Q-коммутируемость линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского

Ахрамович Максим Вячеславович

УДК 517.98

(^-КОММУТИРУЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005555335

2П ¡:0Я ¿ОН

Симферополь - 2014

005555335

Диссертация на правах рукописи.

Работа выполнена в Таврическом национальном университете им. В.И. Вернадского Министерства образования и науки Российской Федерации, г. Симферополь

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Муратов Мустафа Абдурешитович, Таврический национальный университет им. В.И.Вернадского, г. Симферополь, кафедра математического анализа.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Проскурин Данила Павлович, Киевский национальный университет им. Т.Г. Шевченко, г. Киев, кафедра исследования операций;

доктор физико-математических наук, профессор Шульман Виктор Семенович, Вологодский государственный университет, г. Вологда, кафедра высшей математики.

Защита состоится «№» (ЮОЗЙрЗ 20года в «/£» часов на заседании специализированного ученого совета К 52.051.10 при Таврическом национальном университете им. В.И. Вернадского по адресу 295000, г. Симферополь, просп. Вернадского, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таврического национального университета им. В.И.Вернадского по адресу: г. Симферополь, просп. Вернадского, 4.

Автореферат разослан «0#» Н20 ¡4 г.

Ученый секретарь

специализированного ученого совета К 52.051.10

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача классификации наборов линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V, с точностью до преобразования подобия, — одна из самых старых задач линейной алгебры и в общем виде является безнадежной уже для пары операторов. Поэтому вполне естественно накладывать на наборы операторов определенные условия и рассматривать вопрос о классификации при их выполнении. Одним из таких условий является следующее квадратичное соотношение:

Р2{А, В) = ci А2 + с2АВ + с3ВЛ + с4В2 + с5Л + с^В + с71 = О,

где А и В — произвольные линейные операторы, действующие в конечномерном векторном пространстве V, а старшие коэффициенты — комлексные числа, удовлетворяющие неравенству:

I Cl I2 + I С2 I2 + I с3 I2 + I с4 |2> 0.

Известно, что если пространство V конечномерно, то с помощью аффинной замены переменных данное квадратичное соотношение может быть сведено к одному из следующих канонических видов:

1. А2 = 0.

2. А2 = I.

3. А2 + В = 0.

4. АВ = дВА.

5. АВ + I = qBA.

G. [А, В] = А.

7. [А, В] = А2.

8. [А, В]= А2 +1.

9. [А, В} = А2 + В.

Большинство из этих соотношений рассматривалось в работах многих авторов (например, в работах С.А. Кругляка, Ю.С. Самойленко, В.Л. Островского и др.).

В диссертационнной работе исследуется соотношение ^-коммутируемости

АВ = qBA.

Частным случаем этого соотношения является условие коммутируемости АВ = В А.

И.М. Гельфандом и В.А. Пономаревым (1969 г.) было показано, что задача о каноническом виде пары коммутирующих линейных операторов (А, В) содержит подзадачу о каноническом виде любого конечного числа произвольных линейных операторов (Ах,..., Ап) без дополнительных соотношений. Поэтому попытка непосредственного нахождения канонического вида пары коммутирующих операторов (А, В), с точностью до преобразования подобия, не имеет смысла, то есть является «дикой» задачей. Ю.А. Дроздом (1972 г.) была доказана «дикость» задачи классификации пары коммутирующих нильпотентиых операторов А, В : А2 = В3 = 0, связанных соотношением АВ2 — 0.

В данной диссертационной работе доказывается «дикость» задачи классификации пары (/-коммутирующих линейных нильпотентиых операторов (А, В), Л3 = В3 = 0, действующих в конечномерном векторном пространстве и удовлетворяющих соотношению (аА2 + /ЗАВ + 7В2)2 — 0. Также доказывается, что если индекс нильпотентности оператора Л равен 2: А2 = В3 — 0. ВА = яАВ, 9 е С, <] ф 0, АВ2 = 0, то задача классификации остается «дикой».

Задача классификации наборов операторов рассматривается не только в конечномерных, но и в бесконечномерных векторных и гильбертовых пространствах.

Если Т и 5 — ограниченные самосопряженные линейные операторы, дей ствующие в произвольном гильбертовом пространстве Н и связанные соотношением ТБ = (¡БТ, 17 € С, то можно показать, что параметр ц равен 1 или — 1. Таким образом, в этом случае ^-коммутируемость пары ограниченных самосопряженных операторов сводится к их коммутируемости или антикоммутируемости.

Если операторы Т и 5 ограниченные, тогда они коммутируют (антиком-мутируют) тогда и только тогда, когда для каждого вектора х € Н, имеет место равенство

ТБх = БТх (ТБх = -БТх).

Если операторы Т и Б неограничены, то понятие коммутируемости (ан-

тикоммутируемости) нельзя вводить непосредственно, так как возможен, например, случай, когда Э(Г) П *Л(5') = {0}.

