Наборы операторов в гильбертовом пространстве, связанных соотношениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академия, паук У1фаиш Ияотптут математики

На аравах рукипиаи (

I ' , •

У „ '

БЕСПАЛОВ Юрий Николаевич

НАБОРУ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ, СВЯЗАННЫХ (ХЮТНОШЕНИЯШ

OI.OI.OI - матвматииский анализ

АвIIр « 4Iр а I

диссертации ив с в нежа ли« учвяв.а стеши* кандидата $изик1-шт»матичаскыс наук

К« «в - 1992 '

. Раб»та выполнена в отдела ^упкцивналышгв анализа Института

матоматихи АН'Украшш,' % ■ '

, > . — /' _ -

Научнай руководитель: цактор физикэ-матаматичвских наук,

воцуций ваучннй-свтрудник САМ0.1ЛЕНК0 Ю.С.

' *. • « _ *

- Официальны« «пионепты: / цзктср ^измо-матвматичвскц^с наук,

' * профессор ДРОЗД ю;а.,

^ кандидат физикз-штештическпх наук *-

- ВАШШКДАН Л.И. .

Ведущая зргоиизация: • Институт'тевратической §пзшш АН-Украина.

I '

-Запита свотоится "/Я'" 19э/г. в часов' •

па заседании спвциадпзир«вапы»'го оовгга Д 016.50.01 цри Институт« маташтвки АН Украина ив адресу: 252601, Кмв.4, ГСП, ул. Рвшва, 3.

С диссертацией ыожл« ознакомиться в библиотоко ияотитута.

■■Г/ » а/^^сУ;* 199 г;

Авт»р«фврат разослав

/

Учений оокрегарь * .

специализированно!;» сов«та Гусак Д;В.-

/

РОССЫ&*.ХАЯ ' - -чГ."' Б! - -

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальное^ теми. *-алгебра (инволютивная алгебра) - эта napa, саотоявдя из унитальнай алгебры Лг над полам С и инволюция - отображения * : / — У , удовлетворявдега условиям

íV/WV, (<*V а для любых

; . Представлением х-алгвбрн называется

гомоморфизм, согласованный о инвалвдией, этой алгебры в алгебру

УЗ/У/ ограниченных оператарзв в комплексном гильбертовом пространства // (или в некоторую другую инвалютивную алгебру, вооб-15а говоря, неограниченных операторов в пространстве Р ).

Рассмотрим некоторые классы *-алгебр, для которых основные задачи теории представлений решались ранее: I) « <[¿'xJ - алгебра полиномов о одним самосопряженным образующим лг'г ir , Задачу унитарной хлааою|шсации представлений такой алгебры ограниченными (неограниченными) операторами решает спектральная теорема дли одного ограниченного (неограниченного) самосопряженного оператора;

, 2) Jf- * ÍCC,1 - групповая алг«бра о инволщиеН

где Q - дискретная группа. Категории унитарных представлений группы Q и представлений. * -алгебры <CC(jl эквивалентны. Унитарные представления групп интенсивно изучаются на протяжении около IOO лат, начиная с классических работ Ф.Г.Фробениуса 1896-ISOI гг.;

3) изучение представлений групп Jh¡ во 1 jorou сводится к исследованию представлений их алгебр Ли. О послзцних могшо говорить в терминах х-алгебр - нх унивэрсалыш обортиваюцих. Еэярпвэпсмуз представления жзмппктннх групп - конечномерны. В случая иекомяакг-них групп Ля пуки а рассматривать представления ях плгчбг; Ли м-ч;1-

раничвнными операторами. Простейший пример - алгебра канонических коммутационных соотношений

4 - £<p>iW<ifyp+i) , s-/> f H ,

не. имевшая представлений огравичвнними операторами;

4) теарвя представлений бесконечномерных групп (групп петель, индуктивных пределов конечномерных, группы диффеоморфизмов окружности) тесно связана со * -представлениями соответствующих бесконечномерных алгебр Ли (алгебр Каца-Муди, Вирасоро и т.д.). Отметим такке -градуированные алгебры Ли, интерес к ¥-представлениям которых связан с суперсимметричными моделями в физике;

5) бесконечные наборы самосопряженных операторов, связанных соотношениями коммутации, антикоммутации и близких к ним рассматривали LÇfaJin] , 4. V'tjUmn (1954), И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин (1961), Ю.М.Березанский (1976), Ю.С.Самойленко (1984) и др. Такие наборы возникают при рассмотрении физических систем с бесканочнш числом степеней свободы.

