О полугрупповых решениях разностных уравнений в Гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНО ПРЕЩСТАВИМЫЕ СОСТОЯНИЯ ДИСКРЕТНЫХ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ОПЕРАТОРНЫМИ jf -УЗЛАМИ

§ I.I. Операторные узлы. Полугрупповые решения неоднородных линейных систем. ^

§ 1.2. Двойственные системы и линейная представимость их состояний.

§ 1.3. Сцепление Jf -узлов и ассоциированных с ними дискретных открытых систем.

§ 1.4. Унитарная эквивалентность jf-узлов.

§ 1.5. Определяющие свойства характеристических операторфункций операторного аргумента.

§ 1.6. Пары операторов жесткие относительно операторных -узлов.

ГЛАВА П. ОС -УЗЛЫ И ЛИНЕЙНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ СОСТОЯНИЙ

ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ.

§ 2.1. Линейно представимые решения дискретных открытых систем, ассоциированных с ОС-узлами.

§ 2.2. Сцепление ОС -узлов. Связь х.о.-ф. операторного аргумента сцепления и сцепляемых ОС -узлов.

§ 2.3. Унитарная эквивалентность ОС -узлов и определяющие свойства х.о.-ф. операторного аргумента.

ГЛАВА Ш. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРНЫХ УЗЛОВ К ЗАДАЧАМ

ФИЛЬТРАЦИИ ВНУТРЕННИХ СОСТОЯНИЙ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ. ЛИНЕЙНО ПРЕЩСТАВИМЫЕ РЕШЕНИЯ СУММАЦИОННОГО

УРАВНЕНИЯ ВИНЕРА-ХОША.

§ 3.1. Задача фильтрации как задача минимума квадратичного функционала.

§ 3.2. Решение дискретного уравнения Винера-Хопфа для системы, ассоциированной со сжимающим узлом.

§ 3.3. Вычисление среднеквадратической ошибки и корректность оптимального фильтра.

§ 3.4. Решение задачи фильтрации в случае индефинитной метрики во внешних цространствах.ЮЗ

Линейные дискретные системы в пространствах состояний изучались многими авторами ( [l3 - [43 ).

Бели линейная система ассоциирована с операторным узлом,то по передаточной оператор-функции, которая является характеристической оператор-функцией (х.о.-ф.) в теории неунитарных операторов, операторный узел, а следовательно и линейная система, восстанавливается с точностью до унитарных отображений ( [l3 » [2 3 » и ). В настоящее время в работах М.С.Бродского ( [б] - [73 ), М.С.Лившица ( [43 , [?3 t М ), Крейна М.Г. ([93 , [юЗ ),

A.А.Янцевича ( И , [ИЗ .[123 ), В.А.Золотарева ( [133 - [l7]),

B.М.Бродского ( [93 , [ЮЗ , [ю] - [2l3 ) и других авторов (см., нацример, [223 - [243 ) построена теория операторных узлов и теория линейных систем, ассоциированных с операторными узлами. Это позволило цривлечь для исследования линейных систем метода спектральной теории несамосопряженных и неунитарных операторов* Если Н,, и - гильбертовы пространства, то символом Кил обозначается множество всех линейных ограниченных операторов, действующих из в Н^ . Определение. Операторным ^-узлом называется совокупность двух сепарабельных гильбертовых пространств Н и F и трех линейных ограниченных операторов Н, ИЗ [КЙ1) »

Е] и , удовлетворяющих узловым соотношениям:

I. 1-ТТ = фф+ t где и (ВЛ) г. I - Ф*Ф . (в.2)

Обозначать такой Jf-узел будем ^(Т^Ф^ (В.З)

Пространства Н и Е будем называть соответственно внутренним и внешним, а операторы Т и Ф - основным и каналовым. Самосопряженный оператор >76 [Е^ EQ , квадрат которого равен единичному оператору, называется оператором инволюции, С помощью оператора инволюции U во внешнем пространстве Е введена индефинитная метрика (скалярное произведение в индефинитной метрике будем обозначать { •,•} , а сопряженный оператор отмечать + в отличие от сопряженного оператора в дефинитной метрике, который отмечали ).

Легко видеть, например, что

3d = У Яя.

Для любых f, д € Е

Mi}- (f, х%у w, if,^9} откуда Х+-?Я*гГ . Аналогично можно получить Ф = УФ .