Если линейные операторы Т и S принадлежат какой-нибудь *-алгебре операторов, то возникает вопрос о связи между коммутируемостью (антикоммутируемостью) этих операторов как операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н, и коммутируемостью (антикоммутируемостью) этих операторов как элементов этой алгебры.

Теория операторных алгебр берет свое начало с цикла работ Дж. фон Неймана и Дж. Мюррея «On rings of operators» (1936, 1937, 1940, 1943 гг.), в которых были рассмотрены слабозамкнутые алгебры линейных операторов, получившие в дальнейшем название алгебр фон Неймана.

В 1953 г. И. Сигал рассмотрел *-алгебру S(M) измеримых операторов, присоединенных к произвольной алгебре фон НейманаМ, в которой два самосопряженных оператора коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют соответствующие им спектральные проекторы. Впоследствии было показано, что *-подалгебры S(M,r) в S(M) всех г -измеримых операторов, ассоциированные с точным нормальным полуконечным следом г на М, тоже обладают этим свойством.

В дальнейшем появились *-алгебры LS(M) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М. При этом имеют место следующие вложения:

М С S(M) С LS(M).

В алгебрах S(M) и LS(M) измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М, область определения любого оператора из алгебры является сильно плотным множеством (любое сильно плотное множество плотно). Так как пересечение сильно плотных множеств также является сильно плотным множеством, то естественной и актуальной является задача изучения ^-коммутируемости операторов в этих *-алгебрах.

Каждый измеримый (локально измеримый) оператор является замкнутым оператором. Поэтому в алгебре S(M) (LS(M)) рассматривают сильную сумму T + S = T + Su сильное произведение Т ■ S = TS операторов. М.А. Муратовым и Ю.С. Самойленко (2007 г.) было показано, что два самосопряженных измеримых оператора Т и S коммутируют тогда и только

тогда, когда они коммутируют как элементы *-алгебры 8(М). Аналогичный результат был получен для локально измеримых операторов.

В данной диссертационной работе рассматривается антикоммутируемость самосопряженных измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к произвольной алгебре фон Неймана М. Доказывается, что измеримые (локально измеримые) операторы Т и 8 антикоммутируют тогда и только тогда, когда они антикоммутируют как элементы алгебры в(М) (Ь8(М)).

В 1950 г. Б. Фуглидом было доказано, что если А — нормальный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, то для любого оператора В е В(Н) из равенства ВА = АВ следует, что В А' = А*В. В 1951 г. К.Р. Путна.м обобщил теорему Фуглида на случай двух нормальных операторов. В дальнейшем теорема Фуглида-Путнама неоднократно рассматривалась для различных классов операторов и имеет многочисленные приложения в функциональном анализе, спектральной теории операторов, матричном анализе и др. *-Алгебры операторов, в которых выполняется теорема Фуглида-Путнама, были названы РТ-алгебрами.

В данной диссертационной работе рассматриваются аналоги теоремы Фуглида-Путнама в алгебре ЕБ(М) локально измеримых операторов, присо-единеных к алгебре фон Неймана М. Доказано, что если алгебра М не имеет прямого слагаемого типа II, то *-алгебра Ь8(М) является РТ-алгеброй (напомним, что любая алгебра фон Неймана разлагается в прямую сумму алгебр фон Неймана типов I, II, III). В частности , показано, что некоммутативная алгебра Аренса

Ь"(М,Ф) = Р)1/'(М,Ф),

р>1

где М — конечная алгебра фон Неймана, Ф: М Z(M.) — центрозначный след, 1/(М, Ф) — некоммутативные /,р-пространства, ассоциированные с М и Ф, р ^ 1, является РТ-алгеброй. Для ¡шгебр фон Неймана М типа II получен вариант теоремы Фуглида для нормальных операторов изЬ8(М).

Связь работы с научными программами, планами, темами. Работа выполнялась в рамках госбюджетных тем и плановых исследований кафедры математического анализа Таврического национального университета имени В.И. Вернадского «Операторные методы в начально-краевых спек-

тральных и экстремальных задачах» (номер государственной регистрации 0106Ш01753), «Применение операторных методов в задачах математической физики, механики сплошных сред и теории массового обслуживания» (номер государственной регистрации 011111000643).

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является исследование ^-коммутируемости линейных операторов как в конечномерных векторных пространствах, так и в гильбертовых пространствах.

Задачами исследования диссертационной работы являются:

- доказательство «дикости» задачи классификации пар линейных ниль-потентных операторов, действующих в конечномерном векторном пространстве и связанных соотношением ^-коммутируемости;

-- исследование антикоммутируемости измеримых и локально измеримых самосопряженных операторов как элементов алгебр в(М) и ЬЭ(М);

-- изучение РТ-свойства в конечномерных алгебрах с неточной инволюцией;

- рассмотрение аналогов теоремы Фуглида в алгебре Ь8(М) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М.

Объект исследования. Линейные операторы, связанные соотношением ^-коммутируемости, действующие в конечномерных векторных и бесконечномерных гильбертовых пространства-х.

