Динамические эффекты в квантовых спиновых стеклах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Сушкова Вера Георгиевна

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В КВАНТОВЫХ СПИНОВЫХ СТЕКЛАХ

01.04.02 - Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2004

/ЗО0

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В настоящее время большое внимание уделяется исследованию динамики неупорядоченных квантовых систем при очень низких температурах. Спиновые стекла и квантовые спиновые стекла являются одними из самых интересных систем для теоретического и экспериментального исследований динамических свойств. Они обладают широким спектром времен релаксаций, характеризуются медленной динамикой и наличием эффекта старения. Однако, природа этих явлений полностью не выяснена. В настоящее время известно огромное число спиновых стекол, среди них встречаются металлы, диэлектрики и полупроводники; разбавленные сплавы (т. е. с малой концентрацией магнитных атомов) и концентрированные; кристаллические и аморфные вещества. Экспериментальной реализацией квантового спинового и псевдоспинового стекла является дипольный изинговский магнетик ГлИо^Ух-^ в поперечном магнитном поле, протонные стекла, щелочногалоидные кристаллы с большой концентрацией туннелирующих элек-тродипольных примесей и др.

Линейная динамическая восприимчивость в спиновых стеклах и квантовых спиновых стеклах обнаруживает зависимость от частоты внешнего магнитного поля при низких и средних частотах. Вычисление динамических магнитных восприимчивостей с помощью методов теоретической физики дает возможность сравнить аналитические и экспериментальные результаты и понять природу спинстекольного состояния.

В последнее время активно изучаются явление старения и неравновесная медленная динамика в неупорядоченных стеклоподобных системах. Квантовые спиновые стекла (также как и обычные спиновые стекла) обнаруживают неравновесную низкотемпературную фазу с эффектом старения. И в связи с этим возникает необходимость именно динамического подхода для описания спинстекольного состояния.

Вычислительные методы, разработанные для исследования статики и динамики спиновых стекол и квантовых спиновых стекол, находят применение при решении сложных задач в таких различных областях науки, как информатика, теория оптимизации, нейрология, биохимия и теория эволюции.

Цель работы состоит в изучении динамических свойств квантового спинового стекла в области очень низких температур (порядка нескольких градусов Кельвина и ниже), с использованием дроплетной модели и р-спиновой сферической модели квантового спинового стекла. Поставлена задача исследовать динамику квантовой спинстекольной системы, находящейся в равновесии, а затем перейти к рассмотрению неравновесного случая. Решение последней задачи связано, в частности, с изучением такого динамического явления, как старение спинового стекла.

рос. нм

ЬИБ,

А.ЦНОНЛЛЬ 1БЛИОГЕКА

ЛЬНАЯ

('..Петербург

>1)0 7 РК

Научная новизна работы определяется тем, что в пей впервые:

1. В дроплетной модели квантового спинового стекла для низких, ненулевых температур с помощью аналитического расчета исследована равновесная линейная динамическая магнитная восприимчивость.

2. Изучена низкотемпературная и частотная зависимость нелинейной (кубической) динамической магнитной восприимчивости квантового спинового стекла в дроплетной модели в равновесии.

3. С помощью вычисления динамической магнитной восприимчивости исследована неравновесная медленная динамика квантового спинового стекла в дроплетной модели.

4. В р-спиновой сферической модели квантового спинового стекла, находящегося в контакте с внутренним окружением и под действием переменного магнитного поля, рассмотрено влияние магнитного поля и окружения на медленную динамику и явление старения.

Научная ценность и практическая значимость состоит в получении аналитических выражений для равновесных динамических магнитных восцриимчиво-стей, получении аналитического выражения для неравновесной динамической магнитной восприимчивости, характеризующих квантовое спиновое стекло в дроплетной модели и выводе динамических уравнений для неравновесных автокорреляционной функции и функции отклика в р-спиновой сферической модели квантового спинового стекла. Аналитические выражения представляют возможность теоретически исследовать особенности поведения перечисленных функций: характер зависимости равновесных динамических магнитных восприимчивостей от температуры и частоты, а для неравновесного случая временную зависимость магнитной восприимчивости. Полученные результаты имеют общетеоретическое значение, так как они позволяют предсказывать поведение реальных квантовых систем (в том числе квантовых спиновых стекол).

Положения выносимые на защиту.

1. Впервые получены аналитические температурная и частотная зависимости линейной динамической восприимчивости для квантовых спиновых стекол в рамках дроплетной модели, качественно согласующиеся с результатами имеющегося эксперимента.

2. Получены аналитические выражения для нелинейной динамической восприимчивости для квантовых спиновых стекол, характеризующиеся частотной расходимостью.

3. При исследовании неравновесного поведения квантовых спиновых стекол в

рамках дроплетной модели и р-сгшвовой сферической модели обнаружена медленная неравновесная динамика, н показано, что увеличение амплитуды и частоты подавляет медленную динамику, сильная связь системы с внутренним окружением стабилизирует спинстекольное состояние.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: Second International Pamporovo Workshop on Cooperative Phenomena in Condensed Matter "Quantum Phases and Phase Transitions" (Pamporovo, Bulgaria, 2001), "Xl-th Feofilov symposium on spectroscopy of crystals activated by rare earth and transition metal ions" (Kazan, Russian Federation, 2001), XIV Международная летняя школа-семинар по теоретической и математической физике "Волга - 2002" (Казань, 2002), Международный семинар "Магнитные фазовые переходы" (Махачкала, 2002), XV Международная летняя школа-семинар по теоретической и математической физике "Волга - 2003" (Казань, 2003).

Публикации. Список публикаций автора по теме диссертации включает 11 статей и тезисов, опубликованных в международных и российских журналах, сборниках трудов и материалах конференций (см. список литературы).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 103 страницы, включая рисунки и список цитируемой литературы из 73 наименований.

Основное содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность выбора проблемы, научная и практическая значимость работы, формулируются цель исследования и защищаемые положения.

Первая глава посвящена обзору моделей спиновых стекол и квантовых спиновых стекол, а также используемых в диссертации теорий и методов расчета.

Спиновыми стеклами называют неупорядоченные магнетики, в которых энергия обменного взаимодействия случайным образом меняет свою величину и знак. В таких системах с конкурирующими взаимодействиями между спинами с понижением температуры не возникает дальнего магнитного порядка [1]. Ниже некоторой, достаточно хорошо фиксируемой на эксперименте температуры Та магнетик переходит в состояние, в котором все спины заморожены в случайных направлениях. Обычно в спиновых стеклах температура фазового перехода высока, чтобы начали проявляться квантовые эффекты. Но ее можно уменьшить, например, прикладывая к обычному спиновому стеклу поперечное поле [2]. Тогда в области очень низких температур в спиновых стеклах на фазовый переход могут оказывать влияние тепловые

и квантовые флуктуации, и такие вещества уже называют квантовыми спиновыми стеклами,

