Асимптотика ограниченных алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Смирнов Андрей Анатольевич

АСИМПТОТИКА ОГРАНИЧЕННЫХ АЛГЕБР ЛИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

(И

1 7 СК ЕЭ

Ульяновск - 2009

003476647

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Петроградский Виктор Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Зайцев Михаил Владимирович

кандидат физико-математических наук Рацссв Сергей Михайлович

Ведущая организация: ГОУ ВПО Самарский государственный

университет

Защита состоится " 14" октября 2009 г. в 11— на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: ул. Набережная реки Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом — на сайте вуза http://www.uni.ulsu.ru

Отзывы но данной работе просим направлять по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований.

Автореферат разослан "_" сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкое применение в последнее время получило изучение числовых характеристик различных алгебраических объектов. Например, понятие роста подгрупп играет важную роль в современной теории групп, этому понятию посвящена недавняя монография А. Люботского и Д. Сегала1. При этом изучение числовых характеристик алгебр и их многообразий приобретает все большее значение, случай ассоциативных алгебр изучается в монографии А. Джамбруно и А. Зайцева2. Многообразия алгебр Ли — это устоявшаяся область исследований в современной алгебре3. Асимптотические задачи также получили широкое распространение4. Таким образом, тематика исследований является актуальной. Основными объектами изучения настоящей работы являются (ограниченные) алгебры Ли. Предметом исследования являются некоторые асимптотики (ограниченных) алгебр Ли.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование:

1) асимптотики роста числа максимальных подалгебр в свободной конечно порожденной ограниченной алгебре Ли над конечным полем;

2) производящей функция инвариантов однородного действия конечной группы на свободной модулярной алгебре Ли;

3) роста числа идеалов в свободной метабелевой ограниченной алгебре Ли с ниль-коммутантом над конечным полем.

Методы исследования. В работе использованы методы теории многообразий (оганиченных) алгебр Ли, теории колец, комбинаторные методы.

Научная новизна. В диссертации получен ряд результатов для многообразий ограниченных алгебр Ли. Все полученные результаты являются

1 Lubotzky A. and Segal D., Subgroup growth. // New York etc.: Springer-Verlag, 2003, 453 p.

2 Giambruno, A. Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods. // Mathematical Surveys and Monographs, 122. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005, 352 p.

3 Бахтурин Ю.А., Тождества в алгебрах Ли. // Москва, Наука, 1985, 448 с.

4 Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли. // Успехи Маг .Наук, т. 45, вып. 6(276), 1990, с. 25-45.

новыми.

Научные положения, выносимые на защиту.

1) Рост числа максимальных подалгебр в свободной конечно порожденной ограниченной алгебре Ли над конечным полем;

2) Производящая функция инвариантов однородного действия конечной группы на свободной модулярной алгебре Ли;

3) Верхняя оценка на рост числа идеалов в свободной метабелевой ограниченной алгебре Ли с ниль-коммутантом над конечным полем.

Достоверность результатов. Достоверность результов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися па методы теории многообразий (ограниченных) алгебр Ли, теории колец, комбинаторные методы.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в исследованиях многообразий (ограниченных) алгебр Ли и их числовых характеристик, в частности, разрешимых и нилыютентных (ограниченных) алгебр Ли.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е.Воскресенского (Самара, 2007), на конференции Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов (Самара 2009), на VII Международной алгебраической конференции на Украине (Kharkov, 2009), семинарах кафедры алгебро-геометрических вычислений УлГУ.

Личный вклад автора. Задача перечисления максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли поставлена научным руководителем и решена совместно при равном участии. Задала изучения

свойств производящей функции свободного однородного порождающего множества для подалгебры инвариантов свободной модулярной алгебры Ли поставлена научным руководителем и решена совместно при равном участии. Задача о нахождении верхней оценки на рост идеалов в мета-белевой ограниченной алгебре Ли с ииль-коммутантом поставлена совместно с научным руководителем и решена автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 1 статья в журнале из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Содержит 58 страниц машинописного текста, список литературы из 33 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация теорем и лемм в данной работе отличается от нумерации, приводимой в диссертации.

