Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры, и примеры конечномерных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи .л/]/

Кислицин Алексей Владимирович

ТОЖДЕСТВА ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ВЛОЖЕННЫХ В ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ, И ПРИМЕРЫ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР, НЕ ИМЕЮЩИХ КОНЕЧНОГО БАЗИСА ТОЖДЕСТВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

31 ИЮЛ 2014

Барнаул — 2014

005550912

005550912

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия». Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Исаев Исмаил Мусаевич. Официальные оппоненты:

Пчелинцев Сергей Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», профессор кафедры «Математика-1»;

Гончаров Максим Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук», научный сотрудник лаборатории теории колец. Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина».

Защита диссертации состоится 18 сентября 2014 г. в 15 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки «Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук» по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук» и на сайте www.math.nsc.ru.

Автореферат разослан л » Ш'йАХ^ Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Стукачев Алексей Ильич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из способов изучения алгебраических систем является изучение их тождеств. Если рассмотреть алгебру А некоторой сигнатуры £, то множество тождеств алгебры Л, из которых следуют все тождества этой алгебры, называется базисом тождеств алгебры А. Если базис тождеств алгебры А конечен, то алгебру А называют конечно базируемой (или короче, КБ-алгеброй). В противном случае говорят, что алгебра А бесконечно базируема или не конечно базируема (коротко: НКБ-алгебра).

Одной из центральных задач при изучении тождеств конечных алгебр является проблема, сформулированная в 1966 году А. Тар-ским [17]: будет ли множество всех конечно базируемых конечных алгебр фиксированной сигнатуры, содержащей по крайней мере одну двуместную операцию, рекурсивно? В 1996 году Р. МакКензи решил проблему Тарского отрицательно [14]. Однако, проблему Тар-ского можно изучать в конкретных классах конечных алгебр. Ясно, что эта проблема имеет содержательный смысл лишь в тех классах конечных алгебр, в которых существуют как КБ-алгебры, так и НКБ-алгебры. Поэтому важным направлением в изучении многообразий алгебр является построение примеров конкретных конечных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств.

Примеры таких алгебр приведены: в классе группоидов - Р. Лин-доном [13] и В. Л. Мурским [6], в классе полугрупп - П. Перкин-сом [15], в классе луп - М. Р. Воон-Ли [18], в классе колец и линейных алгебр - C.B. Полиным [7].

Важным объектом при изучении конечных алгебр являются существенно бесконечно базируемые алгебры и многообразия алгебр. Напомним, что локально конечное многообразие алгебр называется существенно бесконечно базируемым (коротко: СББ-многообразием), если любое локально конечное многообразие алгебр, его содержащее, не имеет конечного базиса тождеств. Алгебра называется существенно бесконечно базируемой, если она порождает СББ-многообразие. Из этого определения следует, что любая конечная алгебра, содержащая в качестве подалгебры некоторую СББ-алгебру, сама не имеет

конечного базиса тождеств. Таким образом, конечная СББ-алгебра определяет в классе алгебр целую серию НКБ-алгебр.

Первые примеры СББ-группоидов приведены В. Л. Мурским [5] и П. Перкинсом [16]. М. В. Сапир привел пример СББ-полугруппы [9]. В классе колец и линейных алгебр пример конечной СББ-алгебры привел И. М. Исаев [2]. М. В. Сапир в 1987 году получил полное описание негрупповых СББ-многообразий полугрупп [10].

Р. Фриз, Дж. МакНалти и Дж. Нейшн в 2002 году указали метод построения СББ-решеток [12]. Этими же авторами в 2006 году построен пример существенно бесконечно базируемой модулярной решетки [11].

В 1978 году И.В. Львов построил пример конечномерной неассоциативной алгебры V = V ф Е (здесь V - конечномерное векторное пространство, Е = Епс1рУ) над полем F, тождества которой не задаются конечным набором тождеств [3]. Ясно, что V е ф = Var(a:(yz) — 0). Всякое тождество алгебры V — V ф Е эквивалентно (по модулю x(yz) = 0) конечной системе тождеств вида zf(RXl, RX2,..., RXn) = 0, где f(xi, Х2,..., хп) - тождество векторного пространства Е, Rx - оператор правого умножения на элемент х в свободной алгебре многообразия ф [3].

В 1973 году Ю.П. Размыслов при описании тождеств алгебры матриц второго порядка ввел понятие слабого тождества ассоциативно лиевой пары (А, L) (здесь L - алгебра Ли, А - ее ассоциативная обертывающая алгебра), т. е. ассоциативного многочлена f(x\,x2, ■ ■.,хп), который обращается в нуль в алгебре А при подстановке вместо переменных любых элементов из L [8].

Пусть далее Е - векторное пространство, являющееся подпространством линейной алгебры А. Будем называть тождеством векторного пространства Е (вложенного в линейную алгебру А) слабое тождество пары (А,Е), т.е. такой неассоциативный многочлен f(x i, х2,... ,хп) € F(X), что f(e \,е2,.. ■, е„) = 0в алгебре А при всех ei,e2,...,en е Е.

Пусть G С F(X) — подмножество абсолютно свободной алгебры. Класс всех пар (А,Е) (Е - векторное пространство, А - обертывающая алгебра пространства Е), в которых выполняются все тождества вида g = 0, где g 6 G, будем называть L-многообразием, задан-

ным множеством тождеств О. Если б - множество тождеств пары (А,Е), где Е - векторное пространство, А - обертывающая алгебра пространства Е, то ¿-многообразие, заданное множеством тождеств С?, будем называть Ь-многообразием векторных пространств, порожденным векторным пространством Е и обозначать Улг^Е.

