение теоремы К). Позднее удалось полностью описать группу центральных единиц (третье утверждение теоремы К). К сожалению, полное описание очень громоздко, поэтому приведём его лишь частично и укажем число Хигмана для 16) (второе утверждение теоремы К).
Теорема К (теоремы 5.3, 5.4 и 5.5). Пусть в = Р512(16).
1. Для я = 1,...,4 существуют такие единицы А„ в кольце целых поля <^(£15) Пй, « для I — 0,... , & существуют такие единицы щ в кольце целых Ч((п) П И, что
3 7
8=1 (=0
— подгруппа в \JiZiZG)) индекса, делящего 2463и510, где XI ихз ~ характеры из 1гг(<7) степени 17, причём <3(х1) = Р(С1о) ПИ и <3(хз) = Q(\/í5), и — характер из 1гг(С) степени 15 с С^) = СКС17) ПН.
2. Число Хигмана Н1§(Р512(16)) = 240.
3. Для в — 1..... 4 существуют такие единицы д3 в кольце целых поля С3((1з) ПИ, и для й = 0,...,б существуют такие единицы г^ в кольце целых поля С}((17) ПИ, что
V(Z(ZG)) = (-1) х ПК,Ы) * <«х,Ы> х n<«fll(u»t))-
s-l t=0
Причём
|U(1(2(QG))) \V(\(Z(ZG))) \V(1(Z(QG)))
U(Z(ZG))| = 2 3 5, D\ = 293757, D\ = 2463ll510.
Доказательство этой теоремы происходит в два этапа. Сначала строим подгруппу D конечного индекса в группе центральных единиц, а затем работаем в фактор-группе по подгруппе D. Такая двухэтапность и эффективное использование групп Галуа позволяет рассматривать это доказательство в качестве модели для изучения других групп центральных единиц, особенно в серийных случаях. В доказательстве теоремы К применяется система компьютерной алгебры GAP [23].
В Челябинском государственном университете получены полные описания групп центральных единиц следующих неабелевых групп:
1. А5 s PSL2(5) Э PSLii4) и Дб =5 PSL2{9) [26, 27, 40, 15] (1989-1990 годы);
2. PSL2( 11) [2] (1992 год):
3. PSL2{13) [8] и SL2(5) [9] (1994 год);
4. SL2(9) [10] (1995 год);
5. J2 [11] (1996 год);
6. PSL2(8) [4] (1997 год);
7. Й2(8) [1, 17] и РвЬ2(9) |16| (1998 год);
8. Р5,£2(1б) [32, 42] (1999 год);
9. БЫ7) и 5Ь2(И) [14] (2000 год).
В заключение в этой главе рассматриваются группы единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 10 и 12. Это позволило в соединении с полученными ранее результатами полностью изучить случай групп порядка п для ф(п) = 4. Этот случай следует сразу за случаем, когда ф{п) = 2, приводящим к тривиальным группам единиц. Кроме того, случай п = 10 — это первый случай, когда гомоморфизм ц>\, описанный в теореме В, не инъективен.
Теорема Л (теоремы 5.6 и 5.7).
1. Пусть С — (х) - циклическая группа порядка 10. Тогда ЩЪв) = <-1) х (х) х (V) х (т), где
V = -3 • 1 - 4а;5 - (х + х4 + х6 + а;9) + 3(х2 +х3 +х7 + х8), ги = 2 • 1 + (х + хъ + х9) - (х2 + х3 + х7 4-х8),
и элементы ииш имеют бесконечный порядок. Кроме того, для описанного в теореме В гомоморфизма <рг
кегу?! = (г>).
2. Пусть С — (х) — циклическая группа порядка 12. Тогда
ЩЪв) = (-1) х (а) х (и), где
V = -2-1 +3х6 + 2(—х+х5+х7—х11) + (-х2+х4+х8-х10) г» элемент V имеет бесконечный порядок.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Подводя итог обзору содержания диссертации, можно сказать, что создана эффективная теория исследования центральных единиц и групп центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп, получены также важные результаты в теории чисел, что выражается в следующих результатах.
