Низкотемпературные динамические свойства стеклоподобных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

аеЛ^/

ГАРНАЕВА ИЛЬГИЗА РУ СТЕМОВНА

□□346Э135

НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТЕКЛОПОДОБНЫХ СИСТЕМ

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 4 МАЙ 2009

Челябинск - 2009

003469135

Работа выполнена на кафедре физики Казанского государственного энергетического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Сабурова Ригина Васильевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Екомасов Евгений Григорьевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Таскаев Сергей Валерьевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Марийский государственный

университет»

Защита состоится «22» мая 2009 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.296.03 при Челябинском государственном университете по адресу: 454001, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Челябинского государственного университета

Автореферат разослан «18» апреля 2009 г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

Е.А. Беленков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы значительное внимание уделяется изучению спиновых систем с конкурирующими взаимодействиями, в частности спиновых стекол. Они характеризуются медленной динамикой, обладают широким спектром времен релаксаций, наличием эффектов старения, восстановления и памяти. Изучение подобных эффектов позволяет более глубоко проникнуть в природу спин-стекольной фазы. Поведение спиновых стекол в магнитном поле привлекает значительное внимание, так как оно не изучено полностью. В отличие от дроплетной теории спиновых стекол, теория среднего поля предсказывает фазовый переход в магнитном поле.

В настоящее время известно большое число спиновых стекол, к ним относятся: соединения металлов (СиМп, АиМп, АиБе, РОЛп), концентрированные и разбавленные растворы и сплавы (КССЫ^Вг!-*), полупроводники - (Ец^Г!.^), аморфные вещества (А^МпзБ^Оц СоО-АДОз-БЮг) [1,2]. Спиновые стекла являются модельными системами для изучения более сложных стеклоподобных материалов.

Вычислительные методы, разработанные для исследования спиновых стекол, находят применение при решении сложных задач в таких различных областях, как информатика, нейрология, биохимия и теория эводюции.

Цель диссертационной работы. Цель настоящей диссертационной работы заключалась в теоретическом исследовании низкотемпературных неравновесных динамических свойств ряда моделей спиновых стекол.

Для этого необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать влияние температуры и квантового параметра на низкотемпературное неравновесное динамическое поведение изинговского спинового стекла, возбуждаемого внешними магнитными полями.

2. Изучить влияние постоянного и переменного магнитных полей на динамическое поведение квантовой неупорядоченной стеклоподобной системы.

3. Исследовать эффекты старения и восстановления в квантовой р-спиновой модели стекла, связанной с квантовым внутренним окружением и внешними магнитными полями.

4. Рассмотреть эффекты восстановления и памяти в одномерной классической изинговской спиновой цепочке в хаотическом поле.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что в ней впервые получены следующие результаты:

1. Исследовано затухание функций корреляции и отклика в неупорядоченной стеклоподобной квантовой системе; проанализирована роль температуры, квантового параметра и внешних полей (постоянного и переменного) в неравновесной динамике системы.

2. Обнаружен эффект восстановления в процессе температурного и полевого сдвигов, который зависит от параметров системы и прикладываемых внешних полей в квантовой р-спиновой модели стекла, связанной с квантовым окружением.

3. Рассмотрены эффекты восстановления и памяти для динамической восприимчивости посредством изучения температурных сдвигов и циклов в одномерной классической изинговской спиновой цепочке.

4. Исследован эффект старения и нестационарная медленная динамика в различных магнитных полях для сферической модели спинового стекла Шеррингтона-Киркпатрика при нулевой температуре.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Анализ зависимости функций корреляции, отклика и интегрального отклика от температуры, времен ожидания, квантового параметра и амплитуд переменного и постоянного магнитных полей в неупорядоченной квантовой системе в слабых магнитных полях, связанной с квантовым окружением.

2. Отрицательные и положительные температурные и полевые сдвиги в ■сферической р-спиновой модели стекла, связанной с квантовым окружением.

3. Старение, восстановление (омоложение) и память в одномерной классической спиновой цепочке в хаотическом поле.

4. Аналитическое и численное изучение затухания неравновесной спин-спиновой автокорреляционной функции для сферической модели спинового стекла Шеррингтона-Киркпатрика в постоянном магнитном поле при нулевой температуре.

