Алгебры с полиномиальными тождествами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

0.1. Кольца с полиномиальными тождествами.

0.1.1. Проблемы канонической формы.

0.1.2. Связь с теорией инвариантов и некоммутативной алгебраической геометрией.

0.1.3. Проблемы конечной базируемости.

0.1.4. Структура и объем работы

0.2. Основные определения и конструкции

0.2.1. Представления алгебр.

0.2.2. Линеаризации и квазилинеаризации.

0.2.3. Следы и формы

0.2.4. Представления симметрической группы и супериоризация

1. Строение базисов алгебр и комбинаторика слов 56 1.0.1. Комбинаторика слов конечной длины. Эффекты периодичности

1.1. Методы символической динамики и мономиальные алгебры

1.1.1. Сверхслова в алгебрах

1.1.2. Сверхслова и динамика.

1.1.3. Периодичность и бесконечные слова.

1.1.4. Нильрадикал и радикал Джекобсона.

1.1.5. Классификация слабо нетеровых мономиальных алгебр

1.1.6. Радикал Бэра мономиальных алгебр. Первичные слова

1.2. Представления мономиальных алгебр.

1.2.1. Вспомогательные конструкции

1.2.2. Многообразия мономиальных алгебр.

1.2.3. Критерий представимости мономиальной алгебры.

1.2.4. Представимые алгебры с трансцендентным рядом Гильберта и алгоритмические вопросы.

1.3. Теорема Ширшова о высоте и базисы алгебр

1.3.1. Оценки в теореме о высоте.

1.3.2. Базисы Ширшова и структурно-комбинаторный параллелизм

1.3.3. Теорема об экстремальных словах.

1.3.4. Прямое комбинаторное доказательство гипотез Шестакова и Амицура

1.4. Метод перекачки

1.4.1. Проблемы бернсайдовского типа и ограниченность высот

1.4.2. Неоднородный случай в проблеме Куроша.

1.4.3. Перекачка и тождество алгебраичности.

1.4.4. Разреженные тождества и перекачка.

1.4.5. Оценки для высоты над множеством слов степени не выше сложности.

1.5. Высота алгебр и размерность Гельфанда—Кириллова.

1.5.1. Ассоциативный случай.

1.5.2. Представимые алгебры общей сигнатуры.

2. Многочлены Капелли и многочлены Кемера

2.1. Внутренние следы и препятствия к представимости.

2.2. Представимые пространства.

2.3. Утончение альтернаторов

2.3.1. Кольца с операторами.

2.3.2. Размерность Гельфанда-Кириллова и ряды коразмерности

2.3.3. Высота и курошевость для хороших многообразий.

2.4. Нетеровы конечно порожденные PI-алгебры конечно определены

2.5. Т-первичные многообразия: центральные полиномы, решение вопроса И. В. Львова

2.6. О тождествах ассоциативных алгебр в характеристике р.

2.7. Тождество алгебраичности.

3. Концепция экстремального идеала. Рациональность рядов Гильберта в относительно свободном случае.

3.1. Схема Кемера

3.1.1. Индукционные параметры. Сложностной тип.

3.1.2. О доказательствах рациональности.

3.2. Примеры экстремальных идеалов.

3.2.1. Алгебра общих матриц Мд.

3.2.2. Полупрямые произведения алгебр матриц.

3.2.3. Многообразия мономиальных алгебр.

3.2.4. Нематричные многообразия.

3.3. Доказательство рациональности рядов Гильберта методом Кемера 152 3.3.1. Доказательство лемм Кемера

3.4. Метод А. Р. Кемера для положительной характеристики.

3.4.1. Рациональность рядов Гильберта в случае положительной характеристики

3.4.2. О редукциях по простому модулю.

3.5. Бесконечно порожденный случай, супералгебры и Т-пространства . 169 3.5.1. Ряды Гильберта для Т-пространств.

4. Представления относительно свободных алгебр.

4.1. Замыкание по Зарисскому.

4.2. Построение улучшенных представлений. Алгебры А, Аы и А

4.3. Структура улучшенных представлений.

4.3.1. Выбор общих элементов. Алгебра компонент А. Градуировки

4.3.2. Связи между клетками. Граф Г.

4.4. Графы и представления ассоциативных алгебр.

4.4.1. Пути в графах. "Гашение" путей.

4.4.2. Внешние и внутренние следы и формы.

4.5. Язык тождеств.

4.5.1. Граничные алгебры.

4.5.2. Случай, когда Г состоит из одного пути. Примеры.

4.6. Доказательство рациональности рядов Гильберта методами теории представлений.

4.6.1. Построение экстремального идеала.

4.6.2. Завершение доказательства рациональности.

4.6.3. Замечания о доказательствах представимости и конечной базируемости.

4.7. Графы и свойства конечности.

4.7.1. Свойства нетеровости.

4.7.2. Слабо нетеровые относительно свободные алгебры.

4.7.3. Конечно определенные Р/-алгебры.

5. Локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий ассоциативных алгебр

5.0.1. Применение алгебро-геометрических соображений к доказательствам представимости и конечной базируемости.

5.0.2. Вспомогательные утверждения.

5.1. Разносортные тождества, подстановки и метод А. В. Гришина

5.1.1. 0-техника.

5.1.2. Основное комбинаторное соображение.

5.1.3. Случай положительной характеристики.

5.1.4. Конечная базируемость Т-пространств.

5.1.5. Т-пространства и лемма Артина-Рисса

5.1.6. Многообразия сложности 1.

5.2. Тождества в компонентах

5.2.1. Преобразование компонент.

5.2.2. Связь между обычными тождествами и разносортными

5.2.3. Действие нетерового кольца на правильных членах.

5.3. Построение замкнутых идеалов. Вырезающие подстановки.

5.3.1. Расталкивание резервных образований. Построение правильного идеала.

5.3.2. Случай, когда существенные смешанные элементы отсутствуют

5.3.3. Проблема Шпехта и некоммутативная алгебраическая геометрия

5.4. Размерность Гельфанда-Кириллова, ряды коразмерности и слож-ностные характеристики.

5.4.1. Размерность Гельфанда-Кириллова для алгебры общих матриц и первичных многообразий

5.4.2. Полупрямые произведения матричных алгебр и сложностной

5.4.3. Размерность Гельфанда-Кириллова для Т-идеалов.

5.4.4. Размерность Гельфанда-Кириллова и базисный ранг.

5.4.5. Ряды коразмерности

5.5. Локальная конечная базируемость.

5.5.1. Окончание доказательства локальной шпехтовости

5.6. Импликация: локальная шпехтовость => локальная представимость

5.6.1. Крайние элементы.

5.6.2. Структура нетерова 5-модуля. Построение расширенной алгебры

6. Общие кольца и алгебры над коммутативным кольцом 291 6.1. Локальная конечная базируемость многообразий.

6.1.1. Случай Р1-колец.

6.1.2. Случай не Р1-колец.

6.1.3. Кручение в относительно свободных кольцах.

6.2. Локальная представимость многообразий.

6.2.1. Редукция к случаю, когда Ф - поле.

6.2.2. Построение экстремальных идеалов.

6.2.3. Завершение доказательства локальной представимости. Тестовые алгебры

6.2.4. Случай отсутствия смешанных элементов в А/3(Ф)А

6.3. Алгоритмические свойства многообразий.

6.3.1. Сведение к Р1-случаю.

6.3.2. Алгебры над полем.

6.3.3. Алгоритмическая вычислимость в А. Фильтрации.

6.3.4. Теорема о каноническом носителе.

6.3.5. Алгоритм проверки следования тождеств.

6.3.6. Существование алгоритма, проверяющего, является ли / тождеством данной представимой алгебры А.

6.4. Критические бесконечные кольца.

6.4.1. Случай отсутствия тождеств

6.4.2. Случай наличия тождеств.

6.5. Вопросы однородности.

6.5.1. Однородные многообразия.

6.5.2. Радикальные свойства однородных компонент тождеств и теорема о высоте

6.5.3. Об одном вопросе И. В. Львова.

7. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов

7.1. Основные конструкции.

7.2. Основная теорема.

7.2.1. Подстановки слов на заданные позиции

7.2.2. Доказательство основной теоремы.

7.3. Обобщения конструкции. Неассоциативный случай.

