Некоторые структурные и алгоритмические вопросы для конечно порожденных матричных колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 од

министерство науки, высшей школы

, ,, •--г*-'.'!

i ..;.,:! -"-' и технической .политики рф

омский государственный университет

На правах рукописи

ПОПОВА Ася Михайловна

НЕКОТОРЫЕ СТРУКТУРНЫЕ И АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫХ МАТРИЧНЫХ КОЛЕЦ

(01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

I

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 1993

Работа выполнена в Новосибирском Государственном аграрном университете

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Копытов В. К Официальные оппоненты: доктор физико-математических

Еедущая организация - Алтайский Государственный университет

часов на заседании специализированного совета К. 064. 36.02 в Омском Государственном университете по адресу: 644077, г. Омск, проспект Мира, 55а.

ип-уп;" и ^ т. 2 Си^ ^НЮТЭЬ^ 01<1С КС Г1 С

наук, профессор Мухин Ю. Е доктор физико-математических наук,профессор Романовский К С.

Защита состоится

1593г. в

Государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук

Е. А. Романьков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Основной проблемой,решению-которой посвящена насгоягщя работа,является проблема описания групп единиц в конечно порожденных матричных кольцах над полем рациональных чисел,что

А

является частным случаем более общей задачи описания групп единиц в произвольных ассоциативных кольцах с единицей.

Наиболее ранний интерес к этой проблеме возник в связи с известной теоремой Дирихле о конечной порожденности группы единиц кольца целых алгебраических чисел. Пзднее Хигман Г. исследовал группы единиц групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел,Джильмер Р. В. - в случае конечных колец и Пирсон К. К. и Шнайдер Ж. Е. - в случае

бесконечных колец. Подробнее обзор результатов по этой тема-

1)

тике приводится в работе Элдриджа К. Е. В 1966 г. Л фукс в монографии "Abelian groups" ( стр.299 ) сформулировал проблему 72:. "Охарактеризовать группы, которые являются группами единиц коммутативных и ассоциативных колец с единицей." В более поздней монографии того же автора "Бесконечные абелевы группы" т. 2 указывается два аспекта данной теории:

1)получение информации о мультипликативных группах специальных полей и группах обратимых элементов в некоторых кольцах;

2) нахождение условий на группу,при которых она является группой обратимых элементов подходящего кольца.

Здесь содержатся уже три проблемы о группах единиц ( 98,99, 100),одна из которых непосредственно относится к теме дис-

Eldridge К. Е. On rings and groups of units. "Rings,Modules and Radikals",Amsterdam-London, 1973,177-191.

о

сертации.

Проблема 100. Указать условия на группу, при которых она является группой обратимых элементов в кольце того или иного важного типа (регулярном, нетеровом и т. д.).

Наконец, сошлемся на обзор.по некоммутативным кольцам Бокутя Л. А. , Львова И. Б. , Харченко В. К., в котором сказано, что интерес представляет изучение мультипликативной структуры (т.е. полугрупп ненулевых элементов и групп обратимых элементов) некоммутативных колец и конечномерных алгебр.

Кроме подходов, обозначенных в проблемах Л. фгкса, мультипликативные группы полей и колец изучаются с точки зрения /

структуры их подгрупп. Например, в работе 3. И. Боревича и X О. Лесама Серрано "Группа обратимых элементов полусовершенного кольца".Широкий круг вопросов,связанных с группами единиц,-рассмотрен в монографии Карпиловского Г. "Группы единиц классических колец",вышедшей в 1988 году в Нью-Йорке. В част-, ности,одна из глав этой монографии посвящена конечно порожденным группам из ,где/\ - кольцо.

Одним из классических направлений в теории линейных групп является описание этих групп на языке порождающих элементов и определяющих соотношений. Как правило, ' с

описываются различные специальные группы над кольцами,-удовлетворяющими тем или иным условиям. Еще Магнусом В. были найдены образующие и определяющие соотношения для ИТ/3 .Грин С. М. описал

Я/г;

. ИТ/6

где Т - произвольное тело. Хуррельбринк Ю. нашел порождающие и определяющее соотношения для , где .. Ду -¿1 Е~рГ> "'р^З. Романовский Н. С. описал (К) , И У/3, над локальными кольцами. Сатаров Ж. С. описал специальные мультипликативные группы слабосовершенных

колец. Янь Ши-цзянь описал группы

(I) . В обзорной статье Карпиловского Г. , посвященной обратимым элементам групповых алгебр, среди прочих рассматривается вопрос о нахождении эффективных методов построения таких элементов.