Научная и практическая значимость связана с изучением неравновесных динамических свойств и особенностей низкотемпературного поведения спиновых стекол. Полученные выражения для неравновесной автокорреляционной функции и

функции отклика в р-спиновой сферической модели спинового стекла важны для более глубокого понимания неравновесной медленной релаксации в спин-стекольной фазе. Рассчитанные нами неравновесные динамические эффекты (старение, восстановление и память) для различных моделей спиновых стекол могут найти экспериментальные приложения.

Личный вклад автора заключается в выборе и постановке задач исследований, проведение аналитических и численных расчетов. В проведении некоторых расчетов принимали участие соавторы Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В., Чугунова Г.П. (раздел 2); Бузиеело Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В. (раздел 3, 4) Интерпретация полученных результатов и написание статей проводились совместно с соавторами.

Достоверность результатов работы определяется тем, что они получены с помощью надежных современных методов расчета. Теоретические результаты находятся в качественном согласии с экспериментальными данными.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: Ш Международная конференция «Фундаментальные проблемы физики» (Казань, 2005); XVII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-2005» (Казань, 2005); VII Международный семинар «Магнитные фазовые переходы» (Махачкала, 2005); Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка-2006» (Кыштым, 2006); Юбилейная XX международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2006); VII Молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2006); Евразийский симпозиум по магнетизму «Магнетизм на наноразмерах» (Казань, 2007); XXXII Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка-2008» (Новоуральск, 2008).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в пяти научных статьях и десяти тезисах международных и всероссийских конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 59 наименований. Работа изложена на 98 страницах машинописного текста, содержит 26 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приводится обоснование актуальности выбора темы диссертационной работы, метода исследования, новизны, выбора объекта исследования и краткое содержание работы.

Первая глава посвящена обзору моделей стекпоподобных систем, а также рассмотрению используемых в диссертации теорий и методов расчета.

Неупорядоченные магнетики, в которых энергия обменного взаимодействия случайным образом меняет свою величину и знак, носят название спиновых стекол. В таких системах с конкурирующими взаимодействиями, в отличие от обычных магнетиков, с понижением температуры дальнего магнитного порядка не возникает. Но не происходит и медленного постепенного замораживания спинов. Ниже некоторой, достаточно хорошо фиксируемой на эксперименте температуры магнетик переходит в новое состояние, в котором все спины заморожены в случайных направлениях. В состоянии спинового стекла могут находиться не только металлические, но и диэлектрические соединения, и полупроводники [3].

Наиболее разработанной является модель спинового стекла Шеррингтона и Киркпатрика [4]. В этой модели используется гамильтониан Изинга

О)

1 ) х

где А = gЦJjЛ; Н— внешнее магнитное поле; g— фактор Ланде; Ив - магнетон Бора; ¡1 =±1, обменные связи ^ - хаотические гауссовы переменные с нулевым средним

-2 У2

значением и дисперсией ./« =—, где 3 - константа обменного взаимодействия;

N

N— число спинов.

Также в данной главе описываются экспериментальные факты, посвященные изучению эффекта старения в спиновых стеклах [5]-[8]. Спиновое стекло охлаждается в слабом постоянном магнитном поле Н от высоких температур, выше Тг, до температуры Т (Т< 7^) в течение некоторого времени После чего магнитное поле выключается, и производится измерение релаксации магнитного момента. Релаксация является медленной, нестационарной. Изменения состояния системы зависят от времени Чем больше тем медленнее релаксация. Любой подобный эксперимент зависит от двух временных параметров: времени

наблюдения г, в течение которого производились измерения, и времени ожидания (время после перехода в фазу спинового стекла) [6, 9]. Итак, эффект старения состоит в том, что магнитный отклик системы на внешнее поле зависит от тепловой истории образца, т.е. от временного интервала, в течение которого система находится при постоянной температуре в фазе спинового стекла.

Для наблюдения эффектов восстановления и памяти система охлаждается (теоретически мгновенно) от высокой температуры Т, превышающей температуру фазового перехода Тг до низкой температуры Т\ < Т^ Система стареет при Т\ в фазе спинового стекла в течение периода времени ^ . Затем, в момент времени

незначительно изменяем температуру до значения Гг (Тг < Т£) (также мгновенно), и система стареет при температуре Гг (начиная с момента ^). У некоторых

спиновых стекол наблюдается сильный эффект восстановления для

восприимчивости и для корреляционной функции, который показывает, что релаксация происходит так, как если бы в момент начался релаксационный

процесс, который был «восстановлен» на более ранних временах. Система «омолаживается». Для достаточно больших ЛГ = Гг - Т\ омолаживание полное [10].