Предмет исследования. Классификация пар ^-коммутирующих линейных нильпотентных операторов, действующих в конечномерном векторном пространстве. Антикоммутируемость самосопряженных линейных операторов в *-алгебрах Э(М) и Ь8(М) измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М. РТ-свойство в конечномерных алебрах с неточными инволюциями. Аналоги теоремы Фуглида в алгебре ЬЗ(М).

Методы исследования. При исследовании ^-коммутируемости линейных операторов в конечномерных векторных и бесконечномерных гильбертовых пространствах применяются методы функционального анализа, теории операторных алгебр, спектральной теории операторов и топологии, в частности, методы конечномерного анализа, теории операторных матриц, теории алгебр фон Неймана, теории нормальных и самосопряженных операторов в

гильбертовом пространстве, спектральной теории неограниченных операторов, свойства топологии сходимости локально по мере. Также используются элементы теории инволютивных банаховых алгебр и операторных решеток.

При исследовании коммутируемости и антикоммутируемости неограниченных измеримых и локально измеримых операторов используются теория алгебр фон Неймана, теория неограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, некоммутативная теория меры и теория некоммутативного интегрирования, свойства алгебр 8(М) и ЬБ(М) измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М. При доказательстве аналогов теоремы Фуглида в алгебре Ь8(М) применяются свойства топологии сходимости локально по мере в алгебре

Ьв(М).

Научная новизна полученных результатов.

Основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано, что задача классификации, с точностью до преобразования подобия, пары линейных операторов (А, В), А? = В3 = О, действующих ь конечномерном векторном пространстве и удовлетворяющих соотношениям В А = дАВ, д £ С, <7^0, (аА2+рАВ+^В2)2 = 0, явлется «дикой» задачей. Также доказано, что если индекс нильпотентности оператор А равен 2: А2 = В3 = 0, ВА = дАВ, д € С, Ф 0, АВ2 — 0, то задача классификации остается «дикой».

2. Установлено, что самосопряженные измеримые операторы Г, ¿> € 8(М) антикоммутируют тогда и только тогда, когда они антикоммутируют как элементы *-алгебры 8(М).

3. Доказано, что если два самосопряженных локально измеримых оператора Т, Б е Ь8(М) антикоммутируют на локально измеримом подпространстве О С Т)(Т) П ©(б"), то они антикоммутируют как элементы *-алгебры Ь8(М).

4. Установлено, что локально измеримые операторы Т, 5 € Ь8(М) антикоммутируют тогда и только тогда, когда они антикоммутируют как элементы *-алгебры Ь8(М).

5. Доказан аналог теоремы Фуглида в алгебре Ь8(М) локально измери-

мых операторов, присоединенных к алгебре фон НейманаМ. Показано, что если алгебра М не имеет прямо]-о слагаемого типа II, то *-алгебра Ь8(М) является РГ-алгеброй. В частности, показано, что некоммутативная алгебра Аренса

ЬЫ(М,Ф) = С~]Ьр(М,Ф),

где М — конечная алгебра фон Неймана, Ф: М —> 7,{Ш) — центрозначный след, 1/(М, Ф) — некоммутативные /^-пространства, ассоциированные с М и Ф, р ^ 1, является РТ-алгеброй.

6. Получен вариант теоремы Фуглида для нормальных операторов из £8(М), присоединенных к алгебре фон НейманаМ типа II.

Практическое значение полученных результатов. Диссертация имеет теоретический характер. Доказана «дикость» двух задач классификации линейных нильпотентных операторов, действующих в конечномерном векторном пространстве. Эти результаты дополняют теорию классификационных задач линейных операторов пар линейных операторов, связанных квадратичным соотношением.

Исследование антикоммутируемости пары самосопряженных измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М, могут быть использованы для описания самосопряженных представлений базиса коммутативной градуированной алгебры Ли.

Полученные аналоги теоремы Фуглида в алгебрах Б(М) и ЬЗ(М) измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М, позволяют рассматривать новые классы РТ-алгебр.

Эти результаты могут быть использованы в различных разделах функционального анализа, теории представлений, теории некоммутативного интегрирования и некоммутативной теории вероятностей.

Личный вклад соискателя Работы [7, 8,10,12,13,14], опубликованные по теме диссертации, не имеют соавторов. Работы [1, 2, 3, 4, 5, б, 9, 11, 16] вышли в соавторстве с научным руководителем Муратовым М.А, а работа [15] — в соавторстве с Муратовым М.А. и Чилиным В.И.

В работах [2, 3,4, 6, 9,16] профессору М.А. Муратову принадлежит постановка задачи и общий план исследования, полученые результаты принадле-

жат соискателю. В работах [11, 15] соискателю принадлежат исследования, связанные с обобщением теоремы Фуглида в алгебре LS(M) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М типа II. В работе [5] для любых двух локально измеримых операторов Т, S, присоединенных к произвольной алгебре фон Неймана М, соискателем построено инвариатное относительно этих операторов локально измеримое подпространство их совместных ограниченных векторов. В работе [1] соискателем доказана теорема, в которой утверждается, что если два самосопряженных оператора T,SG LS(M) антикоммутируют на локально измеримом подпространстве D С Э(Т)П5)(5), то они антикоммутируют как элементы алгебры LS(M).

