Стационарные и динамические свойства квантовых спиновых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ СВОЙСТВА ОДНООСНОГО ПАРАМАГНЕТИКА И ОПИСАНИЕ СПИНОВЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ

1.1. Низкотемпературная восприимчивость спиновой системы с анизотропией типа "легкая ось".

1.2. Новые точные решения уравнения Шредингера на основе спин-координатного соответствия.

1.3. Низкотемпературная динамика анизотропной магнитной системы.

Выводы.

2. КВАЗИЮ1АССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛГ1 СПИНОВЫХ СИСТЕМ

2.1. Спиновые когерентные состояния и их свойства.

2.2. Правила квантования энергии и квазиклассическое разложение термодинамических величин.

2.3. Динамика квантовых магнитных систем в представлении спиновых когерентных состояний

Выводы.

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СПИНОВЫХ ЦЕПОЧЕК.

3.1. Энергетический спектр и динамические свойства Х-У модели

3.2. Релаксация примесного спина в Х-.У цепочке при ступенчатом изменении продольного поля

3.3. Динамика одномерных спиновых систем в поперечном магнитном поле.

3.4. Нелинейное поглощение высокочастотного поля примесным атомом в одномерной Х-У модели.

Выводы.

Настоящая работа посвящена изучению стационарных и динамических свойств квантовых магнитных систем, описываемых спиновыми гамильтонианами. Рассматриваются как магниторазбавленные кристаллы, так и системы с взаимодействием между спинами. Общей чертой рассматриваемых задач является необходимость последовательного учета квантовой природы спина даже в том случае, если он достаточно велик.

Для значений спина S»1 при изучении низкотемпературных свойств магнитных систем, описываемых квантовыми спиновыми моделями, часто используется полуклассический подход. Он состоит в том, что на фоне найденной классически равновесной конфигурации рассматриваются квантованные малые колебания намагниченности, т.е. гамильтониан спиновой системы заменяется гамильтонианом набора гармонических квантовых осцилляторов путем перехода к бозевским операторам рождения и уничтожения. Такой подход позволяет исследовать широкий круг физических явлений, происходящих в магнитных системах, как для равновесных, так и неравновесных условий. Он оказывается эффективным в ситуациях, когда квантовое основное состояние "близко" к классическому. В частности, если внешнее магнитное поле направлено вдоль легкой оси анизотропии одноосного кристалла, то энергия основного состояния и спектр спиновых волн, найденные полуклассически, точно совпадают с истинными квантовыми при любом значении спина атома. В общем случае, однако, необходимо более строгое квантовомеханическое рассмотрение. Так, если внешнее магнитное поле направлено перпендикулярно легкой оси анизотропии, указанное выше традиционное рассмотрение наталкивается на ряд трудностей.

Свойства таких анизотропных магнетиков удается, как показано в настоящей работе, описывать /в отсутствие взаимодействия между спинами/ с помощью картины квантовомеханического движения частицы в потенциальном поле.

Изучение таких нелинейных спиновых систем /т.е. описываемых нелинейными спиновыми гамильтонианами/, для которых применимость стандартного полуклассического метода, рассматривающего влияние ангармонизмов в упомянутой выше схеме как малую поправку, существенно ограничена, в более общем случае приводит к задаче построения квазиклассического приближения, аналогичного известному в обычной /гамильтоновой/ квантовой механике. Как известно, область применимости квазиклассического приближения и квантовомеханической теории возмущений дополнительны друг по отношению к другу. В этом плане упоминавшийся подход является промежуточным, так как невозмущенной системой служит квантовый осциллятор

-1 или их набор/, а учет ангармонизмов связан с разложением по S .В данной же работе развивается последовательное квазиклассическое приближение, когда нелинейность соответствующей классической системы учитывается точно, а величина 3 Х играет роль постоянной Планка, будучи ответственной за проявление квантовых свойств.

Еще одним примером системы, для которой с самого начала необходимо квантовое рассмотрение, является одномерная Х-У модель со спином £. Будучи нелинейной по компонентам спинов, она тем не менее сводится к идеальному ферми-газу. Поэтому, в частности, полуклассический метод для такой системы неприменим. Особое место Х-У модели связано с тем, что она является точно решаемой многочастичной системой и поэтому допускает детальное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными. Обсуждение свойств физических объектов, описываемых этой моделью, будет приведено в главе III.