Дроплетная модель для изинговских спиновых стекол с взаимодействием между ближайшими соседями в d-мерной решетке была представлена Фишером и Хью-зом [3]. В-дроплетной модели предполагается, что существуют две конфигурации Ф и Ф системы, являющиеся основными состояниями, которые отличаются глобальным переворотом спинов. Любую конфигурацию изинговской системы можно рассматривать как набор стенок, разделяющих участки, в которых направление принимается за направление Ф, от участков в перевернутом положении Ф. Особенно нас будут интересовать возбуждения одиночных стенок, окружающих связный кластер Сдг (группу из N спинов), имеющий направление, противоположное Ф. Вокруг любого конкретного спина, например, с номером j, может образоваться много подобных кластеров, однако, из-за случайного характера взаимодействия и фрустраций, энергии таких перевернутых кластеров будут значительно различаться. Ожидается, что основные свойства системы будут определять дроплеты, т. е. кластеры, обладающие наименьшей энергией и содержащие число спинов между Ld и (2L)d, где L - длина дроплета. Используемая в работе дроплетная модель квантового спинового стекла была представлена для d-мерного квантового изинговского спинового стекла в поперечном поле с гамильтонианом

= (1) ¡J '

где Sf и Sf - матрицы Паули для спина в узле г, Г - сила поперечного поля, суммирование выполняется только по ближайшим соседям, взаимодействия X¡¡ между которыми являются независимыми случайными переменными с нулевым средним и величиной обменного взаимодействия X = (Zy)'> следующим образом [2]. В каждом из двух упорядоченных состояний (для достаточно низкой Т и подходящих длин дро-плетов), гамильтониан (1) можно представить суммой гамильтонианов низкоэнергетических дроплетов (невзаимодействующих двухуровневых систем) следующего вида

^ = (2) L Db

где S"Dl и Sf,L - матрицы Паули, e¡, - энергия дроплета, Гь - скорость туннелирования дроплета; суммирование ведется по всем дроплетам D¿ длины L и по всем длинам L. В дальнейшем все интересующие нас динамические функции, рассматриваемые в этой модели, мы сначала будем вычислять, учитывая вклад в них от одного дроплета Di, а затем полученные выражения усреднять по энергиям и длинам дроплетов.

Для расчетов, приведенных в четвертой главе, используется сферическая р-спиновая модель квантового спинового стекла. Рассматривается квантовая система из N взаимодействующих между собой спинов, связанная с внутренним окружением (тепловой баней) из независимых гармонических осцилляторов и находящаяся под действием внешнего переменного магнитного поля. Гамильтониан этой связанной системы дается следующим выражением

U = «„ + % + Use +KSF, (3)

где На - гамильтониан системы, Нв - гамильтониан тепловой бани, - гамильтониан взаимодействия системы и тепловой бани, Wsf - гамильтониан взаимодействия системы и внешнего переменного поля.

= = Е ^Х-Ч' (4)

i >=i <=i ii<...<iP

(5)

= (6) <, 1

N

%SF = -М<)ЕСГ» М*) = fttCOSWoi, (7)

<=1

где т - масса частицы со спином су, точка обозначает производную по времени, а = (сгх,ctjv); iVb - число осцилляторов; и pj есть координата и импульс Z-oro осциллятора; т( и wj - масса и угловая частота осциллятора; J;,...ip являются случайными переменными спиновой связи с гауссовым распределением. а< удовлетворяют сферическому ограничению E(of) = JV. Тепловая баня представляет собой фононы решетки. С\ - константа связи между г-ым спином и Z-ым осциллятором. Внешнее магнитное переменное поле h(t) характеризуется своей амплитудой (в энергетических единицах) ht и угловой частотой w0. Будем пренебрегать взаимодействием между тепловой баней и внешним переменным магнитным полем.

Во второй главе для квантового спинового стекла в дроплетной модели выводятся аналитические выражения для равновесной линейной динамической магнитной восприимчивости (реальной части xi(w,T) и мнимой части Впервые при получении выражений рассматривается квантовый режим - режим очень низких ненулевых температур Т (квТ < Гь, где кв - постоянная Больцмана).

При выводе выражения для магнитной восприимчивости используется общая теория Кубо [4, 5] линейного отклика квантовой магнитной системы на ее возбуждение слабым внешним переменным магнитным полем. Тогда реальная часть линейной

динамической восприимчивости равна

где V - объем образца, ш - частота внешнего переменного поля, ф{Ь) - функция релаксации

ф{£) = Гтг (роЭ1 ехр [г(* + гЛ)%] Б' ехр [~г(г + ¿Л)И]) й\ ¿о

-Р{Ъ{р08*))2, (9)

где ро = ехр(-/3'Н)(Тг(-/3'Н))~1 - равновесная матрица плотности, Н - гамильтониан невозмущенной системы, Б" - матрица Паули, /3 = 1 /(квТ). Мнимую часть линейной динамической магнитной восприимчивости можно получить, если воспользоваться известным соотношением [1]

„нлл тгЭх^И

В результате для реальной и мнимой части линейной динамической восприимчивости были получены следующие функциональные зависимости от частоты и температуры

т«М| г0Г9/<1

- /Зы)) , (12)

где дшл ~ параметр порядка Эдвардса - Андерсона, а - поверхностное натяжение границы между двумя состояниями дроплета, Го - микроскопическая скорость тун-нелирования, в - некоторый показатель, 7 - обобщенный модуль жесткости.

Полученные результаты для и сравнивались с эксперимен-

тальными данными из работ В. Ву и др., [6) и Т. Ф. Розенбаума [7], где изучалось поведение диполыюго магнетика ЫНогУ1_гР4 (х = 0,167) в поперечном магнитном поле. Наблюдается согласие при сравнении частотной зависимости мнимой части линейной динамической магнитной восприимчивости полученной в диссер-

тации и в работе [7]; ^'(ш, Т) растет от некоторого значения, достигает максимума и затем убывает. Отметим, что величина х!{(ш,Т), полученная нами аналитически, после максимального значения убывает быстрее, чем в [7]. Для не найдено

такого согласия как для Можно лишь отметить, что похожая температур-

ная зависимость наблюдалась при температурах от 0,001К до 1 К Хунклпнгером 3. и др. в [8] для диэлектрической проницаемости ¿(ш, Т) в многокомпонентном стекле ВаО-АЪОз-ЭЮг. Найденное нами поведение реальной части линейной ди-

намической магнитной восприимчивости возможно благодаря туннелированию дро-плетов под барьерами между минимумами свободной энергии.

В третьей главе в квантовом спиновом стекле в дроплетной модели рассчитывается нелинейная динамическая магнитная восприимчивость в квантовом режиме при Т ф 0.

Для расчета нелинейной восприимчивости использовалась теория отклика в магнитных системах [9]. Функция отклика первого порядка равна [10]

где М,- - оператор магнитного момента, (...) означает усреднение с матрицей плотности р. Функции отклика следующих порядков задаются выражениями

Динамические восприимчивости можно найти посредством функций отклика (13) -(15). Нелинейные восприимчивости симметричны относительно одновременных перестановок тензорных индексов и соответствующих им аргументов. Тогда тензоры второго порядка хда-^ь^г) = Х«)у(а,2,(»>1), а тензоры третьего порядка

« -¿([м;(г),м,.]>,

(13)

¥$(Г1,Т2) » -^([[МКт! + 71), М}{тг)),Му\)\ (14)

4>%(тит2,г3) « -т4тз<ШЛ£(п + г2 + тз),М;(г2 + т3)],Мк(т3)\,М,]). (15)

(16)

В соответствии со свойством причинности

Ху = 0 для п < тах (т2,т3,...). Линейная и нелинейные динамические восприимчивости равны

(17)

(18)

(19)

В уравнении (20) Рз означает суммирование по всем перестановкам подстрочных индексов (uJij), (Шгк) и (шз1) [1]. В частности, вторые гармоники характеризует тензор Х{]к{ш,ш). Если Wi = W2 = W3 = си, то образуется утроенная частота Зи>; утроение частоты описывается тензором х%зы{ш,ы,ш) (его далее обозначаем как Хз(ш)).