0.1. Кольца с полиномиальными тождествами Тождества являются важным объектом исследования как для теории колец, так и для теории инвариантов. Тождеством в алгебре называется многочлен, который тождественно обращается в нуль на алгебре. Например, в алгебре Грассмана выполняется тождество [[ж, у], г:] = О (четный элемент лежит в центре, а коммутатор двух нечетных элементов четен), в алгебре матриц порядка 2 справедливо тождество Холла: [[x,y]'^,z] = О (собственные значения матрицы с нулевым следом имеют противоположные знаки, поэтому ее квадрат — скалярная матрица). В (/г —1)-мерной алгебре выполняется тож.дество Капелли Сп порядка п: Сп{х, у ) = X I {-'^УУ0Ха{1)У1Ха{2)У2 • • • Уп-1Х(т{п)уп.Пусть Р(ж1, . . . , Хп) - тождество в алгебре А, {ЯДжх,... , y^J} - произвольный набор полиномов, а R{zi,... ,Zk)- любой полином. Тогда результаты подстановки P{Hi,... ,Нп), а также умножения на R {RP и PR) тоже выполняются в алгебре А. Эти новые полиномы называются следствиями тождества Р. Кроме того, линейная комбинация тождеств снова является тождеством. Идеал, порожденный значениями системы полиномов, замкнутой относительно операции подстановки, называется Т-идеалом. Каждому Т-идеалу соответствует Г-идеал в свободной алгебре или, что то же самое, вполне характеристический идеал в свободной алгебре, т.е. идеал, замкнутый относительно всех эндоморфизмов. Категория алгебр, удовлетворяющая некоторой системе тождеств, называется многообразием (variety), а свободные объекты в этой категории — относительно свободными алгебрами. Ассоциативной Р1-алгеброй называется алгебра, в которой выполняется некоторое нетривиальное тождество, а ее степенью (обозначение deg(A)) называется минимальная степень такого тождества. Через Уаг(Л) обозначается многообразие, заданное тождествами, выполняющимися в алгебре А. Пусть {Н^} система полиномов. Тогда Т{{Н{\) обозначает Г-идеал, ими порожденный.Аналогично понятию Г-идеала естественно вводится понятие Т-пространства или пространства, порожденного значениями системы многочленов, замкнутых относительно подстановок. Примеры Г-пространств, не являющихся Т-идеалами: коммутатор [^, А]; множество значений центральных полиномов в алгебре общих матриц.Понятие тождества применимо и к неассоциативной ситуации. Многие важные классы алгебр аксиоматизируются тождествами. Например, алгебры Ли определяются как класс алгебр, в которых выполняются тождество антикоммутативности ху -\- ух = О ш тоокдество Якоби {{xy)z) — {{xz)y) — {x{yz)) = О, ассоциативные алгебры — тождеством ассоциативности {ж, у, z} = {xy)z — x{yz) — О, йордановы алгебры определяются тождествами [ж, у] = О, {ж ,^ у, л:} = О, а альтернативные — условием кососимметричности ассоциатора {х, у, z}.Исследование тождеств интересно с нескольких точек зрения. Во-первых, оно связано с проблемами канонической формы. Во-вторых, с теорией инвариантов. И в-третьих, с некоторой версией некоммутативной алгебраической геометрии. Теории полиномиальных тождеств посвящена обширная литература (см., например, монографии [152], [134], [150], [101], [10], [8], [6]).Работая с тождествами, мы сталкиваемся с проблемами их описания. Вопросы, относящиеся к понятию канонической формы, занимают важное место в теории колец. Что касается базиса в свободных объектах из различных многообразий, то более-менее полная картина известна редко, в очень немногих случаях. Известен базис свободной ассоциативной алгебры (это тривиально), достаточно нетривиальные результаты — базис свободной алгебры Ли, базис свободной коммутативной альтернативной алгебры над полем характеристики 3 с тождествами х^ = 0; {{xiX2){x3X4)){x5Xe) = О [4], [95], а также структура базиса для нематричных многообразий (базис Шпехта). В остальных случаях имеются только частичные описания. Например, неизвестен базис в свободной альтернативной или (специальной) йордановой алгебре или в алгебре общих матриц. Кроме того, весьма содержательны и нетривиальны вопросы, относящиеся к наличию кручения в аддитивной группе.Таким образом, важно иметь язык, на котором можно адекватно описывать некоторые существенные свойства тождеств, тем более что проблема описания нормальных форм далека от решения. Есть два взаимно-дополнительных способа задания многообразий алгебр: 1) Используя носитель, — предъявляя набор алгебр и рассматривая минимальное многообразие, их содержащее; 2) Предъявляя базис тождеств.Перевод с одного языка на другой, по сути дела, есть своего рода версия некоммутативной алгебраической геометрии, поскольку первый язык более геометричен, второй — функционален.Эти два способа описания довольно далеки друг от друга. Так, исследование тождеств матриц даже малого порядка является довольно сложной задачей. Ей посвящены работы ряда авторов. См. например [17], [18], [97], [78]. С другой стороны, нахождение алгебры, порождающей данное многообразие, также довольно трудно. Близкие к этому вопросы получения оценок на степень нильпотентности радикала до сих пор в должной мере не исследованы (а имеющиеся к данному моменту оценки далеки от реальности). Вопросы, относящиеся к получению оценок нильпотентности радикала ставились, в частности, Е.И.Зельмановым и А.В.Гришиным [30]. Поэтому программа исследований заключается в установлении взаимосвязи между этими подходами (см.раздел 3).Поскольку нет возможности получить полное описание носителя на языке тождеств и обратно, то следует изучать перенос некоторых существенных свойств.Примером таких свойств, хорошо описывающееся на двух языках, служат различного рода асимптотики: размерность Гельфанда-Кириллова, показатель роста в ряде коразмерности. Не случайно практически все исследователи, работавшие над проблемой Шпехта, имели работы, относящиеся к асимптотическим свойствам многообразий! Идеология доказательств конечной базируемости основано на постепенном сближении этих двух описаний, изначально далеких. С этой точки зрения можно рассматривать работы А. Р. Кемера. Можно сказать, что он построил своего рода мост и разработал язык тождеств, на котором удается выразить некоторые существенные свойства многообразий (индекс нильпотентности радикала, размерность полупростой части, сумма размера клеток полупростой части).Кроме того, представления относительно свободных алгебр можно улучшать, рассматривая замыкание по Зарисскому и выбирая элементы общего положения в этом замыкании. Вместо безнадежной задачи изучения общих представлений возникают вполне решаемые вопросы, относящиеся к описанию существенной части структуры их замыканий. Представление алгебры приводится к следующему виду. Вдоль главной диагонали идут блоки. Ограничению на такой блок соответствует эпиморфизм на алгебру общих матриц. Под блоками идут нули. При этом блокам разного размера отвечают независимые переменные, а блоки одинакового размера могут быть независимыми или однотипными. Последнее означает, что коэффициенты при соответствующих матричных единицах связаны с помощью эндоморфизма Фробениуса. Если основное поле бесконечно, то этот эндоморфизм тождественен и коэффициенты при соответствующих матричных единицах в однотипных клетках совпадают. Возникают т.н. "матрицы со склеенными клетками". Впервые подобные рассмотрения проводились А. Пихтильковым [88], [89]. Он охарактеризовал многообразие, заданное всеми /г-мерными ассоциативными алгебрами при к < 18, ch(F) = О в терминах носителей. Как и в нашем случае, исследование обычных тождеств оказалось связанным с изучением разносортных тождеств и соответствующей структуры пирсовских компонент.Подробнее — см. раздел 4.Возникает довольно любопытный набросок более тонкой теории радикала, который осуществляет связь между клетками. В радикале есть компоненты, обращающиеся в нуль при умножении на полупростую часть (таковы "внутренние части перемычек"), и компоненты, связанные с пирсами первичных компонент (граничные операторы "входа-выхода-перехода", а также "внутриклеточный радикал").Возникает любопытная структура, состоящая из бимодулей над первичными компонентами. Ряд существенных свойств (например, свойства роста) относительно свободных ассоциативных алгебр описываются в терминах графа клеток и путей в нем.Группы похожих клеток задают "анфиладные алгебры", устроенные как тензорное произведение алгебры матриц на полугрупповую алгебру нильпотентнои относительно свободной полугруппы. Остаются, правда, вопросы, относящиеся к деталям устройства представления: изучению этих полугрупп, а также структуры перемычек, не относящихся к клеткам. Описание строения ассоциативных относительно свободных алгебр и свойств тождеств в этих терминах и было главной целью настоящей работы.Одним из важнейших стимулов, способствовавших развитию теории нормальных форм, а также теории, связанной с рядами Гильберта и Пуанкаре, явились постановки проблем рациональности соответствующих рядов. Эти проблемы оказались проблемами "шпехтового типа". Так, К. Прочези [150] поставил следующий вопрос: Верно ли, что функция роста относительно свободной к.п. алгебры полиномиальна? Автор получил на него положительный ответ, и техника доказательства находилась в русле идей доказательств конечной базируемости.Теорема (А. Я.. Белов). Ряд Гильберта относительно свободной ассоциативной алгебры есть рациональная функция.Ряды Гильберта изучались многими авторами. Так, рациональность рядов Гильберта для алгебры общих матриц второго порядка и для нематричных многообразий была установлена В. Дренски в работе [132]. Ряды Гильберта для алгебры общих матриц со следом вычислялись в работе Форманека [137]. Отметим, что по всей видимости, даже для случая алгебры общих матриц порядка выше второго до работ автора рациональность рядов Гильберта не была установлена (см. обзор [108].Эту теорему, как и ответы на вопросы бернсайдовского типа, можно рассматривать как частичное описание базисов. Проблемы канонической формы способствовали созданию как структурной, так и (в будущем) комбинаторной теории колец. Исследования по этой проблематике приводят к изучению тех же свойств многообразий, которые важны и в проблемах "шпехтового типа". Эти проблемы будут интересовать и нас.0.1.1. Проблемы канонической формы Техника канонической формы состоит в построении базиса алгебры (или хотя бы набора элементов, порождающего алгебру как векторное пространство). Возникающие здесь проблемы тесно связаны с проблемами бернсайдовского типа (ряд которых был поставлен А. Г. Курошем [58]) и проблем шпехтового типа, и взаимодействие возникающих вопросов приводит к постановке новых задач.Лично для автора отправной точкой при исследовании по проблеме Шпехта послужило исследование канонических форм элементов в различных исчислениях. В частности, благодаря исследованию автоматных алгебр и комбинаторики, связанной с графами, автору удалось построить некий набросок теории представлений относительно свободных алгебр. А техника представлений, задаваемых графами, и позволила решить основные задачи. Отметим, что техника замыкания по Зарисскому возникла при исследовании многообразий, порожденных мономиальными алгебрами. С другой стороны, с помощью техники канонических форм В. Н. Латышев впервые доказал локальную шпехтовость для нематричных многообразий.Он же инициировал исследования в области мономиальных алгебр и конечных автоматов, которые в то время формально были не связаны со шпехтовой проблематикой, а их интуитивное родство, которое в то время проявлялось как сильная корреляция вкусов исследователей, оформилось в конкретные результаты.Опишем коротко ситуацию с базисами алгебр. Определим несколько понятий.Такое множество У называется базисом Ширшова алгебры А. В качестве базиса Ширшова можно взять набор слов степени не выше т . Таким образом, базис алгебры состоит из "кусочно периодических" слов. Из этого результата вытекает положительное решение проблемы Куроша, а также локальная конечность Р/-алгебр и ограниченность размерности Гельфанда—Кириллова, поскольку число способов представления N в виде суммы /i;i|ui| -I h kh\vh\, где h < Н, имеет порядок N^^.Теорема о высоте вызвала к жизни дальнейшие вопросы, относящиеся к проблемам описания базисов: • Какие наборы слов можно взять в качестве {vi}? Ответ таков: Множество слов Y является базисом Ширшова тогда и только тогда, когда оно содержит образующие и для каждого слова длины не выше Pldeg(^) содержит слово, циклически сопряженное к некоторой его степени.Сам Ширшов показал, что можно взять множество слов степени не меньше deg(^). И. В. Львов получил оценку deg(A) — 1. И. П. Шестаков и Амицур высказали гипотезу о том, что если все слова длины не выше сложности PIdeg(Л) алгебраичны, то сама алгебра конечномерна. Гипотеза Амицура и Шестакова была переформулирована И.В.Львовым на матричном языке и была доказана В. А. Уфнаровским [107] и Г. П. Чекану [ПО]. В дальнейшем автор [158] показал, что в качестве {и,} можно взять множество слов из гипотезы Шестакова. Этот результат был также анонсирован Г. П. Чекану [112]. Затем другое доказательство этого факта было получено В. Дренским. • Над какими У алгебра А имеет ограниченную высоту? Автор показал [157], что такое множество У должно быть курошевым. Это означает конечномерность над F[T] любого фактора алгебры А ® F[T], в котором все проекции элементов из У целы над F[T]. (Требование конечномерности гомоморфных образов с алгебраическими образами элементов из У недостаточно. Пример: А = F[x, 1/х]; У =^ {х}. Ограниченность существенной высоты есть некоммутативное обобщение условия целости алгебры над У.) • Как оценить высоту? Оценки, полученные из оригинального доказательства (см. работы [117], [118]) были далеки от реальности. Позже А. Т. Колотов [51] получил оценку ht{A) < s*"" (т = deg{A), s - число образующих). Позднее Е. И. Зельманов [30] поставил вопрос о наличии экспоненциальной оценки.В работе автора [170] было показано ht{A) < 2ms"^^^ и тем самым получен положительный ответ на этот вопрос. • Как устроен вектор степеней {ki,... , /j/i)? Прежде всего: какие множества компонент этого вектора являются существенными, т.е. какие наборы ki могут быть одновременно неограниченными? Какова существенная высота? Автор [157] показал, что существенная высота у представимой (а стало быть, в силу результата А. Р. Кемера [46] и у относительно свободной) алгебры равна размерности Гельфанда—Кириллова. Тем самым размерность Гельфанда-Кириллова представимой алгебры есть целое число (результат В. Т. Маркова), а существенная высота не зависит от выбора У (если только для этого Y она ограничена). Этот результат и его обобщение на неассоциативный случай изложен в разделе 1.5 (в частности, там показано, что размерность Гельфанда-Кириллова представимой алгебры произвольной сигнатуры есть целое число). • Вопрос о более тонком устройстве множества векторов степеней. Верно ли, что оно обладает теми или иными свойствами регулярности? • И, наконец, вопрос о переносе теоремы о высоте на неассоциативный случай.С. В. Пчелинцев [94] получил аналог теоремы о высоте для альтернативных алгебр, П. Мищенко [85] — для алгебр Ли с разреженным тождеством.Автор доказал аналог теоремы о высоте для йордановых /"/-алгебр.Прежде всего нужно отметить, что базис Ширшова относительно свободной алгебры требует количества слов порядка экспоненты от сложности, при этом размерность Гельфанда-Кириллова может оцениваться полиномиально. Следовательно, между степенями слов есть достаточно сложная алгебраическая зависимость, что приводит к тому, что в случае сложности, большей 1, прямые вычисления, связанные с нормальным базисом, состоящем из слов, сами по себе оказывались мало эффективными. Требуется техника построения базисов, связанная с центральными полиномами и с достаточно продвинутой структурной теорией (см. разделы данной работы, в которых строятся экстремальные идеалы).После известных результатов А. Р. Кемера о представимости относительно свободных алгебр могло создаться впечатление, что отсюда непосредственно вытекает регулярность устройства множества векторов степеней для неуменьшаемых слов, а, значит, и рациональность рядов Гильберта для таких алгебр. Но это только на первый взгляд. Существует пример представимой алгебры с трансцендентным рядом Гильберта. Дело в том, что даже в представимом случае множество векторов степеней может быть устроено плохо — а именно, может быть дополнением к множеству решений системы экспоненциально-полиномиальных диофантовых уравнений.Изучение нормальных форм для представимых алгебр представляется довольно интересной задачей, представляющей самостоятельный интерес. Она тесно связана с изучением "взвешенных следов" или пространств, порожденных элементами вида Х^ а^у^Ду), где у € Ro, {cLi} С i?i - фиксированный набор элементов, (р, - набор морфизмов из RQ В Ri, Ro VL Ri - коммутативные кольца. Близкий круг вопросов, связанных с нормальными формами — изучение старших компонент элементов коммутативных подколец, а также следующих по старшинству. Старшие компоненты описываются конечным объединением сдвигов полугруппы векторов степеней, вторые по старшинству также допускают описание, а вот вопросы, относящиеся к описанию третьих компонент, сводятся к изучению систем диофантовых уравнений.Тем не менее, хотя ряд Гильберта представимой алгебры может оказаться трансцендентным, для относительно свободных алгебр он рационален.И в этой связи возникает следующий Вопрос: Верно ли, что у относительно свободных алгебр мноокество векторов степеней, соответствующих пеуменъшаемым словам устроено регулярно? Верно ли, что оно есть конечное объединение сдвигов конечно порожденных полугрупп векторов относительно сложения? Мы сейчас не можем ответить на этот вопрос, но у нас есть аргументы в пользу того, что это так и есть. Конечно, в случае нулевой характеристики ничего разумного про произвольную систему экспоненциально-диофантовых уравнений сказать нельзя. Из результата Ю. В. Матиясевича следует, в частности, что проблема изоморфизма двух представимых мономиальных алгебр, образующие которых заданы матрицами над кольцом многочленов, алгоритмически неразрешима.Каждому вектору <ki,... ,ki> сопоставим слово bi • • -bs в алфавите из p^ символов: букве hi соответствует вектор, составленный из г-х по старшинству р-ичных цифр <ki,... ,ki>.Тогда множеству решений системы £ соответствует регулярный язык. (Язык С называется регулярным, если имеется ориентированный граф Г, стрелки которого помечены буквами (допускаются петли и параллельные ребра), некоторые вершины которого объявлены начальными, а некоторые — финальными. При этом С состоит из слов, которые можно прочитать, идя по стрелкам графа из начальной вершины в финальную.) Диофантовы проблемы в положительной характеристике чаще возникают, но легче решаются! Итак, для положительной характеристики у представимой мономиальной алгебры множество векторов степеней у неуменьшаемых слов устроено в каком-то смысле регулярно. Известно, что если множество М чисел таково, что их р-ичные и д-ичные записи при некоторых р ^ q образуют регулярный язык, то М есть объединение конечного множества и конечного набора арифметических прогрессий, т.е. хорошо устроено. Так же устроено множество нулей у линейной рекурренты над полем нулевой характеристики, а значит — и множество (одномерных) векторов степеней у представимой мономиальной алгебры А, если GKdim(>l) = 1 и ch(F) = 0. (Если любое из этих условий не выполняется, то это уже не так.) Автору представляется очень важным следующий ^Этот совместный результат в данную диссертацию не включен.Вопрос. Верно ли, что множество векторов степеней, соответствующее неуменьшаемым словам в произвольной представимой алгебре над полем характеристики р, образует регулярный язык? Допустим, что мы получим положительный ответ на этот вопрос. Тогда в силу теоремы 3.7 у всех редукций относительно свободной к.п. алгебры по достаточно большим простым модулям множества неуменьшаемых слов совпадают.Тем самым будет установлена регулярность нормального базиса для относительно свободных алгебр (т.е. что множество векторов степеней устроено как конечное объединение сдвигов к.п. полугрупп векторов по сложению).Отметим, что и сама теорема 3.7 доказывается почти также, как и конечная базируемость систем тождеств.К редукциям относительно свободных алгебр по простым модулям относится и Гипотеза Прочези: Пусть М„ - алгебра общих матриц над Z. Имеется естественный гомоморфизм этой алгебры в алгебру общих матриц над Ър. Совпадает ли ядро этого гомоморфизма с идеалом, порожденным числом р? Ответ в общем случае, как показал А. Р. Кемер с учениками, отрицателен.Может так получится, что дробь х/р не лежит в алгебре, порожденной общими матрицами, но лежит в алгебре матриц со следом. Однако если р велико по сравнению с п и с числом образующих, то гипотеза Прочези (вместе с ее естественным обобщением для редукций представлений относительно свободных алгебр в виде алгебр общих элементов) все же верна. Хотелось бы иметь аналогичный результат для бесконечного числа образующих.Вопрос. Пусть А относительно свободная Ъ-алгебра, представимая матрицами над кольцом многочленов над Z (возмож.но, от бесконечного числа переменных), Ар - редукция представления по модулю р. Верно ли, что при всех достаточно больших р многообразия, порожденные алгебрами Ар и Zp <S> А совпадают? Замечание. В связи с изучением базисов матричных алгебр стоит упомянуть о "Клиффордовом" подходе, развитом в работе В. Дренским. В пространстве матриц выбирается базис {ej}, любые два элемента которого либо коммутируют, либо антикоммутируют. Общая матрица Oj представляется в виде суммы ttj — Y^i ctijCi, где aij - свободные коммутативные переменные. Эти переменные упорядочиваются, и для каждого элемента алгебры общих матриц рассматривается член со старшим коэффициентом (из кольца многочленов F[Q;JJ]). Родственный подход, развитый позднее ([28],[115], [116]), был связан с рассмотрением компонент элемента, отвечающих компонентам грассмановой алгебры, и привел к построению бесконечно базируемых Т-пространств.0.1.2. Связь с теорией инвариантов и некоммутативной алгебраической геометрией Результаты PJ-теории привели к созданию теории некоммутативных аффинных колец и, соответственно, к версии некоммутативной алгебраической геометрии. Первым результатом в этом направлении явился аналог теоремы Гильберта о нулях — теорема Амицура о нильпотентности радикала. Ее авторская формулировка такова. Если специализировать элементы относительно свободной алгебры А в матрицы, размер которых равен ее сложности (PIdeg(v4)), всеми возможными способами, то пересечение ядер образует ниль-идеал (позднее было доказано, что этот идеал нильпотентен — теорема Размыслова-Кемера-Брауна). Аналогами теоремы Гильберта о базисе служат результаты по проблеме Шпехта. "Теорема о базисе" оказалась сложнее "теоремы о нулях"! Идеи теории инвариантов оказывали плодотворное влияние на развитие PIтеории. С точки зрения полилинейных инвариантов матрица есть составной объект — вектор, тензорно умноженный на ковектор, а число можно получить из набора п векторов и п ковекторов только путем спаривания векторов с ковекторами. Если вектор Ai спарить с ковектором Лз, вектор Ла - с ковектором А^ и т.