Неравновесные и нелинейные явления в неупорядоченных квантовых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Газеева Елена Владимировна

НЕРАВНОВЕСНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск - 2005

Работа выполнена на кафедре физики Казанского государственного энергетического университета

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор физико-магематичеких наук, профессор Р.В. Сабурова доктор физико-матемагичеких наук, профессор А.К.Муртазаев доктор физико-математичеких наук И.В.Бычков

Ведущая организация:

Башкирский государственный университет

Зашита состоится "11" ноября 2005 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.03 при Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Бр. Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан'

$£> «

09

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

2?

К.А. Бсленков

/367/

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. В последнее время ¡начительный интерес вызываки исследования поведения сложных систем, к которым относятся стеклоподобные системы Сгеклоподобные системы (стекла, спиновые стекла и т п ) имеют очень медленную эволюцию с нестационарной динамикой при температурах ниже критической температуры'. Например, на экспериментально доступных временах стекла не достигают равновесия при температурах ниже 1вмпературы стеклования и наблюдается эффект старения, поэтому стеклоподобные "системы называют еще неравновесными. Среди известного в настоящее время большого числа спиновых стекол можно встретить металлы, разбавленные и концентрированные сплавы, диэлектрики и полупроводники, кристаллические и аморфные вещества Особый интерес вызывает ¡изучение в таких системах нестационарной, медленной динамики и старения, наблюдаемых при очень низких температурах Такие факторы, как влияние квантовых флукгуаций, роль связи системы с квантовым термостатом, а также влияние периодической внешней силы на динамические свойства стеклоподобных систем изучаются как по отдельности, так и совместно

В физике когерентных квантовых процессов особый интерес представляют эхо-явления, в которых используется фундаментальное свойство вещества самопроизвольно генерировать отклики за счет энергии и информации, заложенной а систему предшествующим процессом возбуждения Особенностью этих откликов является появление их в такой момент времени, когда и образец, и приемная аппаратура не испытывают внешнего воздействия, и система свободно эволюционирует Существует довольно широкий класс эхо-явлений в стеклоподобных системах, к числу которых относится фононное и электрическое эхо. Наблюдение особенностей формирования эха в стекле дает возможность получить важную информацию относительно различных параметров в этих материалах.

Целью работы является исследование релаксации и затухания эхо-откликов в стекле при его возбуждении короткими импульсами переменного поля

Также поставлена задача изучения неравновесных динамических свойств квантового спинового стекла при очень низких температурах (порядка нескольких градусов Кельвина и ниже) с использованием квантовой дроплетной модели и р-спиновой сферической модели

Научная новизна работы состоит в том, что впервые получены следующие основные результат^:

- предложен механизм энер1етической релаксации туннельных состояний в стекле через быстрорелаксирующие центры,

- рассчитано низкотемпературное коллективное фононное эхо в диэлектрическом стекле.

-аналитически проверено выполнение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) в

дроплетной модели квантового спинового стекла и в диэлектрическом стекле при низких температурах;

-рассмотрено влияние внешнего (электрического и звукового) переменного поля на низкотемпературную динамику связанной системы из туннельных двухуровневых систем (ДУС), находящуюся в контакте с внутренним квантовым окружением.

- проведено исследование низкотемпературной неравновесной динамики и старения в сферической /(-спиновой модели стекла во внешнем переменном поле

Научная ценность и практическая значимость состоит в получении аналитических выражений, описывающих псевдоспин-решеточную релаксацию и позволяющих учесть мтухапие эха в с гекле, в получении аналитического выражения для первичного фононного «а на коллективных модах в диэпекфическом стекле Испочьзованные в работе теоретические методы, позволяющие учитывать влияние различных параметров системы и внешнего воздействия на стабильное/ч, сгекочьной фаш я ей динамику. могут найти практические приложения при шучении лру гич неупорядоченных сложных систем.

Положения, выносимые на зашиту.

1 Энергетическая релаксация туннельных состояний и исследование формирования эхо-сигналов в стек.топодобных системах

2 Теоретическое рассмотрение флуктуанионно-диссипативной теоремы в дремлет ной модели квантового спинового стекла и в диэлектрическом стекле в терминах двухуровневых туннелирующих систем

3 Исследование медленной динамики и старения в квантовом спиновом стекле, связанном с квантовым внутренним окружением и внешним переменным полем

4 Аналитическое и численное изучение низкотемпературного неравновесного динамического поведения сферической р-спиновой модели стекла в переменном поле.

' Апробация работы. Результаты диссертационной работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: XXIX международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2002" (Кунгур, 2002), XV международная летняя школа-семинар но современным проблемам теоретической и математической физики "Волга - 2003", (Казань, 2003). всероссийская школа-семинар "Физика фазовых переходов" (Махачкала, 2003), молодежная научная школа "Новые аспекты применения магнитного резонанса" (Казань, 2003), XVII конференция "Фундаментальная атомная спектроскопия" (Звенигород, 2003), XXX международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2004" (Кыштым, 2004). Восьмая международная научная молодежная школа "Актуальные проблемы магнитного резонанса и его применений" (Казань, 2004)

Публикации. Список публикаций автора по теме диссертации включает 12 статей и тезисов, опубликованных в центральных научных журналах, сборниках трудов и тезисов докладов (см список литературы).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографии Обший объем диссертации составляет 106 страниц, включая рисунки и список цитируемой литературы из 65 наименований.

Основное содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель, задачи исследования и положения, выносимые на зашиту Дастся характеристика научной новизны и практической значимости полученных результатов

В первой главе дан обзор моделей стек.топодобных систем, в том чиспе спиновых и квантовых спиновых стекол [1-3] Рассмотрены используемые в диссертации методы расчета

В настоящее время значительное внимание уделяется такому широкому классу аморфных соединений, как диэлектрические стекла Они характери )уюгся аномальным поведением теплоемкости и теплопроводности при низких температурах, а также аномальным по! лОШением звука Для объяснения низкотемпературных аномалий диэлектрических сгекол наиболее удачной оказалась модель Андерсона, Гальперина и Варма [4], а также Филлипса [5], в коюрой предполагалось существование в стеклах туннельных переходов, приводящих к широкому энергетическому спектру локализованных двухуровневых систем (ДУС) Следствием туннелирования является снятие вырождения, так что энергетическое растепление двух нижних уровней равно

Е- у/Л,,' +Д2 , (1)