Эффект памяти можно видеть, когда температура изменяется от Гг назад к Т\ в момент ¡щ + , где - период времени, в течение которого система находится

при температуре Гг-

Во второй главе рассматриваются эффекты старения и восстановления, температурные и полевые сдвиги в неупорядоченной квантовой системе, находящейся в контакте с внутренним окружением и подверженной действию внешних переменных полей.

Рассмотрена квантовая система, состоящая из N взаимодействующих между собой спинов, связанная с термостатом из независимых квантовых гармонических осцилляторов и находящаяся под действием внешнего переменного и постоянрош магнитных полей. Гамильтониан этой связанной системы имеет вид

+ 7ГВ + Язв + (2)

где % - гамильтониан системы; Яв - гамильтониан термостата; Л^В — гамильтониан взаимодействия системы и термостата; У/^р - гамильтониан взаимодействия системы и внешнего постоянного и переменного магнитных долей.

N

N

(4)

(5)

1,1

Ч^ Г

=-(ад+#)£«/> ад=/%со8со0;,

(6)

где »1 - масса объекта со спином ¡¡, точка обозначает производную по времени; V - потенциал спинового взаимодействия; параметр р> 2, являются

случайными переменными спиновой связи с гауссовским распределением, с

обозначает усреднение по беспорядку; Ыь - число осцилляторов; я/ и Р1 - координата и импульс /-го осциллятора; пц и <о/ - масса и угловая частота 1-го осциллятора. Термостат представляет собой фононы решетки. С^ - константа связи

между /-м спином и 1-м осциллятором. Внешнее магнитное переменное поле й(/) характеризуется своей амплитудой (в энергетических единицах) /г, и угловой частотой та о- Я - величина постоянного поля. Мы пренебрегаем взаимодействием между термостатом и внешними полями.

Динамика системы описывается эволюцией симметризованной автокорреляционной функции и функции линейного отклика, которые зависят от двух времен: времени после перехода системы в спинстекольную фазу, и времени •измерения. Функция корреляции системы мржет служить мерой того, как

быстро система теряет память о своей предыстории. Для понимания того, как система реагирует на внешнее возмущение, вводится функция отклика

которая связана с восприимчивостью системы.

Симметризованная корреляционная функция С,у(г,г') определяется через

производящий функционал 2 как

нулевым средним и дисперсией (•//,.../ )2 = ^р\/(2Кр '), где черта сверху

Cijit, оs|(ф;(0Ф, (О+Ф; сж-со) =

Й"

lnZ

4=о-

Функция линейного отклика (/,/') на внешнее периодическое возмущение Л определяется как

(8)

А=0

где |+(0> (/) - Д'-векторные внешние источники; степени свободы описываются полем ф = (ф](/).....Флг(0) в гейзенберговском представлении [11,12].

Нами используется система связанных неравновесных динамических уравнений для корреляционной функции С(1,1') и функции отклика /'),

полученная методом Швингера-Келдыша аналогично [11,12] и имеющая вид

м,2 + 2(/))Д(г, О = 5(Г - /') + "й'Кл /'); (9)

о

(«З,2 + *(/))С(/, /') = Г')С(/", /') /•) +

о о

+ (ЛсобОо/) + Н)\Ж"(И соз(ю/")+#)Д(г\ /")» (10)

о

где параметр Лагранжаг(/) имеет вид

/ г »

*(/) = /<*'(£(/,/*)С(/, П + Щ,ОЯ(А 0)+™¡Л'¡аЧд,Щг, /')МЛ ГЩЩ', П + 0 0 0

+ (A cos(wf) + //) fdt"(hcos(ca/") + H)R(l, t"). 0

(П)

где £(/,/') и D(t,t') - собственноэнергетическая и вершинная части.

Используя для численного расчета системы уравнений (9)-(10) интерполяционный алгоритм с шагом 0.04, рассматриваются свойства автокорреляционной функции C(r+/W, tw) и функции линейного отклика 'w> '») > гДе T-f-/w. Результаты численного расчета представлены графически. На рис. 1 и рис. 2 представлены графики функций корреляции и линейного отклика в фазе спинового стекла.