Рассмотрим ¿-многообразие Л ассоциативных векторных пространств, т. е. векторных пространств, в которых выполняются все тождества ассоциативности вида (иь)и> = и(ти), где и, г>, ги — произвольные неассоциативные слова. Всюду далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать все векторные пространства и их тождества внутри ¿-многообразия Л.

В связи с примерами НКБ-алгебр, приведенными в различных классах алгебраических систем, нами была поставлена следующая задача.

Задача 1. Построить примеры конечномерных векторных пространств минимальной размерности, вложенных в ассоциативные алгебры и не имеющих конечного базиса тождеств.

Ввиду условия локальной конечности, в классе линейных алгебр понятие СББ-алгебры может рассматриваться только для линейных алгебр над конечным полем [2]. Нами введено понятие сильно бесконечно базируемой или сильно не конечно базируемой алгебры (сокращенно СНКБ-алгебры), являющееся некоторым аналогом существенно бесконечно базируемых алгебр для произвольного поля. А именно, рассмотрим тождества Капелли

= X] (-1)аги(х<т(1)^х(т[2), ■ ■ ■ ,^а[п)<У1,У2, ..-,Ук) = 0

и обозначим через Сар(п) = Уаг(СпШ' = 0|го € Р{Х) - неассоциативное слово) — многообразие линейных алгебр, удовлетворяющих всевозможным тождествам Капелли С^ = 0 для фиксированного п. Многообразие линейных алгебр такое что ОТ С Сар (к) при некотором к, будем называть сильно бесконечно базируемым, если любое многообразие Ш, удовлетворяющее условию ОТ С Ш С Сар(п) для некоторого п, не имеет конечного базиса тождеств. Алгебру А назовем сильно бесконечно базируемой, если многообразие Уаг>1 является СНКБ-многообразием. Аналогично можно рассматривать сильно

бесконечно базируемые векторные пространства, вложенные в произвольные линейные алгебры. Отметим, что любая конечномерная линейная алгебра (конечномерное векторное пространство, вложенное в линейную алгебру), содержащая в качестве подалгебры сильно бесконечно базируемую алгебру (векторное пространство), сама не имеет конечного базиса тождеств. Таким образом, конечномерные СНКБ-алгебры задают в классе линейных алгебр серию НКБ-алгебр.

Также понятие существенно бесконечно базируемых (сильно бесконечно базируемых) векторных пространств можно рассматривать внутри Л. Отметим, что если векторное пространство, вложенное в ассоциативную алгебру, бесконечно базируемо (существенно бесконечно базируемо, сильно бесконечно базируемо) внутри ¿-многообразия Л, то оно обладает этим же свойством внутри класса всех векторных пространств, вложенных в линейные алгебры.

Задача 2. Построить примеры:

а) существенно бесконечно базируемого (сильно бесконечно базируемого) конечномерного векторного пространства;

б) конечномерного векторного пространства, вложенного в ассоциативную алгебру, не имеющего конечного базиса тождеств и не являющегося существенно бесконечно базируемым (сильно бесконечно базируемым);

Задача 3. Описать конечномерные сильно бесконечно базируемые векторные пространства, являющиеся ассоциативными алгебрами с единицей.

Задача 4. Найти условия, при которых произвольное векторное пространство, вложенное в ассоциативную алгебру, имеет конечный базис тождеств.

Задача 5. Выяснить, задаются ли тождества классов векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры, либо в алгебры Ли, конечным набором тождеств, выполняющихся в этих классах.'

В связи с примерами шести- и пятимерных НКБ-алгебр из многообразия ф = Уаг(х(уг) = 0), построенными Ю.Н. Мальцевым, В. А. Парфеновым и И. В. Львовым, была сформулирована следующая задача.

Задача 6. Построить пример алгебры из многообразия ф, не имеющей конечного базиса тождеств, размерность которой меньше пяти.

В 1993 году И. П. Шестаков в «Днестровской тетради» поставил вопрос о существовании центральной простой конечномерной алгебры над полем нулевой характеристики, не имеющей конечного базиса тождеств [1].

Задача 7. Построить пример центральной простой конечномерной алгебры над произвольным полем, тождества которой не задаются конечным набором тождеств.

Задача 8. Построить пример центральной простой коммутативной конечномерной алгебры над полем нулевой характеристики, тождества которой не задаются конечным набором тождеств.

Цель работы. Данная работа посвящена решению задач 1-8.

Методы исследования. В работе используются методы и результаты теории многообразий линейных алгебр, структурной теории колец и теории Р1-алгебр.

Основные результаты. Основные результаты диссертационного исследования заключаются в следующем:

1) построены примеры конечномерных НКБ-пространств минимальной размерности, вложенных в ассоциативные алгебры; построены примеры СББ-пространства и СНКБ-пространства, вложенного в ассоциативную алгебру; описаны конечномерные СНКБ-пространства над полем нулевой характеристики, являющиеся ассоциативными алгебрами с единицей; доказана конечная базируемость тождеств некоторых классов векторных пространств; доказано, что тождества классов векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры, либо в алгебры Ли, не следуют из конечного набора тождеств, выполняющихся в этих классах;

2) построены новые примеры конечномерных НКБ-алгебр из многообразия ф = Уаг(а:(уг) = 0); построен пример центральной простой конечномерной НКБ-алгебры; построен пример централь-

ной простой коммутативной конечномерной НКБ-алгебры над полем нулевой характеристики.

Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в виде статей как в отечественных, так и в зарубежных журналах [19]-[23], а также в материалах конференций [24]—[35]. Статьи [19, 20, 23] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего исследования тождеств векторных пространств, вложенных в линейные алгебры, для описания различных классов векторных пространств, а также для исследования вопросов конечной базируемости тождеств некоторых классов неассоциативных линейных алгебр. Кроме того, результаты работы могут быть использованы при чтении специальных курсов по теории многообразий линейных алгебр и по теории Р/-алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории колец кафедры алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета (Барнаул, 2008-2009 гг.); на семинаре по теории колец кафедры алгебры и методики обучения математике Алтайской государственной педагогической академии (Барнаул, 2010-2014 гг.); на международной конференции по теории колец, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Ширшова (Новосибирск, Институт математики СО РАН, 2011 г.); на международной конференции «Фундаментальные науки и образование» (Бийск, АГАО, 2012 г.); на семинаре по теории колец им. А. И. Ширшова Института математики СО РАН (Новосибирск, апрель 2012 г.); на международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, Алтайская государственная педагогическая академия, Алтайский государственный университет, 2010, 2012, 2013 гг.); на международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, Институт мате-

матики СО РАН, 2010, 2012, 2013 гг.); на семинаре «Алгебраические системы» кафедры алгебры и дискретной математики Уральского федерального университета (Екатеринбург, май 2014 г.); на семинаре «Алгебра и логика» Института математики СО РАН (Новосибирск, май 2014 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем диссертации составляет 98 страниц. Список литературы, приведенный в конце работы, содержит 73 наименования.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Каждая из глав диссертации разбита на параграфы. В конце введения приведен список обозначений, которые используются на протяжении всей работы. Нумерация утверждений (предложений, лемм, теорем и следствий) сквозная внутри главы. Утверждения занумерованы двумя числами: первое соответствует номеру главы, а второе - порядковому номеру утверждения в данной главе.

Каждый параграф имеет следующую структуру: в начале параграфа формулируется основной результат, доказываемый в данном параграфе, потом формулируются и доказываются вспомогательные утверждения (если в них есть необходимость), после чего приводится доказательство основного результата. Далее формулируются следствия из доказанного результата. Если основных результатов несколько, то указанная схема повторяется необходимое количество раз. Номер каждого параграфа состоит из двух чисел: первое соответствует номеру главы, а второе - порядковому номеру этого параграфа в текущей главе.

Первая глава посвящена исследованию вопросов конечной ба-зируемости тождеств векторных пространств внутри класса Л ассоциативных векторных пространств (кроме теоремы 1.13 в параграфе § 1.5 и § 1.6, в которых рассматриваются произвольные векторные пространства).

В параграфе §1.1 приведены определения и обозначения, используемые в первой главе, а также сформулированы и доказаны некоторые вспомогательные утверждения.

В параграфах §§1.2-1.3 строятся примеры конечномерных векторных пространств, не имеющих конечного базиса тождеств, а также примеры конечномерных существенно бесконечно базируемых и сильно бесконечно базируемых векторных пространств. Основными результатами этих параграфов являются следующие утверждения.

1. Векторное пространство Е = (е11,е12,езз,е4з)р над произвольным полем Е не имеет конечного базиса тождеств (теоремы 1.1 и 1.2).

2. Векторное пространство Т2(Е) = (еп, е12, е22)Р над произвольным полем Е является СНКБ-пространством; в частности, пространство Т2(Е) не имеет конечного базиса тождеств (теоремы 1.3, 1.4, 1.7).

3. Векторное пространство Т2{ОЕ(ц)) = (еп, е12, е22}СР(1?) над конечным полем 6^(17) является СББ-пространством (теорема 1.6).

4. Векторное пространство Е0 = (ец + ех2, е22)Р над полем Е нулевой характеристики является СНКБ-пространством; в частности, векторное пространство Е0 не имеет конечного базиса тождеств (теоремы 1.5 и 1.8).

5. Подпространство Е2 = {ец,е12,езз,е4з)^ алгебры матриц М3(^) не является СНКБ-пространством и СББ-пространством в случае конечного поля (теорема 1.9).

Во всех построенных примерах явно указаны бесконечные базисы тождеств соответствующих векторных пространств внутри А. Поскольку любое одномерное векторное пространство имеет конечный базис тождеств внутри Л, векторное пространство Е0 имеет минимальную размерность среди НКБ-пространств.

В §1.4 получено описание конечномерных СНКБ-пространств, а также конечномерных КБ-пространств, являющихся ассоциативными алгебрами с единицей.

Теорема 1.11. Пусть А - конечномерное векторное пространство над полем F нулевой характеристики, являющееся одновременно ассоциативной F-алгеброй с единицей. Векторное пространство А имеет конечный базис тождеств внутри А тогда и только тогда, когда ГдСР) 2 УагЬА.

Теорема 1.12. Пусть А - конечномерное векторное пространство над полем Р нулевой характеристики, являющееся одновременно ассоциативной Р-алгеброй с единицей. Векторное пространство А сильно бесконечно базируемо внутри А тогда и только тогда, когда Г2(^) е УатьА.

В §1.5 получены условия, при которых произвольное векторное пространство (вложенное в ассоциативную алгебру) имеет конечный базис тождеств.

Теорема 1.13. Векторное пространство V над полем Р, вложенное в ассоциативно-коммутативную Р-алгебру, имеет конечный базис тождеств.

Теорема 1.14. Векторное пространство V над полем Р, вложенное в произвольную (не обязательно ассоциативную) нильпотентную Р-алгебру, имеет конечный базис тождеств.

Теорема 1.15. Пусть V - векторное пространство над полем F нулевой характеристики, вложенное в ассоциативную Р-алгебру. Если V удовлетворяет одному из тождеств [х,у)г = 0 или х[у, г] = 0, то оно имеет конечный базис тождеств.

