Линейные отношения, пары операторов и граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

-у.

Академия наук Украины -Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

/

МЫТНИК ЮригГ Васильевич

ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Г ПАРЫ ОПЕРАТОРОВ И ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧ! ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО -0ПЕРАТ0Р1ШХ УРАВНН1И1 ВТОРОГО ПОРЯДКА-В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.01-- математические анайня

АВТОРЕФЕРАТ •

диссертации нл соискание ученоЧ степени кандидата физико-мп,г'ема'"Нчееких: нпук

ч

* Работа выполнена в Институте математики АН Украины .

Научный руководитель доктор.физико-математических наук, . профессор , ГОРБАЧУК М.Л.

, n.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, КОЧУБЕЙ /.Н., 1

кандидат физико-математических наук ШЧУК В.В. '

Вацуй^я оргайизация Одесский педагогический институт.

Защита диссертации состоится " " «19ЭЯг. в

_ часов на еаседаНии специализированного совета Д 016.50.01

при' Институте Математики АН Украины по адресу: 252601 Киев 4, уя. Репина, 3, '

•ч

-С диссертацией можно -ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан

"Jf" ГМ^-й.'Ц 199/2 г.

Ученый секретарь ' •

специализированного оовета . - ГУСАК Д.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию линейных отношений в терминах пар ограниченных операторов и их приложениям к граничным задачам для дифференциальных уравнений.

Теория линейных отношений, к необходимости разработки которой независимо пришли Р.Арене и С.Маклзйн в 1961 году, развивалась преимущественно в двух направлениях, С одной стороны, известные фанты и конструкции теории операторов в гильбертовом пространстве (операционное исчисление,1 теория расширений) распространялись На линейные отношения как на обьект более общей природы (Р.Арено, Ч.Беневиц, Й.Коддингтон, А.Дьчксма И Ч.Сноо, Г.Лангер и В.Тексто-риус, А.Н.Верник И tip.). В атом же направлении различная классы линейных отйошений в пространствах с индефинитной метрикой изучались в работах В.П,Г'лухава, А.АиНиконова, Ю. К. Ему пьяна, П.Сорьо-нена, В.С.Рицнарак В.И.Уткина.

G другой стороны, классическая аацача об описаний самосопряженных расширений минимального оператора, порожденного симметрическим дифференциальным вУрайвниеЬ), стимулировала исследования по линейным отношениям и в бопеё прикладном аспекте( который условно можно Haasafb структурным, так как он связан с представлением отношений d помощью операторов, или в виде множества ресепий некоторого операторного уравнения. Первой работой в этом направлении явилась работа Ф.С.Рофе-Бекетова, в которой.для решения укапанной задачи (случай обыкновенного дифференциального выражения На конечном интервале с ограниченными операторными коэффициентами) вводилось понятие бинарного (линейного) отношения и устанавливался общий вид эрмитовых (самосопряженных) отношений в гильбертовом пространстве» Идея бйнарных отношений в дальнейшем была использована М.Я.Горбачуком при описании самосопряженных граничных задач для Дифференциальных уравнений второго поряйка с неограниченным операторным коэффициентом (такое выражение вкл-тчает некоторые классы уравнений с Частными производными). Затем М.Л.Горба-чуком И AiH.Кочубеем были описаны новые классы (максимальные дис-сипыивкыв и др.) линейных отношений и применены к описание соот-

ветствующих классов расширения. Поена введения А.Н.Кочубеем и В.М.Бруком понятия пространства граничных значений симметрического оператора и построения основ абстрактной теории граничных задач появляется ряд работ по описание различных классов расширений в терминах абстрактных граничных условий. При этом результаты по представлению линейных отношений были получены Ф.С.Рофе-Ееке-товым, А.Н.Кочубеем, В.А.Михайлецом, Л.Й.Вайнерманом.

Несколько иной подход (параметрическая форма отношений) к рассмотрению линейных отношений и пар операторов в банаховом пространства предпринят Н.И.РаДбекь в связи с изучением задачи Кошм для уравнения 1-го порядке с операторными коэффициентами, нераз-рёшэиного относительно производной. Ранее А.Г.Рутквсом указана связь таких зада*! с математической теорией систем (управления), основы которой изложена в монографиях Р.Калмана, П. Фалба, М.Арби-ба и М.МесаровиЧа И Я.ТанАхары И которая активно разрабатывается в настоящее время многими иссяедойатеяйми. Так, Д.З. Аровым развита теория пассивных линейных стационарных динамических систем и их передаточных функций,

работы. Исслэдовать линейные отношения, определяемые парой произвольных ограниченных операторов,« Применить получанные результаты к нахождении общих самосопряженных граничных для дифференциальных уравнений и некоторым вопросам общей теории линейных систем.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1) описаны различные классы линейных отношений в гильбертовом пространства и пространствах с индефинитной метрикой в терминах пар произвольных ограниченных операторов;

2) приведены условия максимальной диссипативности'(в частности, самосопряженности) операторов, порожденных дифференциальными выражениями второго порядна эллиптического и гиперболического типов с ограниченным и неограниченным операторным коэффициентом и общими гранич.ными условиями;

3) дано описание бинарно реализуемых линейных систем, получено обобщение формулы породяточной функции и приведены условия пассивности таких систем.

