Центральные единицы целочисленных групповых колец знакопеременных групп

Каргаполов, Андрей Валерьевич

Центральные единицы целочисленных групповых колец знакопеременных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Каргаполов, Андрей Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Челябинск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Центральные единицы целочисленных групповых колец знакопеременных групп»

Автореферат диссертации на тему "Центральные единицы целочисленных групповых колец знакопеременных групп"

На правах рукописи 005046227

Каргаполов Андрей Валерьевич

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2012

005046227

Работа выполенена в ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский государственный университет" (НИУ) на кафедре алгебры.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент, Алеев Рифхат Жалялович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент, Ревин Данила Олегович

кандидат физико-математических наук, Маслова Наталья Владимировна

Ведущая организация: Челябинский государственный университет

Защита состоится 22 мая 2012 года в 15.30 часов на заседании специализированного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

Автореферат разослан Яо апреля 2012 года

Ученый секретарь

диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

И. Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию вопроса о центральных единицах групповых колец знакопеременных групп.

Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, по и в других разделах математики, например, в топологии. В теории групповых колец можно выделить два основных направления: исследования кольцевой структуры и исследование мультипликативной структуры. Данное исследование в основном касается второго направления, то есть изучаются группы единиц (обратимых элементов) групповых колец.

Сначала вопросы мультипликативной структуры колец рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел. Например, теорема Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел, результаты Синнота о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел). Хигман исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.

Классическим объектом исследований в теории групповых колец являются целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные характеристики групповых колец конечных групп. Если рассматривать групповые алгебры над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами.

Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц, то получение информации об этой группе является важной задачей при исследовании группы всех единиц. Дополнительную значимость этому придает тот факт, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. Кроме того, полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольших порядков.

В мультипликативной ■ теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определенные свойства (свобода, центральность, конечность индекса и др.), и выяснение свойств групп всех единиц.

Цель работы. Целями данной работы являются вычисление рангов групп центральных единиц для как можно больших степеней знакопеременных групп, вывод приближенных формул для рангов и полное описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца знако-преременной группы степени 14, что является первым примером полного описания в случае ранга большего 1.

.Методы исследования. В исследовании применяются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры. Для вычислений используется компьютерная система GAP и разработанные автором программы на Java и С++.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации позволяют в группах центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп:

• находить центральные единицы;

• строить подгруппы конечного индекса;

'• находить ранги групп центральных единиц;

• полностью описывать группы центральных единиц таких колец.

В работе также впервые дано полное описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14 (первый случай, когда ранг не равен 1).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII Международной школе-конференции посвященой 60-летию A.C. Кондратьева (г. Челябинск, 2008), на Международной молодежной школе - конференции "Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей"(г. Новосибирск, 2010), на 40 и 41 молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (г. Екатеринбург, 2009, 2010), на I, II и III научной конференции аспирантов и докторантов ЮУрГУ (г. Челябинск, 2009, 2010, 2011). По результатом работы автор неоднократно выступал на городском алгебраическом семинаре (г. Челябинск, 2008-2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19]- [26].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографии и приложений. Она изложена на 87 страницах, библиография содержит 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава "Предварительные сведения и результаты"

В этой главе содержатся необходимые определения, обозначения и результаты, которые используются в последующих главах.

Вторая глава "Вычисление рангов V (7, (ЪАп))"

Данная глава посвящена разработке алгоритмов для поиска рангов. Во всех алгоритмах используются разбиения натуральных чисел.

Определение. Разбиением натурального числа п называется всякая конечная невозрастающая последовательность натуральных чисел оь ..., аг, для которой [=1 o.i = п. Числа а,- называются частями разбиения.

Связь рангов с разбиениями следует из результата Ферраза:

Лемма 1. Ранг группы II [2 (2Ап)) равен числу разбиений а = (ах,..., ат) натурального числа п, удовлетворяющих следующим свойствам:

(1) а; нечетно при 1 <г<т\

(2) а^а^ при 1фу,

(3) п = т (то<1 4);

(4) П£,1 аг не является квадратом натурального числа.

в разложении элементов разбиения вместо непосредственного произведения чисел. Эти оптимизации и успешное распределение вычислений между узлами кластера позволили вычислить ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп Ап до п — 800, что значительно больше, чем удавалось ранее (п = 240).

