С-полугрупповой подход к регуляризации некорректных дифференциально-операторных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. М. ГОРЬКОГО

С-ПОЛУГРУППОВОЙ ПОДХОД К РЕГУЛЯРИЗАЦИИ НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 517. 9

Бочкарева Светлана Витальевна

Екатеринбург - 1994

Работа выполнена в Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени А. М. Горького на кафедре математического анализа и теории функций.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Профессор И. Е МЕЛЬНИКОВА Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - институт математики Сибирского отделен

Российской академии наук (г. Новосибирс

78. 03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математ ческих наук в Уральском ордена Трудового Красного Знамени гс сударственном университете имени А. Ы. Горького

( 620083, г.Екатеринбург, К-83, пр.Ленина, 51, к.248 )

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральскс госуниверситета.

Автореферат разослан "¿6}' " О к Г Я " 1994 г. Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

К Г. Пимене

профессор Е Е КИСЛОВ,

кандидат физико-математических наук,

доцент А. Р. ДАНИЛИН

Защита диссертации состоится "КоЯд^рл. " 1994 г

в " /3 " часов на заседании специализированного совета К 063.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи математической физики могут быть записаны в форме дифференциально-операторных задач, что приводит к необходимости создания и изучения для них общих методов решения. Поскольку получающиеся задачи не всегда корректно поставлены, то актуальной проблемой является построение приближенных решений и изучение классических решений для задач с ослабленным требованием устойчивости.

Ключевой среди абстрактных краевых задач является задача Коши для уравнений первого порядка: -

* 'С-6) = Аи.М , 6 ^о-

(АЗК) '

и. (О) = X..

В методах исследования и решения некорректной задачи Коши можно выделить два различных направления:

1. Построение приближенного решения задачи Коши, устойчивого в Е относительно 8 - погрешности исходных данных

.Х^: // ос. - Д2 £ ¡/ ^ Е на основе методов регуляризации.

2. Определение более общих, чем сильно непрерывные полугруппы, полугрупп операторов, с помощью которых на некотором подпространстве начальных данных Х0 25 (А) строится решение задачи Коши, устойчивое относительно изменения

по норме К' Цу , более сильной, чем норма исходного

ла

пространства

Первый подход к решению некорректно поставленных задач, использующий понятие регуляризующего оператора,, был введен на основе работ К К. Иванова, М. И. Лаврентьева и А. Е Тихонова, и применялся для решения задач, записываемых в форме опера-

торных уравнений I рода:

К U. = Л.

Затем, в силу сложности операторов К , получаемых при сведении дифференциальных и дифференциально-операторных задач к уравнению (1), получили развитие методы, учитывающие дифференциальную специфику этих задач. К таким методам относятся: метод квазиобращения, метод вспомогательных граничных условий (ВГУ) и метод A. Carasso.

Ко второму направлению относятся теория полугрупп роста J. (G. DaPrato, IL Е. Соболевский), теория полугрупп классов (S. Oharu), теория п -раз интегрированных полугрупп (V.Arendt), теория С -полугрупп (Q. Da Prato,E. Davies, М. Pang).

Целью работы является: 1) исследование операторов А , порождающих (АЗК) с различными свойствами корректности и построение на основе этих свойств классификации генераторов полугрупп, начиная от сильно непрерывных до локальных С-полугрупп; 2) изучение и построение методов регуляризации некорректных задач, связанных с различными С -полугруппами.

Общие методы исследования. В работе использованы теория линейных операторов, теория некорректных задач, функциональный анализ, теория функций и численные методы.

Научная новизна. Получена классификация полугрупп по спектральным свойствам производящих операторов. Доказана связь между существованием регуляризующего оператора для некорректной задачи Коти и существованием локальной С -полугруппы, порожденной оператором задачи. На основе С -полугруппового подхода к регуляризуодим операторам введены новые

классы регуляризаторов и для них в гильбертовом пространстве получены точные по порядку оценки погрешности. Исследована возможность численной реализации регуляризующих алгоритмов, построенных методом вспомогательных граничных условий и методом конечных сумм для задачи Дирихле для одномерного волнового уравнения, предложена модификация метода конечных сумм.

Практическая и теоретическая ценность. Проведенное исследование позволяет с единой точки зрения рассматривать по-лутрупповые методы и методы регуляризации задач, служит дальнейшему развитию теории С-полугрупп и расширяет возможности приложений этой теории. Построенные и изученные регу-ляризующие алгоритмы могут быть использованы для решения конкретных некорректных дифференциальных задач.