Ивтерео к более ипроким классам -алгебр возник в последам десятилетие в связи с кеентовш методом обратной задачи (Е.К. Склянин, Л.А.Гахгаджан, Л.Д.Фадцввв, 1979) и появлением затем понятия квантовой группы (Дрин^ельд В.Г. (1985), Ttmio M. (1985), Wî и«^ S. L. (1987)); дальнейшим применением их к точно решаемым моделям математической физики, в теории специальных функций (см., например, Н.Я.Виленкин, А.У.Климык, I99X) и др. Значительное число работ связано с изучением представлений квантовых групп.

Отметим результаты, лзгическкг'нопосредственно предшествовавшие настоящему исследованию. В 1982-83 гг. Е.К.Склянин в сеязи с рвЕвнивм квантового уравнения Янга-Бакстера рассмотрел цвупара-к:тр;:'1ескэв семейство -*-алгебр. (В вырожденном случав это се-

шйстве совпадает о однородной формой квантовой алгебры C^(iul2))), Для этих алгебр он построил три серии представлений, включая деформацию неприводимых представлений вдя Su(z) . A.M. Вершин (I984J «брацал впимаппа на важность исследования квадратичных алгебр и кх представлений, приводил ряд примеров, исследовал структуру и * -представления некоторых алгебр.

B.JU Островский, Ю.С, Сашйленко U9a«J исследовала представления «-алгебр с двумя самосопряженными оОразуицимп X;* х" , I - /,г, и одним самосопряженным соотношением второго порядка

21 ъг; . Z + а ~ О , Alf * <г <

Проведена'классификация таких "некоммутативных квадрик" на ведает-венной плоскости 1Л) канонических цорм). В каждом из 14 невырожденных случаев получено полное описание неприводимых. представлений, вообие говоря, иезгранпчетшми операторами, доказаны структурные теоремы.

Представления отдельных х-алгебр, заданных образукцими и соотноиениши, и их сеиайств изучали Z.L. ^¡etcncwcj в «гэ ученики, К. SmZJ^cn , М, X/fftf , ряд киевских математиков и др.

Пель работы, I, Выделить новые естественные с точки зрения теории представления классы алгебр.

2. Развить методы иссладованпя представлений *-влгвбр^

3. Исследовать представления некоторых классов конечнопорождеиннх *-алгебр, отличных ог групповых и универсальных вбертнващях:

определить типы фактор-представлений ("рутязсть" - "дихясть"), в "ручном" случае описать классн унитарной эквивалентности п»арпяи-дшнх препстаанниа, доказать структурные теоремы й т.д.

Нстэшта иослсяованип. В рабе те используется техника "систем импримитивности", развитая Q. Mackty (1949-52) для случая индуцированных предо таила ний групп, а также различные ее модификации и частичные обобщения ("коммутативные модели", "метод динамических систем"), относящиеся к целому ряду работ ао теории представлений. Вся они ссяпвапн па том, чтобы свести изучение представлений * -алгебры d к рассмотрению се пздалгобры Ла в иекотзрогз действия группа (полугруппа) или некоторого зтизпенпя на спектре этой подалгебры.

Удобным оказывается расширить класс задач (апалзгично точу, как это делалась в теории конечномерных ассоциативных алгебр) и рассматривать представления к-категорий. Например, представление jr алгебра , спектр которого прп ограничении на подалгебру дискретен, моsuо рассдатривать как представление *-категории, объекты когврой - точки спектра, А<>

Ночная новизна. теоретическая и практическая ценность." В диссертации излажена основные понятия и конструкции, связанные с представлениями *-алгебр и ^—категория.

