Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп

Митина, Ольга Викторовна

Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Митина, Ольга Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Челябинск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп»

Автореферат диссертации на тему "Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп"

На правах рукописи

УДК 512.552.7

Митина Ольга Викторовна

ГРУППЫ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ КОНЕЧНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003460962

На правах рукописи УДК 512.552.7

Митина Ольга Викторовна

ГРУППЫ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ КОНЕЧНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Челябинский государственный университет" на кафедре компьютерной топологии и алгебры.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Алеев Рифхат Жалялович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кондратьев Анатолий Семенович

Защита диссертации состоится 17 февраля 2009 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу. 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан /|5~января 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент Зюляркина Наталья Дмитриевна

Ведущая организация: Институт математики

СО РАН

доктор физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, но и в других разделах математики, например, в топологии. В теории групповых колец можно выделить два основных направления: исследование кольцевой структуры и исследование мультипликативной структуры. Диссертационные исследования в основном касаются второго направления, т. е. изучаются группы единиц (обратимых элементов) групповых колец.

Вопросы мультипликативной структуры колец сначала рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел. К ним относятся теорема Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел1 {Теорема II.4.5), результаты Синнота2 о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел). Хигман3 исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.

Классическим объектом исследований в теории групповых колец являются целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные характеристики групповых колец конечных групп. Если рассматривать групповые алгебры конечных групп над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами.

Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц, то получение информации об этой группе является важной задачей при исследовании группы всех единиц. Дополнительную значимость этому придает тот факт, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. Кроме того, полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольших порядков.

В мультипликативной теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определенные свойства(свобода, центральность, конечность индекса и др.) и выяснение свойств групп всех единиц. Обзоры состояния исследований

'Кэртнс 4-, Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. /М.: Наука, Главк, ред. фиэ.-мат. лит., 1969, 668 с.

2Sinnott W. On the Stickelberger ideal and circular units of an abelian field. /Invent. Math., Vol. 62(1980), no.2, pp. 181-234.

3IIigman G. The units of group rings. /Prcc. London Math. Soc., Vol. 46(1940), pp. 231-248.

групп единиц групповых колец можно найти в работах Бовди4 и Джеспер-

Цель работы

Основная цель диссертационной работы состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2{q) и PGL2{q), где q нечетно.

Основные задачи

Получить результат как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единиц.

Получить полные описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSLi{q) и PGL^q) при начальных значениях q.

Основные методы исследования

Для изучения центральных единиц привлекаются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры. Для вычислений используется компьютерная система GAP.

Научная новизна работы

Все основные результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследований в алгебре, теории чисел и их приложениях. Разделы диссертации могут быть использованы при разработке специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов математического направления.

Результаты диссертации позволяют в группах центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL^q) и PGL,2{q), где q нечетно,

• находить центральные единицы;

• строить подгруппы конечного индекса;

• находить ранги групп центральных единиц;

• полностью описывать группы центральных единиц таких колец.

4Bovdi A. The groups of units of a group algebra of characteristic p. /Publ. Math. Debrecen, Vol. 52(1966), no 1-2, pp.193-244.

5Jespers E. Units in integral group rings: A survey. /Marcel Dekker, Meth. in ring theory (Lecture notes in pure appl. math, ser.), VoU9S(1998), pp. 141-169/

Апробация результатов

Изложенные в диссертации результаты работы были представлены в качестве докладов на Международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006), Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика", посвященной 30-летию ЧелГУ (Челябинск, 2006), конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2006), 38-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007), алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2007), Международной конференции "Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В.П. Шункова (Красноярск, 2007), Международной школе-конференции по теории групп, посвященная 60-летию A.C. Кондратьева (Челябинск, 2008), конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Текст диссертации состоит из введения, двух глав, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности решаемых в диссертационной работе задач, а также изложение основных полученных результатов.

Первая глава называется "Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп Р5Ьг(д), где <7 нечетно". В этой главе через <? обозначена группа РБЬ2(5), где <7 нечетно и является степенью простого числа. Глава содержит 5 параграфов. В параграфе 1.1 вводятся основные понятия, приводятся обозначения и таблица характеров групп РБЬ2(9), д нечетно

(см. табл. 1). Обозначим е = (-1)(«-')/2, д1 = д2 = +

д-£ д + е - е + у/Щ г е-у/Щ ?з = -тр-, 94 = ^—, а также ¿+ =-^—, =-^—.