Рис. 1. Функция корреляции С(х, ) в зависимости ох времени т для различных значений температуры Т (Т= 0.2, 0.3, 0.5) при фиксированных значениях следующих параметров: =10, Н = 0.5, Л = 0.1, <»0 = 0.1, У = 1, а = 1, Г = 1.

-тел

---мз

—т-м

Рве. 2. Функция отклика Я(т,1„) в зависимости от времени х для различных значений температуры Т (Т- 0.2, 0.3, 0.5) при фиксированных значениях следующих параметров: /„ = 10, II = 0.5, А = 0.1, «0 =0.1, У = 1, а = 1, Г = 1.

Нами использованы безразмерные переменные, которые определяются измерением энергии в единицах / и времени в единицах ЬМ. Тогда сила

О л,

квантового параметра будет измеряться величиной Г = й /(./т) [13]. Была произведена перенормировка реального времени и других параметров, входящих в квантовые динамические уравнения для корреляции и отклика. При этом /-»(У/Й)/, вид симметризованной функции корреляции не изменится, а функция

отклика трансформируется как Л -» Ш. После такой перенормировки динамические уравнения имеют такой же вид, как и до преобразования, с т, замененной на Г-1.

Рассмотрены следующие протоколы температурных сдвигов. Для того чтобы наблюдать температурный сдвиг, система быстро охлаждается от высокой температуры Г, большей температуры фазового перехода Т^, до температуры Т\, меньшей температуры фазового перехода 7^. Система стареет при температуре Т\ в фазе спинового стекла в течение периода времени (начиная с нулевого момента

времени, когда она достигла температуры Т\). Затем, в момент времени /и,[ мы

незначительно изменяем температуру до значения Гг- Система стареет при температуре 7*2, начиная с момента времени, равного (рис.3).

о

¿«-I

т. =0.5

Рис. 3. Временная эволюция реальной части динамической восприимчивости х(®> '*>) Для

отрицателыци и положительных температурных сдвигов 7) ->Г2, где Т\ =0.5; Г2 =0.2, 0.3, 0.7 и

0.9 для фиксированных значений параметров: Я=0.5,й = 0.1, ю0 =0.1,./= 1, а = 1, Г = 1.

Наши результаты подобны экспериментальным данным в спиновых стеклах [14] и в полимерах [15] (рис. 4).

Рис. 4. Временная эволюция восприимчивости "/„(<Мн>) Для температурного сдвига Т\ -»Т^ 7] = 0.09 К, Г2 -' -2 К для фиксированных значений параметров: Я= 0.5, Л = 0.1, ю0=0.1, У=1, а = 1, Г =1.

8

гу

¿.6

Л.

е„ 1 зооо

6000 (

9000 12000

Далее описывается полевой сдвиг (рис. 5). Предполагается, что спин-система мгновенно охлаждается в момент времени, равный нулю, от высокой температуры до низкой температуры в фазе спинового стекла. Динамическая восприимчивость измеряется сначала в нулевом поле (Н - 0) от нулевого момента времени до момента

М (^1 =20).

-----н^ол Рис. 5. Зависимость реальной части

динамической восприимчивости

Х(<о,(„)=у[1-С(/„ +т,0] от времени

Л м

3 ,в"]\ \ ожидания 1„ для полевых сдвигов Н\ = 0,

5

Яг = 0.1, 0.3,0.5 для фиксированных значений следующих параметров: 7=0.5, .1=1, а=1, Г= 0.5, А = 0.01, со = 0.01.

В момент включается поле II, и динамическая восприимчивость % измеряется в ненулевом ноле Н от момента и далее. Изменение поля приводит к

тому, что временная эволюция восприимчивости как бы восстанавливается в момент , возрождается, а система «омолаживается», восприимчивость принимает большее значение в момент чем в предыдущий момент. В большом поле старение прекращается (зависимость восприимчивости от двух времен исчезает).

В этой главе нами проанализирована роль температуры (на более длинных временах х корреляционные кривые для различных Т не совпадают, т.е. имеется существенная температурная зависимость; для более высокой температуры затухание становится быстрее), квантового параметра (при большом значении Г корреляция и отклик быстро затухают) и внешних полей (постоянного и переменного) в динамике системы. Показано, что квантовые флуктуации и слабые внешние поля не нарушают состояние спинового стекла. Наоборот, в сильном поле старение прекращается. Также обнаружены эффекты старения и омоложения в процессе температурного и полевого сдвигов, которые зависят от параметров системы и прикладываемых внешних полей.