В большинстве предыдущих теорем речь шла о тождествах ассоциативных векторных пространств. Нами был исследован вопрос конечной базируемости тождеств классов Л и £ ассоциативных и лиевых векторных пространств соответственно.

Теорема 1.16. Тождества Ь-многообразия А векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры, не следуют из конечного набора тождеств, выполняющихся в этом Ь-многообразии. Теорема 1.17. Тождества Ь-многообразия С. векторных пространств, вложенных в алгебры Ли, не следуют из конечного набора тождеств, выполняющихся в этом Ь-многообразии.

Вторая глава посвящена построению примеров конечномерных неассоциативных линейных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств.

В параграфе §2.1 приведены основные обозначения, используемые во второй главе, сформулированы основные определения. Помимо этого, доказаны леммы о связи тождеств неассоциативных алгебр из многообразия ф = (х(уг) = 0) с тождествами векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры.

В параграфе §2.2 на основе лемм 2.1 и 2.2 и результатов предыдущей главы доказаны следующие факты:

1. Алгебра А = У®Е, где V = (ииь2,у3,у4)г и Е = (еп, е12, е33,

и ненулевые произведения базисных элементов определяются правилом VI ■ ец = у, (1 < г, j < 4), не имеет конечного базиса тождеств (теоремы 2.1 и 2.2).

2. Алгебра А = = (иь и2, еи, ег2, е22)^, где ненулевые произведения базисных элементов определяются правилом ■ еУ = уз (! < г < 3 < 2), является СНКБ-алгеброй; в частности, алгебра А не имеет конечного базиса тождеств (теоремы 2.3-2.5).

3. Алгебра А = <г;ьг;2,еп + е12,е22)Р над полем Р нулевой характеристики является СНКБ-алгеброй; в частности, алгебра А не имеет конечного базиса тождеств (теоремы 2.6 и 2.7).

4. НКБ-алгебра А = (и1,и2.1>з,и1,еп,е12,езз,е4з)^ не является СНКБ-алгеброй и СББ-алгеброй в случае конечного поля (теоремы 2.8 и 2.9).

Во всех построенных примерах явно указаны бесконечные базисы тождеств соответствующих алгебр.

Отметим, что в пункте 3 построен пример четырехмерной неассоциативной НКБ-алгебры. Ранее был известен пример пятимерной неассоциативной НКБ-алгебры [4].

Основным результатом параграфа § 2.3 является следующее утверждение.

Теорема 2.10. Пусть В = (1, иь ь2, е1Ь е12, е22,р)Р ~ алгебра над произвольным полем Р, где 1 - единица и ненулевые произведения базисных элементов, отличных от единицы, определяются следующими правилами: = у2р = 1. Алгебра В является простой центральной Р-алгеброй, не имеющей конечного базиса тождеств.

В частности, если char F = 0, теорема 2.10 дает положительный ответ на вопрос И. П. Шестакова [1, вопрос 3.103].

Параграф § 2.4 продолжает исследование вопроса И. П. Шестакова в случае коммутативных алгебр. Доказана справедливость следующего утверждения.

Теорема 2.11. Пусть С = (1, vu v2, е1Ь е12, е22, p)F - алгебра надполем F нулевой характеристики, где 1 - единица и ненулевые произведения базисных элементов, отличных от единицы, определяются следующими правилами: vieij = eijVi = Vj, v2p = pv2 = 1. Алгебра С является простой центральной коммутативной F-алгеброй, не имеющей конечного базиса тождеств.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту Исмаилу Мусаевичу Исаеву за постановку задач, постоянное внимание к работе и чуткое научное руководство. Автор также искренне благодарит профессора Ю. Н. Мальцева за конструктивную критику и полезные обсуждения, и заведующего кафедрой алгебры и методики обучения математике Алтайской государственной педагогической академии доцента Ю.А. Мото-ринского за всестороннюю помощь и поддержку.

Список литературы

[1] Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. 4-е изд. Новосибирск: ИМ СО РАН. 1993. 73 с.

[2] Исаев И. М. Существенно бесконечно базируемые многообразия алгебр // Сибирский математический журнал. 1989. Т. 30. №6. С. 75-77.

[3] Львов И. В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тождеств // Сибирский математический журнал. 1978. Т. 19. №1. С. 91-99.

[4] Мальцев Ю. Н., Парфенов В. А. Пример неассоциативной алгебры, не допускающей конечного базиса тождеств // Сибирский математический журнал. 1977. Т. 18. №6. С. 1420-1421.

[5] Мурский В. Л. О числе /с-элементных алгебр с одной бинарной операцией без конечного базиса тождеств // Проблемы кибернетики: 1979. Т. 35. №1. С. 5-27.

[6] Мурский В. Л. Существование в трехзначной логике замкнутого класса с конечным базисом, не имеющего конечной полной системы тождеств // Доклады АН СССР. 1965. Т. 163. №4. С. 15-18.

[7] Полин C.B. О тождествах конечных алгебр // Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17. №6. С. 1356-1366.

[8] Размыслов Ю. П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Сибирский математический журнал. 1973. Т. 12. №1. С. 83-113.

[9] Сапир М. В. Проблемы бернсайдовского типа и конечная базиру-емость в многообразиях полугрупп // Известия АН СССР. 1987. Т. 51. №2. С. 319-340.

[10] Сапир М. В. Существенно бесконечно базируемые конечные полугруппы // Математический сборник. 1987. Т. 133. №2. С. 154166.

[11] Freese R., McNulty G.F., Nation J.B. A modular inherently nonfinitely based lattice // Algebra Universalis. 2006. Vol. 55. №2-3. pp.119-125.