Во введении рассмотрена актуальность и значение исследования числовых характеристик (ограниченных) алгебр Ли, проведен обзор достигнутых ранее результатов, сформулированы цели и задачи исследования. Также приведены основные определения и формулировки полученных результатов.

Пусть Ь — алгебра Ли пад полем К характеристики р > 0. Определим отображение ас1: Ь —> Ь, ас!х(у) = [х,у], где х, у 6 Ь. Алгебра .Ли Ь называется ограниченной или лиевой р-алаеброй, если в Ь дополнительно существует унарная операция, удовлетворяющая свойствам

(1) (Аа:)М = УА е К, х е Ь;

(2) пА{х№) = (а<±г)р, \/х е Ц

(3) (х + у)Ы = ХЫ + уЫ + ¿Х1Ф>У), Чх,у е Ц где {31(х,у) -коэффициент при в полиноме ас1(£х + у)1'^ (х) 6 ЬЩ. Также, е^х,у) - лиев полином от х, у степенней г и р — г, соответственно.

Подалгебра, Н С L называется ограниченной, если она замкнута относительно унарной операции.

Свободная ограниченная алгебра Ли L = L(x\,..., x¡¡) ранга d определяется следующим универсальным свойством. Пусть Н — произвольная р-алгебра п ух,... ,y¿ € Н. Тогда существует единственный гомоморфизм ф: L —> Я такой, что ф{х$ — г = 1,..., d. Ее свойства хорошо известны. Если свободная р-алгебра порождена d элементами, то обычно ее обозначают через Fd.

Первая глава посвящена перечислению максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли. Понятие роста подгрупп нашло многочисленные применения в теории групп. Пусть G — конечно порожденная группа. Для натурального числа п обозначим через an(G) число подгрупп в G индекса п. Данные числа действительно конечны, возникает последовательность роста подгрупп an(G), п > 1. В работе М. Холла были найдены точные рекуррентные соотношения и вычислена асимптотика для последовательности an{Gd), где G¿ — свободная группа конечного ранга d5.

Теорема 1: Лг/стъ G¿ -- свободная группа ранга d. Тогда ai(Gj) = 1

и

п-1

an(Gd) = n(nl)d~l - J2((n - md~ W(Gd), n> 1. fc=i

Кроме того, имеет место неравенство an(G) < a„(Gd), п > 1, где G — произвольная d-порожденная группа. Рассматривают также последовательность an(G), равную числу максимальных подгрупп индекса п. Если G¿ — свободная группа конечного ранга d > 1, то a„{Gd) ~ an(Gd), при п —♦ оо. Иными словами, "почти все" подгруппы конечного индекса в G,t максимальны.

Имеют место аналогичные утверждения для следующих двух классов

5 Hall М., Subgroups of finite index in free groups. // Can. J. Math., V. 1, 1949, p. 187-190.

алгебраических объектов. Во-первых, пусть L — конечно порожденная ограниченная алгебра Ли над конечным полем F,;. Пусть am(L) — число ограниченных подалгебр HCL, таких что dim $ (L/H) = rn, m > 0. Д. Райлп и В. Ташич доказали, что числа am(L) конечны6. Таким образом, возникает последовательность роста подалгебр am(L), m > 0. Оценки, найденные ими, достаточно велики. В.М.Петроградским найдены точные рекуррентные формулы и вычислена асимптотики для последовательности am(FLi), где F¿ — свободная ограниченная алгебра Ли конечного ранга над конечным полем7. Доказано также, что an(L) < an(Fd), п>0, где L — произвольная ¿-порожденная ограниченная алгебра Ли.

Во-вторых, пусть А — конечно порожденная ассоциативная алгебра над конечным полем Fq. Определим последовательность роста односторонних идеалов ап(А) как число левых идеалов J С А, таких что dimfq(A/J) — п, п > 1. Понятие роста идеалов появилось в работах Сегала8. Аналогично, определим последовательность роста односторонних максимальных идеалов ап(А). Пусть A¿ — свободная ассоциативная алгебра ранга d. В.M.Петроградским найдены рекуррентные соотношения для an{Ad), доказано что ап(А) < ап(А,/) для произвольной «¿-порожденной ассоциативной алгебры Л9. Вычислены также асимптотики и доказано, что an(Aj) « Й„(Дг), п —> оо, если d > 1. Иными словами, "почти все" односторонние идеалы J С где d > 1, максимальны.

