Исследование некорректных дифференциально-операторных задач полугрупповыми методами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.М.ГОРЬКОГО

На правах рукописи

АНУФРИЕВА Ульяна Алексеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ ЗАДАЧ ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

01.01.01-математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор И.В. Мельникова

Екатеринбург 1999

Содержание

Введение.....................................................3

Глава 1. Абстрактная задача Коши, корректная в

пространствах ультрараспределений........22

1.1. Пространства абстрактных ультрараспределений Берлинга............................................22

1.2. Обобщенная корректность задачи Коши в пространствах ультрараспределений Берлинга.....28

1.3. Классическое решение задачи Коши с оператором

А, порождающим А'-конволюционную полугруппу . 36

Глава 2. Построение регуляризующих операторов для некоторых дифференциально-операторных задач.............................41

2.1. Интегрированные полугруппы......................42

2.2. Вырожденные полугруппы..........................47

2.3. Регуляризация задачи Коши с оператором А, порождающим интегрированную полугруппу.......52

2.4. Регуляризация вырожденной задачи управления ... 58

Глава 3. Задача Коши для вырожденного

уравнения второго порядка...................64

3.1. Условия существования Б-резольвенты оператора А.........................................64

3.2. Корректность вырожденной задачи Коши

для уравнения второго порядка.....................70

Список литературы.......... ...........................79

Введение

Моделирование многих процессов в физике, экологии, экономике приводит к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка

u'(t) = Au(t), t £ [0, т), г < оо, м(0) = ж, (0.1)

с замкнутым оператором А, действующим в банаховом пространстве X, Важное место в исс ледовании таких задач начиная с 60-х годов занимают полугрупповые методы.

Основным результатом теории полугрупп является теорема о том, что задача Коши (0.1) является равномерно корректной тогда и только тогда, когда оператор А порождает сильно непрерывную полугруппу операторов U(t) класса Со [68, 19]. Это свойство оператора А тесно связано с поведением его резольвенты R{А) := (Л — Л)-1, а именно: А является генератором полугруппы класса Со тогда и только тогда, когда оператор R(А) определен в некоторой правой полуплоскости комплексной плоскости и удовлетворяет оценкам Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды [68] (см. также [19, 62, 88, 30, 61]):

3ш € R, С > 0 : ||Л«(А)|| < (ДеА_^+1, {MFPHY)

ReX > üj, к = 0,1,2,...

При этом полугруппа дает семейство операторов решения задачи (0.1): u(t) — U(t)x, х Е D(A), а резольвента генератора совпадает с преобразованием Лапласа от полугруппы:

R(Л) = e- XtU(t) dt.

Существует широкий класс задач, не являющихся равномерно корректными, т.е. задач, для которых не выполнены условия (MFPHY). Среди них значительное место занимает задача (0.1) с оператором А, резольвента которого определена в некоторой области правой полуплоскости и ведет себя как неубывающая функция. В работах разных авторов, посвященных исследованию задачи (0.1) с таким оператором А,

в основном присутствуют два подхода к построению оператора решения.

В рамках первого подхода строят сильно непрерывные семейства операторов, удовлетворяющие некоторым функциональным соотношениям, подобным полугрупповому. Эти семейства также называют полугруппами (интегрированные, С-полугруппы, /^-конволюционные полугруппы и т.д.) [47, 57, 58, 59, 91, 62]. Ключевую роль в их построении, как в и построении полугрупп класса Со, играет техника преобразования Лапласа. Чтобы определить полугрупповое семейство, резольвенту оператора А "исправляют" — домножают на некоторую убывающую функцию, обеспечивающую существование обратного преобразования Лапласа, а затем это обратное преобразование берут в качестве основы для определения полугруппового семейства. Построенная таким образом "полугруппа" дает оператор решения уже не самой задачи (0.1), а новой задачи, полученной из (0.1). В ряде случаев при этом получены и решения исходных задач.

Второй подход к таким задачам состоит в том, что решение рассматривают как элемент некоторого более широкого пространства — пространства абстрактных обобщенных функций [8, 9, 62, 52, 15, 81, 82, 74, 78]. При этом задачу (0.1) понимают как равенство в обобщенном смысле и называют обобщенной задачей (0.1). Пространства основных функций V конструируются таким образом, чтобы в пространстве С(Т>,Х), абстрактном пространстве обобщенных функций, можно было определить полугрупповое семейство и оператор решения задачи.