В третьей главе впервые изучаются такие явления как омоложение и память в одномерной изинговской цепочке в хаотическом поле А,-.

Изинговская цепочка в хаотическом поле определяется следующим

гамильтонианом для классических спинов

N-1 N

я=-У2>,.+1-2; V/, (12)

;=1 1=1

где поля {/?,•} - независимые случайные переменные с нулевым средним И,=0 и дисперсией g = h¡ , г — индекс узла, J— константа связи, N— число спинов.

Для расчета используется асимптотически точный метод ренормализационной группы в реальном пространстве. Детали метода изложены в работах [8, 16]. Этим методом выводятся соответствующие РГ-уравнения и даны решения для фиксированных точек (физически важная величина, поскольку в этой точке система остается инвариантной при изменении масштаба длины). Процесс укрупнения в неравновесной динамике рассматриваемой модели подобен диффузно-реактивному процессу в одномерном хаотическом окружении для доменных стенок.

В результате расчета имеются следующие выражения для динамических тепловых двухвременных корреляционных функций

х=-°о

А2

45

1п/и —

14 ->

45 №

1п(*-/„,)

для 0 < а < 1; где а = —5-— - первый режим;

С(?, /№) = 1п/№ 1п^1 + ; для а ~ 1 - второй режим;

для а > 1 - третий режим.

(13)

(14)

(15)

(16)

Здесь ... означает среднее по беспорядку; (...) - тепловое среднее;

Г - время наблюдения; - время ожидания.

Система очень быстро, охлаждается от высокой температуры до очень низкой температуры Г}. Система стареет при температуре Т\ в течение периода Г^ с

нулевого момента времени. В момент времени ^ изменяем температуру к

значению Т2=Ц+АТ, и система стареет с момента времени при новой

температуре 7^. Релаксация динамической восприимчивости при 7*2 не зависит от релаксации при Т\. Затем по прошествии периода температура возвращается

вновь к 7*2 (цикл 7] -» 7*2 -> Т]).

На рис. 6 представлен температурный цикл для третьего режима, на котором найдена почти полная память.

14.88' <4.64 14 В

1 == £ 14 3 к

14.2В 14.22 14.18

П»0.07

Рис. 6. Временная эволюция восприимчивости для температурного

цикла Г| -> Г2 -> 7); Ту = 0.07, Т2 = 0.067, со=0.01, а>1, = 50, 'н>2 ^а нижней части рисунка

представлена первая и третья стадии как продолжение релаксации восприимчивости х(ш.'»)-

Данный результат совпадает с экспериментальными данными в полимерах и подобен некоторым данным в спиновых стеклах [17-20], изображенном на рис. 7. .

Рис. 7. Релаксация мнимой части восприимчивости х(й>'н0 А™ отрицательного

температурного цикла ДГ = 2 (со = 0.01), показывает старение при Г = 1.2 К, омоложение при Т = 1 К, и память при Г = 1.2 К. Вставка на рисунке показывает, что, несмотря на омоложение при Т- 1 К, обе части при Т= 1.2 К представляют продолжение друг друга (память).

Свойства, обусловленные старением, могут быть рассчитаны асимптотически точно для рассматриваемой модели. Двухвременные корреляционные функции зависят опт обоих времен (/ и ?„,). Фазовый переход в модели отсутствует, поведение системы

«контролируется» нуль-температурной фиксированной точкой. Нами показано, что в этой модели при Т* 0 наблюдаются эффекш омоложения и памяти, которые отличаются для различных временных режимов (13)-(16). Для сравнения с экспериментом требуются длинные времена г^ и низкие температуры.

В четвертой главе рассчитывается затухание неравновесной спин-спиновой автокорреляционной функции с использованием динамики Ланжевена доя сферической модели (р = 2) спинового стекла Шеррияггона-Киркпатрика в постоянном магнитном поле и при нулевой температуре.