Перейдем к изучению последовательности än(L), равную числу максимальных ограниченных подалгебр коразмерности п. В качестве основного инструмента исследуются действия ограниченных алгебр Ли па

6 Riley D. and Tasic V., On the growth of subalgebras in Lie p-algebras, // J. Algebra, V. 1, N. 237, 2001, p. 273-286.

7 Petrogradsky V.M., Growth of subalgebras for restricted Lie algebras and transitive actions. // Internat. J. Algebra Comput., V. 5, N. 5-6, 2005, p. 1151-1168.

8 Segal D., On the growth of ideals and submodules. // J.London Math. Soc. V. 56, N. 2(2), 1998, p. 245-263.

0 Petrogradsky V.M., One-sided ideal growth of free associative algebras. // Mrmutsh. Mutlt., V. 149, 200G, p. 243-249.

кольцах срезанных многочленов дифференцированиями. Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 2: Пусть ^ — свободная ограниченная алгебра Ли ранга ¿>2 над конечным полем характеристики р > 0. Тогда

1.

Оп№) = ап(^)(1 + п -» оо;

2. имеет место асимптотика

ап(Ра) = - ^ + 0(д-2")), п оо;

3. пусть Ь — произвольная ограниченная ё,-порожденная алгебра Ли, тогда ап(Ь) < а„(.РД п > 0.

Тот факт, что последовательности и ап(^) имеют одинаковую

асимптотику мы интерпретируем следующим образом.

Следствие 1: Ограниченная подалгебра конечной коразмерности в свободной ограниченной алгебре Ли ^ ранга й > 2 над конечным полем ¥ч является максимальной с вероятностью 1.

Полученный результат является аналогом упомянутых выше утверждений для свободных групп и свободных ассоциативных алгебр. Согласно теореме Петроградского число всех подалгебр растет достаточно быстро. Но из одного этого факта наш основной результат не еле,дует, так как теоретически возможна такая структура подалгебр, число которых быстро растет, однако число максимальных подалгебр конечно.

Во второй главе изучаются инварианты модулярных свободных алгебр Ли. Хорошо известна теорема Ширшова-Витта о свободе любой подалгебры в свободной алгебре Ли. Во второй главе мы рассматриваем действие однородной конечной группы автоморфизмов на свободной

модулярной алгебре Ли, а именно мы изучаем свободное порождающее множество в терминах производящих функций.

Пусть L = L(X) — свободная конечно порожденная алгебра Ли над полем К характеристики р > 0 со свободным порождающим множеством X = {х\,... ,Xk}, V = {х\,..., Хк)к С L — векторное пространство и G — конечная подгруппа в GL(V). Возникает естественное однородное действие на Ь{Х). Рассмотрим подалгебру инвариантов lP — {v€ L I g * V = v,g € G}, она свободно порождается однородным

оо

множеством Y = U Yn, где Yn С Ln. Рассмотрим соответствующую

п—i

производящую функцию

оо ос

n=i ;=i

где m — порядок подгруппы действующей скалярно. Подалгебра инвариантов lP бесконечно порождена при условии, что |G| > I10. Аналогичный факт был доказан для не обязательно однородной конечной группы автоморфизмов G С Aut(£(X)) в случае поля характеристики нуль11. Наконец, случай произвольного поля и произвольной конечной группы автоморфизмов был изучен Р. Бриантом и А. Папистасом12. Подобный результат также установлен для инвариантов свободной цветной супералгебры Ли и однородной конечной группы автоморфизмов13. Точная формула для H(Y, t) была найдена в случае характеристики ноль14. Множество свободных порождающих Y не только бесконечно, но полученная формула дает экспоненциальную асимптотику для |У*т|, когда

ш Bryant R. M-, On the fixed points of a finite group acting 011 a free Lie algebra. // J. hondón Math. Soc., V. 43, N. 2(2), 1991, p. 215-224.

11 Drcnsky V.,Fixed algebras of residually nilpotent Lie algebras. // Proc. Amer. Math. Suc. V. 120, N. 4, 1994, p. 1021-1028.