В рамках первого подхода к задачам, не являющимся равномерно корректными, В.Арендтом [47] была исследована за-

дача (0.1) с оператором А, удовлетворяющим условию

С к I

3n G N, WGR, С > 0 : ||(Д(А)/АП)(*>|| <

(Re\ - uj)k+l' Re А > max{0, oj}, /г = 0,1,2,...

(0.2)

Введено понятие п раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы с генератором А и доказана теорема, аналогичная теореме Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды: оператор А (D(A) = X) порождает п раз интегрированную экспоненциально ограниченную полугруппу V(t) тогда и только тогда, когда его резольвента удовлетворяет условию (0.2). При этом полугруппа V(t) является оператором решения задачи

v'(t) = Av(t) + ¿gyуж, t > 0, ж € D(A), v(0) = 0,

т.е. v(t) = V{t)x. В последовавших работах [84, 48, 30, 80] показано, что условие (0.2) является необходимым и достаточным для существования единственного решения задачи (0.1) (D(A) = X) на классе начальных данных D(An+1), устойчивого по более сильной норме, чем норма пространства X.

В общей форме условие роста резольвенты оператора А имеет вид

A G Aa>w := {А : Re А > скФ(А) + w},

где область Аа,ш остается непустой, пока Ф(А) < |А|, и является тем уже, чем быстрее растет функция Ф(А).

Н.Танакой и Н.Оказавой задача (0.1) с условием (0.3) исследована при Ф(А) = 1п |А|, а = в = п. В их работе [91] доказано, что из этого условия следует существование локальной (т < со) щ раз интегрированной полугруппы с генератором А (щ зависит от т), а если А порождает локальную п раз ин-

тегрированную полугруппу, то резольвента оператора А удовлетворяет условию (0.3) именно с этим п. Кроме того показано, что оператор А является генератором локальной п раз интегрированной полугруппы тогда и только тогда, когда на В(Ап+1) существует единственное решение локальной (т < оо) задачи Коши (0.1), устойчивое во норме, более сильной, чем норма пространства X.

Задача Коши (0.1) с условием (0.3) при тех же значениях параметров Ф(А) = 1п |А|, а = (5 ~ п исследована Г.Фатторини в рамках теории обобщенных функций Шварца (или распределений Шварца) [62]. Пространством основных функций здесь является пространство Лорана Шварца бесконечно дифференцируемых вещественных функций с компактными носителями из К. Г.О.Фатторини ввел понятие обобщенной корректности задачи (0.1) и доказал, что критерием такой корректности является условие (0.3), которое, с другой стороны, равносильно существованию оператора решения обобщенной задачи (0.1), определенного на всем пространстве X (см. также [80]).

В работе [74] Ж.-Л.Лионе построил полугруппы распределений с генератором А и доказал, что обобщенная корректность задачи (0.1) с плотно определенным оператором А равносильна существованию полугруппы распределений с генератором А (см. также [78, 80]).

Связь между этими двумя подходами проиллюстрирована И.В.Мельниковой [80] (см. также [90]), где доказано, что полугруппа распределений, порожденная плотно определенным оператором А, является (обобщенной) производной некоторого порядка от интегрированной полугруппы с генератором А.

Задача (0.1) с условием (0.3) исследована И.Чиоранеску и Г.Люмером при 1п |А| < Ф(А) < |А[ [57]-[59]. Авторы вводят понятие /1-конволюционной полугруппы в к = {^(¿),0 < t < т] с генератором А; здесь К{— некоторая гладкая экспоненциально ограниченная вещественная функция, определенная на положительной полуоси с преобразованием Лапласа СК(А).

В этом случае также имеет место аналог теоремы Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосвды: оператор А порождает А"-конволюционную полугруппу, отвечающую функции Kit) с условием \СК(Х)\ = 0(е_тФ^), тогда и только тогда, когда резольвента оператора А удовлетворяет оценке (0.3). Интеграл от i^-конволюционной полугруппы является оператором решения задачи Коши

w'(t) = Aw(t) + K(t)x, i€[0,r), т < oo, xeD(A),

w( 0) = 0,

т.е. wit) = JqS(s)xcIs. Заметим, что эта задача есть не что иное, как свертка задачи (0.1) с функцией K(t) (w(t) = (К * u)(t)), что объясняет название полугруппы.

