Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

00460 .'ЬЭО

На правах рукописи

Сакбаев Всеволод Жанович

ДИНАМИКА КВАНТОВЫХ СИСТЕМ С ВЫРОЖДЕННЫМ ГАМИЛЬТОНИАНОМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

-2 СЕН 2010

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2010 год.

004607650

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского физико-технического института

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, заведующий отделом математической физики МИАН им. В.А. Стеклова И.В. Волович.

Доктор физико-математических наук, заведующий сектором кинетических уравнений ИПМ РАН им. М.В. Келдыша Ю.Н. Орлов.

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова Е.В. Радкевич.

Московский энергетический институт (технический университет)

Ведущая организация:

Защита диссертации состоится 05 октября 2010 г. в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117419, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан

2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Исследования, проводимые в диссертации, посвящены изучению влияния вырождения дифференциального оператора линейной начально-краевой задачи на ее корректность и анализу метода регуляризации некорректной краевой задачи. Вырождение главной части оператора на некотором множестве положительной меры является причиной некорректности рассматриваемых задач1,2. В диссертации предложена программа исследования некорректной задачи Кош и для линейного эволюционного уравнения с вырождением (в том числе, для таких уравнений, как уравнение Шредингера, уравнение диффузии и уравнение Фоккера-Планка), позволяющая определить области корректности и некорректности в пространстве начальных данных, процедуру аппроксимации исходной некорректной задачи последовательностями регуляризованных корректных задач и предельные свойства последовательности регуляризованных решений, зависящие от исходного уравнения и не зависящие от выбора регуляризации.

Основным объектом исследований является задача Коши для уравнения Шредингера с гамильтонианом L, вырожденным на некотором подмножестве координатного пространства:

i^ru(t) = Lu(t), t G (0, +оо) = R+, (1)

at

«(+0) = u0; u0eH, Н = L2(Rd), d <E N. (2)

Здесь u : R+ —> H - неизвестная функция, a L - линейный симметричный оператор в пространстве H, заданный дифференциальным выражением второго порядка с вырожденной характеристической формой:

~Lv(x) = div(g(x)gradi;(a;) + ^[(a(a;),gradu(i))+div(a(a;)u(a;))]+c(i)i;(a;). (3)

А

Коэффициенты gij{x), a.j(c), с(х) дифференциального выражения (3) являются вещественнозначными измеримыми функциями, матрица-функция д(х) симметрична и неотрицательно определена. В диссертации исследовано влияние вырождения матрицы-функции д(х) на некотором подмножестве координатного пространства Rd на спектральные свойства гамильтониана задачи L, на постановку задачи и свойства ее решений.

1 Fichera G. On а unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order// Boundary problems in differential equations, The University of Wisconsin Press, Madison, I960, P. 97-120.

2 O.A. Олейник О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой// Матем. Сб. 1966. Т. 69 (111), вып. 1, с. 111-140.

з \ "У -

\ °

Дифференциальные уравнения второго порядка с вырождением изучались O.A. Олейник, Г. Фикера, С.М. Никольским, П.И. Лизоркиным, М.И. Фрейдлиным и многими другими авторами. Эффективным инструментом изучения задач указанного типа является принцип максимума. Однако консервативность оператора Шредингера и обратимость уравнения Шредингера по времени делают невозможным непосредственное применение принципа максимума, на котором основаны исследования статьи3.

Особенностью рассматриваемой в диссертации задачи является вырождение дифференциального оператора L на некотором множестве координатного пространства положительной меры (см. [7], [10]). В этом случае размерности дефектных подпространств оператора L зависят от поведения коэффициентов при младших производных. Если хотя бы один из индексов нетривиален, то квадратичная форма оператора L является неограниченной как сверху, так снизу. Указанные свойства оператора L являются препятствием для применения к исследованию задачи (1), (2) методов, связанных с изучением билинейной формы оператора, описанных в монографии4. В статье5 вариационные методы распространены с помощью регуляризации на дифференциальные операторы второго порядка в дивергентной форме. Условия, налагаемые в указаннной работе на коэффициенты при старшей производной, не выполнено для расссматриваемого в диссертации оператора с вырождением на множестве положительной меры.

В работе6 исследованы функциональные пространства с весом с помощью которых развит вариационный метод решения краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Глубокий анализ влияния поведения коэффициентов вырождающегося дифференциального оператора на разрешимость краевой задачи и свойства ее решения проведен в цикле работ7. В этих исследованиях

3 O.A. Олейник, Е.В. Радкевич, Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки. Серия: математика. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1969.

4 O.A. Ладыженская, В.А. Солонников, H.H. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

5 В.Б. Жиков "К проблеме предельного перехода в дивергентных неравномерно эллиптических уравнениях"Функ. ан. и его прил. 2001. 35: 1, 23-39.

6 Л.Д. Кудрявцев, О вариационном методе отыскания обобщенных решений дифференциальных уравнений в функциональных пространствах со степенным весом. Дифф. уравнения, 19 (1983), 1723-1740.

7 В.П. Глушко, Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. Части 1-4// Дифф. уравнения. 1968, т. 4, вып. 9, с. 1584-1597; т. 4, вып. 11,

рассматриваестя вырождающийся на границе эллиптический оператор высокого порядка, на скорость вырождения которого накладывется ограничение типа условия Макенхаупта. Определена зависимость класса весовых функциональных пространств, обеспечивающих корректную разрешимость краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, от поведения вырождающихся коэффициентов.

В диссертации рассматривается случай вырождения на множестве положительной меры и метод введения весовых функций трансформируется в метод эллиптической регуляризации (см. [1]-[6]),

В исследованиях Э. Хопфа, O.A. Олейник, Ж.-Д. Лионса, А.Н. Тихонова, И.М. Гельфанда, С.Н. Кружкова и ряда других авторов формировалось понятие регуляризации как аппроксимации некорректной задачи последовательностью корректных задач. Развитию методов эллиптической регуляризации посвящены работы В.В. Жикова, И.В. Мельниковой, С.Е. Пастуховой по аппроксимации операторов линейных краевых задач и полугрупп для эволюционных уравнений, работы М.И. Фрейдлина по регуляризации стохастических дифференциальных уравнений, работы С.Н. Кружкова, Е.Ю. Панова по исследованию уравнений и систем уравнений с частными производными первого порядка методом исчезающей вязкости, работы П.И. Плотникова по регуляризации нелинейных уравнений с переменным направлением времени (уравнений Гинзбурга-Ландау, уравнений химической кинетики). В работе Ю.В. Егорова8 проанализированы различные подходы к определению решения более сложных систем дифференциальных уравнений с частными производными (например, системе уравнений теории упругости) и отмечена неединственность процедуры расширения понятия решения.

Описание волн разряжения и ударных волн в газовой динамике сталкивается с проблемами корректной постановки начально-краевой задачи для уравнения с частными производными первого порядка. Эти проблемы были решены с помощью применения метода исчезающей вязкости в работах O.A. Олейник, С.Н. Кружкова и ряда других авторов. Было установлено отсутствие глобального классического решения, попытки расширить класс решений приводили к неединственности решения и недоопределенности условий на возможных линиях разрыва негладких решений (история этих исследований изложена, например, в монографии С.Н. Кружкова). Именно метод исчезающей вязкости позволил из множества различных условий на разрывы решений выделить

с. 1956-1966; 1969, т. 5, вып. 3, с. 443-445; т. 5, вып. 4, с. 599-611.

8 Ю.В. Егоров. К теории обобщенных функций// УМН. 1990. Т. 45. N 5. С. 3-37.

то единственное условие, которое, во-первых, определяет корректную начально-краевую задачу, во-вторых, решение указанной задачи является пределом последовательности решений задач с вязкой регуляризацией и, в-третьих, полученное из предельного перехода условие имеет физический смысл возрастания энтропии.

Исследования диссертации следуют схематически описанной выше программе применения метода исчезающей вязкости. Ставится цель определить понятие регуляризации вырожденного уравнения Шредингера и получить динамическое преобразование вырожденной квантовой системы с помощью предельного перехода по последовательности регуляризованных квантовых систем, а также исследовать зависимость поведения последовательности регуляризованных решений от выбора регуляризации, получить описание множества частичных пределов таких последовательностей и исследовать стохастические свойства расходящихся последовательностей (см. [5], [9], [12]).

В классической физике и в квантовой механике возникает необходимость в исследовании систем с вырожденным гамильтонианом и влияния вырождения на свойства динамики таких систем. В частности, вырождение гамильтониана может возникнуть за счет зависимости массы системы от ее положения в координатном или фазовом пространстве9,10. Вырождение гамильтониана приводит к невозможности определить динамику системы уравнениями Лагранжа-Эйлера в классической механике и уравнением Шредингера в квантовой механике. Так в случае классической механики задача Коши для системы уравнений Лагранжа-Эйлера с вырождением может не иметь решений или иметь бесконечное множество решений11. Различные аналитические и геометрические подходы к определению динамики лагранжевой системы с сингулярными поверхностями вырождения лагранжиана в фазовом пространстве, влияние вырождения лагранжиана на поведение траекторий и на существование интегралов движения изучались в работах Ю.Н. Орлова и И.П. Павлоцкого12. Ряд результатов о вероятностных свойствах динамики классических систем, возникающих в предельном переходе в

9 M. Gadella, S. Kuru, J. Negro, "Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions", Phys. Letters A, 362 (2007), 265-268.

10 M. V. Karasev, Magneto-metric Hamiltonians on quantum surface in the configuration space. Russ. J. Math. Phys. Vol. 14, N 1, p. 57-65.

11 Д.М. Гитман, И.Д. Тютин, Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука, 1986.

12 Orlov Yu.N., Pavlotsky I.P. The Postgalilean Equation of Hydrodynamics with Viscosity.// Physica A. 1990. V. 167. P. 903-918.

слабой топологии, изложен в монографии13.

В отличие от указанных работ по исследованию вырожденных систем классической механики в диссертации исследуется случай вырождения гамильтониана квантовой системы. Доказано, что вырождение линейного дифференциального оператора L приводит к тому, что задача Коши для уравнения Шредингера может не иметь решения, а обобщение понятия решения допускает различные формулировки. Для того, чтобы установить, какое динамическое преобразование фазового пространства задает гамильтониан с вырождением, изучаются невырожденные гамильтонианы Lc из окрестности вырожденного и связанные с ними динамические преобразования Tc(t), t > 0. Динамическое преобразование, задаваемое вырожденным гамильтонианом L, определяется с помощью процедуры регуляризации - предельного перехода по последовательности преобразований Le, заданных невырожденными гамильтонианами. В случае сходимости последовательности регуляризованных преобразований динамика вырожденной системы определена однозначно. Но такая сходимость не всегда имеет место. Существование нетривиального множества частичных пределов последовательности динамических преобразований рассматривается как проявление стохастических свойств системы с вырожденным гамильтонианом (см. [12]).

В работах Л. Аккарди, И.В. Воловича и других авторов (см.14) изучаются вероятнотстные свойства динамики квантовых систем, возникающих при исследовании стохастического предела. В рамках такого подхода вводятся в рассмотрение квантовые системы, являющиеся предельными точками в различных топологиях, близких к слабой операторной, некоторых последовательностей квантовых систем с унитарной эволюцией. Теория стохастического предела основана на расмотрении последовательностей квантовых систем в различных гильбертовых пространствах, предельная эволюция определяется в предельном пространстве и может проявлять свойство необратимости или нарушение полугруппового свойства динамического преобразования. Изучаются представления предельной динамики в терминах квантовых стохастических дифференциальных уравнений с различными формами квантовых случайных процессов.