Во втором параграфе описывается алгоритм, активно использующий оперативную память для сохранения промежуточных результатов. Этот алгоритм называется улучшенным, он позволяет вычислить ранги для знакопеременной группы большей степени, но его сложнее распараллелить, поэтому в диссертации он последовательный.

Количество разбиений., удовлетворяющих условиям (1)-(3) леммы 1, обозначается r(mod4)(n), а число разбиений, удовлетворяющих условиям (1)-(3), но не удволетворяющее условию (4) — squares(n) (сами разбиения при этом обозначаются as (п)). Количество разбиений, удовлетворяющих всем условиям, обозначается тапк{п).

Приводится рекурсивный алгоритм RACount для вычисления r[mod 4)(п), а также доказывается теорема о его корректности и вычислительной сложности.

Теорема 1. Алгоритм RACount корректен. Получение значения г (mod 4) (п требует 0{п2) операций.

Такая вычислительная сложность позволяет вычислить значения r (mod 4) (п) Для достаточно больших п. Бблыпую сложность составляет вычисление squares(n) (алгоритм SquaresCount).

После того как была предпринята попытка посчитать разбиения, элементы которых в произведении являются квадратом натурального числа, а не наоборот, удалось записать необходимые условия, невыполнение которых позволяет сузить перебор.

В диссертации доказывается 3 таких условия.

Лемма 2. В разложении элементов as (п) на простые множители отсутствуют простые числа р в нечетной степени такие, что р > п/А.

Лемма 3. Количество разбиений п на положительные нечетные слагаемые, произведение которых делится на простые числа pi,...,pi, равно нулю, если Yli=iPi > п-

Следующее условие более общее, и именно оно используется в алгоритме вычисления рангов.

Лемма 4. Количество разбиений п на положительные нечетные слагаемые не меньшие, чем к, произведение которых делится на простые числа Ри-.-,Рь равно нулю, если

где Р — это разбиение р\,..., р/ на непересекающиеся подмножества, а Р) — минимальное нечетное число такое, что содержит все простые числа ^-го подмножества в качестве делителей и Р) > к.

Приводится эффективный алгоритм МЫтитБит для проверки условия леммы 4 с использованием динамического программирования.

В конце второй главы приводится алгоритм вычисления 8циагез{п) и гапк(п), а также посчитанные ранги до п = 1000.

Третья глава "Приближенные формулы для рангов С/ ^ (2Ап))"

Данная глава посвящена доказательству различных формул для количества разбиений, которые помогут в подсчете рангов и (7,Ап)).

Сначала приводится рекуррентная точная формула для г (т0<14) (п):

R (п, к, shift) = R (п - к, к + 2, (shift + 1 - к) (mod 4)) +

+R{n,k + 2, shift) ,

где Я(0,*,0) = 1, 1 <к<п, к= 1 (mod 2), 0<shift < 4.

Чтобы узнать г (mod 4)(п) нужно вычислить значение R(n, 1,0), то есть

min V Pj > п,

Г (mod 4) (п) = Я(П, 1,0) .

Затем для г(п):

где

2i+l<n

"'(")= Е l)m+1 (2г + 1)

¿=0 (2г+1)т=п тneN

На основе интегральной теоремы Коши доказывается асимптотическая формула для г (п) при тг —> оо.

Теорема 2. При тг —> оо имеет место асимптотическая формула

г (п) ^

2^24Л3/2' где Л„ = (п - ¿)1/2-

Данные формулы не позволяют точно вычислить ранг U (Z (ZAn)), но они позволяют вычислить его приближенно. Кроме того, из вычислительных экспериментов следует, что для рангов выполняются следующие предположения.

Предположение 1. При п -» оо имеет место формула

Г (mod 4) (тг) ~ Г (тг) /2. Предположение 2. При п —> оо имеет место формула

^Hy/njb

rank (n)~ r (mod „(„)„__

В конце третьей главы приводится сравнение приближенно вычисленных рангов с точными значениями. Все значения дают хорошее приближение к rank(n).

Четвертая глава "Построение U (Z (ZAn))"

В четвертой главе впервые проводится исследование случая, когда ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы больше 1, а именно, получено полное описание группы центральных единиц знакопеременной группы А14, ранг которой равен 3. Результаты данной главы опубликованы в работе [25].