где. А, - параметр асимметрии. А - туннельный параметр

Такая модель позволяет 1акже описать взаимодействие ДУС с электрическими и акустическими полями Связь меж ту ¿локализованными ДУС и фононачи во шикает и ¡-и теформации двойной потенциальной ямы упру! ими волнами Фсномсночогическая модель

двухуровневых систем, предложенная для описания аномальных низкотемпературных свойств стекла, имеет гамильтониан вида

Я = , (2)

записанный через псевдоспиновые матрицы Паули Аналогия со спином' 51 = 1/2 в "постоянном магнитном поле", позволяет перенести ряд хорошо известных в магнитнйм резонансе выводов на двухуровневые системы

Обнаружение и исследование когерентных откликов в аморфных образцах при импульсном возбуждении электрическими и звуковыми полями (т Н эхо-сигналы) явилось наиболее убедительным подтверждением гипотезы о существовании двухуровневых систем, обусловленных туннельными переходами ,

Спиновыми стеклами называют неупорядоченные магнетики, в которых энергия обменного взаимодействия случайным образом меняет не,только величину, но и знак В таких системах с конкурирующими взаимодействиями, в огличие от ферромагнетиков, с понижением температуры дальнего магнитного порядка не возникает, rio не происходит и медленного постепенного замораживания спинов. Ниже некоторой, достаточно хорошо фиксируемой на эксперименте температуры Tg магнетик переходит в новое состояние, не имеющее аналогов в упорядоченных системах, в котором спины упорядочены в случайных направлениях. Характерным свойством спиновых стекол является чрезвычайно медленная релаксация, обусловленная тем. что в системе имеется много состояний, которые обладают одинаковой энергией, но отличаются друг от друга переориентацией большого 'тела спинов. Переход из одного такого состояния в другое требует преодоления очень больших энергетических барьеров.

Спиновые стекла, в которых на фазовый переход при очень низких температурах оказывают влияние тепловые и квантовые флуктуации, называют квантовыми спиновыми стеклами Возможно самая простая модель, в которой в случайной системе могут быть квантовые эффекты - это модель поперечного изинговского спинового стекла

Гамильтониан d - мерного квантового изинговского спинового стекла в поперечном поле описывается выражением

(3)

'У '

■ де S, - матрицы Паули для спина в узле /, Г - сила поперечного поля. Суммирование в (3) выполняется по ближайшим соседям, взаимодействия JH между которыми являются

-— 1/2

независимыми случайными переменными с нулевым средним и дисперсией J = (J~)

Фишер и Хьюз предложили дроплетную модель - феноменологическую скейлияговую теорию дроплетных возбуждений для изинговских спиновых стекол с взаимодействие^ Между ближайшими соседями в rf-мерной решетке [3]. Существуют, как минимум, две конфигурации системы, которые являются основными состояниями: конфигурация Ф и конфигурация Ф. полученная всеобщим переворотом спинов Особенный интерес преде гавляют возбуждения отдельных стенок, окружающих связный кластер из N спинов, имеющих направление, про швоположное Ф Вокруг любого спина j может образоваться много подобных кластеров, однако, из-за фрустраций и случайного характера ваичодействия. энергии таких перевернутых кластеров будут значительно отличаться друг от друга Физику системы будут определять кластеры, из Ld ко/ерентно флиппированных спинов, обладающие наименьшей энергией, коюрые принято называть дроплетами

Основываясь на структуре и свойствах гамильтониана (<Л-1)-черной классической модели при температуре 7> 0. в работе [6] было показано, что в каждом из двух упорядоченных состояний (при Г -. Г и Т Tv) квантовый гамильтониан (3) можно предстаеть в виде суммы гамильтонианов независимых невиимодействуюших двухуровневых систем (низкожергетических дроплетов) следующего вида

2 I и

где и А',' - матрицы Паули, представляющие два состояния дронлета, е! - энергия дронлета О,, Г, - кванювая скорость туннелирования Суммирование ведется но всем дроплетам й, длины Ь и по всем длинам I.

Во второй главе рассмотрен механизм релаксации туннельных состояний в стекле Покаино, что при очень низких ненулевых температурах, при которых проводится эксперимент, время энергетической релаксации тепловых ДУС г|н для однофононного процесса релаксации намного длиннее времени продольной энергетической релаксации г,< резонансных двухуровневых систем, когда резонансная частота порядка 1 ГГц При повышении температуры время г,я становится короче времени г,,, и затухание эха определяется минимальным значением времени г1И Полное время скорости релаксации системы

гй! 'гш '+ С" '> ГД« т'т' представляет собой косвенное время релаксации тепловых двухуровневых систем, обусловленное быстрорелаксируюшими центрами (БРЦ), которыми являются Л-псевдоспины. Когда скорость передачи энергии гораздо меньше, чем г,], то скорость псевдоспин-решеточной релаксации Я-псевдоспина определяется скоростью передачи энергии от псевдоспина В к псевдоспину Л (флип-флоп процесс) Во втором порядке теории возмущений для скорости флип-флоп процесса IV, используя [7], можно получить следующее выражение

возбужденных переменным полем, у,А,/£, - статический упругий дипольный момент ДУС, гц - расстояние между ДУС, у: - деформационный потенциал, р и V- плотность и объем обра и щ

(5)

С, =10'' - концентрация БРЦ.

спекгральные плотности функций корреляции поперечной и продольной компонент поляризации.

140

Рис. 1. Темпера гурная гависимость 1 (К) \аЛ,Т);

У.гоА.Т),

0,00 0,02 0,04 0,06 Г,АГ

0,08

\и

На рис I показана температурная зависимость времени т'^ Имеются очень короткие косвенные времена релаксации при очень низких температурах и при Т в окрестности Т„ =55 + 60тК (когда <он = п>,) Приблизительно до Г,-температур мы можем использовать механизм косвенной релаксации, так как этот механизм доминирует

Далее рассмотрена псевдоспиновая диффузия В-псевдоспинов. Процесс псевдоспиновой диффузии существен только для псевдоспинов, которые сравнительно слабо связаны с решеткой, ю есть когда скорость переворота псевдоспина под действием псевдоспин-решеточного взаимодействия мала по сравнению со скоростью V/ взаимных флип-флоп переходов.