Нелинейная динамическая восприимчивость третьего порядка, определяемая выражениями (15) и (20), равна

1 Р, ЛОО Л СО ЛСО

Хз(ш,Г) = -^з gj- уо Уо <*г2 Уо dr3exp[i(3wri+wr2 + wr3)]

X ([[[Miin + 72 + r3), Mj(T2 + т3)], MHfa)], Mi]). (21)

В работе получено несколько выражений для динамической восприимчивости третьего порядка в зависимости от того как связаны между собой скорость туннелирования дроплетов Гь и частота ш внешнего переменного поля. Например, для Г£ > Зш

Л I cf—(1+«Ь)0

Хз(Зи) ~ £ МЗшГо1) ^^ +

fc=0,l

Т. В(пК-2а[а,ЦзшГо1)|(^-п)], (22)

«=-2,0,2

где А(к) и В{п) - некоторые выражения, не содержащие w, ф - некоторый показатель, G[a, а] - неполная гамма-функция, а = [d - 0(1 + ф))/й. Выражения для нелинейной восприимчивости состоят из слагаемых двух видов - зависящих от температуры и не зависящих от температуры. Нелинейная восприимчивость сильно зависит от функции распределения энергий дроплетов, от микроскопической скорости туннелирования дроплетов Го. Для случая Гх, > Зш численный расчет обнаруживает переход в поведении х'з{ы< -О между низкочастотной областью и высокочастотной. В области низких частот нелинейный отклик не имеет особенностей и медленно убывает с ростом ш. С ростом частоты кривая убывает быстрее, нелинейный отклик расходится при частоте ш ~ Го/3, затем кривая растет до некоторого значения. В области низких частот есть качественное согласие с экспериментальными данными для неупорядоченного дипольного магнетика LiHo^Yi-jF^ [6, 7]. При разных низких фиксированных значениях температуры х!3(ш,Т) ведет себя одинаково и принимает примерно одни и те же значения.

В четвертой главе исследуется неравновесная динамика квантового спинового стекла, подверженного действию внешнего переменного магнитного поля, в дро-плетной модели с помощью расчета неравновесной динамической магнитной восприимчивости. В этой же главе рассмотрена динамика квантового спинового стекла, находящегося во внешнем переменном магнитном поле и в контакте с окружением из независимых гармонических осцилляторов, в сферической р-спиновой модели.

Динамика этой модели рассмотрена с помощью уравнений типа Швингера-Кедцыша для автокорреляционной функции и функции отклика.

Для расчета неравновесной динамической восприимчивости используется функционал динамического отклика [9]

Ф(М';М = ^(И(*о).-В(*.*')]}о, (23)

где to - момент времени, в который начало действовать возмущающее поле h(t), А - оператор, посредством которого внешнее поле связано с системой. Тогда от-1 клик (-B(t)) представляет собой индуцированную намагниченность M(i) дроплетной

системы. (В)о - равновесная намагниченность Mo. Здесь (.. ,)0 означает тепловое >. усреднение с матрицей плотности р0. Для того, чтобы наблюдать зависимость вос-

приимчивости х от предыстории и явление старения в спиновом стекле, образец очень быстро охлаждается в нулевом постоянном поле от температуры Т ^ Тд до температуры Ту <Тд, которая достигается в момент времени t = 0. Чтобы измерить восприимчивость образца, в этот момент к образцу прикладывается слабое внешнее осциллирующее магнитное поле h{t). Дальнейшее развитие событий протекает в изотермических условиях; восприимчивость измеряется как функция времени i, прошедшего с момента достижения образцом температуры при фиксированной частоте и (i определяет "возраст'' системы [11]). Если поле h{t) меняется мало, то следуя теории линейного отклика, намагниченность M(t) магнитной системы задается в виде [12]

M(t) - Mo = f x(t, ii)ft(ii) dh = f* x(t,t - t')h(t -t1) dt', (24)

J 0 J 0

где t') ~ магнитная динамическая восприимчивость. x(M~t') определяет магнитный отклик в момент t на единичный импульс магнитного поля в момент времени (t—i'). Неравновесные процессы исследуются с помощью низкочастотных измерений восприимчивости. х(ш> t) можно найти, сделав фурье-преобразование намагниченности по временному интервалу длины tm (tm ~ 2п/ш) вокруг точки t [12,13]

t) = Г ГТ Г W>~ i>iu(1"-<'). (25)

tmJ t-îy. J о

• Если функция магнитного отклика мало изменяется на интервале tm, то восприим-

чивость x(w, £) будет равна [12]

X{u>,t)= f'dt'xfrt-Ve-M. (26)

J о

Реальная часть восприимчивости ^(а>,t) тогда может быть записана в виде

xV, t) = Re [jf dt'X(t, t - i'K^']. (27)

В результате вычислений получаем следующее выражение для восприимчивости

хМ

+Е|(4Сг)Ь1Г10 и2

17 3 5 3 \

—— &ш(2ы1) - - вга(ш4) С05(2шЬ)) + сов(ш4) (- - 1пЗ - - 1п —

-в

4«

ш I

--<гсоз(ш4)

-в

(С

1 - ^,2кп — а I ш

в

1-5,2|1п(Я,0)|

(28)

Это выражение состоит из независящих от времени Ь членов, членов, описывающих простые осцилляции с частотой и, и членов, которые зависят от времени £ и определяют нестационарную неравновесную динамику квантового спинового стекла в дроплетной модели. Таким образом, реальную часть восприимчивости приблизительно можно представить в виде суммы стационарной части (х^т) и нестационарной частя (х'тт): Х'{ш> — х'вт + Хлзг- При вычислениях использовалось условие,что шЬ является величиной, сравнимой с единицей или больше единицы, т. к, при этом условии можно наблюдать нестационарную динамику и явление старения [11]. Найдено следующее поведение неравновесной динамической восприимчивости. Кривая восприимчивости очень быстро растет до некоторого конечного значения, затем убывает сначала быстро, потом медленнее. Т. е. реальная часть магнитной восприимчивости дроплетной системы при очень низких температурах (квантовый режим) имеет относительно времени £ две области, в которых временное развитие имеет разную природу. На малых временах Ь мы наблюдаем неравновесное динамическое поведение - затухание по времени при низкой частоте и постоянной температуре Т. На больших временах Ь кривая восприимчивости превращается в периодическую функцию, осциллирующую около некоторого постоянного значения. Такое наличие двух режимов в развитии спинстекольной системы было обнаружено

в работе [14] на основании анализа поведения функции отклика С ростом

частоты значения восприимчивости уменьшаются, т. е. при более высоких частотах медленная динамика подавляется. Наблюдается слабое влияние микроскопической скорости туннелирования Го на поведение восприимчивости ,<). С увеличе-

нием Го значения восприимчивости слегка уменьшаются при малых <, т. е. квантовые флуктуации незначительно уменьшают восприимчивость в квантовом режиме в состоянии спинового стекла.