Рассматриваются два упорядоченных базиса центра комплексной групповой алгебры СО. Базис из классовых сумм

у (С) = (1/(1), у(с), уДО, у(а2), {у{а1)\1 = 1,..., й}, МЩт = 1,...,«,}),

где у(х) — классовая сумма для класса ха, 1, с, й, а^, {а' 11 = 1,..., д\},

Таблица 1: Таблица характеров группы 9 нечетно

3 1 с 4 аг а1 Ьт

\Со{9)\ |С| ч Ч 293 Чз <?4

И 1 2?З94 29з94 994 Ш 299з

1с 1 1 1 1 1 1

?4 г_ £(-1)« + 1 е(-1)' 0

6 <74 6. £{-1)«+1 0

Ч> ч 0 0 е £ —£

Xi 2?4 £ Е &(-!)' 2гЫ 2есоь- 0

«1 2?а -е 0 0 21 тп -2£соэ —- 94

{Ьт | т = 1,... — представители классов сопряженности группы С. Базис из минимальных центральных идемпотентов

Е(0) = {е{1а),е{Ь)АЬ)Ач>), Мх.Ж = 1, -. • .й}, {еЩ\з = 1, • •-,«}).

где е(х) — минимальный центральный идемпотент, соответствующий характеру х, 1с,£ь 6. V. Ьй I * = 1. • • •.91}, № | 3 = 1, • • •, 92} - множество всех неприводимых комплексных характеров группы (3. Связь между этими базисами описывается следующими формулами6. Для любых х £ Мб) иже Х(С)

= Е X»*) « = И Е

11 *€Х(С) *€1гг(й) Це6 Х

где degx — степень характера х, Х(б) — множество представителей классов сопряженности, 1гг(С) — множество всех неприводимых комплексных характеров.

В параграфе 1.2 рассматриваются целочисленные групповые кольца, исследуются общие свойства центральных элементов целочисленных групповых колец групп (3. Определена система представителей классов сопряженных характеров.

В параграфе 1.3 исследуются общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец группы О. Рассматривается нормализованная группа V центральных единиц, т. е. таких центральных единиц, что сумма их коэффициентов при разложении по элементам группы равна 1. Для произвольного элемента V 6 V чер&э 7„ (я) обозначен коэффициент при

еКэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. /М.: Наука, Главн. ред. флэ.-мат. лит., 196Э, § 33, (33.9) и (33.11).

классовой сумме у(х) класса ха в разложении по базису из классовых сумм Y(G)\ через ßvix) ~~ коэффициент при минимальном центральном идем-потенте е(х), который соответствует характеру х в разложении по базису из минимальных центральных идемпотентов E(G).

Для сокращения записи используются следующие обозначения:

Г»(а) = Ê 7v(al), rv(a, alt) = ¿(-1 )'%(а'), для г = 1.....?1

M fei

i= 1

Г«(Ь) = I: 7v(n, Г„(Ь, aii) = £ (—l)m7t,(bm), ДЛЯ i = 1.....q2

m=l m=l

m=l

Д.(Х) = £А.(ХО. = для / = î,...,qi

¡=1

Получены соотношения между различными коэффициентами нормализованной центральной единицы. Для целых положительных nam через del{n, m) обозначено множество всех натуральных делителей числа п, не превосходящих т.

Предложение 1. Пусть v е V. Тогда выполняются следующие утверждения.

1) ßv(lG) = 1.

2) Если q = 1 (mod 4) и g не является квадратом, то

= х + ßvfa) ^-j^Vgy, где

y=7u(c)-7«(ti). а; = 1+2qx' для х'=1=У~^ъ(а2)-Г„(а)+Гь(а,аи). Если q = 3 (mod 4) или q является квадратом, то

/ш) = А(б) = 1,

m. е. у — 0, х = 1, я' = 0.

S) /Ш = 1.