Пусть х — нецелый неприводимый характер группы Лп. тогда нецелые значения х это и где Ь натурально, d свободно от квадратов

(О характерах полусимметрической группы §3 [10]).

Обозначение. Положим

1 + Vd 1 + bVd 1-6 ,

e = -Y- = -r + bwd

, \-byfd. l-b , ,

A — единица кольца Z , и (A) — локальная единица U(Z(ZAn)).

Лемма 5. Пусть А — единица кольца Z [fo^], и (А) = — локальная

единица U(Z(ZAn)). Тогда, согласно [1]:

tr(X (xj) (А — 1))

7г = --

где z = -JM yi — классовые суммы для классов с представителями х^ — целочисленны.

Следующая лемма позволяет вычислять нужные для определения и (А) следы на основе А и а.

Лемма 6. Пусть А = а + Ри>, тогда

tr (А — 1) = 2 (а — 1) + в,

tr(a(A-l)) = (a-l) + ^^e,

tr(сх* = +

По условию леммы 5 нужно, чтобы ъ для всех г были целыми, поэтому можно сформулировать требование на коэффициенты а и /3, при которых выполняется это условие.

Лемма 7. и (А) е Щ2(гЛп)) тогда и только тогда, когда для некоторого целого <

В конце четвертой главы приводится основной результат — описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы Ац.

Теорема 3. Щг&А14)) = (-1) х (и20(1 + о;13)3360) х («„(19 + 8^з)840) х {щд(2 + Зи;5)504). Здесь «го — локальная единица, соответствующая характеру группы А14 степени 4752, и57 — локальная единица, соответствующая характеру группы Аы степени 29952, и59 - локальная единица, соответствующая характеру группы Аи степени 34320, ш13 = 1+

Список литературы

[1] Алеев Р.Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дис. д-ра физ.-мат. наук / Р.Ж. Алеев. Челябинск, 2000, 355 с.

[2] Алеев Р.Ж. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп / Р.Ж. Алеев // Матем. труды, 2000, том 3, № 1, с. 3-37.

[3] Алеев Р.Ж. Числа Хигмана конечных групп / Р.Ж. Алеев // Матем. труды, 2000, том 3, с. 3-28.

[4] Алеев Р.Ж. О группах центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / Р.Ж. Алеев, В.В. Соколов // Труды института математики, 2009, том 15, № 2, с. 3-11.

[5] Боревич З.И. Теория чисел / З.И. Боревич, И.Р. Шафаревич // Москва: Наука, 1985.

[6] Кормен Т. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзер-сон, Р. Ривест, К. Штайн // Издательский дом "Вильяме" , 2005.

7] Липский В. Комбинаторика для программистов / В. Липский // Москва: Мир, 1988.

8] Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел / А.Г. Пост' пиков // Москва: Наука, 1971.

9] Финхтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц //' Т. И, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

10] Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп / Г. Фробе-ниус // Харьков: Гос. науч.-техн. изд Украины, 1937.

11] Шпаковский Г.И. Программирование для многопроцессорных систем в стандарте MPI / Г.И. Шпаковский Г.И, Н.В. Серикова // Минск: БГУ, 2002.

12] Эндрюс Г. Теория разбиений / Г. Эндрюс // Москва: Наука, 1982.

13] Aleev R. Z Higman's central unit theory, units of integral group rings of . finite cyclic groups and Fibonacci numbers / R. Z. Aleev // Intern. J. of

Algebra and Сотр., 1994, vol. 4, № 3, p. 309-358.

14] Ayoub R. An introduction to the analytic theory of numbers / R. Ayoub // American mathematical society, 1963.

15] Ferraz R.A. Simple components and central units in group rings / R.A. Ferraz // Journal of Algebra, 2004, vol. 279, № 1, p. 191-203.

16] Flajolet P. Analytic Combinatorics / P. Flajolet, R. Sedgewick // Cambridge University Press, 2009.

17] GAP. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.2; 2004 // http://www.gap-system.org.

18] Rota G.C. The number of Partitions of a Set / G.C. Rota // The ' American Mathematican Monthly. Huntsville: 1964, vol. 71, № 5, p. 498-504.

Работы автора по теме диссертации

[19] Алеев Р.Ж. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / Р.Ж. Алеев, А.В. Каргаполов, В.В. Соколов // Фундамент, и прикл. матем. Москва: 2008, том 14, № 7, с. 15-21.