Методика доказательств использует спектральную тсориш само-

сопряженных операторов в гильбертовом пространстве и теорию пространств основных и обобщенных векторов, построенных по положительно определенному оператору.

Диссертация носит теоретический характер.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях молодых математиков (г.Киев, I3!id, I9îî3 гг.), на семинарах по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям в частных произведших в Институте математики Ал Украины (I9G3 - 1991 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в четырех работах.

Структура и обьеы. Диссертационная работа состоит из иве пения, трех глав, списка цитируемой литературы из 64 наименований ч занимает 101 страницу машинописного текста.

содгталниЕ работы

Под линейным отношением п гильбертовом пространстве H будем п:л;и-'5ть произвольное линейное многообразие (линеал) в

Я ® Л . Отношение $ нат.'ччятся диссипптинным (аккумулятив-иш, оипютрюгосним), если пля лгоых Псзр X О Х>' (т.е. (Х,Х'>

е & ) Ягя. (Х^ х) & в ( = в, <* Û "). Д'.юснпатитюе отношение называется максимальны;/, диссилативнш, если оно не имеет собст-ssiuiax дисгипативных расскрениЗ. Аналогично определяется максимальные -аккумулятивные и максимальный симметрические отнопения. •^ашсопряуенним отношением напивается отношение, являпееся одновременно максимальным цкссипатнвмым и максимальным аккумулятивны

Как известно, всякое максимальное диссипативное отнозенне 'зпределлется некоторой парой ограниченных; определенных нп геем пространства Ц операторов S ,С я том смысле, что существует такие операторы S , С . что

Л вес' Сх' - Зх. ~ О. а>

¿.О.Рофе-Бэкетоаым поставлена и решена обратная задача, а именно: каковы условия на произвольную пару ограниченных операторов В , С , чтобы отнесение, определяемое условней (1), при-

надлежало тому или иному классу? Однако при применении этих известных условий к задачам теории расширений символического оператора, например, возникают определенные трудности даяе в простейших случаях. Тем не менее для самосопряженных отношений в конечномерном пространстве JÎ в одной из работ Ф.С.Рофе-Бекзтова указаны более ироотые условия. Получение такого рода условий на случай бесконечномерных пространств и является основным результатом первой главы.

Теорема 1.3.3. Отношение & , определяемое парой операторов (I), максимально диссипативно (аккумулятивно) тогда и только тогда, когда оператор Ъ* ¿С С 3- ¿С У иньек-тивеН и 4fm{BÛ*<&i fc) te Û (й G ) У ей б H . Для максимальной симметричности (I) необходимо и достаточно симметричности оиератс}® и иньектийности одного из операторов LC 3'iC 1 для самосопряженности (I) - симметричности ВС* и иньвктивнооти обоих операторов ± ¿С

В случае, когда JS , С - самосопряженные операторы, из этой теоремы следует, что необходимыми и достаточными условиями самосопряженности отношения, определяемого уравнением( I), являются условия коммутируемости 2J и С и тривиальности пересечения их нуль-пространств: Niti) Ç] б) - {.0J.

Рассматриваемая задача о линейных отношениях и парах операторов ставится и решается также для гильбертовых пространств PC, п которых наряду G обычным введено индефинитное скалярное произведение [.*, • 1 Ci ' t ' ) » гДе *f ~ оператор в со свойством Îf F * ■ 3"a ÛT (фундаментальная симметрия).

Пусть 2Г/ , Дг, - унитарно эквивалентные фундаментальные симметрия в IrZ , £>sС & Vè - прямая сумма (д УС , а которой

f $ о \

введена симметоия ( ' ]. ЛннеПиоо отношение дi

\ з

назовем (максимальные) (У/, -сжимающим ( У^У до-

тягивающим, ч Oi, - изометрическим), если в есть (мак-

симальный) неотрицательный (неположительный, нейтральны'!) линеал в У6 Ф '¡ft • Отнсшш.из $ называется (й, -унитарным, если 8 - гинермоняимальний нейтральный линеал ¿Î? ф .