[12] Freese R., McNulty G.F., Nation J.B. Inherently nonfinitely based lattices // Ann. Pure Appl. Logic. 2002. Vol. 115. №1-3. pp. 175193.

[13] Lyndon R. C. Identities in finite algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1954. Vol. 5. №1. pp. 8-9.

[14] McKenzie R. Tarski's finite basis problem is undecidable // Intemat. J. Algebra Comput. 1996. Vol. 6. №1. pp. 49-104.

[15] Perkins P. Bases of equational theories of semigroups // Journal of Algebra. 1969. Vol. 11. №2. pp. 293-314.

[16] Perkins P. Inherently non-finitely based finite algebras // Abstracts Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 1. №6. p. 507.

[17] Tarski A. Equational logic and equational theories of algebras // Contributions to Math. Logic (Colloquium, Hannover, 1966). North-Holland, Amsterdam. 1968. pp. 275-288.

[18] Vaughan-Lee M. R. Laws in finite loops // Algebra Universalis. 1979. Vol. 9. №3. pp. 269-280.

Работы автора по теме диссертации

[19] Кислицин А. В. О тождествах пространств линейных преобразований над бесконечным полем // Известия Алтайского государственного университета. 2010. №1/2(65). С. 37-41.

[20] Исаев И. М., Кислицин А. В. Пример простой конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств / / Доклады Академии наук. 2012. Т. 447. №3. С. 252-253.

[21] Isaev I.M., Kislitsin А. V. An Example of a Simple Finite-Dimensional Algebra with No Finite Basis of Identities // Doklady Mathematics. 2012. Vol. 86. №3. pp. 774-775.

[22] Isaev I.M., Kislitsin A. V. Example of simple finite dimensional algebra with no finite basis of its identities // Communications in Algebra. 2013. Vol. 41. №12. pp. 4593-4601.

[23] Исаев И.М., Кислицин А. В. Тождества векторных пространств и примеры конечномерных линейных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. 2013. Т. 52. №4. С. 435-460.

[24] Исаев И. М., Кислицин А. В. О тождествах пространств линейных преобразований // Мальцевские чтения: тезисы докладов международной конференции по математике (Новосибирск, 2-6 мая 2010 г.) [Электронный ресурс]. Режим доступа:

http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/10/abstracts.pdf. -С. 109.

[25] Исаев И. М., Кислицин А. В. О тождествах пространств линейных преобразований малых размерностей // Тезисы международной конференции по теории колец, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Ширшова (Новосибирск, 14-18 июля 2011 г.). Новосибирск: Институт математики СО РАН. 2011. С. 44-45.

[26] Исаев И. М., Кислицин А. В. Базис тождеств пространства верхних треугольных матриц второго порядка // Сборник научных

статей межрегиональной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае». 2010. 1 ч. С. 29-34.

[27] Исаев И.М., Кислицин A.B. О бесконечно базируемых векторных пространствах // Материалы 13-й региональной конференции по математике «МАК-2010» (Барнаул, июнь 2010 г.). Барнаул: Изд-во АлтГУ. 2010. С. 23-24.

[28] Исаев И.М., Кислицин A.B. О тождествах пространств линейных преобразований небольших размерностей // Материалы 14-й региональной конференции по математике «МАК-2011» (Барнаул, июнь 2011 г.). Барнаул: Изд-во АлтГУ. 2011. С. 12-13.

[29] Исаев И.М., Кислицин A.B. О тождествах векторных пространств, вложимых в ассоциативно-коммутативные алгебры // материалы I международной научно-практической конференции «Фундаментальные науки и образование» (Бийск, февраль 2012 г.). Бийск: ФГБОУ ВПО «АГАО». 2012. С. 72-73.

[30] Исаев И.М., Кислицин A.B. О вложениях бесконечно базируемых векторных пространств в конечно базируемые // Материалы 15-й региональной конференции по математике «МАК-2012» (Барнаул, июнь 2012 г.). Барнаул: Изд-во АлтГУ. 2012. С. 16-17.

[31] Исаев И.М., Кислицин A.B. О тождествах векторных пространств малых размерностей // Сборник научных статей международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае» 2012. 1 ч. С. 216-218.

[32] Кислицин A.B. Пример центральной простой коммутативной конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств // Мальцевские чтения: тезисы докладов международной конференции по математике (Новосибирск, 12-16 ноября 2012 г.) [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/12/ malmeet_2012.pdf. С. 112.

[33] Кислицин A.B. О конечной базируемости конечномерных векторных пространств // Сборник научных статей международ-

ной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае». 2013. 1 ч. С. 95-100.

[34] Исаев И. М., Кислицин А. В. Тождества векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры // Мальцевские чтения: тезисы докладов международной конференции по математике (Новосибирск, 11-15 ноября 2013 г.) [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/13/ malmeet_2013.pdf. С. 131.

[35] Кислицин А. В. О конечной базируемости тождеств некоторых классов векторных пространств // Мальцевские чтения: тезисы докладов международной конференции по математике (Новосибирск, 11-15 ноября 2013 г.) [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/13/ malmeet_2013.pdf. С. 132.