В этой главе рассматривается также влияние внешнего переменного поля и внутреннего окружения на неравновесную динамику квантового спинового стекла в сферической р-спиновой модели. Динамика системы полностью описывается развитием симметризованной автокорреляционной функции и функции линейного отклика, которые зависят от двух времен: времени после перехода в спинстекольную фазу, и времени, в течение которого производились измерения. Функция корреляции системы может служить мерой того, как быстро система теряет память о своей предыстории. Чтобы узнать как система реагирует на внешнее возмущение, вводится функция отклика, связанная с восприимчивостью системы.

Для вывода динамических уравнений используется квантовая теория поля [15]. Пусть £""(£) - ^-векторные внешние источники, где знак "+" означает, что берется значение на положительной ветке временнбго контура (идущей из 0 в +оо), знак "-", соответственно, относится к отрицательной ветке (идущей в обратном направлении из +оо в 0); степени свободы системы описываются полем ф = {Ф\{£),..., фц(Ь)) в гейзенберговском представлении [16,17]. Производящий функционал имеет вид [18]

2К\Г] = IV [г ехр /о°°ЙГ(*ЙО)

х Техр <Й?+(*)£(*)) ,5(0)], (29)

где Т означает упорядоченное по времени произведение, определяемое обычным образом, Т* означает произведение, упорядоченное по обращенному времени, р(<о) -матрица плотности в начальный момент времени ¿0 (положим ¿о = 0). Симметризо-ванная корреляционная функция Су (£,£') определяется через производящий функционал как

см=\тш*)+Флтт

б2 г2

ыг

(зо) {=0

2

функция отклика Щ^И) на внешнее периодическое возмущение /г( определяется

как

ь=о

Используя теорию линейного отклика, можно записать

ЛвЛ 0 = МО]>

{=0

В терминах полей ф+ и ф~ функции корреляции и отклика запишутся как Сф, о = \{(Ф№Ф7У)+ФПтф,

(32)

(33)

(34)

Рис. 1: Зависимость симметризованной корреляционной функции С(£ + от

времени < при различных константах спинового взаимодействия J (3 = 0.5 - (1), 3 = 1- (2)) и различных временах ожидания (4И = 5 - сплошные линии, = 10 - пунктирные линии) и для а = 1, Г = 1, Т = 0.5, = 5, = 0.5, (¿о = 0.1

Производящий функционал усредняется по спиновым взаимодействиям с гауссовой функцией распределения. С помощью усредненного производящего функционала для системы вычисляется эффективное действие, которое учитывает влияние

Рис. 2: Зависимость функции отклика R(t + tw, tw) от времени t при различных константах спинового взаимодействия J (J = 0.5 - (1), J = 1 - (2)) и различных временах ожидания tw (tw = 5 - сплошные линии, tw = 10 - пунктирные линии) и для а = 1, Г = 1, Т = 0.5, шс = 5,ht = 0.5, ш0 = 0.1

окружения системы и внешнего переменного поля. Методом седловой точки определяется система уравнений для автокорреляционной функции и функции отклика. Система интегродифференциальных уравнений для автокорреляционной функции и функции отклика решается численно с помощью алгоритма, основанного на методе сеток с шагом h = 0.01. Результаты численного расчета представлены графически. На рис. 1 и рис. 2 приведены графики функций корреляции и линейного отклика в фазе спинового стекла.

Исследуется влияние внешнего переменного магнитного поля на поведение C(t-r tw, tw) и R(t+t№l tw) (tw - время ожидания, t - время, прошедшее с момента завершения охлаждения системы до момента измерения). Одновременно с этим исследуется зависимость C(t + tw,tw) и R(t + tw,tw) от времени ожидания tw (эффект старения) и рассматривается влияние величины спин-спинового взаимодействия на поведение C(t + tw, ta) и R(t + tw, tw). Поведение C(t + tw, tw) и R(t + tW) tw) рассматривается в фазе спинового стекла и парамагнитной фазе. Отметим, что в спинстекольной фазе наблюдалась медленная, зависящая от времени ожидания, динамика, характерная для режима старения. Показано, что когда система в слабом внешнем переменном поле сильнее связана с окружением, релаксация замедляется по сравнению со слу-

чаем более слабой связи с окружением. Квантовые флуктуации, важные при низких температурах, и слабое внешнее осциллирующее поле не нарушают спиновое упорядочение, и эффект старения можно наблюдать в рассматриваемой системе. Медленная динамика подавляется в сильном внешнем поле.

Основные результаты работы

1. Впервые исследована низкотемпературная и частотная зависимость реальной части линейной динамической магнитной восприимчивости квантового спинового стекла в дроплетной модели. При очень низких температурах обнаружена температурная зависимость, обусловленная поперечным полем, подобная температурной зависимости в диэлектрическом стекле.

2. Исследована диссипативная часть равновесной линейной динамической магнитной восприимчивости квантового спинового стекла в дроплетной модели. Обнаружено стеклоподобное поведение частотной зависимости, качественно согласующееся с экспериментом в магнитном спиновом стекле в поперечном поле.

3. В случае, когда частота внешнего переменного поля пропорциональна микроскопической скорости туннелирования дроплетов, обнаружена частотная расходимость нелинейной (кубической) динамической магнитной восприимчивости квантового спинового стекла в дроплетной модели.

4. Впервые изучено влияние микроскопической скорости туннелирования на поведение реальной части неравновесной динамической магнитной восприимчивости в квантовой дроплетной модели спинового стекла, находящегося в переменном магнитном поле. Установлено, что это влияние на временное затухание восприимчивости незначительно. Обнаружена медленная неравновесная динамика системы и показано, что с увеличением частоты переменного поля медленная динамика подавляется.

5. В р-спиновой сферической модели квантового спинового стекла, связанного с внутренним окружением, изучено влияние внешнего переменного магнитного поля и окружения на медленную динамику и эффект старения. Показано, что сильная связь системы с окружением стабилизирует упорядоченное спинстекольное состояние, в то время как связь системы с возмущающим внешним полем приводит к подавлению медленной динамики в случае сильного поля.

Список литературы

[1] Mydosh J.A. Spin glasses: ал experimental introduction // Taylor. Francis. London,

1993. - 430p.

[2] Thill M. J. and Huse D. A. Equilibrium behavior of quantum Ising spin glass // Physica A. - 1995. - Vol.241. - N.2. - P.321-355.

[3] Fisher D.S., Huse D.A. Equilibrium behavior of the spin-glass ordered phase // Phys. Rev. B. - 1988. - Vol.38. - N.l. - P.386-411.

[4] Kubo R. and Tomita K. A general theory of magnetic resonance absorption // J. Phys. Soc. Japan - 1954. - Vol.9. - N.6. - P.888-919.

