Квазиточнорешаемые задачи квантовой механики и метод эффективных полей в терии спиновых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ■ _ л „ИНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛЛОВ

ГБ ОД

I лцт '

| !-.'• ••' На правах рукописи

Заславский Олег Борисович

. ' КВАЗИТОЧНОРЕШАЕШЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И МЕТОД ЭФФЕКТИВНЫХ ПОЛЕЙ В ТЕОРИИ СПИНОВЫХ СИСТЕМ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков - 1995

Работа выполнена в Харьковском государственном университете, г.Харьков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

A.А.Звягин

доктор физико-математических наук

B.О.Черановский

доктор физико-математических наук . А.А.Яценко

Защита состоится "-¿-С" ___ 1995 года

в 14 часов на заседании специализированного coBeTá ' . Д.02.Н.01 в Институте монокристаллов НАН Украины

Адрес: 31000Х, г. Харьков - 001» пр. Ленина 60

• • ■ ■ • '

Автореферат разослан S&tíf&^S^b года

• 'Ученый секретарь Специализированного совета ■Д.02. 11.01" ' ''

кандидат технических наук Л.В.Атрощенко

ОБ.'ДАЯ ХАРАКТЕРИСТИИА РАБОТЫ Актуальность теш и степень исследования тематики диссертации

" Спиновые системы широко встречаются в самых разных областях физики - теории магнетизма, сверхпроводимости, ядерной физике и т.д. Для их описания требуются специальные теорфизические методы, поскольку коммутационные соотношения для компонент спина отличаются от соответствующих сопткошний гак дчн ^озеискпс, так и для фермиевских систем. При атом основное внимание до сих пор уделялось, как правило, развитию методов для многЬчастичных систем - таких, как метод функций Грина, диаграммная техника, различные представления операторов спина через, юозевские и т.д. В то же время из рассмотрения вплоть до недавних лет по существу выпало исследование свойств целого ряда од-■носпиновых гамильтонианов. Сюда можно отнести, например, анизотропные парамагнетики или асимметричные кванговомеханические волчки, применяемые в теории колебаний молекул. Это касается также и.многочастичных систем, так как в некоторых случаях - ферромагныные малые частицы, суперпарамагнетизм, ЛГИ модель (модель' Липкина - Мешкова -Глика)ит.д. выделяются коляективные степени свободы, описывающие движение системы как целого.

В данной диссертации развеваются в основном два направления, связанные с исследованием подобных систем. С одной стороны, предложено строгое описание спиновых систем с помощью потенциального поля и эффективного уравнения Шредингера (спин-координатное соответствие),что оказывается особенно полезным для изучения их квантовых свойств. С другой стороны, строится квазиклассическое приближение для спиновых систем общего вида (в том числе и многочастичных), удобное для нахождения квантовых поправок в термодинамическим величинам, когда поведение квантовой системы близко к классической. Нассматривается также, как существенно квантовые свойства проявляются в эволюции систем, начальное состояние которых является квазиклассическим (когерентным). Оба метода (относящиеся отчасти к различным предельным ситуациям, а отчасти перекрывающиеся) объединяет то, что они основаны на новых . применениях аппарата спиновых когерентных состояний.

В свою очередь метод потенциального' описания спиновых систем имеет два аспекта. С одной стороны, он оказывается наглядным и эффективным аппаратом исследования весьма тонких свойств спиновых

' *

систем - поведения, магнитной восприимчивости в существенно квантовой области, спинового туннелирования и т.д. С другой - соответствие между спиновой и координатной системами приводит к обнаружению новых классов точных решений уравнения Шредингера.

Следует подчеркнуть отличие установленного точного спин-координатного соответствия от традиционно используемого в теории магнетизма языка спиновых перемегшых для описания динамического взаимодействия с учетом характера симметрии волновой функции, которое затрагивает только координатные степени свободы. Последнее является приближен-, ним и связано с теми или нам физическими допущениями: возможностью усреднения по орбитальным переменным, применимостью теории возмущений и т.д. Характерным примером является вывод гамильтониана Гейзен-берга, описывающего обменные эффекты в молекуле водорода. Развитый же в данной работе подход является строгим. В частности, построен эффективный потенциал и для модели Гейзенберга и других спиновых систем с взаимодействием (или систем,- сводящихся к спиновым) - например, модели Дикке взаимодействия атома с излучением.

Следует особо остановиться на общефизическом вопросе о точных решениях уравнения Шредингера. Интерес к ним в посоднее время, существенно возрос. С одной стороны, это связано с запросами вычислительной физики, где они слугат тестовыми примерами; С другой - 'с бурным развитием теоретико- групповых и алгебраических методов исследования. Сюда могло отнести, например, тесно связанные между собой метод суперсимметрии, применение преобразования Дарбу, метода факторизации, метода конечнозонных потенциалов. В серии работ, например, динамическая симметрия ряда потенциалов изучалась с использованием аппарата углового момента. ^

Излагаемый подход является еще одним, новым методов отыскания точных решений. Он состоит в рассмотрении гамильтонианов, являющихся функциями генераторов группы Ли и использования представления обобщенных когерентных состояний. В частном случае, когда группа -5иС2') это соответствует спиновым операторам. Нами, однако, рассмотрен более общий случай (в частности, 50(3} отвечает орбитачьному моменту и квантовомеханическому Волчку). Указанный гамильтониан в соответствующем координатном представлении становится дифференциальным оператором,, в' частности - оператором Шредингера с некоторым.эффективным потенциалом. Характерной особенностью метода является то, что он имеет прямой физический смысл, поскольку лежащий в его основе вспо-

могательные конструкции - групповые гамильтонианы - сами по себе описывают разнообразные физические системы.

Отличительным свойством рассматриваемых потенциальных моделей является то, что точные решения находятся, вообще говоря, не для всего,спектра, а только его алгёбраической'части, отвечающей конечномерному подпространству, описываемому групповым гамильтонианом. По этой причине модели данного типа, являющиеся промежуточными между точно решаемыми (в обгамом смысле, т.е. для всего пространства системы! и точно не решаемыми, называются квазиточнорешаемши (КТРМ),

Цель исследования, проведенного в данной работе, является двоякой. С одной стороны, это - изучение столь необычных длй квантовой механики объектов, как КТРМ. Как правило, возможность найти точные решения уравнения Шредингера связана с наличием скрытой симметрии (алгебры) •системы. Установить общие принципы, делающие существование КТРМ возможным, изучить ее скрытую алгебру - все это входит в цель проведенного в данной работе исследования.