д., вектор Akc ковектором Лх, то в результате получится Tr(v4i • • • Ак). Отсюда получается первая фундаментальная теорема, что все инварианты есть произведения следов, а все коварианты задаются многочленами со следом, п-мерность пространства, в котором живут (ко)векторы, выражается через равенство нулю результата альтернирования п + 1 (ко)вектора, чему соответствует тождество Гамильтона-Келли. Отсюда получается BTopeui фундаментальная теорема, утверждающая, что все тождества алгебры матриц со следом следуют из этого тождества (см. раздел 0.2.4).Обобщение указанных результатов для положительной характеристики, сделанное в работах Донкина и позднее А .Н. Зубкова, привело к прогрессу PIтеории в положительной характеристике. В частности, это позволило доказать, что в Р/-алгебре над полем характеристики р > О выполняются все тождества алгебры матриц некоторого порядка.На Т-идеалы можно посмотреть с некоторой более общей точки зрения, восходящей к теории инвариантов. Прежде всего, Т-идеал есть идеал свободной алгебры, замкнутый относительно всех ее эндоморфизмов. Можно изучать объекты (вообще говоря, бесконечно порожденные в обычном смысле), снабженные действием полугруппы G и, соответственно, инвариантные идеалы. Конечная порожденность в нашем смысле означает порождаемость конечным числом образующих и их образами относительно действия G. Благодаря исследованиям по проблемам шпехтового типа стало ясно, что для инвариантных идеалов строится содержательная теория, аналогичная классической теории в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии. Этот подход оказался близок к подходам к построению некоммутативной алгебраической геометрии в универсальной алгебре, разработанным Б. И. Плоткиным и его учениками (см. [146], [147], [148], [149]).Свойство нетеровости означает стабилизацию возрастающих цепочек инвариантных идеалов. И проблема Шпехта является аналогом теоремы Гильберта о базисе. Достаточно важным является случай, когда G есть группа перестановок, действующих на образующих, который в связи с проблемой Шпехта для нематричных многообразий изучал В. Н. Латышев [64]. Он рассматривал кольцо многочленов от бесконечного числа переменных и доказал справедливость условия обрыва возрастающих цепей для идеалов, инвариантных относительно всех перестановок образующих.Отметим также, что при изучении Т-идеалов необходимо изучать так называемые идеалы разносортных тоокдеств или идеалы многочленов от разносортных переменных. При этом подстановки должны быть согласованы сортами. Это вопервых, имеет место в ситуации, когда переменные соотносятся с граничными операторами (вход/выход/переход) или с радикальными специализациями (см. [88]), и во-вторых — в суперслучае. Таким образом, изучение цепочек Т-идеалов приводит к исследовании однородных структур с иными группами преобразований. Шпехтовость класса алгебр означает достаточную силу группы преобразований. Отметим, что нет достаточно удобного языка, позволяющего переходить от тождеств алгебр к тождествам соответствующих разносортных образований, связанных с радикальными или граничными операторами.Первичный в нашем смысле объект — это объект, для которого нет ненулевых инвариантных идеалов с нулевым произведением, а полупервичный — не содержит инвариантного идеала с нулевым квадратом. С этой точки зрения бесконечно порожденная грассманова алгебра с образующими е, и соотношениями CiBj = —tjCi является первичным объектом. А. Р. Кемер ввел понятие Тпервичного идеала. Это первичный Т-идеал, в факторе по которому нет двух ненулевых идеалов с нулевым произведением. Естественно определено также понятие Т-первичного многообразия (см. раздел 2.5). Такие многообразия порождают алгебры, первичные в нашем смысле. Для Т-первичных идеалов строится теория радикала, которая для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики устроена как классическая. Интересен ее перенос в другую ситуацию, например интересно получить Г-идеальный аналог теоремы Брауна в положительной характеристике. Легко проверить, что для достаточно общих многообразий значения многочлена из пересечения всех Г-нервичных идеалов лежат в разрешимом идеале.В свое время, при обсуждении проблематики, связанной с Р/-теорией, Ю. И. Мании предположил, что ситуация в целом исчерпывается рассмотрением пространства параметров, связанного с тензором структурных констант и рассмотрением пучка конечномерных алгебр на спектре коммутативного кольца. Поэтому "все сводится" к классической коммутативной ситуации.Идеи такого рода действительно активно используются в теории Р/-алгебр.Так, алгебра общих матриц порождает нетеров модуль над коммутативной конечнопорожденной алгеброй следов, а при локализации по некоторому центральному многочлену она становится нетеровым модулем над конечно порожденной алгеброй центральных многочленов, локализованной но этому многочлену. (Это следует из теоремы Ширшова о высоте, теоремы Артина-Прочези об алгебрах Адзумая и тождеств типа Гамильтона-Келли.) На этом пути была установлена знаменитая теорема В. Шелтера (из которой следует нильпотентность радикала в Р/„-кольцах): Теорема (W. Schelter). Пусть R - первичная к.п. Р1-алгебра над нетеровым кольцом Ф. I - собственный идеал в R. Тогда существуют простые идеалы Pi,..., Рк < R такие, что Fi • • • Р^ С / С Fi П • • • П Ffc. Кроме того, радикал алгебры Rjl нилъпотентен.Эта теорема имеет отношение к связи между идеалами кольца R и кольца коэффициентов. Интересно, что доказательство этой теоремы основано на рассмотрении критического идеала, порожденного размысловскими центральными полиномами.Одним из наиболее ярких результатов, полученных на основе подхода, связывающего изучение алгебры с пространством параметров служит доказательство Ю. П. Размысловым теоремы об изоморфизме двух конечномерных первичных алгебр Ai и Лг произвольной сигнатуры над алгебраически замкнутым полем, в которых выполняются одни и те же тождества.В алгебрах А{ выбираются общие элементы Zi путем суммирования базисных векторов ej с коэффициентами, равными свободным переменным ej = YlxijZi. Получаются относительно свободные алгебры, которые изоморфны и первичны, мы их обозначим через А^ и А"^. Далее строится центральное замыкание и его центр алгебраически замыкается. В новой алгебре А'^ содержится алгебра, изоморфная Ai (а, значит, и алгебра, изоморфная А2). Это связано с тем, что некоторое центральное расширение А^ (элементами матрицы, обратной к матрице (ж^)) содержит образующие исходной алгебры. Но, в силу полноты теории алгебраически замкнутых полей фиксированной характеристики, из изоморфизма расширений двух алгебр, при которых начальное алгебраически замкнутое основное поле расширяется до нового алгебраически замкнутого поля, следует изоморфизм исходных алгебр, что и доказывает теорему (см. [101]).Весьма полезным оказывается следующее наблюдение. Многочлен от d переменных на алгебре А задает регулярное (в смысле алгебраической геометрии) отображение аффинных пространств А'^ —>• А, что позволяет работать с замыканием по Зарисскому (см. раздел 4). "Пучковый" подход представляет достаточную ценность, даже в чисто классическом понимании, в доказательствах конечной базируемости. При этом основное значение имеет применение леммы Артина-Рисса или близких соображений.Однако по сравнению с классической ситуацией происходят большие изменения даже при изучении локального случая.Так, помимо "окончательных" специализаций переменных в элементы алгебры матриц есть еще "промежуточные специализации" связанные с выбором варианта приписывания того или иного "сорта", в зависимости от принадлежности той или иной компоненте алгебры (Пирсовской компоненте, радикалу, градуированной компоненте). Такие рассуждения активно используются в доказательствах представимости и конечной базируемости (см. главы 4, 5) и связаны с идеями построения бесконечно базируемых Г-идеалов из Г-пространств (см. главу 7).При построении некоммутативной алгебраической геометрии путем непосредственного переноса классических конструкций надо ограничить рассмотрение "осмысленными" идеалами. Таковыми прежде всего являются "замкнутые" идеалы или идеалы, устойчивые относительно действия некоторой группы или полугруппы эндоморфизмов. Поэтому построение алгебраической геометрии для инвариантных объектов дает некоторый новый взгляд на т.н. "некоммутативную алгебраическую геометрию". По всей видимости, идея ограничения всего множества возможных идеалов замкнутыми вначале была предложена Б. И. Плоткиным.Это впервые почувствовал В. Н. Латышев. Первоначальные работы В. Н. Латышева по тождествам алгебры Грассмана [59], [60] (им, в частности была показана локальная шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр с тождеством [[[ж, у], 2:],/] = 0) были своего рода предвестником последующих исследований. Да и сами Т-пространственные примеры базируются на грассмановой конструкции.Если рассматривать Р7-теорию как своего рода взгляд на некоммутативную алгебраическую геометрию, то грассманова алгебра служит одним из самых важных примеров новых объектов, являющихся аналогами первичных алгебр.Элементы, входящие в абсолютно коммутирующее семейство, можно "склеить", семейство X ведет себя как одна образующая. Поэтому рассмотрение абсолютно коммутирующих семейств дает мало нового. Однако абсолютно антикоммутирующие семейства создают "супер-мир". Фактически, работа с абсолютно антикоммутирующими семействами лежит в основе "супер-трюка" Камера, позволяющего сводить изучение тождеств в бесконечно порожденных алгебрах к изучению супер-тождеств в конечно порожденных супералгебрах. Абсолютно коммутирующему семейству отвечает четная переменная, а абсолютно антикоммутирующему — нечетная.Поскольку связь с некоммутативной алгебраической геометрией и теорией инвариантов служит одной из основных мотивировок для Р/-теории, мы здесь наметим идею "супер-трюка"'. Подробности — см. раздел 0.2.4 и работу [44].Напоминаем, что идеал супертоокдеств в свободной супералгебре есть идеал, устойчивый относительно всех эндоморфизмов, сохраняющих супер-структуру, т.е. Й2-градуировку.В нулевой характеристике, грубо говоря, ничего нет кроме супералгебр и всего того, что с ними связано. Однако в положительной характеристике групповая алгебра симметрической группы содержит много различных первичных идеалов и мир оказывается богаче. И описание Т-первичных идеалов или "точек спектра" в этой версии некоммутативной алгебраической геометрии представляется одной из центральных проблем Р7-теории.В последнее время произошли достаточно важные продвижения в Р/-теории.Была решена проблема конечной базируемости, построены новые серии Тпервичных многообразий. Произошел значительный прогресс в теории представлений для положительной характеристики. Все эти обстоятельства имеют важное значение для развития Р7-теории. Однако в исследовательских монографиях, даже вышедших в последние годы, отсутствуют полное доказательство конечной базируемости и техника работы с тождествами, развитая в последние годы, не отражена.0.1.3. Проблемы конечной базируемости В теории Р/-алгебр центральную роль играют проблемы конечной базируемости систем тождеств, представимости. С этим кругом проблем тесно связаны проблемы рациональности рядов Гильберта, исследование базисов алгебр и проблемы Бернсайдовского типа. С точки зрения построения версии некоммутативной алгебраической геометрии и теории инвариантов очень важна проблема описания Т-первичных многообразий. Одной из центральных проблем Р7-теории явилась Проблема Шпехта: Всякое ли многообразие ассоциативных алгебр конечно базируемо? Иными словами: всякая ли система тождеств в ассоциативной алгебре следует из своей конечной подсистемы? Эта проблема, поставленная В. Шпехтом в 1950 году [154], представляет интерес и для произвольных многообразий алгебр, в частности лиевых, альтернативных и йордановых. Многообразие называется шпехтовым, если в нем выполняется условие обрыва возрастающих цепей для Т-идеалов.Сам В. Шпехт имел в виду случай алгебр над полем характеристики ноль. A. И. Мальцев дал другое ее толкование. Вопрос, записанный им в Коуровскую Тетрадь [53], звучал так: Проблема Мальцева: Существуют ли не конечно базируемые многообразия ассоциативных колец (проблема Шпехта)? Прежде всего, проблематика делится на локальную (т.е. вопросы обрыва возрастающих цепей Т-идеалов в конечно порожденной алгебре) и глобальную — общий случай. Кроме того, (см. раздел 0.2.2) имеется случай характеристики ноль (когда все тождества равносильны своим линеаризациям, а значит, и полилинейным тождествам) и случай положительной характеристики. Случай положительной характеристики делится на случай бесконечного поля (когда из тождества следуют все его однородные компоненты) и конечного поля (когда имеют место эффекты неоднородности), а также колец и алгебр над кольцами.Кроме того, вопросы конечной базируемости естественно формулировать для Т-пространств во всех этих ситуациях.Одним из главных вдохновителей исследований по проблеме Шпехта был B. Н. Латышев. Он привлек внимание к Р/-теории и к этой проблематике многих специалистов, к числу которых автор относит и себя лично, за что выражает ему благодарность. Как писали в своем обзоре Л. А. Бокуть и И. П. Шестаков [126]: "В течение многих лет проблема Шпехта была одной из наиболее любимых проблем А. И.Ширшова. В течение многих лет, В. Н. Латышев работал над этой проблемой и поддерживал интерес к ней, спасая ее от "смерти". А. И. Ширшов, В. Н. Латышев и др. были названы Л. Роуэном "Русской школой" в теории Р/-алгебр." Основную ценность для профессионала представляют собой не столько результаты, относящиеся к конечной базируемости, а доказательства представимости.Именно в этом и заключается цель данной работы. Под представимостью многообразий можно понимать две вещи. Сильная представимость означает порождаемость многообразия алгеброй, конечномерной над полем. Слабая - вложимость относительно свободной алгебры в алгебру, конечномерную над центром. Для колец представимость, понимаемая в таком смысле, не обязательно осуществляется матрицами.Ю. П. Размыслов [97] доказал шпехтовость многообразия алгебры матриц второго порядка над полем характеристики ноль. Позднее многообразия, связанные с матричными алгебрами, исследовались многими авторами, см. [17], [18], [54] и ДРВпервые для случая нематричных многообразий в нулевой характеристики (когда строение полупростой части тривиально, а нетривиальны связи между полупростыми компонентами) положительное решение локальной проблемы Шпехта было получено В. И. Латышевым [64] а также Г. Геновым [19], А. Поповым [93].Техника доказательств была основана на использовании базиса Шпехта в нематричной алгебре. Позднее В. Дренски [132] с помощью той же техники показал рациональность рядов Гильберта относительно свободных алгебр в нематричных многообразиях. Для дальнейшего продвижения нужно было уметь работать внутри полупростой части, для чего потребовалась техника работы со следами (формами) а также центральными многочленами, которая была развита Ю. П. Размысловым. Крохме того, потребовалась установить нильпотентность радикала (соответствующий вопрос был поставлен В. И. Латышевым в диссертации [64]).Окончательное решение проблемы Шпехта в случае нулевой характеристики (т.е. в том виде, как ее понимал сам В. Шпехт) было получено А. Р. Кемером в восьмидесятые годы [45]. Он, в частности, объединил "следовую" технику с исследованием связей между первичными компонентами. Кроме того, он показал глобальную шпехтовость многообразий ассоциативных алгебр с помощью замечательного "супер-трюка", позволяющего сводить изучение тождеств бесконечно порожденных ассощттивных алгебр к тождествам конечно-порожденных супералгебр [44]. (Тождество в суперслучае — это полином, со своими позициями для четных, и со своими для нечетных переменных. Соответственно вполне характеристический идеал — это идеал в свободной супералгебре, устойчивый относительно всех эндоморфизмов, сохраняющих супер-структуру.) В 1990 году А. Р. Кемер [48] установил локальную конечную базируемость и сильную локальную представимость относительно свободных алгебр над бесконечным полем. Над конечным полем сильная представимость места не имеет (простейший пример — многообразие, порожденное полупрямым произведением M„(F[a:]) X M„(F)). Тем не менее локальная представимость имеет место в общем случае, и это один из центральных результатов данной работы.Рядом авторов исследовалась неассоциативная тематика, связанная с проблемами шпехтового типа. В. Дренски [134] и М. R. Vaughan-Lee [155] показали нешпехтовость многообразия алгебр Ли в случае положительной характеристики.Позднее были построены примеры бесконечно базируемых многообразий и альтернативных алгебр. Для характеристики 2 это сделал Ю. А. Медведев [82]. Для характеристики 3 соответствующие примеры были получены С В . Пчелинцевым [95].В неассоциативном случае также работала техника А. Р. Кемера. Так, А. Я. Вайс применил "супер-трюк" для многообразия, порожденного специальной алгеброй Ли [13], А. Я. Вайс и Е. И. Зельманов [14] доказали локальную шпехтовость йордановых Р7-алгебр в нулевой характеристике. Аналогичный результат для альтернативных алгебр был получен А. В. Ильтяковым [140]. Им же была установлена шпехтовость многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли [139], [41].При этом локальная представимость альтернативных и йордановых Р/-алгебр так и не была установлена. Трудность заключается в отсутствии аналога результата Ж . Левина о произведении идеалов, поэтому выполнимость всех тождеств некоторой конечномерной алгебры в этом случае пока не установлена. Поэтому доказательства шпехтовости идут обходными путями.Для поля нулевой характеристики в общем случае (не обязательно конечного базисного ранга) А. Р. Кемер показал, что всякое многообразие ассоциативных алгебр порождается грассмановой оболочкой конечномерной супералгебры (т.е. порождается алгеброй вида Ло ®<Go + Ai (S)Gi). Тем самым оно представимо алгеброй матриц над грассманианом. В частности, Г-первичные многообразия порождаются грассмановой оболочкой простых конечномерных супералгебр M„,fc или имеют вид М„ ® G. (Последняя алгебра также является грассмановой оболочкой простой супералгебры Мп(8)К[Т], где К[Т] есть групповая алгебра группы из двух элементов с естественной градуировкой.) Отметим, что техника А. Р. Кемера дает также доказательство локальной конечной базируемости Т-пространств в Р/-алгебре над полем нулевой характеристики.В дальнейшем грассманова техника позволила строить контрпримеры и в ассоциативном случае. Доказательство неприводимости систем ассоциативных многочленов основано на следующем соображении: рассматриваемая система {Еп} (или {Fn}i см. ниже) есть линейная комбинация р-слов, а каждое собственное следствие из линеаризации ф1, являющееся линейной комбинацией р-слов, также нулевое по модулю [[а;, у], 2;].Интересно, что впервые стал систематически изучать тождества, связанные с грассмановой алгеброй, В. И. Латышев [59], [60].Локальный случай положительной характеристики для бесконечного основного поля был положительно решен А. Р. Кемером [48]. Он показал даже несколько больше, чем представимость, а именно, что всякое многообразие, порожденное PIалгеброй с конечным числом образующих над бесконечным полем порождается конечномерной алгеброй. Отметим, что для случая конечного поля аналогичное утверждение (порождаемость Л-алгеброй, являющейся нетеровым Д-модулем) перестает быть верным, как показывает пример полупрямого произведения алгебры матриц над конечным полем на алгебру матриц над кольцом многочленов. (Определение полупрямого произведения — см. в разделе 0.2.) А. В. Гришин [26] (см. также [24]) разработал метод, существенно отличный от метода А. Р. Кемера, позволяющий доказывать локальную конечную базируемость для Т-пространств в Р/-алгебре. Этот метод был основан в большей степени на прямых комбинаторных рассуждениях с многочленами и в меньшей мере на свойствах носителей. А. В. Гришин рассматривал конструкцию расширения полупервичной алгебры радикальными элементами и в нем — Т-пространства и Т-идеалы. Образующие Xi представлялись в виде суммы полупростых частей Wi и радикальных частей в{. На каждой из этих частей определялось действие операторов подстановки. В отличие от нашей ситуации (и, хотя это не так очевидно, от метода А. Р. Кемера), главную роль играет действие операторов подстановок на полупростых компонентах (дальнейшее обсуждение — см. раздел 4.6.3). На наш взгляд, ценностью данного метода, выявляемой при переносе на неассоциативную ситуацию, является прояснение роли структурируемости (возможности представления алгебры в виде суммы радикала и первичной части) в проблемах шпехтового типа.Структурируемость влечет богатство подстановок. В известных автору конструкциях бесконечно базируемых многообразий действие нетривиальных подстановок почти всегда приводило к нулевому результату. Несколько особняком стоят примеры бесконечно базируемых ассоциативных многообразий.Недостатками данного метода являются привязка к нулевой характеристики а также некоторая "грубость", не позволяющая доказывать рациональность рядов Гильберта. С другой стороны, благодаря той же грубости нет необходимости отдельно рассматривать первый и второй основные случаи (т.е. случаи наличия и отсутствия смешанных элементов).В течение долгого времени предполагалась положительность решения проблемы Шпехта и в глобальном случае. Эта убежденность основывалась на следующих обстоятельствах. Во-первых, автору удалось вывести следующую теорему: Теорема. В случае характеристики р > О в любой относительно свободной алгебре выполняются все тождества алгебры матриц некоторого порядка.Эта теорема обеспечивает наличие стартовой алгебры AQ. Отметим, что в случае нулевой характеристики аналог этой теоремы не имеет места: в любой конечнопорожденной алгебре выполняется тождество Капелли некоторого порядка, а в Грассмановой алгебре — нет.Второе обстоятельство было связано с тем, что для инвариантных идеалов в некоторых бесконечно-порожденных алгебрах справедливы свойства обрыва возрастающих цепей и стало более - менее понятно, как строить теорию, являющуюся прямым аналогом классической коммутативной алгебры. Была надежда получить положительный результат в проблеме Шпехта, применив эту теорию.Аналогом первичных алгебр ("матричных клеток") должны были играть Т-первичные алгебры.