1. Указано точное значение показателя группы 1 +Р/Ре', где Р простой идеал в колыш целых I{К) абелеваполя К, е — его индекс ветвления и г натуральное число (теорема А), что позволяет находить показатель группы 1(К)/г1(К) для любого натурального г и давать оценки данного показателя по делимости. Эти результаты полезны не только для теории чисел, но также имеют важные приложения для центральных единиц целочисленных групповых колец..
2. Найдены простые условия для определения обратимости центрального элемента целочисленного группового кольца (теорема Г).
3. Указаны эффективные условия построения подгруппы конечного индекса в группе центральных единиц (теоремы Б, Ди А).
4. Введено понятие числа Хигмана конечной группы, дающего важную характеристику вложения группы центральных единиц целочисленного группового кольца конечной группы в группу единиц кольца целых центра её рациональной групповой алгебры. Указаны свойства чисел Хигмана (теорема Ж).
5. Построена теория групп центральных единиц целочисленных групповых колец всей серии конечных групп Р5£г(2") (теорема 3), которая вместе с большим числом технических результатов позволяет значительно упростить нахождение всей группы центральных единиц, что показано на примере группы РБЬ2( 16) (теорема К).
6. Впервые получено полное описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп Аь, Аъ (теорема И) и Р5^2(16) (теорема К).
7. Детально изучены свойства стандартных гомоморфизмов из нормализованных групп единиц целочисленных групповых колец конечных циклических групп в кольца целых круговых полей (теорема В). Эти свойства использованы
для полного описания групп единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 10 и 12 (теорема J1).
Список литературы
[1] Алеев Р.Ж., Ишечкина Н.Б., Пономарева Н.Г. Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Sz(8). Ред. Сиб. Мат. ж., Деп. ВИНИТИ, JY* 3180-В99 27.10.99, 1999, 43 с.
[2] Алеев Р.Ж., Перавина О.В. О центральных единицах групп PSL4 (q). Третья межд. конференция по алгебре памяти. М.И. Каргаполова (1928-1976), (Красноярск, 23-28 авг. 1993 г.). Тезисы докладов. — Красноярск, 1993, с. 8-9.
[3] Алеев Р.Ж., Перавина О.В. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL(2,q), q нечётно. Вестник Челяб. ГУ, серия "Математика. Механика", № 1(4), 1999, с. 5-15.
[4] Аминсва H.H. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSb2(8): Дипл. работа. ЧелГУ, Челябинск — 1997. (Результаты анонсированы в Амине-ва H.H. Центральные единицы целочисленного группового кольца группы PSL2(8). Kurosh algebraic conference '98. Abstracts of talks. Москва, 1998, с. 136.)
[5] Бовди A.A. Мультипликативная группа целочисленного группового кольца. — Ужгород, 1987. Рук. деп. УкрНИИН-ТИ, 24.09.87, X« 2712-Ук87. - 210 с.
[6] Бовди A.A. Групповые кольца: Учеб. пособие. — Киев: УМК ВО, 1988. - 156 с.
[7| Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел: - 3-е изд., доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — 1985. — 504 с.
[8] Великая Т.И. Центральные единицы группы PSL2(13): Дипл. работа. ЧелГУ, Чачябинск — 1994.
|9] Ельцова H.П. Центральные единицы 5): Дипл. работа. ЧелГУ, Челябинск 1994.
¡10] Князева А.Г. Группы центральных единиц конечных линейных групп: Дипл. работа. ЧелГУ, Челябинск — 1995.
[11] Ксензов А.Д. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец спорадических групп: Дипл. работа. ЧелГУ, Челябинск - 1996. (Результаты анонсированы в Ксензов А.Д. О группах центральных единиц целочисленных групповых колец спорадических групп. Межд. алг. конф., поев, памяти Д.К. Фаддева, Санкт-Петербург, 1997, с. 226-227.)
[12] Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр: Пер. с англ. — М.: Наука — 1969. — 668 с.
[13] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Изд. 14-е, доп., Новосибирск, 1999. — 134 с.
[14] Обухова E.H. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп SL-¡(q) для q сравнимых с 3 по модулю 4: Квалифик. работа. ЧелГУ, Челябинск — 2000.