- б

Актуальность исследования. В после,цние годы значительно возрос интерес к точно решаемым спиновым моделям. С одной стороны, это связано со значительным прогрессом в развитии методов теоретической и математической физики, в первую очередб классического и квантового методов обратной задачи. С другой стороны, экспериментальные исследования ряда низкоразмерных магнитных систем /например, теплопроводности, теплоемкости и восприимчивости ^з / показали, что с хорошей точностью они описываются одномерной Х-У моделью со спином г ±

Ь- & » что стимулирует дальнейшее теоретическое изучение свойств таких систем. Следует подчеркнуть, что для этой модели, благодаря тому, что она является точно решаемой, в ряде случаев удается получать результаты"из первых принципов".

Как уже говорилось, свойства парамагнетика типа "легкая ось" во внешнем поперечном магнитном поле являются, вообще говоря, существенно квантовыми. В данной работе показано, что они могут могут быть описаны на основе картины квантовомеханического движения некоторой частицы в потенциальном поле определенного вида. Поэтому' установление соответствующей связи между спиновой и координатной системами представляет двоякий интерес: во-первых, оно позволяет изучать низкотемпературные свойства указанного парамагнетика; во-вторых, приводит к обнаружению новых точных решений уравнения Шредингера "спиновой природы".

Такие решения могут представлять самостоятельный интерес. Это объясняется тем, что полученные результаты дают весьма подробное описание энергетического спектра и могут быть использованы в различных разделах квантовой теории. Кроме того, в настоящее время особое значение благодаря бурному развитию вычислительной техники приобретает еще один аспект: точно решаемые задачи служат тестовыми примерами для численных методов.

Отедельным вопросом является исследование предельного перехода от квантовой механики к классической для спиновых систем. В последние годы существенное развитие получил аппарат обобщенных когерентных состояний, одним из основных свойств которых является их "наибольшая близость к классике". Эти состояния строятся для произвольной алгебры Ли динамических переменных, в частности и для STJ(2), отвечающей спиновым системам. Другой существенный момент - осуществленная в недавнее время формулировка квазиклассического приближения в рамках интегрального, так называемого нефункционального подхода. Сочетание обоих методов позволяет единым образом проследить предельный переход к классике для термодинамических величин, средних по стационарным состояниям, получить аналог правил Бора-Зоммерфельда с квантовыми поправками и т.д. Развитие соответствующего формализма и получаемые с его помощью результаты могут оказаться полезными в связи с развитием в последние годы теории нелинейных волн намагниченности, доменных стенок, проблем квазиклассического квантования солитонов и т.д.

Целью работы является теоретическое исследование трех групп задач. Первая из них связана с рассмотрением низкотемпературных стационарных и динамических свойств одноосного парамагнетика в условиях, когда стандартный полуклассический метод, вообще говоря, неприменим. Сюда же относится изучение точных решений одномерного уравнения Шредингера, имеющего, как оказывается, непосредственное отношение к такой системе.

Вторая группа задач имеет дело с построением последовательного квазиклассического приближения для спиновых систем с произвольной нелинейностью, когда указанный полуклассический подход не работает, а также с описанием динамики квантовых спиновых систем в представлении спиновых когерентных состояний.

Третья группа задач посвящена изучению нелинейного отклика примесных атомов в соединениях, описываемых одномерными спиновыми моделями, на высокочастотное или изменяющееся скачкообразно магнитное поле.

Общим во всех трех случаях является необходимость последовательного учета квантовой природы рассматриваемых систем /даже npnS^l Л

Научная новизна. Результаты, составившие основу диссертации, получены впервые.

1. Изучена зависимость низкотемпературной восприимчивости легкоосно-го парамагнетика от магнитного поля, перпендикулярного этой оси. Показано, что восприимчивость как функция поля имеет /при S^ / максимум чисто квантового происхождения, в окрестности которого классическое или стандартное полуклассическое рассмотрение неприменимо.

2. Обнаружены три класса точных решений уравнения Шредингера с потенциалами, имеющими непосредственный физический смысл. Установлено, что спектр указанной спиновой системы совпадает с первыми 5-S+4 уровнями энергии частицы, движущейся в потенциальном поле определенного вида. На основе такого спин-координатного соответствия проанализирована зависимость формы соответствующих потенциальных полей и структуры энергетического спектра от параметров, имеющих смысл компонент магнитного поля соответствующей спиновой системы.

3. Исследована динамика спинов в магниторазбавленных и магнитоупоря-доченных системах, обладающих одноосной анизотропией. Для случая внезапного выключения сильного магнитного поля, направленного под произвольным углом к оси анизотропии, получено точное решение соответствующей нестационарной задачи для произвольной величины спинов и при любой температуре.