[5] Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. I. //J. Phys. Soc. Japan - 1957. - Vol.12. - N.6. - P.570-586.

[6] Wu W., Bitko D., Rosenbaum T. F., Aeppli G. Quenching of the nonlinear susceptibility at a T = 0 spin glass transition // Phys. Rev. Lett. - 1993. - Vol.71. -N.12. - P.1919-1922,

[7] Rosenbaum T.F. Quantum magnets and glasses // J. Phys. C. - 1996. - Vol.8. -P.9759-9772.

[8] Hunklinger S., Enss C. and Strehlow P. Macroscopic quantum state of tunneling systems // Physica B. - 1999. - Vol.263. - P.248.

[9] Grandy W.T. "Foundation of statistical mechanics vol.11: Nonequilibrium phenomena" // D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1988. 307p.

[10] Brenig W. "Statistical theory of heat" // Springer-Verlag, Berlin, 1989.

[11] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.-Ph. and Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses //in "Complex behavior of glassy systems" ed. by Rubi M. Springer-Verlag, Berlin, 1997. 184p.

[12] Svedlindh P., Gunnarsson K. and Andersson J.-O. Time-dependent ac susceptibility in spin glasses // Phys. Rev. B. - 1992. - Vol.46. - N.21. - P.13867-13873.

[13] Komori T., Yoshino H. and Takayama H. Numerical study on aging dynamics in the 3D Ising spin glass model. I Energy relaxation and domain coarsening // J. Phys. Soc. Jap. - 1999. - Vol,68. - N.10. - P.3387-3402.

[14] Cugliandolo L.F. and Lozano G. Quantum aging in mean-field models // Phys. Rev. Lett. - 1998. - Vol.80. - N.22. - P.4979-4982.

[15] Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena // Oxford Science Publications, Oxford, 1996. 1008p.

[16} Schwinger J. Brownian motion of a quantum oscillator // J. Math. Phys. - 1S61. -Vol.2. - N.3. - P.407-432.

[17] Келдыш JI.B. Диаграммная техника для неравновесных процессов // ЖЭТФ. -1965. - Vol.47. - N.4. - Р.1515-1527.

[18] Chou К.-с., Su Z.-b., Нао B.-l. and L. Yu. Equilibrium and nonequilibrium formalisms made unified // Phys. Rep. - 1985. - Vol.118. - N.1,2. - P.3-131.

Список публикаций по теме диссертации

1. Busiello G., Saburova R.V., Sushkova V.G. Dynamical effects in quantum droplet model of Ising spin glass in a transverse field // Solid State Commun. - 2001. -Vol.119. - N.6. - P.545-548.

2. Busiello G., Saburova R.V., Sushkova V.G. Linear and cubic dynamic susceptibilities in quantum spin glass // Journal of Physical Studies. 2001. - Vol.5. - N.3. -P.355-368.

3. Busiello G., Saburova R.V., Sushkova V.G. Dynamic nonlinear (cubic) susceptibility in quantum Ising spin glass // Solid State Commun. - 2002. - Vol.123. -N.3. -P.37-42.

4. Сабурова P.B., Январев E.A., Сушкова В.Г. Неравновесные динамические эффекты в квантовой дроплет-модели изинговского спинового стекла // ФТТ. -

2002. - Vol.44. - N.8. - Р.1444-1445.

5. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Сушкова В.Г., Чугунова Г.П. Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле // ФММ. -

2003. - Vol.95. - N.5. - Р.7-15.

6. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Сушкова В.Г., Чугунова Г.П. Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле // ФТТ. -

2004. - Vol.46. - N.2. - Р.308-316.

7. Busiello G., Saburova R.V., Sushkova V.G. Linear and cubic dynamic susceptibilities in quantum spin glass // Тезисы докладов 2-nd International Pamporovo Workshop on Cooperative phenomena in condensed matter "Quantum phases and phase transitions", Pamporovo, Bulgaria, 28 июля - 7 августа, 2001, P.12.

3. Saburova R.V., Yanvarev E.A. and Sushkova V.G. Nonequilibrium dynamical effects in quantum droplet model of Ising spin gb« jj Сборник докладов Xl-th Feofflov symposium on spectroscopy of crystals activated by rare earth and transition metal ions, Казань, 24-28 сентября, 2001, P. 47.

9. Chugunova G.P., Saburova R.V., Sushkova V.G. Analytical solution of nonequi-librium dynamics of the Ising spin glass at low temperatures // Сборник трудов международного семинара "Магнитные фазовые переходы", Махачкала, 12 сентября, 2002, стр. 56-59.

10. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Сушкова В.Г. Нетривиальная динамика в квантовом спиновом стекле // Тезисы докладов XIV международной летней школы-семинара по теоретической и математической физике "Волга-2002", Казань, 22 июня - 3 июля, 2002, стр. 20-21.

11. Saburova R.V., Sushkova V.G. Dissipative effects on a quantum spherical p-spin glass system under time-dependent driving forcc // Тезисы докладов XV международной летней школы-семинара по теоретической и математической физике "Волга-2003", Казань, 22 шомя - 3 мола, 2003, стр. 38.

РНБ Русский фонд

2007-4 13610

Подписано к печати 14.042004 г. Бумага офсетная.. Гарнитура Тайме, Формат 80x108 щ. Услпечл. 1,0. Уч.-издл. 1,25. Печать ризографическая. Тираж 100экз.3аказ 011.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ООО «Олигех» 420015, г1<азань,ул.ТолстогоД5(3-е здание КАИ) тел36-11-71 Лицензия № 0139 от 15.10.98г. выданная министерством информации и печати Республики Татарстан

Введение

1 Динамика спиновых стекол

1.1 Спиновые стекла. Квантовые спиновые стекла.

1.2 Модели спиновых стекол

1.2.1 Модели Эдвардса - Андерсона и Шеррингтона

Киркпатрика. Квантовая модель Шеррингтона

Киркпатрика.

1.2.2 Дроплетная модель. Квантовая дроплетная модель

1.2.3 ;>-спиновая сферическая модель. Квантовая р-спиновая модель спинового стекла, находящегося в контакте с внутренним окружением и под действием переменного магнитного поля

1.3 Общая теория отклика в магнитных системах.

1.3.1 Линейная динамическая восприимчивость.

1.3.2 Нелинейная (кубическая) динамическая восприимчивость

1.4 Явление старения в спиновом стекле.

1.4.1 Явление старения.

1.4.2 Явление старения в квантовом спиновом стекле в дроплетной модели.

1.4.3 Явление старения в квантовом спиновом стекле в сферической р-спиновой модели.

2 Равновесная линейная динамическая магнитная восприимчивость в дроплетной модели квантового спинового стекла

2.1 Реальная и мнимая части линейной динамической магнитной восприимчивости

2.2 Исследование поведения линейной динамической восприимчивости

3 Равновесная нелинейная динамическая магнитная восприимчивость в дроплетной модели

3.1 Нелинейная динамическая магнитная восприимчивость в дроплетной модели квантового спинового стекла

3.2 Исследование поведения нелинейной динамической магнитной восприимчивости

4 Медленная динамика и эффект старения в квантовом спиновом стекле

4.1 Неравновесная магнитная динамическая восприимчивость

4.1.1 Вывод уравнения неравновесной магнитная динамической восприимчивости в дроплетной модели квантового спинового стекла.