[20] Каргаполов A.B. Разбиения натуральных чисел и их приложения в алгебре и комбинаторике / A.B. Каргаполов // Научный 'поиск: материалы первой научной конференции аспирантов и докторантов. Социально-гуманитарные и естественные науки. Челябинск: ЮУрГУ, 2009, с. 39-43.

[21] Каргаполов A.B. Параллельный алгоритм для нахождения рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / A.B. Каргаполов // Труды 40-й Всероссийской молодежной конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2009, с. 395-401.

[22] Каргаполов A.B. Параллельный алгоритм для нахождения рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / A.B. Каргаполов // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. Сб. научных трудов. Екатеринбург: УрО РАН, 2009, № 10, с. 8-12.

[23] Каргаполов A.B. Приближенные формулы для рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных

. групп / A.B. Каргаполов // Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2010, с. 34-40.

[24] Каргаполов A.B. Асимптотическая формула для рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / A.B. Каргаполов // Научный поиск: материалы второй научной конференции аспирантов и докторантов. Естественные науки. Челябинск: ЮУрГУ, 2010, с. 41-45.

[25] Каргаполов A.B. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14 / A.B. Каргаполов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика.». Челябинск: ЮУрГУ, 2011, № 10, с. 18-24.

[26] Aleev R.Zh. The ranks of central unit groups of integral group rings of alternating groups / R.Zh. Aleev, A.V. Kargapolov, V.V. Sokolov // Journal of Mathematical Sciences. New York: Springer, 2010, vol. 164, № 2, p. 163-167.

Каргаполов Андрей Валерьевич

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Издательский центр Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 11.04.2012. Формат 60x84 1/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 0,70. Тираж 100 экз. Заказ 87/212.

Отпечатано в типографии Издательского центра ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Каргаполов, Андрей Валерьевич, Челябинск

61 12-1/871

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 512.552.7+511.625

Каргаполов Андрей Валерьевич

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук доцент Р.Ж. Алеев

Челябинск 2012

Оглавление

Введение 3

1 Предварительные сведения и результаты 10

1.1 Теория центральных единиц..........................................10

1.2 Теория разбиений......................................................15

1.2.1 Графическое представление разбиений......................16

1.2.2 Бесконечные произведения производящих функций одного переменного ..............................................17

1.2.3 Асимптотическая формула для р(п)..........................18

1.2.4 Алгоритм нахождения всех разбиений.....'............19

1.3 Применение динамического программирования....................20

2 Вычисление рангов U (Z (ZАп)) 22

2.1 Алгоритм для вычисления рангов с использованием параллеле-лизма....................................................................22

2.2 Улучшений алгоритм для вычисления рангов......................27

2.3 Полученные результаты................................................33

3 Приближенные формулы для рангов U (Z (ZАп)) 35

3.1 Комбинаторный подход................................................35

3.2 Рекуррентная формула для г (п)......................................36

3.3 Асимптотическая формула для rank (п) ............................37

3.4 Вычисление г (moci 4) (п) и rank (п)....................................48

4 Построение U (Z {ZAn)) 50

4.1 Локальный случай......................................................50

4.2 Изучение U (Z (ZAU))..................................................53

4.2.1 Таблица характеров............................................53

4.2.2 Локальный случай..............................................54

4.2.3 Глобальный случай............................................58

4.3 Локальные центральные единицы....................................61

Приложения 66

А. Программа для вычисления рангов с использованием параллелизма 66 Б. Улучшенная программа для вычисления рангов........... 73

Введение

Диссертация посвящена исследованию вопроса о центральных единицах групповых колец знакопеременных групп.

Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, но и в других разделах математики, например, в топологии. В теории групповых колец можно выделить два основных направления: исследование кольцевой структуры и исследование мультипликативной структуры. Данное исследование в основном касается второго направления, то есть изучаются группы единиц (обратимых элементов) групповых колец.

В мультипликативной теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определен-

ные свойства (свобода, центральность, конечность индекса и др.), и выяснение свойств групп всех единиц.

Автору удалось получить результаты как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единиц. В исследовании применяются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры. Для вычислений используется компьютерная система GAP и разработанные автором программы на Java и С++.