Апробация работы. ' Основные результаты диссертации были доложены и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа и теории функций Уральского государственного университета, на конференции "Пятая школа молодых математиков Сибири и Дальнего Востока" (Новосибирск,1990г.), на международной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск, 1992г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Структура работы. Диссертация изложена на 126 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, пяти приложений и списка используемой литературы, включающего 73 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе I диссертации получена классификация полугрупп по поведению производящих операторов. §й посвящен сильно непрерывным Са-полугруппам, §2 п.-раз интегрированным полугруппам.

Определение 2.1. Пусть Е - банахово пространство, п. Однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов i&oj называется п. -раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппой, если S

mi fZTfi JlCs-tf-1 V(itz)-(t+s-zr'

(VI) 'о

• V(z)]oLil = Vß)V(s); ? V(C?)=0;

(V2) VxgE l/¿-i)x. непрерывна no t С?■ (V3) 3M> 0 tuu e fc ://[/(£)!/< M ex f>(uj±) Если полугруппа не вырождена, то оператор

ро

= , /€2 Л ^ со

о

обратим и существует единственный оператор А такой, что ~ Х- А при А А > и) . этот оператор А : = > — не зависит от Л , и называется генератором

п -раз интегрированной полугруппы

Arendt V., Vector valued Laplace transforms and Cauchy problems, Israel. J.Math. 59 (1987), 327-352.

В диссертации построен класс операторов:

с областью определения (3) г

которые при различных значениях параметра функции ^ являются генераторами сильно непрерывной, интегрированной или С -полугруппы.

Утверждение 1.3. Оператор А , определенный в (2), (3) порождает сильно непрерывную полугруппу { О(-6) • О} при

{(за) в ¿с* , О Л $ 2. 7 Я(эс) ^ / +

Утверждение 2.2. Оператор А , определенный в (2), (3) порождает при

= х 7 О < оС ^ 2 , А(х) - / +

1-раз интегрированную полугруппу и не порождает сильно непрерывную полугруппу.

Определение 2.4. Пусть п. & А/ , и ТВ [О, у: = Со,7) (СО, Т]). Однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов ( \/(£) ) ^ £ * } называется локальной п. -раз интегрированной полутруппой на У , если свойство (VI) выполняется для У таких, что + €)ВУ,

свойства (V2), (V4) выполняются для ~Ь £ У. Определим оператор А0 :

А. ; ^'(ЛЫ - *

А + о Л >

v/^V/C;

X - X

« _ -to Я- )

0< д

где CnfS)- ^ {x£Elv(-)sc : to J)^ t п раз не_

прерывно дифференцируема J .

Известно г , что оператор А 0 допускает замыкание. Определение 2.5. Оператор А - называется пол-

ным инфинитезимальным генератором (CIG) локальной п. -раз интегрированной полутруппы.

Для локальных п. -раз интегрированных полугрупп получен более общий, чем у Е Танаки и Е Оказавы, результат о расположении регулярных точек полного инфинитезимального производящего оператора h с :

Теорема 2. 3. Пусть (\ - плотно определен и является CIG локальной п -раз интегрированной полугруппы [ v(i); О^б^т} на Е . Тогда существует oj £ ft такое, что

V Z < Т Г : - £ А fU \ > UJ , / Хдп А / < < е*/><г/Ьл М j ^ j> (А) г

Tanaka N. , Okazawa N. , Local C-semigroups and local integrated semigroups, Proc. London Math. Soc. 61 (1990), N3, 63-90.

В §3 рассмотрены экспоненциальные и локальные С -полугруппы.

Определение 3.1. Пусть С - инъективный линейный ограниченный оператор с плотной в банаховом пространстве Е областью значений. Однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов t ^ О} называется экспоненциально ограниченной С -полугруппой, если

(С1) 3(И-А)С =

(С2) Ь' ос 6 Е непрерывна по " » О ;

(СЗ) зм /Со еК ■■ 1(В(1г)Ц$ мгх/>(<"±): * ■

Однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов £5 (¿); 0±±&т} называется локальной С-полутруппой на Е, если для него выполняются условия (С1) и (С2) при

СО,тЗ.