ЕдилазбразгшЯ подход к известным задачам унитарной класси^п-глцня а) наборов подпространств (зртзцрзектзров), б) алгабрапчес-intx операторов, в) представлений некоторых свободных инволютивпых г: г л чапав позволил исследовать представления конкретных * -алгебр с двумя образуп'шп.

Развита техника индуцированных представлений jura скрзценных лт-'.'ппвпдсмпй *-алгебр с конечными группами автоморфизмов. Для г:-?гк ^-алгебр, mci.'va збцез рас^прелнз, мекду категориями их иг:т'.с'.'агдсниЯ строитпд гага сзпрпженних '{унктзрзЕ. Эти категории мззчз гослецзтчзтъ гда^врсмилз.

С'-?Я.чтвч r.c* y.cicjfi рлгебри 1'(Ш?)] , пзстрзолкос

Е.К. Скдпшшш, параметризуются эллиптической кривой и точкой на Heil. Для алгебр, соответствующее тачкам второго порядка, получена полная унитарная классификация представлений.' Эта обобщает и уточняет результата A.M. Верцнка, O.A. Кругляка.

Вацелвнц и изучены пекотзриа класси соотношения для наборов ортапроектзрзв (лшю flaue, бплппайные пнвиопшегркчниа).' Такие сз-атпашния, в частпзстп, овязапц о некзтзршли лзвшп нвадратичннш алгебрами Пуатсара-Бпркгз<ра-Внтга.

Результаты, связанные о "методом динамических систем" для сз-втнзиенпй вица Aß Bf (А) , где А - оимасзпрякетшИ оператор (набор коммутирующих самосопряженных операторов), обобцепи на балео широкий класс "полулинейных соотношений":

i

Последние возникают в теории ортогональных полиномов, между генераторами некоторых гппергрупп.

Агшзбаипя рабзтп. Результат дошадшзалиоь на спилах пз теории операторов: Boponeis Ц990), Ульяпавок tl990J, Нижний Новгород (1991), па контрагент по теории представлений: Киев (1991), на семинарах пз теории представления в Института математике и Институте теоретической <{пэпки АН Украины.

Публикации, По тема диссертации опубликовала 7 pay»? [i-7] . Результаты оошестной работ tl] абзбцены в диссертации. В совместной работе [4 J автору 'принадлежат результат о раз:!«рнзот;к непршзадкмцх представлений, чпеть результатов, евпзпшкк сз'спз^т-рз.шш.га характеристиками представлений.

Структура п объе:; работ:1.. Диссертация состоит из лгчдт.'пя, Р. параграфов, разбитых на 14 пупятзп, списка лгтзргтури из 82 извяипй, указателя обозначений. Сбье" работы - 110 стрямиц к*, а *•»•»-птснзго текста.

-6-

II. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во ввецшнии дается обзор исследований по тематике диссертации, обоснование актуальности работы, кратким перечень основных результатов.

§1. Основные конструкции.

Определяются основные понятия, связанные с представлениями *-алгебр. Аналогично случаю унитарных представлений групп строится категория представлений х -алгебры зС ограниченными операторами в гильбертавих пространствах (наряду с этим мы рассматриваем категории представлении соотношений, в которых участвуют функции из более широкого класса, чем полиномы). Однако, эта категория не замкнута относительно бесконечных прямых суш. Вложить ее в более широкую категорию (Л-) , содержащую всевозможные прямые суммы, можно, рассматривая представления в локальных гильбертовых пространствах (прецлзквннв 1.1).

Коммутант ТМ)' представления (алгебра эндоморфизмов течки У в ЛМ} ) является неймановской алгеброй. Говорим, что 4 - "ручная", если т~0Н' имеет тип I вдя всех представлений 7Г, Л - "дикая" - в противном-случае.

ГНС-конструкция устанавливает взаимно однозначное соответстие между положительными функционалами на алгебре и представлениями с отмеченным циклическим.вектором. Она позволяет также задать топологию на спектре л (множестве классов унитарной эквивалевтности неприводимых представлений) алгебры Л (предложения 1.2-1.4).