Сферическая модель спинового стекла с двухсшшовыми (р = 2)

взаимодействиями между спинами «,(<),! = 1.....N (АГ — число спинов) в магнитном

поле А,- описывается гамильтонианом вида (1) со сферическим ограничением

I

Динамическое поведение описывается уравнением Ланжевена в магнитном поле

^ = + + (17)

ОТ ОХ ¡{.О

где й(*) = Щ*-*№) - внешнее магнитное поле; - время ожидания .[21].

Рассматривается постоянное магнитное поле А,- = И для всех узлов /. Параметр представляет собой сферическое ограничение, г]/(/) - тепловой гауссовский шум с

нулевым средним и дисперсией 2каТ. В случае р = 2 динамика упрощается, используя базис собственных векторов Д хаотичной матрицы .

Тогда динамическое уравнение Ланжевена описывается выражением

¿МО

Э/

- = (ц - *(*)>,! Ю + + Пц С) •

Интегрируя уравнение (18), получаем

од

1 + Ар

О

(18)

(19)

где П(1) г ехр|^/Л'^/') .

Автокорреляционная функция имеет следующий вид

• (20)

Имеется ряд возможностей при получении асимптотических выражений для С(х+ ?„,,/„,) • Эти выражения для корреляционной функции могут быть следующие: 1)Для малых магнитных полей П(г)~е2///3^4, и если использовать

Л

приближенное выражение Яг) —-—-—-.получим

л/4я(2/)3/2

1 + й'

-2 2я

о

'У

(21)

2) Для более сильных магнитных полей мы использовали приближение А./

£}(/) ~ е , а также два приближения дляДе). „4/

Если /0) -

-, тогда получим

-Дп(20312 .А2 ] +

С(т + /„,*) фх

-2

(23)

Нами показано, что в случае нулевого поля спин-система в этой модели всегда испытывает старение. Имеется некоторое критическое значение магнитного поля Л* »0.6, которое разделяет два режима: для малых магнитных полей (А < Л*) (наличие эффекта старения) и для более сильных полей {И > И*), когда старение отсутствует. Таким образом, старение прерывается в сильном магнитном поле, и устанавливается равновесное состояние системы.

При нулевой температуре поведение корреляционной функции в малых магнитных полях отличается от обычного среднеролевого описания (поскольку нами не обнаружена стационарная часть корреляционной функции) и от дроплетной картины, так как в дроплетной картине в магнитном поле такие эффекты отсутствуют. Полученные расчеты и графики (рис. 8 и 9) показывают непрерывное и медленное затухание корреляций в фазе спинового стекла.

Рис. 8. Зависимость функции корреляции С(т + /„,<„) от т для магнитного поля А = 0.03 и различных времен ожидания: =10, 20, 30.

Рис. 9. Зависимость функции корреляции С(т + 1У/, от т при амплитуде поля А = 1 дяя двух времен ожидания = 3,5.

г

В заключении работы подводится итог проведенным исследованиям, и фиводятся основные результаты и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Основные научные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Впервые исследована зависимость от температуры, внешних (постоянного и 1еременного) полей я квантового параметра низкотемпературного неравновесного инамического поведения квантовой неупорядоченной стеклоподобной системы, вязанной с квантовым окружением и возбуждаемой внешними полями. Показано, то для малых времен корреляционные кривые совпадают при различных емпературах Т. На сравнительно длинных временах т = / - /,у корреляционные

ривые для различных температур Г не совпадают, т.е. имеется существенная

емпературная зависимость. Для высоких температур затухание становится быстрее.

ами найдена сильная цолеадя зависимость корреляционной функции С. При малых

олях Я наблюдается медленное затухание, с ростом Н затухание возрастает и при екотором критическом значении (II 0.6) фаза стекла нестабильна (уменьшение

орреляционной функции до нуля с ростом времени т).

2. Впервые обнаружен эффект восстановления (омоложения) в квантовой р-пиновой модели стекла в процессе температурного и полевого сдвигов, зависящие

от параметров системы и прикладываемых полей. Для отрицательного и положительного Г-сдвигов найдены соответственно сильный эффект восстановления и слабый эффект восстановления. Найдено, что в процессе полевого сдвига в большом поле старение в системе прекращается.

3. Рассмотрены эффекты восстановления и памяти в одномерной изинговской цепочке в хаотическом поле, посредством изучения температурных сдвигов и циклов. Показано, что э трех различных режимах эффекты омоложения и памяти различаются, но более сильное омоложение и почти полная память наблюдается в случае разделенных времен / и

4. Изучено затухание неравновесной спин-спиновой автокорреляционной функции

с использованием динамики Ланжевена для сферической модели спинового стекла

Шерринггона-Киркпатрика в постоянном магнитном поле при нулевой температуре.