Все основные результаты являются новыми. Они позволяют в группах центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп:

• находить центральные единицы;

• строить подгруппы конечного индекса;

• находить ранги групп центральных единиц;

• полностью описывать группы центральных единиц таких колец.

В работе также впервые дано полное описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14.

Результаты диссертации докладывались на VII Международной школе-конференции посвященой 60-летию A.C. Кондратьева (г. Челябинск, 2008), на Международной молодежной школе - конференции "Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей" (г. Новосибирск, 2010), на 40 и 41 молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (г. Екатеринбург, 2009, 2010), на I, II и III научной конференции аспирантов и докторантов ЮУрГУ (г. Челябинск, 2009, 2010, 2011). По результатом работы автор неоднократно выступал на городском алгебраическом семинаре (г. Челябинск, 2008-2011).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19]—[26].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографии и приложений. Она изложена на 87 страницах, библиография содержит 26 наименований.

Первая глава "Предварительные сведения и результаты"

Вторая глава "Вычисление рангов U (Z (ZАп))"

Определение. Разбиением натурального числа п называется всякая конечная невозрастающая последовательность натуральных чисел ai,...,ar, для которой ai = п- Числа а,{ называются частями разбиения.

Связь рангов с разбиениями следует из результата Ферраза: Лемма 1 (лемма 1.6).

Ранг группы U (Z (ZAn)) равен количеству разбиений а = (ац,... ,ат) натурального числа п, удовлетворяющих следующим свойствам:

(1) а» нечетно при 1 <i<m;

(2) ai^aj при i^j]

(3) те = т (mod 4);

(4) Ц?=1 ai не является квадратом натурального числа.

В первом параграфе приводится параллельный переборный алгоритм. Перебор подвергнут жесткой оптимизации: перебираются только разбиения, удовлетворяющие условиям (1)-(3) леммы 1, проверка условия (4) выполняется с помощью битовых операций над степенями простых чисел в разложении элементов разбиения вместо непосредственного произведения чисел. Эти оптимизации и успешное распределение вычислений между узлами кластера позволили вычислить ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп Ап до те = 800, что значительно больше, чем удавалось ранее (те = 240).

Во втором параграфе описывается алгоритм, активно использующий оперативную память для сохранения промежуточных результатов. Этот алгоритм называется улучшенным, он позволяет вычислить ранги для большей степени знакопеременной группы, но его сложнее распараллелить, поэтому в диссертации он последовательный.

Количество разбиений, удовлетворяющих условиям (1)-(2) леммы 1, обозначается г(п), удовлетворяющих условиям (1)-(3) — Г(ото<г4)(те), а число разбиений, удовлетворяющих условиям (1)-(3), но не удволетворяющее условию (4) — squares(n) (сами разбиения при этом обозначаются as (п)). Количество разбиений, удовлетворяющих всем условиям, обозначается rank(n).

Приводится рекурсивный алгоритм 6 для вычисления Г(тосг 4)(п), а также доказывается теорема о его корректности и вычислительной сложности.

Теорема 1 (теорема 2.4).

Алгоритм 6 корректен. Получение значения г (тос1 4) (п) требует 0(п2) операций.

Такая вычислительная сложность позволяет вычислить значения т (тос! 4) (п) для достаточно больших п. Большую сложность составляет вычисление здиагез(п) (алгоритм 7).

В диссертации доказывается 3 таких условия.

Лемма 2 (лемма 2.1).

В разложении элементов а3 (п) на простые множители отсутствуют простые числа р в нечетной степени такие, что р > п/4.

Лемма 3 (лемма 2.2).

Количество разбиений п на положительные нечетные слагаемые, произведение которых делится на простые числа рх,... ,р1, равно нулю, если ^¿=1 Рг > п.

Следующее условие более общее, и именно оно используется в алгоритме вычисления рангов.

Лемма 4 (лемма 2.3).

Количество разбиений п на положительные нечетные слагаемые не меньшие, чем к, произведение которых делится на простые числа рх,... ,р\, равно нулю, если

где Р — это разбиение р1}... ,Р1 на непересекающиеся подмножества, а Р^ — минимальное нечетное число такое, что содержит все простые числа j-гo подмножества в качестве делителей и Pj > к.

Приводится эффективный алгоритм 8 для проверки условия леммы 4 с использованием динамического программирования.

В конце второй главы приводится алгоритм вычисления 8циаге8(п) и гапк(п), а также посчитанные ранги до п = 1000.