Перенос псевдоспинового возбуждения от псевдоспинов типа А, которые возбуждаются микроволновыми импульсами и участвуют в формировании сигнала эха, к невозбужденным псевдоспинам типа В уменьшает число псевдоспинов, участвующих в формировании сигнала зха, и тем самым вызывает спад сигнала эха.

В этой же главе рассчитано низкотемпературное коллективное фононное эхо в диэлектрическом стекле Это эхо обусловлено туннелирующими упругими диполями, взаимодействующими друг с другом и с упругими акустическими колебаниями. Ниже некоторой температуры фазового перехода Тя существует упорядочение, подобное упорядочению в спиновом стекле [8] В упорядоченной фазе спектр коллективных возбуждений, обусловленных взаимодействиями двухуровневых систем (ДУС) в стекле, имеет вид [9]:

«■1.2/ "

2х

(6)

где е1 = и,г и = Зсу2и, - средняя скорость звука, т - параметр

порядка упорядоченной фазы, т^ - акустическая фононная частота 1С,2 = Д^ + , Л, = X-А, (■'>*} > ~ псевдоспиновый оператор; Jv - постоянная упругого диполь-дипольного

взаимодействия, J¡/ ~ г~\ Из-за различной температурной зависимости резонансных частот коллективных мод имеется различная зависимость интенсивности эха от температуры. Показано, что мода V, становится мягкой, сигнали5ируя о спин-стекольном фазовом переходе в диэлектрическом стекле При температуре фазового перехода имеется аномальное поведение Установлено, что сигнал эха достаточно интенсивен и может наблюдаться.

В экспериментальной работе Енсса и др. [10] рассматривалось диэлектрическое эхо в боросиликатном стекле ВК7, посредством которого изучались туннельные состояния Минимальное тепловое время релаксации оказалось в 250 раз короче, чем значение, полученное из акустических экспериментов. Это означает, что в Стекле существует релаксационный механизм, который не основан на простом обмене фононами туннельных систем с тепловым резервуаром Такой механизм теоретически изучен нами и качественно согласуется с экспериментом.

Далее описано явление эха для совокупности дроплетов в квантовом спиновом стекле при импульсном возбуждении внешними переменными магнитными полями при низких температурах (порядка нескольких традусов Кельвина и ниже) Для этого использован квантовый гамильтониан (/-мерного изинговского ¿пинового стекла в поперечном поле с взаимодействием между ближайшими соседями В дроплетной модели динамическйЬ величины усредняются по энергиям дроплетов е, и по длинам дроплетов I с некоторыми функциями распределения

В четвертой и пятой главах при рассмотрении задач использовалась сферическая р-сииновая модель квантового спинового стекла.

В третьей гляве проведена аналитическая проверка выполнения флуктуационно-дисснпативной теоремы (ФДТ) в дроплетной модели квантовою спинового стекла и в диэлектрическом стекле в терминах ДУС

В первом случае для аналитического расчета равновесных функций релаксации и корреляции изинговского спинового стекла в поперечном поле при очень низких ненулевых температурах в квантовом режиме использована феноменологическая квантовая дроплетная модель <1- мерного спинового стекла и общая теория линейного отклика в магнитных системах Определены условия выполнения флуктуационно-диссипативной теоремы, которая устанавливает связь между функциями релаксации и корреляции системы независимо от используемой модели. Выполнение ФДТ для системы означает, что в последней было достигнуто состояние равновесия [И] Если /„,(«) и gИ|(ю) есть фурье-образы функций релаксации и корреляции соответственно, тогда ФД'Г имеет вид

8ил(со)=Е1,(гп)/и1(о}), (7)

где £/й>) = (Л<у/2)сЙ1(/?Йш/2) [12].

Сначала учитывается вклад одного дроплета длины X. в функции корреляции и релаксации Затем фурье-преобразования этих функций усредняются по энергиям и по длинам дроплетов. После усреднения для функций релаксации и корреляции системы дроплетов получаются следующие выражения

2 <у4

уёю

-—,41п—

2*< Г2 £-12-0

-—,21п —

8 п8(со)

11 0\о

ярГа<г

2 с?

хй

О

в_

V

—,21п— О)

ка

ьА

<т)-' 2с/

3-2 С 1 ¿Г„ 4 2 2

в

г<1 \

1--7.21п—

(8)

V Г2

1 II ^

,21п—

4<* г-1

2 а>4

в

Г0

(9)

где О[а,х] - неполная гамма-функция. С - постоянная Эйлера Как видно из формул (8) и (9) при о) * 0 флуктуационно-диссипативная теорема выполняется в квантовой дроплетной системе

Во втором случае использована феноменологическая теория двухуровневых, невзаимодействующих между собой туннелируюших квантовых систем и общая теория линейного отклика системы на слабое внешнее возмущение (осциллирующее элекфическое или звуковое поле)

Фурье-образы функций корреляции и релаксации записываются в виде —^ +—-ч-£-ью> + >-20 . ).

у/(м) = (1-)•■>[ 6(т)

ш) 2

я(Е1-ог))'

(Ю)

ф(0) = /?(1 - r)sech2 Щ-[б(о>)-—1 + th Щ- х 2 V яа>> с 2

2, - • ' (П)

S(E-co) + S(E + a>) + где г = A'Je2 .

Произведя во время усреднения выражений (10)-(11) некоторые алгебраические преобразования и приближения, находим следующее условие Е<со, при котором приближенно выполняется ФДТ

В четвертой 1лаве рассмотрено низкотемпературное динамическое поведение стеклоподобной неупорядоченной квантовой системы, находящейся во внешнем осциллирующем поле и связанной с квантовым внутренним окружением (термостатом из квантовых гармонических осцилляторов) Рассматриваемая система имеет гамильтониан следующего вида

H = HS + H„ + I¡il) + H,F, (12)

где Hs - гамильтониан ансамбля взаимодействующих двухуровневых систем, Нв -гамильтониан термостата, представляющего собой фононы решетки; Нчн - гамильтониан взаимодействия ДУС с термостатом; HSF - гамильтониан взаимодействия ДУС с внешним полем

1-1 »,< ч, ' '

где хаотические связи Jh ^ распределены по Гауссу.