В случае, когда • СГ» - (У , данные классы линейных отношений рассматривались Ю.Л.Шмульяном.

Обозначим через Т/ тякий унитарный оператор, что

% - и.

Определенна 1.4.1. Пусть Ф - некоторое линейное отнесение в . Отношения, заданные формулами

I (Ъу1 -

V **■» ь '

(21

( ■а » <(х'~ V*я), ' ■)

I «'^¿¡г + ^йл, у

назовем соответственно прямым и обратным

преобразованиями типа Кели стнаяения 8 •

При « XI -* 1 данное определение совпадает с

ощюлелбнизм обычного преобразования Хэлч линяйного отношения, рассмотренного ппервда несависимо Р.Арчнсом к . С .Ро р»-Бскетовым. Обобщенные прзсб(«зпзания Коли-НаПкг ка (со скалярными коэффициентами) рассматривались такче □ работах Т.Я.Азнзопа и .¡.С.Измайлова, В.П.Г'лухсча, В.С.Рицнера, А.Дь~жск-а и Ч.Счоо, Г.лйнгзря и Б.Текоториуса, П.Сорьонона.

Таким образом введенные понятия приобразопаний типа Коли (2) попользуется при доказательстве следующей теогомы.

Теорем» 1.4.1. Всякое максимальное (Од, ,)-с*и-1 мачшее ( (7/, -растягиват-дее, (| СГ* )-изометрическое)

С3|,^-унитарное отношение Я а 25? опрепэйяется никоторой парой ограниченных, велду определенных операторов 3 , С .

Для того, чтобы отношение 3 , определяемой условием (I), было тксимальнкм (. СГ|, (Г*.) Агхиматчпим ( Оь^*) -рястягива-ниш), необходимо и достаточно, чтобы:

I) оператор 3 (Г - Ъ) V 4 С О ' (. В(.1-&) V-С С Му) ( Г - единичный оператор п ) бил инт-зктивен;

б

2) 1С* се., - [З'Х, А о С л 0)

К* е

* о).

Отношение # будет максимальньш ( , -изометрическим тогда и только тогда, когда н 2) знак равенства и один из операторов в I) шгьектнаен.

Отношение В- (Д*! I -унитарно в том и только том случае, если в 2) знак равенства И оба оператора 3 (I -* ¿О^О*) иньектнвны.

Во второй главе полученные результаты применяете» к задаче описания растираний минимального оператора Ьц , порожденного дифференциальным выражением

Пу] »-^'(О

(3)

в пространстве ¿.'¿(Я, ( 0, 6)) {б < ё оа),гдо Л''£-самосопря-конный неограниченный оператор й сепарабельном гильбертовом пространства К , Структура областей определения минимального ¿^ и максимального операторов, построенных по этому выражению,

исследована М.Л.Горбачуком.

На множестве воктор-функций еа I удовлетво-

ряющих условию В У С У » 0 , где

В. С - некоторые линейные ограниченные операторы в И & И , определим оператор I и * , явля'ощийся, вообще

говоря, расширением оператора , Ставится вопрос: при каких условиях на Б . С расамранио (или его замыкание) буцэ1

максимальным циосипагипным, макоиипльикм симметрическим или самосопряженным? Апало1 ичный вопрос рассмотрен и для выражения гиперболического типа

(4)

Пусть Яу - гильбертова пкала пространств, гюрожпенная оператором А . Обозначим * Ц® Я {Яд в Ю > наполним, чго граничные значения нектор-функции ^ (-¿) из области ткешлшъ-

?

ного оператора £)(£-]>) и ее производной ¡/'(^ ПРИ подходе к концам интерпата ( 0, & ^ ( принадлежит соответственно

У г е • Через А4 будем обозначать расширение А1

до оператора в , а через А- - операторную матрицу

А-1 в

(к м

\0 А').

Следующие теоремы для краткости сформулированы только для случая максимальных диссипатизных расширений (для аккумулятивных необходимо изменить знак неравенотвч И знак перед с на противоположный, для самосопряженных воспользоваться соответствующим определением).

Теорема 2.2.1. Пусть В » С - ограниченные в Ус линейные операторы, инвариантные вместе со своими сопряженными В* , С* относительно , причем ~В " С мотно продолжить до линейных операторов ¿3 , С*' , ограниченных в 7гС-± .

Оператор, порожденный дифференциальным выражение»/! (3) и граничным условием

Б У - СУ * О (5)

(т.е. оператор, определяемый как сужение максимального, построенного по выражению (3), на множество вектср-функций, удовлетворяющих условии !Ь)) будет максимальным диссипативным тогда и только тогда, когда

1) а й Ул <з '>

2) оператор я + I I) - С $ и.чъективен

( С' г ') - обычное скалярное произведение в \ I - тождественный оператор в #'С ).