Кроме того, целью работы является также распространение КТРМ (а тем самым расширение классов точных решений) на двумерные и многомерные случаи. Особое место здесб занимает поиск таких моделей для частицы, находящейся не только в потенциальном, но и магнитном поле.

С другой стороны, цель работы состоит в развитии строгих методов описания спиновых систем с помощью потенциальных полей и 1.x физических приложений - прежде всего, для описания квантового туннелирова-ния в спиновых системах и псевдоспиновых системах.

Кроме того, задача о таком туннелировании, как имеющая самостояте-дьный интерес, рассматривается и вне'рамок указанного подхода - для очень слабых полей используется теория возмущений-(нетривиальным моментом здесь является то, что вырождение снимается в высоком порядке, пропорциональном величине спина). Квантовое туннелироаяние рассматривается также и для анти£ерромагнитных, в том числе и распределенных систем, а также ферромагнитной системы конечных размеров.

Лейтмотивом, объединяющим разные части работы в том, что касается методов, является использование аппарата обобщенные когерентных состояний, в первую очередь спиновых. Однако мы рассматриваем как ряд задач с помощью спиновых (построение КТРМ,' квазиплассика), так и обычных когерентных состояний. Сюда относится задача, представляющая общефизический интерес - исследование динамики квантового ангармони-

ческого осциллятора и ее спинового аналога - анизотропной спиновой системы. Другим аналогом этой задачи является распространение волн сквозь слабо неоднородную среду, где в качестве эффективного потенциала выступает показатель преломеления.

Результата, составившие основу диссертации, получили впервые. Этим определяется их новизна. На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Между энергетическими спектрами двух систем существенно различной природы есть соответствие. Одна из них представляет собой анизотропный парамагнетик во внешнем магнитном поле, другая является координатной и описывает квантовое движение частицы в потенциале.

2. Соответствие не является взаимно-однозначным: из всего бесконечномерного пространства состояний координатной системы отделяется конечная часть, для которой, точные решения могут быть получены из алгебраического уравнения, причем спектр совпадает со спектром указанной выше спиновой системы. В результате оказалось, что существуют целые классы квантовомеханических систем (КТРМ - квазиточнорешаемые модели), для которых точные решения существуют только для части энергетического спектра. .

3. Указанное соответствие связано со свойствами- спиношх ког-грвнтных согг жц«^ в оточ пр"'.:(('.т-гвлении спиновые операторы становятся дифференциальными, а спиновый гамильтониан оператором Шредингера.

Физической реализацией КТРМ среди двухчастичных моделей являются системы со спин-бозонным и спин-спиновнм взаимодействием, в то;.! число модель Дикке.

■ /

5. КТРМ с магнитным полем соответствуют в указанном смысле квантовые волчки (поскольку значение орбитального момента при этом не фиксировано, обе системы являются бесконечномерными).

6. Одномерные КТРМ, а также двумерные, обладающие скрытой

симметрией, могут быть получены с помощью метода производящей функции из конечномерного разностного уравнения. Это же верно для КТРМ, основанных на алгебре бозевских операторов. В последних двух случаях решение выражается через классические ортогональные полиномы.

Метод элективного потенциала позволяет строго сформулировать понятие инстантона в Спиновой системе и описать явление спинового

туннвлирования.

б. Квантовые свойства систем со слабой нелинейностью проявляют себя в«модуляции гармонической временной заивисимсти, если начальное состояние Еыбрано.когерентным.

Научная и практическая ценность. Точные решения уравнения Шредин-гера известны для крайне ограниченного числа задач. Поэтому обнаружение новых точно решаемых случаев само по себе представтяет принципиальный интерес. Более того, в данном случае речь идет об обнаружении принципиально нового типа моделей с точными решениями - КТРМ -и развитии адекватного им языка описания. Кроме го^о, полученные результаты могут оказаться полезными в разнообразных физических ситуациях, где задача сводится к изучения движения част.;цы в потенциальных 'полях, особенно когда профиль имеет вид двойной ямы - в квантовой химии, теории металлов, теории поля и т.д. Существенно, что сюда также относятся случаи, когда наряду с потенциалом (в том числе и трея-мярным) действует магнитное поле.

Точные решения могут также служить тестовыми примерами в различных вычислительных схемах и суцественно расширить.круг задач, решаемых с помощью теории возмущений, когда в качестве нулевого приближения выбирается КТРМ.

■ Квантовое туннелирование в спиновых системах является новым видом макроскопического туннелирования. Помимо теор^изичезкого интереса, это важно, например, для учета процессов квантового перемагничипания а приборах, где используются магнитные материалы. Изучение спинового туннвлирования может дать, в принципе, один из способов определения константы анизотропии (в случае магниторазбавленных кристаллов или ферромагнитной системы со счабой анизотропией), что. существенно для анализа экспериментальных данных на основе спинового гамильтониана (например, при экспериментах по парамагнитному резнонансу).

Пример нвантового ангармонического осциллятора, рассмотренный в работе, дает, в силу простоты и общности модели, общие качественные закономерности проявления квантовых свойств в динамике нелинейных систем.

Развитые методы получения КТРМ являются достаточно общими и могут использоваться для других (помимо уравнения Шредш^ера) уравнений, в том числе многомерных и более высокого порядка, чем второй. Существенно, что при ртом не требуется разделения переменных.

Полученные результаты могут также использоваться в теории квантовых волчков, так как в работе показано, что каждому.волчку соответствует КТРМ с магнитным полем.

Личный вклад соискателе. В работе диссертантом установлена связь между энергетическими спектрами двух систем существенно разной природы - спиновой и координатной. Это соответствие использовано для построения точных решений уравнения Шредингера. Рассмотрен предельный переход к известным точнорешаемым задачам, а также КТРМ, полученным ранее.

В работе [12] автор диссертации нашел, что присутствие нелинейных членов в гамильтониане приводит к целому ряду частот вместо одной частоты в классическом случае. Именно это и проявляет себя в существенно квантовой модуляции гармонической завивимости "физических величин от времени.

В работе [14^ аналогичный результат получен автором для пространственной модуляции слабонеоднородного пучка.

В работе Jl6] диссертант использовал развитый им метод эффективного потенциала для описания т'-ннельных эффектов в ферромагнетиках.

. Обзор указанных результатов содержится в работе [ij.