4. Для квантовых спиновых систем с произвольной нелинейностью на основе спиновых когерентных состояний развито квазиклассическое приближение. Построено разложение статистической суммы по обратным степеням спина, выведены аналог правил Бора-Зоммерфельда и выражения для квантовых поправок к ним, получены квазиклассические разложения для функций Грина и средних значений физических величин в стационарных состояниях.

5. Показано, что усреднение уравнения движения гейзенберговского оператора физической величины приводит к замкнутому линейному уравнению относительно соответствующего среднего, наиболее естественно описывающему предельный переход от квантовой динамики к классической. При этом средние значения компонент спина в начальный момент времени имеют смысл квантового обобщения лагранжевых /а не эйлеровых/ координат.

6. Изучена релаксация примесного спина в Х-У цепочке при скачкообразном изменении внешнего магнитного поля, действующего на примесь. Рассмотрены случаи продольной и поперечной ориентации этого поля. Найдена эволюция во времени полного спина для цепочки Изинга, на которую действует поперечное циркулярно поляризованное поле.

7. Исследована форма линии поглощения аысокочастотного поля примесным атомом в соединении, описываемом одномерной Х-У моделью. Получено точное выражение для поглощаемой мощности в случае произвольной амплитуды поля.

Научная и практическая ценность. Теоретическое изучение стационарных низкотемпературных свойств одноосного парамагнетика позволяет установить ход кривой зависимости магнитной восприимчивости от поперечного магнитного поля, характерный для анизотропии типа "легкая ось", когда существенны квантовые эффекты, и объяснить их роль на языке эффективного потенциального поля. Изучение низкотемпературной динамики анизотропной магнитной системы может дать, в принципе, один из способов определения константы анизотропии /в случае магниторазба-вленных кристаллов/ или обменного интеграла /для магнитоупорядочен-ных систем/, что существенно для анализа экспериментальных данных на основе спинового гамильтониана /например, при экспериментах по парамагнитному резонансу/.

Точные решения уравнения Шредингера известны для крайне ограниченного числа задач. Поэтому обнаружение новых точно решаемых случаев само по себе представляет принципиальный интерес. Кроме того, полученные результаты могут оказаться полезными в разнообразных физических ситуациях, где задача сводится к изучению движения частицы в потенциальных полях, особенно когда профиль поля имеет вид двойной потенциальной ямы - в квантовой химии, теории металлов, теории поля и т.д. Наконец, точные решения позволяют проверять эффективность различных аналитических приближенных и численных методов исследования уравнения Шредингера.

Построение квазиклассического приближения для спиновых систем позволяет исследовать роль квантовых эффектов для произвольных магнитных систем. Кроме того, область полученных результатов шире собственно теории магнетизма. Например, они могут оказаться полезными в квантовой оптике или при исследовании свойств ядра на основе псеёдоспино-вых гамильтонианов. Подчеркнем также, что соответствующая схема построения квазиклассики пригодна при любой алгебре Ли динамических переменных, что представляет интерес, скажем, при рассмотрении кванто-вомеханических гамильтоновых систем с той или иной динамической группой.

Исследование нелинейного отклика одномерных Х-У модели и модели Изинга на переменное магнитное поле позволяет определить характер релаксации системы и найти поглощение в установившемся режиме точно. Поэтому полученные результаты могут оказаться полезными при интерпретации экспериментальных данных и решении вопроса об адекватности данных моделей конкретным веществам.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзном семинаре "Спиновые волны" /Ленинград, 1980г. и 1984 г./, УП конференции молодых ученых ИТФ АН УССР в 1984 году, ХУ Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений /Пермь, 1981г./ и ХУ1 Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений /Тула, 1983г./, а также на научных семинарах кафедры теоретической физики и физико-технического факультета Харьковского госуниверситета, ФТИНТ АН УССР и ДонфТИ АН УССР.

Публикации. Результаты исследований, составляющие основное содержание диссертации, опубликованы в восьми работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Она содержит 140 страниц машинописного текста, включая j3 рисунков и список литературы из названий.

Выводы

1. Изучена эволюция во времени проекции примесного спина в Х-У цепочке на направление внешнего магнитного поля при скачкообразном изменении поля, действующего на примесь. Показано, что характер релаксации существенным образом определяется наличием дискретных уровней в системе, гамильтониан которой отвечает Х-У цепочке с новым значением магнитного поля, а также близостью этих уровней к краю полосы сплошного спектра.

2. Аналогичная задача решена для случая, когда примесь, находящаяся на конце цепочки, взаимодействует с внешним поперечным полем. Показано, что с помощью унитарного преобразования, включающего в себя нелинейное каноническое преобразование фермиуоператоров, такая система сводится к модели идеального ферми-газа. Исследована релаксация примесного спина при включении и выключении поперечного поля. Рассмотрена эволюция во времени полного спина для цепочки Изинга, на которую действует поперечное циркулярно поляризованное поле.