(14)

2 I

где Ыь - число осцилляторов термостата, X/ и р! - координата и момент импульса 1-го осциллятора, /я, и о>, - масса и частота /-го осциллятора;

= , (15)

и

где с\ - константа связи между /-ой ДУС и /-ым осциллятором,

Ны = -й(0£ 5,', Л(0 = Л, «к ау, (16)

где 5" - матрица Паули, а = х.г \ N - число двухуровневых систем

Для исследования неравновесной динамики использовался метод, основанный на приближении Швингера-Келдыша для решения замкнутой системы динамических уравнений дчя корреляционной функции и функции отклика применительно к квантовой сферической р-сниновой модели [13,14] Характерной чертой этой модели является то, что она имеет динамический фазовый переход при температуре Та Выше Та система находится в равновесии со своим окружением, двухвременные функции корреляции и отклика за очень длинные времена устремляются к нулю, проявляя эффект старения [15] Старение в спиновом стекле -это явление, когда магнитный отклик системы на внешнее поле зависит от тепловой истории образца, те от временного интервала, в течение которого система находится при постоянной (емпературе в фазе спинового стекла

Функция корреляции системы

может служить мерой того, как быстро система теряет память о своей предыстории и, следовательно, убывает на больших временах [16]. Чтобы узнать, как система реагирует на внешнее возмущение, вводится функция отклика

¿(3,(0)

ShXl')

(18)

связанная с восприимчивостью системы Аналогично функции корреляции, функция отклика убывает с течением времени, так как влияние внешнего возмущения постепенно системой забывается.

С учетом взаимодействия системы с внешним переменным полем, нами выведены динамические уравнения для симметризованной автокорреляционной функции и функции линейного отклика, которые имеют вид

[ш/ + г(/)]д((, 0 = S(i-t') + ] dt"Y. С, t")R(t", /'), (19)

О

[ш,2 +z(t)]p(t,t') = ]dt"'£0,t')C(t',t') + ]dt"D(t,t")R(t'.t") +

(20)

+ h1 cos(o /)Jtft" cos(«)/" )R(t, i"),

о

где M = (Лг0)/21п(й/Дг0) - массовый параметр, связанный с квантовым туннелированием, г„ -микроскопическое время переворота спина, которое принимается равным . и D(t.t")

собственноэнергетическая и вершинная части соответственно

Исследовано влияние внешних и внутренних параметров, таких как, например, амплитуда А, и частота й>„ внешнего поля, квантовый туннельный параметр Г, "обменная"

константа J и постоянная связи системы с термостатом а, на динамику системы, те на поведение функции корреляции C{t,t') и отклика R(t,t').

Численный расчет замкнутой системы перенормированных динамических уравнений для корреляции и отклика выполнен с помощью интерполяционного алгоритма с шагом /¡=0,01.

1 0-

0.8-

0,6-

0,2-

0.0,

-0,2

—1-'-1-'-Г"

2 4 6

О 2 4 6 8 10

Рис. 2. Зависимость симметризованной корреляционной функции C(t + Iu,l„) и функции отклика R(t + tu,tw) от времени t для фиксированных J =0.5. а~ 1, Г = 2, Т = 02, «)„ = 1. при различных временах ожидания t„ (/„ =5 - сплошные линии, =10 - пунктирные линии) и при различных амплитудах поля Л, а-й, = 0.1;6-А,=15.

Исследование динамики показало, что спин-спиновое взаимодействие приводит к упорядоченному стекольному состоянию (также как связь системы с термостатом) в отличие от квантового туннелирования, препятствующего упорядочению Параметры системы и внешне! о возмущения для различных областей своих значений могут определять как неупорядоченную, так и стекольную фазы Нами обнаружена низкотемпературная стеклоподобная медленная динамика и старение при не слишком большой амплитуде и частоте внешнего поля й при определенных значениях других параметров Полученные результаты могут использоваться для описания экспериментов в стеклах, содержащих двухуровневые системы, в квантовых спиновых стеклах и других подобных системах

Глава пятая посвящена изучению неравновесной динамики среднеполевой ^-спиновой модели стекла с гамильтонианом

//,[5] + cos(Ü*)¿A, £,(/) =

(2П

X J„ , 5,5, . 5, +cos(t»t)£h, S,(t),

</, ' 1 ' ' l-l

где А, - амплитуда поля Для исследования использовались связанные динамические уравнения типа Швингера-Келдыша для автокорреляционной функции н функции линейного отклика которые при t >t' имеют вид

п' '

+ ^¡clt'C 1 (t,t')R(t'j') + hf cos(cot)ldt"cos(cot")R(t',t"), (22)

2 и о

(")«!, r")«(i", г'), (23)

где

n2 1 1

z(l) = T + ¡dt"Cp-\t,t'№,t")+ h; cos(cai)\dt"ços(mt")R(t,t") (24)

•ь и t>

Интегрированный отклик или восприимчивость x(t,t') записывается в следующем виде

X(/,n = J«(/.iW (25)

Численное решение этих уравнений обнаруживает интересное динамическое поведение системы во внешнем переменном поле, зависящее от амплитуды и частоты этого поля, а также от величины связи между спинами Найдено модифицированное внешним возмущением повеление C(l.l'), R{t,t') и интегрированного отклика %(С) Показано, что влияние внешней осциллирующей силы "накладывает" осцилляции на поведение вышеупомянутых функций

1 .......10 ......100 1 10 100

t t

Рис. 3. Временная зависимость автокорреляционной функции СУ/+Л,, и) для времен ожидания Г» = 3; 6. 15,24 при Т= 0.2, 3 = 1, Ь,= 1: я - ш = 0.1, б - о>= 1. Для временной оси / используется логарифмическая шкала.