В диссертации построены примеры, доказывающие существование локальных С -полугрупп, которые нельзя продолжить на все > О и генераторы которых не порождают локальную интегрированную полугруппу. Один из примеров получен на основе доказанной в главе II связи локальных С -полугрупп с регу-ляризующими операторами задачи Копш.

В §4 описаны связи между производящими операторами сильно непрерывных, интегрированных, С -полугрупп, а также полугрупп классов и роста оС , показано, что генераторы полугрупп классов С (& ) являются частным случаем экспоненциально ограниченных интегрированных полугрупп. Построена

схема, отражающая полученные соотношения и доказано строгое вложение классов операторов, выделенных в схеме.

Изложенные в главе I результаты о генераторах полугрупп позволяют сделать следующий вывод: оператор А , имеющий точки спектра в области Яг а > со для любого со , не может порождать ни одну из перечисленных вше экспоненциально ограниченных полугрупп. Если же оператор А имеет спектр, вкллчаиций в себя неограниченно возрастающие точки действительной полуоси (а ) «»«=» ) , то он не может порождать и локальную п. -раз интегрированную полугруппу. Для исследования САЗК) с таким оператором применимы лишь локальные С -полугруппы, которые, как показано в главе II, могут совпадать с регуляризаторами некорректной задачи Коши.

В Главе II диссертации исследованы некорректные задачи Коши с операторами А , порождающими локальные С -полугруппы. §5 посвящен регуляризации некорректных задач

и - Аи-Ю , О й -6 <: т,

(ЛЗК) '

и. (О ) - ос.

с операторами, удовлетворяющими условиям:

ЗМ>0 V* $ : = { Д в £ ¡0^9 А I < (А1) ^

¿¿<зс/ч} . Ц£а (а) II * м(-1 + 1х\)'1

или (А2)

3 М > о ) СО €■ & V А £ £г; = : ¡Як А \<

/ < , Ял А >и>,ъ>о} //¿а(А)//£М

Рассмотрен метод квазиобращения, состоящий в замене уравнения (ЛЗК) уравнением с возмущенным оператором:

и метод вспомогательных граничных условий, состоящий во введении в граничные условия дополнительных слагаемых с малым параметром:

Ъ./ё8(-Ь)= A s(i)fO<t<T-h* ,г->0 , <5 >0; е s(o) + a ue¿(T + t) =

U

?

■ /

Этим методам соответствуют регуляризующие операторы:

Rfi(T)xs : = U€r(T) =

S ' ití f 9G-,

R¿ (T)xf ••= £¡>s (T) =

= Г--— fLA(x)Xsd*

¿xl j f í- а е*р(л(т+т:)) H ЭСг

■ и

В §6 показано, что регуляризующие операторы /К^ (т) и К- £ (Т) совпадают с С -полугруппами, у которых оператор С зависит от параметра регуляризации £ • Более того, для класса операторов Д , содержащего классы (А1) и (А2) доказана связь между существованием регуляризуювдх операторов (ЛЗК) и существованием С -полугрупп с генератором /) .

Теорема 6.1. Пусть оператор -/) порождает сильно непрерывную полугруппу в банаховом пространстве Е . Тогда следующие условия эквивалентны:

(I) оператор является генератором локальной С ^ -полугруппы ■[ ); 06-6 ¿Т} -'с оператором сильно сходящимся к единичному оператору при £ О ■

(II) для (ЛЗК) существует линейный регуляризатор ¿^¿С^), О ¿Ь йТ , обратимый и коммутирующий с А

В |7 на основе С^полутруппового подхода к методам регуляризации, для (ЛЗК) в гильбертовом пространстве с самосопряженным оператором А , порождающим базис из собственных векторов {¿^, введены два различных класса регуляризато-ров:

оо

Здесь Лд : ~ < Л 4 < ь ., - собственные значения, отвечающие собственным векторам оС £ .В первый из построенных классов входит регуляризатор, полученный методом квазиобращения, во второй - полученный методом ВГУ. Для этих классов

регуляриэаторов в гильбертовом пространстве получены точные по порядку оценки погрешности логарифмическая и степенная по £ , соответственно.

Глава III диссертации посвящена некоторым аспектам численной реализации методов регуляризации, фи численной реализации представляет интерес такая характеристика регуляризующего оператора, как свойство Маслова, т. е. наличие эквивалентности сходимости данного регуляризатора и существования решения задачи. В работе ^ свойство Маслова доказано для оператора, регуляризующего (АЗК) методом квазиобращения. §8 диссертации посвящен изучению свойства Маслова для регуляризующего оператора, полученного методом ВГУ.