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

International Conference on Functional Analysis Dedicated to 90th Anniversary of V.E. Lyantse (Lviv, Ukraine, 17-21 November 2010);

International conference dedicated to the 120th anniversary of Stefan Banach. (Lviv, Ukraine, 17-21 September, 2012);

Республиканской научной конференции с участием зарубежных ученых «Операторные алгебры и смежные проблемы» (Ташкент, Узбекистан, 12-14 сентября 2012 г.);

XXII, XXIII Крымских Осенних Математических Школах-Симпозиумах (Ласпи-Батилиман, Крым, Украина, сентябрь 2011, 2012 гг.);

Крымской Международной Математической Конференции (Судак, Крым, Украина, сентябрь 2013);

XL-XLIII Научных конференциях профессорско-преподавательского состава Таврического национального университета имени В.И. Вернадского (Симферополь, апрель 2011-2014 гг.);

Международной научно-практической Интернет-конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2013»(03-15 октября 2013 г.);

Научных семинарах кафедры математического анализа факультета математики и информатики Таврического национального университета имени В.И. Вернадского (руководитель д.ф.-м.н., проф. М.А. Муратов).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, выводов, списка использованных источников. Полный объем диссертации — 110 страниц, в том числе основного текста — 92 с. Список использованных источников насчитывает 164 названия.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 16 научных работах, среди которых 6 статей, опубликованных в профильных научных изданиях, 11 тезисов докладов на научных конференциях. Одна работа опубликована в научном журнале «Динамические системы», который реферируется в Zentralblatt MATH и ВИНИТИ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении раскрывается сущность, состояние проблемы и её значимость. Обосновывается актуальность темы, формулируются цель и задачи исследования, научная новизна и практическое значение полученных результатов. Нумерация утверждений в диссертации и автореферате совпадает.

В первой главе приводится исторический обзор литературы по задачам классификации линейных операторов, действующих в конечномерных векторных и бесконечномерных гильбертовых пространствах; по задачам классификации в различных операторных алгебрах, в частности, в С*-алгебрах и алгебрах фон Неймана. Формулируется теорема Фуглида-Путнама и приводится обзор основных ее обобщений и приложений.

Во второй главе исследуется задача классификации, с точностью до преобразования подобия, пары ^-коммутирующих линейных операторов (А, В):

В А = qAB, q € С, q ф 0,

действующих в конечномерном векторном пространстве, и связанных дополнительными алгебраическими соотношениями.

В §2.1 приводятся основные определения классификационных задач, рассматриваются некоторые критерии неразложимости наборов линейных операторов, действующих в конечномерном векторном пространстве.

Набор {А\, Л'2, ■ ■ ■, Ат) линейных операторов, действующих в конечномерном векторном пространстве V, называется неразложимым, если векторное

пространство V нельзя представить в виде прямой суммы нетривиальны?: подпространств V = VI © инвариантных относительно каждого оператора Ак, к= 1,2,... ,т.

Задача классификации набора линейных операторов является:

- «конечной», если число таких неразложимых наборов операторов, с точностью до преобразования подобия, конечно;

- «ручной», если все такие неразложимые наборы операторов можно, с точностью до преобразования подобия, описать в явном виде;

- «дикой», если задача описания содержит в себе подзадачу описания пары операторов без дополнительных условий.

В §2.2 доказывается, что задача классификации, с точностью до преобразования подобия, пары операторов (А, В), А3 = В3 = 0, действующих ъ конечномерном векторном пространстве и удовлетворяющих соотношениям

В А = дАВ, С, д ф 0 (аА2 + /ЗАВ +7-В2)2 = 0 ' явлется «дикой» задачей.

В §2.3 доказывается, что «дикой» является и задача классификации пары операторов (А, В), действующих в конечномерном векторном пространстве и удовлетворяющих следующим условиям:

' В А = дАВ, деС, дфО < А2 = В3 = 0 АВ2 = 0

В процессе доказательства для произвольной пары операторов (А, В). действующих в конечномерном векторном пространстве V, строятся матричные операторы Л, И € В("У/;), где

¿=1

удовлетворяющие определенным соотношениям; показывается, что две произвольные пары операторов (А, В) и (А, В) из подобны тогда и только тогда, когда подобны соответствующие пары операторов (Л, 'В) и (Л, 'В) из 13(14), и что неразложимость пары операторов {А, В) эквивалентна неразложимости пары операторов (Я, 'В).

В третьей главе рассматривается ацтикоммутируемость самосопряженных измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к произвольной алгебре фон Неймана М.

В §3.1 приводятся основные факты, связанные с коммутируемостью неограниченных самосопряженных операторов, и необходимые результаты из теории измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана.