4) Для любого i=l,...,qi

AM = 1 +£fl((-l + (-1У)ъЫ - 2Г„(о) + Г„(о,р')). В частности, дляп £ {3,4,6} и i 6del(g3,?i) таких, что га ■ i = <7з

ГШ) = 1.

5) Для любого j = 1,..., q2

ßv(ej) = l + eg(2Tv(b)-Tv{b,oj)). В частности, если 3 6 de](<?4, u 3 • jf = qi, то

ßv[Öj) = I.

6) Пусть x ~ неприводимый характер группы G, поле которого либо Q, либо мнимое квадратичное расширение поля Q. Тогда

Ш = 1-

Предложение 2. Пусть v е V, целые числа х, у определены как в п. 2 предложения 1. Тогда выполняются следующие равенства.

1) 7,(1) = щ (1 + 92 + + k\Bv(x) + Н\BV{9)) =

= 1 - eqi(jv(c) + 7v(d)) - £q(7v(a2) + 2Г„(а)) = = 1 + е?4Ыс) + 7М) + 2eqrv(b).

SJ 7«(c) = щ (1 + Q&x + my) + 2eq*Bv(x) - 2eq3Bv(9)) = = -7v{d) - 7„(а2) - 2Г„(а) - 2Г„(6).

3) 7t,{d) = ~ (1 + q^ex - ?з?У) + 2eq4Bv(X) - 2eqzBv{6)) =

= -7«(c) - 7v(Q2) - 2Г„(а) - 2Г„(6).

4) 7v(a2) = ~ (1 + + 2BV(X, alt)).

9?з

5) Для любого I = l,...,qi

Iii

6) Для любого тп= 1,..., д2

В параграфе 1.4 доказаны теоремы разложения группы центральных единиц в прямое произведение подгрупп, которые устроены проще, чем вся группа. Отдельно рассматриваются случай q = 3 (mod 4) или q является квадратом и случай q = 1 (mod 4), q не является квадратом. Это связано с разными свойствами таблиц характеров групп G в этих случаях.

Теорема 1. Пусть q £ 3 (mod 4) или q является квадратом, V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового колыша группы G = P5L2(<7). Тогда

V = Ах В, где

А = {v е V | /Щ) = 1 дм з = 1,..., q2] = {v £ V | 7„(6m) - 0 для т = 1,... ,q2},

B-{veV\ pv(x<) = 1 Aw» = 1... .,?i}

= {veV\ 7v(a') = 0для1 = 1,... + 1},

здесь ай+1 = аг-

Лемма 1. Пусть V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G,

A = {veV\ = &(£,) = 1, /ЭД-) = 1 для j = 1,..., q2}.

Тогда выполняются следующие утверждения.

1) А является подгруппой V.

2) А = {v € V | 7„(с) = 7l.(d), 7„(6m) = 0 для т = 1,..., д2}.

Лемма 2. Пусть V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G,

С = {v £ V I Д, (Xi) = Д, (%) = 1 ¿ля г = 1,..., ft, j => 1,..., <72} .

Тогда выполняются следующие утверждения. 1) С является подгруппой V.

2) С = {v 6 V|7„(bm)=0 .....?2,

7„(а')=(-1)'~,7г1(а) для 1=1,...,<?i+l}, здесь aí¡+1 = a2.

Теорема 2. Пусть 5 = 1 (mod 4) uq не является квадратом, V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G = PSL2(q), подгруппы А и С определены как в леммах 1 и 2. Тогда

V = F х В, где

= {*> е V j -y„(bm) = 0 для т = 1,... ,q2}; В = {г; б V | /Ш) = /Ш = l.'AOft) = 1 Aw ¿ = 1,..., л} = {г> e V | 7»(c)=7«(d). 7»(<гг) = 0 для I = 1,... + 1} .

Кроме того, \V : А х В х С| ^ 2.

Дальнейшее изучение групп центральных единиц связано со свойствами решений уравнения Пелля х2 — Ку2 = 1 для целого положительного К, не являющегося квадратом. По п. 2 предложения 1 — х + ^-y/qy,

Pviii) = x—^y/qy, где х, у удовлетворяют этому уравнению. В результате получен достаточный критерий, который позволяет уточнить теорему 2.