3. Исследована форма линии поглощения высокочастотного поля примесным атомом в Х-У цепочке. Получено точное выражение для поглощаемой мощности в случае произвольной амплитуды поля. В окрестности максимума, поглощение в общем случае содержит логарифмические по сдвигу частоты члены или имеет излом, что связано с поведением плотности состояний вблизи края спектра элементарных возбуждений. При низких температурах, если частота поля со ^ ^/jl / CJ " обменный интеграл/, повышение температуры приводит не к сглаживанию, а обострению максимума. Такой характер низкотемпературного поглощения проявляется только в достаточно сильных поперечных полях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать следующим образом.

1. Исследованы магнитные характеристики в основном состоянии для парамагнетика типа "легкая ось", когда магнитное поле перпендикулярно этой оси. При всех значениях спина S"^ восприимчи:-вость как функция поля обладает максимумом, имеющим чисто квантовое происхождение. Показано, что энергетический спектр указанной спиновой системы, описываемой гамильтонианом - Д S-xl/ совпадает с первыми tZS + 1 уровнями энергии для частицы, движущейся в потенциальном поле . Для эффективный потенциал отвечает существенно ангармоническому осциллятору, превращающемуся при некотором значении поля в чисто четверной. Характерное изменение восприимчивости происходит при ^ в области полей lk-Ц/ h0-°c(2.S-*±) / и обусловлено чисто квантовым эффектом перестройки основного состояния в таких полях.

2. На основе указанного спин-координатного соответствия обнаружены три класса точных решений уравнения Шредингера для полей типа потенциальной ямы Щ периодического потенциала + %)<=oS? / S>sO - целое или пол^целое/ Эти решения относятся к £LS + 1 низшим энергетическим уровням, которые отвечают собственным значениям спинового гамильтониана — S^-BSj, - или }t- - , описывающего анизотропный парамагнетик со спином S во внешнем магнитном поле / В пропорционально поперечной, а С - продольной компоненте этого поля/. Форма и структура энергетического спектра найденных потенциалов существенно изменяются /при фиксированном S /в зависимости от значений параметров В и С . В частности, получаются симметричная и несимметричная ямы с двумя минимумами и яма с четверным минимумом. Простые точные аналитические выражения для волновых функций и значений энергии, например, в однопараметрическом случае, когда С. = О f имеются при S — <2. . Соответствие между координатной и спиновой системами связано с тем, что координатный гамильтониан может быть представлен в виде комбинации линейных дифференциальных операторов, удовлетворяющих соотношениям коммутации для компонент спина. Оно позволяет дать физическую интерпретацию указанных классов решений, один из которых получен впервые.

Рассмотрена динамика спинов в магнитор^бавленных и магнитвупо-рядоченных кристаллах, обладающих одноосной анизотропией. Начальное состояние сформировано произвольно направленным сильным магнитным полем, которое внезапно выключается. Задача решена точно при любых значениях спина и температуры. Зависимость магнитного момента от времени оказывается сложной осциллирующей, но периодической функцией, причем число осцилляций за период не зависит ни от температуры, ни от магнитного поля, определяясь только величиной спина. Влияние температуры на динамику спинов существенно зависит от ориентации магнитного поля относительно оси анизотропии. Повышение температуры смазывает осцилляционную картину, если угол наклона поля достаточно мал, и обостряет ее, если этот угол велик. Это различие связано с ролью квантовых эффектов в области низких температур при больших углах.

4. На основе обобщенных когерентных состояний построено квазиклассическое приближение для спиновых систем. Получено квазиклассическое разложение для статистической суммы; выведены точные соотношения, разложения которых по малому параметру <5 ^ , играющему роль пойтоянной Планка, позволяет получить правила квантования энергии в любом требуемом приближении /найден явный вид первой квантовой поправки/.

5. Показано, что для спиновых систем усреднение гейзенберговских уравнений движения оператора произвольной физической величины по спиновому когерентному состоянию приводит к замкнутому линейному уравнению относительно соответствующего среднего. Различие решений уравнения для разных физических величин связано только с начальными условиями. При этом начальные значения динамических переменных имеют смьмл квантового обобщения лагранжевых координат.

В классическом пределе соответствующее уравнение переходит в классическое уравнение движения, записанное в лагранжевых координатах.