Кислицин Алексей Владимирович

ТОЖДЕСТВА ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ВЛОЖЕННЫХ В ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ, И ПРИМЕРЫ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР, НЕ ИМЕЮЩИХ КОНЕЧНОГО БАЗИСА ТОЖДЕСТВ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 18.07.2014 г. Объем 1,1 уч.-изд. л. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ №1764. Отпечатано в типографии «Концепт», 656049, г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85, т./ф.: (3852) 36-82-51, concept-print.ru

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

На правах рукописи

04201460503

Кислицин Алексей Владимирович

ТОЖДЕСТВА ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ВЛОЖЕННЫХ В ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ, И ПРИМЕРЫ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР, НЕ ИМЕЮЩИХ КОНЕЧНОГО БАЗИСА ТОЖДЕСТВ

(Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

кандидат физико-математических наук,

доцент Исаев Исмаил Мусаевич

Барнаул - 2014

Содержание

Введение 3

1 Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры 25

1.1 Основные определения и вспомогательные утверждения....................25

1.2 Базисы тождеств некоторых ассоциативных векторных пространств . . 34

1.3 Сильно бесконечно базируемые векторные пространства. Существенно бесконечно базируемые векторные пространства..............................50

1.4 Сильно бесконечно базируемые векторные пространства над полем нулевой характеристики, являющиеся алгебрами с единицей....................58

1.5 Некоторые условия, влекущие конечную базируемость тождеств векторных пространств..................................................................63

1.6 Тождества векторных пространств, вложенных в неассоциативные алгебры 68

2 Примеры конечномерных линейных алгебр, не имеющих конечного

базиса тождеств 71

2.1 Основные определения и вспомогательные утверждения....................71

2.2 Связь тождеств векторных пространств с тождествами алгебр многообразия Полина........................................................................75

2.3 Пример центральной простой конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств........................................................80

2.4 Пример центральной простой коммутативной конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств..........................................82

2.5 Некоторые следствия............................................................88

Список литературы 91

Работы автора по теме диссертации 96

С

Введение

Актуальность темы. Одним из способов изучения алгебраических систем является изучение их тождеств. Напомним, что тождеством универсальной алгебры сигнатуры £ называется формула вида ... хп)(/ = д), где /, д - термы от х\, Х2, ■ ■ ■, хп. Класс алгебр называется многообразием, если существует такая совокупность бг тождеств сигнатуры Е, что 9Л состоит из тех и только тех алгебр сигнатуры £, в которых выполняются все тождества из С [16]. Тождества алгебр изучались в 1935 году Г. Бирк-гофом [34]. В этой работе он рассматривает понятие многообразия алгебр и доказывает знаменитую теорему о том, что класс алгебр является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений алгебр.

Также понятие тождества рассматривалось в конкретных классах алгебр. В 1937 году Б.Х. Нейман изучал тождества групп [48]. М. Холл в 1943 году рассматривал тождества колец [39]. В его работе доказано, что если тело I) удовлетворяет тождеству [[а;, у)2, г] = 0, то И является либо полем, либо алгеброй обобщенных кватернионов над своим центром. И. Ка-планский в 1948 году показал, что примитивная ассоциативная алгебра, удовлетворяющая любому полиномиальному тождеству, изоморфна алгебре матриц над телом I), причем И конечномерно над своим центром [41].

Если рассмотреть алгебру А некоторой сигнатуры то множество тождеств алгебры А, из которых следуют все тождества этой алгебры, называется базисом тождеств алгебры А. По-видимому, впервые понятие базиса тождеств алгебры появилось в 1950 году работе Ш. Амицура и Я. Левицкого при изучении тождеств минимальных степеней ассоциативных алгебр [32]. А. Тарский в 1956 году доказал, что минимальные многообразия ассоциативных колец порождаются либо простым полем либо кольцом с нулевым умножением характеристики р и нашел базисы тождеств этих многообразий [55].

Если базис тождеств алгебры А конечен, то алгебру А называют конечно базируемой (или короче, КБ-алгеброй). В противном случае говорят, что алгебра А бесконечно базируема или не конечно базируема (коротко: НКБ-алгебра).

Ш. Оутс и М. Б. Пауэлл показали, что любая конечная группа имеет конечный базис тождеств [49]. И. В. Львов [15] и Р. Крузе [42] независимо доказали конечную базируемость тождеств конечного ассоциативного кольца.

Одной из центральных задач при исследовании вопросов конечной ба-зируемости тождеств ассоциативных линейных алгебр является проблема, сформулированная в 1950 году В. Шпехтом [53]: будет ли произвольная ассоциативная алгебра над полем нулевой характеристики иметь конечный базис тождеств? Привлечению внимания к этому вопросу способствовали работы В.Н. Латышева [12, 13], в которых проблема Шпехта положительно решалась в различных классах ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. В 1987 году проблема Шпехта положительно решена А. Р. Кем ером [9]. В случае бесконечного поля положительной характеристики существуют примеры линейных ассоциативных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств [1]. Подробный обзор вопросов, связанных с проблемой Шпехта, приведен в работе А. Я. Белова [2].

Важным направлением в изучении многообразий, порожденных конечными алгебрами, является построение конкретных конечных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств. Одной из центральных задач при изучении тождеств конечных алгебр является проблема, сформулированная в 1966 году А. Тарским [54]: будет ли множество всех конечно базируемых конечных алгебр фиксированной сигнатуры, содержащей по крайней мере одну двуместную операцию, рекурсивно (т. е. существует ли общий алгоритм, позволяющий определить, имеет или нет конечная алгебра конечный базис тождеств)? В 1984 году Р. МакКензи показал, что проблему Тарского достаточно решить в классе группоидов [44], а в 1996 году решил

проблему Тарского отрицательно [45]. Однако, проблему Тарского можно изучать в конкретных классах конечных алгебр. Ясно, что эта проблема имеет содержательный смысл лишь в тех классах конечных алгебр, в которых существуют как КБ-алгебры, так и НКБ-алгебры Поэтому важным направлением в изучении многообразий алгебр является построение примеров конкретных конечных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств Примеры таких алгебр приводились в различных классах алгебраических систем.