В работе [9J доказано, что если основной оператор ^-узла обратим, то и оператор J6 также обратим.

Пусть имеется дискретная открытая система, т.е. пара отображений, задаваемых соотношениями : аспн~Тссп.+Фи* (вл)

Л ' (Вв5) где ОС^в Hj, сгл] = СС(

-о f т.

Дискретная открытая система (В.4)-(В.5) называется ассоциированной с операторным ff -узлом (В.З), если операторы ~Т>Ф, У связаны узловыми соотношениями (ВЛ) - (В.2).

Рассмотрим матрицу S~fJ> $) , действующую в НФЕ и введем в этом пространстве инволюцию 5= I Q J J • Тогда, в случае обратимого основного оператора, выполнение узловых соотношений (ВД)-(В.2) эквивалентно условию V -унитарности матрицы $ , т.е. S IА .

Дн 0 \ * т —/ n ) . В самом деле 1 О JJ где i. \ u —e A и из условия .о s+=т* i

5° 6° 7° 8°

27 -унитарности матрицы

Ф" ЛИ имеем: тт*> ФФ = хи fr* + Уф+^о т *Т + Ф+Ф - хн т*ф •+ - о фТт + Jifty о ФфФ + Ж+Jt =х£ .

Соотношения 1° и 8° являются узловыми; из 7° находим выражение для ф , а все остальные, как нетрудно видеть, являются их следствием.

С помощью матрицы S соотношения (В.4)-(В.5) можно записать в виде / ^

I -0-п. осп

Элементы ZL^ , ОС, тУ^п будем называть соответственно эле

U. п

71 ' п ' ^TL ментами входа, внутреннего состояния и выхода дискретной открытой системы, ассоциированной с заданным ff -узлом.

Для таких открытых систем справедлив закон сохранения энергии :

- ^Jh - -1\% С <в'6) э^пн* ^тш") (ТССпЧ-фОг, 9

ОСп) +; ип<$Тэсп } + { Ф"тосп ,гс„] +

Следует отметить, что из закона сохранения энергии (В.6) вытекают условия узла (B.IMB.2).

В работах [в] , [12] , [25] было введено понятие линейной представимости состояний нецрерывных и дискретных систем, которое оказалось полезным при изучении нестационарных случайных процессов, полей и последовательностей второго порядка. Оказа -лось, что построение спектральных разложений таких нестационарных функций тесно связано с исследованием линейной системы в пространстве состояний. Представлению нестационарной случайной функции в виде суперпозиции "элементарных процессов" соответствует расщепление линейной системы на более простые компоненты, существенную роль при этом играют наличие инвариантных подпространств у операторного узла и соответствующие треугольные модели операторных узлов. Линейной представший случайный процесс (последовательность), рассматриваемый при каждом фиксированном значении параметра как элемент гильбертова пространства, является решением дифференциального (разностного) уравнения clocC-k) dtt idoc(-£) (В.7) осС-Ь)\ = ЭСо

-Ь-0 от — Тсс тьн (В.8)

СГтг. — ОС

71= О * где А ъ Т - линейные ограниченные операторы в соответствующих гильбертовых пространствах. С этой точки зрения исследование случайных функций сводится к изучению (В.7) или (В.8) в гильбертовых цространствах. В частности, если исследовать более общие системы вида Ая) + Jxa>, п I — ^О ^ где и т^ -линейно представимые случайные функции, то возникает задача: при каких условиях решения уравнений (В.9),(ВЛ0) будут тоже линейно представимыми? Для нецрерывного случая соответствующая задача изучалась в работе [ 26 J . Диссертационная работа посвящена последовательному анализу дис!фетной задачи (В.10), а также нахождению обобщенно линейно представимых решений задачи фильтрации нестационарных случайных последовательностей.

В первой главе рассматриваются операторные ^-узлы с обратимым основным оператором и линейная представимость состояний дискретных открытых систем, ассоциированных с операторными -узлами. Получены необходимые и достаточные условия линейной цредставимости входа, внутреннего состояния и выхода открытой дискретной системы, ассоциированной с операторным jf -узлом, а также вводится понятие характеристической оператор-функции операторного аргумента, как естественное обобщение классической х.о.-ф. комплексного аргумента. В § 2 главы I рассматриваются сопряженные операторные ^ -узлы, двойственные открытые системы и их характеристические оператор-функции операторного аргумента.