Задача (0.1) с оператором А. отвечающим условию (0.3) при Ф(А) = 0 < d < 1, ясследована Ж.Чезаряном в

пространствах обобщенных функций [54]. В качестве основного пространства здесь фигурирует локально выпуклое про-странсво бесконечно дифференцируемых вещественных функций (p{t) с компактными носителями из R, удовлетворяющих условиям ||<¿^11 < C(n)n/dhn, п G N, h > 0. Следует отметить, что это пространство уже, чем пространство Лорана Шварца, поскольку на функции и их производные наложены дополнительные ограничения роста. Как следствие, сопряженное пространство - пространство обобщенных функций, называемое пространством ультрараспределений Жеврея - является более широким множеством, чем пространство распределений Шварца. Это позволяет исследовать в этом пространстве задачу (0.1), с оператором А, резольвента которого растет быстрее степенной функции.

Ж.Чезарян показал, что условие (0.3) является необходимым и достаточным при Ф(А) = ¿|A|d, 0 < d < 1, для существования оператора решения обобщенной задачи (0.1) в пространствах ультрараспределений Жеврея [54].

К задачам, не являющимся равномерно корректными, помимо обсуждавшихся уже двух подходов, мы можем ука-

зать еще один подход, который позволяет получить приближенное решение на всем пространстве, устойчивое, в некотором смысле, по норме исходного пространства. Такой подход дает зародившаяся в работах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и ставшая уже классической теория некорректных задач [39, 40, 14, 22, 21, 16]. Типичным примером некорректной задачи служит операторное уравнение первого рода

£* = /, /е^, (0.4)

где Ь - ограниченный линейны]'! оператор, действующий из пространства 2 в пространство Т, обратный к которому либо является многозначным, либо определен не на всем пространстве Т. К уравнению (0.4), помимо различных интегральных уравнений, сводятся многие обратные задачи математической физики, задачи управления, оптимизации и т.д. Фундаментальным понятием теории некорректных задач является понятие регуляризующего алгоритма (или оператора), введенное А.Н.Тихоновым [39]. Регуляризующий оператор позволяет найти приближенное решение задачи (0.4) для заданной с погрешностью правой части уравнения /. Хорошо известны такие методы регуляризации как вариационный метод, предложенный А.Н.Тихоновым, метод невязки, метод квазирешений [40, 14].

Многие важные для приложений дифференциально-операторные задачи описываются уравнением (0.1) с оператором А, который не имеет регулярных течек в правой полуплоскости, как, например, обратная задача Коши для уравнения теплопроводности. Понятно, что решение таких задач не может быть построено в рамках теории полугрупп. Такую задачу можно свести к операторному уравнению (0.4), однако получающийся при этом оператор Ь имеет довольно громоздкую структуру, что усложняет применение классических регуля-ризующих методов. Для решения задачи (0.1) разработаны специальные алгоритмы, учитывающие ее дифференциально -

операторную специфику [7, 16, 27, 29, 28]. Таким, например, является метод квазиобращения, предложенный Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом для решения некорректных задач управления процессами, описываемыми дифференциально-операторными уравнениями в гильбертовых пространствах [23]. Впоследствии метод получил широкое распространение для решения обратных дифференциально-операторных задач [16]. Метод квазиобращения состоит в том, что в уравнение вводится дополнительное слагаемое более высокого порядка с малым параметром а > 0, типа — аА2, что делает задачу корректной. В другом методе - методе вспомогательных краевых задач, развитом в работах И.В.Мельниковой [18, 27, 26] - дополнительное слагаемое вводится в граничное условие, что также позволяет регуляризовать задачу. Метод Карассо заменой v(t) = eK^T~^u(t) позволяет свести задачу (0.1) к задаче Дирихле для уравнения второго порядка [53, 79], которая становится корректной при наложении соответствующих дополнительных условий.