12 Bryant R. M., Papistas Л. I. On the fixed points of a finite group acting on a relatively free Lie algebra. // Glasgow Math. J., V. 42, 2000, 107-181.

13 Михалев А. А. О неподвижных точках свободной цветной супсралгебры Ли относительно действия конечной группы линейных автоморфизмов. // Уt:nr.m Mííiii. Наук, т. 47, вып. 4(280), 1992, с. 205-200

14 Петроградский В.М. Об инвариантах действия конечной группы на свободной алгебре Ли. // Саб. мат. ж., т. 41, выи. 4, 2000, с. 915-925.

Основной результат второй главы состоит в следующем. Теорема 3: Рассмотрим конечную подгруппу G с GL(V), |G| > 1, где V = (х\,... ,Хь)к и поле К произвольно. Рассмотрим диагональное действие G на свободной алгебре Ли L = L(xi,...,Xk). Пусть 00

Y — U Yn, где Yn С Ln свободное однородное порождающее мно-

п— 1

жество для подалгебры инвариантов Lg и H{Y,t) = | Yn\tn ее производящая функция. Тогда

1. 7i(Y, t) не зависит от выбора свободного однородного порождающего множества Y;

2. последовательность |Yn\ растет экспоненциально:

lim sup \/\Yn\ = k;

n-*oc

3. радиус сходимости для H(Y,t) равен l/k;

4. производящая функция шкет следующую асимптотику

/ \ l/|Gj+o(l)

H(Y,t) = 1 - (l -kt) , t —> l/k — 0.

Здесь t —► l/k—0 обозначает, что вещественная переменная стремится слева к l/k.

В третьей главе изучается рост идеалов в метабелевых р-алгебрах Ли. В течение продолжительного времени оставалась открытой следующая проблема: для каких групп последовательность an(G) имеет полиномиальный рост? В серии статей, принадлежащих А. Люботскому, А. Манну и Д. Сегалу, был дан окончательный ответ15.

Пусчъ G — конечно порожденная нильпотентная группа без кручения.

Тогда дзета-функцией (или рядом Дирихле) называется функция

00

СсОО= £ |G : я г = £an(G)n-

HcG п=1

15 Lubotzky, A. Mann, Л. Scgal, Ü. Finitely generated groups of polynomial subgroup growth. // hracl J.Math., V. 82, N. 1-3, 1993, c. 303-371.

Условия, накладываемые на группу G, действительно необходимы, так как гарантируют полипомиалиный рост коэффициентов ряда, а иначе он нигде не сойдется. Для этого класса групп, дзета-функция удовлетворяет следующему свойству16:

ÍG(S) = П

рпростое

где локальные факторы для каждого простого р определяются, как

ос

с<?» = £ iG : яг = £ МО-™.

HcG, \G:H\=pm т=0

При этом доказано, что локальные факторы являются рациональными функциями аргументов p~s. В частности, для свободной абелевой iß группы выполняется следующее соотношение:

Cz«(s) - C(ä)C(s - 1) -.. Ф - (d - 1)), d > 1;

где Ç(s) — дзета-функция Римана.

Пусть L — конечно порожденная р-алгебра Ли над конечным полем К = F«,. Как и выше обозначим через an{L) число ограниченных подалгебр таких, что с\\т$ч{Ь/Н) = п, п. > 0. Таким образом, получаем последовательность роста подалгебр an(L). Аналогично определяем также последовательность роста идеалов cn{L). Для абелсвых алгебр Ли, очевидно, обе последовательности совпадают. По аналогии с теорией групп рассмотрим дзета-функцию для ограниченной алгебры Ли.

ос

IIÇL n=0

Точная формула дзета-функции для свободной абелевой ограниченной алгебры Ли известна.

Рост подгрупп и нормальных подгрупп широко исследован, при этом важным случаем являются разрешимые и в частности мстабслсвы группы. Основным результатом третьей главы является следующая верхняя

16 Grunewald, F.J., Segal, D., Smith, G. С. Subgroups üí finite index in nilpotcnt groups. // Invent. Math., V. 93, N. 1, 1988, p. 185-223.

оценка, на рост идеалов в метабелевой ограниченной алгебре Ли с ниль-коммутантом.