С локально компактной группой бионически связывается групповая С*-алгебра с теми же категорией представлений и дуальным объектом. Мы связываем с каждой *-алгеброй объект более широкой категория локальных С*-алгебр, строя левый сопряженный к забы-

вавдему функтору из последней категории в категорию -алгебр (теорема 1.1).

Удобно расширить класс задач и наряду с представлениями Ч- -алгебр рассматривать представления y-категорий, распространяя на этот случай перачиоленные ваше конструкции.

Представления ,4-алгебр неограниченными операторами возникают в данной работе эпизодически. Поэтому ми ограничиваемся лишь кратким перечислением основных понятий, связанных о этой темой.

§2. Эквивалентность некоторых задач теории представлений.

В пункте 2.1 определяются два различных отношения эквивалентности на классе ч-алгабр ( ^-категорий): алгебраическая эквивалентность категорий представлений, как абстрактных ^-категорий, я проотранотвавявя, которая задается с помощью унитарных операторов макну соответствующими пространствами представлений. Исследуя представления 5?онкретнэй ч-алгебрн ( f-катвгзрии), ми будем заменять ее некоторой новой * -алгеброй ( категорией) (используя полярное разложение, функции от коммугирувдего семейства овмосспряжанных операторов, Морита-пригедеяие категории) так, чтобы при этом можно было задать эквивалентность (алгебраическую или пространственную) категорий гас представлений.

В пункте 2.2 т иллюстрируем этот подход конкретными примерами.

Задачу унитарной классификации пар подпространств рассматривали С. Tare/art (1875) в конечномерном слзчае, L Ъня-ег <1948), CL Odi'/J (1958), ГЛ. Afmtf (1969) и ряд друГ юс автэрзв в бвкэнвчномзрном. fatoJuz/j построили обертывандуп ¿."'-алгебру для пары ортопрзекгзрэя. Дикость задачи унитарной классификации троек ортопрэектзрзч fc" Р, пэказана Кругляком С.А., Самойленкэ B.C. (1980). Ькетятн-

тность задач унитарной классификации <т-к подпространств в & с условием н ж ,■■ + и представлений некоторого сво-

бодного инволптивного колчана показал $</»</ег (1988).

Пусть Я* ( ^ ) - категория наборов подпространств , /»■/,/» таких, что # - / « -А (^ + .„ + ) и сплетавдих операторов, /¿£ ( ^ )

категория ограниченных (замкнутых) алгебраических операторов - корней фиксированного полинома без кратных корнай, ( ) - категория представлений свободного и.чво-лютивного колчана с п точками и парами сопряженных стрелок между любыми двумя различными точками,ограниченными (замкнутыми) операторами. Сведущие теоремы дополняют перечисленные выше результаты.

лТ /уЯ"

Теорема 2.1. Категории л , л- ш к пространственно эквивалентны. __

Теорема 2.2. При 2 категории ^ , Я* , пространственно эквивалентны.

Приводятся "патологические" примеры, показывающие, почему теорема 2.2 не верна при л & 3" .

В.Л.Островский, Ю.С.Самойленко (1988) описали представления * -алгебр с двумя самосопряженными образувдиш и соотношениями второго порядка. Результаты, излоканныа в §2, а также использование техники индуцированных представлений (§3) позволяют рассмотреть некоторые примеры соотношений более высокого порядка.

§3, Индуцированные представления.

При рассмотрении модулей над ассоциативными алгебрами (унитарных представлений групп) наличие у функтора ограничения представлений на подалгебру (подгруппу) левого сопряженного функтора зв'^лы основного кольца (индуцирогания с подгруппы) играет ваг.-

ную роль. Рассматривается ситуация, когда функтор ограничения представлений со V-алгебры ^ на * -подалгебру имеет сопряженный.

Пусть - ^-алгебра, £ : Ст—* Аы^ Ж - действие на

ней автоморфизмами конечной группы С, ( , ,

подгруппа отождествлена с помоцыэ мономорфизма

/}•. Сщ СГ(Дв) с некоторой подгруппой по умножению унитарных элементов алгебры так, что (¡с/

<Х€ А> . Определим по этим данным новую алгебру .