[15] Пильщикова C.FO. Центральные обратимые элементы целочисленных групповых колец знакопеременных групп: Дипл. работа. ЧелГУ, Челябинск — 1990.
[16] Усов В.Ю. Группа центральных единиц для PGL2{9): Дипл. работа. ЧелГУ, Челябинск — 1998.
[17] Alecv R. Zh., Ishechkina N. В., Ponomaryova N. G.
Central unit group of integral group ring of group Sz(8). Челябинск, Челяб. ГУ, Межд. конф. "Маломер. топол. и комбинатор. теор. групп.", Тез. докл., 1999, с. 11.
[18] Arora Satya R., Passi I. В. S Central height of the unit group of integral group ring. Commun. Algebra, Vol. 21. No. 10(1993), pp. 3673 3683
[19] Bovdi A. The group of units of a group algebra of characteristic p. Publ. Math. Debrecen, Vol. 52, № 1-2(1966), pp. 193 244.
[20] Higman G. The units of group rings. Proc. London Math. Soc(2)., Vol. 46, (1940), pp. 231-248.
[21] Jespers E. Units in integral group rings: A survey. Marcel Dekker, Meth. in ring theory (Lecture notes in pure appl. math, ser.), Vol. 198, (1998), pp. 141 169.
[22] Li Y., Parmenter M. M. Central units of the integral group ring ЪАЬ. Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 125, No. 1(1997), pp. 61-65.
[23] Schönert Martin et al. GAP - Groups, Algorithms, and Programming. Lehrstuhl D für Mathematik, Rheinisch Westfälische Technische Hochschule, Aachen, Germany, sixth edition, 1997
[24] Sinnott W. On the Stickelberger ideal and circular units of a cyclotomic field. Ann. of Math., Vol. 108, no. 1(1978), pp. 107134.
[25] Sinnott W. On the Stickelberger ideal and circular units of an abelian field. Invent. Math., Vol. 62, no. 2(1980), pp. 181-234.
Работы автора по теме диссертации
[26] Алеев Р.Ж. Хигмановская теория центральных единиц и группы единиц целочисленных групповых колец конечных циклических групп. Межд. конфер. по алг. (Барнаул, 2025 авг. 1991 г.), Тезисы докл. по теории колец, алгебр и модулей, Новосибирск, 1991, с. 5-6.
[27] Алсев Р.Ж. Хигмановская теория центральных единиц, группы единиц целочисленных групповых колец конечных циклических групп и числа Фибоначчи. Ред. Сиб. Мат. ж. Деп. ВИНИТИ, Jfs 1304-В92, 16.04.1992, 78 с.
(28| Алсев Р.Ж. О степенях центральных единиц. СпБ., С-ПГУ, Межд. конф. по алгебре, Тез. докл., 1997, с. 154.
[29| Ал сев Р. Ж. Теория групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп РБЬ2(2"). Омск, ОмГУ, Межд. конф. "Комбинат, и вычислит, методы в матем.", Тез. докл., 1998, с. 3-4.
[30| Алеев Р.Ж. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп. Омск, ОмГУ, Межд. конф. "Комбинат, и вычислит, методы в матем.", Тез. докл., 1998, с. 5-8.
[31] Алеев Р.Ж. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп Р5^г(2"). Омск, ОмГУ, Сб. научн. трудов "Комбинат, и вычислит, методы в матем.", 1999, с. 119.
[32] Алеев Р.Ж. Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Р5£г(16). Ред. Сиб. Мат. ж. Деп. ВИНИТИ, № 3170-В99 27.10.99, 67 с.
[33] Алеев Р.Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп. Докл. РАН, 369, Я» 2(1999), с. 151-152.
[34] Алеев Р.Ж. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп. Матем. труды, 3, № 1(2000), с. 3-37.
[35] Алеев Р.Ж!. Числа Хигмана конечных групп. Матем. труды, 3, № 2(2000), с. 3-28.
[36] Алеев Р.Ж!. Центральные элементы целочисленных групповых колец. Алгебра и логика, 39, № 5(2000), с. 513-525.