В диссертации рассматривается близкая задача предельного перехода для последовательности квантовых динамических систем, действующих в

13 В.В. Козлов, Термодинамическое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. -Москва-Ижевск, Современная Математика, 2002.

14 L. Accardi, Y. G. Lu, I. V. Volovich. Quantum theory and its stochastic limit. Springer, Texts and monographs in physics, 2001.

фиксированном одночастичном гильбертовом пространстве Н. Сходимость последовательности унитарных полугрупп {ие(^, е —У 0,} преобразований векторного пространства Н, где ие(£) = е_,Ье4, £ > 0, изучается в сильной и в слабой операторных топологиях, а сходимость последовательности динамических полугрупп {Тс(4), е —0,} преобразований множества квантовых состояний изучается в *-слабой топологии и более слабых топологиях в виду отсутствия секвенциальной компактности последовательности в *-слабой топологии.

Отсутствие частичных пределов в *-слабой топологии последовательности регуляризованных динамических полугрупп б —> 0,} и необходимость анализа ее предельного поведения приводят к идее представить указанную последовательность как случайный процесс на множестве параметров регуляризации Е = (0,1) с конечно-аддитивной мерой /х, сосредоточенной в произвольной проколотой окрестности предельной точки е* = 0. Применение конечно-аддитивных мер в описании квантовых случайных процессов и развитие общей теории случайных процессов с конечно-адцитвными переходными функциями содержатся в работе15. В случае расходимости последовательности регуляризованных динамических полугрупп предельная эволюция множества квантовых состояний определяется многозначным отображением и случайными процессами.

Цели исследования.

1. Изучить влияние геометрии области вырождения, скорости вырождения коэффициентов и их гладкости на корректность задачи Коши для уравнения Шредингера и спектральные свойства вырожденного гамильтониана.

2. Исследовать некорректные задачи Коши методом исчезающей вязкости и определить регуляризацию некорректной задачи в терминах аппроксимаций вырожденного гамильтониана.

3. Дать вероятностную интерпретацию расходимости последовательности решений регуряризованных задач, аппроксимирующих исходную некорректную задачу.

4. Исследовать свойства случайного процесса, которым является последовательность регуляризованных решений, и свойства математических ожиданий указанных процессов.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Результаты о зависимость индексов дефекта (п_,п+)

15 Л. Аккарди, О.Г. Смоляное Расширения пространств с циллиндрическими мерами и носители мер, порождаемых лапласианом Леви. Матем. Заметки. 1998. Т. 64. N 4. С. 483-492.

вырожденного гамильтониана Ь от геометрии области вырождения и гладкости коэффициентов дифференциального выражения.

2. Описание класса допустимых последовательностей задач Коши, аппроксимирующих некорректную задачу Коши с вырожденным оператором Ь и называемых регуляризацией, удовлетворяющих следующему условию: тип поведения (а именно, сходимость, компактность и множество частичных пределов) последовательности решений регуляризованных задач ип(1) . = е~гЬ"1щ, п £ определяется спектральными свойствами оператора Ь. Описание множества частичных пределов последовательности регуляризованных полугрупп {е-'1""4} в терминах расширений вырожденного симметрического гамильтониана Ь.

3. Теоремы о сходимости в слабых топологиях последовательности регуляризованных операторов плотности рп^,ио) = е~гЬпЬр(ио)е,Ьп', п 6 ]М, соответствующих решениям регуляризованных задач.

4. Представление последовательности регуляризованных операторов плотности случайными процессами на измеримом пространстве с конечно аддитивной мерой (Е, 2Е,ц) и значениями в банаховом пространстве (В(Н))* квантовых состояний. Теоремы о связи множества частичных пределов последовательности регуляризованных операторов плотности {ре(£,ио), е —> 0,} в слабых топологиях, определяемых конечными наборами функционалов из предсопряженного банахова пространства В(Н) ограниченных операторов, и математическими ожиданиями случайных процессов.

5. Теоремы о динамических свойствах семейства Тм(£), í > О усредненных по мере ц регуляризованных динамических преобразований Те(4 £ > 0, б £ -Е. Описание области инъективности и сюрьективности усредненных преобразований

Научная новизна 1. Симметрическому, но не самосопряженному оператору в гильбертовом пространстве с помощью процедуры регуляризации сопоставляется, в зависимости от его спектральных свойств, либо однозначная изометрическая полугруппа в пространстве квантовых состояний, либо случайный процесс со значениями во множестве динамических преобразований совокупности квантовых состояний.

2. Дано определение регуляризации вырожденного оператора в терминах аппроксимации его графика графиками операторов корректных задач. Приведены примеры последовательностей регуляризованных гамильтонианов - линейных дифференциальных операторой 2-го, 4-го и т.д. порядков. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости последовательности регуляризованных полугрупп в сильной операторной

топологии. Получены связи между сходимостями последовательности полугрупп и сходимостями их генераторов в различных операторных топологиях. Определено множество частичных пределов совокупности последовательностей регуляризованных полугрупп.

3. Установлено, что в общем случае произвольная последовательность регуляризованных операторов плотности {рб(£), б 0}, расходится в *-слабой топологии пространства В*(Н), определяемой всеми линейными непрерывными функционалами из предсопряженного пространства ограниченных операторов В(Н). Предложено рассмотреть расходимость последовательности регуляризованных операторов плотности {ре{Ь), € —>• 0} как схему возникновения стохастичности в динамике квантовой системы с вырожденным гамильтонианом.

4. Вводится обобщение понятия случайного процесса как параметризованного семейства измеримых отображений, заданных на измеримом пространстве с неотрицательной нормированной мерой, которая может не быть счетно аддитивна (последняя возможность и является обобщением принятого определения). Расходящаяся последовательность регуляризованных операторов плотности рассматривается как случайный процесс со значениями во множестве квантовых состояний £(//) (части единичной сферы пространства В*(Н), лежащей в положительном конусе) на вероятностном пространстве (Е, 2Е,/х). Здесь Е = (0,1) - множество параметров регуляризации, 2е -алгебра всех его подмножеств, ц - конечно аддитивная нормированная неотрицательная мера на множестве Е, заданная на алгебре 2е и сосредоточенная в произвольной окрестности предельной точки 0 множества Е. Посредством математических ожиданий введенных случайных процессов дано параметрическое описание множества частичных пределов последовательности регуляризованных операторов плотности.

5. Определено банахово пространство интегрируемых в смысле Петтиса по конечно аддитивной мере функций со значениями в гильбертовом пространстве Н (в банаховом пространстве, содержащем множество квантовых состояний). Расходящаяся последовательность регуляризованных полугрупп представлена как унитарное преобразование введеного гильбертова пространства.

6. Сформулирована и решена задача об определении введенного случайного процесса по данным наблюдений за его математическими ожиданиями. Предложена процедура аппроксимации неизвестного начального состояния процесса решениями конечного множества вариационных задач.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы, кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории вырождающихся дифференциальных операторов и некорректных краевых задач, могут иметь применения в теории функций, в квантовой механике и физике полупроводников.

Апробация диссертационной работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры высшей матемитики МФТИ под руководством Г.Н. Яковлева и Е.С. Половинкина; на семинаре ИПМ РАН под руководством В.В. Веденяпина, М.В. Масленникова Ю.Н. Орлова;, на семинарах ВЦ РАН под руководством A.A. Абрамова и Б.В. Пальцева, под руководством A.A. Шананина; на семинарах Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством акад. С.М. Никольского и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева, под руководством А.К. Гущина, A.A. Дезина и В.П. Михайлова, под руководством акад. B.C. Владимирова и член-корр. РАН И.В. Воловича; на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством В.В. Власова, А.Г. Костюченко и К.А. Мирзоева, под руководством А.Г. Костюченко и A.A. Шкаликова, под руководством В.В. Жикова, A.C. Шамаева и Т.О. Шапашниковой, под руководством В.А. Кондратьева и Е.В. Радкевича, под руководством акад. В.В. Козлова и член.-корр. РАН Д.В. Трещева, под руководством О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе; на семинаре ВГПУ под руководством В.В. Жикова; на семинаре ВМК МГУ под руководством акад. В.А. Ильина и акад. Е.И. Моисеева; на семинаре РУДН под руководством А.Л. Скубачевского; на семинаре МЭИ под руководством A.A. Амосова и Ю.А. Дубинского.

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 24 работах, из них 12 статей в научных журналах и 12 тезисов докладов на международных конференциях. Все результаты совместных статей [3], [11], включенные в диссертацию, получены лично автором.

Структура диссертации. Диссертация "Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом" состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 124 наименований.

Содержание работы

Во введении дается краткая формулировка исследуемой задачи.

Изучается эволюционное уравнение (уравнение Шредингера, уравнение Фоккера-Планка) с производящим оператором второго порядка, который вырождается на некотором подмножестве координатного пространства в дифференциальный оператор более низкого порядка, чем

на дополнении области вырождения. Задача Коши (1), (2) для уравнения Шредингера с вырожденным симметрическим но не самосопряженным гамильтонианом L изучается методом эллиптической регуляризации. Наряду с некорректной задачей Коши с вырожденным гамильтонианом рассматривается последовательность корректных задач Коши для уравнения

= Leu(t), t > 0, б € Е, б ->• 0, (4)

с начальным условием (2) и с равномерно эллиптическими гамильтонианами. Множество параметров регуляризации Е с R имеет предельную точку 0. Изучается сходимость последовательности решений регуляризованных задач и последовательности регуляризованных операторов плотности при е —> 0.

Модельный пример такой задачи с пространством начальных данных Н — L,2{R) и гамильтонианом L, заданным дифференциальным выражением

д д i % 3

= дх^9^дхи + + 2a^dxU ®

на максимальной области определения:

(¡И 7

D{L) = {u € Wl : e Ж22(Я_), {g(x)^ + -a(x)u) € Ж2г(Л)} (6).

Здесь функции g{x) и a(x) заданы равенствами g(x) = в(—х), а(х) = ав(х), где а € R и в(х) - функция Хевисайда.

В первой главе исследуется постановка задачи Коши для уравнения Шредингера (1), (2), гамильтониан которого является вырожденным линейным дифференциальным оператором второго порядка с разрывными коэффициентами. Дано обоснование выбора области определения оператора и исследована зависимость его спектральных свойств от поведения коэффициентов оператора.

В работах16,17,18 показано, что в случае достаточно высокой гладкости коэффициентов дифференциального выражения (3), а

16 O.A. Олейник, Е.В. Радкевич, Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки. Серия: математика. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1969.

17М. И. Фрейдлин, Марковские процессы и дифференциальные уравнения. Теория вероятности и математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Итоги науки. М.: ВИНИТИ, 1967 г., с. 7-58.

18 С.А. Голопуз, Определяющие граничные условия и вырожденная задача для эллиптических краевых задач с малым параметром при старших производных// Матем. Сб. 2003. Т. 194, вып. 5, с. 3-30.

именно - липшицевости коэффициентов д(х) и а(х), ему соответствует полуограниченный снизу плотно определенный оператор, расширение которого по Фридрихсу определяет самосопряженный оператор Ь в пространстве Н, а задача (1), (2) имеет единственное решение. Таким образом, вырождение оператора при условии гладкости его коэффициентов не приводит к нарушению корректности задачи Коши. С другой стороны, известно (см.19), что равномерная эллиптичность оператора обеспечивает корректнорсть задачи Коши для уравнения Шредингера и при отсутствие гладкости коэффициентов оператора Шредингера. Мы исследуем, какие сочетания вырождения и отсутствия гладкости коэффициентов оператора Шредингера приводят к некорректности задачи Коши.