• являющуюся факторалгеброй скрещенного произведения Я^Х ?/<? <т ) по соотношениям > ¡¡с С. Алгебру ¿4. отождествим с подалгеброй ъ Л . Инволюция однозначно продолжается с Д, на Л- так, чтобы при этом

Предложение 3.1. Функтор : ограни-

чения представления на подалгебру имеет левый сопряженный функтор ^(¿е)—* ЯМ) индуцирования с подалгебры.

Замечание 3.1. Т.к. НМд) , ЯСД) - *-категории (т.е. в них имеются естественные антилинейные изоморфизмы

Нет (^ сг //р/п ), ш можем считать любой из

функторов или левым сопряженным, а второй,

соответственно, - правым.

Ряд свойств функтора ¿лс/ такой же, как в случае представлений групп: справедливы принцип сквозного индуцирования, критерий индуцированности, теорема Макки (прецлохвния 3.2-3.3).

Тезрема 3.3. Алгебра ^ - "ручная" тогда и только тогда, когда ¿4а - "ручная".

В срецлокешш 3.4 описывается связь между классами унитарной эквивалентности неприводимых представлений У*, и / з простой-

шем случае, кагца J} = A £ ^ . Если ври этом А » <£ <*,£>/f/A),

-алгебра, порожденная алгебраическим элементом Я - корнем вещественного полинома / , dejflsZ , а неединичный элемент

действует на образующем а •-» с** , то Л { ) -"ручная" тогда и только тогда, когда s. В этой ситуации мы описываем неприводимые представления , избегая вычислений.

Изучение некоторых алгебр с двумя самосопряженными образующими x-z* , можно сваоти к охшсапному выше случаю:

а) алгебра -"дикая" (сводитоа к случаю, когда У ,

б) С^У^х+^х-м) , К, fii* & - нР5Чвад" («а св-ответствует полином ^¿/-¡/¿{¿t^-if, />£?).

Пусть * -алгебра J} , ^ , Аг таковы, что

А А

тогда имеете^, пара сопряженных функторов

-

Наличие такой связи между ^ и позволяет исследовать ка-

тегории представлений этих алгебр одновременно. В частности, J)t -"ручная" тогда и только тогда, когда J(t - "ручная". В иункге 3.2 рассмотрены примеры пар ^--алгебр такого вида: а) Д, ц-(ы(и);

л - -г,

(lc/LCj(*L f ta\ f - группа матриц Паули. Аналогично, в качестве можно взять алгебры Скляаина (см. §4). Соответствующие им алгебры принадлежат к некоторому классу ал-

гвбр (см. §5), изучение которых сводится к рассмотрению наборов ортопроекторов, связанных дополнительными соотношениями. На У^ -( ) действует группа Клейна К "а , изменяя знаки

у некоторых из образующих. Это действие переносится на ( ). Мекду орбитами и /ч/К устанавливается биекция такая,

что для ТГе & представление о- прямая

сумма представлений из соответствующей орбиты из , в наоборот;

С/'^ - прямое произведение нескольких экземпляров групп

матриц Паули. Алгебры такого вида изучались Ю.С.Самойленко

(1984). Его подход может рассматриваться как частный случай предложенной техники.

§4. Представления эллиптических алгебр.

Е.К.Склянин (1982-83) в сеязи с квантовым методом обратной задачи построил семейство деформаций однородной формы алгебры у(!и(г)) , параметризующееся комплексным тором и вещественной точкой на нем:

(е ((/¿я, , , ¿=

Савтношения между эллиптическими функциями, через которые вырана-■ ются параметра З^^К , накладывают иа них дополнительное ограничение ++ ¿¡с^Л =0 . Он построил 3

серии представлений для'этого семейства. Вопрос об унитарной классификации неприводимых представлений не рассматривался. Эта задача решалась затем А.М.Вершиком (1984) и А.С.Круглякам (1984) для случая Тп={, * -1 , ', Э.В.Вайслабом (1990)

для случая Х-<7 • Последний случай содержит в качестве под-

семсйства однородную $орму "квантовых" алгебр Ц.(№(2)) , изучавшихся многими авторами.