Теорема 3. Пусть q = 1 (mod 4) и q является нечетной степенью простого числа, V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL,2{q), К = ^ ^ , {хо,уо) — наименьшее целочисленное решение уравнения х2 — Ку = 1. Если хо =; —l(mod 2q), то

V = Л х В х С, где

Л = {и б V I /Щ) = = 1, = 1 Аи i = 1, ...,©} = {v G V I 7„(с) = 7u(d), ъ{Ьт) = 0 длят =1,..., q2, } ,

в = {« 6 VI = = i, АЫ = 1 Aw't = i,

= {v € V I 7„(c)-7u(d), 7v(a')=0 для I = 1,..., qy} , С = {veV\ pv{Xi) = /ЭД) = 1 для i = 1,..., <71 u Í = 1, ..,й}

={ü 6 К I 7„(6m) = 0,tn = ^(о')=(-1)'-Ч(а),«=1> • •■ .91+1}-

Теорема 4. Пусть gsl (mod 4), q не является квадратом, К = ^ ^——-

« (£о,Уо) — наименьшее целочисленное решение уравнения х2 — Ку2 = 1. Пусть также q < 150, тогда ¿o = l(mod 2q) при q е {97,137} и £о = — l(mod 2g) при других q .

Следствие 1. При д < 150 указанное в теореме 3 разложение группы V моо/сет нарушаться только при д — 97 к д = 137.

В параграфе 1.5 получено полное описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы РБЬ2(17).

Теорема 5. Пусть V — группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы РБЬ^П). Тогда

II = (-1) х А х В х С, где

1. А - (щ),

V = 176257у(1) + 9792(г/(с) + у(ф) -19584у(а2) + 13848(у(а) - у{а3));

2. В = (гд) х (у2),

Ы =56555902193у(1) - 3534743887(у(с) 4- у(ф) - 5415541825з/(6)-

-1227603669г/(62) + 3534743887у(Ь3) + 6643145494у(Ь4), . ь2 =14866592811851/(1) - 92916205074(у(с) + у{й))-

-142349823632у(Ь) - 32258067455у{Ь2) +92916205074у(Ь3)+ +1746078910871/(Ь4);

3. С =

«з = 1452/(1) + 41 у(с) - 25у(4) + 16(У(<и) - у(а) + у(а2) - у{а3)).

Вторая глава называется "Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп РОЬ2(д), где д нечетно". Структура второй главы аналогична структуре первой главы. В главе 2 через б обозначена группа .Р<ЗХ2(<?), где д нечетно и является степенью простого числа. Глава содержит 6 параграфов. В параграфе 1.1 приводятся основные обозначения и таблица характеров групп РвЬ^д), д нечетно (см. табл. 2). Также рассматриваются два упорядоченных базиса центра комплексной групповой алгебры СС. Базис из классовых сумм

/ - а±£_, \

у (С) = (у{1ыс),у{а2)>у{ь2)} {у{а1)}£ {^иГ ] ,

где 1/(2;) — классовая сумма для класса хс, 1 ,с,а2, Ь2, {а' | I = 1,..., 1}, {Ьт | т = 1,...,^—1} — представители классов сопряженности группы в. Базис из минимальных центральных идемпотентов

Е(С) = (е(1 а),е{ф), еЫ, еЫ, ШМЛ , ] ,

Таблица 2: Таблица характеров группы РС1*з(д), д нечетно

я 1 с 02 Ьг о' ьт

\Са(9)\ Ю1 9 2(9 -е) 2(9+ ¡0 9-Е 9 + £

И 1 9 5 9«? 9(9 + Е) 9(9 - е)

1с 1 1 1 1 1 1

ф 1 1 1 -1 (-1)' (-1)"

VI 9 0 £ —£ £ —£

¥>2 9 0 £ £ (-1)'Е _(-1)т£

ДК 9 + £ £ 2Е(-1)' 0 2ЕС08£| 0

oi ?-е —е 0 0 ... , ..

где е(х) — минимальный центральный идемпотент, соответствующий характеру х 1с, Ф, VI, у». {» I г = 1, • • •, *г--1}, {6} I 3 = 1. • • •, -множество всех неприводимых комплексных характеров группы С.

В параграфе 1.2 определена система представителей классов сопряженных характеров.