В § 3 главы I исследуется поведение характеристической оператор-функции операторного аргумента при сцеплении открытых систем. Получены также условия линейной представимости состояний дискретных открытых систем, ассоциированных с узлами ^ и ^ .

Рассмотрим частные решения системы (В.4)-(В.5), отвечающие входам lLn=:'U <b7Z f Где ^э - некоторое комплексное число определим в этом случае отображение входа системы на выход. Представляя аналогичным образом внутреннее состояние и выход системы: ЭСп= ОС-^7], , получаем , где С^Т-Т^ф.

Т; где

Таким образом мы пришли к хорошо известной и достаточно хорошо изученной х.о.-ф. (см., например, [28] -[31] ).

Выясним, когда, подавая на вход системы (В.4)-(В.5) сигналы tin , получим линейно цредставимые внутренние состояния, т.е. состояния вида ^ п= Л • ОС0 где Н] ; ОС£ И \ 71= ОJ . Элементы OCQ будем выбирать такие, что (J?-T)oc0 принадлежит области значений оператора ф.

Определение. Обозначим через , (Тб j~H} Hj ) множество всех линейных ограниченных операторов J€[H, Н] , для которых существует (л-туе Цн,нд.

Т.е. 4СТ) - множество линейных ограниченных операторов^ таких, что (А-~Т~) - вполне обратим [32^ « [ 33] .

Подставляя ОС^ А ООа , где Л € <| Ст) , в систему (В. 4)-(В.5), приходим к следующим соотношениям: ТУ^'ЩСЖ)^ > 77=0;{^ . , где оператор

35 ^ Символом 6(Т) , гдеТб [Н} Н] обозначают спектр оператора Т , [27] .

- 10 функции Ин (Jr~) и Ъу (Л~) имеют вид: (к-Т^Ф. (В. II)

Таким образом, мы пришли к (JO - х.о.-ф. операторного аргумента d , как передаточной функции дискретной открытой системы, ассоциированной с операторным f -узлом.

Пусть дан $ -узел Ф} Е> Л?) и в И есть подцространство Н^ , инвариантное относительно Т и Т индуцирует в ^2= НО обратимый оператор. Прекцией $ -узла [ 17 3 , на подпространство Н^ назовем операторный узел и на Нг.

Оператор Х± находим из соотношения

1-4>7Ф4= -xj-X

Проекции узла $ на подпространства Н1 и Hg будем обозначать

Теорема 1.4. Пусть jf- (Т9 Е, Я ) ^-узел и Н= Н4© Нл , где Hj? инвариантное относительно Т подпространство, в котором Т индуцирует обратимый оператор и Н^ и одновременно инвариантны относительно некоторого оператора Л € М, (~Г) „ Тогда, если / 5 f2=fXHJ 5 5 ,

- Т^г/^) • ОД •

Теорема 1.5. Дусть -ф. операторного аргумента ^-узла. Тогда ^ i> £7 , если J- Л А >0 0, если 1-А*.А-0 £0, если -1-А*-А<0.

В §§ 4-6 главы рассматривается-унитарная эквивалентность ^-узлов и определяющие свойства х.о.-ф. операторного аргумента, а также жесткие, относительно операторных ^ -узлов, пары операторов, которые тесно связаны с введенными в первой главе допустимыми для операторного jf -узла парами и тройками операторов. Определение. Jf -узел называется сильно неунитарным, если существует Определение. Операторной ^-окрестностью радиуса ^ 9 бесконечно удаленного оператора в гильбертовом пространстве будем называть множество всех линейных ограниченных обратимых операторов таких, что |f ^ > *С и обозначать (Н) .

Для ^ -узлов имеет место следующая Теорема 1.7. Пусть f -узлы ) » простые и^по крайней мере^один из них сильно неунитарен. Тогда, если в некоторой 7УС -окрестности бесконечно удаленного оператора имеет место тождество С^) ? то Tj = "Т^ * Щ ; 2ф± , причем ЦМ .

Л^У А2 - сцепление операторов А^ и (см .[34] ).