Перечисленные методы регуляризации дифференциально-операторных задач были разработаны и применялись, в основном, для некорректных задач (0.1) с оператором А, не имеющим регулярных точек в правой полуплоскости. Однако, как уже было отмечено, многие важные прикладные задачи имеют более слабую некорректность — это задачи, удовлетворяющие условию (0.3) с функцией 0 < Ф(А) < |А|. Например, задача Коши для уравнения Шредингера не является равномерно

корректной в пространствах Lp(R), р ф 2, но резольвента one-

2

ратора Шредингера А := г-щ^ определена в правой полуплоскости [69], а именно, оператор А порождает в этих пространствах 1 раз интегрированную полугруппу. Общий вид решения этой задачи, которое дает теория полугрупп, показывает, что ее некорректность связана с неограниченностью оператора А.

Оказывается, некорректность такого же типа - типа неогра-

ниченного оператора А - имеет задача управления

u'(t) = Au(t)+F(t)z + f(t), ¿ € [0,r], kerS^{0},

i¿(0) = ж, и(т) = y,

где В - ограниченный, А - замкнутый линейные операторы, действующие из X в У, пространства Y С X - банаховы, F(t) - непрерывно дифференцируемая оператор-функция со значениями в C(X,Y). Неизвестными являются управление z Е X и функция к (i).

Подобные дифференциальные и интегродифференциаль-ные задачи исследованы в работах А.Лоренци, А.И.Прилепко, А.Б.Костина, Д.Г.Орловского, М.Грасселли, С.И.Кабанихина, М.Чоулли, М.Ямамото, и других авторов, в основном, с точки зрения существования и единственности решения задачи. Например, для задачи нахождения коэффициента ,г, входящего в уравнение параболического типа, с дополнительными условиями наблюдения финального и интегрального типов теоремы существования и единственности доказаны в [36], а в [55, 56] на основе теории оптимального управления получены некоторые результаты об устойчивости решения и формулы для конструктивного построения решения. Для задачи отыскания коэффициента z, входящего в граничное условие для уравнения параболического типа (таюке с условиями наблюдения финального и интегрального типов) условия существования и единственности решения исследованы в [72, 73]. Задача определения коэффициента в уравнении гиперболического типа с различными дополнительными условиями исследована в цикле работ [94, 95, 96, 89]. Получены условия однозначной разрешимости таких задач и устойчивости относительно начальных условий. Возникающая при этом обратная задача, в зависимости от дополнительных условий, либо сводится к уравнению Фредгольма второго рода, либо может быть ре-гуляризована по Тихонову. Обратная задача для гиперболического интегродифференциального уравнения, как доказано в [10], однозначно разрешима при малых значениях т для до-

статочно гладких начальных условий и имеет не более одного решения при больших т; доказано также, что решения непрерывно зависят от начальных условий.

В работах А.Лоренди и А.И.Прилепко [76, 75] исследована задача управления для абстрактного интегродифференци-ального уравнения с конечным или интегральным наблюделе-нием и показана фредгольмовосгь возникающей здесь обратной задачи (задачи нахождения 2 из условия наблюдения). На основе этого результата доказана теорема существования и единственности решения на подклассах начальных данных, которое устойчиво по более сильной норме, чем норма пространства X.

Для задачи (0.5) в работе Д.Г.Орловского [87] доказано, что обратная задача имеет фредгольмовый характер. Однако даже в этом случае управление 2 не является непрерывной функцией начальных данных, что связано с неограниченностью оператора А.

Более общая постановка задачи Коши для уравнения первого порядка часто приводит к тому, что эквивалентные условия равномерной корректности в том виде, в котором они сформулированы для задачи (0.1), становятся невыполнимыми. Такую задачу представляет вырож ценная задача Коши

Ви'{г) = Аи{1) + /(*), I > 0, кег В ф {О}, м(0) = ж, ^ ' '

где В - ограниченный, А - замкнутый линейные операторы, действующие из X в У, пространства У С X - банаховы. Поскольку ядро оператора В ненулевое, обратный оператор является многозначным и задач)' (0.6) не удается свести к задаче (0.1) на всем пространстве X, а значит, и результаты о корректности задачи (0.1) не будут справедливы в вырожденном случае. В частности, задача (0.6) не может быть корректна на О (А), поскольку для х £ 0(А)Пкет В, х ф 0, нарушается равномерная непрерывность решения в нуле.

Долгое время одним из основных подходов к исследова-

нию задачи (0.6) было разложение исходных пространств X, У в прямую сумму инвариантных относительно А, В подпространств, таких что на одном из них обра