Теорема 4: Пусть

Ь = (хь х2, ■ ■ ■, хл | [[я, у], [г, г}} = 0, [ж, у}р = 0)р

свободная ранга с1 > 2 метабелева ограниченная алгебра Ли с ииль-коммутантом над конечным полем ¥,, и Сп{Ь) последовательность роста идеалов. Тогда существуют константа а, что для достаточно больших п

а„{Ь) < Г*

Основные результаты и выводы.

1. Найдена асимптотика для роста числа максимальных подалгебр в свободной конечно порожденной ограниченной алгебре Ли над конечным полем.

2. Исследована производящая функция инвариантов однородного действия конечной группы на свободной модулярной алгебре Ли.

3. Найдена верхняя оценка на рост числа идеалов в свободной метабелевой ограниченной алгебре Ли с ниль-коммутантом над конечным полем.

Полученные результаты предоставляют новую информацию о различных асимптотиках (ограниченных) алгебр Ли и позволяют более детально описать их структуру.

В заключение автор выражает глубокую и искреннюю признательность своему научному руководителю В. М. Петроградскому за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Работы автора по теме диссертации в журналах из перечня ВАК

[lj Петроградский В.М. Смирнов A.A. Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли. // Сибирский математический журнал, т. 49, вып. 6, 2008, с. 1381-1390.

Публикации в прочих изданиях

[2] Петроградский В.М. Смирнов A.A. Рост подалгебр в ограниченных алгебрах Ли // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е.Воскресенского. Материалы конференции. Самара: Издательство "Универс групп", 2007, с. 40-41.

[3] Петроградский В.М. Смирнов A.A. Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли // Конференция Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов. Материалы конференции. Самара: Издательство "Универс групп", 2009, с. 43.

[4] Petrogradsky V.M., Smirnov A.A. On asymptotic properties of modular Lie algebras // 7th International Algebraic Conference in Ukraine, cd. G.N. Zholtkvich - Kiev:, 2009, p. 121-122.

Подписано в печать 4.09.09. Формат 60 х 84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1021^3О

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

1 Введение

1.1 Основные определения.

1.2 Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли.

1.3 Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли.

1.4 Рост идеалов в метабелевых р -алгебрах Ли.

2 Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли

2.1 Рост подалгебр в ограниченных алгебрах Ли

2.2 Коалгебры и транзитивные действия.

2.3 Действия на срезанных многочленах.

2.4 Перечисление ограниченных подалгебр.

3 Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли

3.1 Инварианты свободных алгебр Ли.

3.2 Основной результат.

4 Рост идеалов в метабелевых р -алгебрах Ли

4.1 Рост подалгебр в абелевых р-алгебрах Ли.

4.2 Основной результат: рост идеалов в метабелевых р -алгебрах Ли

Широкое применение в последнее время получило изучение числовых характеристик различных алгебраических объекгов. Например, понятие роста подгр> пп играет важную роль в современной теории групп, этому понятию посвящена недавняя монография [23]. При этом изучение числовых характеристик алгебр и их многообразий приобретает все большее значение, случай ассоциативных алгебр изучается в монографии [19]. Многообразия алгебр Ли — это устоявшаяся область исследований в современной алгебре [6]. Асимптотические задачи также получили широкое распространение [11]. Основными объектами изучения настоящей работы являются (ограниченные) алгебры Ли, а именно, исследуются некоторые их асимптотики. Таким образом, тематика исследований является актуальной.

1.1 Основные определения

Определение 1.1.1 Алгеброй Ли L над по. чем К называется К -модуль L, снабженный бильнейным отображением (х. у) —> [а1, у] прямого произведения L х L в L, называемым коммутированием и удовлетворяющгм следующим двум аксио мам:

1. [.г, х]=0 , откуда [ж, у] = -[у, х] ;

2. [ж, [у, z]] + [у, [z, ж]] + [z, [ж, у]] = 0 (тождество Якоби). Примеры:

1° . Пусть А — ассоциативная алгебра над полем К; полагаем [а, Ъ] = ab — ba. Эта операция коммутирования снабжает К -модуль А структурой алгебры Ли [Л] над К.

2°. Свободная алгебра Ли

Определение 1.1.2 Свободная алгебра Ли L = L(x\,., I'd) ранга d (d может быть бесконечным) определяется следующим универсальным свойством. Пусть Н — алгебра Ли и yi,-.,yd £ Н. Тогда существует единственный гомоморфизм ф: L —у Н такой, что ф(х{) = yi, г = 1. d .