Пусть Т и S — самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н. Обозначим через {Ет(А)}лек и {Fs(/i}} iiCr спектральные семейства ортопроекторов операторов Т и S соответственно. Операторы Т и S коммутируют, если коммутируют соответствующие им спектральные проекторы: Et(X)Fs(h) = Fs(h)Et(А) для всех А£ R.

Для любых чисел 0 ^ I, т < оо построим операторы I т

Ti = J AdET(.\), Sm = J fidFsQi).

—I — ТП

+00 +00

Операторы T = f AdEr(A), S = f ¡ulFsin) антикоммутируют, если

—оо —со

для всех чисел 0 ^ I, т < оо антикоммутируют ограниченные операторы 7[ и Sm: Т[ Sm + SmTi = 0.

В §§ 3.2,3.3 рассматривается антикоммутируемость самосопряженных измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к произвольной алгебре фон Неймана М.

Пусть Н — гильбертово пространство. Алгеброй фон НейманаМ в В(Н) называется *-алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в Н, замкнутая в слабой операторной топологии и содержащая тождественный оператор I.

Линейное подпространство D С Н называется присоединенным к алгебре фон Неймана М (D77M), если £/(D) С D для любого унитарного оператора и € М', где М' = {.? G В(Н) : TS = ST для любого Г G М} - коммутант алгебры фон Неймана М.

Линейный оператор Т, действующий в Н, называется присоединенным к алгебре фон Неймана М (Т г/ М), если UT С TU для любого унитарного

оператора V € М'.

Множество г(М) = {Т е М : ТБ = БТ для любого Б е М} называется центром алгебры фон Неймана М. Обозначим через Р(М) и Р^(М)) решетки всех ортопроекторов М и Z(M) соответственно.

Линейное подпространство О С Н называется сильно плотным в Н относительно алгебры фон Неймана М, если О 77 М и существует последовательность ортопроекторов {Рп}'п=\ Я Р(М) такая, что Рп | /, РП(Н) С В, Р^ — конечный проектор для любого п €= N. Заметим, что каждое сильно плотное линейное подпространство является плотным в Н и пересечение любого конечного числа сильно плотных подпространств является сильно плотным подпространством.

Линейный оператор Т, действующий в Н, называется измеримым относительно алгебры фон Неймана М, если:

1) Тг/М;

2) область определения 2)(Т) оператора Т сильно плотна в Н;

3) оператор Т — замкнутый.

Обозначим через Б(М) множество всех операторов, измеримых относительно алгебры фон Неймана М. Имеет место вложение М С 8(М).

Пусть Т, Б € 8(М). Замыкания суммы Т + Б и произведения ТБ операторов Т и Б являются измеримыми операторами. Эти замыкания называются, соответственно, сильной суммой и сильным произведением операторов Т и Б, и обозначаются Т + Б = Т+Б, ТБ = Т- Б.

Множество в(М) является * -алгеброй над полем С относительно операций сильной суммы, сильного произведения и операции перехода к сопряженному оператору. Единичным элементом является тождественный оператор/.

Линейный оператор Т, действующий в Н, называется локально измеримым относительно алгебры фон Неймана М, если:

1) Тт?М;

2) существует последовательность центральных ортопроекторов 1 с Р(г(М)) такая, что г„ \ /, Тгп € 8(М) для любого пёМ;

3) оператор Т — замкнутый.

Область определения £)(Т) локально измеримого оператора Т является локально измеримым подпространством относительно алгебры фон Нейма-

на М, то есть Э(Т) ?/ М и существуют последовательности ортопроекто-ров {Рп}~ 1 с Р{М) и с Р(г(М)) такие, что Рп | I /,

РП(Н) С 3)(г), — конечный ортопроектор для любого п € N.

Если подпространство О локально измеримо относительно алгебры фон Неймана М, то оно сильно плотно в Н.

Обозначим через ЬЭ(М) множество всех операторов, локально измеримых относительно алгебры фон Неймана М. Множество Ь8(М) является * -алгеброй над полем С относительно операций сильной суммы, сильного произведения и операции перехода к сопряженному оператору. Единичным элементом является тождественный оператор I. Имеет место вложение что в(М) С Ьв(М).

В §3.2 рассматривается антикоммутируемость самосопряженных операторов Т и 5, принадлежащих *-алгебре Э(М) измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М.

Пересечение областей определения самосопряженных измеримых операторов Т,5 € Б(М) является сильно плотным подпространством, поэтому для операторов Гиб1 можно построить сильно плотное инвариантное подпространство Ю их совместных ограниченных векторов.