Аналогичным образом обозначается и сцепление ff -узлов. В § 1.6 первой главы вводится понятие пары операторов, жесткой относительно операторного ff -узла (В.З). Определение. Всякая пара операторов < dj , где СЕ ^ Е Ц , для которой выполнены условия АТ= ТА

ЛФ=ФВ ; ХВ ; ВВ+= B+B-JE и только такую пару будем называть жесткой относительно узла ^ или просто жесткой парой узла ff • Множество жестких пар Jf-узла (В.З) обозначено • ^ вопрос о связи жестких пар операторов сцепления и жестких пар сцепляемых jf -узлов ответ дает следующая

Теорема 1.9. Пусть $ - С^ , //, ,<Pi9E, Х£ )„ (t^U) —

-узлы и < b9ALleL(fi) .Если , то существует единственный оператор А такой, что Л— Л^Уи < В , dlGLCff) . При этом

Af-Vf-h А/Р*

В заключение первой главы построен пример операторного ^-узла с обратимым основным оператором, TL -мерным внешним и бесконечномерным внутренним пространствами. Получен явный вид операторов, задающих линейную представимость состояний дисхфетной системы, ассоциированной с этим ff -узлом.

В главе П рассматриваются двойные j^-узлы или с*-узлы, причем основной оператор узла не обязательно обратим. Итак, пусть заданы Н} Еу F - гильбертовы пространства. В пространствах Е и F при помощи некоторых сигнатурных операторов и введены индефинитные метрики: и4,илJe = (гг£и,, ) t где иь -ил€Е i ЪЪ^СЗрЪ, .где -О-,, -&2GF.

Определение. Совокупность гильбертовых цространств Н^Е^Р и операторов

Те Г К Н] 5 Фе[Е, Н] j н, F] хе ft, fJ будем называть оС -узлом и обозначать символом И т Н \ (У — ( Ф V ) (В. 12)

V Е X F / > если выполнены узловые соотношения т Т*+ ФФ+-1И Т*Т+ fT*+ Хф+= о Т*ф+ о (влз) урЧ>++ XJ?*- Тр Ф+Ф + ТЕ

Линейная дисрфетная система вида (В.4МВ.5), операторы которой связаны соотношениями (В.13), называются ассоциированной

- 13 с cL -узлом. При этом пространство И , как и в случае ^ -узлов, называется внутренним пространством, а Е и F соответственно пространствами входа и выхода системы. Пусть даны два об-узла. / Ц. Т{ Н{\ ol>i — I Ф> 4 ) в, FlJ" такие, что , = ^^ . Их сцеплением оС= oC^Yot^ называется совокупность пространств Н= Н2 v & = и операторов

Ф-Ф,+<&х, •> У-лкКЦ + Ы'> я-ХхЪ * где ^ - ортопроекторы на Н^ , (I- f,2) . Легко проверить,что сцепление двух об-узлов является об-узлом. Оператор-функции l/lQ(JE) и Т^С^О определяются следукнцим образом: = 3d+Ф а-ту'ф ь ^ 60e C^-tJ ф. "i Ti нА

Теорема 2.1. Пусть I Фг- фг- I (i^/ £) Е< К F; J , два oL -узла-иа^о^Уа^. Если AjY, где J1 6 MCrf) и Ад € <i (Tz) , то

1) d € 4(Т)

2) [I- (4тЪ}

В частном случае, когда коэффициент сцепления ^ > получаем

Определение. Пару операторов <(£><?> Л > или тройку операторов <ВеД Ва> будем называть допустимыми для Ы. -узла, если и выполняются

Теорема 2.3. Пусть a£-»<*fYofe ( Нг- Т£

0i

Хг и тройки операторов <Ъе, Л^ЪУ и ^Ф, допустимы для узлов и CXj, соответственно. Тогда, если Л^Л^Л^ с коэффициентом сцепления , то для того, чтобы тройка операторов < Bg,,^ Ва> была допустима для оС необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

Г (АгТлу1. Cj.J- Вес ЪСйл-тлу*Ол о ,

Определение. Операторный ОС -узел называется сильно неунитарным, если существуют операторы

Теорема 2.5. Пусть узлы [ ф U ^Л (i=i£) со „, ' [ В F J , цростые Ур = Ур — ZfF J ,и7по крайней мере, один из них сильно неунитарен. Если в некоторой -окрестности бесконечно удаленного оператора имеет место тождество ), то T^l} ; — "#2. и существует такое Я , что \2\ — d

Важное свойство таких характеристических функций состоит в том, что они определяют операторный узел с точностью до унитарной эквивалентности. В теореме 2.5 показано, что х,о*-фг операторного аргумента определяет операторный узел более жестко, чем обычная х.о.-ф. комплексного аргумента.