Как справедливо замечено в статье Залесского А. Е. и Супруненко И. Д. " 0 неприводимых линейных группах " , " одним- из основных рабочих понятий теории .линейных групп является понятие неприводимости ." Действительно, в самом общем случае кольцо матриц над полем рациональных чисел приводится к клеточно - треугольному виду, в ко-котором каждая клетка является неприводимой над О- . Вследствие этого естественно рассмотреть прежде 'всего случаи абсолютно неприводимых и неприводимых над О, колец . После этого на общий случай можно посмотреть как на "склейку" частных.

Рассмотрение абсолютно неприводимых и неприводимых колец приводит к решению пробле'мы целостности для конечно поро-денных матричных колец,которая,как показано в работе Боку-тя Л. А. "Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем в классе ассоциативных колец",в общэм случае неразрешима, и поэтому представляет интерес ее решение в частных случаях. Так, например, в работе Заркаша Д. -Р. и Линелла П. А. "Делители нуля в групповых кольцах,кое-что старое, кое-что новое" доказывается отсутствие делителей нуля в групповых алгебрах конгру-энц-подгрупп (т.е. ядер гомоморфизмов

для нечетных простых чисел р ,в работе Носкова Г. А. "О целостности групповых колец" доказывается целостность группового кольца почти разрешимой группы без крушения из 6ЬН[0).

Даже этот беглый перечень работ и. результатов позволя-

ет говорить о том,что тема диссертации,а именно,описание мультипликативных групп конечно порожденных матричных колец и решение 'для таких колец проблемы целостности, являете:} актуальной. Тем Солее, что групповые'кольца конечно порожденных линейных групп над кольцом целых чисел служат частным случаем таких колец.

Целью работы•является:

1. Описание строения конечно порожденных матричных колец над полем рациональных чисел.

. 2. Решение проблемы целостнности для таких колец.

3. Нахождение образующих групп единиц колец указанного типа.

4. Нахождение достаточных условий,при которых конечно порожденная линейная, группа является группой единиц некоторого кольца.

Результаты диссертации являются новыми. Впервые изучаются мультипликативные группы конечно порожденных матричных колец над полем рациональных чисел. Работа носит теоретический > характер и может найти применение в дальнейших исследовниях мультипликативных групп матричных колец.

В работе используются методы линейной алгебры, теории линейных групп,теории колец и теории чисел.

Основные результаты работы докладывались на семинаре "Теория групп" в НГУ, на Пятой Казахстанской межвузовской научной конференции (г. Алма-Ата, 1974 г.),на IX и X Всесоюзных симпозиумах по теории групп (г. Москва, 1984 г. .г.Гомель, 1986 г.), на XVI и XIX Всесоюзных алгебраических конференциях (г. Ленинград, 1981 г.,г. Львов,1987 г.).

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [13 -. С 83 -

/

/

Диссертация состоит из трех глав и шести параграфов. Дадим их краткое описание.

Напомним некоторые общепринятые обозначения. Дяя произвольного кольца с единицей

- множество всех матриц порядка ¿7 с элементами из ; О!(О,)- группа обратимых элементов кольца ; /с?^ . , . , ~ линейная оболочка множества /¿?-г, Ок}

с коэффициентами из ; множество линейных комбинаций элементов/^5 с коэффициентами из ;

Ъ^ ( , / У/с)- кольцо,порожденное элементами У*/ Чр ( /у, . ■ -, Х/с) - группа, порожденная элементами Хч) .., Ук -Пусть здесь и далее 0- (конечно порожденное кольцо матриц над полем рациональных чисел.

Глава I посвящена абсолютно неприводимым кольцам и состоит из четырех параграфов.

В§1 решаются две алгоритмические проблемы для конечно порожденных' матричных колец, доказана

Т. 1.1. Для (У существует алгоритм, отвечающий на вопросы:

а) приводимо ли О над (2;

б) есть ли в (Уделители нуля.

В §2 рассматривается строение абсолютно неприводимых колец. Для таких колец находится аддитивный базис и доказывается структурная

Т. 2.1. Если кольцо ¿^"абсолютно неприводимо.то существуют такие С}*1 . - ,с/е € О и такое множество натуральных простых чисел 7Г = <■..., /Я, >, что ¿Хэсть линейная оболочка элементов над кольцом > ' ' V р^У ,т. е.

(У = (<},>■■

Далее доказывается,что по порождающимХГ)... }ХК кольца О эффективно находятся элементы ^ — и множество Т .

В § 3 решаются следующие алгоритмические проблемы для конечно порожденных О"- модулей: проблема нахождения модульных определяющих соотношений и проблема вхождения.