Однако "глобальная" ситуация оказалась иной и реализация этой программы столкнулась с препятствием. Именно оно в дальнейшем и помогло при отрицательном решении проблемы Шпехта, позволив перейти от Г-пространств к Т-идеалам. (Автор убежден, что иного способа сделать такой переход не существует). Дело в том, что количество вхождений "Г-первичной" компоненты в произведение может оказаться сравнимым с нулем по модулю р и действие подстановок на радикальных обкладках, связывающих различные "Т-первичные клетки", может оказаться невозможным. С этой трудностью автор столкнулся в конце 1996 года, и ее понимание позволило построить бесконечно базируемые Т-идеалы.Осталась возможность осуществлять подстановки внутрь "клеток". С осени 96 — до января 97 г. автор работал над этим и пришел к необходимости исследования конечной базируемости Г-пространств в алгебрах с тождеством следующего вида: Жо • • • Жп = 2^ •''(г(О) • ' • Хо-{п) <г(0)7^0 Такое тождество позволяет "засасывать" переменные вглубь и обеспечивает локальную нетеровость. Им обладает алгебра Грассмана. Однако именно в ней совершенно неожиданно для всех А. В. Гришин [25], [135] обнаружил контрпример для Т-пространств! По всей видимости, впервые пример бесконечно базируемого Т-идеала над произвольным полем характеристики р > О был приведен автором и публично доложен на семинаре по теории колец. Пример заключается в следующем: R^ = [[Е,Т],Т] П Q{xi,yi) ([Г, [Г,F]][[E,Т],Т]у-' [Т, [Т,F]], г = 1 где Qix,y) =хР ^уР ^[х,у] Пример основывался на конструкциях бесконечно базируемых Т-пространств, предложенных А. В. Грипхиным и В. В. Щиголевым. Впоследствии и другие участники семинара построили аналогичные примеры [28], [116].Замыкание по Зарисскому представимой алгебры обладает тем же запасом тождеств, а с другой стороны является более удобным объектом, поскольку содержит полупростые и радикальные части каждого элемента в отдельности, а также все первичные компоненты. Сочетание концепции экстремального идеала с организацией структуры нетерова модуля путем действия подстановок на радикальных обкладках, соединяющих полупростые элементы разных типов, позволило доказать локальную представимость, а вместе с ней и локальную шпехтовость. Автор установил следующий факт: Теорема. Любая цепочка Т-идеалов в ассоциативном конечно порожденном кольце стабилизируется.Этот факт верен и для алгебр над ассоциативно коммутативным нетеровым кольцом Ф. Обозначим через К<Ф идеалов коэффициентов тождеств. Основной результат данной работы состоит в следующем: Теорема. Относительно свободная конечно порожденная алгебра над произвольным нетеровым ассоциативно коммутативным кольцом Ф (в частности, Р1-кольцо — Ъ-алгебра) представима тогда и только тогда, когда К Э 1.А. И. Мальцев [72] сделал такое наблюдение. Поскольку ассоциативно-коммутативная алгебра финитно аппроксимируема, то тем же свойством обладает алгебра матриц над ней, а стало быть, любая представимая алгебра. Из предыдущей теоремы и результатов раздела 6.1.2 вытекает следующий результат Теорема (Гипотеза Л. А. Бокутя и И. В. Львова [30]). Относительно свободная конечно порожденная алгебра над произвольным нетеровым ассоциативно коммутативным кольцом Ф (в частности, Р1-кольцо — Ъ-алгебра) финитно аппроксимируема.Путь доказательства локальной представимости колец таков: локальная конечная базируемость для алгебр =^ локальная представимость для алгебр => локальная конечная базируемость для колец =^ локальная представимость для колец. (Локальная конечная базируемость легко выводится из локальной представимости с помощью рассуждений, приведенных в работе [46].) Поскольку процесс сближения многообразия с носителем может быть сделан конструктивным (что автору не представляется тривиальным, см. раздел 6.3), имеет место следующее утверждение: Теорема (Проблема Мальцева). Существует алгоритм проверки того, что данное тождество является следствием заданного конечного набора тождеств.Замечание. Сам А. И. Мальцев ставил вопрос так [30]: Существует ли конечно-аксиоматизируемое многообразие колец, система всех тождественных соотношений которого нерекурсивна? Указанный алгоритм означает, что такого многообразия нет.Тем самым множество тождеств ассоциативного кольца рекурсивно. Отметим, что уже для тождеств в группах такого алгоритма, как показал Ю. Клейман [49], [50], не существует.Для Г-пространств ситуация такова. В локальном Р/-случае характеристики ноль локальную конечную базируемость можно получить методом А. В. Гришина, с привлечением алгебро-геометрических соображений, предложенных автором (применением леммы Артина-Рисса). В случае характеристики ноль глобальная конечная базируемость для Т-пространств была установлена В. Щиголевым, подход которого сочетал идеи А. Р. Кемера и А. В. Гришина.Тем не менее, используя грассмановы конструкции, В. В. Щиголев построил бесконечно-базируемое Т-пространство для произвольного р. Он показал, что система полиномов {Еп} = {Q{xuyi),Q{xhyi)Q{x2,y2),• • • ,Qixi,yi) •...•Q{xn,yn),---}^ где Q{x,y) = хР^у'Р^[х,у], бесконечно-базируема по модулю Т([2:, [у, г]]) как Тпространство [115].Неожиданно оказалось, что в локальном случае ситуация с Т-идеалами и Гпространствами различна. Как показал В. В. Щиголев, даже в случае двух образуюш;их, бесконечного основного поля характеристики р и тождества [[ж, у], z] = О система полиномов Q^ = х '^^г/*'^ ^[х,у] бесконечно базируема. (А все Т-идеалы в локальном случае — конечно базируемы. Более того, конечно-порожденная алгебра с тождеством аменабелевости нетерова!) Этот пример проливает свет на то обстоятельство, что при доказательствах конечной базируемости (в частности А. Р. Кемером) особо разбирается случай, когда промежуточный носитель — алгебра Ai не содержит смешанных элементов. Именно тогда и работают с умножениями а алгебре, а не с подстановками.Доказательство бесконечной базируемости основано на подходе, связанном с конструкциями представлений относительно свободных алгебр, развитом при доказательстве конечной базируемости и локальной представимости (что является основой данной диссертации) (см. главу 4 ). Благодаря этим конструкциям возникла "идеология р клеток и р запираюш;их прокладок" или модели "алгебры верхнетреугольных матриц над грассманианом с р склеенными клетками". По мнению автора, создание этой модели позволило построить пример бесконечнобазируемого Т-идеала, хотя до этого анонсировались и предпринимались попытки построения такого примера. Есть некоторое неформальное предположение, строгую математическую формулировку которого хотелось бы получить. Верно ли, что любая бесконечная базируемость в Т-идеалах объясняется "клетчатыми эффектами" , описанными в начале последнего параграфа? Верно ли, что когда этих эффектов нет, то наблюдается конечная базируемость? Все известные ему контрпримеры автор может объяснить этими эффектами.Пока мы в состоянии сформулировать только некоторые частные гипотезы.После получения Г-пространственного примера были "наивные" попытки получить Т-идеальную конструкцию. В работе [27] была анонсирована в качестве контрпримера к проблеме Шпехта следующая система полиномов г Однако, как показал В. В. Щиголев, эта система оказывается конечно базируемой (даже если вместо 4 = 2^ поставить любую степень двойки). В дальнейшем предлагались в качестве контрпримера системы типа i Можно высказать следующую гипотезу: Гипотеза. Верно ли, что при любом к система многочленов G^^ конечно базируема? Немного о технике доказательств конечной базируемости. Если относительно свободную алгебру расширить коэффициентами характеристических многочленов ее элементов, то получится алгебра нетерового типа. Коэффициенты характеристических многочленов выражаются через следы (формы в положительной характеристике). Поэтому строят Т-идеал в исходной алгебре, устойчивый относительно умножения на следы (формы). Концепция экстремального Т-идеала лежит (явно или неявно) в основе почти всех работ по проблемам шпехтового типа. Ищут критический идеал (conductor) / 7^ О такой, что 1) / есть нетеров модуль над некоторым ассоциативно-коммутативным кольцом Л, причем структура модуля согласована со структурой алгебры.2) Фактору А/1 соответствует меньший набор индукционных параметров (меньшая сложностная характеристика).Например, в силу равенства НА = HJ -\- HA/I, если критический идеал / построен, то доказательство рациональности ряда Гильберта алгебры А сводится к случаю фактор-алгебры.В некоторых случаях умножение на идеал / обращает в нуль препятствие к представимости (см. предложение 0.6, являющееся переформулировкой результата К. А. Зубрилина [38]). Иногда можно рассматривать экстремальный идеал, порожденный полилинейными тождествами (см. разделы 3.3 и 3.4.1, посвященные доказательству рациональности рядов Гильберта методом А. Р. Кемера).В данной работе используется более явная конструкция экстремального идеала, основанная на исследовании взаимодействия первичных компонент в матричной алгебре.Концепцию критического идеала можно понимать шире. С некоторой точки зрения, это основной комбинаторный подход в теории колец, который можно называть "цокольным". Ряд работ Ю. П. Размыслова основываются на следующем факте: полиномы Капелли порядка п^ в алгебре матриц порядка п образуют экстремальный Г-идеал, устойчивый относительно умножений на следы (формы) (см. теорему ). К. А. Зубрилин рассматривал идеал, порожденный С„ по модулю Сп+1- При этом оказалось возможным определить следы внутренним образом (см. предложение 0.6 а также [38]). Это дает возможность получить более короткое доказательство теоремы Брауна о нильпотентности радикала. A. Р. Кемер работал с Т-идеалом, порожденным многочленами вида SAOSA,---SAJ, где |А |^ = Ь{А) + 1 при i > О и |Ло| = Ь{А), к = с{А) - 1, SA обозначает альтернирование по переменным из набора Л. (Наборы Aj при г > О "поглощают радикал", и при этом набор Ао позволяет умножать на следы.) Такие многочлены мы будем называть многочленами Кемера. На многочлены Кемера переносится вся техника работы с тождествами Капелли. B. Н. Латыщев (а затем В. Дренский) работали с каноническими формами экстремального идеала в нематричном случае — с базисом Шпехта максимальной ненулевой степени коммутатора, т.е. максимальной ненулевой степени радикала.С точки зрения концепции экстремального идеала можно смотреть и на метод сэндвичей — основной метод при решении проблем бернсайдовского типа в алгебрах Ли [36], [156], [52]. Отметим, что и А. В. Гришин рассматривал элементы "максимальной ^-степени", т.е. лежащие в максимальной ненулевой степени радикала [24], [26].Для работы в ситуации произвольного поля нужна иная конструкция критического идеала, лучше отражающая взаимодействие первичных компонент в ассоциативной алгебре с помощью радикала. Представление относительно свободной алгебры оказывается эквивалентно представлению следующего вида: вдоль главной диагонали идут блоки или клетки, под ними — нули. Ограничению на клетку отвечает эпиморфизм на алгебру общих матриц. Клетки бывают похожими — когда в них стоят одинаковые элементы, однотипными — связь через автоморфизм Фробениуса, и независимыми — когда на соответствующих позициях стоят независимые переменные.Экстремальный идеал описывает процесс последовательного прохождения клеток. Он порождается полиномами вида X) П НЦК^^^-^Н-Ц-, где множители НЦ и H2i отвечают входам и выходам из системы однотипных клеток, а полином Капелли С„2 позволяет умножать на формы. Произведение означает прохождение систем однотипных клеток, т.е. при любой специализации переменных в ненулевых слагаемых должны присутствовать специализации, соответствующие всем проходимым клеткам, а среди переменных, входящих в Нц и Ягь - граничные операторы, относящиеся к системам клеток.На локальный случай проблемы Шпехта есть и другой взгляд. Неоднократно многими авторами (А. Брауном, Ю. П. Размысловым и др.) ставился вопрос о конечной базируемости тождеств алгебры матриц над полем положительной характеристики. (Особенно подчеркивался случай алгебры матриц второго порядка.) Следующие вопросы образуют несколько более общую гипотезу.1. Верно ли, что любое многообразие, порожденное конечно порожденной алгеброй, конечно базируемо? 2. Верно ли, что любое многообразие конечного базисного ранга конечно базируемо ? В частности, Верно ли, что многообразие, пороокденное алгеброй матриц, конечно базируемо? Ответ неизвестен даже для матриц второго порядка.В чем автор видит свою заслугу? Во-первых, она состоит в построении теории представлений относительно свободных ассоциативных алгебр в терминах графа клеток. Автоматная идеология была объединена с Р/-теорией. Были обнаружены эффекты "похожести" и "разнотипности" и понята существенная часть структуры представления. Построение этой теории привело автора, в частности, к созданию "идеологии р клеток и р запирающих прокладок" или модели "алгебры верхнетреугольных матриц над грассманианом с р склеенными клетками". По мнению автора, создание этой модели позволило построить пример бесконечно-базируемого Г-идеала, хотя до этого анонсировались и предпринимались попытки построения такого примера. Заслуга автора при построении контрпримера состояла в переходе от Т-пространств к Тидеалам и в переносе результатов Л. В. Гришина и В. В. Щиголева на этот случай.С другой стороны, вся работа в локальном случае основана на теории представлений и на развитии подхода Кемера при описании структуры в терминах тождеств. Был предложен подход описания представления с точностью до замыкания по Зарисскому, который оказался эффективным.Во-вторых, был осуществлен перенос алгебро-геометрической идеологии. Она может проявляться в разной упаковке: применение леммы Артина-Рисса или пучковые рассуждения или — Л-замкнутые Т-идеалы. Эта идеология позволяет контролировать потерю равносильности при промежуточных подстановках.В-третьих, автором была осознана идеология экстремального идеала.И наконец, автор предложил контролировать ключевые позиции — межклеточные переходы и через них осуществлять действие нетерового кольца (а не через полупростые вхождения, как у А. В. Гришина).0.1.4. Структура и объем работы Перейдем к обсуждению содержания работы.Первый параграф введения посвящен проблематике, связанной с Р/-теорией.В его первом пункте обсуждаются вопросы, относящиеся к изучению канонических форм алгебр. Второй посвящен обсуждению связи с теорией инвариантов и некоммутативной алгебраической геометрией. Третий — собственно проблемам конечной базируемости и локальной представимости. В четвертом обсуждается структура и объем работы.Во втором параграфе излагаются подготовительные сведения и конструкции, нужные для дальнейшего. Первый пункт посвящен представлениям алгебр, во втором излагается техника линеаризации. В третьем пункте изучаются свойства оператора следа (форм) и приводятся соотношения Ю. П. Размыслова для многочленов Капелли. В четвертом — представления симметрической группы и Кемеровский "супер-трюк". Отмечается, что из результатов А. Р. Кемера [141] об изоморфизме множества полилинейных слов, не являющихся п-разбиваемыми, и базиса многочленов для алгебры общих матриц со следом размера п, а также работы Э. Форманека [137], в которой вычисляются соответствующие размерности, получается перечисление множества полилинейных не п-разбиваемых слов.Первая глава посвящена комбинаторике слов, проблемам канонической формы и связанным с ними вопросам теории представлений. Вначале изложены некоторые вспомогательные конструкции, относящиеся к технике работы со словами.Первый параграф посвящен применению методов символической динамики к проблемам теории колец. В терминах равномерно рекуррентных слов дается построение теории радикала для мономиальных алгебр, доказывается совпадения ниль-радикала и радикала Джекобсона (решение известного вопроса, поставленного еще в обзоре В. А. Уфнаровского [108], описываются слабо нетеровые мономиальные алгебры.Второй параграф посвящен представлению мономиальных алгебр. С этим связаны важные технические аспекты теории нормальных форм. Описание многообреизий мономиальных алгебр дает технику, которая необходима при исследовании проблем бернсайдовского типа.Основные результаты данного параграфа — критерий представимости мономиальной алгебры и построение представимых алгебр с трансцендентным рядом Гильберта. Тем самым поксьзывается, что рациональность рядов Гильберта относительно свободных алгебр (проблема Прочези) не вытекает из их локальной представимости. Заодно устанавливается, что проблема изоморфизма двух подалгебр алгебры матриц над кольцом многочленов, заданных образующими, алгоритмически неразрешима.Третий параграф посвящен изучению нормальных базисов алгебр и проблемам бернсайдовского типа. В нем дается доказательство экспоненциальных оценок на высоту алгебр (ответ на вопрос Е. И. Зельманова из Днестровской тетради), дается более короткое доказательство теоремы о независимости с помощью техники сверхслов, а также доказательство ограниченности высоты алгебры над множеством слов степени не выше сложности.Хотелось бы особо отметить доказательство теоремы 1.42: %pagebreak Теорема. Мноокество лексикографически неуменъшаемых слов в Р1-алгебре А имеет ограниченную высоту над множеством слов, степень которых не превышает сложности алгебры А. Это доказательство проясняет глубинные связи между структурной и комбинаторной теориями.Четвёртый параграф посвящен процедуре перекачки, разработанной автором.Эта процедура позволяет посмотреть с единой точки зрения на ряд вопросов комбинаторной теории Р/-колец. С помощью этой процедуры доказывается следующая Теорема. Если Y есть курошево мнозкество (т.е. любая проекция любого центрального расширения, для которой образы всех элементов из Y целы над центром, конечномерна над центром), то алгебра имеет ограниченную существенную высоту над Y.Кроме того, получаются экспоненциальные оценки на высоту над множеством слов степени не выше сложности, а также теорема А. Д. Чанышева о нильпотентности N-градуированных алгебр, у которых все однородные элементы нильпотентны ограниченного индекса.Пятый параграф посвящен изучению размерности Гельфанда-Кириллова. В нем показано, что размерность Гельфанда-Кириллова равна существенной высоте, и кроме того, размерность Гельфанда-Кириллова представимой алгебры произвольной сигнатуры есть целое число.Вторая глава посвящена технике работы с многочленами типа Капелли, полилинейными и кососимметричными относительно нескольких групп переменных.В первом параграфе осуществляется перенос техники работ [38], [39] (восходящих к статье [100]) на такие многочлены. Основной технический аппарат, развитый в этой главе, заключается в построении представимых пространств, а также "утончения альтернаторов", и изложен во втором и третьем параграфах.В четвертом параграфе данная техника используется для решения проблемы, поставленной L. Small'oM. Доказывается следующая Теорема. Нетеровы конечно-порож-денные Р1-алгебры конечно определены.В пятом параграфе показано, что в Т-первичных многообразиях ассоциативных алгебр имеются ненулевые формы. Основная теорема, доказанная в этом параграфе, заключается в следующем: Теорема. Т-первичное многообразие ассоциативных алгебр унитарно замкнуто, и в нем существует центральный полином и слабое тождество.Унитарная замкнутость Г-первичных многообразий над полем произвольной характеристики была впервые установлена А. Р. Кемером несколько другим путем. Как следствие, получается ответ на известный вопрос И. В. Львова из Днестровской тетради [30]: Существует ли Р1-алгебра А, совпадающая со своим коммутатором [А, А]? Показывается, что такой алгебры не существует. (Ассоциативные алгебры, совпадающие со своим коммутатором, существуют.) В шестом параграфе показано, что в случае положительной характеристики в любом многообразии ассоциативных алгебр выполняются все тождества алгебры матриц некоторого порядка. Седьмой параграф посвящен тождеству алгебраичности. Многие результаты данной главы можно получить, используя вместо многочленов Капелли это тождество. Доказано его выполнимость.Третья глава посвящена общей концепции экстремального идеала и методу Кемера. Помимо общего подхода и изложения метода Кемера (чему посвящены первые два параграфа), в ней дается решение известного открытого вопроса, поставленного еще К. Прочези — доказательство рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр методом А. Р. Кемера (см. третий параграф).В четвертом параграфе изучается метод А. Р. Кемера для положительной характеристики, в частности, редукция по простому модулю. В нем показано, что при достаточно большом р ряды Гильберта у конечно порожденной Z-алгебры и ее редукции по модулю р совпадают. К сожалению, оценки на р зависят от числа образующих.Пятый параграф посвящен рядам Гильберта для Т-пространств. В нем показано, что ряд Гильберта Т-пространства в относительно свободной алгебре рационален, а ряд Гильберта Т-пространства в абсолютно свободной s-порожденной ассоциативной алгебре либо рационален, либо его разность с рядом Гильберта коммутатора абсолютно свободной алгебры с тем же числом образующих есть рациональная функция. Доказательство существенно использует результаты В. В. Щиголева.Четвертая глава посвящена представлению относительно свободных алгебр.Основная техника состоит в замыкании по Зарисскому, построению и изучению улучшенных представлений. Если алгебра представима, то ее замыкание по Зарисскому имеет тот же запас тождеств. Таким образом, возникают достаточно интересные вопросы, связанные с описанием таких замыканий или хотя бы получении некоторой информации.В первых трех параграфах показано, что можно выбрать базис в пространстве представления таким образом, что все элементы алгебры будут иметь следующий вид: вдоль главной диагонали идут блоки, под блоками — нули, и система уравнений, связывающие элементы в блоках, имеет вид (компоненты при соответствующих матричных единицах связаны по Фробениусу). Кроме того, для элементов х(^' при матричных единицах для некоторых г а могут выполняться уравнения И других соотношений на компоненты полупростых частей быть не может. При этом для любого z € F и при всех а выполняется тождество z^" = z^" = z. В частности, если основное поле F бесконечно, то тогда все q^ и Га равны единице.В четвертом параграфе изучается взаимодействие между клетками. Возникает граф Г, вершины которого символизируют клетки и дополнительные эффекты связаны с "гашением" путей. Пятый параграф посвящен описанию возникающих эффектов на языке тождеств.В шестом параграфе изложено другое доказательство рациональности рядов Гильберта и обсуждается общая "идеология" доказательств представимости и конечной базируемости.В седьмом параграфе дается описание нетеровых, конечно определенных и слабо нетеровых относительно свободных алгебр в терминах графа Г (для случая произвольной характеристики).Если четвертая глава посвящена исследованию носителей, то в пятой главе развивается двойственный функциональный язык и осуществляется перевод некоторых основных свойств с функционального языка на язык носителей.