о Ми решаем задачу унитарной классификации неприводимых представлении для алгебр, соответствующих точкам второго порядка на торе, т.е. когда } Т/ с? .С точностью

до автоморфизма есть две возможности (в зависимости от циклического порядка (¿,-/,7) ): (А) , ^и'З? ; (В) Зи={; -В ибоих перечисленных случаях коммутируют между собой, а для X*V: = ¿¡Х^/Й'Двыполнены соотношения = ^¿(Х)?^ где ¡^ - некоторые линейные операторы на У . Операторы ^ порокцают дискретную подгруппу в ¿¡1(У) : в случав (А), ¿Г* х^) в случае (В). Действие на двойственном пространстве у* имеет измеримое сечение, поэтому совместный спектр операторов, соответствующих , <г = при неприводимом представлении, дискретен и содержится в некоторой орбите этого'"действия. Таким образом,изучение неприводимых представлений свелось к рассмотрению некоторых *-категорий, чьи точки - элементы орбиты. Далее все сводится к исследованию колец эндоморфизмов точек категорий, имеющих достаточно простой виц. В случае (А) неприводимые представления имеют размерности 1,2,4 (*еорема 4.1), т.е. такие же,как и в частном случае, рассматривавшемся А.М.Вершиксм и А.С.Кругляком. В случае (В) неприводимые представления,кроме того, могут иметь любую нечетную размерность, либо бкть бесконечномерными (теорема 4.2).

И.ВЛередник (1985), А.В.Одесский, Б.Л.Фейгин (1989) построили более обиие семейства алгебр (в частности, деформации

С)) ), также параметризующиеся точками комплексного тора. В случае торов, сзответствущпх прямоугольной репеткш, и

вещественных точек эти алгебрц попускают инволюцию, тождественную на образувдих. В пункте 4.2 рассматривается алгебра из этого семейства с минимальным числом образуют*: ■£=* £*;

у, *>/^¿-¿г-Э, у'-г'-уху-??*) ; Если для алгебр Склянина самосопряженные представления, при которых центральному элементу соответствует ограниченный оператор, реализуются ограниченными операторами, то в последнем случае представляют интерес тленно представления неограниченными операторами. Ш рассматриваем неприводимые представления лшь при некоторых значениях параметра р .

§5. Некоторые классы * -алгебр с соотношения«! второго порядка и наборы ортопроекторов, связанных соотношениями. О наборах подпространств % (ортопроекторов % ) в этом параграфе нам удобнее говорить в терминах самосопряженных операторов Й; - -1 , являющихся корнями из единицы:

. Для пары операторов Я,-=, г*',2, имеется спектральная теорема а представлении ее в виде прямого интеграла неприводимых, одномерных и двумерных. Задача унитарвой классификации-троек г , даже если

1Я,,Я11=0 - "дикая". лЬ рассматриваем некоторые классы # -алгебр с соотношениями второго порядка, при изучении представлений которых возникают наборы операторов Л/ -связанных дополнительными соотношевпями: линейными, билинейными антисимметричными.

В пункте 5.1 рассматриваются квадратичные алгебры с образующими Т1,, и однородными симметричными ( )

¥ V

соотношениями

В пространстве ¿)/г кээффгниевтоз #(" выделяется

плотное в топологии Зарисского подмножество. Об алгебрах, коэффициенты которых принадлежат атовд подмножеств?, говорим, что ■¿на находятся в "общем долзЕенци".

Теореш 5.1. Для алгвбрн "в общем положении":

1) £ - ШВ-алгебра (т.е. имеет рад Пуанкаре такой ке,как з алгебры многочленов);

2) если коэффициенты Ск вецесгвешш, то неприводимые прецста-

*

вления а? как *-алгебры с инволюцией эг4 а хс имеют размерности не вше 2.