Третья глава "Приближенные формулы для рангов и (£ (%Ап))"

Данная глава посвящена доказательству различных формул для количества разбиений, которые применяются в подсчете рангов II ^ {ЪАп)).

Вначале главы приводится рекуррентная точная формула для г (тоа 4) (п) (3.3 и 3.4).

R (п, к, shift) = R (га - к, к + 2, (shift + 1 - к) (mod 4)) +

+R(n,k + 2,shift),

где R (0, *, 0) = 1, 1 <к<п, к=1 (mod 2), 0<shift < 4.

Чтобы узнать г (mod4)(n)> нужно вычислить значение R(n, 1,0), то есть

Г (mod 4) (") = R(n, 1,0).

Затем для г (га) (3.8).

пг (га) = (j)r(n~j)>

i=1

где

2i+l<n

а'(п)= J2 (—l)m+1 (2г + 1)

г=0 (2i+l)m=n m£N

На основе интегральной теоремы Коши доказывается асимптотическая формула для г (га) при га —> оо.

Теорема 2 (теорема 3.1).

При га —> оо имеет место асимптотическая формула

en\n/V6

где Лп = (га - ¿)1/2.

Данные формулы не позволяют точно вычислить ранг U {Z (ZAn)), но они позволяют вычислить его приближенно. Кроме того, из вычислительных экспериментов следует, что для рангов выполняются следующие предположения.

Предположение 1 (предположение 3.1).

При га —> оо имеет место формула

Г (mod 4) (п) - г(п) /2.

Предположение 2 (предположение 3.2).

При га —> оо имеет место формула

rank (га) ^ г (mod 4) (га)

4у24пЗ

В конце третьей главы приводится сравнение приближенно вычисленных рангов с точными значениями. Все значения дают хорошее приближение к гапк(п).

Четвертая глава "Построение и {г (ХАп))п

Пусть х — нецелый неприводимый характер группы Ап, тогда нецелые значения х эт0 и где Ь натурально, в, свободно от квадратов (О

характерах полусимметрической группы §3 [10]).

Обозначение. Положим

1 + л/й и* = -у-,

1 + Ьу/й 1 -Ь 1

„ 1 -ьуа 1 -ь „

Л — единица кольца Z [Ьи^], и (Л) —локальная единица С/(2(^ЛП)).

Лемма 5 (лемма 4.2).

Пусть А — единица кольца X [Ьщ], и (А) = ^ т¿у» — локальная единица II Тогда, согласно [1]:

Ьт{Х(х1) (А — 1)) и =-,

где г = У% — классовые суммы для классов с представителями х^ — целочисленны.

Следующая лемма позволяет вычислять нужные для определения и (А) следы на основе А и ст.

Лемма 6 (лемма 4.3).

Пусть А = а + ¡Зш, тогда

к (А- 1) = 2 {а- 1) + /?,

к (а (Л - 1)) = (а - 1) + (А - 1)) = (а - 1) +

По условию леммы 5 нужно, чтобы ^ для всех г были целыми, поэтому можно сформулировать требование на коэффициенты а и /?, при которых выполняется это условие.

Лемма 7 (лемма 4.4).

и (Л) 6 и (ХАп)) тогда и только тогда, когда для некоторого целого £

В конце четвертой главы приводится основной результат — описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы Аи.

Теорема 3 (теорема 4.4).

иЩгАи)) = (-1) х (п2о(1 + с13)3360) X («57(19 + 8шзз)840) х (И59(2 + За,5)504).

Здесь 1120 ~ локальная единица, соответствующая характеру группы Ац степени 4752, и57 — локальная единица, соответствующая характеру группы Ац степени 29952, — локальная единица, соответствующая характеру группы Аи степени 34320, = = , ш5 = ■Ц^.

Глава 1

Предварительные сведения и результаты

В этой главе будут изложены известные определения и результаты, используемые в дальнейшем. Глава разбита на следующие параграфы в соответствии с рассматриваемыми в них темами.

1. Теория центральных единиц (параграф 1.1).

2. Теория разбиений (параграф 1.2).

3. Применение динамического программирования (параграф 1.3).

1.1 Теория центральных единиц

В этом параграфе будут изложены известные сведения и результаты о центральных единицах, используемые в диссертации.