В-статье[i?] диссертант вычислил время жизни метастабильного состояния.

Апробация работы. Основные резулвтаты работы докладывались на' семинаре "Спицовые-волны" (Ленинград 1986, 1990), на семинарах теоретических отделов ФТИНТ HAH Украины, ХФТИ, Объединенного института ядерных исследований (Дубна), кафедры теоретической физики Харьковского университета, Дон ФТИ HAH Украины, УН Международном семинаре "Физика магнитных явлений" (Дон'ФТИ, Донецк), а также на следующих международных конференциях:

Trends in Physics, European Physical Society EPS9 (Florence, Italy, September 1993)

International conference on Magnetism (tfaraw, Poland, August 1994)-'

The 6 th Doint МММ - Intermag Conference (Albuquerque, New Mexico," USA, ¡June 1994)

Публикации. Основной материал диссертации отражен в 17 статьях в научных журналах (в том числе'одном обзоре).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Она содержит 196 страниц машинописного текста, 'включая б рисунков и список литературы из 147 названий.

ОСНОВНОЕ СОДЕРдСАШЕ РАБОТЫ .

Во введении обоснована.актуальность теми и-сформулированы цели диссертационной работы. Кратко охарактеризована область исследования, определено место исследований, представленных в диссертации, среди других работ. Приведены сновные положения, выносимые на защиту.

В'первой главе ".Метод элективных полей" описаны основные идеи спга-координатного соответствия, т.е. соответствия между энергетическими спектрами спиновой и координатной систем определенного вида. Дан обзор основных результатов по КТРМ, известных до появления работ, вошедших в данную диссертацию. Описанный аппарат используется для изучения квантовых свойств псевдоспиновой модели Липкина - Мешкова -Глика (ЛГМ)..

Идея иллюстрируется на простейшем примере. Пусть спиновая система- описывается гамильтонианом, отвечающим парамагнетику ти"\а "легкая ось" в поперечном магнитном поле: . '

н = -о<- в(I)

о<>0

Оказывается, что спектр такой системы совпадает с величина спина) низколежащими уровнями для частицы,.движущейся в потенциальном поле

и= -ВСЗ*!")^:*: (2)

Волнова функция спинового мультиплета имеет при этом вид-

^ Фехр С" ^Ц) (3)

<|> - полйном' относительно <гхрX степени 2Й .

Обобщение на случай спиновой системы с продольным полем

. н. - 6 вд. - С Б^ • (4)

приводит подобным же образом к потенциалу

Кроме того, из (I), (2) заменой х = С^ получаются периодические потенциалы

с зонным энергетическим спектром.

Спиновые состояния удовлетворяют при этом граничным условиям

^.(^АхО-СгО2®^?) (7)

и отвечают краям низколекащих энергетических зон. Для целого Ь они соответствуют .значениям квазиимпульса к. 3 0, для полуцелого

А.- к

Начиная с п.1.5 излагаются существенно новые результаты, составившие основу диссертационной работы. Здесь рассмотрена много-частичлая ЛГМ модель взаимодействующих фермионов. Ее.можно также интерпретировать как набор взаимодействующих двухуровневых систем. Гамильтониан модели является квадратично-линейной комбинацией псеВдоспиновых операторов, в простейшем случае сводящейся к (I). Эти операторы имеют вид _ п +• '

^-■^-'Цсчагм • ш)

Здесь р нумерует двухуровневые системы, а относится к вер-

хнему и нижнему уровням.

При'чисто классическом подходе (справедливом в пределе л/-»оо где И/ - число двухуровневых систем) в пренебрежении некоммутативностью различных компонент ^ получается следующее. Основному состоянию соответствует » при ^ = (В = , ^ имеет

смысл константы взаимодействия) происходит фазовый переход второго-рода (роль параметра порядка при этом играет среднее число возбужденных "нуклонов" - двухуровневых систем, отличное от нуля при

Однако согласно квантовой механике ¿7х>ни при каком ^

не

может достичь J , поскольку не имеет определенного значент, в стационарном состоянии; изменение свойств системы происходит достаточно плавно.

Для последовательного описания квантовых свойств системы применен метод эффективного потенциала. С его-помощью показано, что основному состоянию отвечает мультиплет с наибольшим возможным Для низколекащих состояний потенциал ХУ хорошо аппроксимируется степенным разложением по координате, в результате чего система сводится к ангармоническому осциллятору. Исользуя известные значения энергии и матричных элементов такого осциллятора, получаем для энергии основного состояния и числа возбужденных нуклонов <п+> в случае критического значения константы взаимодействия, когда осциллятор .является чисто четверным: л

¿п^-чггасл/Н) (д)

В то же время согласно классическим представлениям в пренебрежении флуктуациями бшга бы

Первое возбужденное состояние та;сже лежит в -мультиплете с А- > ¡энергетическая щель равна 8,89 • 10"'' 1)''^Ы.

Рассмотренная ЛГМ модель аналогична одночастичному системам в двух отношениях. С одной стороны, коллективное поведение фзрмионов можно рассматривать на языке магнитных характеристик соответствующего парамагнетика (I), с другйй -его удается описывать на основе картины квантовомеханического движения частицы в эффективном потенциале. Тем самым метод эффективного потенциала устанавливает связи между столь, казалось бы, различными областями теоретической и математической физики, кав уравнение ^едингера и поиск его точных решений и анализ кооперативных эффектов.

Вторая глава "Алгебраическая структура и физический смысл квазиточнорешаемых потенциальных моделей" посвящена изучению ЧТРМ, описываемых спиновыми гамильтонианами более общего вида, выяснению наиболее общей 'структуры, отвечающей КТРМ, и нахождению физической реализации КТРМ.

Сначала рассматриваются эрмитовне в спиновом пространстве гамильтонианы. Они описывают (если говорить о приложениях к магнетизму) двухосный парамагнетик во внешнем магйитном поле. Такое обобщение осуществляется для спинового гамильтониана непосредственно, однако в.координатной картине оно приводит к качественно йовым

И

Г1о;»з"1игсчс1т пи сравнению о изложенными в главе I.

Все эффективные потенциалы оказываются периодическими, так что точные решения являются зонными. Это особенно интересно в связи с тем, что хотя задача о квантовомеханическом'движении частицы в одномерном периодическом потенциале часто встречается в различных разделах физики твердого тела, колебании молекул, теории солитонов и т.д., точные решения являются здесь редкостью.