Для выражения гиперболического типа (4) структура областей определения минимального 1,а и таксмяльного 1мЯа операторов исследована М.Л.Горбачуком и Л.И.ВаЙнершном. В этом случао гра. нич!гые значения усЧ) и //'(■£} при подходе к концам интервала (<7, (?) принадлежит соответственно: У е У'ё .

Обозначим через , £2 г следующие ограниченные в операторы:

/ -6 В \ /В Е \

-ьШ) ' ccsAS J "

T а о p в .л в 2,3,1. Пусть Б , С - ограниченные в Ji? линайныа операторы, инвариант ни ti вместе со своими сопряженными Б*, СгА относительно , причем В , С продолжаются до линейных олератороь % , ограниченных в .

Оператор, порожденный дифференциальным выражением (4) к гра< шшиым условней (б) (рассьатриваамым в ¥¿-1 будет максимальный диссипатианык тогда я только тогда, когда

1) fateC'aVO а О Уж с 7£ >

2) оператор « В(Р,* * Q£^ ) - С¿S3, ) иньактивен.

В качестве npttuopoo рассмотрены операторы, порожденные выражениями (о), (4) о ограниченным и Нзограничешшм А и условиями Дирихле, Каймана, Ко ей и Обобщенными периопичзскими условиями, и исследована еамосопр/тибниость таких яадач. Показано, что во всех случаях (ограниченного А , эллиптического, гиперболического) задачи Дирихле И Неймана есть Самосопряженные задачи, такте как и обобщенная Периодическая задача в першх двух случаях. Пп-сг.ацнкя задача в гиперболическом Случае самосопряжена при дополнительном условии, Еадцча Коти несамосопряжена и, более того, не принадлежит ни К одному рассматриваемому классу расширений, однако б гиперболическом случав, в отличие от эллиптического и конечномерного, она обладает некотором Свойством регулярности.

В третьей главе Исследуются некоторые вопросы общей теории линейных систем (управления).

Пусть EL , Xt t.-J^ - Линейные пространства с . одним и Том же полем скаляров ( Е - пространство внутренних состояний, Xi> Xi - npocipaHoTEa входов й выходоб соответствено). Системой будем называть произйойыШЙ линаал $ в прямой сумме Е^Х/ * Е ♦ Xj. или, иначе, линейное отношение ® •' £> +

Z. ■* Xi • Обратную систем;/ ф 1 £=. £ + Xg, Е + Xi определим как множество таких <¡6/, СЙ*, Ец

<eltxif'et, xz > е

Следуя Ю.Л.Шмульяну, передаточной функцией сд^ (А ) системы Щ на множестве А С £. I £ Назовем Отображение (вообще говоря, многозначное) -*» X* • определяемое сле^уоцяч образом:

<я:/,д:4> е ^(А) 3 <

Широкие классы линейных отношений в гильбертовом пространстве, как покауаьо п первой глава, определяется парой ограниченных, всюду определенных операторов, т.е.

Ъ * ^ ■ (б)

Такие операторы Уц естественным образом представляется в виде матриц ( ^ £ ) . ( ^Л , где блоки Т, Р , 6- ,

V а- 5 /'■ л'/

В . К , к/ , М , ДГ - линейные ограниченные операторы

! £ -»- £; , ^ а ; ^ ; ДГ, — £ ; м, & I £ х* с X Лх — ^ ^ 3 X. .

Напомним, что если с системой $] можно сопоставить встду определенное однозначное отображение УХ.№) > $ ~ график оператора (понятии оператора и ого графика будем отойдэстй51ть) , то систему Я? называют опэратОрно реализуемой. Назозем систему

бинарно реализуемой, если 0 опредйЛяется парой ограниченных ысюду определенных операторов.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.1.1. Пусть Л - линейный оператор в Е,, ¡0 - система, определяемая парой { ^ ^ \ ( М ^ \

з )> \н !{}■

Если оператор ЯЛ — !Г обратим, то пэраг.аточнзя функция сдд(Л) ость отношение; опреае.'лемое парой

(Л' + (0- - МЛ ) с л А - ГГ А ) * (7)

хо

Аналогичный результат можно сформулировать, если обратим

й - М Д .

Для случая одераторно реализуемых систем ( Я « // ® 1 , Ь т М* 0 \ I I 0 - тождественный и нуль-оператор соответственно) теорема 3.1,1 доказана Ю.Л.Шмульдном.