В первом параграфе излагается доказательство локальной конечной базируемости Т-пространств над полем нулевой характеристики методом А. В. Гришина вместе с исправлениями и модернизацией, которую внес автор (применение леммы Артина-Рисса). Данный параграф во многом носит иллюстративный характер.В нем также доказывается следующая Теорема (А. Я. Белов [171]). Пусть Ш - многообразие моно ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль, любая конечно порожденная алгебра из которого имеет ограниченную высоту над образующими. Тогда Ш - шпехтово (более того, все Т-пространства в Ш конечно базируемы) и ряд Гильберта любой относительно свободной алгебры из Ш рационален, а сами относительно свободные алгебры локально представимы.Второй и третий параграф посвящены технике "расталкивающих замен". В них также развивается алгебро-геометрическая техника доказательств конечной базируемости.Четвертый параграф посвящен вычислению размерности Гельфанда-Кириллова для относительно свободных алгебр и для Т-идеалов. Показано, что размерность Гельфанда-Кириллова относительно свободной алгебры А определяется только ее сложностным типом (набором полупрямых произведений алгебр матриц над кольцом многочленов из Уаг(Л)). Доказывается следующая Теорема. Пусть А - s-порожденная относительно свободная алгебра. Тогда GKdim(A) зависит только от ее слоокностного типа. Л именно, она равна максимальной размерности Гельфанда-Кириллова полупрямого произведения алгебр общих матриц из Уат(А). Размерность Гельфанда-Кириллова такого полупрямого произведения равна сумме размерностей Гельфанда-Кириллова сомножителей. Слоокностные типы у алгебры А и подалгебры, порожденной двумя ее образующими, совпадают.Размерность Гельфанда-Кириллова свободной s-nopoo/сденной алгебры А из Var(M„i X • • • >1 Мп^) равна k+{s-i)j:ni Для случая представимых первичных относительно свободных алгебр произвольной сигнатуры доказана следующая Теорема. Если L — относительно свободная s-пороокденная первичная алгебра сигнатуры Q, то GKdim(L) = sn — т.В пятом параграфе доказывается локальная конечная базируемость, из которой в шестом параграфе выводится локальная представимость относительно свободных Р/-алгебр. Тем самым дается решение известных открытых вопросов, поставленных Л. А. Бокутем и И. В. Львовым в Днестровской тетради [30].В шестой главе указанные результаты переносятся на случай алгебр над произвольным ассоциативно-коммутативным нетеровым кольцом.Первый параграф посвящен доказательству локальной конечной базируемости, в нем же изучается кручение в относительно свободных кольцах. Во втором параграфе изложено доказательство локальной представимости PJ-алгебр над произвольным нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом Ф, что составляет содержание известной открытой проблемы, поставленной еще А. И. Мальцевым в 1967 году [30].Третий параграф посвящен алгоритмическим проблемам следования тождеств. В нем дается положительное решение проблемы А. И. Мальцева (поставленной в 1967 году) о существовании алгоритма определения того, является ли данное тождество следствием некоторой конечной системы тождеств. Данную проблему для произвольных алгебраических систем ставили также А. Тарский и Дж. Фон Нейман. Ранее Ю. Клейманом было получено ее отрицательное решение для групп [49], [50]. Центральным результатом данного параграфа является теорема 6.4 о каноническом носителе. Кроме того, показано существование алгоритма проверки, выполняется ли заданное тождество в данной представимой алгебре.В четвертом параграфе рассматриваются критические кольца. Проблема существования бесконечных критических алгебр сведена к случаю тел, в которых не выполняются тождества. В общем случае показано, что в бесконечномерном (над основным кольцом Ф) критическом кольце R нет бесконечномерного первичного Р/-фактора. При этом если К есть идеал коэффициентов тождеств, то кольцо KR должно быть конечно, в частности, для К = 1 мы получаем отсутствие собственных бесконечных критических колец.Пятый параграф посвящен вопросам, связанным с однородностью, порождаемостью многообразия однородными алгебрами, радикальными свойствами однородных компонент тождеств, а также теореме о высоте.В седьмой главе строятся примеры бесконечно базируемых многообразий неассоциативных алгебр над произвольном полем положительной характеристики.Приложение А посвящено кольцам, асимптотически близким к ассоциативным. В первом параграфе даются основные определения и доказывается аналог теоремы о высоте для т.н. "хороших многообразий", в частности, для йордановых и альтернативных PJ-алгебр.Во втором параграфе для алгебр над полем нулевой характеристики из структурируемых хороших многообразий, в предположении выполнимости всех тождеств некоторой конечномерной алгебры построена теория, аналогичная теории А. Р. Кемера (первая и вторая лемма Камера). Доказана также локальная конечная базируемость, локальная представимость, а также рациональность рядов Гильберта (в том числе и для Т-пространств). Результаты этого параграфа влекут рациональность рядов Гильберта для Г-пространств в ассоциативной PIалгебре.В третьем параграфе дается неассоциативное обобщение ^-техники, ранее развитой А. В. Гришиным для ассоциативного случая.Приложение Б посвяш;ено некоторым оценкам на степень нильпотентности радикала Джекобсона для Р/-алгебр и на порядок тождества Капелли.Благодарности. В заключение хотелось бы выразить благодарность за поддержку профессорам В. Н. Латышеву и А. В. Михалеву — руководителям семинара МГУ по теории колец, на котором была выполнена данная работа, а также д.ф.-м.н. А. В. Гришину, к.ф.-м.н. К. А. Зубрилину, к.ф.-м.н. В. Т. Маркову, В. В. Щиголеву и всем участникам семинара за полезные обсуждения.Автор благодарен проф. В. Пчелинцеву, который привлек его к данной тематике.Автор очень признателен проф. А. Р. Кемеру, к.ф.-м.н. Л. М. Самойлову, проф.Л. А. Бокутю, а также проф. Л.Роуэну, д.ф.-м.н. И. Кублановскому и д.ф.м.н. А.Мекею за полезные обсуждения и поддержку, а также проф. Л.Смоллу за постановку одной из задач.Автор выражает благодарность к.ф.-м.н. Б. Р. Френкину и А. К. Кулыгину за помощь в решении технических вопросов при подготовке диссертации.0.2. Основные определения и конструкции В данном разделе определяются основные понятия и вводятся обозначения, нужные для дальнейшего.Идеал, порожденный множеством М. обозначается 1(1(Л4). Иногда набор переменных Xi,... ,Хп мы будем рассматривать как мультипеременную и обозначать ж, используя записи типа Р{х,у), К[х], К<х> и т.д. Даже в тех случаях, когда в рассматриваемых кольцах нет единицы, мы будем использовать обозначения типа у(1 + z). Это означает, что имеется в виду элемент у + yz, который определен корректно. Eij обозначает матричную единицу: этот оператор переводит г-й базисный вектор в j-ый, а остальные переводит в ноль. Тождество / называется собственным, если его коэффициенты образуют единичный идеал в основном кольце. Известно, что в этом случае / имеет следствие, все коэффициенты которого равны ±1 (см. разделы 0.2.4 и 6.1.2). Яесоб^ственкьш называется тождество, не являющееся собственным. Базисным рангом многообразия 971 называется такое минимальное s, что Ш порождается своими s-порожденными алгебрами. Базисный ранг многообразия всех ассоциативных алгебр равен двум, многообразия, порожденного алгеброй общих матриц, тоже равен двум, базисный ранг алгебры Грассмана или многообразия, заданного тождеством [х, [у, z]] = О, равен бесконечности. А. Р. Кемер установил, что базисный ранг многообразия ассоциативных Р/-алгебр равен бесконечности тогда и только тогда, когда оно содержит бесконечно порожденную алгебру Грассмана [43].Обычно мы рассматриваем ассоциативные алгебры над полем. Иногда (см. главу 6) рассматриваются алгебры над произвольным нетеровым ассоциативнокоммутативным кольцом Ф. Иногда рассматриваются неассоциативные алгебры, алгебры произвольной сигнатуры Г2 (снабженные набором операций произвольной арности), а также многоосновные алгебры. Последнее означает, что задана конечная система модулей {Vi} и конечный набор полилинейных операций Определение 0.1. Разреж^енным тождеством порядка q называется тождество вида ^ Р<тХа{1)У1Х„12)У2 • • • Уд-1Ха{д)Сильным тождеством степени q называется система тождеств, получаемых из тождества вида Y1 0<тХа{1)Ха{2) • • • Xa{q) aeSg путем всевозможных перестановок позиций. Это система тождеств вида CrGSq где г G Sq.Аналогично определяется понятие сильного разреоюенного тоокдества порядка д. В общем случае (для алгебр произвольной сигнатуры) системой разреокенных тоокдеств порядка q называется система тождеств вида Y^ /?^F(a;^(i), ж^(2),..., х^(д), у) = О, aeSq где многочлен F полилинеен по переменным {xi}. Коэффициенты /?„. G К не должны зависеть от F. Если применить это понятие к ассоциативному случаю, то получится определение сильного разреженного тождества.Определение 0.2. а) Полупрямым произведением алгебр А и В, обозначение Ах В, называется фактор-алгебра алгебры А + А*В-\-В по идеалу, порожденному элементами вида 6 * а, 6 € 5 , а 6 Л. б) Полупрямым произведением второго рода алгебр А и В называется факторалгебра алгебры А@ В *f ¥[с] по идеалу, порожденному элементами вида с* а, Ь* с, ас, b Е. В, а Е А. Иногда полупрямое произведение (первого рода) называют нилъ-произведением.Предложение 0.1. Пусть А - конечномерная алгебра над полем F. Пусть А = АЛ- J{A) есть разложение А в сумму полупростой части и радикала Дж.екобсона. Пусть Л = Ai 0 • • • ф Л^ есть разложение А на простые компоненты.Если A1U1A2U2 •. .UmiAm ф О для HGKomopozo гп < t U элемЕнтов Ui,..., Um-i из J {Л), то А содержит набор подалгебр, изоморфных факторам полупрямого произведения (второго рода) Ai х • • • >^ А^- При этом само полупрлмое произведение Ai >^ • • • "А Am вкладывается в прямую сумму этих подалгебр.Отметим, что в случае алгебр над произвольным нетеровым ассоциативнокоммутативным кольцом условие вложимости в алгебру нетерового типа (или, что то же самое, в алгебру эндоморфизмов нетерового модуля) и условия представимости матрицами различаются. В этом случае под представимостью мы будем понимать более слабое условие — вложимость в алгебру нетерового типа.Замечания. 1. Обычно под представимостью понимается нечто более сильное, а именно — представимость матрицами ограниченного размера над кольцом полиномов. В бесконечно порожденном случае приходится идти по этому пути и определять понятие представимости как представимость матрицами ограниченного размера над коммутативным кольцом (не обязательно нетеровым). Однако в данной работе мы с этим дела не имеем.2. Тождество Капелли означает обобщенную линейную зависимость. В этой связи хочется упомянуть следующий результат: первичная алгебра (произвольной сигнатуры), в которой выполняется система тождеств Капелли порядка п + 1, но не п, представима п-мерной алгеброй над полем.Следующее определение работает и в неассоциативной ситуации: Определение 0.3. Назовем идеал / пред ставимым, если фактор по нему есть представимая алгебра. Идеал тождеств представим, если он является Т-идеалом представимой алгебры, или, что равносильно: относительно свободная алгебра из соответствующего многообразия представима.Минимальное п такое, что алгебра А вкладывается в алгебру, являющуюся модулем ранга п над своим центром, называется порядком представления. Если идеал / представим, то порядок представления I есть порядок представления А/1.Алгебра называется Р1п-алгеброй, если она принадлежит многообразию, порожденному представимыми алгебрами порядка п.Следующая лемма есть своего рода аналог теоремы Гильберта о базисе: Лемма 0.2. Множество представимых идеалов фиксированного порядка удовлетворяют свойствам обрыва возрастающих цепей. П По сути дела, достаточная степень инвариантности идеала относительно достаточно богатой полугруппы эндоморфизмов ведет к представимости, а самыми инвариантными являются Т-идеалы, отсюда шпехтовость в ассоциативном случае, а также в структурируемых хороших многообразиях, группа эндоморфизмов которых достаточно богата.Лемма 0.3 (О пересечении представимых идеалов). Пересечение конечного числа представимых идеалов представило.Доказательство. Пусть {1а} - представимые идеалы алгебры А. Тогда ядро гомоморфизма А —> фА/1а есть HQ-^Q) ^ прямая сумма представимых алгебр а представима. D Определение 0.4. Представимая алгебра называется несводимой, если она не содержит конечного числа представимых ненулевых идеалов с нулевым пересечением.Можно показать, что любая представимая алгебра вкладывается в прямую сумму конечного числа своих несводимых факторов, но мы будем пользоваться более слабым утверждением для алгебр нетерового типа. Кроме того, для алгебр типа А или А, с которыми мы работаем (и в силу шпехтовости для Т-идеалов), возможность такого рода разложения очевидна.Мы будем говорить, что в идеале I нет препятствия к представлению идеала J, если существует представление р всей алгебры в алгебру нетерового типа такое, что кег(р) П I = I П J.Предложение 0.1. Пусть в идеале I нет препятствия к представимости J.Тогда если A/{I+J) представима, то А/ J тоже представима.Доказательство. Пусть р - представление Л/J , ограничение которого на / имеет ядро, равное I П J. Достаточно рассмотреть прямую сумму этого представления и точного представления A/{I+J). П Отметим, что из представимости пересечения I П J, суммы / + J, а также самого идеала / неясно, следует ли представимость J. По всей видимости, нет.Вероятно, при вложении в алгебру нетерового типа идеал J может расшириться, так что могут возникнуть дополнительные элементы в пересечении с I.Пусть А - конечномерная алгебра. Если основное поле бесконечно, то можно построить относительно свободную 5-порожденную алгебру Л, порождающую Var(A), вложенную в расширение А кольцом полиномов (и, тем самым, представимую). А именно. Берем базис А как векторного пространства умножаем каждый элемент базиса на свободную переменную и суммируем. Получаем образуюш;ую алгебры А. Для набора образующих А берем непересекающиеся наборы переменных.Пусть основное поле конечно и имеет порядок q — р^. Тогда независимые переменные, с которыми мы будем суммировать базисные элементы, будут принадлежать не кольцу коммутативных полиномов F[x\ = F[xi,... ^Xg], а его фактору Fq[x\ ПО Г-идеалу, порожденному тождеством х^ —х — Q. Кольцо Fq[x] также градуировано по каждой переменной, только градуировка лежит в {*UZp} - факторе полугруппы N по конгруэнции, порожденной склейкой чисел \ ж q. (Градуировка различает факт вхождения или не вхождения каждой свободной переменной, а также число вхождений по модулю g — 1.) Точки спектра кольца Fq[x\ соответствуют всевозможным специализациям переменных в элементы поля F.Предложение 0.2. а) Алгебра А относительно свободна, представила и Var(i) = Var(A). б) Расширение А кольцом R, пороокденном значениями операторов следа (форм) является нетеровым R-модулем.Доказательство. П.а) уже доказан. П.б) следует из предложения 0.5, которое будет доказано ниже. D Из соображений нетеровости непосредственно следует Предлож:ение 0.2. Пусть А есть представимая алгебра над нетеровым кольцом представления. Тогда А есть подпрямое произведение конечного числа своих факторов А^, каокдый из которых не содержит конечного числа ненулевых идеалов с нулевым пересечением. П Нам потребуется одна универсальная конструкция.Аналогично определяется препятствие к алгебр аичности порядка т системы элементов {bi}.Пусть система форм а{{Ь) удовлетворяет тождеству Гамильтона-Кэли. Тогда естественно строится каноническое представление Гамильтона-Кэли порядка п, а соответствующее ядро называется препятствием к тождеству ГамилътонаКэли порядка т.Говоря неформально, если все элементы алгебры В (соответственно слова длины не выше s) "насильно" сделаем алгебраическими степени ш, то получим каноническое алгебраическое представление степени ш (соответственно, длины S).Аналогичным образом определяется идеал J^^ - препятствие к представимости матрицами порядка к над нетеровым кольцом.Доказательство. Каждый элемент алгебры нетерового типа R алгебраичен над центром Z{R), причем порядки элементов ограничены в совокупности. Каждый элемент алгебры матриц с формами порядка т также алгебраичен порядка т.Поэтому с указанными вложениями естественно связаны также морфизмы соответствующих канонических алгебраических представлений, которые согласованы с морфизмами алгебр в алгебраические представления. Поэтому последние также являются вложениями. D Замечание. Каноническое алгебраическое представление определяется и в неассоциативном случае. В этом случае п.б) предыдущей леммы по-прежнему справедлив, а п.а) справедлив для т.н. курошевых многообразий (см. определение 2.2).Если в многочлене Q вместо переменных Xi подставить х, то получится многочлен п! • Р. Поэтому если основное поле имеет характеристику нуль, то все тождества равносильны полилинейным.Если же основное поле К бесконечно, то все тождества можно считать однородными по каждой переменной. В частности, вместе с каждым тождеством будут выполняться все его (частичные) линеаризации. В самом деле, пусть Р = Y.Pii где переменная х входит г раз в Pj. Тогда если сделать замену Ах —> ж, то полином Р перейдет в X) A'Pj. Если основное поле бесконечно, то можно выбрать такие Лу, что определитель Ван-Дер-Монда det(Aj*) не обратится в ноль, и выделить компоненты Pj по отдельности.Операторы подстановки. Нам потребуется несколько стандартных технических замечаний, относящихся к операторам подстановки. Удобно работать со словами, а между тем могут встретиться линейные комбинации слов. Поэтому после каждой подстановки мы сортируем члены по числу вхождения слов из линейной комбинации, и суммы членов каждого сорта выделяются. Поскольку основное поле бесконечно, то переход к таким суммам есть операция, не выводящая за пределы Т-пространств, с которой мы и будем работать.Предложение 0.3. а) Если основное поле бесконечно, то вербальный оператор не выводит за пределы Т-пространства. б) Любое пространство, замкнутое относительно вербальных операторов, является Т-пространством.Докс1зательство. Результат подстановки линейных комбинаций слов во все переменные есть сумма вербальных операторов с некоторыми коэффициентами. Это доказывает п.б.) Для доказательства п.а) достаточно воспользоваться вторым определением вербального оператора и бесконечностью основного поля. А именно, рассуждаем, как и при доказательстве того, что если выполняется тождество, то выполняются все его компоненты. (Заменим некоторое \pq на аХрд. Коэффициент Пг5-^г" умножится на а*^ р«. Выберем такие ctj, что определитель Ван-Дер-Монда det(Q;j') не обратился в ноль. Тем самым мы выделяем члены при степенях Xpq.Продолжаем процесс выделения по всем парам {p,q)). • Вербальный оператор можно представлять себе так. Все вхождения переменной Zr размечаются, т.е. разбиваются на группы по krs вхождений. Затем во вхождения, помеченные одинаково, подставляются одинаковые слова, и результат суммируется по всем способам разметки. Выбор разметки вместе с подстановкой заданных слов на размеченные позиции будем называть расстановкой, связанной с матрицей krs- Вербальный оператор есть сумма по всем расстановкам, связанным с матрицей Аг^в- Отметим, что понятие "вербального оператора" использует понятие "слова" и потому зависит от выбора системы образующих алгебры.Замечание. Вербальные операторы, как сообщил мне А. Р. Кемер, известны в фольклоре. А. В. Гришин рассматривал похожие конструкции и называл их "символическими степенями". В его обозначениях 5^^ •^••'''' (/) есть полилинейная по всем и компонента многочлена f\x+Yti-^x (см.[24], [26]).Лемма 0.5. Операторы взятия ^s{f) we выводят за пределы Т-пространства (для любого основного кольца).Нам понадобится следующее техническое утверждение, доказательство которого аналогично доказательству того факта, что в случае бесконечного основного поля вместе с каждым тождеством выполняются все его линеаризации.И пусть кольцо R порождено операторами, действующими на элементах Ci умножением слева, причем сразу на всех одновременно (и это действие не зависит от записи), так что для любого г €. R корректно определен элемент Рг = dorci • • -rcgds- Пусть г^ — оператор замены Ci —>• rci, действующий на i-ю позицию. Пусть основное поле F бесконечно. Тогда на Р определено действие кольца симметрических функций относительно fj.0.2.3. Следы и формы Относительно свободная алгебра, как правило, алгеброй нетерового типа не является. Однако если ее расширить значениями оператора следа (в положительной характеристике — также операторов форм), то расширенная алгебра уже будет иметь нетеров тип. Цель построения экстремального идеала обычно в том, что экстремальный идеал / оказывается замкнутым относительно умножения на некоторое подкольцо кольца форм. Он совпадает с экстремальным идеалом расширенной алгебры. Схема доказательства конечной базируемости часто такова: доказывают, что для возрастающей цепочки Т-идеалов Fj стабилизируются пересечения Fj П / , и переходят к факторам. Поэтому в данном разделе мы изучаем следы, формы и тождества со следом (с формами).Основное соображение, впервые найденное Ю. П. Размысловым, было таким.Величина Фк1,...,к^ равна сумме главных миноров порядка к = '^ki,y которых ki столбцов взяты от матрицы Oi, к2 столбцов — от из и т.д. Сумма берется также по всем способам выбора столбцов. В частности, если все кг = 1,то ^ki,...,ks{^i:..., а^) есть смешанный объем. Он равен сумме главных миноров s-ro порядка, у которых s-й столбец совпадает с S-M столбцом соответствующего минора оператора Ф(5).Суммирование ведется по всем главным минорам и по всем перестановкам а G Ss.Нам потребуется несколько понятий из теории разбиений и симметрических многочленов (для подробного знакомства — см. книгу [145]). Разбиением V числа п называется представление п в виде суммы п = Y^Ua, причем ni > • • • > п^ > 0. I'P] = '£>Щ = п. С разбиением V можно связать симметрическую функцию т-р = Ясно, что функции т-р образуют базис в пространстве симметрических функций. Известно, что любая симметрическая функция есть многочлен от элементарных функций е^.Если {Xi} - набор собственных чисел оператора а, то {Aji • • • Aj^ .} есть набор собственных значений оператора [\^ атл величина равна к-й элементарной симметрической функции е^ от набора {Aj}.Поэтому функции e^ t отвечает форма Ф ,^ а многочлену от е^ - многочлен от форм ФJt. Сумме отвечает переходу к прямой сумме пространств (на которых действует оператор а и след равен соответствующей функции), а произведению — тензорное произведение, ei и функция Фх отвечают оператору следа, а определителю для матриц п-го порядка — форма Ф„.Таким образом, каждому разбиению V отвечает симметрическая функция от Аг, а значит, и величина '^•р, являющаяся многочленом от форм Ф^. В частности, разбиению г на одно слагаемое отвечает симметрическая функция рг = Z) А .^ При этом Фг(о) =Тг(а' ').