Пусть S — какое-нибудь множество, S — множество неассоциативпых слов, составленных из элементов S (т. е. слов, в которых ставятся все необходимые скобки). Модуль Е, образованный формальными линейными комбинациями элементов S с коэффициентами из поля К, естественным образом снабжается мультипликативной структурой, от которой требуется лишь, чтобы она была билинейным отображением Е х Е в Е. Переходя к фактор-модулю по отношению эквивалентности, определенному тождествами 1 и 2 (имеется ввиду фактор-модуль по подмодулю, порожденному левыми частями тождеств 1, 2), получаем алгебру Ли над К, которая является свободной алгеброй Ли, порожденной множеством S.

3° . Дифференцированием алгебры Ли L называется всякий эндоморфизм (гомоморфизм в себя) К -модуля L, удовлетворяющий условию

D([x,y}) = [D(x),y} + [r. D(y)}.

Дифференцирования алгебры Ли L образуют подалгебру алгебры Ли эндоморфизмов JC-модуля L, обозначаемую через Derд-L.

В следующем определении используются обозначения из примера 1° .

Определение 1.1.3 Ассогщативная алгебра U — U(L) с единицей над полем К называется универсальной обертывающей для алгебры Ли L над К, если существует гомоморфизм алгебры, Ли е: L —> [U], такой, что для любого гомоморфизма алгебры Ли rj: L —> [А], ?де А — некоторая ассоциативная алгебра над полем К с единицей, существует единственный гомоморфизм f ассоциативных алгебр с единицей, f: U —> А, такой, что г) = fe . Иными словами, гомоморфизм f делает коммутативной диа?рамму

L —^ U п f А - А

Свойства универсальной обертывающей алгебры хорошо известны [6]. Пусть L — алгебра Ли над полем К, Е = (ej)гЕ/ — ее базис, причем множество индексов I линейно упорядочено, U(L) — универсальная обертывающая, г: L —> U(L) — канонический гомоморфизм. Тогда единица и множество одночленов вида e(eu)e(ei2).6(eim),

Ч < г2 < . < гт, т > 0. образуют базис алгебры U(L).

Определение 1.1.4 Пусть L и М — две алгебры Ли над полем К. Допустим, чт.о ip — гомоморфизм алгебры Ли L в алгебру дггфференцирований Der^M алгебры М. Превратим множество N пар (х,у), х € L, у 6 М, в алгебру Ли , полагая

Уг) + (ж2, У2) = (®1 + Х2, Ух + y2)s \(х,у) = (\х,\у), Хек [(zi>yi), {х2,у2)} = ([жъж2],^0г1)(у2) - р(х2)(у\) + [lluy2])

Алгебра N называется полупрямым произведением алгебры Ли L на алгебру Ли М, отвечающим гомоморфизму ср.

Будем обозначать полученную алгебру символом L А/ или просто L X М , если (f известен. Если у? — нулевой отображение, то получаем прямое произведение алгебр L и М.

Определение 1.1.5 Пусть

L" последовательность гомоморфизмов алгебр Ли. Говорят, что эта последовательность точная, если ядро g совпадает с образом f, т. е. Imf = Kerg.

Например, если Н — идеал в алгебре Ли L, то последовательность

H^L^L/H точная (здесь ф — вложение и ср ~ каноническое отображение).

Определение 1.1.6 Последовател,ьностъ гомоморфизмов с большим числом членов, например

Т fi т /2 т fn-i т —> Ь2 ■—> -Ь3 —> . . . -> Ьп, называется точной, если она точна в каждом члене, т. е. если

Imfi = Kerfi+1 для всех г — 1,. ,п — 2.

Например, точность последовательности означает, что / инъективно, что Im/ = Kerg и что g сюръективно. Эта последовательность по существу не что иное, как точная последовательность

О Я -»■ L L/H О, где Н — Kerg.

Определение 1.1.7 Говорят,, что точная последовательность

О -» V L -> L" О расщепляется, если алгебра Ли L представима о в аде полупрямого произведения L' и L" ^ L", т. е. если L = L"\L.