В главе Ш решается задача фильтрации стационарных последовательностей на конечном интервале с использованием теории операторных узлов. Проблеме фильтрации состояний линейных дискретных систем с постоянными коэффициентами-матрицами посвящено значительное количество исследований [Зб] - [38J . Наиболее существенный вклад в теорию фильтрации внес Калман, но даже в случае постоянных коэффициентов задача фильтрации сводится к достаточно сложным матричным уравнениям, решение которых в общем случае не получено. Теория фильтрации на конечном интервале Винера и Колмогорова для стационарных случайных последовательностей сводится к проблеме факторизации матриц-функций и тоже не допускает эффективного решения в общем случае. Подход с использованием теории операторных узлов позволяет получить решение задачи в явном виде. Целесообразность такого подхода объясняется еще и тем, что, как показано в диссертации, произвольная дискретная линейная отбытая система вида (В.4)-(В.5), операторы которой не связаны никакими соотношениями, всегда может быть расширена за счет изменения внешних пространств до системы, ассоциированной с унитарным операторным узлом. Понятия операторного узла и линейной представимости оказываются полезными при получении оценок внут -ренних состояний линейных систем.

Вернемся к открытой дискретной системе (В.4)-(В.5), ассоциированной с операторным узлом, где пространства Н, Е, F - конечномерные: cLm Е =771 • dim Н=- р ; cLim F= ^ . Кроме того, входные сигналы, а следовательно и внутренние состояния и выход системы - комплексные векторные случайные последовательности: и^ос^еЕ ; ЗСп(сй)е Н ; сое Л , где 12 - некоторое вероятностное цространство. В пространстве Е скалярное произведение задается естественным образом:

Наряду с операторной нормой матрицы

II Асе Г рассмотрим и другую, которую будем обозначать || • jj

И А 11= j/ Tt (d d*)

Будем считать, что входящие в рассмотрение случайные последовательности и величины коррелируют следующим образом: м 5 ср>о)

М (и* Ц?) = ^» С, где к - символ Кронекера, а 1Н и - единичные матрицы в пространствах Н и Е ; и ^ между собой независимые и Mcocj=0 ; М(гсп)=0 ; M-J- .

Учитывая требования линейности и несмещенности, предъявляемые к оценкам, будем искать оценку внутреннего состояния системы в момент jV в виде л ^ где [itfc I- искомый набор матриц размерности р* , который определим из условия минимума среднеквадратического отклонения II гу. £ \\ ^

В пространстве матриц размерности р х ^ можно ввести скалярное произведение и норму и по отношению к построенной метрике задача нахождения минимума среднеквадратического отклонения является задачей отыскания минимума квадратического функционала, т.к. „ А „2 „ Л ^ и«

У . - . V

N-L где

A/-i

Определение. Последовательность называется обобщенно линейно представимой в соответствующем гильбертовом пространстве, если её можно представить в виде 0Сп=~Г(71) СС0 , где Т(тО= М (Tn)(z и М} Ту (£ - линейные ограниченные операторы в соответствующих гильбертовых пространствах.

В §§ 3.1-3.3 решена задача фильтрации состояний системы в случае, когда система ассоциирована со сжимающим узлом. Получены явные выражения для искомого набора матриц {~W~K j- , которые являются обобщенно линейно представимыми решениями соответствующей системы разностных уравнений Винера-Хопфа.

Если основная матрица системы Т имеет £ собственных значений по модулю равных единице, то

В данном случае £ - размерность замкнутой ненаблюдаемой подсистемы открытой системы. Кроме того, корректность построенной оценки характеризуется и тем, что при /V-^оо среднеквадратичес-кая ошибка II Х - ос^ ^ ограничена.