В случае нулевой характеристики любая симметрическая функция выражается как многочлен от р^ и можно ограничиться следами. В случае характеристики р это не так (например, если р = 2, п = 2, Aj = А2, то Рг(А) = О, а е2(А) — ^ ф 0). Простейший пример алгебры с полупростой частью и тождественно равным нулю оператором следа — это алгебра верхнетреугольных матриц порядка р с одинаковыми элементами вдоль главной диагонали.Мы изучаем тождества с формами. Некоторые из них выполняются в алгебре матриц любого порядка. Например, в случае характеристики р > О выполняется тождество Тг(ж^) = Тг(а;)^. Аналогичным образом, для любой формы Ф имеет место равенство Фп(^'') = ^n(^)- Множество тождеств с формами, выполняющихся в алгебре матриц любого порядка следует из тождеств от одной переменной. Оно соответствует комбинаторным тождествам от симметрических функций, отвечающих формам. Чтобы в этом убедиться, достаточно диагонализировать матрицу а.Такого рода тождества с формами мы считаем тривиальными и их выполнение всегда постулируем. Если работа идет с формами, естественно отвечающими выражениям от элементарных форм Ф„, то постулируются тождества, отвечающие соотношениям между этими выражениями.Изначальная идея, принадлежащая Ю. П. Размыслову, построения многочленов, устойчивых относительно умножения на следы (формы), заключается в следующем. Рассмотрим случай алгебры общих матриц порядка п. Пусть /(жх,. . . ,2;„2,у) - многочлен Капелли, полилинейный и кососимметричный по х.Тогда f{ax,y) = det(a)"/(^, у). Алгебра матриц порядка п, рассматриваемая как левый модуль над самой собой, изоморфна прямой сумме п экземпляров одинаковых модулей V. Набор собственных значений оператора а как оператора левого умножения есть набор собственных значений оператора а в V, повторенный п раз. к-я форма при таком действии Фк{а)/{Х1,...,Хп^,у) = Е Цх1,...,Хп2,у)\х,=аХг;& 1С{\,...,п-'У,\1\=к есть частичная линеаризация п-ой степени определителя.Она выражается через формы Фр Е П (")ф^ (а формы Фр выражаются через формы Ф^).В частности, l>i(a) = пТг(а), Ф„2(а) = det{a)^. Поэтому г = 1 Переменные из набора у называются прокладками.Мы будем работать только с формами типа Ф/t и знак ' будем опускать. (Заметим, что из леммы К. А. Зубрилина, см. предложение 0.6, следует, что кольцо, порожденное формами Ф^ цело над кольцом, порожденным формами Ф^-) Кроме того, можно рассматривать двусторонние операторы. Алгебра линейных преобразований п х п матриц, рассматриваемых как п^-мерное векторное пространство, изоморфна тензорному произведению алгебры левых умножений и алгебры правых умножений. Оператор L{a) левого умножения на а и оператор R{b) правого умножения на b при всех аиЬ коммутируют.Если {Aj} есть набор собственных значений оператора а, а {Sj} - собственных значений оператора Ь, то набор {Xi5j} есть набор собственных значений оператора L{a)R{b). Отсюда можно получить выражения для "двусторонних форм".Рассмотрим оператор ^k{L{a)R{b)). Он определяется равенством: Фк{Ь{а)Я{Ь))/{х1,...,Хп2,у)= Y1 f{Xl,---,Xn2,y}\xi=aXib;& /C{l,...,n2};|/|=fc и выражается через операторы типа Ф(а), Ф(6): ЫЦа)Я{Ь)) = J2 Фр,(а)Фт'з(6)А'(П,^2), \ri\=\T'2\=k где коэффициент //(Рь'Рг) есть скалярное произведение характеров, отвечающих разбиениям Vi и "Рг- Он равен числу способов , которыми объекты, разбитые на группы в соответствии с Vi, разбиваются на группы в соответствии с V2 так, чтобы не было объектов, два раза попавших в одну группу.Мы рассматривали преимущественно случай форм от одной переменной. Что касается форм от нескольких переменных, то они и выражения от них получаются путем линеаризации выражений от форм, рассмотренных выше. Поскольку вид этих выражений нам не важен, он здесь не приводится.Замечания 1. Многочлен Размыслова Zk можно представлять себе так. Запишем каждый член многочлена С„2 по кольцу. Затем разорвем кольцо во всевозможных местах (сразу после вхождения одной из переменных Xi) и результаты сложим. Подобным образом на базе тождества алгебраичности получается центральный полином Э. Форманека [136]. Его конструкция приведена в разделе 2.7 на стр. 143.2. Впервые центральный полином с{х) от одной переменной для алгебры матриц порядка к над полем из q элементов был построен В. Н. Латышевым и А. Л. Шмелькиным: с(х)=ПУ-х)<''-'"(^) (g*-l)fc где Р{х) - произвольный неприводимый многочлен степени к в поле F^.3. Основная идея, лежащая в основе формул Размыслова, такова. Если матричный многочлен F полилинеен и кососимметричен относительно и^ переменных {xi}, В -линейный оператор в пространстве матриц, то в результате подстановки Xi -^ B{Xi) получается умножение значения F на det(5). Формулы Размыслова получаются как линеаризация этого равенства, когда В есть оператор умножения на Z или композиция операторов левого умножения на Zi и правого - на Z2.Когда основное поле имеет нулевую характеристику, построенный полином Zn не обращается тождественно в нуль в алгебре общих матриц порядка п. Однако в положительной характеристике это, вообще говоря, не так (а именно, когда р делит п). . Тем не менее, как показал Ю. П. Размыслов, в алгебре общих матриц n-го порядка всегда существует ненулевой центральный полином, обращающийся в нуль на матрицах меньшего порядка. Этот полином устойчив относительно умножения на следы (формы) и будет также обозначаться через Z„. Устойчивость означает, что в результате умножения на след (форму) получается элемент алгебры общих матриц, а не расширенной алгебры.В случае, когда основное поле имеет характеристику нуль, все симметрические многочлены от переменных Xi выражаются через суммы степеней ^х^. Тогда в силу тождества Гамильтона-Кэли имеет место следующее Предложение 0.4. Матрица Z порядка к цела над множеством {Tv{Z),...,TviZ')}.В случае положительной характеристики надо рассматривать не только следы (суммы главных миноров порядка 1), но и суммы главных миноров произвольного порядка. Такие суммы называются формами.Из предыдущего предложения и следствия теоремы Ширшова о высоте (если все слова длины не выше степени алгебры алгебраичны, то такая алгебра конечномерна) непосредственно вытекает Предложение 0.5. а) Пусть Y — мнооюество слов длины не выше 2п алгебры общих матриц Мщ Z есть следующее мнооюество следов: Z = {Tr{y^^)\yieY,0<kj<deg{A)}.Тогда расширение Mn[Z] алгебры Мп цело над K[Z] и является нетеровым модулем. б) Алгебра общих матриц со следом (формами) является нетеровым модулем над значениями оператора следа (взятия формы). Значения этих операторов сами порождают нетерово коммутативное кольцо. П Следствие 0.1. Аналогичное утверждение справедливо для любой представимой алгебры А. Расширение А представимой алгебры А значением оператора следа на элементах описанного выше типа является нетеровым модулем над коммутативным кольцом. (Следы (формы) определяются исходя из представления.) Замечания. 1. Если воспользоваться ограниченностью высоты над множеством слов степени не выше сложности алгебры, то параметр 2п в определении Y можно заменить на параметр п (а в следствии — на Pldeg(A)).2. Если ch(K) > О, то в качестве множества Z следует взять множество значений форм на элементах из Y.Пусть в алгебре выполнено любое тождество вида S^i • • • 'S'A^+I/ — О, где |Aj| = m -+-1 при всех г, б'л обозначает альтернирование по переменным из набора Л. Пусть полилинейный многочлен д кососимметричен по наборам переменных из Лг, где |Ai| = n-f-1 при г > О и |Ло| = |Ло| = п. Можно считать, что д имеет вид д = S/^QSA'^SAT, •••SAkf- Для каждого х определим оператор внутренней формы ak{x) (линейный относительно д) на Т{д) следующим образом: (^к{х)= XI 5'1а;=ха.Уге/;где tti е Ло.7C{l,...n};|/|=fc Полная линеаризация этого оператора есть оператор '^{xi,.. .,х^), который выражается равенством: 4'{xi,...,Xk)= J2 5|ai,=Iai„;гдeai„ € Ло. i i < - < H В частности, определен линейный по х оператор внутреннего следа Tr(z) = ai{x): к Тг{х)д = X^^|ai=xai; где Oj е ЛоСледующее предложение приведено для удобства ссылок. Оно суммирует результаты раздела 2.1. Оно является непосредственным переносом основной теоремы в работе К. А. Зубрилина [38] на экстремальные многочлены.Естественный морфизм в каноническое алгебраическое представление некоторого порядка является влоокением. П Отметим, что конструкция канонического алгебраического представления строится и для алгебр с ассоциативными степенями. Для них справедлив аналог леммы 0.4. Что касается предложения 0.6, то его аналог справедлив в самом общем общем случае для многоосновных алгебр с произвольным набором nj-apHbix операций (см. работу [38], аналог п.ж) и верен также для т.н. курошевых многообразий.Сложностным типом алгебры А мы будем называть класс всех полупрямых произведений матричных алгебр Mi х • • • xi Mk из Уаг(Л). Это понятие включает в себя классическую слооюностъ Pldeg(A) (максимальный размер матриц из Уаг(Л)) и слоокностъ Латышева (максимальный размер верхнетреугольных матриц из Уаг(Л)). Это число разнотипных клеток в минимальном графе представления параметр Ь{А) Кемера - есть максимальная размерность алгебры из сложностного типа.Отметим, что доказательство А. Р. Кемера конечной базируемости использует двойную индукцию: по сложностному типу и по индексу нильпотентности радикала.0.2.4. Представления симметрической группы и супериоризация Данный раздел посвящен краткому обзору теории супер-тождеств в связи со сведением бесконечно порожденного случая к конечно порожденному, но суперслучаю.Т2-идеалом в супералгебре называется идеал, порожденный значениям супертождеств или идеалом полиномов, устойчивым относительно всех эндоморфизмов свободной супералгебры, сохраняющих суперструктуру. Аналогично определяются Т2-пространства.Слово называется полилинейным, если каждый символ встречается в нем не более чем по разу. Через С9л(^ ) обозначим размерность пространства полилинейных слов длины п от букв Xi,...,Xn в свободной алгебре из многообразия Ш. Функция с^[п) называется функцией роста коразмерностей, а ряд J2cmin)t'^ рядом коразмерностей. Эти понятия были введены А. Регевым.Пусть в алгебре А над полем нулевой характеристики выполнено тождество / степени т. Это тождество можно считать полилинейным (см. раздел 0.2.2).Поскольку перестановка переменных в многочлене / осуществляет переход к равносильному тождеству, с каждым полилинейным многочленом д степени п можно связать F[S'n]-мoдyль N{g) с Т{д) над групповой алгеброй симметрической группы SnЕсли ch(F) = О, то модуль Л''(^) вполне приводим и раскладывается в прямую сумму компонент, отвечающих диаграммам Юнга. Строки отвечают симметрированию, а столбцы — альтернированию. Перейдем к точным формулировкам.Каждая подстановка а £ Sn есть произведение циклов без общих элементов.Набору длин этих циклов, если их расположить в порядке невозрастания, отвечает диаграмма Юнга. Две перестановки сопряжены тогда и только тогда, когда соответствующие диаграммы Юнга совпадают. Таким образом, классы сопряженности задаются диаграммами Юнга.Элемент е^^ пропорционален идемпотенту и порождает левый неприводимый К[5'п]-модуль Мд^. (Если ch(K) = р > О, то неприводимость выполняется тогда и только тогда, когда диаграмма D р-регулярна).Групповая алгебра изоморфна прямой сумме своих гомоморфных образов по всем таким классам эквивалентности. Каждый из этих образов изоморфен алгебре матриц порядка, равного размерности соответствующего модуля. И сумма модулей, класс которых соответствует диаграмме D, есть такая простая компонента групповой алгебры К[5„]. Поэтому сумма квадратов размерностей разных классов неприводимых представлений равна п! или размерности всей групповой алгебры.Следующая лемма связывает неприводимые представления К[5'„]-модулей и ограничений на K[5n-i].Лемма 0.7 (О ветвлении). Пусть К - поле нулевой характеристики, и пусть М - неприводимый Щ8п]-модуль с диаграммой Юнга D, М' - ограничение М, т.е. модуль М, рассматриваемый как К[Зп-1]-модулъ. Тогда М' есть прямая сумма модулей, диаграммы Юнга которых получаются из D путем удаления одной угловой клетки. П Характером называется функция следа в соответствующем представлении.Значение характера в единице равно размерности.В случае характеристики р > О неприводимым модулям соответствуют ррегулярные диаграммы (и таблицы) Юнга, т.е. не имеющие р одинаковых строк.Групповая алгебра К[5„] при п > р не является полупростой (а при и < р является), но раскладывается в композиционный ряд, факторы которого отвечают неприводимым ]К[5'п]-модулям, соответствующим р-регулярным таблицам Юнга.Наличие параметров кр^ приводит к появлению систем тождеств, зависящих от параметров. Обсуждение этого явления на языке носителей ("гашение путей", взаимодействие радикала в однотипных анфиладах) содержится в главе 4.Отметим также, что группа Sn действует и на разреженных тождествах и все сказанное выше относится и к этому случаю.Взаимосвязь между следованием тождеств и диаграммами, соответствующими этим тождествам, весьма загадочна. Отметим только, что если одна диаграмма содержит другую, то отсюда не вытекает следование соответствующих тождеств (иначе проблема Шпехта легко бы решалась). Тем не менее некоторые оценки можно сделать и на этом пути устанавливаются некоторые важные факты.Прежде всего заметим, что если система сильных тождеств содержит подмодуль из некоторого класса, отвечающего диаграмме D, то она содержит и все подмодули из этого класса. Более того, в нулевой характеристике это равносильно определению понятия сильного тождества. Если каждый многочлен, являющийся тождеством в 9Я, задает сильное тождество в Ш1, то многообразие Ш является устойчивым. Равносильное определение устойчивости: если полилинейный многочлен / есть тождество в Ш, то если каждый моном вида uxiV заменить на моном vXiU, то получившийся многочлен / ' есть снова тождество в Ш. Таким образом, в нулевой характеристике параметрических семейств устойчивых тождеств нет.Далее, если D' С D, то любое разреженное тождество, отвечающее модулю с диаграммой D, в силу леммы 0.7 о ветвлении есть следствие разреженного тождества, отвечающего модулю с диаграммой D'. Таким образом, если D' С D, то система сильных разреженных тождеств, соответствующих D, есть следствие системы сильных разреженных тождеств, соответствующих D'. Любая бесконечная цепочка диаграмм содержит диаграммы, сравнимые по включению. Поэтому любая возрастающая цепочка систем сильных разреженных тождеств стабилизируется.Теперь заметим, что пространство, порожденное словами, которые не являются deg(/)-pa36HBaeMHMH, вместе с Т(/ ) порождает пространство всех полилинейных слов, поэтому величина Ск{Ш) не превосходит количества полилинейных слов степени к, не являющихся m = deg(/)-pa36HBaeMbiMH.В. Н. Латышев [61] получил следующие оценки: Теорема (В. Н. Латышев). Количество полилинейных слов длины R из символов xi,..., XR, не являющихся т-разбиваемыми, не превосходит ( т — 1)^^.Доказательство. С каждым полилинейным словом и от Xi , . . . , жд свяжем отношение частичного порядка на множестве входящих в него букв. А именно, Xi -< Xj, если г < j щ кроме того, буква Xi стоит в слове и левее. Получившееся отношение есть пересечение двух отношений линейного порядка (стандартного порядка на образующих и расположения букв в слове).Если слово и не является т-разбиваемым, то это равносильно тому, что в данном отношении порядка нет антицепей мош;ности т. Но тогда, в силу теоремы Дилворса, само это множество разбивается не более чем на m — 1 цепь.Это означает, что множество позиций в слове и можно так раскрасить в m — 1 цвет, что буквы, стоящие на позициях одного цвета, идут в порядке убывания.Из этой теоремы также легко выводится теорема Регева, утверждающая, что тензорное произведение Р1-алгебр есть Р7-алгебра.Отметим, что в заключениях обеих пунктов предложения 0.3 можно добавить прилагательное "сильный" (см. определение 0.1). Поэтому можно сформулировать такое следствие Предложение 0.5. Пусть Г - произвольный Т-идеал. Тогда существует набор коэффициентов {at} такой, что для любой перестановки т & Sn и любых Xt, yt по модулю Г выполняется равенство 5 ] ааУаХф(1))У1. ..Хг(а(п))Уп = 0. D Замечание. Размерность неприводимого Р[5'„]-модуля, диаграмма Юнга которого содержит квадрат deg{/)^ х deg(/)^, может оказаться небольшой по сравнению с любой экспонентой. Например, алгебра Витта — алгебра Ли векторных полей порождает многообразие с экспоненциальным ростом коразмерностей. Однако, даже в случае алгебры векторных полей на прямой Wi диаграммы Юнга, отвечающие ненулевым полиномам могут содержать квадраты любого размера.Поэтому рассуждения с разреженными тождествами необходимы.Их успешность в ассоциативном случае связана с тем, что система разреженных тождеств порядка / задается многочленами степени 21 — 1. Для алгебр Ли это не так, и система разреженных тождеств порядка I может задаваться многочленами высокой степени (между альтернирующимися переменными могут стоять сколь угодно длинные прокладки). В случае хороших многообразий выполняется условие "сборки" для операторных произведений, так что удается получить те же качественные результаты, что и в ассоциативном случае.Если в алгебре Ли выполняется некоторая система разреженных тождеств (такие алгебры Ли называются API-алгебрами), то аналоги предложений 0.5, 0.3, 0.4 выполняются и все рассуждения, связанные с супериоризацией, проходят, см. [13].Отметим также, что для многообразий Р7-алгебр Ли функция C()yi{n) может расти сверхэкспоненциально, например как (en)!.Итак, мы свели изучение решетки Гз-идеалов в супералгебре с семействами абсолютно антикоммутирующих нечетных переменных У^ к изучению Тг-идеалов в супералгебре, порожденной 2т наборами абсолютно коммутирующих переменных Ха и *У^. Но, в силу процесса линеаризации, решетка Гг-идеалов в алгебре *В изоморфна решетке Тз-идеалов в алгебре *Б*, порожденной т переменными ж* и т переменными *t/*. Все сказанное для Т-идеалов переносится на Т-пространства.Таким образом, изучение Т-идеалов (Т-пространств) в бесконечно порожденных алгебрах сводится к изучению Тз-идеалов (Тз-пространств) в конечно порожденных супералгебрах. Все сказанное относительно Т-идеалов непосредственно переносится на Т-пространства и, кроме того, результат переносится и на любое многообразие неассоциативных алгебр, в котором все диаграммы Юнга, отвечающие ненулевым полиномам, не могут содержать квадраты слишком большого размера.Таким образом, из предложения О.б выводится Предложение 0.7. Пусть ch(F) = О, 9Л - многообразие степени п. Тогда Ш пороокдается грассмановой оболочкой алгебры А, в которой выполняется тождество Капелли порядка 12т'^ + 1. D Поскольку базисный ранг многообразия, в котором выполняется тождество Капелли порядка к, строго меньше к, имеет место Следствие 0.3. Пусть ch(F) = О, Ш1 - многообразие степени п. Тогда Ш порождается грассмановой оболочкой 12т^-порожденной алгебры. П Таким образом, если ch(F) = О, то любое многообразие порождается грассмановой оболочкой конечно порожденной алгебры.Отметим, что это свойство может не выполняться, даже когда рост пространства полилинейных полиномов не более чем экспоненциальный. Примером может служить алгебра Витта Wi.Соответствие ср удобно тем, что умножение на элементы 5^ согласовано с подстановками (и тождество, отвечающее таблице D, для любой меньшей таблицы D' С D есть следствие некоторого тождества, отвечающего D'. (Его неудобством является то, что следы не всегда определены. Их приходится имитировать, путем нахождения "киллеров следов" или многочленов, умножение которых на след не выводит за пределы исходной алгебры (без следов).) Важность данного соответствия обусловлена следующим обстоятельством. С точки зрения полилинейных инвариантов (а в нулевой характеристике полиномиальные инварианты определяются полилинейными) матрица есть составной объект — сумма тензорных произведений вектора на ковектор. Все полилинейные инварианты получаются путем спаривания векторов и ковекторов. Если векторы, соответствующие Xi, спарить с ковекторами Жг, векторы жа - с ковекторами жз, . . . , векторы х„ - с ковекторами xi, то получится величина, равная Tr(a;i • • -Хп)Если же г'-й вектор спарить с а{г)-м ковектором, то получится моном со следом ср{(г).Оказывается, что все полилинейные (а значит, в силу поляризации и все алгебраические) инварианты получаются путем указанного спаривания и, следовательно, выражаются через следы произведений. Все соотношения между инвариантами для матриц порядка п выводятся из тождества, означающего обращение в ноль результата альтернирования набора из п -Ь 1 вектора (или, что то же самое, ковектора). Это тождество оказывается тождеством Гамильтона-Келли. Вот точные формулировки.Первая фундаментальная теорема. Пусть ch(F) = 0. Тогда любая инвариантная функция на п-ке матриц относительно одновременного сопряжения есть полином от величин вида Вторая фундаментальная теорема. Пусть ch(F) = 0. Тогда все соотношения между инвариантными функциями являются следствиями линеаризованного тождества Гамильтона-Келли: i:(-i)v(cr)=o.Тождество Гамильтона-Кэли f„ имеет вид ^п{Х) = Х" — Ф1{Х)Х"^ -\- h (—1)"Ф„(Х), где величины Фп{Х) суть элементарные формы (см. начало раздела 0.2.3).Позднее, когда (прежде всего Донкиным) была развита теория представлений групп в положительной характеристике ('tilting modules'), были получены обобщения первой и второй фундаментальной теорем на произвольную характеристику.Первая фундаментальная теорема (С. Донкин). Пусть ch(F) произвольна. Тогда любая инвариантная функция на п-ке матриц относительно одновременного сопряокения есть полином от значений форм Ф„ и их линеаризации на произведениях элементов.Тем самым размерность пространства полилинейных инвариантов степени q алгебры общих матриц со следом совпадает с числом слов длины Q, не являющихся п-разбиваемымп.Замечание. Переход от алгебры инвариантов к алгебре общих матриц со следом осуществляется путем введения фиктивной переменной XQ. Выражению Тг(из:ог;) отвечает бесследовый моном vu. Формально соответствие задается так: v —> Тг(а;о^)- Оно осуществляет изоморфизм векторных пространств.Ряд коразмерностей получается путем выделения полилинейных компонент и их интегрирования. Для каждого п получается явная формула для количества слов, не являющихся п-разбиваемыми. Отметим, что при п = 3 эти количества совпадают с числами Каталана.Другой способ получить формулу на коразмерности таков. Поскольку все тождества алгебры общих матриц со следом порядка п выводятся из тождества Гамильтона-Кэли, которое задается одним столбцом длины п, то величина с^ или размерность пространства полилинейных слов порядка к равна сумме квадратов размерностей модулей, отвечающих диаграммам Юнга, лежащим в полосе ширины п — 1.Для каждой такой диаграммы размерность вычисляется по формуле крюков.Окончательно имеем Сп{к) - J2 п\ {ij+j-iyТаким образом, чисто комбинаторная задача перечисления всех перестановочно упорядоченных множеств диаметра п — 1 или, что то же самое, полилинейных слов, не являющихся п-разбиваемыми, решается с помощью Р/-теории.

1. Адян С. И. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1970. -^,№4.- С. 715-734

2. Ананьин А. 3. Локально финитно аппроксимируемые и локально представи-мые многообразия алгебр // Алгебра и логика. — 1977. — 16, № 1. — С. 3-23 (РЖМат, 1977, 11А304)

3. Бадеев А. В. Бесконечные неприводимые системы тождеств коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и коммутативных луп Муфанг // Сиб. мат. ж. (в печати)

4. Бадеев А. В. О шпехтовости разрешимых многообразий коммутативныхальтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Дисс. на соиск. уч.ст. канд. физ. мат. наук, — Москва, 1999. — 82 с.

5. Бахтурин Ю. А., Ольшанский А. Ю. Тождественные соотношения в конечных кольцах Ли // Мат. сб. — 1975. — 96, № 4. — С. 543-569

6. Бахтурин Ю. А., Ольшанский А. Ю. Тождество // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. — М.: ВИНИТИ, 1988 — 18. — С. 117-240

7. Бейдар К. Н. К теоремам Мальцева о матричных представлениях алгебр // Успехи мат. наук. — 1986. -^,№5.- С. 161-162

8. Бейдар К. И., Латышев В. И., Марков В. Т., Михалев А. В., Скорняков Л. А., Туганбаев А. А. Ассоциативные кольца // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. — М.: ВИНИТИ. — 1984. — 22. — С. 3-115

9. Белкин В. П. О многообразиях правоальтернативных алгебр // Алгебра и логика. — 1976. — 15, № 5. — С. 491-508 (РЖМат, 1988, 8А264)

10. Бокуть Л. А., Львов И. В., Харченко В. К. Некоммутативные кольца // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. — М.: ВИНИТИ, 1988 — 18. — С. 5-116

11. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1964. — 566 с. (РЖМат, 1965, 4А116К)

12. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра // Элементы математики — М.: 1971.708 с.

13. Вайс А. Я. О нормальных многообразиях алгебр Ли // XIX Всес. алгебр, конференция. — Львов, 9-11 сент. 1987 г.: 1987. — С. 48

14. Вайс А. Я., Зельманов Е. И. Теорема Кемера для конечно порожденных йор-дановых алгебр // Изв. Высш. уч. зав., Математика. — 1989. — № 6. — С. 63-72

15. Воличенко И. Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанных со стандартными тождествами //I, II. Весщ АН БССР.Математика, — 1980. — № 1.С. 23-30 — № 2. — С. 22-29

16. Генов Г. К. Шпехтовость некоторых многообразий ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль // Докл. Болг. Акад. Наук. — 1976. — 29, № 7. — С. 939-941

17. Генов Г. К. Базис тождеств алгебры матриц третьего порядка над конечным полем // Алгебра и логика. — 1981. — 29, № 4. — С. 365-388

18. Генов Г. К., Сидеров П. Н. Базис тождеств алгебры матриц четвертого порядка над конечным полем ///, II. Сердика. — 1982., N2 8. — С. 313-323, 351-366

19. Генов Г. К. Некоторые шпехтовы многообразия ассоциативных алгебр // Плиска. — 1981., № 2. — С. 30-40

20. Голубчик М.З., Михалев A.B. О многообразиях алгебр с полугрупповым тождеством // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. — 1982. — 1 —№ 2. — С. 8-11

21. Григорчук Р. И. К проблеме Милнора о групповом росте // Докл. АН СССР.1983. — 271, № 1. — С. 53-54 (РЖМат, 1983, 11А249)

22. Гришин А. В. Асимптотические свойства свободных конечно порожденных алгебр некоторых многообразий // Алгебра и логика. — 1983. — 22, № 6. — С. 608-625 (РЖМат, 1984, 11А172)

23. Гришин А. В. Показатель роста многообразия алгебр и его приложения // Алгебра и логика. — 1987. — 28, № 5. — С. 536-557 (РЖМат, 1988, 8А264)

24. Гришин А. В. О конечной базируемости систем обобщенных многочленов // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1990. — 54, № 5. — С. 899-927

25. Гришин А. В. Бесконечно базируемое Т-пространство над полем характеристики 2 // Междунар. конфер. по алгебре и анализу, поев. 100-летию со дня рожд. Н. Г. Чеботарева. 5-11 июня 1994 г. Тез. докл. — Казань: НГУ, 1982. — С. 29

26. Гришин А. В. О конечной базируемости абстрактных Т-пространств // Фунд. и прикл. матем. — 1995. -.,№3.-С. 669-700

27. Гришин А. В. О конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов над полем характеристики р > 0 // Междунар. конфер. по алгебре, поев, памяти А. Г. Куроша. 22-29 мая 1998 г. Тез. докл. — Москва: МГУ, 1998. — С. 165

28. Гришин А. В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фунд. и прикл. матем. — 1999. — 5, № 1. — С. 101-118

29. Гришин А. В. Коммутативно-алгебраический подход к исследованию полиномиальных тождеств и Т-пространств // Дисс. на соиск. уч. ст. докт. физ. мат. наук — Москва, 2000. — 142 с.

30. Днестровская тетрадь: оперативно-информац. сборник — 4-е изд. -— Новосибирск: изд. ин-та матем. СО АН СССР, 1993. — 73 с.

31. Дренски В. С. О тождествах в алгебрах Ли // Алгебра и логика. — 1974. — 13, № 3. — С. 265-290

32. Дренски В. С. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр // Мат. сб. — 1981. — 115. — С. 98-115

33. Желваков К. А., Слинъко А. М., Шесгпаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. — М.: Наука, 1978. — 431 с.

34. Зайцев М.В. Стандартное тождество в специальных многообразиях алгебр Ли // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. — 1993. — № 1. — С. 56-59

35. Зельманов Е. И. Абсолютные делители нуля и алгебраические йордановы алгебры // Сиб. мат. ж. — 1982. 25, № 6. - С. 100-116 (РЖМат, 1983, 6А260)

36. Зельманов Е. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1990., № 1. — С. 42-59

37. Зубков А. Н. Об одном обобщении теоремы Размыслова-Прочези // Сиб. мат. ж. — 1996. — 17, № 4. — С. 723-730

38. Зубрилин К. А. Алгебры, удовлетворяющие тождествам Капелли // Мат. сб. — 1995. — 186, № 3. — С. 53-64

39. Зубрилин К. А. О классе нильпотентности препятствия для представимости алгебр, удовлетворяющих тождествам Капелли // Фунд. и прикл. матем. — 1995. — 1, № 2. — С. 409-430

40. Илътяков А. В. Конечность базиса тождеств конечнопорожденной альтернативной PI-алгебры над полем характеристики 0 // Сиб. мат. ж. — 1991.- 5S, № 6. С. 61-76

41. Илътяков А. В. Шпехтовость многообразий Р/-представлений конечнопо-рожденных алгебр Ли // Препр. / Новосибирск: ИМ СО АН СССР. — 1991., № 10. — С.

42. Исаев И. М. Конечные правоальтернативные алгебры с бесконечными базисами тождеств // XVII Всес. алг. конф. Тезисы сообщ.Ч. I. 1985

43. Кемер А. Р. Нематричные многообразия, многообразия со степенным ростом и конечно порожденные PJ-алгебры // Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ. мат. наук, — Новосибирск, 1981. — 105 с.

44. Кемер А. Р. Многообразия и йг-градуированные алгебры // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1984. — 48, № 5. — С. 1042-1059

45. Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. — 1987. — 26, № 5. — С. 597-641

46. Кемер А. Р. Представимость приведенно-свободных алгебр // Алгебра и логика. — 1988. — 21, № 3. — С. 274-294 (РЖМат, 1989, 5А166)

47. Кемер А. Р. Идеалы тождеств ассоциативных алгебр // Дисс. на соиск. уч. ст. докт. физ. мат. наук — Барнаул, 1988. — 126 с.

48. Кемер А. Р. Тождества конечно порожденных алгебр над бесконечным полем // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1990. 5j,№4.- С. 726-753

49. Клейман Ю. Г. О некоторых вопросах теории многообразий групп // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1983. — 47, № 1. — С. 37-74

50. Клейман Ю. Г. О тождествах в группах // Труды моек. мат. общ. — 1982.44.— С. 62-108

51. Колотое А. Г. О верхней оценке высоты в конечно порожденных алгебрах с тождествами // Сиб. мат. ж. — 1982. — 23, № 1. — С. 187-189

52. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986. — 232 с.

53. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп — 13-е изд. — Новосибирск: изд. ин-та матем. СО АН СССР, 1995. — 130 с.

54. Красилъников А. Н. О тождествах алгебр Ли треугольных матриц над полем // Труды моек. мат. общ. — 1989. — 52. — С. 229-245

55. Красилъников А. Н. О тождествах алгебр Ли треугольных матриц над полем положительной характеристики // VI симпоз. по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы. — Львов, 11-13 сент. 1990. — С. 76

56. Кублановский С. И. Локально финитно-аппроксимируемые и локально пред-ставимые многообразия ассоциативных колец и алгебр // Ленингр. педагогии. ин-т., — Л:, 1982, деп. в ВИНИТИ 14.12.82, № 6143. — 78 с.

57. Кублановский С. И. О многообразиях ассоциативных алгебр с локальными условиями конечности // Дисс. на соиск. уч. ст. докт. физ. мат. наук, — СПБ, 1996. — 80 с.