Рис.4. Зависимость х(0 для времен ожидания /«=3, 6; 15,24 при 7=0,2. J - !. Л,= I a-w=0 1.б-«=1

В зависимости от параметров системы спинов и внешнего возмущения исследование проведено в фазе стекла или в парафазе Найдены критические значения параметров системы и внешнего возмущения, влияющие на состояние фазы стекла Проведено сравнение с ранними теориями и жспериментами Полученное нами поведение C(l.t') и ^(О качественно совпадает с результатами экспериментальных исследований спинового стекла Cd Cri 7 In()j S< [17], где проводилось количественное сравнение между термоостаточным намагничением и автокорреляцией спонтанных флуктуаций намагничения, даюших полное определение флуктуационно-диссипативного соотношения

Основные результаты работы

I. Предложен механизм энергетической релаксации туннельных состояний в стекле посредством быстрорелакснрующнх нентров, учтено влияние спиновой диффузии на формирование сигналов эха. Рассчитано низкотемпературное коллективное фононное эхо в диэлектрическом стекле

2 Аналитически проверено выполнение флукгуационно-диСсипативной теоремы в дроплетной модели квантового спинового стекла и в диэлектрическом стекле

3 Рассмотрено влияние внешнего переменного поля на низкотемпературную динамику связанной системы из туннельных двухуровневых систем, находящуюся в контакте с внутренним квантовым окружением Выполнен анализ роли кванговою параметра, "обменной" константы, связи системы с термостатом, амплитуды и частоты внешнего поля

4. Проведено исследование низкотемпературной неравновесной динамики и старения сферической /?-спиновой модели стекла во внешнем переменном поле Дан анализ поведения двухвременных корреляционной функции, функции линейного отклика и интегрального отклика

Список цитированной литературы

1 Esquinazi Р (Ed ), Tunneling in Crystalline and Amorphous Solids // Springer-Verlag, Heidelberg, 1998 599 p.

2 MydoshJA Spin Glasses an experimental introduction//Taylor Francis London, 1993 430 p

3 Fisher D S and Huse D A Ordered phase of short-range Ising spin glasses // Phys Rev Lett -1986.-Vol 56.-N 15 -P 1601-1604

4 Anderson P V, Halperm B.I, VarmaС // Phil Mag - 1972 - Vol 25. - P 1

5 Phillips WA.//J Low Temp Phys - 1972 - Vol 7. - P 351

6 Thill M J and Huse D A Equilibrium behaviour of quantum Ising spin glass // Physica A, - 1995 - Vol241.-N.2 -P 321-355

7 Абрагам А Ядерный Mai нетизм M И Л, 1963 551c

8 Busiello G and SaburovaR New phonon echo-sianals due to the two-level systems in glasses //Physica В - 1998 - Vol.245.-P 27-33

9 Копвиллем У X . Пранц С В Поляризационное эхо М Наука. 1985 189 с

10 F.nss С . I.udwig S . Weis R, Hunklinger S Coherent echoes in glasses and crystals with point defects // Czech I Phys - 1996 - Vol 46. - P 3290-3294

11 K.ubo R Statistical-mechanical thcor\ of irreversible processes I // J Phys S<v Japan - 1957 -Vol 12. -N 6 -P 570-586

12 Spin-glasses and random fields И by Young АР //World Scientific Singapore, 1998 ^00 p

13 Sch winger J Brownian motion of a quantum oscillator//J Math Pliys.-1961 - Vol 2. -N3 -P 407-431.

14 Келдыш Л В Диаграммная техника для равновесных процессов // ЖЭ'ГФ - 1964 - Т 47. -N4 -С 1515-1527

15 Kennett М Р, Chamon С and Ye J Aging dynamics of quantum spin glasses of rotors // Phys Rev. В -2001. - Vol.64. - N.6 - P 224408-1 - 224408-15

16 И номов Ю A, Скрябин Ю H Статистическая механика магнитоупорядоченных систем М Наука, 1987. 264 с.

17 Herisson D , Ocio М Off-equilibrium fluctuation-dissipation relation in a spin glass // Eur Phys J B- 2004 - Vol40.-P.283-294

Список публикаций no теме диссертации

1. 1 Ьузиелло, E В Газеева, Р.В.Сабурова, Г П Чугунова Медленная динамика и старение в квантовом спиновом стекле, связанном с квантовым внутренним окружением и внешним переменным полем. ФММ, 2004, т 97, № 4, стр 1-10.

2. PB Сабурова, Е В Газеева Механигм энергетической релаксации туннельных состояний в стекле Сборник "Нелинейные динамические процессы", "Дальнаука", 2004. стр. 240-243

3. Г" Бузиелло, Е В Газеева. Р.В Сабурова, В Г Сушкова. Низкотемпературное динамическое поведение сферической р-спиновой модели стекла в переменном поле "Известия ВУЗ Физика", 2004, № 10, стр. 76-83

4 С V Gazeeva. R.V Saburova Phonon echo of interacting tunneling states in glass Proceedings of the VIII International Youth Scientific School "Actual problems of magnetic resonance and its application", 15-19 August 2004, Kazan, p. 34-37, "

6 О P.Chugunova, R V Saburova, E V Gazeeva Nonequilibrium dynamical effects in quantum spin glass // Гезисы международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка - 2002".24 февраля - 02 марта, 2003, стр 151 i

7 RVSaburova, GPChugunova, b.V.Gazeeva. Droplet echo in glassy system'// Тешсы международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка - 2002". 24 февраля - 02 марта, 2003, стр 166

8 Р.В Сабурова, Е В Газеева Фононное эхо взаимодействующих туннельных состояний в стекле // Тезисы докладов XV Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга - 2003". Каижь, 22 июня - 3 июля, 2003, ci р.23

9 tV Gazeeva Out-of-equilibrium thermodynamic relations in systems with aging and slow relaxation in the external field // Сборник трудов всероссийской школы-семинара молодых ученых "Физика фазовых переходов", Махачкала, 25-27 сентября. 2003. стр 7

10 Г В1 азеева Фдуктуационно-диссипашвная теорема в квантовом спиновом стекле // 1СШСЫ VI! Российской vio юдежяой научной школы "Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений". Казань, 11-13 ноября, 2003, стр 72

11 ЕВ Газеева, В С Рухлов. Р В Сабурова, Г П Чугунова Механизм энергетической релаксации туннельных состояний в стекле // Тезисы XVII Конференция "Фундаментальная атомная спектроскопия", Звенигород, 1-5 декабря, 2003. стр 119.

12 Газеева Е В . Ризаева М Д, Сабурова Р В , Чугунова Г П Флуктуационно-диссипативная теорема в низкотемпературном стекле // Тезисы докладов XXX Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коу ровка - 2004", Кыштыч, 22-28 февраля, 2004, стр 83

№18 052

РНБ Русский фонд

2006-4 13671

Лиц. № 00743 от 28.08.2000

Подписано к печати 20.09.2005 г. Формат 60x84 116

Гарнит\ра "Times" Вид печати РОМ Вумага офсетная

Фиj. печ. л. 1.0 Усл. печ. л. 0.94 Уч.-ичд.лЛ.О

Тираж 100 эт. Заказ № 2539

Типография КГЭУ 420066, Казань, Красносельская. 51

4| Введение

1 Динамика стеклоподобных систем

1.1 Диэлектрические стекла.