В § 3.4 решена задача фильтрации для случая, когда открытая система ассоциирована с операторным узлом, узловые соотношения которого записаны по отношению к индефинитным метрикам, введенным во внешних пространствах. Получены явные решения ^ ^ Р которые также являются обобщенно линейно представимыми решениями соответствующей системы разностных уравнений Винера-Хопфа; получено точное выражение для среднеквадратической ошибки ^лГ^^Д/)

Для удобства изложения каждая глава разделена на параграфы, занумерованные двумя цифрами: номер главы и номер параграфа в главе. Необходимые соотношения и утверждения (леммы, теоремы) нумеруются независимо в пределах каждой главы двумя цифрами: номер главы и номер соотношения или утверждения в нем.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [48] - [53].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту Артему Артемовичу Янцевичу за постоянное внимание и помощь . при выполнении работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в первых двух главах рассмотрены линейные дискретные лами. Получены подгрупповые решения неоднородного разностного уравнения в гильбертовом пространстве. Указаны необходимые и достаточные условия линейной цредставимости состояний указанных систем и систем, двойственных по отношению к ним. Как естественное обобщение понятия классической характеристической оператор-функции операторного узла, введена х.о.-ф. операторного аргумента,которая является передаточной оператор-функцией линейной системы, ассоциированной с операторным узлом. Такие х.о.-ф. операторного аргумента обладают многими свойствами обычных х.о.-ф* В частности, имеют место их У-свойства; они определяют операторный узел с точностью до унитарной эквивалентности, а при некоторых условиях определяют его даже более точно, чем обычная х.о.-ф. комплексного аргумента: из совпадения таких оператор-функций следует,что внутренние операторы узлов совпадают, а каналовые операторы определяются с точностью до унитарного цреобразования вида TJ—3-I f где , а I - единичный оператор. Получены соотношения, связывающие х.о.-ф. операторного аргумента сцепления и сцепляемых У - и Ы-узлов и соотношения, связывающие х.о.-ф. операторнопозволяют решить задачу линейной цредставимости входа и выхода линейной дискретной системы с помощью одного оператора.

Одной из важных причин внимания к линейным дискретным открытым системам, ассоциированным с унитарными операторными узлами, является то, что цроизвольная линейная дискретная отбытая система всегда может быть расширена до системы, ассоциированной открытые системы, ассоциированные с операторными го аргумента операторов, жес юе понятие пары теоремы 1.8 и 1.9 с унитарным операторным узлом. Причем указанное расширение можно осуществить за счет расширения только внешних пространств.

В третьей главе диссертации решена задача фильтрации (на конечном промежутке) состояний линейных дискретных систем, ассоциированных с операторными узлами. Решение задачи фильтрации осуществлено в рамках подхода Винера-Колмогорова. Сперва решена задача для случая, когда линейная система ассоциирована со сжимающим узлом, т.е. во внешних цространствах введены только дефинитные метрики и по отношению к ним записаны узловые соотношения, а значит основной оператор системы является сжатием. Кстати, учитывая конечномерность пространств, было доказано, что в этом случае размерности внешних пространств совпадают. Решение задачи получено в явном виде, получено также точное выражение для среднеквадратичеА ского отклонения оценки JCN от реального внутреннего ОС.^ состояния системы. Показано, что в случае, когда система ассоциирована с операторным узлом, величина среднеквадратического отклонения ограничена. Корректность построенного оптимального фильтра подтверждается и тем, что цри ослаблении корреляции входных сигналов + О") , ограничено указанное среднеквадратическое отклонение л л Л 2

Ьогде X. - число собственных значений основной матрицы ~Г , равных по модулю единице, a jzМС^о^о н » Cf^^O") ;

1Н - единичная матрица во внутреннем пространстве И

В том случае, когда матрица Т является вполне неунитарной, т.е. не является унитарной ни в Н , ни в каком-либо его подпространстве (приводящем Т ), отличном от | Oj » рассматриваемый предел равен нулю.

Вторая часть третьей главы посвящена решению задачи фильтрации состояний линейной дис1фетной системы в случае задания во внешних пространствах индефинитных метрик, т.е. линейная система ассоциирована с некоторым операторным oL -узлом. В этом случае основная матрица Т уже не является сжатием. Получено явное решение задачи и точное выражение для среднеквадратической ошибки.

В первых двух главах цриведены конкретные примеры,иллюстрирующий изложенный материал.

Замечание о том, что произвольная линейная дискретная открытая система может быть расширена до системы, ассоциированной с унитарным операторным узлом, ставит своей целью показать, что, например, при решении задачи фильтрации возникает ряд задач (в частности, воцрос о связи среднеквадратической ошибки оценки для данной и расширенной систем), требующих специального исследования, выходящего за рамки настоящей работы.