4.1.2 Исследование поведения неравновесной динамической магнитной восприимчивости.

4.2 Динамика в квантовой р-спиновой сферической модели спинового стекла.

4.2.1 Формализм интегралов по замкнутым траекториям

4.2.2 Динамические параметры порядка.

4.2.3 Вычисление седловой точки.

4.2.4 Интегродифференциальные нелинейные динамические уравнения для автокорреляционной функции и функции линейного отклика.

4.2.5 Исследование поведения функций корреляции и отклика.

Актуальность исследования. В настоящее время большое внимание уделяется исследованию динамики неупорядоченных квантовых систем при очень низких температурах. Спиновые стекла и квантовые спиновые стекла являются одними из самых интересных систем для теоретического и экспериментального исследований динамических свойств. Они обладают широким спектром времен релаксаций, характеризуются медленной динамикой и наличием эффекта старения. Однако природа этих явлений полностью не выяснена. В настоящее время известно огромное число спиновых стекол, среди них встречаются металлы, диэлектрики и полупроводники; разбавленные сплавы (т. е. с малой концентрацией магнитных атомов) и концентрированные; кристаллические и аморфные вещества. Экспериментальной реализацией квантового спинового и псевдоспинового стекла являются дипольный изинговский магнетик LiHoxYia;F4 в поперечном магнитном поле, протонные стекла, щелочногалоидные кристаллы с большой концентрацией туннелирующих электродипольных примесей и др.

Линейная динамическая восприимчивость в спиновых стеклах и квантовых спиновых стеклах обнаруживает зависимость от частоты внешнего магнитного поля при низких и средних частотах. Вычисление динамических магнитных восприимчивостей с помощью методов теоретической физики дает возможность сравнить аналитические и экспериментальные результаты и понять природу спинстекольного состояния.

В последнее время активно изучаются явление старения и неравновесная медленная динамика в неупорядоченных стеклоподобных системах. Квантовые спиновые стекла (также как и обычные спиновые стекла) обнаруживают неравновесную низкотемпературную фазу с эффектом старения. И в связи с этим возникает необходимость именно динамического подхода для описания спинстекольного состояния.

Вычислительные методы, разработанные для исследования статики и динамики спиновых стекол и квантовых спиновых стекол, находят применение при решении сложных задач в таких различных областях науки, как информатика, теория оптимизации, нейрология, биохимия и теория эволюции.

Цель работы состоит в изучении динамических свойств квантового спинового стекла в области очень низких температур (порядка нескольких градусов Кельвина и ниже), с использованием дроплет-ной модели и р-спиновой сферической модели квантового спинового стекла. Поставлена задача исследовать динамику квантовой спинсте-кольной системы, находящейся в равновесии, а затем перейти к рассмотрению неравновесного случая. Решение последней задачи связано в частности, с изучением такого динамического явления как старение спинового стекла.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней впервые:

1. В дроплетной модели квантового спинового стекла для низких, ненулевых температур с помощью аналитического расчета исследована равновесная линейная динамическая магнитная восприимчивость.

2. Изучена низкотемпературная и частотная зависимость нелинейной (кубической) динамической магнитной восприимчивости квантового спинового стекла в дроплетной модели в равновесии.

3. С помощью вычисления динамической магнитной восприимчивости исследована неравновесная медленная динамика квантового спинового стекла в дроплетной модели.

4. В р-спиновой сферической модели квантового спинового стекла, находящегося в контакте с внутренним окружением и под действием переменного магнитного поля, рассмотрено влияние магнитного поля и окружения на медленную динамику и явление старения.

Научная ценность и практическая значимость состоит в получении аналитических выражений для равновесных динамических магнитных восприимчивостей, получении аналитического выражения для неравновесной динамической магнитной восприимчивости, характеризующих квантовое спиновое стекло в дроплетной модели и выводе динамических уравнений для неравновесных автокорреляционной функции и функции отклика в р-спиновой сферической модели квантового спинового стекла. Аналитические выражения представляют возможность теоретически исследовать особенности поведения перечисленных функций: характер зависимости равновесных динамических магнитных восприимчивостей от температуры и частоты, а для неравновесного случая временную зависимость магнитной восприимчивости. Полученные результаты имеют общетеоретическое значение, так как они позволяют предсказывать поведение реальных квантовых систем (в том числе квантовых спиновых стекол).

Содержание работы. Работа состоит из четырех глав. Первая глава посвящена обзору моделей спиновых стекол и квантовых спиновых стекол, а также используемых в диссертации теорий и методов расчета. Во второй главе приводится расчет и исследуется поведение линейной динамической магнитной восприимчивости для дроплетной системы, находящейся в равновесии. В третьей главе сделан расчет и анализ поведения равновесной нелинейной (кубической) динамической магнитной восприимчивости. В четвертой главе исследуется неравновесная динамика квантового спинового стекла, подверженного действию внешнего переменного магнитного поля, в дроплетной модели с помощью расчета неравновесной линейной динамической восприимчивости. В этой же главе рассмотрена динамика квантового спинового стекла, находящегося во внешнем переменном магнитном поле и в контакте с внутренним окружением из независимых гармонических осцилляторов, в сферической р-спиновой модели. Динамика этой модели рассмотрена с помощью уравнений типа Швингера-Келдыша для автокорреляционной функции и функции линейного отклика.

Положения выносимые на защиту.

1. Впервые получены аналитические температурная и частотная зависимости линейной динамической восприимчивости для квантовых спиновых стекол в рамках дроплетной модели, качественно согласующиеся с результатами имеющегося эксперимента.

2. Получены аналитические выражения для нелинейной динамической восприимчивости для квантовых спиновых стекол, характеризующиеся частотной расходимостью.

3. При исследовании неравновесного поведения квантовых спиновых стекол в рамках дроплетной модели и />-спиновой сферической модели обнаружена медленная неравновесная динамика, и показано, что увеличение амплитуды и частоты подавляет медленную динамику, сильная связь системы с внутренним окружением стабилизирует спинстекольное состояние.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: Second International Pamporo-vo Workshop on Cooperative Phenomena in Condensed Matter "Quantum Phases and Phase Transitions" (Pamporovo, Bulgaria, 2001), "Xl-th Feo-filov symposium on spectroscopy of crystals activated by rare earth and transition metal ions" (Kazan, Russian Federation, 2001), XIV Международная летняя школа-семинар по теоретической и математической физике "Волга - 2002" (Казань, 2002), Международный семинар "Магнитные фазовые переходы" (Махачкала, 2002), XV Международная летняя школа-семинар по теоретической и математической физике "Волга - 2003" (Казань, 2003).

По теме диссертации опубликовано 11 статей и тезисов в международных и российских журналах, сборниках трудов и материалах конференций (см. список литературы).

Заключение

Приведем основные результаты работы.

1. Впервые исследована низкотемпературная и частотная зависимость реальной части линейной динамической магнитной восприимчивости квантового спинового стекла в дроплетной модели. При очень низких температурах обнаружена температурная зависимость, обусловленная поперечным полем, подобная температурной зависимости в диэлектрическом стекле.