1.2 Эхо. Основные понятия и методы наблюдения.

1.3 Спиновые стекла.

1.4 Дроплетная модель.

1.5 р-спиновая сферическая модель.

1.6 Неравновесная медленная динамика квантовых стеклоподобных систем.

2 Эхо-явления в стеклоподобных системах

2.1 Механизм энергетической релаксации туннельных состояний в стекле.

2.1.1 Механизм релаксации через быстрорелаксирующие центры.

2.1.2 Псевдоспиновая диффузия тепловых двухуровневых систем.

2.2 Фононное эхо взаимодействующих туннельных состояний в стекле.

2.3 Дроплетное эхо в спиновом стекле.

3 Флуктуационно-диссипативная теорема в стеклоподобных системах

3.1 Флуктуационно-диссипативная теорема в квантовом спиновом стекле.

3.2 Флуктуационно-диссипативная теорема в низкотемпературном стекле.

4 Медленная динамика и старение в квантовом спиновом стекле, связанном с квантовым внутренним окружением и внешним переменным полем

4.1 Модель спинового стекла.

4.2 Динамические уравнения для корреляции и отклика.

4.3 Исследование поведения симметризованной автокорреляционной функции C(t + tw,tw) и функции линейного отклика R(t + tw,tw).

5 Неравновесное динамическое поведение сферической р-спиновой модели стекла в переменном поле

5.1 Динамикар-спиновой сферической модели.

5.2 Анализ поведения функций корреляций и отклика.

Актуальность исследования. В последнее время значительный интерес вызывают исследования поведения сложных систем, к которым относятся стеклоподобные системы. Стеклоподобные системы (стекла, спиновые стекла и т.п.) имеют очень медленную эволюцию с нестационарной динамикой при температурах ниже критической температуры. Например, на экспериментально доступных временах стекла не достигают равновесия при температурах ниже температуры стеклования, и наблюдается эффект старения, поэтому стеклоподобные системы называют еще неравновесными. Среди известного в настоящее время большого числа спиновых стекол можно встретить металлы, разбавленные и концентрированные сплавы, диэлектрики и полупроводники, кристаллические и аморфные вещества. Особый интерес вызывает изучение в таких системах нестационарной, медленной динамики и старения, наблюдаемых при очень низких температурах. Такие факторы, как влияние квантовых флуктуаций, роль связи системы с квантовым термотсатом, а также влияние периодической внешней силы на динамические свойства стеклоподобных систем изучаются как по отдельности, так и совместно.

В физике когерентных квантовых процессов особый интерес представляют эхо-явления, в которых используется фундаментальное свойство вещества самопроизвольно генерировать отклики за счет энергии и информации, заложенной в систему предшествующим процессом возбуждения. Особенностью этих откликов является появление их в такой момент времени, когда и образец, и приемная аппаратура не испытывают внешнего воздействия, и система свободно эволюционирует. Существует довольно широкий класс эховых явлений в стеклоподобных системах, в числе которых можно выделить фононное и дроплетное эхо.

Эхо-метод - это мощный метод, дающий различные виды информации относительно туннельных характеристик двухуровневых систем (ДУС), дипольных моментов, времен релаксации и диполь-дипольного взаимодействия между двухуровневыми туннельными системами. Наблюдение предсказанных особенностей формирования эха в стекле дает возможность получить важную информацию относительно различных параметров в этих материалах.

Различные теоретические методы по исследованию стеклоподобных систем находят применение при практическом решении сложных задач во многих областях науки.

Целью работы является исследование низкотемпературной релаксации и затухания эхо-откликов двухуровневых систем в стекле при его возбуждении импульсами, имеющими различную природу.

Также поставлена задача изучения неравновесных динамических свойств квантового спинового стекла при очень низких температурах (порядка нескольких градусов Кельвина и ниже) с использованием квантовой дроплетной модели и р-спиновой сферической модели.

Научная новизна работы состоит в том, что в ходе проведенных исследований впервые получены следующие основные результаты:

-предложен механизм энергетической релаксации туннельных состояний в стекле;

- рассчитано низкотемпературное коллективное фононное эхо в диэлектрическом стекле;

- аналитически проверено выполнение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) в дроплетной модели квантового спинового стекла и в диэлектрическом стекле при низких температурах;

-рассмотрено влияние внешнего переменного поля на низкотемпературную динамику связанной системы из туннельных двухуровневых систем, находящуюся в контакте с внутренним квантовым окружением;

- проведено исследование низкотемпературной неравновесной динамики и старения в сферической /?-спиновой модели стекла во внешнем переменном поле.

Научная ценность и практическая значимость состоит в получении аналитических выражений, описывающих псевдоспин-решеточную релаксацию и позволяющих учесть влияние псевдоспиновой диффузии на формирование эха в стекле; в получении аналитического выражения для первичного фононного эха на коллективных модах в диэлектрическом стекле. Использованные в работе теоретические методы, позволяющие учитывать влияние различных параметров системы и внешнего воздействия на неравновесную динамику спиновых стекол, могут найти приложения при изучении различных неупорядоченных сложных систем, а также во многих областях науки; в развитии теории нейронных сетей мозга, комбинаторики, квантовых компьютеров.

Содержание диссертации. Работа состоит из пяти глав. В первой главе дан обзор моделей стеклоподобных систем, в том числе спиновых и квантовых спиновых стекол. Рассмотрены используемые в диссертации теории и методы расчета. Во второй главе рассмотрен механизм энергетической релаксации двухуровневых систем, фононное эхо на упругих диполях, а также дроплетное эхо в квантовом спиновом стекле. В третьей главе проведена аналитическая проверка выполнения флуктуа-ционно-диссипативной теоремы (ФДТ) в дроплетной модели квантового спинового стекла и в диэлектрическом стекле. В четвертой главе рассмотрено низкотемпературное динамическое поведение стеклоподобной неупорядоченной квантовой системы, находящейся во неупорядоченной квантовой системы, находящейся во внешнем осциллирующем поле и связанной с квантовым окружением (термостатом из квантовых гармонических осцилляторов). Пятая глава посвящена изучению неравновесной динамики среднеполевой р-спиновой модели стекла.

Положения, выносимые на защиту.

1 .Энергетическая релаксация туннельных состояний и исследование формирования эхо-сигналов в стеклоподобных системах.