- 1X3

1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по мат.теор.систем. -М.: Мир, 1971. 400 с.

2. Аров Д.З. Пассивные линейные стационарные динамические системы. Сиб.мат.ж., 1979, 22, № 2, 211-228.

3. Аров Д.З. Устойчивые диссипативные линейные стационарные динамические системы рассеяния. У О pernios ТЯеску,bucPiatesir , 1979, № 2 , 95-126.

4. Лившиц М.С. Линейные дискретные системы и их связь с теорией факторизации мероморфных функций М.М.Джрбашяна. ДАН СССР, 1974, 219, № 4, 793-796.

5. Бродский М.С. Унитарные операторные узлы и их характеристические функции. УМН, 1978, XXXIII, вып.4(202), I4I-I68.

6. Бродский М.С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. М.: Наука, 1969. - 287 с.

7. Бродский М.С., Лившиц М.С. Спектральный анализ несамосоцря-женных операторов и промежуточные системы. УМН, 1958, XIII, № 1/79, 3-86.

8. Лившиц М.С., Янцевич А.А. Теория операторных узлов в гильбертовых цространствах. Харьков: Изд-во Харьков.ун-та, .1971. - 160 с.

9. Бродский В.М., Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. 0 характеристических функциях обратимого оператора. Jfctd Sci. Mczifb. , 1971, 32, I4I-I64.

10. Бродский В.М., Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Определение и характеристические свойства У -узла. Функц.анализ и его црил., 1970, 4, № I, 88-90.

11. Янцевич А.А. Операторные if-узлы и ассоциированные открытые системы. Теория функций, функц.анализ и их цриложения,1973, вып.17, 215-220.

12. Янцевич А.А. Применение теории операторных узлов к исследованию нестационарных случайных процессов и последовательностей. Материалы всесоюзного симпозиума по статистике случайных процессов. - К.: Наукова Думка, 1973, 229-232.

13. Золотарев В.А. Об открытых системах и характеристических функциях коммутирующих систем операторов. Рукопись деп. в

14. ВИНИТИ, 1979, 9Б662 Деп. 36 с.

15. Золотарев В.А. Коммутативные расширения и треугольные модели систем операторов. Рукопись деп. в ВИНИТИ, 1982, ПБ886 Деп. - 50 с.

16. Золотарев В.А. Метод открытых систем. Треуголные и функциональные модели коммутативных систем двух операторов. -Рукопись деп. в ВИНИТИ, 1984, 9Б630 Деп. 166 с.

17. Золотарев В.А. Коммутативные унитарные метрические узлы и их приложения. Г^копись деп. в ВИНИТИ, 1984, 9Б631 Деп. -160 с.

18. Xotoia'ct-ov ~V. Za fixci-otcsa-iior? ales ^ondions des opetcttewcs de ttanemissCon et £a meth ode de (a dornsttucHon cL''opetateuts invetsibfes dans

19. U- Opetaiot TAeotg, bucfiatest 9 J27-157

20. Бродский В.М. Теоремы умножения и деления характеристических функций обратимого оператора. Jcta ScL МаШ. , 1971, 32, 165-175.

21. Бродский В.М. Об операторных узлах и их характеристических функциях. ДАН СССР, 1971, 198, № I, 16-19.

22. Бродский В.М. Некоторые теоремы об узлах и их характеристических функциях. Функц.анализ и его прил., 1970, 4, вып.З, 95-96.

23. Бродский В.М. Восстановление операторного узла по его характеристической функции. Рукопись деп. в ВИНИТИ, 198I, 10Б713 Деп. - 13 с.

24. Могилевская P.JI. Треугольные модели операторов с медленно растущей резольвентой. Теория функций, функ.анализ и их прил., 1977, вып.27, 95-105.

25. Руткас А.Г. Пары несамосопряженных операторов и операторные гиперузлы. Укр.мат.ж., 1970, 22, № I, 37-52.

26. Сахнович Л.А. 0 факторизации операторно-значной передаточной функции. ДАН СССР, 1976, 226, № 4, 781-784.