Вектор х £ %)(Т) П 2)(<5) называется совместным ограниченным вектором самосопряженных операторов Т и Б, если для любых к,] е N существует число Сх > О такое, что \\Тк&х\\ ^ С*Ч < Вектор х 6 'З(Т) П 2)(5) называется совместным цельш вектором самосопряженных операторов Т и Б, если для любого С > 0 выполняется неравенство

оо

й ^Тк33х\\Сп < оо. Заметим, что совместный ограниченный вектор

п=0 к+^—п

двух самосопряженных операторов является их совместным целым вектором. Ю.С. Самойленко (1984 г.) было показано, что самосопряженные операторы Т и Б антикоммутируют тогда и только тогда, когда они антиком-мутируют на плотном в Н инвариатном относительно Т п Б множестве Ф их совместных целых векторов. Этот результат позволяет доказать следующую теорему:

Теорема 3.2.6. Для того, чтобы два самосопряо/сенных линейных оператора Т и Б, принадлежащих *-алгебре Б(М), антпикоммутировали, необходи-

мо и достаточно, чтобы они антикоммутировали как элементы *-алгебръ\ Б{М).

В §3.3 рассматривается антикоммутируемость самосопряженных операторов Т и 5", принадлежащих *-алгебре ЬБ(М) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М. Доказывается следующая теорема:

Теорема 3.3.5. Пусть операторы Т и Я локально предизмергшы относи тельно алгебры фон Неймана М, О — локально измеримое подпростран ство в Н такое, что:

1. БСЮ(Г)пад;

2. Т: Б ->• Б, 5: О Б;

3. ТБх = —БТх для любого вектора х € О. Тогда Т ■ Б = —Я ■ Т.

Пересечение областей определения самосопряженных локально измеримых операторов Т, ¿> € ЬБ(М) является локально измеримым подростран-ством, поэтому для операторов Т и 5' можно построить плотное инвариантное локально измеримое попространство совместных ограниченных векторов этих операторов. Имеет место следующий критерий антикоммутируемости локально измеримых операторов:

Теорема 3.3.6. Для того, чтобы два самосопряо/сенных линейных оператора Т и Б, принадлежащих *-алгебреЪБ(М.), антикоммутировали, необходимо и достаточно, чтобы они антикоммутировали как элементы *-алгебры Е8(М).

В четвертой главе рассматриваются алгебры операторов, в которых выполняется теорема Фуглида-Путнама. Такие алгебры называются РТ-алгебрами.

В §4.1 рассматривается теорема Фуглида-Путнама в алгебрах с инволюцией, отличной от канонической инволюции. Исследуется пример матричной алгебры (М4(С), ф) с инволюцией #, не являющейся точной, в которой теорема Фуглида не выполняется. Показано, что *-алгебра В(Н) не всегда является РТ-алгеброй. Доказана следующая теорема:

Теорема 4.1.2. Пусть (Ai, *) и (А2, #) — *-изоморфные алгебры с инволюцией. Алгебра (А2,#) является РТ-алгеброй тогда и только тогда, когда (Ai,*) является РТ-алгеброй.

Из теоремы 4.1.2 вытекает следующий важный результат:

Следствие 4.1.3. Если (В(Н),#) — *-алгебра с точной инволюи,иейф, то (В(Н),#) является РТ-алгеброй.

В §4.2 рассматриваются некоторые критерии сходимости сетей в топологии f(M) сходимости локально по мере в алгебре LS(M) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М.

В §4.3 рассматривается теорема Фуглида-Путнама в алгебре LS(M) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М. Доказано, что если алгебра фон Неймана М не имеет прямого слагаемого типа II, то алгебра LS(M) является РТ-алгеброй (отметим, что любая алгебра фон Неймана разлагается з прямую сумму алгебр фон Неймана типов 1,11,111). В частности, показано, что некоммутативная алгебра Аренса

ЬШ(М,Ф) = р)1/(М,Ф),

где М — конечная алгебра фон Неймана, Ф: М —У Z(M) — центрозначный след, 1/(М, Ф) — некоммутативные /^-пространства, ассоциированные с М и Ф, р ^ 1, является РТ-алгеброй.

Для алгебр фон Неймана М типа II получен вариант теоремы Фуглида для нормальных операторов из LS(M):

Теорема 4.3.3. Пусть М — произвольная алгебра фон Неймана и пусть Т и S — нормальные операторы из LS(M). Если TS = ST, то TS* = S*T.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации рассмотрены линейные операторы, действующие в конечномерном векторном и бесконечномерном гильбертовом пространствах, связанные соотношением ^-коммутируемости. Доказана «дикость» задачи классификации пар линейных нильпотентных операторов, действующих в конечномерном векторном пространстве и связанных соотношением д-коммутируемости. Исследованы взаимосвязи между антикоммутируемостью измеримых и локально измеримых самосопряженных операторов и антикоммутируемостью этих операторов как элементов соответствующих алгебр. Получены аналоги теоремы Фуглида в алгебре Ь8(М) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М.

1. Доказана «дикость» задачи классификации пары ^-коммутирующих линейных нильпотентных операторов (А, В), А3 = Вл = 0, действующих в конечномерном векторном пространстве и удовлетворяющих соотношению (аЛ2 + ЗАВ + 7Д2 )2 = 0. Также доказано, что если индекс нильпотентности оператора А равен 2: А2 = В3 = 0, В А = дАВ, д е С, д ф 0, АВ2 = 0, то задача классификации остается «дикой».