2.Теоретическое рассмотрение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) в квантовом спиновом стекле и в диэлектрическом стекле.

3.Исследование медленной динамики и старения в квантовом спиновом стекле, связанном с квантовым внутренним окружением и внешним переменным полем.

4.Аналитическое и численное изучение низкотемпературного неравновесного динамического поведения сферической р-спиновой модели стекла в переменном поле.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: XXIX Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2002" (Кунгур, 2002), XV Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга-2003" (Казань, 2003), всероссийская школа-семинар "Физика фазовых переходов" (Махачкала, 2003), Молодежная научная школа"Новые аспекты применения магнитного резонанса" (Казань, 2003), XVII конференция "Фундаментальная атомная спектроскопия" (Звенигород, 2003), XXX Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2004" (Кыштым, 2004), Восьмая Международная научная молодежная школа "Актуальные проблемы магнитного резонанса и его применений" (Казань, 2004).

Заключение

Приведем основные результаты работы

1. Впервые предложен механизм энергетической релаксации туннельных состояний в стекле посредством быстрорелаксирующих центров; учтено влияние псевдоспиновой диффузии на формирование сигналов эха. Рассчитано низкотемпературное коллективное фононное эхо в диэлектрическом стекле.

2. Аналитически проверено выполнение флуктуационно-диссипативной теоремы в дроплетной модели квантового спинового стекла и в диэлектрическом стекле.

3. Рассмотрено влияние внешнего переменного поля на низкотемпературную динамику связанной системы из туннельных двухуровневых систем, находящуюся в контакте с внутренним квантовым окружением. Выполнен анализ роли квантового параметра, константы спин-спинового взаимодействия, связи системы с термостатом, амплитуды и частоты внешнего поля.

4. Проведено исследование низкотемпературной неравновесной динамики и старения сферической р-спиновой модели стекла во внешнем переменном поле. Дан анализ поведения двухвременных корреляционной функции, функции линейного отклика и интегрального отклика.

Благодарности

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю, д. ф.-м. н. профессору Ригине Васильевне Сабуровой за неоценимую помощь в постановке и решении задачи, организацию теоретических исследований, обсуждение полученных результатов; своим соавторам профессору Г. Бузиелло и доценту Г. П. Чугуновой за помощь в исследованиях и ценные советы; профессору Л. Ф. Кульяндоло и профессору С. Францу за предоставленный численный алгоритм.

1. Tunneling systems in amorphous and crystalline solids // Ed. by Es-quinazi P. Springer-Verlag, Heidelberg, 1998, 599p.

2. Anderson P. W., Halperin В. I., Varma C. Anomalous low thermal properties of glasses and spin glasses // Phil. Mag. 1972. - Vol.25. — N. 1. — P.l-9.

3. Phillips W. A. Tunneling states in amorphous solids // J. Low Temp. Phys. 1972. - Vol.7 - N.3/4. - P.351-360.

4. Hahn E. L. Spin echoes // Phys. Rev. 1950. - Vol.80. - P.580-594.

5. Mims W. B. In: Electron Paramagnetic Resonance / Ed. Geschwind S., N.-Y., London: Plenum Press, 1972.

6. Копвиллем У.Х., Сабурова P.B. Параэлектрический резонанс // Наука, Москва, 1982, 224с.

7. Edwards S. F. and Anderson P. W. Theory of spin glasses // J. Phys. F. -1975. Vol.5. - N.5. - P.965-974.

8. Доценко В. С. Физика спин-стекольного состояния // УФН. 1993. -Т. 163. - N.6. - С. 1-37.

9. Mydosh J. A. Spin glasses: an experimental introduction // Taylor. Francis. London, 1993. 430p.ч

10. Binder К., Young А. P. Spin glasses: an experimental facts, theoretical concepts, and open questions // Rev. Mod. Phys. 1986. - Vol.58. - N.6. -P.801-976.

11. Займан Дж. Модели беспорядка // Мир, Москва, 1982. 591 с.

12. Кореиблит И. Я., Шеидер Е. Ф. Спиновые стекла и неэргодичность // УФН. 1989. - Т. 157. - N.2. - С.267-310.

13. Bray A. J. and Moore М. A. Influence of dissipation on quantum coherence // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.49. -N.21. - P. 1545-1549.

14. Chakrabarti В. K., Dutta A., Sen P. Quantum Ising phases and transitions in transverse Ising models // Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996. 205p.

15. Sherrington D. and Kirkpatrick S. Solvable model of a spin-glass // Phys.

16. Rev. Lett. 1975.-Vol.35.-N.25.-P.1792-1796.

17. Thill M.J., Huse D.A. Equilibrium behavior of quantum Ising spin glass // Physica A. 1995. - Vol.241. -N.2. - P.321-355.

18. Courtens E. Vogel-fulcher scaling of the susceptibility in a mixed-crystal proton glass // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol.52. - P.69-72.

19. McMillan W. L. Domain-wall renormalization-group study of the three-dimensional random Ising model // Phys. Rev. B. 1984. - Vol.30.m N.I. —P.476-477.

20. Fisher D. S., Huse D. A. Equilibrium behavior of the spin-glass ordered phase // Phys. Rev. B. 1988. - Vol.38. -N.l. - P.386-411.

21. Spin-glasses and random fields // Ed. by Young A. P. World Scientific, Singapore, 1997. 161 p.

22. Berlin Т. H. and Кас М. The spherical model of a ferromagnet // Phys. Rev. 1952. - Vol.86. - N.6. - P.821-835.

23. Pottier N., Mauger A. Aging effects in free quantum brownian motion // Physica A. 2000. - Vol. 282. - P.77 - 107.

24. Бузиелло Г., Сабурова P. В., Сушкова В. Г., Чугунова Г. П. Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле // ФММ. 2003. - Т.95. -N.5. - С.7-15.

25. Kawasaki М. Out-of-equilibrium thermodynamic relations in systems with aging and slow relaxation // Phys. Rev. E. 2002. - Vol.65. - N. 3. -P.046145-1-046145-15.

26. Kennett M.P., Chamon C. and Ye J. Aging dynamics of quantum spin glasses of rotors // Phys. Rev. В 2001. - Vol.64. - N.6. - P.224408-1 -224408-15.

27. Cugliandolo L. F., Grempel D. R., Lozano G., Lozza H. and da Silva Santos C.A. Dissipative effects on quantum glassy systems // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 66. - N.4. - P.014444-1 - 014444-20.