Гамильтониан спиновой системы, которая описывает двухоснвый парамагнетик в магнитном поле В, перпендикулярном осям анизотропии,. может быть записан в безразмерных величинах следующим образом:

^/-Р^ВБ, (Ю)

константы анизотропии о(, ¡ъ ^ 0.

В работе показано, что решение задачи на собственные значения для яакого гамильтониана приводит к уравнению второго порядка тира уравнения Шредингера с эффективным потенциалом:

Здесь обратная эффективная масса , потенциал

построен из эллиптических функций Якоби с модулем к Потенциал является четной периодической функцией х с периодом 4К, где К = К( £ ) - полный эллиптический интеграл первого рода. Спиновым состояниям отвечают решения уравнения (И), периодические с тем же периодом, если' § целое, и антиперио 'ические, если 3 полуцелое. Они соответствуют чередующимся дну и потолку энергетических зон.

Профиль потенциала оказывается весьма разнообразным и содержит различные сочетания простого или двойного минимума и максимума. В случае потенциал может иметь одновременно четверной минимум

и четверной максимум при В =

При достаточно мапых 2 характеристическое уравнение решается . в радикалах. При этом явные выражения имеют разный вид для разных Э . В общем случае наибольшое число простых явных решений получается при с, ■= ^ . Приведем для иллюстрации

*о>2 - % -д * + (13)

Проанализированы особые случаи, когда гамильтониан обладает дополнительными свойствами симметрии, что приводит к возможности расширения числа простых точных решений. Еслио( — р , то уровни энергии входят в спектр парами (Е и -Е). В частности, в случае целого спина при любом В есть уровень Е = 0. В результате удается найти ■ явные выражения для уровней вплоть до 5 =» 4, а также для нечетных состояний при Э = . 5. и

Пусть теперь В = 0. Гамильтониан при любых Ы , становится инвариантным относительно поворотов на угол 7Г не только вокруг .оси,, но и ( ). Если спин полуцелый, то такие преобразования коммутируют друг с другом, что означает вырождение уровней энергии (в случае целого спина группа симметрии остается абелевой, и выроздения не возникает). ■

В результате для и В = 0 удается найти явные выражения для характеристик состояний при 5 ^ 9/л. .

Далее в работе рассмотрены предельные перехода к точно решаемым моделям,' а' также КТРМ, описанным в 1-й главе. Разделим для удобства уравнение (II) на + , а в потенциале \/= ^/сИ-р

коэффициенты выразим через модули эдлпитическик функций к. и

!?/■=. {Г^ • Тогда

\/= \Л*- № зхнЦ + и <141

и . -1 Дк'Г у Лг'Г .

У4 ~ оГГр

Соответствующий спиновый гамильтониан —

Из свойств эллпитических функций вытекает, что при А. =0 потенциал переходит в

а при Ы' < и •/< ) в \/= $ ¡^х-^Ь+л)1^*.

т.е. потенциалы одноосного парамагнетика, рассмотренные в 1-й главе. ■ '

Сделаем теперь замену переменной х = и. -.К . и произведем перенормировку магнитного поля В = &СА +р>) Ь/ Тогда

потенциал (14) станопитсй' равным

V - + ^^г^пссЛи (15)

. ан- -и <5^.

Эта форм;, записи удобна тем, что из нее непосредственно получается уравнение Ламе при нулевом магнитном поле ( £ = 0). Если целое, потенциал Ламе обладает важным'свойством конечнозонности.

Если к, = 0, из (15) вновь получается (при произвольном 5 ) периодический потенциал

Если же к=1 , то приходим к обобщенному потенциалу Эккарта

В данной главе обс.ужцается причина, сделавшая существование КТРМ возможным. Это связано с тем, что спиновые операторы допускают реализацию в виде дифференциальных операторов:

-д^ % (16)

' Б • : .

Эти выражения тесно связаны с представлением спиновых когерентных состояний (СКС). Если записать ненормированное СКС в виде 1е>-= » то для любого оператора

будем иметь ~ — - ,

<Гг1 Лг>- (17)

где даются выражением (16). • '

Иначе можно сказать, что существует конечномерное представление алгебры группы 5(^620 в пространстве полиномов от н степени не выше, чем 2 . . Именно это пространство и отвечает алгебраизиро ванной части спектра и приводит к КТРМ.

Далее в работе обсуждается наиболее общий а данном подходе вид одномерных КТРМ. На'языке спиновых гамильтонианов им отвечает квадратично-линейный спиновый гамильтониан- наиболее общего вида

• - ■ ■ Н = 21 ^ % + (18)

Он может быть неэрмитовым относительно эрмитова сопряжения в матричном смысле, однако приводит (при вещественных коэффициентах) к уравнению Шредингера с эрмитовым (в координатном пространстве)

гамильтонианом. Для этого нужно подставить в (19) выражения (16). Тогда уравнение для собственных значений приводит к дифференциальному уравнению типа

- + ■ (19)

Здесь - полиномы к-й степени по г . Их структура не произ-

вольна - они вполне определенным образом выражаются через коэффициенты (13).

Сформулирован и другой подход к 1СГРМ. В работе поставлен вопрос, какие разностные уравнения допускают введение производящей функции, для которой бы получилось замкнутое дифференциальное уравнение второго порядка, построение на основе полиномов конечной степени (т.е. .соответствующее разностное уравнение должно допускать конечные ре-шенияО. Оказывается, что соответствующая структура имеет вид

(£0+е1и+£гпг)а|,+ сп-и)(1*0+ . (20)

Умножая (20) на х* и суммируя от и = 0 до гг. = V { А/> О -целое), -получаем замкнутое уравнение относительно

Ф= ^д" ■ ' (21)

* = о

которое полностью ¡эквивалентно (19), полученному из спинового гамильтониана. • , ' .

Рассмотренные выше примеры являются частными случаями уравнения (19), когда коэффициенты при производных упрощаются (степень полинома понижается, полином имеет кратные корни и т.д.). В работе рассмотрены также примеры, когда исходный гамильтониан не является чисто спиновым, а содержит, например, взаимодействие с бозон-Ной модой. Эти примеры интересны тем, что дают целый ряд физических реализаций КТРМ {помимо рассмотренных выше парамагнетиков). Пусть гамильтониан имеет вид

= сиа+а. * ^ + о.^ .(22)

Он эквивалентен.модели Дикке в подпространстве с фиксированным значением углового момента. Для данной системы существует интеррал движения .