6. Получено точно е решение задачи о временной эволюции спина для рада одномерных спиновых моделей. Рассмотрена релаксация примесного спина в Х-У цепочке при скачкообразном изменении действующего на примесь магнитного поля. Отдельно проанализированы случаи продольного и поперечного поля. Решение задачи во втором случае существенно использовало нелинейное каноничеакое преобразование ферми-операторов, с помощью которого такая система была сведена к идеальному ферми-газу. Показано, что характер релаксации примесного спина определяется наличием или отсутствием дискретных уровней в системе с новым значением магнитного поля, а также их близостью к краю полосы сплошного спектра. Рассмотрена также эволюция во времени полного спина для цепочки Изинга, на которую действует цирку-лярно-поляризованное поле.

7. Исследован нелинейный отклик примесного спина, помещенного в матрицу с одномерным Х-У взаимодействием, на высокочастотное поле произвольной амплитуды. Изучена модельная ситуация, когда примесный атом отличается от атомов матрицы только наличием поперечного g- -фактора, обеспечивающего взаимодействие с поперечным высокочастотным полем. Уже одно это отличие приводит к существенно разному характеру поглощения в линейном и нединейном случаях. Величина поглощаемой мощности выаислена точно. Ход кривой поглощения может быть несколько необычным. В окрестности максимума поглощение в общем случае содержит логарифмические по сдвигу частоты члены или имеет излом, что связано с поведением плотности состояний вблизи края спектра элементарных возбуждений. При низких температурах, если частота поля си ^ У/k / J - обменный интеграл/, повышение температуры приводит не к сглаживанию, а обострению максимума. Указанный характер низкотемпературного поглощения проявляется в достаточно сильных поперечных полях.

8. Сформулирован и доказан вариант теоремы Вика для ферми-операторов в спиновом пространстве

Примечание. Личный вклад диссертанта в научных публикациях

7ф. Заславский О.Б., Цукерник В.М. Релаксация примеснвго спина в одномерной Х-У модели. - Физика низких температур, I960, т.6, №10, с. 1326 - 1333.

77. Заславский О.Б., Цукерник В.М. Релаксация одномерных спиновых систем в поперечном переменном магнитном поле. - Физика низких температур, 1983, т.9, Ш, с.65 - 73.

В этих работах диссертанту принадлежит вычисление средних значений компонент спина и анализ их асимптотического поведения при больших временах.

15. Заславский О.Б., Ульянов В.В., Цукерник В.М. К теории низкотемпературной восприимчивости спиновых систем с магнитной анизотропией. - Физика низких температур, 1983, т.9, №5, с. 511 - 519.

Диссертантом получены точные формулы для малых значений спина, результаты для восприимчивости по теории возмущений в области малых и больших магнитных полей, проведено обсуждение метода эффективного потенциала и его применения для нахождения магнитных характеристик системы в основном состоянии, выполнены расчеты на основе вариационного метода.

34. Заславский О.Б., Ульянов В. 3. Новые классы точных решений уравнения Шредингера и описание спиновых систем с помощью потенциальных полей. - Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1984, T.8i, №11, с. 1724 - 1733.

Диссертантом получены точные решения уравнения Шредингера при наличии продольного поля, проведено обсуждение свойств энергетического спектра в этом случае, физического смысла найденных точных решений и их связи с аппаратом спиновых когерентных состояний.

Прочие научные работы, относящиеся к теме диссертации, выполнены ее автором самостоятельно.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

15. Заславский О.Б., Ульянов В.В., Цукерник В.М. К теории низкотемпературной восприимчивости спиновых систем с магнитной анизотропией. - 5НТ, 1933, т.9, №5, с. 511 - ol,:.

16. Заславский О.Б. Проявление нелинейных эффектов в квантовой спиновой системе с анизотропией. - Изв. вузов СССР, Физика, 1984, №7, с.109 - III.

34. Заславский О.Б., Ульянов В.В. Новые классы точных решений уравнения Шредингера и описание спиновых систем с помощью потенциальных полей. - ЖЭТ£, 1984, т.87, №11, с. 1724 - 1733. 42. Заславский О.Б. Низкотемпературная динамика анизотропной магнитной системы. - Ж, 1983, т.9, №9, с. 971 - 977. 57. Заславский О.Б. Квазиклассическое приближение для спиновых систем. - УФЖ, 1984, т.29, №8, с.1245 - 1251. 61. Заславский О.Б. Динамика квантовых магнитных систем и спиновые когерентные состояния. - УМ, 1984, т.29, №3, с.419 - 423. 77. Заславский О.Б., Цукерник В.М. Релаксация одномерных спиновых систем в поперечном переменном магнитном поле. - ФНТ, 1983, т.9, №1, с. 65 - 73.