В качестве примера применения аредндувдй теореш рассматривается семейство *-алгебр, кэторыа после факторизации по идеалу, порожденному центральным элементом, могут быть записаны в терминах. образующих жч*, г;»// ^"¿'"-///г , связанных /^-лу/ однородными лпнеШнши соотношениями.

В пункте 5,2 рассматривается неоднородный аналог таких соотношении. Задача унитарной классификации неприводимых четверок операторов , ¡* с£$ , связанных соотношением

¿Л - 4/ ,

применением спектральной творены для вар и ^Л/

сводится к оаисавию врбвт некоторого действия на .

К рассмотрению таких четверок сводится задача описания представлений алгебры

возникавшей в пункте 3.2; алгебры

аг^гуанх-х' У*/>

являетейен частным случаен алгебр из пункта 4.2. Неприводимые представления последней алгебры не более чем двумерны.

В пункте 5.3 рассматривается некоторый класс квадратичных алгебр, часть соотношений которых симметрична, часть - антисвы-

мегрична. Выделяется подмножество алгебр общего положения. Дяя них доказывается теорема 5.3, аналогичная теоре?ле 5.1. Алгебры, возникающие в пункте 3.2 при рассмотрении алгебр Склшшна, принадлежат вашему классу. Однако,условие того, что опк находится в общем положении, имеет вид 7ц *■ Ъг + + ^ч ^н^ & . Рассматривается гримеры алгебр, из находящихся в обдам шшкеаии. В частности, мы получаем другим путем результат Э.Е.Вайслеба з "дикости" алгебр Склянина при некоторых значениях параметров.

§6. Наборы операторов, связанных полулинейными .соотношениям. Результаты этого параграфа получены в совместной работе . Если оператор & связан с с амэ с о праве иным оператором Л (набзрзм коммутирующих самосопряженных операторов ^ * )

соотношением вида

М = ,

, Я),

то существует восходящий к ¿г- Млс/чгу (1949-52) метзд изучения лары А ¡В (семейства А , ¿5 ). В ряде работ для таких пар построены модели, при дополнительных ограничениях , или

, или А - нормальный, или Я - ¿^-нормальный ( = 4} ), описаны неприводимые представления, доказаны

структурные теоремы.

Ми рассматриваем более общий класс "полулинейных" сззтвзие-

НИЙ 2 ЬШьМ'Ш), 1*1

где д- ^ I - борёлевские кзмалекснозначныа функции. Рассмотрение неоднородных соотношений сводил к однородным ( 4-0 ), С последними связываем "характеристическую функцию"

и характеристическое бинарное отношение

-IS-

катзрэв можно рассматривать как множество дуг ориентированного графа.

о В пункте 6.2 рассматривается случай, когда спектр оператора fi дискретен. Собственным числам Я; оператора А отвечают иодврэстранства . Оиератар S имеет вид ) отно-

сительно разложения. Следующее предложение сводит задачу описания пар №/&) к изучению представлений графа F .

Предложение 6.2. Дяя того, чтобы пара {А,Я) удовлетворяла полулинейному соотношению,необходимо и достаточно, чтобы блзк-матрица (была сосредоточена на щюкестве П0-¿ij (т.е. ti^ ~ О при / À-, 4 Г )•

Вводится понятие носителя представления (подграф графа Г , точкам и ребрам которого соответствуют ненулевые пространства и операторы) и размерности (функции на точках и ребрах). Для случая, когда S - самосопряженный, достаточно просто решается вопрос о "ручности" задачи, получено описание размерностей и носителей нв-вривоцимых представлений. Условие унитарности /i*~ в 1 задает более сложные соотношения в графе. В этом случае более подробно рассмотрены конечномерные представления.

В пункте 6.3 рассмотрен обций случай, когда спектр А не обязательно дискратон. Пусть - спектральная мера оператора / , ' - борелевское множество. Будем говорить, что опера-тар /3 сосредоточен на К относительно (или относительно А ), если в Ejf/YJ - О для любых борелевских подмножеств А>, Уе/f таких, что не пересекает К .