28. Cugliandolo L. F. and Lozano G. Real-time nonequilibrium dynamics of quantum glassy systems // Phys. Rev. B. 1999. - Vol.59. - N.2. -P.915-924.

29. Berthier L., Cugliandolo L.F. and Iguain J.L. Glassy systems under time-dependent driving forces; Application to slow granular rheology // Phys. Rev. E. 2001. - Vol.63. - N.2. - P.051302-1 - 051302-15.

30. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю.Н. Статистическая механика магнито-упорядоченных систем // Наука, Москва, 1987. 264 с.

31. Форстер Д. Гидродинамические флуктуации, нарушенная симметрия и корреляционные функции // Атомиздат, Москва, 1980. 288 с.

32. Busiello G., Saburova R. and Vagapova F. Anomalous echoes in quantum systems // Solid State Commun. 1997. - Vol.101. - N.6. - P.459-462.

33. Busiello G., Saburova R. and Vagapova F. New phonon echo-signals due to the two-level systems in glasses // Inter. Journal of Modern Phys. -1998. Vol. 12. - N.20. - P.2067-2082.

34. Абрагам А. Ядерный магнетизм // Издательство иностранной литературы, Москва, 1963. 551с.

35. Enss С., Ludwig S., Weis R., Hunklinger S. Coherent echoes in glasses and crystals with point defects // Czech. J. Phys. 1996. — Vol.46. -P.3290-3294.

36. Гольдман M. Спиновая температура и ЯМР в твердых телах // Мир, Москва, 1972. 342с.

37. Салихов К. М., Семенов А. Г., Цветков Ю. Д. Электронное спиновое эхо и его применение // Наука, Новосибирск, 1992. 342с.

38. Паршин Д.А. Модель мягких потенциалов и универсальные свойства стекол // ФТТ 1994. - Т.36. - С.1809-1880.

39. Каган Ю.М., Прокофьев Н.В. // ЖЭТФ 1990. - Т. 97. - С. 16981727.

40. Нелинейные динамические процессы / Под ред. Пранца С.В. -Дальнаука, Владивосток, 2004. 260 с.

41. Ludwig S., Nadel P., Hunklinger S. and Enss C. Magnetic field dependent coherent polarization echoes in glasses // preprint cond-mat / 0210221.

42. Enss C. and Ludwig S. Evidence for magnetic field induced changes of the phase of tunneling states: spontaneous echoes in (KBr) 1 -x(KCN)x in magnetic fields // preprint cond-mat / 0204348.

43. Busiello G., Saburova R. Low-temperature orientational-glass-like phase transition in glass model // Physica B. 1998. -V. 245. - N.l. - P. 27-33.

44. Busiello G., Saburova R. Tunnel electrodipole defects in dielectric glass // Physica B. 1999. - V. 263. - P. 324-326.

45. Копвиллем У.Х., Пранц C.B. Поляризационное эхо // Наука, Москва, 1985.-189с.

46. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Чугунова Г.П. Линейная динамическая восприимчивость изинговского спинового стекла в поперечном поле при низких температурах // ФММ. 1999. - Т.87. - N.6. - С.49-56.

47. Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. I. // J. Phys. Soc. Japan 1957. - Vol.12 - N.6. - P.570-586.

48. Fisher D.S., Huse D.A. Ordered phase of short-range Ising spin glasses // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol.56 -N.15. - P.1601-1604.

49. Grandy W.T. Foundation of statistical mechanics. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland, 1988. 307 p.

50. Wurger A. From Coherent Tunneling to Relaxation, Springer Tracts in Modern Physics, Vol.135, Springer, Berlin, 1997.

51. Schwinger J. Brownian motion of a quantum oscillator // J. Math. Phys. -1961. Vol.2. - N. 3 - P.407-431.

52. Келдыш JI.В. Диаграммная техника для равновесных процессов // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. № 4. С. 1515-1527.

53. Leggett A.J., Chakravarty S., Dorsey A.T., Fisher M.P.A., Gard A. and Zwerger W. Dynamics of the dissipative two-state system // Rev. Mod. Phys. 1987. - Vol.59. -N.l. - P. 1-85.

54. Cugliandolo L.F., Grempel D.R. and da Silva Santos C.A. Imaginary-time replica formalism study of a quantum spherical p-spin-glass model // Phys. Rev. B. 2001. - Vol.64. -N.3. - P.014403-1 - 014403-26.

55. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford Science Publications, Oxford, 1996. 1008 p.

56. Feynman R.P., Vernon F.L. The theory of a general quantum system interacting with a linear dissipative system // Annals of Physics. 1963. -Vol.24. -N.2.- P. 118-173.

57. Berthier L., Barrat J.-L. and Kurchan J. A two-time, two-temperature scenario for nonlinear rheology // Phys. Rev. E. 2000. — Vol.61. - N.5. - P.5464-5472.

58. Бузиелло Г., Сабурова P.B., Сушкова В.Г., Чугунова Г.П. Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле //ФТТ. 2004. - Т. 46. - N.2. - С.308-316.

59. Martin Р.С. and Siggia E.D., Rose Н.А. Statistical dynamics of classical systems // Phys. Rev. A. 1973. - Vol.8. - N.l. - P.423 - 437.

60. Cugliandolo L.F. Dynamics of glassy systems // preprint cond-mat / 0210312.

61. Cugliandolo L. F. and Lozano G. Quantum aging in mean-field models // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol.80. - N.22. - P.4979-4982.

62. Herisson D and Ocio M. Off-equilibrium fluctuation-dissipation relation in a spin glass // Eur. Phys. J. B. 2004. - Vol.40. - P.283-294.

63. Herisson D and Ocio M. Fluctuation-dissipation ratio of a spin glass in the aging regime // preprint cond-mat /0112378.

64. Kirkpatrick T.R. and Thirumalai D. P-spin-interaction spin-glass models: connections with the structural glass problem //Phys. Rev. B. — 1987. Vol. 36. -N.10. -P.5388 - 5396.

65. Semerjian G. and Cugliandolo L.F. Dynamics of dilute disordered models: et solvable case // Europhys. Lett. 2003. - Vol.61. - P.247 - 254.

66. Semerjian G., Cugliandolo L. F., Montanari A. On the stochastic dynamics of disordered spin models // preprint cond-mat / 0304333.