2. Рассмотрена антикоммутируемость самосопряженных измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к произвольной алгебре фон Неймана М. Доказано, что измеримые (локально измеримые) операторы Т и 5 антикоммутируют тогда и только тогда, когда они антикоммутируют как элементы алгебры Э(М) (ЬБ(М)).

3. Получены аналоги теоремы Фуглида-Путнама в алгебреЬЗ(М) локально измеримых операторов, присоединеных к алгебре фон НейманаМ. Доказано, что если алгебра М не имеет прямого слагаемого типа II, то *-алгебра ЬБ(М) является РТ-алгеброй. В частности, показано, что некоммутативная алгебра Аренса

ЬШ(М,Ф) = р)1/(М,Ф),

р> 1

где М — конечная алгебра фон Неймана, Ф: 1X1 —>- Z(]VI) — центрозначный след, ЩМ, Ф) — некоммутативные /^-пространства, ассоциированные с М и Ф, р ^ 1, является РГ-алгеброй. Для алгебр фон Неймана М типа II получен вариант теоремы Фуглида для нормальных операторов изЬ8(М).

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ахрамович М.В. Антикомутащя локально вим!рних самоспряже-них оператор1в, приеднаннх до алгебри фон Неймана /М.В. Ахрамович, М.А. Муратов // Науков1 nicTi НТУУ «КП1». - 2012. - № 4. - С. 7-13.

2. Ахрамович М.В. Дикие задачи в теории представлений / М.В. Ахрамович, М.А. Муратов // International Conference on Functional Analysis Dedicated to 90th Anniversary of V.E. Lyantse (Lviv, Ukraine, 17-21 November 2010): Abstracts of Reports. - Lviv, 2010. - C. 93-94.

3. Ахрамович М.В. Задача классификации пары g-коммутирующих ниль-потентных операторов / М.В. Ахрамович, М.А. Муратов // Двадцать Вторая Крымская Осенняя Математическая Школа (Крым, Ласпи-Батилиман, 17-29 сентября 2011): сборник тезисов. — Симферополь: издательство КНЦ НАНУ, 2011. - С. 5.

4. Ахрамович М.В. Задача класифжацн пари (/-коммутуючих шльпотент-них onepaTopiB / М.В. Ахрамович, М.А. Муратов // HayKOBi Bicri НТУУ «КШ». - 2011. - 1. - С. 42-47.

5. Ахрамович М.В. Коммутируемость и антикоммутируемость локально измеримых операторов / М.В. Ахрамович, М.А. Муратов // Республиканская научная конференция с участием зарубежных ученых «Операторные алгебры и смежные проблемы» (Ташкент, Узбекистан, 12-14 сентября 2012): тезисы докладов. — Ташкент, 2012. — С. 97-99.

(5. Ахрамович М.В. О классификации пары ^-коммутирующих операторов з конечномерном линейном пространстве / М.В. Ахрамович, М.А. Муратов // Таврич. вестник инф. и матем. — 2010. — № 2. — С. 17-26.

7. Ахрамович М.В. О ^-коммутируемости линейных операторов / М.В. Ахрамович // Материалы XL научной конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов «Дни науки ТНУ им. В.И. Вернадского». — Симферополь: ДИАЙПИ, 2011. — С. 48.

8. Ахрамович М.В. Об антикоммутируемости измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана. / М.В. Ахрамович // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия «Физико-математические науки». - 2012. - Т. 25(64), № 2. - С. 1-14.

9. Ахрамович M.B. Об антикоммутируемости самосопряженных измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана / М.В. Ахрамович, М.А. Муратов // Двадцать Третья Крымская Осенняя Математическая Школа (Крым, Ласпи-Батилиман, 17-29 сентября 2012): сборник тезисов. — Симферополь: издательство КНЦ НАНУ, 2011. — С. 5.

10. Ахрамович М.В. О теореме Путнама-Фуглида / М.В. Ахрамович// Материалы XLII научной конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов «Дни науки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского». — Симферополь: ДИАИПИ, 2013. — С. 282-283.

11. Ахрамович М.В. О теореме Фуглида в алгебрах локально измеримы?: операторов / М.В. Ахрамович, М.А. Муратов // Материалы XLIII научной конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов «Вернадский-2014». — Симферополь: ДИАЙПИ, 2014. — С. 63-64.

12. Ахрамович М.В. Подобие пар rj-коммутирующих нильпотентных матриц / М.В. Ахрамович // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия «Физико-математические науки». — 2011. - Т. 24(63), № 1. - С. 1-6.

13. Ахрамович М.В. Теорема Фуглида / М.В. Ахрамович. // Крымская Международная математическая конференция КММК-2013 (Судак, украина, 22 сентября - 4 октября 2013): сборник тезисов. — Симферополь: издательство КНЦ НАНУ, 2013. - С. 29-30.