Численное решение модельных некорректных задач Коши для уравнений первого и второго порядков было выполнено в рабо-

1Г

тах И. К Мельниковой, А. Ю; Фрейберга, М. М. Аль шанс ко го-. Задачи с другими краевыми условиями, и в частности, двойственная к задаче Коши задача Дирихле, оказались менее изученными. В

I

Маслов К П., Существование решения некорректной задачи эквивалентно сходимости регуляризующего процесса,Успехи мат. наук 23 (1968), Вып. 3, 183-184.

— Мельникова И. & , Фрейберг А. Ю. , Регуляризация некорректной задачи Коши для уравнений второго порядка в банаховом пространстве, Дифференц. ур-ния 22 (1986), N8, 1332-1338; Фрейберг А. Ю., Численная реализация метода краевых задач для регуляризации некорректной задачи Коши первого порядка, Деп. в ВИНИТИ, 1987, N582-В88, 9с; Альшанский М. А. , Мельникова И. В. , Фрейберг А. Ю. , Численная реализация метода краевых задач, Журн. вычислит, мат. и мат. физ. 30 (1991), N6, 929-933.

§9,10 исследована численная реализация задачи Дирихле для одномерного волнового уравнения:

и. (о,ос) = и1(ос) , ос & ЕО,б],

(4)

и. (Т?х) = , * & СО,е1,

а (-Ь,0) = и. (-ь,е) = о, * 6 £ О,Т]^

В §9 задача решена в банаховом пространстве методом ВГУ путем сведения некорректной задачи Дирихле к решению (стандартными численными методами) серии корректных задач Коши. В §10 задача решена в пространстве [0, методом ВГУ и методом конечных сумм, а также предложена модификация метода конечных сумм. На основе анализа результатов даны рекомендации по выбору метода, исходя из поставленной задачи.

Методом Фурье можно получить формальное решение задачи (4) в виде ряда:

9

Э2" г

, * есо.т] £0,е]

>

(5)

Л

, с¿л = реп \/7п X .

При Т и С. таких, что т/е - целое число, знаменатель обращается в ноль и и.(сс. ,Ь) не определено. Из формулы (5) видно, что находить приближенное решение задачи (4) можно следующими способами:

а) регуляризовать за счет ограничения числа слагаемых в формуле (5) (метод конечных сумм);

б) регуляризовать каждое слагаемое в (5) одним из изученных методов, например, методом ЕГУ;

в) исключать из суммирования те слагаемые, которые имеют равный или близкий к нулю знаменатель, например, в случае £ / Т - Ч исключать'члены ряда с индексом, кратным четырем.

Таким образом, делая выбор между методом конечных сумм (а) и его модификацией (в), очевидно, стоит остановиться на последнем. Однако, чем меньше номер ke.lV (индекс первого члена последовательности » близкого к целому числу),

тем больше становится погрешность вычисления. Поэтому при малых А > / следует использовать метод ВГУ. При А - 1 ни один из методов не дает удовлетворительного результата, для сходимости метода следует изменить величину отношения Г.

Все вычисления проводились на ЭВМ типа IBM PC/AT 286 в среде операционной системы КБ DOS 5.0; для методов гильбертова пространства использовался пакет прикладных программ MATHCAD 2.0, для разностного метода (ВГУ для банахова пространства) использовался алгоритмический язык GWBASIC, версия 3.23.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Бочкарева С. В., Корректность задачи Неймана, Пятая школа молодых математиков Сибири и Дальнего Востока. Тезисы докладов, Новосибирск, 1990, 19-20.

2. Бочкарева С. В., Численное решение задачи Дирихле для волнового уравнения, Деп. в ВИНИТИ. 1992, N 3714-В92, 22с.

3. Мельникова К В. , Бочкарева С. Е , Свойство Маслова для метода квазиобращения и метода краевых задач, Сб. науч. трудов "Исследования по теории приближений", Свердловск, 1988, 46-50.

4. Мельникова И. В. , Бочкарева С. R , С-полугруппы и регуляризация некорректной задачи Коши, ДАН СССР 329 (1993), N3, 270-273.

5. Мельникова И. В., Бочкарева С. В., Классификация дифференциальных методов регуляризации, Всес. конференция "Услов-нокорректные задачи математической физики и анализа". Тезись докладов, Новосибирск, 1992, 27-28.