2. Исследована диссипативная часть равновесной линейной динамической магнитной восприимчивости квантового спинового стекла в дроплетной модели. Обнаружено стеклоподобное поведение частотной зависимости, качественно согласующееся с экспериментом в магнитном спиновом стекле в поперечном поле.

3. В случае, когда частота внешнего переменного поля пропорциональна микроскопической скорости туннелирования дроплетов, обнаружена частотная расходимость нелинейной (кубической) динамической магнитной восприимчивости квантового спинового стекла в дроплетной модели.

4. Впервые изучено влияние микроскопической скорости туннелирования на поведение реальной части неравновесной динамической магнитной восприимчивости в квантовой дроплетной модели спинового стекла, находящегося в переменном магнитном поле. Установлено, что это влияние на временное затухание восприимчивости незначительно. Обнаружена медленная неравновесная динамика системы и показано, что с увеличением частоты переменного поля медленная динамика подавляется.

5. В р-спиновой сферической модели квантового спинового стекла, связанного с внутренним окружением, изучено влияние внешнего переменного магнитного поля и окружения на медленную динамику и эффект старения. Показано, что сильная связь системы с окружением стабилизирует упорядоченное спинстекольное состояние, в то время как связь системы с возмущающим внешним полем приводит к подавлению медленной динамики в случае сильного поля.

Благодарности

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю, д. ф.-м. н. профессору Ригине Васильевне Сабуровой за отличную научную школу, за неоценимую помощь в постановке задачи, организацию теоретических исследований, обсуждение полученных результатов; своим соавторам профессору Г. Бузиелло и доценту Г. П. Чугуновой за помощь в исследованиях и ценные советы; профессору JI. Ф. Кульяндоло и профессору С. Францу за предоставленный численный алгоритм; Отделению физических наук университета г. Са-лерно за теплый прием во время выполнения работы над статьями.

1. Mydosh J.A. Spin glasses: an experimental introduction // Taylor. Francis. London, 1993. - 430p.

2. Binder K., Young A.P. Spin glasses: experimental facts, theoretical concepts, and open questions // Rev. Mod. Phys. 1986. - Vol.58. -N.6. - P.801-976.

3. Коренблит И.Я., Шендер Е.Ф. Спиновые стекла и неэргодичность // УФН. 1989. - Т.157. - N.2. - С.267-310.

4. Доценко B.C. Физика спин-стекольного состояния // УФН. 1993. - Т.163. - N.6. - С. 1-37.

5. Cugliandolo L.F., Lozano G. Real-time nonequilibrium dynamics of quantum glassy systems // Phys. Rev. B. 1999. - Vol.59. - N.2. -P.915-942.

6. Chakrabarti B.K., Dutta A., Sen P. Quantum Ising phases and transitions in transverse Ising models // Berlin, Heidelberg Springer-Verlag, 1996. 205p.

7. Thill M. J. and Huse D. A. Equilibrium behavior of quantum Ising spin glass // Physica A. 1995. - Vol.241. - N.2. - P.321-355.

8. Reich D.H., Ellman В., Yang J., Rosenbaum T.F., Aeppli G., Belanger D.P. Dipolar magnets and glasses: Neutron-scattering, dynamical,and calorimetric studies of randomly distributed Ising spins // Phys. Rev. B. 1990. - Vol.42. - N.7. - P.4631-4644.

9. Wu W., Ellman В., Rosenbaum T.F., Aeppli G. and Reich D.H. From classical to quantum glass // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol.67. - N.15.- P.2076-2079.

10. Wu W., Bitko D., Rosenbaum T.F., Aeppli G. Quenching of the nonlinear susceptibility at a T = 0 spin glass transition // Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol.71. - N.12. - P.1919-1922.

11. Rosenbaum T.F. Quantum magnets and glasses //J. Phys. C. 1996.- Vol.8. N.48. - P.9759-9772.

12. Pirc R., Tadic В., and Blinc R. Random-field smearing of the proton-glass transition // Phys. Rev. B. 1987. - Vol.36. - N.16. - P.8607-8615.

13. Edwards S.F. and Anderson P.W. Theory of spin glasses // J. Phys. F. 1975. - Vol.5. - N.5. - P.965-974.

14. Parisi G. Infinite number of order parameters for spin-glasses // Phys. Rev. Lett. 1979. - Vol.43. - N.23. - P.1754-1756.

15. McMillan W. L. Domain-wall renormalization-group study of the three-dimensional random Ising model // Phys. Rev. B. 1984. -Vol.30. - N.l. - P.476-477.

16. Bray A.J. and Moore M.A. Influence of Dissipation on Quantum Coherence // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.49. N.21. - P.1545-1549.

17. Fisher D.S., Huse D.A. Equilibrium behavior of the spin-glass ordered phase // Phys. Rev. B. 1988. - Vol.38. - N.l. - P.386-411.

18. Tynneling systems in amorphous and crystalline solids // Ed. by Esquinazi P. Springer-Verlag, Heidelberg, 1998. 599p.

19. Kosterlitz J.M., Thouless D.J., Jones R.C. Spherical model of a spin-glass // Phys. Rev. Lett. 1976. - Vol.36. - N.20. - P.1217-1220.

20. Cugliandolo L.F., Grempel D.R., da Silva Santos C.A. Imaginary-time replica formalism study of a quantum spherical p-spin-glass model // Phys. Rev. B. 2001. - Vol.64. - P.014403-1-014403-26.

21. Kubo R. and Tomita K. A general theory of magnetic resonance absorption // J. Phys. Soc. Japan 1954. - Vol.9. - N.6. - P.888-919.

22. Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. I. // J. Phys. Soc. Japan 1957. - Vol.12. - N.6. - P.570-586.

23. Read N., Sachdev S. and Ye J. Landau theory of quantum spin glasses of rotors and Ising spins // Phys. Rev. B. 1995. - Vol.52. - N.l -P.384-410.

24. Rieger H. and Young A.P. Zero-temperature quantum phase transition of a two-dimensional Ising spin glass // Phys. Rev. Lett. -1994. Vol.72. - N.26 - P.4141-4144.

25. Levi L.P. and Ogielski A.T. Nonlinear dynamic susceptibilities at the spin-glass transition of Ag:Mn // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol.57. -N.26 - P.3288-3291.

26. Kopec Т.К. Nonlinear response in quantum spin glasses // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol.79. - N.21. - P.4266-4269.

27. Gunnarsson K., P. Svedlindh, P. Nordblad, L. Lundgren, H. Aruga, and A. Ito. Static scaling in a short-range Ising spin glass // Phys. Rev. B. 1991. - Vol.43. N.10. - P.8199-8203.

28. Hagiwara M., Shimada Т., Miyoshi K., Matsuura M. Nonlinear susceptibility derived from harmonic response analysis near the magnetic critical temperetures of C0CI2-GIC // JMMM. 1998. -Vol. 177-181. - N.5. - P. 175-176.

29. Bernard W. and Callen H.B. Irreversible thermodynamics of nonlinear processes and noise in driven systems // Rev. Mod. Phys. 1959. -Vol.31. - N.4. - P.1017-1044.

30. Grandy W.T. "Foundation of statistical mechanics vol.11: Nonequilibrium phenomena" // D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1988. 307p.

31. Brenig W. "Statistical theory of heat" // Springer-Verlag, Berlin, 1989.

32. Peterson R.L. Formal theory of nonlinear response // Rev. Mod. Phys. 1967. - Vol.39. - N.l. - P.69-77.

33. Stratonovich R.L. "Nonlinear nonequilibrium thermodynamics I" // Springer-Verlag, Berlin, 1992. 287p.

34. Файн B.M. Квантовая радиофизика // Издательство Советское Радио, Москва, 1972. 114р.

35. Levi L.P. Critical dynmics of metallic spin glasses // Phys. Rev. B. -1988. Vol.38. - N.7. - P.4963-4973.

36. Fischer K.H., Hertz J.A. "Spin glasses" // Cambridge University Press, Cambridge, 1991. 408p.

37. Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.-Ph. and Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses //in "Complex behavior of glassy systems" ed. by Rubi M. Springer-Verlag, Berlin, 1997. 184p.

38. Bouchaud J.-Ph., Cugliandolo L. F., Kurchan J. and Mezard M. Out of equilibrium dynamics in spin glasses and other glassy systems // in "Spin Glasses and Random Fields" ed. by Young A. P. World Scientific, Singapore, 1998. 161p.

39. Nordblad P. and Svedlindh P. Experiments on spin glasses //in "Spin Glasses and Random Fields" ed. by Young A. P. World Scientific, Singapore, 1998. 161p.

40. Spin-glasses and random fields // Ed. by Young A.P. World Scientific, Singapore, 1998. 161p.

41. Jonsson P.E., Yoshima H., Nordblad P., Katori A.H. and Ito A. Domain growth by isothermal aging in 3d Ising and Heisenberg spin glasses // preprint cond-mat/0112389.

42. Shins A.G., Arts A.F. and de Wijn H.W. Domain growth by aging in nonequilibrium two-dimensional random Ising systems // Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol.70. - N.15. - P.2340-2343.

43. Fisher D.S. and Huse D.A. Ordered phase of short-range Ising spin glasses // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol.56. - N.15. - P.1601-1604.

44. Komori Т., Yoshino H. and Takayama H. Numerical study on aging dynamics in the 3D Ising spin glass model. I Energy relaxation and domain coarsening //J. Phys. Soc. Jap. 1999. - Vol.68. - N.10. -P.3387-3402.

45. Kisker J., Santen L., Schreckenberg M. and Rieger H. Off-equilibrium dynamics in finite-dimensional spin-glass models // Phys. Rev. B. -1996. Vol.53. - N.3. - P.64181-64200.

46. Dupuis V., Vincent V., Bouchaud J.-Ph., Hammann J., Ito A. and Katori H.A. Aging rejuvenation and memory effects in Ising and Heisenberg spin glasses // Phys. Rev. B. 2001. - Vol.64. - N.23. - P. 174204-1-174204-7.

47. Svedlindh P., Gunnarsson K. Andersson J.-O. Katori H.A. and Ito A. Time-dependent ac susceptibility in spin glasses // Phys. Rev. B. -1992. Vol.46. - N.21. - P. 13867-13873.

48. Berthier L., Cugliandolo L.F., Iguain J.L. Glassy systems under time-dependent driving forces: Application to slow granular rheology // Phys. Rev. E. 20011 - Vol.63. - P.051302-1-051302-15.

49. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena // Oxford Science Publications, Oxford, 1996. 1008p.

50. Schwinger J. Brownian motion of a quantum oscillator //J. Math. Phys. 1961. - Vol.2. - N.3. - P.407-432.

51. Келдыш Jl.В. Диаграммная техника для неравновесных процессов // ЖЭТФ. 1965. - Vol.47. - N.4. - Р.1515-1527.

52. Chou К.-с., Su Z.-b., Нао B.-l. and L. Yu. Equilibrium and nonequilibrium formalisms made unified // Phys. Rep. 1985. -Vol.118. - N.1,2. - P.3-131.

53. Busiello G. and Saburova R. V. Low temperature linear dynamical susceptibility of the Ising spin glass in a transverse field // Int. J. Mod. Phys. В 2000. - Vol.14. - N.18. - P.1843-1857.

54. Сабурова Р.В., Январев Е.А., Сушкова В.Г. Неравновесные динамические эффекты в квантовой дроплет-модели изинговского спинового стекла // ФТТ. 2002. - Vol.44. - N.8. - Р. 1444-1445.

55. Busiello G., Saburova R.V., Sushkova V.G. Dynamical effects in quantum droplet model of Ising spin glass in a transverse field // Solid State Commun. 2001. - Vol.119. - N.8. - P.545-548.

56. Hunklinger S., Enss C. and Strehlow P. Macroscopic quantum state of tunneling systems // Physica B. 1999. - Vol.263. - P.248.

57. Busiello G., Saburova R.V., Sushkova V.G. Linear and cubic dynamic susceptibilities in quantum spin glass // Journal of Physical Studies. Vol.5. - N.3. - P.355-368.

58. Busiello G., Saburova R.V., Sushkova V.G. Dynamic nonlinear (cubic) susceptibility in quantum Ising spin glass // Solid State Commun. -2002. Vol.123. - N.3. - P.37-42.

59. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Сушкова В.Г., Чугунова Г.П. Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле // ФММ. 2003. - Vol.95. - N.5. - Р.7-15.

60. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Сушкова В.Г. Нетривиальная динамика в квантовом спиновом стекле //в тезисах докладов XIV международной летней школы-семинара по теоретической и математической физике "Волга-2002", Казань, 22 июня 3 июля, 2002, стр. 20-21.

61. Chugunova G.P., Saburova R.V., Sushkova V.G. Analytical solution of nonequilibrium dynamics of the Ising spin glass at low temperatures //в сборнике трудов международного семинара "Магнитные фазовые переходы", Махачкала, 12 сентября, 2002, стр. 56-59.

62. Cugliandolo L.F. and Lozano G. Quantum aging in mean-field models // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol.80. - N.22. - P.4979-4982.

63. Biroli G., Parcollet O. Out of equilibrium dynamics of a quantum Heisenberg spin glass // preprint cond-mat/0105001.

64. Martin P.C. and Siggia E.D., Rose H.A. Statistical dynamics of classical systems // Phys. Rev. A'. 1973. - Vol.8. - N.l. - P.423-437.

65. Feynman R.P. and Vernon F.L. The theory of a general quantum system interacting with a linear dissipative system // Ann. Phys. (N.Y.) 1963. - Vol.24. N.2. - P.118-173.

66. Sompolinsky H. and Zippelius A. Dynamic theory of the spin-glass phase // Phys. Rev. Lett. 1981. - Vol.47. - N.5. - P.359-362.

67. Cugliandolo L.F., Grempel D.R., Lozano G., Lozza H. and da Silva Santos C.A. Dissipative effects on quantum glassy systems // Phys. Rev. B. 2002. - Vol.66. - N.l. - P.014444-1-014444-20.

68. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Сушкова В.Г., Чугунова Г.П. Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле // ФТТ. 2004. - Vol.46. - N.2. - Р.308-316.