в + +0*0. : (23)

что позволяет разбить все бесконечномерное пространство состояний модели на конечномерные подпространстве с фиксированным значением И . В каждом мультиплете матричное уравнение Шредингера сводится после преобразований к разностному уравнению, которое является частным (20). В результате получается КТРМ с потенциалом

¡11 . (24)

2

Таким образом, исходная система (22) со спин-бозонным гамильтонианом (физическим гамильтонианом системы) свелась к набору матричных систем с фффективными гамильтонианами (18) в каждом подпространстве с фиксированным R , что порождает в каждом же подпространстве соответствующую КТРМ.

Рассмотрен также более сложный гамильтониан:

' Ц -v ocia.- + cls^ (2б)

Он может описывать, например, спин-фононное взаимодействие при наличии анизотропии. Как и ранее, интеграл движения (23) разбивает все пространство на мультиплеты с различными значениями R . Для каждого мультиплета мы имеем уравнение Шредингера с потенциаюм

(J = С -ilTVc + С2 ck'Va -v + Сч qk *

(26)

Коэффициенты С£ (значения которых мы не выписываем) выражаются

через и 3-со-* , а также Д. «Э

у &

Еще один пример касается двух взаимодействующих бозевских осцилляторов:

.. К = состой 51 в+ %Со&О-в*1) (27)

Здесь интеграл движения

ао+О.-* (28)

а потенциал

и= х'-^ + .х'С^-Ж-У ■ (29)

у =

Подобным же образом проанализирована система двух взаимодействующих спинов с гамильтонианом

Здесь Sг , ¿-у соответствуют спинам 5 и Ь . В общем случае потенциал оказывается очень громоздким. Он* однако, принимает сравнительно простой вид при ^ + у .В этом случс?

(значения Ас мы здесь не выписываем).

В частном случае изотропного взаимодействия а С соответствующий потенциал оказывается потенциалом Эккарта

[(к^-о*-% + & - а+й-гУн-1^. (за).

В первых двух главах речь шла об одномерных КТРМ. Обобщение содержится в третьей главе "Двумерные и многомерные квазиточноре-шаемые задачи". При этом по сравнению с одномерным случаем получается ряд новых качественных особенностей. Одномерное дийеренци- . альное уравнение второго порядка всегда может быть С помощью замены координат и простой Подстановки преобразовано в уравнение Шре-дйнгера. Однако это уже не так, вообще говоря, даже в двумерном случае: требование эрмитовости соответствующего гамильтониана накладывает на коэффициенты уравнения вполне определенные условия интегрируемости. Пусть уравнение имеет вид

. (33)''

Оно может быть переписано в терминах ковариантного дифференцирования по отношению к метрике д./*" :

В то же время.уравнение Шредингера должно иметь вид

-д'Ьи^ ^О <35)

Здесь ■ - двумерный лапласиан. Сведение (34) к (35), невозможное в общем случае, становится возможным, если - градиент}

(36)

ЧГ» Ф.

Тогда для функций

_в (36)

действительно получается (35) прямой подстановкой, причем

Т-^ ' (37)

^ Л • Uef а у. ^Л

В двумерном случае условие (36) эквива7ентно -

на)

В п,3.1 на основе конечномерных матриц (обобщая подход главы 2) получено уравнение типа (33) для производящей функции

. У CLn^^ïT, (39)

где коэффициенты а удовлетворяют конечно-разностному по п и m уравнению.' Это уравнение является двумерным аналогом (20) и допускает конечномерные (обрывающиеся при fl = О, M и m = о, М) решения. .

Подобные системы обладают скрытой SUCZJrïi/té) динамической алгеброй, что является прямым обобщением S<J£2J алгебры одномерных •КТРМ.. _ . .

Существенно, что полученные таким образом КТРМ описывают квантовое движение частицы на римановом искривленном многообразии. В работе найден и проанализирован целый ряд случаев,- когда уравне-

ние интегрируемости (39) выполняется - это означает ряд соотношения между коэффициентами-конечно-разностного уравнения, на основе которого построены КТРМ. В чаетности, рассмотрены сферически -симметричные метрики

-^Чг^1 (40)

сеч.)

Потенциал же при зтом может быть, вообще говоря, и не сферически-симметричным - он представляет собой отношение двух полиномов четвертой степени по ъ. , коэффициенты которых могут также зависеть .от ..

Если С = (Л ± , то получаются, в частности, пространства постоянной положительной и отрицательной кривизны.

Если не только метрика, но и потенциал являются функциями только от , двумернае уравнение Шредингера допускает разделение переменных. В результате для радиальной части получается уравнение, дающее найденные ранее КТРМ модели. Например, если С = (-Ч—чЛ/1 , Получается потенциал

где т - целое, а т. -Нх, ^ -А^ е.,

Сформулировано обобщение данного подхода на п. -мерный случай, и выписана наиболее общая структура дифференциального уравнения -независимо от того, выполняются условия интегрируемости или нет.

Исследованы также КТРМ другого типа. Уравнения построены для

(42)

Здесь - некоторый набор заданных функций со специально по-

добранными свойствами, удовлетворяющие заранее заданным рекуррентным соотношениям. В частности, в качестве Р-^) выбраны полиномы Лагерра и Лежандра. В результате получено уравнение типа (38) с

30(2,<) динамической алгеброй. Для полиномов Эрмита соответствующая алгебра совпадает с алгеброй бозевских операторов, т.е. является алгеброй Гейзенберга - Вейля.

Данные примеры представляют собой квазиточнореиаемые уравнения с использованием бесконечномерных алгебр Ли, что отличается существенным образом от идейной основы КТРМ, рассмотренной в первых двух главах'. Показано-также, что даже в одномерном случае, когда все

КТРМ в алгебраическом подходе получаются на основе $0(2) алгебры, некоторые классы из них (описываемые спиновыми гамильтонианами частного вида) могут быть получены также и на основе ■

алгебры.

Далее в работе рассмотрены КТРМ на основе алгебры (т.е.