76. Заславский 0.Б., Цукерник В.М. Релаксация примесного спина в одномерной Х-У модели. - ШТ, 1980, т.6, №10, с. 1326 - 1333.

В заключение мне приятно поблагодарить своего научного руководителя доктора физико-математических наук Цукерника В.М. за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные обсуждения; я также признателен доценту Ульянову В.В. за плодотворное сотрудничество и кандидату физико-математических наук Глазману Л.И. за интерес к работе и стимулирующие замечания.

1. Абрагам А., Едини Б. Элентронный парамагнитный резонанс переходных ионов. T.1. - М.: Мир, 1972. - 647 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 624 с.

3. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны.-М.: Наука, 1967. 363 с.

4. Туров Е.А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. 224 с.

5. Филатова Л.Д., Цукерник В.М. Намагниченность ферродиэлектрика вдоль оси трудного намагничения. ЖЭТФ, 1967,т53, Р6, с. 2203 -2209.

6. Маттис Д. Теория магнетизма. М.: Наука, 1967. - 407 с.

7. Математическая энциклопедия. Т.З. М.: Сов. энциклопедия, 1982.592 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974. -752 с.

9. Ульянов В.В. Интегральные методы в квантовой механике. Харьков: Вища школа, 1982. - 160 с.

10. Скan S.I, Ste&mn- ft^Tkompion LE. Q^^ic osc№q{o>l as й fasts h<n anttgy taituUtiorxiJ.e/uun. P. 28l$~283$

11. Скап$Л> 3>. Seme, enelffl bw&s and. таЫх e&me.nts o$ibayuvdic Hoi. SjptcA., JO, ЩР. 2?<f-29J.

12. Ульянов В.В. О квазиклассическом движении в особых случаях. -УМ, 1973, т. 18, №11, с. 1848 1859.

13. Филатова Л.Д., Цукерник В.М. Термодинамические и высокочастнт-ные свойства парамагнетика с отрицательной константой анизотропии при низких температурах. ЖЭТФ, 1969, т.56, №4, с.1290-1296.

14. Розенфельд Е.В. О квантовых скачках намагниченности в магнетиках с анизотропией типа "легкая плоскость". Письма в ЖЭТФ, 1976, т.24, вып.2, с.60 - 64.

15. Заславский О.Б., Ульянов В.В., Цукерник В.М. К теории низкотемпературной восприимчивости спиновых систем с магнитной анизотропией. ВДТ, 1983, т.9, Р5, с. 511 - 519.

16. Заславский О.Б. Проявление нелинейных эффектов в квантовой спиновой системе с анизотропией. Изв. вузов СССР, Физика, 1984, Р7, с. 109 - III.

17. Lipfcn H.l, MerkkwM, MM A3. VaMty oj тапу-Ы^ affWi*»*** ynaihods fo* я lo&taBtL moM. I VueAvL Phtfti,1. P.№-±38.

18. Постон Т., Стьюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1930. - 6Q8 с.

19. Wifteh. Е. с& Оыил,kin<j. oj suf-e^s^/nm~ A/ud.Pty.B; 19*1,431, P. ST»3-55^

20. Генденштейн Л.Э. Нахождение точных спектров уравнения Шредингера с помощью суперсимметрии. Письма в ЖЭТФ, 1983, т.38, Р5,с. 229 302.

21. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976. -320 с.

22. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И.М. и др. Точные решения релятивистских волновых уравнений. Новосибирск: 1982. - 121 с.

23. Steh-kobn. S. QucLhium iUo^ oj гЬ^Ьчум^кеЦс. Intvvbciln^ -wiih arfcort s fl&ft 197b, 6 , a/aj p. a- islx.

24. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. T.I М.: Мир, 1974. -341 с.- 135

25. Zkenj W.M. Tta $о<л.Оюих -{tensЬоЪтьоАion cW douMpoien-fc£.a£ mod&£s -Sc^abokn^e*, equations,- J, Math.

26. W1K AttocLaUd. hvtmonic osciM-aioT. potentialfooMs Sot. Sch^odU^e*. byuciUons.

27. Наймарк M.A. Линейные представления группы Лоренца. М.: Ёиз-матгиз, 1958. - 376 с.

28. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и некоторые их применения. УФН, 1977, т.123, №1, с. 23 - 55.

29. С&икпю P., Hojm.an F^i^P, GhLtcvbdc S.C. Afyfaa.Cc. tiAOLtmehi of nonnetaiivi&bic <шИ tic. ^шъпЫг*aW Cis n^iaiioh. bo ite tkjuruj of cUji^m-nb^t «.fytfatcons.- Nuuovo um., ЪА } Л/Ч, P. E0?-8 2±.