В параграфе 1.3 исследуются общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп Для произвольного элемента v нормализованной группы центральных единиц V получены соотношения между коэффициентами 7„ при разложении по базису из классовых сумм и коэффициентами Д, при разложении по базису из минимальных центральных идемпотентов.

Предложение 3. Пусть v 6 V. Тогда выполняются следующие равенства.

1) 7„(1) = 1 - е^Ыа2) + 2Г„(а)) + е^(Ъ{Ъ2) + 2Г„(&)).

Ъ(с) = 4(7.(02) + 2Г„(а) + ъ(Ьг) + 2Г„(Ь)).

5) Для любого I =

6) Для любого т— 1,...,

^ = фТТ) + (-1)"' + ЫЬ о)-12

В параграфе 1.4 доказана георема разложения группы центральных - единиц в прямое произведение подгрупп, которые устроены проще, чем вся группа.

Лемма 3. Пусть А = {« е V ) = 1 для ^ = 1,..., 2±§=2} • Тогда

1) А — подгруппа V;

2) А = {и 6 V | 7„(6т) = 0 для т = 1,..., (включая Ъ^))-Лемма 4. Пусть В = {ь еУ\ Д,(х<) = 1 для г = 1,...,Тогда

1) В — подгруппа V;

2) В = {и ¿V \ 7„(а1) = 0 для 1 = 1,..., (включая ъ(а2)).

Теорема 6. При введенных в леммах 3 и 4 обозначениях группа V равна прямому произведению подгрупп А и В.

В параграфе 1.5 доказана формула для вычисления рангов групп центральных единиц.

Теорема 7. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп РСЬ2(д), где д нечетно, вычисляются по формуле

гапк{и(г(т))) = д + 2 - К? - 1) - //(<? + !)•

Следствие 2. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы РСЛ^д), где ? нечетно, тривиальна тогда и только тогда, когда д = 3 или д — 5.

В параграфе 1.6 получено точное описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы РЫ,2(7).

Теорема 8. Пусть II — группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы РОЬъ(7). Тогда

и = (-1) х (V), где

V = 42012/(1) - 700у(с) + 1400у(а2) - 990у(а) + 990у(я3),

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Рифхату Жаляловичу Алееву за постановку задачи и всестороннюю поддержку. Автор благодарит весь коллектив кафедры компьютерной топологии и алгебры Челябинского государственного университета за поддержку и создание творческой обстановки.

Публикации автора по теме диссертации

1. Митина, О. В. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSLiiq), q нечетно/Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Международный семинар по теории групп. — Тез. докл. — Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та. — 2001. — С. 11-13.

2. Митина, О. В. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL,2(q), q нечетно/ Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Ред. Челяб. гос. ун-та. - 2005. - 63 с. - Деп. ВИНИТИ 11.11.05, № 1462-В2005.

3. Митина, О. В- Центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q нечетно./ О. В. Митина. — Математика. Механика. Информатика: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Челябинск, 19-22 сентября 2006г. — Челябинск: Челяб. госуд. ун-т, 2006. — С. 93.

4. Митина, О. В. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSLi(q), 9=1 (mod 4), q не является квадратом./ О. В. Митина. — Мальцевские чтения. Новосибирск, 2006. — Тез. докл. — http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/06

5. Митина, О. В. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSLalq), q нечетно./ Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Известия Челябинского научного центра, 2006. — № 4. — С. 6-10.

6. Митина, О. В. Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSLi{n).j О. В. Митина. — Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. — Екатеринбург, УрО РАН, 2007. — С. 5560.

7. Митина, О. В. Теорема разложения для групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL^iq), 9=1 (mod 4) и q не является квадратом./О. В. Митина. — Тез. докл. Международной конф. "Алгебра и ее приложения". — Красноярск, 2007. — С. 98.

8. Митина, О. В. Теорема разложения и ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGLt{q), q нечетно./ Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Международная школа-конференция по теории групп, Челябинск. — Тез. докл. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. - С. 12-13.

9. Митина, О. В. Уравнения Пелля и центральные единицы целочисленных групповых колец групп РБЬо(?), где д нечетно./ О. В. Митина»

- Труды ИММ УрО РАН.- Екатеринбург, 2008. - Т. 14, 4. - С. 135-142.