не спила, а орбитального момента). Наиболее интересным новым результатом здесь является то, что при этом получаются двумерные КТРМ . с магнитным полем (или его аналогом). Пусть гамильтониан имеет

вид- И^^ + ^^п/.с^-еС^^с^ (43)

Тогда, если С; / 0, двумерный тензор поля соответствующей КТРМ тоже, вообще говоря:, отличен от нуля, и вместо вещественных Ау, в (34) фигурируют комплексные, причем мнимая часть ответственна за магнитное поле. При этом условия интегрируемости выполняются при любых соотношениях между коэффициентами группового гамильтониана (43), так что хорошо определенное уравнение Шредингера получается для любого гамильтониана (43). Другими словами, квантовомеханиче-ский волчок во внешнем поле приводит к КТРМ, в которой наряду со скалярным потенциалом и "гравитационным" (кривизна многообразия) действует и магнитное.

Сформулировано обобщение на л -мерный случай. Пусть групповой гамильтониан имеет вед

" Н= С*.« 1*1.' - Саья • Ш)

где £5 групповые генераторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям для,некоторой алгебры Ли, и допускающие реализацию в виде

•' 2. . (45)

гъ-хГ

с вещественными коэффициентами ^^ . Например, речь может ицти о представлении алгебры группы БОМ. Показано, что при этих предположениях гамильтониан (44) приводит к КТРМ с магнитным полем или его Многомерным аналогом (в трехмерном случае можно говорить о магнитном поле буквально). В частности, геометрия соответствующего многообразия может быть (в трехмерном случае) геометрией вселенной Эйнштейна, т.е. пространством постоянной кривизны.

В первый трех главах - в той их части, где речь шла о связи

между КТРМ задачами и спиновыми системами, существенную роль играл•аппарат спиновых когерентных состояний, на основе которого был построен эффективный потенциал. В четзертой глазе "Статические и динамические свойства квантовых систем т/ когтоентнке состояния" рассмотрены другие применения спяноэкх когерентных состояний, а такие и обычных когерентных. Такие состояния являются "наиболее близкими к классическим" и потому удобны для анализа систем, чье состояние является квазиклассическим. Так, с их помощью в работе построено разложение Вигнера - Кирквуда для изотропной цепочки Гейзе-нберга. Показано, что выражение для свободной энергии с точностью до членов Б"2 (первая квантовая поправка, отличная от нуля) имеет вид в пересчете на один узел:

Р г.и 1 л. "-Ч-3и.] (46)

7 1-^ Ч 123»

-л

$ - обменная конатанта, » Т - температура.

Другие применения когерентных состояний (КС) связаны с анализом динамики квантовых систем, начальное состояние которых является когерентным. Рассмотрена простейшая нелинейная система, представляющая общефизический интерес - квантовый ангармонический осциллятор. Пусть гамильтониан имеет вцц

_ ¥ 41 + + (47)

^ Дт ¿\Xу —АГ ' -9

Рассмотрим произвольную функцию операторов координаты и импульса, которая отвечает среднему значению оператора § по начальному когерентному состоянию:

ад

,014» (48)

д.."

, м = о 1У

Здесь параметр когерентного состояния . Тогда оказывается,

что при условии слабого ангармонизма

(49)

Здесь £ ~ У , Главный результат состоит в выражении

для

Сё'ехр

9 ■ фО^ ' (а г

( г , л-

Т ~

¿_ J ' ✓ СЛГ 1.\ ~Ч ¿лшг-ч*,.,^

, ^^ Л Г, I* ^Г ¿-¡ф

В частности, для средних значений координаты и импульса отсюда сле-

Из (50), (51) видна модуляция гармонической классической эаивиси-мости <х.~) и <££>, имеющая квантовую природу. В результате "фазовая траектория" в пространстве ¿-х} , вместо окружности становится незамкнутой, вообще говоря, спиралевидной кривой, а произведение неопределенностей координаты й импульса, входящее в соотношение . Гейзенберга, с течанием времени становится существенно отличным от ■ своего начального минимального значения.

Аналогичная задача рассмотрена также для анизотропной спинорой системы со слабой анизотропией. Гамильтониан имеет вид

• - аз;

Начальное состояние предполагается пиновым когерентным, т.е. ■средний спин считается поляризованным вдоль направления п. , характеризуемого в сферической системе координат углами 0 и Ч5 Тогда уже в нулевом по <Э приближении (если говорить о разложении по 2) ) проявляет себя квантовая модуляция, аналогинная рассмотре- ■ иной выше для ангармонического осциллятора. Так, для, средних значений поперечных компонент 5"* получено выражение

(53)

*• ДА . "

Как видно из (53), в главном по <) приближении спин совершает .в системе отсчета, вращающейся со скоростью <ч)„ , колебания, являющиеся'чисто квантовыми. При этом на промежутке О -СТС* каждая из поперечных компонент спина в этой иистеме ровно раз проходит через нуль независимо от'значения О . В пределе • ©-> ^ , 'когда квантовые свойства системы проявляются особенно "резко, происходит сгущение всех нулей в один, который является 1 ~ кРатн0 вырожденным. -

Таким образом, даже при условии максимальной "близости" квантовой системы (как обычной гамильтоновой, так и оптовой) к классической-за счет выбора начального состояния когерентным наличие уже слабой нелинейности приводит к качественному отличию поведения квантовых систем от классических, о-

Развитый аппарат оказался удойным средством для рассмотрения совсем другой физической задачи, относящийся к оптике - распространению волн сквозь слабо неоднородную среду. Это связано с тем, что параксиальное поле в такой среде удовлетворяет уравнению Шредингера, в котором роль волновой функции играет напряженность поля, а потен- ' циала - квадрат показателя преломления. Рассмотрено расп остранение света через среду с почти параболическим показателем. За счет наличия слабой нелинейности пучок оказывается пространственно модулированным, причем этот эффект описывается формулами типа (50), где те- . перь временную координату следует заменить на пространственную. По существу, оптико-механическая аналогия расширена здесь с геометрической оптики на волновую, когда длина волны является конечной.

Пятая глава носит название "Квантовое туннелирование в спиновых системах и метод элективного потенциала". Развитый в первых двух главах аппарат используется Здесь для исследования чисто квантового эффекта туннелирования сквозь классически запрещенную область. Подчеркнем, что исследование подобных эффектов для спиновых систем началось сравнительно недавно. Поскольку спин является существенно дискретной переменной» это потребовало развития специальных методов.. В этом отношении особенно пгостым и эффективным оказался аппарат спиН-координалного соответствия, о котором шла речь в первых двух главах. С одной стороны, это делает картину туннелирования весьма наглядной - буквально как туннелирование в двухъямном потенциале. С другой - позволяет прямо использовать хорогато разработанные в квантовой механике методы. С его помощью удается вычислить расщепление не только основного, но и возбужденного уровней и описать расщепление в области магнитных полей, где туннелирование не является экспоненциально малым. С помощью применения Инстантонных мето-. дов получено явное аналитическое выражение для расщепления. В простейшем случае гамильтониана (I) при В < В0 (когда потенциал является ямой с двумя минимумами)

Аналогичные формулы получены также и для двухосной анизотропии, когда потенциал является периодическим - задача в этом случае сводится к вычисления квазиклассической ииркны зоны.