Критерием корректности задачи Коши для абстрактного линейного дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве с производящим оператором Ь (какой и является рассматриваемая задача Коши (1), (2)), является выполнение условия максимальной диссипативности оператора Ь. Поэтому исследование корректности задачи Коши (1), (2) сводится к изучению квадратичных форм операторов —гЬ и гЬ*. На основании изложенной в монографии Б. Секефальви-Надя и С. Фояша теории сжимающих полугрупп получено следующее утверждение о влиянии индексов максимального симметрического оператора на корректность задачи Коши (1), (2):

Теорема 1.1. Пусть Ь - максимальный симметрический оператор

в пространстве Н и пусть (п_,п+) - его индексы дефекта. Если

п+ = 0, то оператор —гЬ является генератором изометрической

полугруппы Х1ь(*) = е~,и, I > 0, в пространстве Н и задача Коши

имеет единственное решение иь(£)ио- Если же п+ > 0, то оператор

гЪ генерирует изометрическую полугруппу = е%Ы1 t > О,

в пространстве Н, сопряженная к которой является сжимающей

полугруппой (и_1,(£))* = е~,ь £, £ > 0, с генератором -гЬ*. Задача Коши

в этом случае некорректна - имеет решение тогда и только тогда,

когда вектор начальных данных ио лежит в подпространстве Щ —

П 1т(и_ь(^). В этом случае решение единственно и и(1) = иь-(£)г«о-г>о

Сначала исследуется уравнение Шредингера (1), координатным пространством которого является одномерное евклидово пространство й1. Производящий оператор Ь задается дифференциальным выражением (5) на таком линейном многообразии 1)(Ь) С Я, что для каждого элемента

19 В.Н. Колоколъцов, Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами и магнитными полями// Матем. Сб. 2003, т. 194, вып. 6, с. 87-102.

и 6 .О(Ь) операции дифференцирования и умножения в (5) сопоставляют вектору и элемент Ъи € являющийся регулярной обобщенной

функцией с плотностью из пространства Н. Этим требованием область определения оператора определяется однозначно и является плотным в пространстве Я линейным многоообразием.

В случае, если граница области эллиптичности с областью вырождения оператора Ь состоит из одной точки, т.е. дифференциальное выражение вырождается на полупрямой, определена зависимость индексов оператора Ь от поведения коэффициентов дифференциального выражения в окрестности границы области вырождения. Сначала установлена зависимость индексов дефекта оператора Ь от коэффициентов д(х) и а(х) при условии, что они являются кусочно постоянными функциями с разрывом на границе области вырождения {х : д(х) = 0}. Затем исследованы индексы оператора Ь с вырождением на полупрямой в зависимости от скорости стремления к нулю коэффициента д(х) по области эллиптичности и в зависимости от скорости стремления к нулю коэффициента а(х) по области вырождения.

Далее для оператора с одномерным координатным пространством получено представление индексов оператора при условии, что граница области вырождения не имеет конечных точек накопления, в зависимости от поведения коэффициентов в окрестности границы и в окрестности точек разрыва. Определен вклад в размерности дефектных подпространств оператора Ь от точек вырождения коэффициента при старшей производной, скорости его стремления к нулю и гладкости младших коэффициентов.

Исследован также класс операторов второго порядка в конечномерном пространстве с вырождением на открытом множестве с гладкой границей. Рассмотрены операторы Ь с многомерным координатным пространством и специальным поведением коэффициентов на границе области эллиптичности с областью вырождения - требуется условие необращения в нуль составляющей вектоного поля коэффициентов переноса нормальной по отношению к границе области вырождения. Для многомерного случая и операторов из рассматриваемого класса установлено, что индексы дефекта оператора принимают нулевые либо бесконечные значения.

Поскольку некорректность задачи связана с вырождением производящего оператора Ь, исследованы эллиптическая регуляризация вырожденного оператора Ь£ = Ь + е^ и сходимость последовательности регуляризованных решений и регуляризованных полугрупп при стремлении к нулю параметра регуляризации е. Исследована устойчивость

свойств задачи Коши по отношению к снятию вырождения коэффициента при старшей производной.

Наряду с задачей (1), (2), в которой оператор L является вырождающимся на полуоси оператором переменного типа, рассмотрим семейство регуляризованных задач Коши с начальным условием (2) для семейства уравнений (4) с операторами Le, зависящими от параметра е € (0,1) = Е, равномерно эллиптическими при каждом е 6 Е. Оператор Le задается дифференциальным выражением вида (5), в котором функция д(х) заменена на функцию д( (х), зависящую от вещественного параметра

Определение 1. Сильным (слабым) аппроксимативным решением задачи (1), (2) назовем такую функцию u{t) £ C{R+,H), что найдется бесконечно малая последовательность параметров регуляризации {б„} такая, что для любого Т > 0 выполняется условие: последовательность регуляризованных решений {иСп (£)} сходится к функции u(t) в сильной (слабой) топологии пространства Н равномерно на отрезке [0,Т], т.е., в случае сильной сходимости:

lim sup ||u£n(i) - «(¿)||н = 0.

'W00 ie[o,T]

Теорема 1.2. Пусть а < 0 и uq € Тогда для любого Т > 0

справедливо равенство

Hm |Mt,s) - и(г,я)||с([о,т],ь2(я)) = 0.

Пусть а > 0 и Но = П Im(U_i,(i)), Hi = Hq подпространства

t> о

пространства Н = LziR), реализующие разложение Вольда изометрической полугруппы U_L(i). Тогда:

1) для любого uq(x) £ Hq существует единственное сильное аппроксимативное решение u(t,x) задачи Коши (1), (2), причем для любого t > 0 выполнены условия u(t,x) £ Hq и ||u(i,s;)||l2(h) —

1Мя)Ныд)>'

2) для любого щ(х) £ Н\ существует единственное слабое аппроксимативное решение u*(t,x) задачи Коши (1), (2), причем для любого t > 0 выполнены условия u*(t,x) 6 Hi и lim ||u*(£,= 0;

t-h-hoo

3) для того, чтобы задача Коши (1), (2) имела сильное аппроксимативное решение необходимо и достаточно, чтобы uq(x) 6 Щ.

Аналогичные исследования проведены для параболических и ультрапараболических уравнений с вырождением производящего

оператора.

л

~u(t) = Lu(t), t > О, u(+0) = u0.

Исследовано влияние диссипативности производящего оператора на условия существования решения и корректной разрешимости. Сравнение уравнений Шредингера и Фоккера-Планка показывает, что диссипация в задачах для уранения Фоккера-Планка не изменяет качественные особенности задач для уравнения Шредингера, а структуры множества корректности и устойчивости по отношению к возмущениям коэффициентов и начальных данных этих задач изоморфны. Также, как и для уравнения Шредингера, исследовано влияние на корректность задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка поведения коэффициентов в окрестности границы области эллиптичности с областью вырождения.

Во второй главе Рассматриваются различные аппроксимации некорректной задачи последовательностью корректных задач.

Сначала изучается простейшая самосопряженная эллиптическая регуляризпция второго порядка исходного вырожденного оператора L - последовательность операторов Le = L 4- еД, е € Е ~ (0,1), где Д - оператор Лапласа. При условии, что оператор L является максимальным симметрическим, доказана сходимость последовательности регуляризованных полугрупп Ulc - сходимость в сильной операторной топологии к полугруппе, генерируемой оператором —iL в случае корректности исходной задачи; в слабой операторной топологии к полугруппе, генерируемой оператором —iL*, в случае, если исходная задача Коши некорректна. Установлена роль максимальных симметрических расширений оператора L - если последовательность регуляризованных полугрупп сходится в сильной операторной топологии равномерно на каждом отрезке [О,Г], то пределом последовательности является изометрическая полугруппа, генерируемая одним из максимальных симметрических расширений оператора L.

Пример регуляризации задачи Коши (1), (2) с оператором L представляет последовательность задачи Коши (2), (4) с операторами {Le, е G Е}, задаваемых в пространстве Н = L2(R) дифференциальным выражением

д д i i д

на максимальной области определения

D(L«) = {и € W,^ : Ы*)^ + ¿Ф)и) б'ИЗД)} (2.2).

Здесь <?(a;) = g(x) + б, б 6 Е, е -> 0.

В диссертации установлено, что если оператор L

максимальный симметрический, то последовательность {ue(i)} решений

регуляризованных задач (2), (3), (2.1) сходится в пространстве Н

равномерно на любом отрезке [0, Т], Т > 0, тогда и только тогда,

когда задача Коши (1), (2) для вырожденного оператора имеет

решение u(t), причем решение задачи Коши (1), (2) является

пределом последовательности решений вырожденных задач, т.е.

lim sup ||Ui(t) - u(i)||# = 0 для любого Т > 0. В противном случае £->0i6[o,r]

последовательность {u£(i)} решений регуляризованных задач сходится слабо в пространстве Н равномерно на любом отрезке [0, Т], Т > 0, к вектор-функции u*(t) = Ul« (t)uQ, которая является решением задачи Коши для уравнения Шредингера с сопряженным оператором L* и начальным условием (2), т.е. для любых Т > 0 и ip £ Н выполняется равенство lim sup |(u£(i) - u*(t), y?)#| = 0. £-*°te[o,T]

Теорема 2.1. Пусть оператор L является максимальным симметрическим. Тогда последовательность (иб(£)} решений регуляризованных задач Коши (2), (3), (2.1) сходится в слабой топологии пространства Н равномерно на каждом отрезке. Если при этом dim(Ker(L + ¿1)) = 0, то слабая сходимость является также и сходимостью по норме и пределом последовательности решений регуляризованных задач служит решение вырожденной задачи Коши с оператором —iL. Если же dim(Ker(L — ¿1)) = 0, то слабым пределом последовательности решений регуляризованных задач является решение задачи Коши с оператором —iL*.

Полученные для модельной регуляризации результаты делают естественным следующий вопрос: как зависит поведение последовательности регуляризованных решений от выбора регуляризации? Какие последовательности возмущений {Ln} производящего оператора L называть регуляризацией оператора L? Требуется проанализировать зависимость сходимости последовательности решений регуляризованных задач и ее предела от выбора регуляризации исходной задачи. В связи с этим исследуется вопрос: что можно назвать регуляризацией исходной задачи?

Определение 2. Назовем максимальной диссипативной

регуляризацией максимального симметрического оператора L задачи Коши (1.1), (1.2) последовательность линейных операторов {Ln} такую, что

1) для любого п € N линейный оператор —iLn является максимальным диссипативным в пространстве

2) существует число q £ N такое, что

2А) оператор L® плотно определен и линейное многообразие Dq = Г>(Ъ5+1) Р|( |~| P(L„)) плотно в пространстве Н; neN

2В) для каждого п € N существует линейный ограниченный оператор Qn из гильбертова пространства D(L9) в гильбертово пространство D(Ln), причем последовательность {Qn} удовлетворяет условиям: lim ||Q„u — ы||я = 0 для любого и € D{Lq) и lim ||LnQnu — Ъи\\н = О

71—ЮО П—>00

для любого и £ D(Lq+1).

Будем называть максимальную диссипативную регуляризацию симметрического оператора L самосопряженной (симметрической), если при каждом п € N оператор L„ является самосопряженным (максимальным симметрическим) оператором в пространстве Н.

Пример 1. В качестве примера самосопряженной регуляризации оператора L задачи Коши (1), (2) предъявим последовательность операторов L„, заданных дифференциальным выражением вида (2.1) с функцией дп(х) = д(х) + еп, е„ +0, вместо функции д(х). Тогда указанная регуляризация - самосопряженная порядка q = 2.