30. Турбинер А. В. 0 теории возмущений и вариационном принципе в квантовой механике. ЖЭТ§, 1980, т. 79, №11, с. 1719 - 1734.

31. Волькенштейн М.В., Грибов Л.А., Ельяшевич М.А., Степанов Б.И. Колебания молекул. М.: Наука, 1972. - 699 с.

32. Лифшиц И.М., Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов. М.: Наука, 1971. - 415 с.

33. Bend&n. G.K, Wu. Т.ТДцЬа/ьтопсс oicctlaitrt. .-Ркул.ЯяУ.,

34. Заславский О.Б., Ульянов В.В. Новые классы точных решений уравнения Шредингера и описание спиновых систем с помощью потенциальных полей. ЖЭТФ, 87, №11, с. 1724 - 1733.

35. RotBavjj. М. An exac.-^ г^ихЬюкь wCtK a. fctS-fca^Ue. poHn-tiaeAna. J. 0j PW^., ШО, 4$, P. 285- 2 88.3$. Ra H. /А potest m-Odie^. -fc/r. -fcot-ScC>no(£ Vi&ialions Oj- mo&ea£e.s. Ph^. Latt.; О $4, <f 2 A ; А/ p. 7-.9.

36. Кессель A.P., Верим Г.О. Магнитный резонанс изинговских магнетиков. М.: Наука, 1982. - 147 с.

37. JoHQh 1,1 Ajl) Жы&то. Expe^me^ts on Simple, masticmodd systems. Adv. in Phyi., p.j-АбО.

38. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. - 440 с.

39. Глазман Л.И. Об одной точно решаемой модели со спин-решеточным взаимодействием. -ШГ, 1979, 5, №2, с. 162 - 169.

40. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. - 328 с.

41. Заславский О.Б. Низкотемпературная динамика анизотропной магнитной системы. ЭДТ, 1983, 9, №9, с.971 - 977.

42. H.H. Zirnii <yjuouhium §pCnsystems. Comm. MaH. Pb^s. О7 3, 27-340.

43. R. M^ima^ unc.e.n.icu.ntjf skaies ЬсУъih. /ъоЬоАЮъ. a^iecL <^voufS . 3.10, aM^I, P.48. hfm.dutci L-M., вомЖ&п G--M-, ВО^етв г V. г4 «t- Pkc^.fUv.A.л/з^ p. 9^3-9^0 /УиЯМстл-c&tnt,€«Acori

44. WUons c^cL etiornic a^t-sWe, ^s^Utcon.49. ^ilmxruL 5).H. Phase taansctcons ггил&л/г. wit&i dJLServL&ed pzeouiospin ha mil-bone an s. AM • P304 Л } p. & j- 2L04.

45. Gctmo^e RtJ Л.Н. S-tcco6.es of the. state paope/t.tt€.s oj- be. Me^koi/ G£cck modaZ vta.atomic соК^н-t state*. Pka?. UAL. В, 1 A/4, p. 26-2$.

46. Penj &.H., GcC-mo^e. A/a/urftuibc i.M. VoLrbCa.t(.oy\a& (tascupUon oj- -tbe писвеоих ,— Ph^i. ftw/. С 137.9, л/3; P. Ц 2 6.

47. R.F., Hctssea.^ В., Hive*. А. ^прелЬипА^М methods ar\cL e.xt<Lr\de.oL ЬаЛ/т-оп mcMs tk^^.X. le.mlc.ea£SLcaJL me.ihod. Pkyf. R.ei/. 3), 4 Э7 40 MAZ, p.

48. JeveckA., Papani.ClO-2a6c N. specttmrL oj. ^ co^tChu-ows Heiser\&&t<j. Spch chain Акп. o&bl9} A2pf P. AO?- ±2 8.

49. Schahkan R. ftoka- SowDwe^fe^ ^ujmtl2:a.iion oj ?Se.u.d>ospLn kcirncCioriictns. ~ P^ff. fW. Le.it., is80}1. A OS8- 1031.

50. Ульянов В.В., Халявин А.И. О нефункциональном подходе в ВКБ-методе. Изв. вузов СССР, Физика, 1976, 1Ш, с. 148-150.

51. Ульянов В.В., Халявин А.И. О нефункциональном подходе в ВКБ-ме-тоде. II. Изв. вузов СССР, Физика, 1978, И, с. 143-145.

52. Заславский О.Б. Квазиклассическое приближение для спиновых систем. ШЖ, 1984, т.29, №8, с. 1245 - 1251.