Отметим, что равенство (?) содержит как частные случаи известнее формулы для передаточной функции систем, исследованных, в чаотнэсти, Д.З.Аровым * -Г у А, = М * О) и А.Г.Руткасом

С //*

Для системы, обратной к бинарно реализуемой, приведенная конструкция позволяет получить простое утверждение, из которого следует теорзма, ДоказаШшя Ю,Л,Шмульяном для системы, обратной к операторно реализуемой.

Далзе окотеми рассматриваются как линеалы в пространстве Крейна - (или ). где

Пространство внутренних оостояний ]{ и внешнее пространство Ц входов-выходов являются гильбертовыми пространствами или (фостранстзами Крейна» При атом а К©!? и Н <Э Н (или Я©Я ) вводятся Некоторым образом фундаментальные симметрии £/хИ . Система & называется пассивной (консервативной), если ф - Максимальный неотрицательной (гипермаксимальны11 нейтральный) линеал й полученном таким образом пространстве Крейна © • Показывается, что,беря в

качества и ^ тот или иной вид симметрии, можно получить известные определения пассивных (консервативных) линейных стационарных Динамических систем СЛСДС) рассеяния, прохождения, сопротивления как с дискретным, так к с непрорывным временем (такая классификация ЛСДС ЦЯ!а Д»З.Аровым). Справедлива теорема.

Теорема 3,2.1. Любая Пассивная систеш бинарно реализуема. ДЛЯ" того* итЬбк произвольная бинарно реализуемая систем вида

УЛ'-УЛ (6')

( 5Я&Я* или

в зависимости от рассматриваемой сис!,емы) была пассивной системой, нообходимо. и достаточно, Чтобы

I) оператор (I- & ) V + £1 * З1) был икг.ектнвен ( и - симметрия такая, что ^ I/ " ^с^«. /

Система (бг) консервативна тогда и дольно тогда, когда в 2) знак равенства и оператора иьгьективны.

Для операторно реализуемых систем рассеяния и прохождения с дискретным временем иа этой теорек! следуют известные условия пассивности (консервативности) ЛСДО, приведенные Д.З.Аровьгм.

Теорема 3,2.1 дает нэойходиша и доотаточнив условия того, что некоторая система вида (6).принадлежит тому или иному классу (в зависимост1Ьот выбора операторов , Сд ) пассивных (консервативных) систем. Однако представление

(б") нэ однозначно (одну и ту же систему могут определять, рая личные пары операторов Ví[tV¿). Следутпая теорема дает однозначное описание пассивных систем (Н, Р. - ортопроекторы: Р, * ^ (I • 4 (1"

} 91,71,1/ - фундаментальные си*мвтри$.

Теорема 3.2.2. Каково бы ни было сжатие (унитарный оператор, соответственно) Л з гильбертовом пространстве , система, определяемая уравнением

(р^ + кр.)^' »(ынюяк, (я>

есть пассивная (консервативная) система. При атом операторы 71, V-, V (или, что то же, , У* ) указывают к како?1у классу (рассеяния, прохождения, сопротивления; о дискретшч временем, о непрерывным) принадлежит данная система. Обратно: лчбая пассивная (консервативная) система того или иного класса мс~ет быть представлена с помощью равенства (8), где К - сжатие (унитарный оператор), причем оператор Я определяется системой однозначно.

Для пассивной системы соотватствуг^его класса равенство (б') 'эквивалентно равенству (8) о оператором

Основные полевения диссертации опубликованы в следующих работах:

I. Мытник Е,В, Маноиммьныз циоаипативные линейные отношения и пары ограниченных операторов //Применение методов функционального анализа & вйданах математической фиаики.- Киев: Ин-т математики АН УСО3, 0, 100-109.

3. Мытник И,В. Од условиях максимальной диссипативности дифференциальных операторов в ЬрбЬтраНотм вектор-функций //Гра-' ничныв еадачи дня диффвреНциапьйых уравнений*- Киев: Ин-т тте-Матики АН УССР» 1ВВа.^ С, 03-83.

3. Мытник С,В| Условия пайоивности обобщзнных линейных аистам //Тр» науч. КонФ< мой* учаньйс1 КиеВ| 15-17 июня 1968 г.Киев! Ин-г маТ«Ма*йки АН УССР.* О, ЁЙ8-234*- Деп. й ВИНИТИ 20.01,ЙЭ, » 481 ь

4* 1Ьтнйк С,В, Парк операторов В Пространствах с индефинитной Метрикой И пассивные Сйотвмы //применение методов функи. анализа й ютематичаенбй физМе,- киоЫ ЙН-Т Математики АН УССР» 1989.- С.