Пример 2. Можно показать, что если {сг„} - бесконечно малая числовая последовательность, а {Ln} - самосопряженная регуляризация оператора L из примера 1, то последовательность операторов М„ = Ln + o"nL„, neN, является самосопряженной регуляризацией оператора L порядка q = 4.

Получена классификация поведений последовательности регуляризованных решений

K(t), е£Е, £->0,} (2.3)

и регуляризованных полугрупп {Ul, (£)} в терминах индексов дефекта оператора L и множеств максимальных симметрических [Lg, б G 0} и максимальных диссипативных {LCT, а € Е) расширений оператора L. В настоящей главе определены параметрическое описание множества частичных пределов последовательности регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии и в слабой операторной топологии соответственно.

В ходе исследования последовательностей возмущенных полугрупп

найден критерий их сходимости в сильной операторной топологии равномерной на произвольном отрезке вида [О, Т] в терминах сходимости графиков их генераторов. Близкий критерий сходимости полугрупп дан в терминах сходимости резольвент их генераторов. Наиболее известным критерием является теорема Троттера-Като, связывающая сильную операторную сходимость последовательности полугрупп с сильной резольвентной сходимостью их генераторов. Для сходимости последовательности полугрупп в слабой операторной, топологии получено необходимое условие на сходимость графиков их генераторов - сильный граф-предел последовательности генераторов содержится в графике генератора предельной полугруппы, который в свою очередь содержится в слабом граф-пределе последовательности генераторов.

Теорема 2.2. Пусть индексы дефекта симметрического оператора Ь есть (п_,гс-|_) и {Ьп} - некоторая максимальная симметрическая регуляризация оператора Ь. Тогда если п_ > п+, то любой частичный предел последовательности {и^^)} в сильной операторной топологии, равномерной на каждом отрезке вида [0,Т], есть одна из полугрупп иь9(£), генерируемых некоторым максимальным симметрическим расширением Ъд оператора Ь. Наоборот, каждая полугруппа Ц^ (¿) является пределом в сильной операторной топологии некоторой последовательности регуляризованных полугрупп.

Если 0 < п_ < п+ и частичный предел и(£), £ > О, последовательности полугрупп {иьп(£)} в слабой операторной топологии, равномерной на каждом отрезке вида [О, Г], является полугруппой, то генератором полугруппы и(£), £ > 0 является одно из максимальным диссипативным расширением оператора —¿Ь. Наоборот, для любого максимального диссипативного расширения —гЬст оператора —гЬ найдется максимальная диссипативная регуляризация {Ь„} такая, что пределом последовательности полугрупп {и^ } в слабой операторной топологии является полугруппа и^ (¿).

Слабая сходимость последовательности регуляризованных решений гарантирует лишь сходимость значений всех линейных непрерывных функционалов пространства 1*2 (Я) = Н на решениях. А в задачах квантовой механики требуется определить динамику средних значений наблюдаемых - ограниченных операторов в пространстве Н, которую слабая сходимость гарантировать не может. Поэтому актуально проводимое в третьей главе изучение поведения последовательности операторов плотности.

Глава 3 посвящена изучению поведения последовательности регуляризованных квантовых состояний (операторов плотности) {ре(Ь)},

соответствующих последовательности регуляризоваиных решений {ue(t)}. Напомним, что состоянием квантовой системы называется неотрицательный нормированный линейный непрерывный функционал р на банаховом пространстве линейных непрерывных операторов В(Н) в гильбертовом пространстве Н, наделенном операторной нормой. Оператор плотности р„, соответствующий единичному вектору и € H, есть элемент пространства В*(Н), действие которого на произвольный элемент А € В(Н) определяется правилом (ри, А) = (и, Аи)ц. При этом состояние, являющееся линейным функционалом на банаховом пространстве В(Н), непрерывным не только по норме, но и с сильной операторной топологии пространства В(Н), называется оператором плотности. Совокупность операторов плотности представляет собой выпуклое множество неотрицательных ядерных операторов в пространстве H с единичным следом.

В ряде исследований по динамике квантовых систем возникает необходимость в изучении операторов плотности и динамических преобразований множества операторов плотности (см.20,21,22 ).

В главе 3 проводится исследование сходимости последовательности регуляризоваиных операторов плотности {pf(t, Uq)} в слабой* топологии пространства В*(Н), где функционал p((t,u0) е В*{Н) определен на пространстве В(Н) равенством (pe(i,u0),А) = (ue{t),Aue(t)). Таким образом, изучается сходимость при е 0 всевозможных числовых последовательностей

{(««(*), Aue(f)), А € В(Н), t > 0.} (3.1)

Следовательно, анализ слабо сходящихся последовательностей регуляризоваиных решений {ue(i)} приводит нас к исследованию сходимости последовательности регуляризоваиных операторов плотности

Ы*.«о), ееЕ, е-)-0,} (3.2)

в *-слабой топологии пространства В*{Н), а также сходимости регуляризоваиных динамических полугрупп

{Tt(t),t> 0, е€Е, е-* 0,} (3.3)

20 L. Accardi, Y.G. Lu, I.V. Volovich. Quantum theory and its stochastic limit. Springer, Texts and monographs in physics, 2001.

21 Холево A.C. Вероятностные и статистические аспекты квантовой механики. Москва-Ижевск, 2003.

22M.D. Srinivas. Collapse postulate for observables with continuous spectra. Comm. Math. Phys., v. 71 (1980), N 2, p. 131-158.

преобразований пространства операторов плотности В*(Н) в слабой* операторной топологии пространства В(В*(Н)). Здесь при каждом б £ Е регуляризованная динамическая полугруппа Te(i) действует на произвольный элемент р £ В*(Н) по правилу: Tt(t)p — pe(t,p), где (pe(t,p), А) = (p,ULe(t)AULi(i)*) при каждом A G В{Н).

Естественно, в случае сходимости последовательности {?if (£)} решений регуляризованных задач по норме имеет место поточечная на пространстве В{Н) сходимость соответствующей последовательности регуляризованных операторов плотности {pe(t)}.

Несмотря на компактность единичной сферы пространства В*(Н) в топологии слабой* сходимости в силу теоремы Банаха-Алаоглу, секвенциальная компактность последовательности {pe(t,uo)} со значениями на единичной сфере отсутствует- Такое поведение последовательности обусловлено тем, что слабая* топология пространства В* (Я) не метризуема. Полученный результат основан на известной теореме Дель-Антонио (см.23), утверждающей, что если последовательность {un} единичных векторов гильбертова пространства Я сходится слабо но не по норме, то тогда соответствующая последовательность операторов плотности pUn расходится в *-слабой топологии пространства В*(Н).

Теорема 3.1. Пусть оператор L есть симметрический оператор в пространстве Я с индексами дефекта (п_,п+), п+ > п_, а обобщенная последовательность операторов {Le, б 6 Е = (0,1), б +0} есть максимальная симметрическая регуляризация оператора L. Тогда для любого числа Т > 0 существует вектор щ G Н такой, что для любой бесконечно малой последовательности еп найдется такой ограниченный самосопряженный оператор А 6 В{Н), что последовательность (иСп(Т),АиСп(Т)) расходится.

Неизбежная расходимость любой последовательности регуляризованных операторов плотности в слабой* топологии пространства В*(Н) приводит к необходимости рассмотрения множества всех частичных пределов числовых последовательностей

{Ы*,Рио), A), (i,«о, A) GRxHx В(Н)}, е£Е,е~> 0.

Определено многозначное отображение F, сопоставляющее каждому моменту времени t > 0, начальному состоянию щ £ Я (состоянию ро £ В*(Н)) и ограниченному оператору А £ В(Н) множество частичных пределов F(t,uo,A) последовательности {(pc(i, ßUo), А)} значений

23 G.F. Dell'Antonio On the limits of sequences of normal states// Comm. Pure Appl. Math., 1967, v. 20, p. 413-429.

на операторе А регуляризованных состояний pt.it,и о). Физически многозначное отображение означает, что среднее значение

физической величины А для квантовой системы, эволюционирующей из начального состояния и о, в момент времени t может быть числом из множества ио, А).

Пусть Ъ - симметрический оператор в пространстве Н и {1|£, е € (0,1), € —► 0} - максимальная диссипативная регуляризация симметрического оператора Ъ в смысле определения 2. Назовем максимальную диссипативную регуляризацию непрерывной, если помимо условий определения 2 выполняется также следующее условие непрерывности: оператор-функция Ь£, е £ (ОД) есть непрерывное в топологии сильной резольвентной сходимости отображение интервала в линейное пространство замкнутых операторов.

Если X и У - два метрических пространства, то под метрическим пространством X х У будем понимать декартово произведение множеств X и У, наделенное метрикой прямого произведения метрических пространств ГХХУ{{Х1,У1),(Х2,У2)) = ГХ{Х1,Х2) +ГГ{У1,У2).

Обозначим через X множество Л х В*(Н) х В(Н), наделенное метрикой прямого произведения метрических пространств. Через Вва(Н) обозначается вещественное банахово пространство самосопряженных ограниченных линейных операторов, а через Т\{Н) - банахово пространство ядерных операторов со следовой нормой.

Теорема 3.2. Если {Ь£, с € Е,} - непрерывная самосопряженная регуляризация оператора Ь, то многозначное отображение Р метрического пространства X = Я х В*(Н) х В(Н) в метрическое пространство снабженное метрикой Хаусдорфа, непрерывно на

метрическом подпространстве Х, — Я х Р|7\) х Ваа(Н). Если множество Е связно, то значение многозначного отображения Р в каждой точке £ € Хя является отрезком.

Дальнейшей целью диссертации является изучение структуры графика многозначного отображения Р.

Глава 4 посвящена изучению стохастических аспектов регуляризации некорректной задачи и вероятностному смыслу расходимости последовательности регуляризованных решений или операторов плотности. Чтобы дать вероятностную интерпретацию расходимости последовательности решений регуляризованных задач нам потребуется расширить понятие случайного процесса - отказаться от условия счетной аддитивности меры на измеримом пространстве элементарных событий.

Наделим множество параметров регуляризации структурой измеримого пространства с мерой. Пусть Е - некоторое множество

параметров регеляризации. Обозначим через 2Е cr-алгебру всех подмножеств множества Е, через V(E) - класс всех неотрицательных нормированных аддитивных мер, заданных на ст-алгебре 2Е.

Пусть теперь Е - направленное множество с отношением порядка -<. Обозначим через W(Е) совокупность мер ц е V(E), обладающих следующим свойством: для любого t 6 Е выполняется равенство fi(Et) = О, где Et = {е € Е : с -< t}. Например, если Е = N - направленное множество с естественным порядком натуральных чисел, то множество W(N) составляют такие меры из V(N), значения которых равны нулю на любом конечном подмножестве множества N. Если Е - множество точек некоторой проколотой окрестности нуля е* банахова пространства, частично упорядоченное по убыванию расстояния до начала координат, то W(E) - класс таких мер из V(E), носитель которых сосредоточен в произвольной проколотой окрестности предельной точки е* = О направленного множества Е. Свойства множества мер W(E) и операция интегрирования числовой функции по мере из класса V(E) изучались в работах С. Банаха, JI.B. Канторовича, А.Д. Александрова, К. Иосиды и Е. Хьюитта.