58. Курош А. Г. Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бернсайда о периодических группах // Изв. АН СССРсер. мат., — 1941. — 5. — С. 233-240

59. Латышев В. Н. Обобщение теоремы Гильберта о конечности базисов // Сиб. мат. ж. — 1966. — 7, № 6. — С. 1422-1424

60. Латышев В. Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. — 1969. — 8, № 6. — С. 660-673

61. Латышев В. Н. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения Р/-алгебр // Успехи мат. наук. — 1972. — 27, № 4. — С. 213-214

62. Латышев В. Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1973. — 37, № 5. — С. 1010-1037 (РЖМат, 1974, 2А272); English transi.: Math. USSR. Izvestija. — 1973. — 7. — С. 1011-1038

63. Латышев В. H. Конечная базируемость некоторых колец // Успехи мат. наук. — 1977. — 32, № 4. — С. 259-262

64. Латышев В. Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр // Дисс. на соиск. уч. ст. докт. физ. мат. наук, — Москва, 1977. — 150 с.

65. Львов И. В. О многообразиях ассоциативных колец ///, II. Алгебра и логика. — 1973. — 12, № 3. — С. 269-297 ; , № 6. — С. 667-689

66. Львов И. В. К теореме Ширшова о высоте // Всес. симпоз. по теории колец, алгебр и модулей. — Новосибирск: НГУ, 1982. — С. 57

67. Львов И. В. Условия максимальности в алгебрах с тождественными соотношениями // Алгебра и логика. — 1969. — 8, № 4

68. Львов И. В. Локально слабо нетеровы многообразия алгебр над нетеровыми кольцами //3 Всес. симпоз. по теории колец, алгебр и модулей. — Тарту, 1976. — С. 67

69. Львов И. В. Конечномерные алгебры с бесконечным базисом тождеств // Сиб. мат. ж. — 1978. — 19, № 19. — С. 91-99

70. Львов И. В. О многообразиях, порожденных конечными альтернативными кольцами // Алгебра и логика. — 1978. — 17, № 3. — С. 286-296

71. Львов И. В. О представимости нильпотентных алгебр матрицами // Сиб. мат. ж. — 1980. — 21. — С. 158-161

72. Мальцев А. И. О представлении бесконечномерных алгебр // Мат. сб. — 1943. — 13, № 2-3. — С. 263-285

73. Мальцев А. И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики // Международный конгресс по математике. (Москва, 1966), — М.: 1968. — С. 217-231

74. Мальцев А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Мат. сб. — 1950. — 26, № 3. — С. 19-33

75. Мальцев Ю. Н. О представимости конечных колец матрицами над коммутативным кольцом // Мат. сб. — 1985. — 128(170), № 3. — С. 284-288

76. Мальцев Ю. П., Панферов В. А. Пример неассоциативной алгебры, не допускающей конечного базиса тождеств // Сиб. мат. ж. — 1977. — 18, № 6.С. 1420-1421

77. Мальцев Ю. Н. О многообразиях ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. — 1976. — 15, № 5. — С. 579-584

78. Мальцев Ю. Н., Кузьмин Е. Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над конечным полем // Алгебра и логика. — 1978. — i 7, № 1. — С. 28-32

79. Марков В. Т. О системах образующих Т-идеалов конечно порожденных свободных алгебр // Алгебра и логика. — 1979. — 18, № 5. — С. 587-598 (РЖМат, 1980, 9А268); English transi.: Algebra and Logic. — 1980. — 18.С. 371-378

80. Марков В. Т. О представимости матрицами конечно порожденных PI-алгебр // Вестн. МГУ. Серия 1. — 1989. — № 2. — С. 17-20

81. Медведев Ю. А. Ниль-радикалы конечно порожденных йордановых Pi-алгебр // Препр. / Новосибирск: ИМ СО АН СССР. — 1985,24. — 30 с. (РЖМат1986, 6А398)

82. Медведев Ю. А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющего конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. — 1980. — 19, № 3. — С. 300-313

83. Мекей А. О представимости кольца эндоморфизмов конечной абелевой группы матрицами над коммутативным кольцом // Науч. Отчет. Инф. Цен. МНР. 1991 — 02-910004. — С. 3-15

84. Мищенко С. П. Рост многообразий алгебр Ли // Успехи матем. наук. — 1990. — 45, № 6(276). — С. 25-45

85. Мищенко С. П. Вариант теоремы о высоте для алгебр Ли // Мат. заметки.1990. — 47, № 4. — С. 83-89 (РЖМат, 1991,

86. Ольшанский А. Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1970. — 34, № 2. — С. 376-384

87. Охитин С. В. Об устойчивых Т-идеалах и центральных полиномах // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. — 1986. — № 3. — С. 85-89

88. Пихтильков С. А. О многообразии, порожденном n-мерными алгебрами // Тульский политех, ин-т. — Тула, 1980, деп. в ВИНИТИ 12.04.80, № 1213. — 58 с.

89. Пихтилъков С. А. Полиномиальные тождества алгебр, близких к конечномерным // Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ. мат. наук, — Москва, 1980. — 99 с.

90. Поликарпов С. В., Шестаков И. П. Неассоциативные аффинные алгебры // Алгебра и логика. — 1990. — 29, № б. — С. 709-703

91. Поликарпов С. В. Свободные аффинные алгебры Алберта // Сиб. мат. ж.1991. — 32, № б

92. Полин С. В. О тождествах конечных алгебр // Сиб. мат. ж. — 1976. — 17, № 6. — С. 1356-1366

93. Попов А. П. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Плиска. — 1981., № 2. — С. 41-53

94. Пчелинцев С. В. Теорема о высоте для альтернативных алгебр // Мат. сб.1984. — Щ, № 4. — С. 557-567 (РЖМат, 1984, 12А315)

95. Пчелинцев С. В. Структура слабых тождеств на грассмановых оболочках центрально-метабелевых альтернативных супералгебр суперранга 1 над полем характеристики 3 // Фунд. и прикл. мат. (в печати)

96. Пчелинцев С. В. О кручении свободного альтернативного кольца // Сиб. мат. ж. — 1991. — 32, № 6. — С. 142-149

97. Размыслов Ю. П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. — 1973. — 12, № 1. — С. 83-113

98. Размыслов Ю. П. О радикале Джекобсона в Р7-алгебрах // Алгебра и логика. — 1974. — 13, № 3. — С. 337-360 (РЖМат, 1975, 4А299)

99. Размыслов Ю. П. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1974. — 38, № 4. — С. 723-756

100. Размыслов Ю. П. Алгебры, удовлетворяющие тождественным соотношениям типа Капелли // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1981. — 45, 1. — С. 143-166

101. Размыслов Ю. П. Тождества алгебр и их представлений // — М.: Наука, 1989. — 432 с.

102. Рябухин Ю. М., Захарова Е.Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных колец //В кн. Исследования по алгебре и топологии.— Кишинев. 1983. — С. 122-130

103. Скосырский В. Г. Йордановы алгебры с условием минимальности для двусторонних идеалов // Препр. / Новосибирск: ИМ СО АН СССР. — 1985. — № 21

104. Стовба В. В. О конечной базируемости некоторых многообразий алгебр Ли и ассоциативных колец // Вестн. МГУ. Сер 1. — 1982. — № 2. — С. 54-58

105. Умирбаев У. У. Шпехтовость многообразия разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика. — 1985. — 24, № 2. — С. 226-239

106. Уфнаровский В. А. О росте алгебр // Вестн. МГУ. Сер 1. — 1978. — № 4.С. 59-65 (РЖМат, 1979, 1А331)

107. Уфнаровский В. А. Теорема о независимости и ее следствия // Мат. сб. — 1985. — 128, № 1. — С. 124-132 (РЖМат, 1986, 1А419)

108. Уфнаровский В. А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. — М.: ВИНИТИ, 1990 — 57. — С. 5-177 (РЖМат, 1990, 7А338)

109. Херстейн И. Некоммутативные кольца.— М.: Мир, 1972. — 191 с.

110. Чекану Г. П. О локальной конечности алгебр // Мат. исслед. (Кишинев). — 1988. — № 105. — С. 153-171 (РЖМат, 1988, 12А245)

111. Чекану Г. П. Независимость и квазирегулярность в алгебрах //3 Между-нар. конф. по алгебре памяти М. И. Каргаполова. — Красноярск, 1993. — С. 357 (РЖМат, 1994, 9А191)

112. Чекану Г. П. К теореме Ширшова о высоте // XIX Всес. алгебр, конф.: Тезисы сообщ. I. — Львов, 1987. — С. 306

113. Шестаков И. П. Конечно порожденные специальные йордановы и альтернативные Pi-алгебры // Мат. сб. — 1983. — 122, № 1. — С. 31-40 (РЖМат, 1984, 1А223)

114. Шестаков И. П. Супералгебры и контрпримеры // Сиб. мат. ж. — 1991. — 30, № 6. — С. 187-196

115. Щиголев В. В. Примеры бесконечно-базируемых Т-пространств // Мат. сб.2000. — 191, № 3. — С. 143-160

116. Щиголев В. В. Примеры бесконечно-базируемых Т-идеалов // Фунд. и прикл. матем. — 1999. — 5, № 1. — С. 307-312

117. Ширшов А. И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах // Мат. сб. — 1957. — 41, № 3. — С. 381-394 (РЖМат, 1958, 164)

118. Ширшов А. И. О кольцах с тождественными соотношениями // Мат. сб. — 1957. — 43, № 2. — С. 277-283 (РЖМат, 1958, 7544)

119. Amitzur S. The T-ideals of the free rings // Jour. Lond. Math. Soc. — 1955. — 30. — C. 470-475

120. Amitzur S. A generalisation of Hilbert's Nullstensaltz // Proc. Amer. Math. Soc.1957. — 8, № 4. — C. 649-656

121. Amitzur S. Rational identities and applications to algebra and geometry // J. of Algebra. — 1966. — 3, № 3. — C. 304-359

122. Amitzur S. The sequence of со dimensions of Pi-algebras // Israel J. Math. — 1984. — 47, № 1. — C. 1-22

123. Amitzur S., Small L. Finite dimentional representation of PZ-algebra // J. of Algebra. — 1990. — 133. — C. 244-248

124. Beidar K.I., Martindale W.S., Michalev A.V. Rings whith Generalized Polino-mial Identities // NY, Marsel Dekker. 1995

125. Birkhoff G. On the structure of abstract algebras // Proc. Cambr. Phil. Soc. — 1935. — 37, № 2. — C. 433-454

126. L. A. Bokut' and I. P. Shestakov. Some Results by A. I. Shirshov and His School // Cont. Math. — 1995. — I84.— C. 1-12

127. Braun A. The radical in a finitely generated Pi-algebra // Bull. Amer. Math. Soc. — 1982. — 7, № 2. — C. 385-386 (РЖМат, 1983, 3A248)

128. Bryant R.M., Vaughan-Lee M.R. Solvable varieties of Lie algebras // Quart. J. Math. — 1972. — 23, № 89. — C. 107-112

129. Giambruno A., Zaicev M. Exponential Codimentional Growth of PI-algebras: an exact estimate // Preprint № 62. Marso-Aprile.1998

130. Giambruno A., Zaicev M. Minimal varieties of exponential growth//

131. Dehn M. Uber die Grundlagen der projectiven geometric und allgemeine zahlsis-teme // Math. Ann. — 1922. — 85. — C. 184-194

132. Drensky V. On the Hilbert series of relatively free algebras // Comm. in Algebra.1984. — 12, № 19. — C. 2335-2347

133. Drensky V. Codimensions of T-ideals and Hilbert series of relatively free algebras // J. Algebra. — 1984. — 91, № 1. — C. 1-17 (РЖМат, 1985, 5A262)

134. Drensky V. Free algebras and PI-algebras // Springer — 2000. — 271 c.

135. Grishin A. V. On the finite basis property of T-spaces over field of finite characteristic // Proceedings of Taivan-Moscow Algebra Workshop. — 1994. — C. 225-227

136. Formanek E. Central polynomials for matrix rings //J. Algebra. — 1972. — 23.C. 129-133

137. Formanek E. Invariants and the Ring of Generic Matrices // J. of Algebra. — 1984. — 89. — C. 178-223

138. Formanek E., Halpin P. W., Li C. W. The Poincare series of the ring of 2 x 2 generic matrices // Abstr. of paper, presented to AMS — 1980. — 1. — C. 775-A7

139. Iltiakov A. V. On finite basis of identities of Lie algebra representations // Nova Journ. Algebra Geometry. — 1992. -J,№3

140. Iltiakov A. V. Representability of algebras and finitness of basis of identities // (в печати)

141. Kemer A. R. Multilinear identities of the algebras over a field of characteristic p // Intern. J. of Algebra and Computations. — 1995. — 5, № 2. — C. 189-197

142. Kemer A. R. On the multilinear Components of the Regular Prime Varieties // Methods in ring theory. Lect. Notes in pure and appl. math.v 198, (M. Dekker, 1998). — C. 171-183

143. Kruse R. Identities satisfied by a finite rings // J. Algebra. — 1973. — 26, № 2.C. 298-318

144. Lewin J. A matrix representation for associative algebras. /,//// Trans. Amer. Math. Soc. — 1974. — 188, № 2. — C. 293-308 . — C. 308-317 (РЖМат, 1974, 11A317)

145. Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polinomials // Clarendon Press, (Oxford, 1979) (Пер. на рус. яз.: И. Макдоналъд Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985. . — 222 с.

146. Plotkin В. Varieties of algebras and algebraic varieties // Israel J. Math. — 1996.96, № 2. — C. 511-522

147. Plotkin B. Some notions of algebraic geometry in universal algebra // Algebra and Analisys. — 1997. — 9, № 4. — C. 224-248 St.Peterburg Math. Journal — 1998. — 9, № 4. — C. 859-879

148. Berzinsh A., Plotkin В., Plotkin E. Algebraic geometry in varieties of algebras with the prescribed algebra of constants //J. Math. Sci. (New York). — 2000.102, № 3. — C. 4039-4070

149. Plotkin B. Seven Lectures in Universal Algebraic Geometry // Preprint, Institute of Mathematics, Jerusalem, (2000). — 122 c.

150. Procesi C. Rings with polynomial identities, N.Y., 1973. — 189 c.

151. Procesi C. The invariant theory ofnxn matrices // Adv. Math. — 1967. — 19.C. 306-381

152. Rowen L. H. Polynomial Identities in Ring Theory. — New York: Acad. Press, 1980. — 365 c.

153. Small L.W. Localization in P7-rings // J. Algebra. — 1971. — 19, № 2. — C. 181-183

154. Specht W. Gesetze in Ringen // Math. Z. — 1950. — 52. — C. 557-589

155. Vaughan-Lee M. R. Varietes of Lie algebras // Quart. J. of Math. — 1970. — 21, № 83. — C. 297-308

156. Zelmanov E. On the nilpotency of nilalgebras // Lect. Notes Math. — 1988. — 1352. — C. 227-240 (РЖМат, 1989, 7A188)Работы автора по теме диссертации

157. Belov A., Borisenko V., Latyshev V. Monomial algebras // NY, Plenum. 1998.C. 1-173

158. Белов А. Я. О базисе Ширшова относительно свободных алгебр сложности п // Мат. сб. — 1988. — 135, № 31. — С. 373-384 (РЖМат, 1988, 7А252)

159. Белов А. Я. Классификация слабо нетеровых мономиальных алгебр // Фунд. и прикл. матем. — 1995. — 1, № 4. — С. 1085-1089

160. Belov A. Some estimations for nilpotence of nil-algebras over field of an arbitrary characteristics and height theorem // Comm. in Algebra. — 1992. — 20, № 10.C. 2919-2922

161. Belov A. About height theorem // Comm. in Algebra. — 1995. — 23, № 9. — C. 3551-3553

162. Белов А. Я. Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец // Фунд. и прикл. матем. — 1995. — 1, № 2. — С. 523-527

163. Belov A., Gateva Т. Radicals of monomial algebras // Proceedings of Taivan-Moscow Algebra Workshop. — C. 159-169

164. Белов А. Я. О рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр // Успехи мат. наук. — 1997. — 52, № 2. — С. 153-154

165. Белов А. Я. О нешпехтовых многообразиях // Фунд. и прикл. матем. — 1999. — 5, № 1. — С. 47-66

166. Белов А. Я. Контрпримеры к проблеме Шпехта // Мат. сб. — 2000. — 191, № 3. — С. 13-24Работы автора, примыкающие к теме диссертации

167. Белов А. Я., Кондаков Г. В. Обратные задачи символической динамики // Фунд. и прикл. матем. — 1995. — 1, № 1. — С. 71-79

168. Белов А. Я., Охитин С. В. Об одной комбинаторной задаче // Успехи мат. наук. — 1994. — 48, № 2(290). — С. 169-170

169. Белов А. Я. Оценка для высоты и размерности Гельфанда—Кириллова ассоциативных Р/-алгебр // Международная конф. по алгебре памяти А. И. Мальцева. Тез. докл. по теории колец, алгебр и модулей. — Новосибирск, 1989. — С. 21

170. Белов А. Я. Теорема о высоте для йордановых и лиевых PI-алгебр // Сиб. школа по многообр. алгебраических систем. Тезисы. — Барнаул, 1988. — С. 12-13

171. Белов А. Я. О рациональности ряда Гильберта свободных алгебр в многообразиях сложности 1 // VI Всесоюзн. школа по теории многообр. алгебраических систем. Тезисы. — Магнитогорск, 1990. — С. 7-8

172. Белов А. Я. Об относительно свободных и критических кольцах // Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Тезисы докладов международной конференции (28-31 августа 1998 г.). — Омск, 1998. — С. 27-28

173. Белов А. Я. Локальная представимость относительно свободных ассоциативных алгебр //в кн.: Kurosh Algebraic Conference-98. Abstracts of talks. Ed.by Y. A. Bachturin, A. I. Kostrikin, A. Yu. Olshansky — M.: 1998. — C. 143-144

174. Belov A. J. Solution of one Maltzev problem //в кн.: II международная конференция "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е. С. Ля-пина. Тезисы докл.— СПБ.: 1999. — С. 9-9

175. Belov A. J. Specht type problems and related questions // b kh.: Formal power series and algebraic combinatorics. \2th international conference, FPSAC'OO, Moscow, June 2000. Abstracts. — C. 9-10

176. Belov A. J. Specht type problems and noncommutative algebraic geometry // Annual meeting of Israel Math. Union. 2000. — C. 12• ■ -- '-.Jj • o i09kó ' S 'OS