Теорема 6.2. Если A, S удовлетворяют полулинейному соотношению, тз б. сосредоточен на графе F отого соотношения относительно ,4 .

Верно лишь частичное обращение ovoro утверждения (теорема 6.3),

I • , • •/ .

-Г?- ■ : .

например, когда Г "локально устроено", как график фушсцпп. Основные результаты, связанные с этим воцросом, получили- Атьс&п УЛ. (1974)', Б.С. Шулылая'-(1988-90);

Вопросу "ручности" соогпзпепг.Я с произвольным Я , с само- ■ соцрпженним Я решается аналогично случаю с дискретным спектром.' Построена модель.' , ч - ■

Фиксируется спектральный тип оператору А ч (класс эквивалент-« ности спектральных мер* £^(•) )..В ряде теорем устанавливается

связь между существованием неприводимых, полных (без тривиальных

-

подпрздставлениП) представлений и эргодичностью, квазпипварпангвос- -

, I

тью спектрального типа. При этом, т.к. мы шласм дело с отношением вместо функции, используются понятия лево-, право-, двусторонней квазиинвариантной, эргодпче'ской меры.

На основании общих результатов, о пространствах Лебега показы- ..

- *

Бается существование разложения представления в прямой интеграл представлений с эргодпческой спектральной мерой I У ■

Автор выражает благодарность своему научному руководителю * • . Юрию Стефановичу Самойлепко за постоянное внимание к работа,

Виктору Семеновичу Щульману за интересное введение в круг вопро-

евв, касающихся содержария последнего параграфа диссертации;

Основные положения диссертации Опубликованы в следующих работах: .

1. Беспалов Ю.Н., Самойленко Ю.С. Алгебраические операторы,!] пары с а сопряженных операторов, связангёих полияоммльцим свотигпе-нием // Фуякцкон. анализ* и ег? прил. - 1991. •» 25, вып.. 4. -

■ С. 72-74. ' . '' . -

2. 5еспалзв Ю.Н. О сзмзсзпряЛзнних-прсдстпвланипх алгебр Скллнищ // Укр. :.'ат. Ч'рп. - 1991. - 43, Л II. - С. 1507-1574.

• ~ "ч- .

3. Беспалов Ю.Н. Наборы артопрзекторзв, .связанных соотношениями // Укр. мат. хурн. - 1992. - 44, tf 3. - С. 309-317.

• Беспалов Ю.Н., Самойленко Ю.С., Пульман B.C. О наборах операто-.рзв, связанных полулинейными соотношениями // Применение мето-'дав функционального анализа в'математической физике. - Киев: Ин-т"математики АН УССР, 1991. - С. 28-51.

5. Беспалзв Ю.Н, Представления некоторых рнвзлютивных алгебр // ХУ всвс?юз. шк. по теории операторов в функцизн. пространствах, ■Ульяновск, &-I2 сенг. I990_jJ.:„1ез. дэкл. - Ульяновск, 1990.

С. 37. '

»

6. Беспалов Ю.Н. О ^-представлениях эллиптических алгебр Скляни-ыа // ХУ1 всесзюз. шк. пз теории операторов в функцион. пространствах, Нижний Нзвгорзц, 13-20 свят. 1991 г.: Таз. дакл. - '

_ , Никлиа Нввгзрвд, 1991. - С. 21.

Бвспалав Ю.Н. Метод индуцированных представлений для инволютив-( пых алгабр // IX коллоквиум "Современный групповой анализ. Ме-

тоды в дрхаакввия", Нижний Новгород, 24-30 июня 1992 г.; Тез. д»кд. - Ни*ний Навгарзд, 1992. - С. II.

- П«дп. в п«<; 21.08.92. Формат 6Gx84/jDS. Бумаге тип. Офс. мчать;' Усл. пвч.-лI 1,16.'Усл. кр.-атт. 1,16,_Уч.-изд. л. 1,0. Тара* 100 вкз. Зак. Z ЪН . Баспяатна.'

Падготзвлма -и атпачатата в Института ыатаматикп АН Украина

• - "

252601 Клав 4, ГСП, ул. Репина, 3

•л

а

О