Показано, что фаза стекла «выживает» в слабых и умеренных полях; в сильном поле

зависимость корреляционной функции от двух времен, характеризующих стеклофазу, исчезает. Найдено критическое значение поля А™, когда старение прекращается.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В., Хайбутдинова И.Р., Чугунова Г.1 Температурные сдвиги в квантовой сферической р-спиновой модели стекла//ФММ. - 2005. Т.101. - N.2. - стр.123-128.

2. Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В., Хайбутдинова И.Р., Чугунова Г.П. Эффеки старения в неравновесном квантовом спиновом стекле в слабых магнитных полях // ФММ. - 2005 - Т.102. - N.3. - стр.264-272.

3. Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В., Хайбутдинова И.Р. Нуль-температурн неравновесная динамика сферической модели спинового стекла Шерринггона-Крикпатрика в внешнем поле// «Известия ВУЗ. Физика». -2006. -N.4-cip.W-16.

4. Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В., Хайбутдинова И.Р. Квантовая сферическая спиновая модель стекла: низкотемпературное поведение // «Известия ВУЗ. Физика». - 2006. - N.1 -стр.42-48.

5. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Газеева Е.В., Хайбутдинова И.Р. Неравновесные динамические эффекты (стареиие, омоложение и память) в одномерных классических спиновых цепочках // «Известия ВУЗ. Физика». - 2008. -N.6. - стр. 78-88.

6. Сабурова Р.В., Усманова С.М., Хайбутдинова И.Р. Ultraslow dynamics and aging in spin glasses in a magnetic field //Тезисы докладов XVII международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-2005», Казань, 2005, сгр.36.

7. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Газеева Е.В., Хайбутдинова И.Р. Out of equilibrium dynamical effects (aging, rejuvenation, memoiy) in quantum spin glasses//Сборник тезисов III International conference «Fundamental problems of physics», Казань, 2005, стр.193.

8. Чугунова Г.П., Газеева Е.В., Хайбутдинова ИР., Сабурова Р.В., Усманова С.М. Aging, rejuvenation and memoiy in spin glasses//Сборник трудов VII международного семинара «Магнитные фазовые переходы», Махачкала, 2005, стр.41.

9. Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В., Усманова С.М., Хайбутдинова И.Р. Неравновесная диссипативная магнитная восприимчивость квантового спинового стекла в дроплет-модели//Тезисы докладов XXXI международной зимней школы физиков-теоретиков «Коуровка-2006», Кыштым, Челябинская обл., 2006, стр.52.

10. Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В., Хайбутдинова И.Р. Эффекты старения в неравновесном квантовом спиновом стекле в слабых магнитных полях // Тезисы докладов XXXI международной зимней школы физиков-теоретиков «Коуровка-2006», Кьшпым, Челябинская обл., 2006, стр.72.

11 Бузнелло Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В., Хайбутдинова И.Р. Температурные сдвиги в квантовой сферической ^-спиновой модели стекла//Тезисы докладов XXXI международной зимней школы физиков-теоретиков «Коуровка-2006», Кьшггым, Челябинская обл., 2006, стр.51.

12 Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова Р.В., Хайбутдинова И.Р. Квантовая сферическая р-спиновая модель стекла: низкотемпературное поведение//Сборник трудов XX международной юбилейной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники», Москва, 2006, стр.631.

13 Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова PJ3., Хайбутдинова И.Р. К теории неупорядоченных систем // Тезисы докладов VII молодежного семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества, Екатеринбург, 2006, стр.66-67.

14 Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Газеева Е.В., Хайбутдинова И.Р. Noncquilibrium dynamical effects (aging, rejuvenation and memory) in one-dimension classical spin chains//Euro-Asian symposium ((Magnetism on aNanoscale», Казань, 2007, стр.51.

15. Бузиелло Г., Сабурова Р.В., Газеева ЕЛ., Хайбутдинова И.Р., Чугунова Г.П. Temperature effects in the quantum spherical p-spin model of glass//Euro-Asian symposium ((Magnetism on a Nanoscale», Казань, 2007, стр.52.

16. Бузиелло Г., