Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных разрешимых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

003469228

На правах рукописи

УДК 512.552.7

Шумакова Екатерина Олеговна

ГРУППЫ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ КОНЕЧНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Екатеринбург — 2009

ь. ^

003469228

Работа выполнена в ГОУ ВПО ''Челябинский государственный университет" па кафедре компьютерной топологии и алгебры, и в ГОУ ВПО "Челябинский государственный педагогический университет" на кафедре алгебры, геометрии и методики преподавания математики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Алеев Рифхат Жалялович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Белоногов Вячеслав Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Алексеева Оксана Алексеевна

Ведущая организация: Ярославский государственный университет,

г. Ярославль

Защита диссертации состоится 2 июня 2009 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению мультипликативной структуры групповых колец конечных разрешимых групп.

В изучении групп центральных единиц (равносильно, центров групп единиц) целочисленных групповых колец достигнут определённый прогресс.

В 1940 году была опубликована статья Хигмана1, в которой была построена теория групп единиц конечных абелевых групп. Результаты этой работы определили развитие теории единиц групповых колец и нашли свое применение в других областях.

Р. Ж. Алеев в своей докторской диссертации2 перенес хигманову теорию центральных единиц на группы центральных.единиц целочисленных групповых колец произвольных конечных групп, и эти результаты активно используются в данной работе. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важная часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придает теорема 3.73, которая утверждает, что в большинстве случаев па центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц.

В диссертации Р. Ж. Алеева построена теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL(2,2"), описаны группы центральных единиц для знакопеременных групп А5 и Aç, циклических групп порядков п ^ 10 и п = 12 и для линейной группы PSL(2,16).

Усилиями Р. Ж. Алеева, О. В. Перавиной4 и О. В. Митиной5 были исследованы группы центральных единиц для групп PSL(2,q), где q нечетно.

За последнее время Р. Ж. Алеев и О. В. Митина0 исследовали группы центральных единиц для групп PGL(2,q), где q нечетно. Р. Ж. Алеев, В.

1 Iligman G. The units of group rings. /Proc. London Math. Soc., Vol. 46(1940), pp. 231-248.

2 Алене P.Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дис. на соискание ученой степени доктора физ-мат. наук/ Чел. гос. ун-т. — Челябинск, 2000. 355 с.

3Arora Satya R., Passi I. В. S. Central height of the unit group of integral group ring. /Commun. Algebra, Vol. 21, № 10(1993), pp.3673-3683.

4Алеев P. Ж., Перавина О. В. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSi2(ç), где q нечетно, Вестник Челяб. ГУ, серия „Математика. Механика", № 1(4), 1999, 5-15.

5Митина О. В. Уранения Пелля и центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSLi(q), где q нечетно, Труды ИММ УрО РАН, Т.14 № 4, 2008, 135-142.

6Алеев Р.Ж., Митина О.В. Теорема разложения и ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL^iq), где q нечетно, Сиб. электронные мат, известия, Т. 5, 2008, G52-G72.

В. Соколов7 и A.B. Каргаполов8 исследовали группы центральных единиц для знакопеременных групп.

В мультипликативной теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определенные свойства(свобода, центральность, конечность индекса и др.) и выяснение свойств групп всех единиц. Обзоры состояния исследований групп единиц групповых колец можно найти в работах Бовди9 и Джеспер-calû.

В работе Джесперса рассматриваются группы центральных единиц конечных нильпотентных групп. Таким образом, группы центральных единиц разрешимых ненильпотентных групп не подвергались тщательному изучению.

Важнейшей характеристикой группы центральных единиц является ее ранг (число бесконечных циклических прямых сомножителей). Р. Ж. Але-евым и его учениками получены формулы для вычисления рангов центральных единиц для циклических групп и групп PSL(2, ç), PGL(2,q), зависящие от q. В работе Айоуб11 указана формула для вычисления ранга группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных абелевых групп. Отметим, что у Р. Ж. Алеева вычисление ранга выполняется с использованием таблиц характеров соответствующих групп, а метод Сегала12 и Ферраза13 для вычисления ранга требует изучения классов сопряженных элементов соответствующих групп.

Целью работы является изучение групп центральных единиц целочисленных групповых колец для следующих групп:

группы диэдра D2n = (a,b \ а2 = bn = 1, aba = б-1) , где п ^ 2 и п £ N;

квазикватернионные группы = (а, 6 | а2 = 6", а_16а = б-1), гдеп ^ 2 и п € N;

7Алеев Р. Ж., Соколов В. В. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп, Теория групп, тезисы сообщений седьмой международной школы-коиференции по теории групп, Челябинск, 2008, 7-8.

8Каргаполов A.B. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп, Теория групп, тезисы сообщений седьмой международной школы-конференции по теории групп, Челябинск, 2008, 55-56.

9Bovdi A. The groups of units of a group algebra of characteristic p. /Publ. Math. Debrecen, Vol. 52(1906), no 1-2, pp.193-244. ,

10Jespers E. Units in integral group rings: A survey. /Marcel Dekker, Meth. in ring theory (Lecture notes in pure appl. math, ser.), Vol.l98(1998), pp. 141-169/

11Ayoub R. G., Ayoub C. On the group ringof a finileabelian group// Bull. Austral. Math. Soc., Vol 1(1969). pp.245-261.

"Ritter J., Seligal S. K. Trivial units in RG, Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy. 2005. V.105A, №1. pp. 25-39.

13Ferraz II. A. Simple component and central units in group lings. Jornal of Algebra. 2004, v. 279,№1. pp. 191-203.

обобщенные квазидиэдральные группы

QDsn = (a,b\a2 = b4n = 1, aba = б2""1) , где п Js 2 и п € N;

метациклические группы Фробениуса Fmt„tq = (b)m X (а)п с ядром (b) порядка т и дополнением (а) порядка п.

В случае, когда п не является степенью 2, группы Qin, QDgn являются разрешимыми ненильпотентными.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы теории конечных групп, теории характеров и теории чисел.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп и ее приложениях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006 г.), на международной конференции „Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В.П. Шункова (Красноярск, 2007 г.), на 38-й и 39-й Молодежной конференции „Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007 и 2008 гг.), на международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008 г.), на международной конференции „Маль-цевские чтения" (Новосибирск, 2006 и 2008 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-

[9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 35 наименований. Общий объем диссертации составляет 79 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 диссертации приводятся используемые обозначения и вспомогательные результаты.

Глава 2 диссертации посвящена изучению групп центральных единиц целочисленных групповых колец диэдральных и близких к ним групп. Результаты параграфов 2.1, 2.3, 2.4 и 2.5 опубликованы в [7], а результаты параграфа 2.2 депонированы в [1].

В параграфе 2.1 доказывается следующая теорема, в которой получена формула для вычисления рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра и указан вид центральных единиц.

Пусть п — натуральное число. Тогда и(п) — число всех натуральных

делителей п, [п] — целая часть п, <р{п) — теоретико-числовая функция

. i 0, если п — четно, Эйлера, р(п) = <

1 1, если п — нечетно.

Положим у(х) = t — классовая сумма в целочисленном групповом

tíxG

кольце группы G класса сопряженности хс.

Теорема 1. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы диэдра D2n имеет вид

U{Z{W2n)) = (-1) х Z{D2n) х V,

где V — прямое произведение бесконечных циклических групп, и:

(1) ранг группы U(Z(ZD2u)) равен [f] + 1 — f(n),

[п/2]

(2) группа V состоит из элементов вида Y1 1зУ{№), где 7¿ — целые числа.

В параграфе 2.2 доказываются следующие теоремы, в которых описаны не только как абстрактные группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра порядков 10, 16, 24 и 20, но и указан вид элементов этих групп.

Теорема 2. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра порядков 10, 16, 24 и 20 имеют вид:

• U{Z(ZDW)) = (-1) х {и), где и = -1 + у{Ъ2),

. U(Z{ZDW)) = (-1) х (б4) х (и), где и = 2 + y(b) - у(Ь3) - у(Ь4),

• U{Z{ZD2i)) = <-1> х (6е) х (и), где

и = 3 + 2у(Ь) + у{Ь2) - у(Ь4) - 2у(Ь5) - 2у(Ьб),

• U(Z{ZD2l)) = (-1) X (б5) х (v) х (и), где

V = -3 - у(Ь) + Зу(Ь2) + 3у{Ъ3) - у{ЪА) - 4у(Ъ5), и = 2 + у(Ь)-у(Ъ2)-у(Ь3)+у(Ь5).

Здесь элементы и и v имеют бесконечный порядок.

В параграфе 2.3 доказывается следующая теорема, в которой получена формула для вычисления рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец квазикватернионных групп и указан вид центральных единиц.

Теорема 3. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы (24,г имеет вид

и(г{хя4,0) = (-1) х г(<э4п) х V,

где V есть прямое произведение циклических групп бесконечного порядка, и:

(1) ранг группы равен п + 1 — 1/(2п),

71

(2) группа V состоит из элементов вида ^ 7где — целые чис-

з=о

ла.

Там же доказано предложение о таблице характеров квазикватернионных групп, представляющее самостоятельный интерес.

Предложение 1. Таблица характеров группы С^4П имеет вид

II« 1 1 2 1 п п

1 Ы Ъп а аЬ

■фо 1 1 1 1 1

•Ф1 1 1 1 -1 -1

Фг 1 (-1^ (-1)" -¿р(")

■фз 1 (-1)' (-1Г

Хк 2 Шк] 2(-1)* 0 0

где к,] е {!,...,п~1}, ык, = 2соз^-.

В параграфе 2.4 доказывается следующая теорема, в которой получена формула для вычисления рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец обобщенных квазидиэдральных групп и указан вид центральных единиц.

Положим М = {п, я, 2п+в | й = 1,...,п-1}иМ' = {0, 2п} для четного п, и М = {з, 2п + я | в = 1,..., п - 1} и М' = {0, п, 2п, Зп} для нечетного п.

Теорема 4. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы имеет вид

и{г(ъяИап)) = (-1) х г(яо&п) х V, где V — прямое произведение циклических групп бесконечного порядка, и:

(1) ранг группы [/(£^<5£>8п)) равен г = 2п + 1 - [|] - и(4п),

(2) группа V состоит из элементов вида^1]У(Ь3), где'у^ — целые числа.

¡емим'

Там же доказаны предложения о таблицах характеров обобщенных ква-зидиздральных групп, представляющие самостоятельный интерес.

Предложение 2. Таблицы характеров группы имеют вид

при п четном

И 1 2 1 2 п 2 п

1 V Ь2п а аЬ

Фо 1 1 1 1 1

Фх 1 1 1 -1 -1

■02 1 (-1^ 1 -1 1

Фз 1 (-1)' 1 1

Хк 2 0 0

при п нечетном

н 1 2 1 1 1 п п п п

1 V Ьп Ь3п Ь2п а аЪ аЪ2 аЬ3

Фо 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Ф1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

■02 1 (-1)* -1 -1 1 1 -1 1 -1

Фз 1 (-1)* -1 -1 1 -1 1 -1 1

ФА 1 г] г" г3п -1 1 i -1 —г

■05 1 V г" г3п -1 -1 —г 1 г

Фй 1 (-гУ Н) н -1 1 —г -1 г

Ф7 1 (~г)> Н) п и -1 -1 г 1 —г

Хк 2 Шкз "кп М-кп (-1)*2 0 0 0 0

2 сое если к] четно,

Здесь к^ £ М и = .

1 2 г йш -Xй, если к] нечетно.

4 п 2пк: 4 п

В параграфе 2.5 доказывается следующая теорема, в которой описана связь групп центральных единиц целочисленных групповых колец для циклических и рассмотренных выше групп.

Теорема 5. Пусть {Ь) — максимальная циклическая подгруппа порядка п, 2п и 4п в группах (7 = £>2П, = <?4п или С = С>Оъп соотвествснно. То-гдаи{Ъ(Ь)) = (-1) х (Ь) х V, где V есть прямое произведение циклических

групп бесконечного порядка, порожденных симметрическими элементами нормализованной группы единиц У(ЩЬ)).

Если С ^ Оъ, или С ^ (34п, то и{г(Ю)) = (-1) х ^(С) х V.

В случае С = д£)8п имеем и{г{Ю)) = (-1) х х У0, где У0 =

Су(ф) = {и £ К | с/>(г>) = у} и ф— автоморфизм группы V, определяемый равенством ф(Ь) = Ь2'1-1.

Глава 3 диссертации посвящена изучению групп центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса. Результаты параграфа 3.1 опубликованы в [9].

В параграфе 3.1 доказывается следующая теорема, в которой получена формула для вычисления ранга групп центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса.

Теорема 6. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца метациклической группы Фробениуса = {Ь)т X (а) имеет вид

где V есть прямое произведение циклических групп бесконечного порядка и ее ранг равен

г(U(Z{ZFm„t4))) = (l + g] - I) ^ + g] + 2 - „(m) - "(")

Там же доказано предложение о числе К-классов метациклической группы С7т1„л = (а, Ь | Ьт = ап = 1, а_1Ьа = Ь'), где т > 2, п > 2 и д ^ 1. Этот результат может быть полезен в дальнейших исследованиях групп центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп.

Положим {/„ | б 6 {1,..., г/(??г)}} — множество натуральных делителей числа т, упорядоченных по возрастанию, и <$а — показатель д по модулю 'а; {ч I Ь ^ ■ ■ ■ Кп)}} множество натуральных делителей числа п, упорядоченных по возрастанию, и

U{Z(1Fm^q)) = (-1) х V,

m — 1 п

+ — + 2 — v[m) — v(n), для четного п, 1-1

——--1- 2 — ¡/(m) — v(n), для нечетного п.

п 2 m — 1 п — 1

2п + 2

если ^ е {^ | з 6 {2,..., и{т)}} и д ф 1 1, если я ^ | з 6 {2,..., и{т)}} и д ф 1,

т, если д = 1,

v(m) и(п)

м=ЕМ1°)> аг=ЕЫп),

s=2 ¡=2

iS ¡¡Ф^*), где сумма берется по всем s таким,

что = — 1 (mod ls), О, если иет s таких, что <р = _ 1 (mod ls).

Предложение 3. Число пц К-классов метациклической группы Gm,n,q — (а, Ь | bm = ап = 1, a~lba = Ья) равно

!1 + | (М + АЛ +1 — р(т)), если п — нечетно,

2 + |(Л/" - р(в2) +M+TZ + 1 - р(тп)), если п - четно,

В параграфе 3.2 доказывается следующая теорема, в которой описана не только как абстрактная группа центральных единиц целочисленного группового кольца метациклической группы Фробениуса порядка 55, но и указан вид элементов группы.

Теорема 7. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы Fh,5,3 = Ф)п X (а)5 имеет вид = (—1) х (и), где

и = 551 + 550(г/(6)) + у(Ъ2)) + 170(j,(a) + у(а4)) - 445(у(а2) + у(а3)).

Заключение. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получены формулы для вычисления рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец для групп: диэдральных, обобщенных кватернионных, обобщенных полудиэдральных и метацикли-ческих групп Фробениуса (теоремы 1, 3, 4 и 6), зависящие от порядков этих групп.

2. Впервые получено не только абстрактное описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец для групп диэдра порядков 10, 16, 24, 20 и метациклической группы Фробениуса порядка 55 (теоремы 2 и 7), но и указан вид элементов этих групп.

3. Построены таблицы характеров обобщенных кватернионных и обобщенных полудиэдральных групп (предложения 1 и 2).

4. Получена формула для вычисления числа пд К-классов метациклической группы Gmnq = (a, 6 | bm = a" = 1, a~1ba = bq) (предложение

3).

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Рифхату Жаляловичу Алсеву за постановку задачи и всестороннюю поддержку. Автор благодарит весь коллектив кафедры компьютерной топологии и алгебры Челябинского государственного университета и кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания математики Челябинского государственного педагогического университета за поддержку и создание творческой обстановки.

Работы автора по теме диссертации

1. Шумакова, Е.О. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп диэдра// Ред. ЧГПУ депонировано ВИНИТИ, Ш753-В2005, 27.12.2005, 27с.

2. Шумакова, Е.О. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра// Материалы конференции но итогам научно-исследовательских работ аспирантов и соискателей ЧГПУ за 2004, ч1. Челябинск, ЧГПУ. 2005. С. 195-201.

3. Шумакова, Е.О. Группы единиц целочисленных групповых колец дн-эдральных, кватернио1шых и полудиэдральных групп// Международная конференция "Мальцевские чтения": Тезисы докладов , Новосибирск. 2006.

http://www.math.nsc.ru/coiiference/malmeet/06/Uch.htm

4. Шумакова, Е.О. Группы единиц целочисленных групповых колец ди-эдралыюй и обобщенной полудиэдральной групп// Международная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс": Тезисы докладов. Новосибирск. 2007. С. 16-17.

5. Шумакова, Е.О. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса// Международная конференция "Алгебра и ее приложения": Тезисы докладов. Красноярск. 2007. С. 149-150.

6. Шумакова, Е.О. Центральные единицы целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса// Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург, УрО РАН. 2008. С. 51-55.

7. Шумакова, Е.О. Центральные единицы целочисленных групповых колец диэдральных и близких к ним групп// Труды ИММ УрО РАН. 2008. Т. 14 №4. С. 172-184.

8. Шумакова, Е.О. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса// Международная школа-конференция по теории групп: Тезисы докладов. Челябинск. 2008. С. 95-98.

9. Шумакова, Е.О. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса// Сиб. электронные мат. известия. Т. 5, 2008. С. 691-698.

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Предварительные сведения и результаты

1.1 Кольца и поля.

1.2 Теория представлений.

1.3 Групповые кольца.

Глава 2. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп диэдра и близких к ним групп

2.1 Группы диэдра

2.2 Описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра.

2.2.1 Группа диэдра D\q.

2.2.2 Группа диэдра D\%.

2.2.3 Группа диэдра D24.

2.2.4 Группа диэдра D2о.

2.3 Квазикватернионные группы.

2.4 Обобщенные квазидиэдральные группы

2.5 Связь с циклическими группами

Глава 3. Центральные единицы целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса

3.1 Ранги групп единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса

3.2 Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Фробениуса -^11,5,

Актуальность, темы. Диссертационная работа посвящена изучению мультипликативной структуры групповых колец конечных разрешимых групп.

В изучении групп центральных единиц (равносильно, центров групп единиц) целочисленных групповых колец достигнут определённый прогресс.

В 1940 году была опубликована статья Хигмана „The units of group rings" [23], в которой была построена теория групп единиц конечных абелевых групп. Результаты этой работы определили развитие теории единиц групповых колец и нашли свое применение в других областях.

Р. Ж. Алеев в своей докторской диссертации [2] перенес хигманову теорию центральных единиц на группы центральных единиц целочисленных групповых колец произвольных конечных групп, и эти результаты активно используются в данной работе. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важная часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придает результат [18, Теорема 3.7], который утверждает, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц.

В [2] построена теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL{2,2П), описаны группы центральных единиц для знакопеременных групп А5 и А6, циклических групп порядков п ^ 10 и п = 12 и для линейной группы PSL(2,16).

Усилиями Р. Ж. Алеева, О. В. Перавиной и О. В. Митиной в [6] и [16] были исследованы группы центральных единиц для групп PSL(2,q), где q нечетно.

За последнее время Р. Ж. Алеев и О. В. Митина [4] исследовали группы центральных единиц для групп PGL(2,q), где q нечетно. Р. Ж. Алеев, В. В. Соколов и А. В. Каргаполов [5], [14] исследовали группы центральных единиц для знакопеременных групп.

В работе [25] рассматриваются группы центральных единиц конечных ниль-потентных групп. Таким образом, группы центральных единиц разрешимых ненильпотентных групп не подвергались тщательному изучению.

Важнейшей характеристикой группы центральных единиц является ее ранг. Р. Ж. Алеевым и его учениками получены эффективные формулы для вычисления рангов центральных единиц для циклических групп и групп PSL(2,q), PGL(2, q), зависящие от q. В работе [19] указана формула для вычисления ранга группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных абеле-вых групп. Отметим, что у Р. Ж. Алеева в [2] вычисление ранга выполняется с использованием таблиц характеров соответствующих групп, а метод Сегала [26] и Ферраза [21] для вычисления ранга требует изучения классов сопряженных элементов соответствующих групп.

Целью работы является изучение групп центральных единиц целочисленных групповых колец для следующих групп: группы диэдра D2n = (a, b \ а? = bn = 1, aba = ¿>1), где п > 2; квазикватернионные группы Q4n = (a,b\ а2 — bn, a~lba = b~l) , где n ^ 2 и n e N; обобщенные квазидиэдральные группы

QD8n = {a, b | а2 = bAn = 1, aba = b2n~l), где n > 2 и n 6 N; метациклические группы Фробениуса FTOin>g = (¿>)m X (а) с ядром {b) порядка m и дополнением (a) порядка п.

В случае, когда п не является степенью 2, группы £)2п, Qém QD8n являются разрешимыми ненильпотентными.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы теории конечных групп, теории характеров и теории чисел.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп и ее приложениях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006 г.), на международной конференции „Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В.П. Шункова (Красноярск, 2007 г.), на 38-й и 39-й Молодежной конференции „Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007 и 2008 гг.), на международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008 г.), на международной конференции „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2006 и 2008 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [27]- [35].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 35 наименований. Общий объем диссертации составляет 79 страниц.

1. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М: Мир, 1987. 416 с.

2. Алеев Р. Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дис. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук/ Чел. гос. ун-т. — Челябинск, 2000. 355 с.

3. Алеев Р. Ж. Центральные элементы целочисленных групповых колец. Алгебра и логика, т. 39, №5(2000). с. 513-525.

4. Алеев Р. Ж., Митина О. В. Теорема разложения и ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп РСЬ2(ц), где д нечетно, Сиб. электронные мат. известия, Т. 5, 2008, с. 652-672.

5. Алеев Р. Ж., Соколов В. В. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп, Теория групп, тезисы сообщений седьмой международной школы-конференции по теории групп, Челябинск, 2008, с. 7-8.

6. Алеев Р. Ж., Перавина О. В. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп РЗЬ2(д), где д нечетно, Вестник Челяб. ГУ, серия „Математика. Механика", № 1(4), 1999, с. 5-15.

7. Белоногов В. А. Задачник по теории групп. — М: Наука, 2000. 240 с.

8. Белоногов В. А. Представления и характеры в теории конечных групп.Свердловск, 1990. 378 с.

9. Белоногов В. А., Фомин А. Н. Матричные представления в теории конечных групп. — М: Наука, 1976. 126 с.

10. Бовди А. А. Мультипликативная группа целочисленного группового кольца. Ужгород, 1987. Рук. деп. УкрНИИНТИ, 24.09.87, №2712-Ук87.- 210 с.

11. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М: Наука, 1985. 504 с.12 131415 1617