, В $ 4 изучается строение групп единиц абсолютно неприводимых конечно порожденных матричных колец,приводится их описание в терминах порождающих элементов,доказывается эффективность нахождения этих элементов и,наконец,формулируются

V

и доказываются необходимые и достаточные условия для того, чтобы линейная абсолютно неприводимая группа являлась груп- -пой единиц абсолютно неприводимого конечно порожденного матричного кольца. Дня формулировки последнего результата и для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые обозначения.

Пусть , 7Г~ С/3_ множество некото-

рых простых чисел, (щ р,-■ ■ .

Определим кольцевой гомоморфизм:

¿г —* , где а*)«Ег

Этот гомоморфизм индуцирует групповые гомоморфизмы ^*на группе///^)и У», на группе Пусть

Р = = г/о(

Обозначим

и0(м,уг)^г/э{Ь(1({5^р4 \ ¿сур), (1)

где ■¿¿ ■(^)^е о/^) ^ Ысйд (<4, -/, ...р ).

Т. 4. 4. Абсолютно неприводимая группа

О >2 ) является группой единиц конечно порожденного абсолютно неприводимого матричного колы',?! над по^еы рациональных чисел тогда и только тогда, когда:

1) I/ есть конечное расширение ¿/0 /г) для " некоторых 1-ц и 7Г ;

2) если целочисленное групповое кольцо Ы , то ¿/(¿Ги])= Ы , где черта означает образ при гомоморфизме У^ .

Глава II содержит результаты,относящиеся к случаю неприводимых над О колец. Пусть О такое кольцо. На ^"можно посмотреть,как на правый О - модуль и рассмотреть кольцо его и - эндоморфизмов

г--Но^/а: о») . В силу неприводимости О по лемме Щура Г является телом. Если /77 , то П изоморфно вкладывается в (р£ ,и можно рассмотреть централизатор/ наР .Обозначим его

н . Известно,что тело И инверсно изоморфно телу/"7 и Нк > где а? 'К- Мультипликативная группа

^/oj.no альтернативе Титса либо почти разрешима, либо содержит свободную подгруппу ранга 2.

Назовем неприводимое кольцо матриц ¿7"над С[ кольцом с почти разрешимой группой эндоморфизмов, если мультипликативная

.л и

группа его централизатора на Ц почти разрешима. Можно показать, что в этом случае

Г

и,следовательно, Н изоморфны конечному алгебраическому расширению поля рациональных чисел.

Если степень этого расширения равна {/ ,то эффективно находится такой элемент е-/У, что .

Я,..., X

Обозначим

Нг .....

В/5 прежде всего замечается,что ¿Тс///*, где ') и доказывается структурная теорема,аналогичная Т.2. Далее рассматривается ^= /в, . . ■ , ^ ''

г)

Супруненко Д. А. Группы матриц. - М.,1972.

£ есть максимальный порядок в // (смЛ и,следовательно, для него существует теория дивизоров. С помощью теории •дивизоров эффективно находятся порождающие группы .

Это .дает возможность описать группы единиц неприводимых матричных колец с почти разрешимой группой эндоморфизмов в терминах порождающей элементов и для неприводимой над О. линейной группы сформулировать и доказать условия,достаточные для того,чтобы такая группа являлась группой единиц конечно порожденного неприводимого матричного кольца. Для формулировки основной теоремы этого параграфа расширим список обозначений.

Пусть ^ - единичная матрица из , = (>иег)- идеал /т^ .порожденный скалярной матрицей/#£, естественный кольцевой гомоморфизм:

Г,'- нг— Н-А

^ - групповой гомоморфизм, индуцированный ^ на группе¿///7^ Поскольку О С Н/( ,то элементы

а имеют клеточное строение,при котором матрица размераразбита на ^клеток размера / . В связи с этим пусть означает матрицу из , в которой в клетке с номером у (- . ■ ■} стоит единичная матрица из , Ек ~ • ■ Для

' у^ е Н, обозначим ^

= Жац (к /«,..•,/*), М-

Если Нне является вполне мнимым, то обозначим Если

И-

вполне мнимо, Ь - 1<(^"//определяется по фор-

Бэревич 3. И. , Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М. , 1985.

муле из 4) ( стр.101) и гр■■,/V" группа корней' £ -й степени из единицы в н ,то обозначим

Но (^Ю- .. Жу, %

Т. 5. 4. Неприводимая над @ группа М< )

является группой единиц конечно порожденного неприводимого над <2 матричного кольца,если выполняются следующие условия:

1) существует {. £[О) такая, что

есть конечное расширение И0(м/ ггИ^) - для некоторых , 7Г > ;

2) если 2.С1/!]- целочисленное групповое кольцо

и и/Е

,где черта означает образ при гомоморфизме^, . Глава III относится к общему случаю конечно порожденных матричных колец. Как уже отмечалось в предисловии,любое такое кольцо приводится_над О, к клеточно-треугольному виду:

а=Цо

где определяются однозначно с точностью до изоморфизма и порядка следования. Для Свозможны три случая:

а) 0} абсолютно неприводимо;

б) 01 неприводимо над О. с почти разрешимой группой эндоморфизмов;

в) неприводимо над 0 с группой эндоморфизмов, содержащей свободную подгруппу/^Г ранга 2.