Полученные формулы выведены для односпкнозого гамильтониана. Однако с их помощью удается опж^ть туннглнрозан/.е и в многочастичной спиновой системе, когда соответствующие степени овободы проявляют себя как единая коллективная перегнанная. Рассмотрена ферромагнитная модель Гейзенберга со слабой анизотропией:

^ ^ р?( v

Основное состояние отвечает максимальному значению углового моента = Л^З '( Д/ - число узлов) и' ¿11-*-1 - кратно вырождено - если пренебречь членами с анизотропией и полем. В главном приближении поправка к уровням энергии определяется из секулярного уравнения. При этом оказывается, что искомые поправки находятся как собственные значения односпинового гамильтониана (с точностью да константы) с перенормированными значениями констант анизотропии:

и=.(5б)

м ¿г ) % > '

{?= Р> С11=11 11 ЛаЛ-Л ■

Это дает возможность воспользоваться полученными ранее результатами для туннелирования с таким гамильтонианом непосредственно.

Еще один подход к описанию спинового туннелирования, применимый в слабых полях В—»0, основан на непосредственном применении теории возмущений без использования метода эффективного потенциала. Нетривиальный момент здесь - то обстоятельство, что невозмущенные состояния являются'вырожденными, причем вырожденке при снимается в высоком порядке, пропорциональном величине спина.

Для спинового гамильтониана (I) расщепление Ц -го уровня рав-

'-Жа. _ о / В Ч2^

Щи = (Я5-П1! (57)

)х1

Что касается многочастичных систем, то квантовое туннелирование, наряду с ферромагнетиками, рассмотрено также и в антиферромагнетиках. Вычислено расщепление энергии основного состояния в цепочке конечной длины, а также скорость распада метастабильного состояния. 'Эта скорость определяется туннельным действием (с экспоненциальной точностью е^ (—и/) ) V » которое вычисляется на решениях,

связывающие между собой истинный и ложный вакуумы. Такие реиения являютоя кинками (топологическими солитонами). В < одномерном случае туннельное действие выражается в терминах разности энергии Д\/ между истинным и ложннм вакуумом, а также через скорость спиновых волн и энергию солигона Е2 :

\Д/ - ' (58)

сд\/

В явном виде получены и проанализированы формулы для анизотропии, включающей члены как второго, так и четвертого порядка по компонентам вектора антиферромагнетизма.

В заключении кратко резюмированы основные результаты и выводы. В приложении приведены основные формулы аппарата спиновых ггогерен-тннх состояний.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТА И ВЫВОДЫ

1. Развито спин-координатное соответствие, которое позволило строгим образом сопоставить анизотропной спиновой системе картину квантового движения частицы в эффективном потенциалвном поле и характерной особенностью обнаруженных потенциальных моделей является здесь то обстоятельство, что в бесконечномерном пространстве состояний ввделяется конечномерное подпространство, для которого волновые функции и собственные значения определяются из алгебраического уравнения конечной степени. Это послужило источником новых классов уравнения Шредингера с точными решениями, причем в случае достаточно малых значения спина они получены в явном виде.

2. Показано, что в общем случае квадратично-линейного спинового па-мильтониана эффективный потенциал является периодическим и имеет зонную структуру. Проанализированы его свойства. Рассмотрены особые случаи, связанные с повышением симметрии в системе, что позволило увеличить число точных решений, найденных в явном виде.

3. Указан общий подход к построению одномерных КТРМ на основе как конечномерных матриц, так и спиновпго гамильтониана, и показана эквивалентность обоих Подходов.

4. Установлена связь КТРМ с рядом известных систем, представляющих физический интерес - таких, как модель Дикке, пара взаимодействующих осцилляторов, спинов и т.д.

5. Найденные двумерные КТРМ, обладающие скрытой

симметрией, а также'алгеброй Гейзенберга - Вейля, допускают точные

решения, выраженные через классические ортогональные полиномы. 6. Наедено уравнение Шре.дингера с магнитным полем, .допускающее точные решения в магнитном поле, причем без разделения переменных. Соответствующий групповой гамильтониан является квантовым волчком во внешнем поло (т.е. построен из операторов орбитального, а не спинового момента) или его кногомернда обобщением. ?. В общем случае двумерные и многомерные КТРМ описывают движение . соответствующей частицы по искривленному многообразию. Его структура найдена и проанализирована в указанных выше случаях.

8. Исследована туннелированке в спиновых системах: вычислено в явном виде расщепление уровней и время жизни метастабильного состояния. Рассмотрены как односпиновые системы, так и ферромагнитные и антиферромагнитные.

9. ИсследоЕана динамика квантового ангармонического осциллятора, начальное состояние которого выбрано когерентным, а также нелинейной спиновой системы со спиновым когерентным состоянием в качестве начального. Показано, что в обоих случаях квантовые свойства системы проявляют себя в .существенно квантовой модуляции временной зависимости физических величин от времени (на фоне классической кармо-нической зависимости). Показано, что задача о распространении параксиального пучка света через слабонеоднородаую среду формально диалогична указанной задаче об осцилляторе, причем проявлением волновых свойств света служит пространственная модулвдия пучка.

10. С помощью представления спиновых когерентных состояний'найдено разложение Вигнера - Кирквуда для изотропной цепочки ГеРзенберга; при этом в явном виде вычислена главная'квачтоваяя поправка к классической свободной энергии.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРАЖЕНЫ В ПУБЛИКАЦИЯХ

1. Ulyanov V.V., Zaslàvskii O.B. Neu methods in the theory of quantum spin systems. // Phys.Repts. - 1992. - 2±6, N 4. - P.179 -251.

2. Заславский O.B., Ульянов B.B, Периодические эффективные потенциалы для спиновых систем и новые точные решения одномерного уравнения Шредингера для энергетических зон. II TMS. - 1987, - 71, IP5. -С. 260 - 271. Л

3. Заславский О.Б. Квантовое туннелирование в модели взаимодейств-.