Соглашение 1.1. Под кольцом всегда будем понимать ассоциативное кольцо с единичным элементом 1. Для элемента у кольца и целого а под ау понимается аддитивное кратное элемента у. Как правило, будут рассматриваться коммутативные кольца, что не будет оговариваться особо, если же встретится некоммутативное кольцо, то либо это будет ясно из контекста (например, групповое кольцо неабелевой группы), либо это будет указано явно.

Определение 1.1. Обратимые элементы колец будем называть единицами этих колец.

Определение 1.2. Групповым кольцом Кй группы С над кольцом К будем называть кольцо, элементами которого являются всевозможные формальные

конечные суммы вида аа9^ д £ С, ад £ К, а операции определяются

формулами:

аз9 + ^ Ьэ9 = Л + Ъз)

дев дев зес

двО к€0 ху=Н,

х,у£С

Определение 1.3. Элемент х кольца К называется целым, если он удовлетворяет уравнению

хп + ап-\хп~1 Н----+ ахх + а0 ■ 1 = О

с целыми рациональными коэффициентами ап-\,..., а\, ао-

Определение 1.4. Пусть А — конечно порождённая абелева группа с мультипликативной записью операции. Тогда рангом группы А называется число бесконечных циклических прямых сомножителей при разложении А в прямое произведение циклических подгрупп. Будем обозначать ранг группы А через т(А).

Обозначения. Будем придерживаться следующих обозначений.

1. С — конечная группа;

2. Х(С) — система представителей классов сопряжённости группы (3;

3. 1гг(С) — набор всех неприводимых комплексных характеров группы С;

4. 11 (К) — группа единиц (мультипликативная группа) кольца К;

5. Пусть % — характер из 1гг(С). Тогда:

(a) СНх) ~~ поле характера х (получается присоединением к всех значений характера х),

(b) = х(1) ~~ степень характера х,

\0\

(с) г(х) =

^х'

6. у(х) — классовая сумма (в целочисленном групповом кольце группы (?) класса сопряжённости х° для х е Х(С).

7. У (О) = {у(х) | х е Х(С)}.

8. е(х) ~ минимальный центральный идемпотент комплексной групповой алгебры, соответствующий характеру х £ 1гг(С). Более детально, комплексная групповая алгебра С С разлагается в прямую сумму идеалов, каждый из которых изоморфен полной матричной алгебре над полем комплексных чисел. Каждый такой идеал определяет один и только один неприводимый комплексный характер х- Пусть А(х) ~ идеал в С С, определяющий характер х- Тогда е(х) — проекция на А{х) (относительно данного разложения в прямую сумму идеалов) единичного элемента 1. Центральный идемпотент е(х) будет минимален, в том смысле, что он не является суммой других центральных идемпотентов.

9. Е(С) = {е(х) | X е 1гг(С)}. Лемма 1.1 (Лемма 1.44 в [1]). {у(х) | ж е Х(С)} и (е(х) | X е 1гг(С?)} -

базисы центра Z(CС) комплексной групповой алгебры СС конечной группы С, причём идемпотенты е(х), X £ 1ГГ(С), взаимно ортогональны, то есть для х, С € 1гг(С)

, ч /о, если х Ф е(хНО = <

[е(х), если X =

Обозначения. Пусть у — элемент из Z(CG). Тогда будем придерживаться следующих обозначений.

1. 7„(.т) — коэффициент при у(х), х £ Х(С), при разложении элемента у по базису У(Сг).

2. Д,(ж) — коэффициент при е(х), X £ 1гг(С), при разложении элемента у по базису Е(С).

Лемма 1.2 (Лемма 1.45 в [1]). Для любых х € 1гг(С) и х е Х(С) выполняются следующие утверждения.

2. Пусть у — произвольный элемент из Z{CG). Тогда

3. Пусть у — элемент из Z(ZG). Тогда РУ(х) е 1(^(х))-

Определение 1.5. Пусть К — кольцо. Центральной единицей группового кольца КС называется единица центра Е(КО) этого кольца (то есть и Е КС — центральная единица, если и е Z(KG) и существует такой элемент и' 6 г {К в), что ии! = 1).

Лемма 1.3 (Лемма 1.47 в [1]). Группа центральных единиц группового кольца КС совпадает с центром группы всех единиц группового кольца КС. Более точно, пусть К — кольцо. Тогда справедливы следующие равенства

Опреде