Напомним, что через £(//) обозначается множество квантовых состояний - части единичной сферы пространства В*(Н), лежащей в положительном конусе функционалов из В*{Н), принимающих неотрицательные значения на положительных операторах из пространства В(Н). Через £П(Я) обозначим множество нормальных квантовых состояний - функционалов из £(Я), непрерывных не только по норме, но и в сильной операторной топологии. Через £Р(Я) будем обозначать множество чистых квантовых состояний - множество крайних точек пространства £П(Я), задаваемых проекторами на одномерные подпространства пространства Н. Каждое чистое квантовое состояние, отвечающее проектору на единичный вектор и € Н, задает на пространстве В(Н) линейный непрерывный функционал по правилу (ри, А) = (и,Аи)ц. Необходимость изучения квантовых состояний, не являющихся следовыми операторами, возникает при рассмотрении операции квантовых измерений операторов с непрерывным спектром (см.24).

С последовательностью регуляризованных операторов плотности связано определенное в третьей главе многозначное отображение F, сопоставляющее каждому ограниченному линейному оператору А множество частичных пределов последовательности {(р£(£), А)} значений на этом операторе регуляризованных операторов плотности.

24 M.D. Srinivas. Collapse postúlate for observables with continuous spectra. Comm. Math. Phys., v. 71 (1980), N 2, p. 131-158.

Введение меры на направленном множестве Е параметров регуляризации индуцирует меру на множестве значений многозначного отображения ^ : Х3 -> 2Л,С' (см. теорему 3.2).

Итак, расходящаяся последовательность регуляризованных операторов плотности {рс(£)}£е£,е->о рассматривается как случайный процесс со значениями во множестве квантовых состояний I)(Н) на пространстве с неотрицательной нормированной мерой (Е, 2е, ц), математическим ожиданием которого является слабый интеграл Петтиса вектор-функции р£(£) по конечно аддитивной мере ц. Установлено, что математические ожидания случайных процессов с различными мерами /1 £ Ш(Е) представляют собой непрерывные ветви многозначного отображения Р.

Теория интеграла по конечно аддитивной мере и банаховых пространств интегрируемых функций развита в работах Г.М. Фихтенгольца, Л.В. Канторовича, А.Д. Александрова, К. Иосиды и Е. Хьюитта и изложена в монографиях Н. Данфорда и Д. Шварца, Н. Бурбаки. Для построения интеграла по конечно аддитивной мере от векторнозначной функции используется либо конструкция слабого интеграла Петтиса или Гельфанда (25), либо конструкция интеграла Бохнера. Банахово пространство вектор-функций со значениями в банаховом пространстве X, интегрируемых по конечно аддитивной мере в смысле Бохнера, есть пополнение пространства простых (принимающих конечное множество значений) измеримых функций (см.26).

В монографии27 построены банаховы пространства функций со значениями в банаховом пространстве X, интегрируемых в смысле Петтиса по счетно аддитивной мере, полученные как пополнение пространства равномерно непрерывых в слабой топологии функций по норме, задаваемой интегралом от нормы значений. В случае сепарабельного пространства значений X введенные в указанной монографии пространства совпадают с пространствами интегрируемых по Бохнеру функций Ь\{Е, 2Е,Х, ц). В диссертации исследованы свойства пространств функций А^Е, 2Е,Х,ц) со значениями в сепарабельном пространстве X, интегрируемых в смысле Петтиса по конечно аддитивной мере.

На пути построения банахова пространства Ь^Е, 2Е,ц, X) рассматривается промежуточное пространство ^ = Р\(Е,2е ,р,Х) (см. Бурбаки, п. 4.3.3) функций на множестые Е со значениями в X, для

25 Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

26 Данфорд Н., Шварц Д. Теория операторов. Т. 1. М.: УРСС, 2004.

27 Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: Изд. РУДН, 1992

которых числовая функция ||/|| является интегрируемой на Е по мере р и задает на пространстве Fi полунорму ni<fi(f) = J\\f\\d/j,. Для каждого элемента пространства ij определены слабые интегралы Гельфанда (см.28) и Петтиса по мере ß.

В диссертации линейное пространство F\ с полунормой и операцией интегрирования по Петтису превращено в банахово пространство А\{Е, 2Е, ¡г, X) с помощью факторизации и пополнения линейного нормированного пространства классов эквивалентности (в отличие от Ai(.Б, 2е, fi, X) пространство Li(E, 2Е,р, X) получено как пополнение лишь подпространства пространства Fi - подпространства простых функций). Показано, что в случае сепарабельности пространства X и счетной аддитивности меры р, пространства Ьх(Е,2Е, р,,Х) и Ai(E,2E,ß,X) совпадают, но для конечно аддитивной меры /г пространство А\(Е, 2Е,р,Х) шире пространства 1ц(Е,2Е,ц,Х).

Для элементов пополнения L\{E,2Е,ц,X) пространства простых функций определен интеграл Бохнера. В разделе 4.1 показано, что для элементов пополнения А\(Е, 2Е,р,, X) пространства ограниченных функций интеграл Бохнера не определен, но определены слабые интегралы Гельфанда и Петтиса.

Теорема 4.1. Пусть р, £ W(E). Если бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство Н имеет ортонормированный базис £ = {ej}, а в пространстве L2(E, 2Е,р, С) существует конечный или счетный ортонормированный базис Т ~ {fj}, то ортонормированная система {ej х Д} является полной в пространстве Ь2(Е,2Ец,Н) и не является полной в пространстве А2(Е,2е,ц,Н). В этом случае пространство A2(E,2E,ß,H) не сепарабельно.

Пример 4.1. Если р. € Wo{E), то пространство L2{E, 2е, ц, С) одномерно, а пространство А2(Е,2е,р.,Н) не сепарабельно.

Для каждой меры ц € W (Е) определим математическое ожидание случайного процесса pc(t,po) с помощью интеграла Петтиса:

= J pe{t,po)dfi.

Е

Определим многозначное отображение <3>(t, ро) = (J p^(t,p0)

мб w{e)

метрического пространства R х В*(Н) во множество всех подмножеств пространства В*(Н).

28 Гельфанд И.М. Abstrakte funktionell und lineare Operatoren// Мат. сб., т. 46, 1938, с. 235-286.

Теорема 4.2.. Пусть Е есть линейно связное подмножество метрического пространства и отображение ue(t) : Е -» C(R+,H) непрерывно. Тогда любого щ £ Ни любого р, £ W(E) справедливы следующие утверждения

1. Функция p^(t,uo) = Jpe(t,uo)dp является непрерывным в *-слабой

Е

топологии отображением полуоси R+ в банахово пространство В*(Н), причем функция p*(f, t«o)(A) € С(Х) является непрерывной селекцией многозначного отображения F(t,Uo,A) 6 С(Х, 2й).

2. Многозначное отображение F допускает представление F(t, uq,A) — $(t,pUo)(А), А € В(Н), при любых t £ R и ио £ Я.

Определение 4. Ограниченный линейный оператор Т £ В(В*(Н)) будем называть *-слабым интегралом оператор-функции Т€, е £ Е, со.

значениями в пространстве В(В*(Х)) по конечно аддитивной мере р, £

*

V(E) и обозначать Т = fT^dp, если для любых векторов р £ В* (Л), А £ Е

В(Н) выполняется равенство (Тр, А) = f(Te(t)p, A)dp.

Е

Для каждого р. £ W(E) определим семейство отображений:

T^t) = JТe(t)dp, t > О,

которое будем называть семейством усредненных динамических преобразований пространства квантовых состояний. Тогда для любого

ро € В*(Н) справедливо равенство

*

PpfaPo) = J'T<(t)Podn = Т„(4)ро, t > 0.

Е

При любом t > 0 соответствие Тд(£) : р —> рд (t, р), является линейным отображением пространства В*(Н) в себя, сохраняющим норму и свойство положительности элемента p^(t) = Тд(£)р для р £

Многозначное отображение F : X -»• 2R>d определяет многозначное отображение T(t) : R+ такое, что для каждого р £ В*(Н)

выполнено равенство

T(t)p = (t)p. f

Согласно теореме 4.2 для любых (t,po,A) £ X выполняется равенство F(t,p,A) = (T(t)p0,A).

Таким образом, для любой меры р, £ Ш(Е) математическое ожидание р^{Ь,ро) случайного процесса ре(£) есть линейная непрерывная ветвь многозначного отображения Ф (Ь,ро). При каждом р £ IV (Е) семейство динамических преобразований : р0 ро), £ >

О, отображает множество квантовых состояний Е(Я) в себя. Каждое такое семейство динамических преобразований есть математическое ожидание операторнозначного случайного процесса Те (£) на пространстве с мерой (Е, 2Е,р). Многозначное динамическое преобразование Т{1) = и Т^) обладает тем свойством, что для любого начального

состояния ро выполняется равенство Ф(£,ро) = Т(£)ро-

Несепарабельное гильбертово пространство Н = Л.(Е, 2Е,р, Н) позволяет реализовать конструкцию теоремы Наймарка и представить последовательности решений регуляризованных задач как унитарное преобразование расширенного пространства последовательность

регуляризованных операторов плотности {ре(£)} - как чистое векторное состояние в пространстве соответствующее вектору

¿/(¿) — ие(£) £ Ь(Е,Н) С А(Е,2Е,р,Н); математическое ожидание рм(^ случайного процесса ре(£) - как частичный след чистого состояния

В алгебре оператов В{Н) выделим изоморфную алгебре В(Н) подалгебру Во (Я), состоящую из таких операторов Л £ В (Н), что найдется оператор А 6 В(Н) такой, что ЛЫ = АН для любого Ы € Ь(Е, Н).

Теорема 4.3. Пусть {Ь£, е £ Е} - самосопряженная регуляризация оператора Ь и пусть р, £ IV (Е). Тогда квантовое состояние р*(£,ио) = есть сужение чистого состояния из пространства

е

В*(7{ц) на подалгебру операторов Во(7{).

Таким образом, меры класса IV (Е) позволяют определить регуляризацию задачи Коши (1), (2) как унитарное преобразование гильбертовых пространств £2(Е,2Е,р,,Н) и задать параметрически непрерывные ветви многозначного отображения Т(£) как математические ожидания случайных процессов Т{(£) на пространствах с мерой (Е, 2Е ,р) при различных р. £ IV (Е).

В пятой главе изучаются динамические свойства семейства усредненных преобразований Тд(£), 4 > 0. Усредненное динамическое преобразование Тм(£) совокупности квантовых состояний разрушает чистые состояния и нормальные состояния - следовые операторы плотности, отображая их в состояния общего вида из Е (Н).

5.1. Обратимость усредненного преобразования. Выберем некоторую меру р. С IV (Е) и рассмотрим математическое ожидание рм(г,Ро) процесса ре^,ро), е £ Е, на пространстве с мерой (Е, 2Е,р) (см. (п.

4.1, 4.2 и п. 4.4)), а также связанное с ним однопараметрическое семейство линейных преобразований пространства В*(Н).

T"(i),i>0,

действующих по правилу T^(t)po = pM(i, ро) и отбражающих множество квантовых состояний Е(Я) в себя. Поставим следующие вопросы.

1. Является ли отображение TM(i) инъективным преобразованием множества Е(Я)?

2. Как определить состояние ро по известным значениям функционала p>*(t,po) на пространстве В(Я)?

Теорема 5.1. Пусть t > 0. Тогда существует такая мера ц £ W(E), что отображение T^(t) обладает следующими свойствами:

1. Отображение T^(t) определено на пространстве В*(Н), линейно и непрерывно, причем множество квантовых состояний Е(Я) отображается им в себя.

2. Образом выпуклого множества E(#i(i)) пространства В*(Н) при отображении Тм(£) является выпуклое множество У(£)(Е(#1(£))) пространства В(Н)*. Множество образов крайних точек множества En(iTi(i)) совпадает с множеством крайних точек образа T^(t)(Sn(Hi(t))):

Т^ШЕхЬгЫН^)))) = Яя*г(Г"(«)(Е„(Я1(*)))). (5.1)

Существует обратное к отображение множества

крайних точек Extr{T^{t){lln{Hx{t)))) на множество крайних точек ExtrCEn(Hi(t)))

3. Отображение есть взаимно однозначное отображение выпуклого множества E„(Hi(i)) на выпуклое множество Г"(0(ЕП(Я!(«))).

5.2. Наблюдаемость случайного процесса. Исследован вопрос об определении начального состояния ро процесса pe(i,po) на измеримом пространстве (Е, 2Е,р) с мерой р, из теоремы 5.1 по набору значений его математического ожидания рм(£, ро) на различных подмножествах алгебры В(Н). Установлено следующее утверждение о неразличимости класса начальных состояний с помощью измерений средних значений наблюдаемых для процесса p((t, щ) в один момент времени t > 0:

Предложение 5.1. Пусть t > 0 и вектор состояния щ 6 имеет проекции Що и Uqi на подпространства Ho(t) и H\(t) соответственно. Тогда для любых ц £ W(E) функционалы p^i, uoo + etauoi) совпадают при всех а £ [0,27г].

Однако для однозначного определения динамики математического ожидания p^itjpuo) процесса pc{t, рио) с чистым начальным состоянием рио достаточно знать значения математического ожидания в два различных момента времени.

По заданному моменту времени t > 0 и мере р из теоремы 5.1 каждому элементу /э £ S(i/) сопоставлены последовательности функционалов {Ро1'1'"} на единичной сфере Si(H0(t)) и на единичной сфере

Si(.Hi(i)) такие, что, во-первых, при каждом m £ N функционалы достигают в точках Si(Hi(t)) максимального значения, во-вторых, при фиксированных ро £ Е„(Я), мере /i из теоремы 5.1 и t > 0 для любых m £ N и t > 0 существуют пределы

Mj(i)= lim sup j =0,1.

Более того, пусть /?о = Pu0 € Т,Р(Н). Тогда:

1) Если последовательность {и™} единичных векторов пространства Ho(t)

„ ____тЛ.р* tt.pn) / \ m.t.p** (t.po) / т\

удовлетворяет равенству sup Vo (v) = ip0 v (Щ ) при

»esM^iO)

каждом т £ N, то последовательность {jjq1} компактна в Н, а любой ее частичный предел есть единичный вектор из одномерной линейной оболочки проекции що вектора щ на подпространство Ho(t).

2) Если последовательность {uj71} единичных векторов пространства Hi(t)

m,t,p'i(i,po)i \ m.t.p'1 (тп.ро)/ т\ удовлетворяет равенству sup Vi (v) = ip1 4 '(v[ ) при

ves1^^))

каждом m £ N, то последовательность {^J71} компактна в Я, а любой ее частичный предел есть единичный вектор из одномерной линейной оболочки проекции вектора щ на подпространство H\(t).

Лемма 5.1. Существует мера v £ W(E), которая удовлетворяет как требованиям, предъявляемым в теореме 5.1 в момент времени t, так и аналогичным требованиям в любой другой момент времени ii > 0, рационально соизмеримый с t.

Пусть число t\ > t рационально соизмеримо с t и (ti), f*(£i) есть частичные пределы последовательностей, элементы которых реализуют максимумы функционалов Vo » Vi

соответственно, a Mo(ii), M\(t\) - предельные значения соответствующей последовательности максимумов. Для каждого числа fi > 0 рационально соизмеримого с t обозначим через C(t\) замкнутую кривую Цм0ß € [0'27Г)} В пР°стРанстве квантовых состояний.

Теорема 5.2. Пусть t > 0 и и - мера из леммы 5.1. Тогда

1) Для того, чтобы нормальное состояние ро было чистым, необходимо, чтобы были выполнены равенства Мо(£) + M\(t) = 1,

lim sup bPo'i,P>i ^'Po\v) - Mo(i)|K,w)|2] =0« включение p0 € C(t). m->°° «6Si(Ho(i))

2) Если max(Mo(i),M\(t)) = 1, то состояние ро чистое, а кривая C(t) состоит из одной точки pUo, которая совпадает с pv- либо с .

3) Если равенство Mo(t) + Mi(t) = 1 выполнено и Mo(t) £ (0,1), то существует такое рационально соизмеримое с t число tj t, что

Mo(tj) Ф Mo(t). Кроме того, пусть lim sup \<Ро'г'р ^'po\v) —

т-*°° ves^HoW)

M0(t)\(vZ,v)\2] = 0. Тогда для включения ро € Т,р(Н) достаточно, чтобы Mo(tj) + Mi(ij) = 1. В этом случае кривые C(t) и C(tj) имеют единственную общую точку ро.

Таким образом, математическое ожидание Tß(t) случайного процесса Te(t) как функции переменной t > 0 не является однопараметрической полугруппой преобразований банахова пространства В*(Н), ибо состояния Puoo+eiauoi 1 имеющие при всех а £ [0,27г] общий образ при отображениях T"(t) при произвольном выборе v 6 W(E) согласно предложению 5.1, имеют в силу теоремы 5.2 различные образы при отображении T"(t + Д£), где i > 0, At > 0 и I/ - мера из леммы 5.1. Но для однозначного определения динамики математического ожидания pv{t,pUo) процесса Pe{t>Puо) с чистым начальным состоянием рио достаточно знать значения математического ожидания в два различных момента времени.

Публикации по теме диссертации.

Статьи в научных журналах.

1. Сакбаев В.Ж. О постановке задачи Коши для уравнения Шредингера, вырождающегбся на полупространстве. Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2002. Т. 42, X'- 11. С. 1700-1711.

2. Сакбаев В. Ж. О функционалах на решениях задачи Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой. Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2004. Т. 44, № 9. С. 1654-1673.

3. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с вырождением на двух полупрямых Мат. Заметки. 2004. Т. 76, № 3. С. 335-343.

4. Сакбаев В.Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с генератором переменного типа. Дифф. Уравнения. 2004. Т. 40, № 2. С. 229-241.

5. Сакбаев В.Ж. О многозначных отображениях, задаваемых регуляризацией уравнения Шредингера с вырождением. Журнал Выч.

Мат. и Матем. Физ. 2006. Т. 46, Л> 4. С. 682-698.

6. Сакбаев В.Ж. О динамике квантовых состояний, порожденной задачей Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой// Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 6. С. 157-174.

7. Сакбаев В. Ж. О свойствах решений задачи Коши для вырождающегося вне отрезка уравнения Шредингера и спектральных аспектах регуляризации. Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 21. С. 87-113.

8. Сакбаев В. Ж. О задаче Коши для уравнения Фоккера-Планка, вырождающегося на плупрямой. Дифф. Уравнения. 2007. Т. 43, № 8. С. 1127-1143.

9. Сакбаев В.Ж. Аппроксимационные и вариационные методы регуляризации некорректных задач. Доклады РАН. 2008. Т. 419. № 2. С. 174-178.

10. Сакбаев В. Ж. О спектральных аспектах регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения. Труды МИ РАН им. В.А. Стеклова. 2008. Т. 261. С. 258-267.

11. Коробенко Л.В., Сакбаев В.Ж. О постановке и корректности задачи Коши для уравнения диффузии с вырожденными разрывными коэффициентами. Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2009. Т. 49, № 6. С. 1085-1102.

12. V.Zh. Sakbaev. Stochastic properties of degenerated quantum systems. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probabilities and Related Topics. 2010. V. 13, N 1. P. 65-85.

Тезисы международных конференций

13. Сакбаев В.Ж. Об уравнении Шредингера с вырождением и обобщенной сходимости последовательностей. Межд. конференция "Дифференциальные уравнения и динамические системы". 10-15 июля, г. Суздаль. Тезисы докладов. Владимир. 2006. С. 190-191.

14. Сакбаев В.Ж. Международная Конференция "Дифференциальные уравнения и динамические системы". 26 июня-2 июля, г. Суздаль. Тезисы докладов. Владимир. 2008. С. 222-223.

15. Сакбаев В.Ж. О динамике квантовых состояний, порожденной задачей Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой. Международная конференция "Колмогоров и современная математика", посвященная 100-летию А.Н. Колмогорова. М.: МГУ. 2003. С. 230-231.

16. Sakbaev V.Zh. On the Cauchy problem for Shchrodinger equation with degeneration on subdomain. International Conference "Diff. Equations and Re-

lated Topics "dedicated to 103 Anniversery of I.G. Petrovskii. Book of abstract. Moscow. 2004. P. 355-356.

17. Сакбаев В.Ж. Об аппроксимационных и вариационных методах регуляризации одной некорректной задачи Коши. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы,"посвященная 100-летию JI.C. Понтрягина. Сборник тезисов М.: МГУ. 2007. С. 269-270.

18. Sakbaev V.Zh. On the regularization and averaging of singular initial-value problem. International Conference "Functional spaces. Approximation theory. Nonlinear analysis."dedicated to the centennial of S.M. Nikolskii. Book of abstract. Moscow. 2005. P. 346.

19. Сакбаев В.Ж. О свойствах решений задачи Коши для вырождающегося уравнения Фоккера-Планка. Международная Конференция "Тихонов и Современная Математика". Тезисы докладов секции "Функциональный анализ и дифференциальные уравнения". М.: МГУ. 2006. С. 231-232.

20. Сакбаев В. Ж. О вариационных методах регуляризации некорректной задачи Коши для линейного уравнения с вырождением// Тезисы Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию Л.Д. Кудрявцева. Москва. 2008. С. 312-314.

21. Sakbaev V.Zh. The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 17-24, 2008. The book of abstract. P. 81-82.

22. Сакбаев В. Ж. Статистические аспекты вырождения гамильтониана квантовой системы. Международная конференция по математической физике и ее приложениям. Самара, 8-13 сентября, 2008 г. Тезисы докладов. С. 179-180.'

23. Сакбаев В.Ж. О сходимости полугрупп и регуляризации. "Современные проблемы математики, механики и их приложения". Материалы междунарожной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. М.: Издательство "Университетская книга", 2009. С. 122-123.

24. Сакбаев В.Ж. О стохастических свойствах вырожденных квантовых систем. Международная конференция "Проблемы теоретической и математической физики.", посвященная 100-летию Н.Н. Боголюбова. Тезисы докладов. М.: 2009. С. 89-90.

Сакбаев В.Ж.

Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом

Аннотация

Изучается задача Коши для уравнения Шредингера, гамильтониан которого является вырожденным линейным дифференциальным оператором второго порядка. Определена зависимость индексов дефекта вырожденного гамильтониана от коэффициентов дифференциального выражения и получены условия корректной разрешимости задачи Коши. Дано определение максимальной симметрической регуляризации вырожденного гамильтониана. Получен критерий сходимости последовательности регуляризованных полугрупп и определено множество ее частичных пределов. Задание меры на множестве параметров регуляризации позволяет исследовать расходящиеся последовательности регуляризованных динамических полугрупп как случайный процесс. Исследованы полугрупповое свойство и свойство обратимости семейства усредненных по конечно-аддитивной мере регуляризованных динамических преобразований. Установлено свойство наблюдаемости семейства усредненных динамических преобразований: неизвестное начальное состояние системы определяется по значениям усредненного состояния в один или в два различных момента времени.

Sakbaev V.Zh.

On the dynamics of quantum system with degenerated Hamiltonian

Abstract

The Cauchy problem for Schrodinger equation with degenerated Hamiltonian is studied. The dependence of the degenerated Hamiltonian deficient indexes on its coefficients is obtained and the correctness conditions for Cauchy problem are fined. The definition of the maximal symmetric regularization of degenerated Hamiltonian is given. The necessary and sufficient conditions of the convergence of regularizing semigroup sequence are obtained. We find the set of semigroups each of them is a partial limit of some regularizing semigroup sequence. To study the sequence of regularizing semigroups as the stochastic process we consider the measures on set of regularizing Hamiltonians each of them is supported in arbitrary neighborhood of degenerated Hamiltonian. The semigroup and reversibility properties of family of dynamical maps averaging by finite additive measure are studied. The observability property of averaging dynamical maps is established. It means that we can find the unknown initial state by the values of averaging states in one or two different instants.

Сакбаев Всеволод Жанович

ДИНАМИКА КВАНТОВЫХ СИСТЕМ С ВЫРОЖДЕННЫМ ГАМИЛЬТОНИАНОМ

Подписано в печать 15..06.10 Формат 60x84 Усл. печ.л. 1,2 Тираж 100 экз. Заказ 23 Государственное обр'азовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет)

141700, Московская область г. Долгопрудный, Институтский пер. 9

Введение

1 Корректность задачи Коши для уравнения с вырожденным оператором

1.1 Уравнение Шредингера.

1.1.1 Постановка задачи Коши.

1.1.2 Определения сильного и обобщенного решений задачи Коши.

1.1.3 Разрешимость задачи Коши в спектральных терминах

1.2 Постановка задачи Коши для уравнения Шредингера с одномерным координатным пространством.

1.2.1 Модельная задача Коши.

1.2.2 Обобщения на коэфициенты уравнения.

1.3 О граничных условиях в точках разрыва коэффициентов дифференциального выражения оператора Ь.

1.4 Регуляризация вырожденного оператора Шредингера

1.5 О задаче Коши для уравнения Фоккера-Планка, вырождающегося на полупрямой.

1.5.1 Постановка задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка и ее корректность.

1.5.2 Задачи, порожденные оператором L на полупрямых

1.5.3 Регуляризация уравнения Фоккера-Планка.

1.5.4 Обобщения на поведение коэффициентов уравнения Фоккера-Планка.

2 Спектральный подход к регуляризации

2.1 Аппроксимация некорректной задачи последовательностью корректных задач.

2.2 О регуляризации задачи Коши в банаховом пространстве.

2.3 О регуляризации задачи Коши в гильбертовом пространстве

2.4 Примеры вырожденных операторов.

2.4.1 Операторы в одномерном пространстве.

2.4.2 О влиянии геометрии области вырождения оператора на его индексы.

2.4.3 Пример задачи Коши с вырожденным вне области оператором.

2.4.4 Классификация в терминах индексов дефекта оператора Шредингера

2.5 Слабый предел последовательности решений регуляризованных задач и интегральное тождество.

3 Последовательности регуляризованных операторов плотности.

3.1 Динамика операторов плотности, порожденная задачей

Коши для уравнения Шредингера.

3.1.1 О сходимости последовательности квантовых состояний в топологии *-слабой сходимости.

3.2 О сходимости спектральных мер.

В настоящее время интерес к вырождающимся дифференциальным уравнениям возникает в теоретических работах по корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, теории полугрупп и теории марковских процессов (см. [44], [70], [40], [36], [16]), и поддерживается необходимостью описания течений жидкости в пористых средах, распространении колебаний в кристаллических твердых телах и движения носителей заряда в полупроводниках ([116]). Современный анализ указанного класса задач используют вариационные и спектральные методы исследования (см. [36], [63], [73], [74], [75]).

В диссертации изучается влияние вырождения производящего оператора в эволюционном уравнении (уравнении Шредингера, уравнении Фоккера-Планка) на корректную разрешимость задачи Коши и на свойства динамических преобразований пространства начальных данных. Работа состоит из введения и пяти глав.

Заключение

В первой главе определен класс рассматриваемых задач Коши для эволюционных уравнений второго порядка с вырожденными негладкими коэффициентами. Исследованы индексы дефекта дифференциальных операторов из рассматриваемого класса и получены необходимые и достаточные условия корректной разрешимости задачи Коши. Рассмотрена равномерно эллиптическая регуляризация вырожденного оператора, исследованы сильная и слабая сходимости последовательности регуляризованных решений, а также сходимости последовательности регуляризованных полугрупп в сильной и в слабой операторной топологиях.

Во второй главе определяется регуляризация вырожденного симметрического оператора задачи Коши. Показано, что если задача Коши с вырожденным оператором корректна, то любая последовательность регуляризованных полугрупп сходится к полугруппе, порожденной производящим оператором, в сильной операторной топологии равномерно на любом отрезке. Установлено, что если производящий оператор является максимальным симметричным, но не максимальным диссипативным, то любая последовательность регуляризованных полугрупп сходится в слабой операторной топологии равномерно на любом отрезке, однако не является сходящейся в сильной операторной топологии. Установлено, что для сходимости некоторой подпоследовательности последовательности регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии необходимо, чтобы производящий оператор исходной задачи Коши имел максимальные диссипативные расширения, совокупность которых определяет множество частичных пределов всевозможных последовательностей регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии. В случае нарушения необходимого условия компактности в сильной операторной топологии дано описание множества сжимающих полугрупп, являющихся пределами последовательностей регуляризованных полугрупп в слабой операторной топологии. Определены классы пробных функций, для которых предел (сильный или слабый) последовательности регуляризованных решений удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2) в смысле интегрального тождества.

В главе 3 исследована сходимость последовательности операторов плотности, задаваемых решениями регуляризованных задач, в слабых топологиях пространства В*(Н). Из сходимости последовательности решений по норме следует *-слабая сходимость последовательности регуляризованных операторов плотности в пространстве В* (Н). Если же последовательность регуляризованных решений сходится лишь слабо в пространстве Н, то последовательность регуляризованных операторов плотности расходится в *-слабой топологии пространства В*(Н). Определено многозначное отображение .Р, сопоставляющее каждому оператору А € В(Н) множество частичных пределов Р(Ь,ио,А) последовательности значений регуляризованных операторов плотности в точке А. Установлена непрерывность многозначного отображения Р в метрике Хаусдорфа и указаны условия, обеспечивающие связность множества его значений.

Исследована сходимость последовательности операторов плотности в более слабых топологиях пространства В*(Н), порожденных алгебрами ограниченных операторов, унитарно эквивалентными коммутативной алгебре операторов умножения на ограниченную непрерывную функцию. Получены необходимые и достаточные условия существования подпоследовательности последовательности операторов плотности, сходящейся в указанных слабых топологиях.

В четвертой главе расходящаяся последовательность регуляризованных операторов плотности {ре(£), £ > 0, е € В, е —» 0,} рассматривается как ¿Г(7/)-значный случайный процесс на измеримом пространстве (Е, 2е) с неотрицательной нормированной чисто конечно аддитивной мерой, заданной на алгебре всех подмножеств 2е множества параметров регуляризации Е и сосредоточенной в произвольной окрестности предельной точки множества параметров регуляризации. Через У/(Е) обозначено множества всех мер, обладающих указанными свойствами. Средние значения такого процесса определяются слабым интегралом Петтиса от векторной функции по конечно аддитивной мере. Чтобы рассмотреть случайные процессы как векторы в банаховом пространстве интегрируемых функций, определены пространства СР(Е, 2е, Н, р) Н-значных функций на множестве Е, интегрируемых по конечно аддитивной мере ¡1, которые являются пополнениями пространства ограниченных (а не простых) //-значных функций по норме, определяемой интегралом. Исследованы отличия свойств пространств СР{Е, 2е, Н, рь) от классических пространств Ьр(Е,2е,Н^).

Регуляризация некорректной задачи Коши для уравнения Шредингера (1), (2) {иье(£), £ > 0, е € Е, е —> 0}, представлена как полугруппа унитарных преобразований несепарабельного гильбертова пространства С2(Е, 2е, ц, Л"), которая является примером реализации теоремы М.А. Наймарка о расширении симметрического оператора до самосопряженного с выходом в расширенное гильбертово пространство. Установлено, что математическое ожидание случайного процесса на вероятностном пространстве (Е, 2е , рь) совпадает с частичным следом оператора плотности чистого состояния из расширенного гильбертова пространства, и является непрерывной ветвью многозначного отображения F, определенного в третьей главе. Многозначное отображение Р представлено как объединение своих однозначных непрерывных ветвей, параметризованных мерами ¡1 € \¥(Е).

В пятой главе исследована задача определения случайных процессов ро) по наблюдениям за их средними значениями.

1. Установлены условия на начальное состояние процесса и момент времени > 0, при которых по математическому ожиданию /^(¿1) можно определить начальное состояние процесса рщ.

2. В случае произвольного чистого начального состояния процесса для его определения недостаточно информации об усредненных состояниях р^Ь^щ) в некоторый момент времени ^ > 0 при всех рь € У/(Е). Но если р, - мера из леммы 5.2.4, то измерения состояний в два различных момента времени ¿1, позволяют одноначно определить начальное состояние процесса рщ и, следовательно, всю усредненную траекторию рщ) процесса.

3. Установлено, что при любом выборе меры р, из класса \¥(Е) семейство усредненных динамических преобразований £ > О, утрачивает полугрупповое свойство. Для найденных в теореме 5.1.1 мер усреднения в пространстве квантовых состояний ) определены области, на которых усредненное динамическое преобразование проявляет свойства инъективности и сюрьективности. Для класса мер, удовлетворяющих условиям леммы 5.2.4 в пространстве квантовых состояний £(//) определены области, на которых однопараметрическое семейство динамических преобразований £ > 0, обладает полугрупповым свойством.

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М.: Наука, 1966.

2. Алхутов Ю.А., Жиков В.В. О гельдеровости решений вырождающихся эллиптических уравнений// Доклады РАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 583-588.

3. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с вырождением на двух полупрямых// Мат. Заметки. 2004. Т. 76, № 3. С. 335-343.

4. Антонцев С.Н., Шмарев С.И. Существование и единственность решений вырождающихся параболических уравнений с переменным показателем нелинейности// ФПМ. 2006. Т. 12, № 4. С. 3-19.

5. Аптекарев А.И., Рыков Ю.Г., О вариационном представлении решений некоторой гиперболической системы с помощью логарифмического потенциала во внешнем поле// Доклады РАН. 2006. Т. 409, № 1. С. 12-14.

6. Арсеньев A.A. Построение турбулентной меры для системы уравнений Навье-Стокса// Мат. Сборник. 1976. Т. 101, № 2. С. 204211.

7. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами. М.: УРСС, 2002.

8. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Мир, 1980.

9. Балашов М.В., Половинкин Е.С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004.

10. Банах С. Курс функционального анализа. Киев, Радянська школа, 1948.

11. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве// Ученые записки МГУ. 1951. Т. 148. С. 69-107.

12. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.

13. Березин Ф.А., Шубин М.И. Уравнение Шредингера, М.: Наука, 1983.

14. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

15. Биллингслей П. Сходимость вероятностных мер. М. Наука, 1977.

16. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1. М.: УРСС, 2003.

17. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 2. М.: УРСС, 2006.

18. Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир. 1982.

19. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах:, меры на отделимых пространствах. М.: Наука, 1977.

20. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

21. Варадарайн В. С. Меры на топологических пространствах// Матем. Сборник. 1961. Т. 55(97), N 1. С. 35-100.

22. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

23. Вершик A.M., Ладыженская O.A. ДАН СССР. 1976. Т. 226, № 1. С. 26-29.

24. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1971.

25. By лих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1965.

26. Гельфанд И.М. Abstrakte funktionen und lineare Operatoren// Мат. сб. 1938. Т. 46. С. 235-286.