ующих фермионов Липкина - Глика - Мешкова и метод эффективного потенциала. // УФЖ. - 1990. - 35, Ч? Т. - С. 148 - 153. 4. Заславский О.В. Эффективный потенциал для модели взаимодействующих фермионон Липкина - Глика - Мешкова и ее квантовые свойства.// УМ. - 1985. - 30, <f 12. - С. 1866 - 1872.

5.Заславский 0.5. Новые точные решения уравнения ¡Ирелингера на основе конечномерных матриц. // Изв. вузов. Физика. - 1990. - 33, И. -С. 17 - 23,

6. Заславский 0.3. Термодинамика одномерной изотропной модели Гей-зенбе^га отчетом квантовых поправок. // УФЖ. - 1987. - 32, №6. -

7. Заславский О.В., Синицын Ю.А., Цукерник В.М. Особенности временной эволюции квантового ангармонического осциллятора и его спинового аналога. // ЯЗИ?. - 1986. - 91, Я? 7. - СЛ56 - 165.

8. Векслерчик В.Е., Заславский О.В., Цукерник В.К. Квантовомеханиче-ское туннелирование в модели Гейзенберга со слабой анизотропией.// Жат?. - 1989. - 95, № 5. - С. 1820 - 1025.

9. Zaslavskii О.В. Quasi-exactly solvable models from finite -dimensional matrices. // a.Phys.A. - 1993. - 26, N 22. - Р.656з -6576.

10.Zaslavskii O.B. Effective potential for spin - boson systems .'and quasi-exactly solvable problems. // Phys.Iett. - 1990. - 149,

N 7,8. - P.365 - 368.

11. Zaslavskii O.B. Quasi-exactly solvable problems and SU(1,1) group //Mod.Phys.ie11.A. - 1994. - 9, N 16. - P.l50t - 1505.

12. Zaslavskii O.B. Two-dimensional quasi-exactly solvable models with a magnetic field // Phys.Lett.A. - 1994. - 190, N 5,6.-P.373-376.

13. Zaslavskii O.B. Quasiwexactly solvable models with an inhomogene-ous magnetic field. // a.Phys.A. - 1994. - 24, N 12. - P.L447 - L452.

14. Zaslavskii O.B. Two-dimensional quasi-exactly solvable models and classical orthogonal polynomials // a.Phys.A. - 1994. - 27, N 10-

P.L323 - Ь328.

15. Sinitsyn Yu.A., Tsukernik V.M., Zaslavskii O.B. Propagation of

electromagnetic waves through weakly nonuniform media as described ' in terms of the quantum mechanical analogy // Physica. - 1990. -164. A, N 3. - P.7i5 - 729. . '.

16. Zaslavskii O.B. Spin tunnelling and the effective potential method. // Phys.Lett.A. - 1990. - 14J5, N 8,9. - P.471 - 475.

17. Krive I.V., Zaslavskii O.B. Macroscopio quantum tunnelling in antiferromagnats. N J.Phys.i Cond.Matter. - 1990. - 2 , N 47. -P. 9457 - 9462.

Zaslavskii O.B, "Quasi-exactly problems of quantum aeohanics and the effective potential method In the theory of spin systems"

The thesis for obtaining a Dootor Degree in Physical and Mathematical Science, speciality 01.04.02 (Theoretical Physics)

Kharkov Institute of Monoerystals. Ukraine, 1995.

In the dissertation it is developed rigorous description of spin systems with the help of effective potential fields. It is shown that the energy speotrum of an anisotropis spin system in an external magnetic field coincides with 23 + 1 (3 is the spin value) low-lying levels for a particle moving in some potential field. This gives one new exact solutions of the Schredinger equation for the above mentioned subspace in the algebraic form and gives rise to so-called quasi-exactly solvable models.

Such models are also generated by different types of systems with spin-boson interaction (in particular, by the Dicke model or by two Interacting oscillators).

Quantum tunneling in spin Systems is considered with using the effective potential aethod. Calculated are the energy splitting and lifetime of a metastable state.

It is shown that quantum tops whose Hamiltonians are constructed in terms of an orbital angular momentum or its many-dimensional analog generate quasi-exactly solvable models with a magnetic field for a particle moving on a curved surface. In so doing, exact solutions can be found without separation of variables.

Заславський О.Б. "Кваз¿точновир 1шуван£ задаче квантовой' 'механики метод ефективних пол^в в теори сп; нових систем"

Дисертац я на здобуття вченого ступеня доктора ф£зико-математич-них наук за спец1альн1стю 01.04.02 - теоретична фСзика

ХаркСвський институт МонокристалСв, Харкав, 1995.

В дисертац;I розвинутий точний олис сп(нових систем за допомо-гою ефективних потенц1альких пол«.в. Показано, що екергетичний спектр анизотропно'«.' епшово? системи у зовн1шньому магнСтному поле' сп£ впадае з 25 + 1 ( 5 - сп1н) низько-лежачих р1внСв для частинки, яка рухасться у деякому потенциальному поле . Це дае новС точне рьшення ревняння ШредШгера для вищевказанного п£дпростору в алге-бра1чн£й форм. £ приводить до так эваних кваз1точновир1шуваних моделей.

Ц£ моделI також породжуються разними типами систем э епш-бозо-ною взаемод( ею ( зокрема моделлю Д1ке або двома взаемод(ючими ос-цСляворами),•

Квантове тунеллюванная в сп¿нових системах розглянуто я викори-станням методу ефективного потенциала. Розраховано розщеплення енергетичвих р1втв I час жигтя метастабьльного стану.

Показано» що квантовI двиги або \'х багатом^рний аналог пород- ' жують' кваз1точновир!шуванС моделс з мапнтним полей для частинки, яка рухаеться по крив! й поверхни При Цьому точн£ ршення мажуть бути знайден! без роздСлу эмСнних.

В[ДПО01ДаЛЬНИЙ ВИПУСКОВИЙ Д0ЯГР/> *уию-«мв*вг./«н«»

О.М. Срлчпа^б,

111дп. до Друку/(Р,£35 Формат 60x84'/«. Пап'ф друк.Л Друк офсетиий. Умовн.-друк. арк. 2

Обл1к.-вид. арк. 2 ..Тираж!» прим. Зак. № ШЬ Еезплатно._

АТ пол!граф1чна ф!рма "Пр1тал" 310093, Харк1в, вул. Свердлова, 115.

30