14. Ахрамович М.В. Теорема Фуглида в конечномерных алгебрах с инволюциями / М.В. Ахрамович // Сборник научных трудов SWorld. — Иваново: МАРКОВА АД, 2013. - вып. 3, Т. 4. - ЦИТ: 313-0868. - С. 62-66.

15. Ахрамович М.В. Теорема Фуглида-Путнама для локально измеримы?: операторов / М.В. Ахрамович, М.А. Муратов, В.И. Чилин // Динамические системы. - 2014. - Т. 4(32), № 1-2. - С. 3-8.

16. Ahramovich M.V. A commutation and an anticommutation of measurable operators / M.V. Ahramovich, M.A. Muratov // International conference! dedicated to the 120th anniversary of Stefan Banach (Lviv, Ukraine, 17-21 September 2012): Abstracts of Reports. - Lviv, 2012. - P. 36.

АННОТАЦИЯ

Абрамович М.В. Q-ко м му т 11 рус м осп. линейных операторов. — Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ. — Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь, 2014 г.

В работе рассматриваются линейные операторы, действующие в конечномерном векторном и бесконечномерном гильбертовом пространствах, связанные соотношением (/-коммутируемости.

Доказана «дикость» задачи классификации пары gf-коммутирующих линейных нильпотентных операторов (А, В), А3 — В3 = 0, действующих в конечномерном векторном пространстве и удовлетворяющих соотношению (аЛ'2 + ¡ЗАВ + 7В2)2 = 0. Также доказано, что если индекс нильпотентности оператора А равен 2: А2 = В3 = О, В А = qAB, q G С, q ф 0, АВ2 = 0, то задача классификации остается «дикой».

Рассмотрена антикоммутируемость самосопряженных измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к произвольной алгебре фон Неймана М. Доказано, что измеримые (локально измеримые) операторы Т и S антикоммутируют тогда и только тогда, когда они антикоммутируют как элементы алгебры S(M) (LS(M)).

Получены аналоги теоремы Фуглида-Путнама в алгебре LS(M) локально измеримых операторов, присоединеных к алгебре фон Неймана М. Доказано, что если алгебра М не имеет прямого слагаемого типа II, то *-алгебра LS(M) является РТ-алгеброй. В частности, показано, что некоммутативная алгебра Аренса

Ь"(М,Ф) = (~]1/(М,Ф),

где М — конечная алгебра фон Неймана, Ф: М —> Z(M) — центрозначный след, L''(M, Ф) — некоммутативные Lp-пространства, ассоциированные с М и Ф, р ^ 1, является РТ-алгеброй. Для алгебр фон Неймана М типа II получен вариант теоремы Фуглида для нормальных операторов H3LS(M).

Ключевые слова: q-коммутируемостъ, «дикая» задача, теорема Фуглида, алгебра фон Неймана.

ABSTRACT

Ahramovich M.V. Q-commutation of linear operators. — Manuscript.

The dissertation for obtaining scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.01 — real, complex and functional analysis. — Taurida National V.I. Vernadsky University, Simferopol, 2014.

In the dissertation the linear operators acting in finite-dimensional vector spaces and Hilbert spaces and satisfying the ^-commutation relations are considered.

We prove that the problem of classification of the pairs of g-commutated nilpotent operators (A,B), A3 = B3 = 0 acting in a finite-dimensional vector space and satisfying the relation (aA2 + /3AB + 7B2)2 = 0 is «wild». Also we prove if the index of the nilpotency of the operator A is 2 and A2 = B3 = 0, BA = qAB, q G C, 0, AB2 — 0 the problem of classification is «wild».

An anticommutation of the measurable and the locally measurable operators affiliated with an arbitrary von Neumann algebra M are considered. We prove that the measurable (locally measurable) operators T and S anticommute if and only if they anticommute as the elements of the S(M) (LS(M)) algebra.

We obtain analogues of the Fuglede-Putnam theorem in the algebra LS(M) of the locally measurable operators affiliated with an arbitrary von Neumann algebra M. We prove if the algebra M has no type II than the algebra LS(M) is PT-algebra. In particular we prove that the noncommutative Arens algebra

L"(M,$) = p|I/'(M,$),

where M is a finite von Neumann algebra, <1>: M —Z(M) is a central-valued trace, I/(M, <I>) are noncommutative Lp-spaces associated with M and <!>, p > 1, is PT-algebra. We obtain the analogue of the Fuglede-Putnam theorem for normal operators from LS(M) when a von Neumann algebra M has type II.

Keywords: q-commutation, <rwild» problem, Fuglede theorem, von Neumann algebra.

Подписано в печать 29.10.2014. Формат 60x90/16. Бумага печатная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0.9 Тираж 100 экз. Заказ № 181-А

Информационно-издательский отдел Таврического национального университета имени В.И. Вернадского 295007, г. Симферополь, пр. академика Вернадского, 4.