27. Цекановский Э.Р,, Яновер В.Г. Некоторые применения спектральной теории несамосопряженных операторов к исследованию случайных процессов. Материалы всесоюзного симпозиума по статистике случайных цроцессов. - К.: Наукова Думка, 1973, 200203.

28. Маркус М.А., Цекановский Э.Р., Янцевич А.А. Линейно предста-вимые решения дифференциальных уравнений в гильбертовых цространствах. Математические методы кибернетики. - К.: Наукова Думка, 1980, 17-28.

29. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

30. Кужель А.В. Спектральный анализ квазиунитарных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. Теория функций, функц.анализ и их црил., 1967, вып.4, 3-27.

31. Кужель А.В. Обобщение теоремы Надя-Фояша о факторизации характеристической оператор-функции. Ma Ed. Maik. , 1969, 30, 225-234.

32. Кужель А.В. Характеристичн1 матриц1-функц11 кваз1ун1тарних оператор1в дов1льного рангу в цростор1 з 1ндеф1н1тною метрикою. ДАН УРСР, 1962, № 9, II35-II38.

33. Кужель А.В. Теорема умножения характеристических матриц-функций неунитарных операторов. В сб.: Научн.докл. высшей школы. -М.: Советская наука, 1959, 3, 33-41.

34. Шмульян Ю.Л. О дробно-линейных цреобразованиях с операторными коэффициентами и операторных шарах. Матем.сб., 1968, 77(119)3, 335- 353.

35. Крейн М.Г., Шмульян Ю.Л. О дробно-линейных преобразованиях с операторными коэффициентами. В сб.: Матем.исследования. -Кишинев: Штиинца, 1967, 2, вып.3(5), 64-96.

36. Лившиц М.С. Операторы, колебания, волны. (Открытые системы). -М.: Наука, 1966. 300 с.

37. Бала1фишнан А,В. Теория связи. М.: Связь, 1972. - 392 с.

38. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси, М.:Наука, 1982. - 200 с.

39. ТПоуват? 2.J.A По-te on ^автап Вису fi frets i&Lifi. jceko measurements noise.—2EEE, ~Ftans. Auiomai Oarrtt. , v. 1Q, 263-2S4 .

40. Острей К. Введение в стохастическую теорию управления. -М.: Мир, 1973. 322 с.

41. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. -536 с.

42. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.- 576 с.

43. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

44. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

45. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: Иностранная литература, 1962. 830 с.

46. Viak V. Tlotms and 3peotm£ tadius of morttices— Czech. Maipi. J. , 1962, p 553-357 .

47. TEandetS H. On -the notm and spectta£ tadius— Li-neat and МивИеопеал: ЩеДш^ 1Q74^ лг£^р 239-240.46. ~WL77)777et НаговсС Jd% SpekitaibOLcCius und spektzafoiotrnr

48. CzecpL. МЫЯ. 2Г. , <f974 s p. <50i- 502 .

49. Калюжный B.H. О критическом показателе сжатий в эвклидовом пространстве. Теория функций, функц.анализ и их прил., 1979, вып.31, 63-64.

50. Когут Е.А., Янцевич А.А. О линейной представимости состояний дискретных открытых систем, ассоциированных с jj- -узлами. -Вестн.Харьк.ун-та, 1982, вып.47, л 230, 60-66.

51. Когут Е.А., Янцевич А.А. 0 сцеплении операторных узлов и ассоциированных с ними открытых систем. Ве с тн.Харьк. ун-та, 1982, вып.47, & 230, 66-69.

52. Когут Е.А., Янцевич А.А. Унитарная эквивалентность линейных дискретных систем и передаточные функции операторного аргумента. В сб.: Вычислительные методы кибернетики.-К.:Наукова Думка, 1982, 61-69.

53. Когут Е.А. Исследование передаточных функций линейных дискретных систем в пространствах состояний. Рукопись Деп. в ВИНИТИ, 1982, » 6505-82 Деп. - 80 с.

54. Когут Е.А. Унитарные операторные узлы и их характеристические функции операторного аргумента. В сб.: Теория функций, функц. анализ и их прил. Харьков: Изд-во ХГУ, 1983, вып.40, 95-101.

55. Когут Е.А., Янцевич А.А. Применение теории операторных узловк решению задачи фильтрации. Рукопись Деп. в УкрОИИНТИ,1984, Jfc 2132 УК. - 84 Деп. - 29 о.