[37] Алеев Р.Ж. Локальное соответствие Хигмана. IV Межд. алгебр, конфер. (Новосибирск, 7-11 авг. 2000 г.), Тез. докл., Новосибирск, 2000, с. 4-6.
[38] Алеев Р.Ж. О числах Хигмана. IV Межд, алгебр, конфер. (Новосибирск, 7-11 авг. 2000 г.), Тез. докл., Новосибирск, 2000, с. 6-9.
{39] Алеев Р.Ж. Локальное соответствие Хигмана. Proceedings Intern. Confer. "Low-Dimensional Topology and Combinatorial Group Theory", Kiev, 2000, 10 p.
[40] Aleev R. Z. Higman's central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers. Intern. J. of Algebra and Сотр., Vol. 4, No. 3(1994), pp. 309-358.
[41] Aleev R. Zh. Central units of group rings. M., Мехмаг МГУ, Межд. алг. конф. памяти Куроша, Тез. докл., 1998, с. 25 -26.
[42] Aleev R. Zh. Central unit group of integral group ring of group PSL2(16). Челябинск, Челяб. ГУ, Межд. конф. "Маломер. топол. и комбинатор, теор. групп.", Тез. докл., 1999, с. 10.
Подписано в печать 08.11.00 Формат 60x84Yie. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,6. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 158. Бесплатно. Челябинский государственный университет. 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.
Полиграфический участок Издательского центра ЧелГУ. 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б
Основные обозначения Введение
1 Предварительные сведения и результаты
1.1 Теория колец и теория групп.
1.2 Теория чисел.
1.2.1 Расширения Галуа.
1.2.2 Круговые поля.
1.2.3 Абелевы поля.
1.2.4 Максимальные действительные подполя круговых полей
1.2.5 Квадратичные поля.
1.3 Теория представлений.
1.4 Групповые кольца.
1.4.1 Центры комплексных групповых алгебр.
1.4.2 Центры рациональных групповых алгебр
1.4.3 Центральные единицы
1.4.4 Подгруппы Басса.
2 Теоретико-числовые результаты
2.1 Единицы колец целых круговых полей.•.
2.1.1 ПолеС^Схг).
2.1.2 ПолеСКСхб). •.
2.1.3 Поле €$(¿7).
2.2 Показатели для абелевых полей.
2.2.1 Постановка задачи и сведение к локальному случаю
2.2.2 Сведение к присоединённой группе.
2.2.3 Последовательность распределения степеней.
2.2.4 Глубина экстремальности.
2.2.5 Вычисление показателя.
Оглавление
2.2.6 Свойства показателей.
2.3 Отношение порядка к показателю.
2.3.1 Нахождение порядка.
2.3.2 Оценка отношения. Сведение к локальному случаю
2.3.3 Локальный случай.
2.3.4 Оценка отношения порядка к показателю для квадратичных полей.
3 Основные результаты о центральных единицах
3.1 Хигманова теория центральных единиц.
3.1.1 Предисловие.
3.1.2 Предварительные результаты.
3.1.3 Основные результаты.
3.1.4 Уточнение хигмановой теории единиц в случае целочисленных групповых колец конечных циклических групп.
3.2 Общие свойства центральных элементов.
3.2.1 Классовые кольца характеров.
3.2.2 Строение центра целочисленного группового кольца
3.2.3 Обратимость центральных элементов.
3.3 Локальная теория центральных единиц.
3.3.1 Локальное соответствие Хигмана.
3.3.2 Единицы полей характеров и центральные единицы
3.3.3 Подгруппы конечного индекса.
3.4 Числа Хигмана.
3.4.1 Глобальное уточнение четвёртой теоремы хигмановой теории центральных единиц.
3.4.2 Свойства чисел Хигмана.
3.4.3 Известные числа Хигмана.
4 Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(2п)
4.1 Предварительные сведения.
4.1.1 Числовая лемма.
4.1.2 Таблица характеров.
4.1.3 Минимальные центральные идемпотенты и классовые суммы.
4.1.4 Общие свойства таблиц характеров групп PSL2(2n)
4.2 Нормализованные единицы.
4.2.1 Общие свойства.
4.2.2 Теорема разложения.
Оглавление
4.2.3 Тривиальность группы центральных единиц.
4.2.4 Ранг группы центральных единиц.
4.3 Числа Хигмана групп Р8Ь2{2п).
5 Точное описание групп центральных единиц
5.1 Знакопеременные группы.
5.1.1 Знакопеременные группы Ап, п ^ 4.
5.1.2 Знакопеременная группа Аь.
5.1.3 Знакопеременная группа А6.
5.2 Линейная группа РБЬг(16).
5.2.1 Предварительные результаты
5.2.2 Построение свободных порождающих.
5.2.3 Точное отыскание группы центральных единиц
5.3 Циклические группы
5.3.1 Циклические группы порядков п ^
5.3.2 Циклическая группа порядка 10.
5.3.3 Циклическая группа порядка 12.
Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, но и в других разделах математики, например, в топологии.
В теории групповых колец можно выделить два следующих основных направления.
1. Исследование кольцевой структуры. В этом случае рассматривается строение группового кольца с точки зрения теории колец, например, первичность, регулярность и примитивность групповых колец (см. [12]).
2. Исследование мультипликативной структуры. В этой области выясняется строение мультипликативных групп (= групп обратимых элементов = единиц) группового кольца.
Это деление весьма условно, так как зачастую невозможно достичь успеха в одном направлении без изучения свойств, связанных с другим. Наши исследования будут, в основном, касаться второго направления, то есть, мы будем изучать группы единиц групповых колец.
Сначала вопросы мультипликативной структуры колец рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел, упомянем знаменитую теорему Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел (см., например, [13, Теорема II.4.5]). Впоследствии получено много разнообразных и впечатляющих результатов. Укажем, к примеру, интересные и полезные результаты Синнота [61] и [62] о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел).
В 1940 году была опубликована замечательная статья Хигмана "The units of group rings" [50], которая была изложением его докторской диссертации. После неё Хигман опубликовал много интересных и важных работ, но его работа [50] не потеряла своей актуальности. Её результаты определили дальнейшее развитие теории единиц групповых колец и
Введение 8 нашли свое применение в других областях. В книге Фукса [33, с. 380] написано следующее.
Первым систематическое изучение групп обратимых элементов провёл Хигман [50]; он исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.
В настоящее время можно условно выделить в мультипликативной теории групповых колец такие основные области исследований.
1. Построение таких подгрупп групп единиц, которые имеют определённые важные и интересные свойства (свобода, центральность, конечность индекса и др.).
2. Выяснение свойств группы всех единиц.
Обзоры современного состояния исследований групп единиц групповых колец можно найти в работах [42] и [52].
Классическими объектами исследований в теории групповых колец являются целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные и глубокие характеристики групповых колец конечных групп. В самом деле, если рассматривать групповые алгебры конечных групп над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами. Если же рассматривать групповые алгебры над полями ненулевой характеристики, то часто там работают совершенно иные методы. Например, при изучении групп единиц таких алгебр используются методы теории р-групп.
Основная цель диссертации состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец, то есть, единиц (= обратимых элементов) центров таких колец. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важнейшая часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придаёт результат [38, Теорема 3.7] (см. приложение В), который утверждает, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. При изучении центральных единиц в диссертации получены как результаты о свойствах отдельных центральных единиц, так и свойства групп всех центральных единиц. Также впервые получены полные
Введение 9 описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец некоторых важных конечных групп. Для изучения центральных единиц получены важные результаты о кольцах целых абелевых полей, имеющие самостоятельное значение для алгебраической теории чисел.
Для изучения центральных единиц привлекаются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры.
Можно выделить, как один из основных подходов к изучению центральных единиц, развиваемых в диссертации — метод, который мы называем локальным и который позволяет строить центральные единицы, связанные с единственным неприводимым комплексным характером.
Применение локального метода позволяет строить подгруппы конечного индекса в группах центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп. После этого мультипликативной структуры центра целочисленного группового кольца сводится к исследованиям фактор-группы группы центральных единиц по построенной подгруппе и тем самым к работе в конечной абелевой группе, что позволяет существенно упростить получение полного описания группы всех центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп.
Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.
Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для исследований как в алгебре и теории чисел, так и в их приложениях.
Результаты диссертации позволяют:
• определять показатели групп единиц фактор-колец колец целых абелевых полей, что полезно в исследованиях по алгебраической теории чисел;
• находить центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп, что очень важно при исследовании мультипликативной структуры таких колец;
• строить подгруппы конечного индекса в группах центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп;
• полностью описывать группы центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп.
Следует отметить, что подходы изучения центральных единиц, развиваемые Сегалом и его соавторами, не позволяют работать с произвольными
Введение 10 конечными группами, а могут применяться только к группам близким к абелевым, таким как нилыготентные. Более подробно эта тема освещена в обзоре [52, с. 147-149].
Полученные в диссертации результаты по теории чисел и применяемые для их получения подходы имеют самостоятельный интерес и могут иметь приложения в исследованиях колец целых абелевых полей.
Результаты диссертации докладывались на IV Сибирской школе "Алгебра и анализ" (Омск, 1990), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991), на Международной алгебраической конференции, посвящённой памяти Д.К. Фад-деева (Санкт-Петербург, 1997), на Международной конференции по теории групп, посвящённой памяти С.Н. Черникова (Пермь, 1997), на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1997) — пленарный доклад по приглашению оргкомитета, на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (Москва, 1998), на Международной конференции "Комбинаторные и вычислительные методы в математике" (Омск, 1998) — пленарный доклад по приглашению оргкомитета, на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1998), на Международной конференции "Маломерная топология и комбинаторная теория групп" (Челябинск, 1999), на Международной алгебраической конференции, посвящённой 60-летию со дня рождения Ю.И. Мерзлякова (Новосибирск, 2000), на алгебраических семинарах ИММ УрО РАН и Челябинского, Омского и Южно-Уральского госуниверситетов.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [64]-[80].
Диссертация состоит из введения, пяти глав, библиографии и приложений. Она изложена на 309 страницах (с библиографией, но без приложений), библиография содержит 80 наименований. Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя: теорема 3.4 — четвёртая теорема третьей главы. Главы (chapter в Ш^Х) делятся на параграфы (section в ]£Т]еХ), которые делятся на разделы (subsection в ВД^Х), которые могут делиться на пункты (subsubsection в М^Х). Отметим, что ссылки на результаты внутри данной главы даются только в краткой форме с указанием лишь номера теоремы, леммы и т.п., вне главы ссылки даются в развёрнутой форме, когда дополнительно указывается номер страницы, на которой расположен цитируемый результат. Укажем также, что := означает равенство по определению.
1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел: — 3-е изд., доп.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — 1985. — 504 с.14. ван дер Варден Б.Л. Алгебра: — 2-е изд.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — 1979. — 624 с.
2. Дынкин Е.Б., Успенский В.А. Математические беседы.- М.-Л.: ГТТИ. 1952.19. Ельцова Н Л.Центральные единицы 6X2(5): Дипл. работа. ЧелГУ, Челябинск 1994.
3. Aleev R. Zh., Ishechkina N. В., Ponomaryova N. G.Central unit group of integral group ring of group Sz(8). Челябинск, Челяб. ГУ, Межд. конф. "Маломер. топол. и комбинатор, теор. групп.", Тез. докл., 1999, с. 11.
4. Arora Satya R., Hales A. W., Passi I. В. SJordan decomposition and hypercentral units in integral group ring.Commun. Algebra, Vol. 21, No. 1(1993), pp. 25-35
5. Cohn J. A., Livingstone D.On the structure of group algebras. I.Can. J. Math., Vol. 17, № 4(1965), pp. 583-593.
6. Gongalves J., Ritter J., Sehgal S. K.Subnormal subgroups in U(ZG).Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 103, No. 2(1988), pp. 375-382.
7. Masley J. M., Montgomery H. L.Cyclotomic fields with unique factorization.J. für Reine und Angew. Math., Vol. 286/287, (1976), pp. 248-256.
8. Межд. алгебр, конфер. (Новосибирск, 7-11 авг. 2000 г.), Тез. докл., Новосибирск, 2000, с. 4-6.76. Алеев Р.Ж.О числах Хигмана.