Определение 1.1.8 Пусть L — алгебра Ли над полем К характеристики р > 0. Определим отображение ad: L —> L, adx(y) = [.х,у] , где х,у G L. Алгебра Ли L называется ограниченной или лиевой р-алгеброй. если в L дополнительно существует унарная операция, удовлетворяющая свойствам

1) (As)M = VA е К, хец

2) ad(j-W) = (adr)p, Ух 6 L;

3) {x + y)W=xW+yM + J2Pi-1lsl(x,y),Vx,yeL- где is^x^y) - коэффициент при tl~l в полиноме ad(tx + y)p~l(x) G L[t]. Также, вг(х,у) ~ лиев полином от х,у степеней г и р — i , соответственно.

Это определение мотивированно следующей конструкцией. Пусть А — ассоциативная алгебра над подем К, характеристики р > 0. Тогда А становится алгеброй Ли с новой операцией [х, у] = ху — ух , где ж, у G А. Отображение х —> хр удовлетворяет свойствам (1) - (3).

Определение 1.1.9 Подалгебра Н С L называется ограниченной, если она замкнута относительно ynapnoit операции.

Приведем еще несколько примеров.

1° . Если R — некоторая К-алгебра, char Я" = р > 0, то ее алгебра Ли дифференцирования Бегк(Д) является р-алгеброй. так как для любого дифференцирования 5: R —>■ R отображение 6Р (в обычном смысле) — также дифференцирование.

2° . Алгебра sl(n, К), char К > 0, является р-подалгеброй в алгебре Кп матриц относительно обычного возведения в степень р.

Пусть х £ L, тогда п-ую итерацию р-отображения обозначим через х^. Ниже, скобки будем опускать и писать просто хр" . Если К -подпространство Н С L замкнуто только относительно уножения, тогда Н называется подалгеброй Ли. В этом случае, определим множество Нр = (К'' ' | h £ Н \ п > О)к ■ Легко видеть, что Нр будет минимальной ограниченной подалгеброй, содержащей Н. Заметим, так же, что [ЯР,ЯР] = [#,#].

Свободная ограниченная алгебра Ли L = L(xi,., х^) ранга d определяется следующим универсальным свойством. Пусть Н — произвольная р-алгебра и Hi, ■ ■ • iVd б Н. Тогда существует единственный гомоморфизм ф: L —* Н такой, что ф(хi) — уг, г — 1,., d. Ее свойства хорошо известны, см. [б]. Если свободная р-алгебра порождена d элементами, то обычно ее обозначают через Frj .

Предположил!, что L — ограниченная алгебра Ли над полем К. Пусть J — идеал универсальной обертывающей алгебры U(L), порожденный всеми элементами вида .гИ —хр, где х £ L. Тогда u(L) = U(L)/J называется ограниченной обертывающей алгеброй. В этой алгебре применение оператора х^ тождественно возведению в р-ую степень хр для всех элементов х £ L. Пусть множество {уг\г £ 1} . линейно упорядоченный базис для р-алгебры L. По аналогии с георемой Пуанкаре-Биркгоффа-Витта, ограниченная обертывающая алгебра имеет следующий базис [7]: u(L) = . | Ч < . < гт, 0 < аг < р\ т > 0)К

Заключение

В заключении представленной диссертационной работы можно отметить, что поставленная задача исследований решена в полном объеме. Основные результаты работы:

1. Найдена асимптотика для роста числа максимальных подалгебр в свободной конечно порожденной ограниченной алгебре Ли над конечным полем.

2. Исследована производящая функция инвариантов однородного действия конечной группы на свободной модулярной алгебре Ли.

3. Найдена верхняя оценка на рост числа идеалов в свободной метабелевой ограниченной алгебре Ли с ниль-коммутантом над конечным полем.

Публикации автора по теме диссертации в журналах списка ВАК

1] Петроградский В.М. Смирнов А.А. Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли. Сиб. Мат. Ж. 49 (2008), по. 6. 1381-1390.

Другие публикации автора по теме диссертации

2] Петроградский В.М. Смирнов А. А. Рост подалгебр в ограниченных алгебрах Ли. Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е.Воскресенского. Самара 2007. тезисы, с. 40-41.