■ В ¿6 решается задача описания группы единиц в том случае, когда выполняются условия а) или б) .

^ Ба^с X. ,МИЛНОР Дж. ,Серр Ж.-П. Решение конгрузнцпроблемы для 8ЬИ (¡17/2), сб. перев. "Математика", Ы6( 1970). 64-128.

Г т.

Нужно заметить, что между любыми двумя может быть два варианта связи (не ограничивая общности,рассмотрим 0¿ и ¿¿V):

1) 0} , "расклеиваются",т. е. для некоторого ненулевого натурального числа м в О лежат матрицы

,7ц]. (^Ш. )

2) > не "расклеиваются" и тогда они изоморфны. Можно считать,что в последовательности О^ . . ¿£не

"расклеивающиеся" кольца следуют друг за другом и образуют блоки, которые между собой "расклеиваются". Обозначим эти блоки . . .} тогда

О

я

64-1

о (ЖЗ

Нетрудно показать,что

У - 'ядро гомоморфизма --

(Ш - * \ у®. 0

у I ' -• О \Е±

Поскольку

Ы(О) = и(0')(ы У)

,то в § 6 вначале описываются группы типа Ы(. затем типа ¿4 где

Пусть О - приводимое над @ кольцо,при этом неприводимые части либо абсолютно неприводимы,либо неприводимы над О, с почти разрешимой группой эндоморфизмов и не "расклеиваются". Пусть, далее, 0=0 ■+ О , О- • ■ > Уог ~ Ы(О) Г) Тогда .

Уож = гр(и<, ■ ■ е+мл, ■ ■ (3)

где группа - (М*, ■ ■ изоморфна группе вида (1), (2) или (2').

Таким образом,для всех вариантов "расклеивающихся" блоков приводимого над @ кольца (У группы единиц этих блоков есть конечные расширейия групп вида (1),(2),(2') или (3). Отсюда следует,что МПГ) г представляет собой

конечное расширение группы

где группы - • ■ ™еют ВИД (1),(2),(2/)

или (3). Условия,достаточные для того,чтобы приводимая матричная группа из &Ьи [0) была группой единиц некоторого матричного кольца дает Т. 6.4. Группа

{И? 2) является группой единиц конечно порожденного матричного кольца над полем рациональных чисел С} ,есжи она удовлетворяет следующим условиям: 1) существует такая

ь в (а)

,что

'У!*- ■■■, .где

группа Ьр /Т^'.-.^^изоморфна конечному

расширению группы

для которой группы и01 - грШ1ь..Ыц. £ = ^.. 0 к, имеют вид (1),(2),(2') или(З); 2) система..аддитивных порождающих ядра^ кольцевого гомоморфизма

ЕМУ

у: I "Ш

обладает свойством: 3) если

целочисленное групповое кольцо // , то ,где черта означает образ при

гомоморфизме .

В заключение автор пользуется случаем и выражает сердечную благодарность К М. Копытову за полезные советы, неизменную благожелательность и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации:

1. Попова А. М. Эффективность нахождения модульных определяющих соотношений для конечно порожденного модуля. Исследования по математике и механике. Алма-Ата, 1974.

2. Попова А. М. Эффективность нахождения модульных определяющих соотношений для конечно порожденного модуля. "Математика и механика". Тезисы докл. Пятой Казахстанской межвузовской научной конференции. Алма-Ата, 1974.

3. Попова А. М. Некоторые алгоритмические проблемы для матричных колец. Деп. ВИНИТИ N 2852-79Деп.

4. Попова А. М. Определяющие соотношения и проблема вхождения для модуля над матричным кольцом. XVI Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы ч.. II. Ленинград. 1981.

5. Попова А. М. Нахождение определяющих соотношений для конечно порожденного модуля над конечно порожденным матричным кольцом. Деп. ВИНИТИ N 6010-84 Деп.

6. ПоповаА. М. Образующие группы единиц конечно порох-денного матричного кольца. IX Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов. М. ,1984.

7. Попова А.М. Группы единиц конечно порожденных матричных колец. X Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов. Гомель. 1986.

8. Попова А. М. Мультипликативные группы конечно поро-. жденных матричных колец. XIX Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч. 11. Львов, 1987.