10. Митина, О. В. Теорема разложения и ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп РС7£г(?)| Я нечетно./ Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Сиб. электронные мат. известия, 2008. — Т, 5.

- С. 652-672.

Подписано в печать 23.12.2008. Формат 60x84 '/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л, 0,8. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ

Бесплатно 154

Издательство Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, Молодогвардейцев, 57-6

Подписано в печать 23.12.2008. Формат 60x84 716. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,8. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ Бесплатно

Издательство Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, Молодогвардейцев, 57-6

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Митина, Ольга Викторовна

Введение

1 Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно

1.1 Предварительные сведения.

1.1.1 Таблицы характеров групп PSL2(q), где q нечетно.

1.1.2 Два базиса центра комплексной групповой алгебры.

1.1.3 Общие свойства таблиц характеров групп PSL2(q), q нечетно

1.2 Центральные элементы целочисленных групповых колец групп PSL2{q)i где q нечетно

1.2.1 Классовые кольца характеров.

1.2.2 Алгебраическая сопряженность.

1.3 Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно.

1.4 Теоремы разложения

1.4.1 Случай q = 3 (mod 4) или q является квадратом.

1.4.2 Случай q = 1 (mod 4) и q не является квадратом.

1.4.3 Ранги.

1.5 Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL2{ 17).

2 Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(q), где q нечетно

2.1 Предварительные сведения.

2.1.1 Таблицы характеров групп PGL2(q), q нечетно.

2.1.2 Два базиса центра комплексной групповой алгебры.

2.2 Центральные элементы целочисленных групповых колец групп PGL2(q), q нечетно.

2.3 Общие CBOiicTBa центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(q), где q нечетно

2.4 Теорема разложения.

2.5 Ранги.

2.6 Описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2{7) и PGL2{9)

Введение диссертация по математике, на тему "Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп"

Вопросы мультипликативной структуры колец сначала рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел. К ним относятся теорема Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел [13] (Теорема П.4.5), результаты Синнота [24], [25] о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел). Хигман [20] исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.

В мультипликативной теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определенные свой-ства(свобода, центральность, конечность индекса и др.) и выяснение свойств групп всех единиц. Обзоры состояния исследований групп единиц групповых колец можно найти в работах Бовди [18] и Джесперса [21].

В работах [16, 22] получено описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Р£Х2(5) = А5. Также в [16] описана группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы Р 5X2(9) = А6.

Основная цель диссертационной работы состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец групп Р8Ь2^) и РС?1/2(<7), где q нечетно.

Основные задачи диссертационной работы: получить результаты как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единиц; получить точные описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп Р8Ь<1(<?) и РСХ2(д) при начальных значениях q.

Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах [26]-[35].

Текст диссертации состоит из введения, двух глав, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 130 страниц.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Митина, Ольга Викторовна, Челябинск

1. Митина, О. В. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q нечетно/Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Международный семинар по теории групп. — Тез. докл. — Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та. — 2001. С. 11-13.

2. Митина, О. В. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q нечетно/ Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Ред. Челяб. гос. ун-та.- 2005. 63 с. - Деп. ВИНИТИ 11.11.05, № 1462-В2005.

3. Митина, О. В. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q = 1 (mod 4), q не является квадратом./ О. В. Митина. — Мальцевские чтения. Новосибирск, 2006. — Тез. докл. — http://www.niath.nsc.ru/conference/nialmeet/06

4. Митина, О. В. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q нечетно./ Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Известия Челябинского научного центра, 2006. — .№ 4. — С. 6-10.

5. Митина, О. В. Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL2( 17)./ О. В. Митина. — Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции.- Екатеринбург, УрО РАН, 2007. С. 55-60.

6. Митина, О. В. Теорема разложения для групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q = 1 (mod 4) и q не является квадратом./О. В. Митина. — Тез. докл. Международной конф. "Алгебра и ее приложения". — Красноярск, 2007. — С. 98.

7. Митина, О. В. Уравнения Пелля и центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно./ О. В. Митина. — Труды ИММ УрО РАН.— Екатеринбург, 2008. Т. 14, № 4. — С. 135-142.