3] Петроградский В.М. Смирнов А.А. Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли, конференция Алгебры Ли. алгебраические группы и теория инвариантов. Самара 2009. тезисы с. 43.

4] Petrogradsky V.M., Smirnov A.A. On asymptotic properties of modular Lie algebras, 7th International Algebraic Conference in Ukraine Kharkov 2009, abstracts, p.121-122.

1. Атья М., Макдональд И. Коммутативная алгебра. М. Мир. 1972.

2. Бахтурин Ю.А., Тождества в алгебрах Ли, Москва, Наука, 1985.

3. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1963.

4. Джекобсон Н. Теория колец. М.: Мир. 1951.

5. Маркушевич А.Л. , Маркушевич Л.А., Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение. 1977.

6. Михалев А. А. О неподвижных точках свободной цветной супералгебры Ли относительно действия конечной группы линейных автоморфизмов Успехи Мат. Наук, 47 (1992), по 4, (286), 205-206;

7. Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли. Успехи Мат .Наук 45 (1990), по. 6(276), 25-45,

8. Петроградский В.М. Об инвариантах действия конечной группы на свободной алгебре Ли, Сиб. мат. ою. 41 (2000), по 4, 915-925.

9. Петроградский В.М. Характеры и инварианты свободных супералгебр Ли, Алгебра и анализ. 13 (2001), по 1, 158-181.

10. Blattner R.J., Induced and produced representations of Lie algebras. Trans. Am. Math. Soc. 144 (1969), 457-474.

11. Bryant R. M., On the fixed points of a finite group acting on a free Lie algebra. J. Loridon Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 2, 215-224.

12. Bryant R. M., Papistas A. I. On tlie fixed points of a finite group acting on a relatively free Lie algebra. Glasgow Math. J. 42 (2000), 167-181.

13. Bryant R. M. Free Lie algebras and formal power series. J.Algebra, 253 (2002), no. 1, 167-188.

14. Drensky V., Fixed algebras of residually nilpotent Lie algebras. Proc. Anier. Math. Soc. 120 (1994), no 4, 1021-1028.

15. Giambruno, A. Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods. Mathematical Surveys and Monographs, 122. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005.

16. Grunewald. F.J., Segal, D., Smith, G. C. Subgroups of finite index in nilpotent groups. Invent. Math. 93 (1988), no. 1, 185-223.

17. Hall M., Subgroups of finite index in free groups. Can. J. Math. 1 (1949), 187-190.

18. Lubotzky, A. Mann, A. Segal, D. Finitely generated groups of polynomial subgroup growth. Israel J. Math. 82 (1993), no. 1-3, 363-371.

19. Lubotzky A. and Segal D., Subgroup growth, New York etc.: Springer-Verlag, 2003.

20. Petrogradsky V.M., Growth of subalgebras for restricted Lie algebras and transitive actions. Intemat. J. Algebra Comput., 15 (2005), no. 5-6, 1151-1168.

21. Petrogradsky V.M., One-sided ideal growth of free associative algebras. Monatsh. Math., 149 (2006), 243-249.

22. Petrogradsky V.M., Growth of finitely generated polynilpotent Lie algebras and groups, generalized partitions, and functions analytic in the unit circle, Intemat. J. Algebra Comput., 9 (1999), no 2, 179-212.

23. Petrogradsky V.M., On Witt's formula and invariants for free Lie superalgebras, Formal power series and algebraic combinatorics (Moscow 2000). 543-551, Springer, 2000.

24. Reutenauer C., Free Lie algebras. Clarendon Press, Oxford, 1993.

25. Riley D. and Tasic V., On the growth of subalgebras in Lie p -algebras, J. Algebra, 237, (2001), no 1, 273-286

26. Segal D., On the growth of ideals and submodules. J.London Math. Soe. (2) 56 (1997), no. 2, 245-203

27. Segal, D. Shalev, A., Groups with fractionally exponential subgroup growth. J. Pure Appl. Algebra 88 (1993), no. 1-3, 205-223.

28. Strade H. and Farnsteiner R., Modular Lie algebras and their representations, New York etc.: Marcel Dekker, 1988.

29. Sweedier M. E. Hopf algebras. New York: W. A. Benjamin, Inc., 1969.