Так, в классе группоидов пример неассоциативного группоида из семи элементов, удовлетворяющего тождеству х(yz) = 0 и не имеющего конечного базиса тождеств, был построен в 1954 году Р. Линдоном [43]. В 1965 году В. Л. Мурский построил пример трехэлементного НКБ-группоида [21]. П. Перкинс в 1969 году привел пример шестиэлементной полугруппы, не имеющей конечного базиса тождеств [50]. Пример конечной лупы, тождества которой не задаются конечным набором, приведен М. Р. Воон-Ли в 1979 году [56]. C.B. Полин в 1976 году для любого конечного поля F построил пример неассоциативной конечной линейной алгебры из многообразия ф = Var(x(yz) = 0), тождества которой не задаются конечным набором тождеств [24]. Построенный пример является первым примером конечной линейной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств, показывающий, что теорема Львова-Крузе о конечной базируемости тождеств любого конечного ассоциативного кольца не справедлива в случае произвольного неассоциативного кольца (линейной алгебры над конечным полем).

В 1977 году Ю.Н. Мальцевым и В. А. Парфеновым построен пример неассоциативной пятимерной алгебры, принадлежащей многообразию ф, над полем нулевой характеристики, не имеющей конечного базиса тождеств [19] И. М. Исаев в 1997 г. построил пример конечной алгебры (конечного кольца) из многообразия ф, которая не имеет независимого базиса

тождеств [40]. t

I

| I ,

5

ь

' 1V

) > tj\

. ' ' '

} 'v 1

it HiiiI ii

Важным объектом при изучении конечных алгебр являются существенно бесконечно базируемые алгебры и многообразия алгебр. Напомним, что локально конечное многообразие алгебр называется существенно бесконечно базируемым (коротко: СББ-многообразием), если любое локально конечное многообразие алгебр, его содержащее, не имеет конечного базиса тождеств. Алгебра называется существенно бесконечно базируемой, если она порождает СББ-многообразие. Из этого определения следует, что любая конечная алгебра, содержащая в качестве подалгебры некоторую СББ-алгебру, сама не имеет конечного базиса тождеств. Таким образом, конечная СББ-алгебра определяет в классе алгебр целую серию НКБ-алгебр.

Первые примеры СББ-группоидов приведены В. Л. Мурским в 1979 году [20] и П. Перкинсом в 1980 году [51]. М. В. Сапир в 1987 году показал, что мультипликативная полугруппа В\ = {0,1, ец,е^, егъ 622}, рассмотренная П. Перкинсом [50], существенно бесконечно базируема [29]. Дж. МакНалти и К. Шеллон в 1983 году сформулировали вопрос о существовании в классе конгруэнц-модулярных алгебр конечной алгебры, порождающей СББ-многообразие [46]. В классе колец и линейных алгебр пример конечной СББ-алгебры привел в 1989 году И. М. Исаев [8], получив тем самым положительный ответ на вопрос МакНалти и Шеллон. М. В. Сапир в 1987 году получил полное описание негрупповых СББ-многообразий полугрупп [30].

Р. Фриз, Дж. МакНалти и Дж. Нейшн в 2002 году указали метод построения СББ-решеток [38]. Этими же авторами в 2006 году построен пример существенно бесконечно базируемой модулярной решетки [37]. Дж. МакНалти, 3. Секей и Р. Уиллард в 2008 году рассмотрели понятие эквацио-нальной сложности многообразия алгебр. А именно, сложностью /Зэя(п) многообразия Ш называется наименьшее целое положительное число I такое, что любая алгебра В мощности п принадлежит многообразию ШТ, если каждое тождество длины, не превосходящей которое выполняется в Ш, будет тождеством в В [47]. В работе приводится метод оценки верхней и нижней границ роста эквациональной сложности. Также в этой работе

доказано, что не существует многообразий СББ-полугрупп, эквациональ-ная сложность которых ограничена константой. Отметим, что конечная алгебра А, для которой Дд ограничена константой (21 - многообразие, порожденное алгеброй А), будет либо конечно базируемой, либо существенно бесконечно базируемой [35].

В 1978 году И.В. Львов построил пример конечномерной неассоциативной алгебры V = V®Е (здесь V - конечномерное векторное пространство, Е - пространство линейных преобразований пространства V) над полем Р, тождества которой не задаются конечным набором тождеств [14]. Ясно, что V 6 ф. Всякое тождество алгебры V = V ф Е эквивалентно (по модулю х(уг) = 0) конечной системе тождеств вида НХ2,..., 11Хп) = 0, где

/(х1, Х2,.. ■, хп) - тождество векторного пространства Е, Ях - оператор правого умножения на элемент х в свободной алгебре многообразия ф [14].

В 1973 году Ю.П. Размыслов при описании тождеств алгебры матриц второго порядка ввел понятие слабого тождества ассоциативно лиевой пары (Л, Ь) (здесь Ь - алгебра Ли, А - ее ассоциативная обертывающая алгебра), т.е. ассоциативного многочлена /(#1,#2, • • • >хп)-> который обращается в нуль в алгебре А при подстановке вместо переменных любых элементов из Ь [26].

Понятие слабого тождества, введенное Размысловым для ассоциативно лиевых пар, может быть естественно расширено для более общей ситуации. Рассмотрим пару (В,Р), где В - линейная алгебра, Е - множество операций, производных от основных операций алгебры В и Р - подмножество Б, замкнутое относительно операций Е. Слабым тождеством пары (В, Р) назовем такой многочлен из абсолютно свободной алгебры, который обращается в нуль в алгебре В на элементах алгебры Р. В частности, когда Р = Ь - алгебра Ли и В = А - ее ассоциативная обертывающая, получаем ассоциативно лиеву пару и ее слабое тождество.

Пусть далее Е - векторное пространство, являющееся подпространством линейной алгебры А. Будем называть тождеством векторного прост-

ранства Е (вложенного в линейную алгебру А) слабое тождество пары (А,Е), т.е. такой неассоциативный многочлен /(х1,х2,---,хп) £ -Р^РО, что /(ех, е2,...,еп) = 0 в алгебре А при всех е\, е2,еп Е Е.

Пусть С С Е(Х) - подмножество абсолютно свободной алгебры. Класс всех пар (Л, Е) (Е - подпространство линейной алгебры А, причем А как линейная алгебра порождается пространством Е), в которых выполняются все тождества вида д = 0, где д пробегает будем называть Ь-многообразием, заданным множеством тождеств Если 6? - множество тождеств пары (А, Е), где Е - подпространство линейной алгебры А, причем А как линейная алгебра порождается пространством Е, то Ь-многообразие, заданное множеством тождеств 6?, будем называть Ь-много-образием векторных пространств, порожденным векторным пространством Е и обозначать Уаг¿Е.

Идеал 7 абсолютно свободной алгебры Е(Х) будем называть Ь-идеалом, если он замкнут относительно подстановок вместо переменных их линейных комбинаций. Совокупность всех тождеств векторного пространства, вложенного в линейную алгебру, образует Ь-идеал алгебры Е(Х). Напомним, что Т-идеалом абсолютно свободной алгебры Е(Х) называется такой идеал I <\ Е(Х), что для любых многочленов /(а^, • • •, € I, 01, 02, • • • , Фп £ Е(х) выполняется /(01, 02, ■ • • , Фп) £ I- Ясно, что совокупность всех тождеств некоторой линейной алгебры образует Т-идеал свободной алгебры Е(Х).

Необходимо отметить, что различные обобщения понятия Т-идеала уже рассматривались рядом авторов. Так, А. В. Гришин исследовал вопросы конечной базируемости Т-пространств, т. е. линейных подпространств свободной счетнопорожденной ассоциативной алгебры Е[х 1,ж2,...] над полем Р, замкнутых относительно подстановок вместо переменных любых элементов этой алгебры [4, 5]. Примером Г-пространства служит подпространство .Р[сс1, Х2, ■ ■. ], порожденное центральными многочленами ассоциативной алгебры.

М. Ашенбреннер и К. Хиллар рассматривали понятие симметрического идеала свободной ассоциативно-коммутативной алгебры, т. е. такого идеала, который инвариантен относительно перестановок переменных. В их работе показано, что любой симметрический идеал свободной ассоциативно-коммутативной алгебры над нетеровым коммутативным кольцом с единицей конечно порожден как симметрический идеал [33].

Н. Г. Наджарян доказал, что Т-идеал свободной ассоциативной алгебры с единицей над полем нулевой характеристики, порожденный полилинейным длинным коммутатором, конечно порожден как ¿-идеал [22, теорема 2.2]. В. Н. Латышев отметил справедливость этого утверждения для свободной ассоциативной алгебры без единицы над полем нулевой характеристики [11].

Рассмотрим ¿-многообразие Л ассоциативных векторных пространств, т.е. векторных пространств, в которых выполняются все тождества ассоциативности вида (иу)и) = и(уи>), где и, V, т - произвольные неассоциативные слова. Всюду далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать все векторные пространства и их тождества внутри ¿-многообразия Л.

В связи с примерами НКБ-алгсбр, приведенными в различных классах алгебраических систем, нами была поставлена следующая задача.

Задача 1. Построить примеры конечномерных векторных пространств минимальной размерности, вложенных в ассоциативные алгебры и не имеющих конечного базиса тождеств.

В ходе решения этой задачи нами были построены примеры четырех-, трех- и двумерного векторных пространств над произвольным полем, вложенных в ассоциативные алгебры и не имеющих конечного базиса тождеств [57, 62, 63, 64, 65]. Поскольку любое одномерное пространство имеет конечный базис тождеств [61, 67], минимальная размерность пространства, не имеющего конечного базиса тождеств, равна двум.

Ввиду условия локальной конечности, в классе линейных алгебр понятие СББ-алгебры может рассматриваться только для линейных алгебр над конечным полем [8]. Нами введено понятие сильно бесконечно базируемой или сильно не конечно базируемой алгебры (сокращенно СНКБ-алгебры), являющееся некоторым аналогом существенно бесконечно базируемых алгебр для произвольного поля. А именно, рассмотрим тождества Капел-ли = £ (—1)аги(ха(1),ха(2),ха{пу,УъУ2, ■ ■ ■, Ук) = 0 и положим

Сар(п) = Уаг(С^ = 0|ги 6 Е(Х) - неассоциативное слово) - многообразие линейных алгебр, удовлетворяющих всевозможным тождествам Ка-пелли С^ = 0 для фиксированного п. Многообразие линейных алгебр ОТ, такое что ОТ С Сар(/г) при некотором к, будем называть сильно бесконечно базируемым, если любое многообразие Ш, удовлетворяющее условию ОТ С Ш С Сар(п) для некоторого п, не имеет конечного базиса тождеств. Алгебру А назовем сильно бесконечно базируемой, если многообразие Уаг А является СНКБ-многообразием. Аналогично можно рассматривать сильно бесконечно базируемые векторные пространства, вложенные в произвольные линейные алгебры. Отметим, что любая конечномерная линейная алгебра (конечномерное векторное пространство, вложенное в линейную алгебру), содержащая в качестве подалгебры сильно бесконечно базируемую алгебру (векторное пространство), сама не имеет конечного базиса тождеств. Таким образом, конечномерные СНК