53. MLocUhOW L.2)., рйрстСсо£а.и А/. S0(2,d) afy&ba. and {he.

54. N expansion? in. cfyuLODnibLim mecAo-^^c-S /Аоj шо, P.apfrboxima-bton fot SUM, S{ciUs.- Rev.fy {981, N8, p. d933-j944.

55. SrifcyiYit/^Tsukefcnifc V.M. Mamfasiatcoh of ^oaihW picpe.it«S in evo^uiiOh. of Physical fyuanictieS nonkntoui Ha.mteto-nCan systems.- Phty$.ulL.A; 1982j9pt№JP.zz9-Mi,

56. Заславский О.Б. Динамика квантовых магнитных систем и спиновые когерентные состояния. УФЖ, 1984, т.29, №3, с.419 - 423.

57. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные водны, намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наук^ова думка, 1983. - 192 с.

58. UeG Т, Pettis»- Т^го ьоЫк rnoMs, о}*»frLagneUС chain. Annuls oj- Php., №4, 46, -4U.

59. Koiiswia S. SMisticaC mne.cho.nits of the anisotropic Qneatz

60. ИetfenGeaj modee- Ptys. Rev. 19б2; £2?, a/5 p. {S0f-i£li.

61. Пикин С.А., Цукерник 3.M. О термодинамике линейных цепочек спинов в поперечном магнитном поле. ЖЭТФ, 1966, т.50, №5,с. 1377 1380.

62. Cu^ahouse 3.W, PScbtmiMex. L., Sc,hinke S>. P. М^м^с ajeso^anse shapes of Ск douft&e hii^cde

63. Carouse Ш, Scbike ©.Р., в., PjotimlMest. Spih-Spto (.и"te/ьас.icoh. dor) s-fcctn-fcs Kow. Ь^^-ея.- f

64. U^u.etu/ie peters of oo^pUct ConS.-Ptys.k&v.; 4*69,12$ M2-> ?. 4 54G4.

65. Сареб H.W., &ohjen Sevens TL3. Ch tke t^attsveue

66. SaScepU^4 Jxx of 1lM anisotropic o^-^.scome x-y „OoM cn-ibi pxesence of a m^Uc ^ 2-ti-oh.- Pb^siea, 4.P74, ^ 9.44 5-485.

67. M., Sieves Ad, Ho^Son IP., ТарпаЛ.,™"*"

68. Oha-AmenSConag Х-У SfrS***.- Pb^. ^v. U*-, W*>

69. Леалас H.A, rfe fcmjA I. CJV U6U H.W.I, Ни^клпгу W.V. H€QI cyieuL оJ. Cs2CoC£t tebyur lH^mf^ nvLbh1. Uvl S= S Х-У model. iSjj& В , АУ , p. 233-246.

70. Ta^oa 2). Ma^eicc ъе^опаюсе <W spen fynamCcs Ch

71. One.- otcmenscona^ Л-У r^rtem ph^s. Qav. Lbit., ±2?9f 4jLtrf 19 р.1Ъ0г-1ЪО5.

72. TajfGot 3i.fl., ZanemSa. Б. Spch d^amics oj-a Ь^ш^саЪьА X-i/chain.: nmj.he'tCc tesohance of impu/tttces i* Рг E* SOi* PK^s. Rev. Ъ, Ai?, P. ЗЪ 84-33

73. TJoh. 3.A. /Magnetic. xaiion in. an aae-t^- Php. Rev. в, 19?Оу A , л/7, P.

74. Заславский О.Б., Цукерник В. Ivl. Релаксация примесного спина в одномерной Х-У модели. ВДТ, 1980, т.6, №10, с. 1326 - 1333.

75. Заславский О.Б., Цукерник В.М. Велаксация одномерных спиновых систем в поперечном переменном магйитном поле. ФНТ, 1983, т.9, PI, с. 65 - 73.

76. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решении. М.: Наука, 1972. - 277 с.79. велСт. С.О.; KeSSe£ АЛ. TU kne<vt IsСп^ mot^nei Сп л sKong iifre-5 ieU . Ph SCcCL f j^BZ. ША, A/3, ?. 52.6- 5" 4 2.

77. Клейнер B.3., Цукерник В.M. Парамагнитный резонанс примесного атома в одномерной спиновой системе. ММ, 1975, 39, №5, с.947 -951.

78. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1980. - 704 с.

79. Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука, 1975. - 527 с.

80. Изюмов Ю.А., Кассан-оглы Ф.А., Скрябин Ю.Н. Полевые методы в теории ферромагнетизма. М,: Наука, 1974. - 223 с.