27. Гитман Д.М., Тютин И.Д. Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука, 1986.

28. Глушко В.П., Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. Части 1-4// Дифф. уравнения. 1968. Т. 4, № 9. С. 15841597; Т. 4, № 11. С. 1956-1966; 1969. Т. 5, № 3. С. 443-445; Т. 5, № 4. С. 599-611.

29. Голопуз С.А. Определяющие граничные условия и вырожденная задача для эллиптических краевых задач с малым параметром при старших производных// Матем. Сб. 2003. Т. 194, № 5. С. 3-30.

30. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наукова думка, 1984.

31. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных песамосопряженных операторов, М.: Наука, 1965.

32. Данфорд Н., Шварц Д. Теория операторов. Т. 1. М.: УРСС, 2004.

33. Диденко В. П. Вариационная задача для уравнения смешанного типа// Дифф. уравнения. 1977. Т. 13, № 1. С. 44-49.

34. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

35. Эванс Л. К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск, 2006.

36. Жиков В. В. К проблеме предельного перехода в дивергентныхнеравномерно эллиптических уравнениях// Функ. ан. и его прил. 2001. Т. 35, № 1. С. 23-39.

37. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993.

38. Иванов В.К., Мельникова И.В. Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, Физматлит, 1995.

39. Иванов В.К., Васин В.В. Танана В.П. Теория нелинейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

40. Ильин A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Мат. Сборник. 1960. Т. 50, № 4. С. 443-498.

41. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Наука, 1967.

42. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

43. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

44. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области// ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 2, С. 181-183.

45. Клемент Ф., Хейманс X., Ангенет С., ван Дуйн К., де Пахтер Б. Однонараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992.

46. Козлов В. В. Устойчивость периодических траекторий и многочлены Чебышева// Вестн. МГУ Сер. 1. Математика. Механика. 1991, № 5. С. 7-14.

47. Колмогоров А.Н.О возможности общего определения производной, интеграла и суммирования расходящихся рядов. Избранные труды А.Н. Колмогорова. Т. 1. С. 44-46. М.: Наука, 2004.

48. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

49. Колокольцов В.Н. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами и магнитными полями// Матем. Сб. 2003. Т. 194, № 6. С. 87-102.

50. Кондратьев В.А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях// Труды Моск. Матем. Об-ва. 1966. Т. 15. С. 400-451.

51. Коробенко Л.В., Сакбаев В.Ж. О постановке и корректности задачи Коши для уравнения диффузии с вырожденными разрывными коэффициентами// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2009. Т. 49, № 6. С. 1085-1102.

52. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967.

53. Труды С.Н. Кружкова. Сб. статей./ Под ред. С.Н. Бахвалова. М.: Физматлит, 2000. С. 14-38; 39-45; 287-316.

54. Кружков С.Н. Лекции по уравнениям с частными производными. М.: МГУ, 1970.

55. Кудрявцев Л.Д. О вариационном методе отыскания обобщенных решений дифференциальных уравнений в функциональных пространствах со степенным весом// Дифф. уравнения. 1983. Т. 19. С. 1723-1740.

56. Куратовский С. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.

57. Ладыженская O.A. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными// Вестник ЛГУ. 1957. Т. 7, С. 104-120.

58. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Физматлит, 1973.

59. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

60. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

61. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш. школа, 1982.

62. Додонов В.В., Манъко В.И., Скаржинский В.Д. Неоднозначности вариационного описания классических систем и проблема квантования// Труды ФИАН. 1983. Т. 152. С. 37-89.

63. Мельникова И. В. Доклады РАН. 2003.

64. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

65. Михайлов В. П. Теорема существования и единственности решения одной граничной задачи для параболического уравнения с особыми точками на границе// Труды МИАН. 1967. Т. 91. С. 47-58.

66. Михлин С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1965.

67. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

68. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

69. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки. Серия: математика. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1969.

70. Олейник O.A. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой.// Матем. Сб. 1966. Т. 69(111), № 1. С. 111-140.

71. Орочко Ю.Б. Условие непроницаемости точки вырождения одночленного симметрического оператора четного порядка// Матем. Сб. 2003. Т. 194, № 5. С. 109-138.

72. Орлов Ю.Н. Основы квантования вырожденных динамических систем. М: МФТИ, 2004.

73. Панов Е.Ю. О последовательности мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка.// Матем. Сб. 1994. Т. 195, № 2. С. 87-106.

74. Пастухова С.Е. О вырожденных уравнениях монотонного типа: эффект Лаврентьева и вопросы достижимости// Матем. Сб. 2007. Т. 198, № 10. С. 89-118.

75. Плотников П.И., Саженков С. А. Задача Коши для ультрапараболического уравнения Гратца-Нуссельта// Доклады РАН. 2005. Т. 401, № 4. С. 455-458.

76. Проспери Дж.М. Процесс квантового измерения и наблюдения непрерывных траекторий// Математика. Новое в зарубежной науке. Вып. 42. Квантовые случайные процессы и открытые системы. Сб. статей. М.: Мир. 1988. С. 197-222.

77. Pud М., Саймон Б. Современные методы математической физики. Т. 1. М.: Мир, 1977.

78. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Матем. заметки. 1999. Т. 66, JV2 6. С. 897-912.

79. Сакбаев В.Ж. О постановке задачи Коши для вырождающегося уравнения Шредингера// Межд. Сборник. Некоторые проблемы современной и прикладной математики. М.: МФТИ, 1999. С. 161— 178.

80. Сакбаев В. Ж. О свойствах решений задачи Коши для вырождающегося вне отрезка уравнения Шредингера и спектральных аспектах регуляризации// Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 21. С. 87-113.

81. Сакбаев В. Ж. О функционалах на решениях задачи Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2004. Т. 44, № 9. С. 1654-1673.

82. Сакбаев В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с генератором переменного типа// Дифф. Уравнения. 2004. Т. 40, № 2. С. 229-241.

83. Сакбаев В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с генератором переменного типа// Дифф. Уравнения. 2007. Т. 43, № 8. С. 1127-1143.

84. Сакбаев В. Ж. О постановке задачи Коши для уравнения Шредингера, вырождающегося на полупространстве// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2002. Т. 42, № 11. С. 1700-1711.

85. Сакбаев В.Ж. Аппроксимационные и вариационные методырегуляризации некорректных задач// Доклады РАН. 2008. Т. 419, № 2. С. 174-178.

86. Сакбаев В. Ж. О многозначных отображениях, задаваемых регуляризацией уравнения Шредингера с вырождением// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2006. Т. 46, № 4. С. 682-698.

87. Сакбаев В. Ж. Спектральные аспекты регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения// Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2008. Т. 261. С. 258-267.

88. Сакбаев В. Ж. О динамике квантовых состояний, порожденной задачей Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой// Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 6. С. 157-174.

89. Секефалъви-Надъ Б., Фояш С., Гармонический анализ операторов. М.: Мир, 1970.

90. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Ленинградский Гос. Пед. Ин-т им. А.И. Герцена. Ученые Записки. 1958. Т. 197. С. 54-112.

91. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

92. Смоляное О.Г., Хренников А.Ю. Вероятностные модели измерений некоммутирующих и коммутирующих наблюдаемых// Доклады РАН. 2005. Т. 402, № 6. С. 748-753.

93. Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: Изд. РУДН, 1992.

94. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

95. Трепе Ф., Флаксмайер Ю. О некоторых приложениях теории расширений топологических пространств и теории меры// УМН. 1977. Т. 32, № 5. С. 125-162.

96. Fichera G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order// Boundary problems in differential equations, The University of Wisconsin Press, Madison, 1960, P. 97-120. Имеется также перевод

97. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка // Математика 1963. Т. 164 С. 99-121.

98. Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.А. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1992. Т. 40. С. 3-176.

99. Филлипс Р. С. Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных. Сб. переводов "Математика". Т. 6, № 4. 1962.

100. Фрейдлин М.И. О стохастических уравнениях Ито ивырождающихся эллиптических уравнениях// Изв. АН СССР, сер. Мат. 1962. Т. 26. С. 653-676.

101. Фрейдлин М.И. Марковские процессы и дифференциальные уравнения. Теория вероятности и математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Итоги науки. М.: ВИНИТИ. 1967. С. 7-58.

102. Фрейдлин М.И. Диффузионные процессы и малый параметр в эллиптических уравнениях с разрывными коэффициентами// Изв. АН СССР, сер. Мат. 1965. Т. 29. С. 1005-1036.

103. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИИЛ, 1951.

104. Холево A.C. Вероятностные и статистические аспекты квантовой механики. Москва-Ижевск, 2003.

105. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны// Дифф. уравнения. 2001. Т. 37, № 12. С. 16551663.

106. Шамин Р. В. Пространства начальных данных для параболических функционально-дифференциальных уравнений// Матем. заметки. 2002. Т. 71, № 4. С. 636-640.

107. Эванс J1.К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск. 2006.

108. Яковлев Г.Н. Об одной вариационной задаче// Дифф. уравнения. 1969. Т. 5, № 7. С. 1303-1312.

109. Яковлев Г.Н. Дифференциальные свойства экстремалей квадратичных функционалов с разрывными коэффициентами// Дифф. уравнения. 1971. Т. 7, № 7. С. 1741-1749.

110. Accardi L., Lu Y.G., Volovich I. V. Quantum theory and its stochastic limit. Springer, Texts and monographs in physics, 2001.

111. Alicki R. Quantum dynamical semigroups and applications. Springer Lect. Notes Phys. Vol. 286 (Springer, 1987).

112. Brooks J.K., Dinculeanu N. Lebesgue type spaces for vector integre-tion, linear operators, weak completeness and weak compactness// J. Math. Anal. Appl. 1976. V. 54, N 2. P. 348-389.

113. Dautray R.; Lions J.-L. Mathematical analysis and numerical methods for science and technology. M. 5. Evolution problems 1. SpringerVerlag, 1992.

114. Dell Antonio G.F. On the limits of sequences of normal states// Comm. Pure Appl. Math., 1967, v. 20, p. 413-429.

115. Dinculeanu N. Vector integration and stochastic integration in Banach spaces. Pure and Appl. Math., New-York, 2000.

116. Gadella M., Kuru S., Negro J. Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions// Phys. Letters A. 2007. V. 362. P. 265-268.

117. Gerard P. Microlocal defect measures// Comm. Part. Diff. Eq., 1991. V. 16, N 11. P. 1761-1794.

118. Hewitt E., Iosida K. Finitely additive measures// Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V. 72. P. 46-66.

119. Foias C. Statistical study of Navier-Stokes equations// Part I, II, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1972. V. 48. P. 219-348; V. 49. P. 9-123.

120. Karasev M. V. Magneto-metric Hamiltonians on quantum surface in the configuration space// Russ. J. Math. Phys. V. 14, N 1. P. 57-65.

121. Pavlotsky I.P., Strianese M. Irreversibility in classical mechanics as a consequence of Poincare group// International J. of Mod. Phys. B. 1996. V. 10, N. 21 P. 2675-2685.

122. Safonov M. V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with measurable coefficients// SIAM J. Math. Anal. 1967. V. 30, N 4. P. 879-895.

123. Srinivas M.D. Collapse postulate for observables with continuous spectra// Comm. Math. Phys. 1980. V. 71, N 2. P. 131-158.

124. Tartar L. H-measures, a new approach for studying homogenization, ascillation and concentration effects in partial differential equations// The Roy. Soc. of Edinburgh. Proceedings, Sect. A (Math.) 1990. V. 115. N 3/4. P. 193-230.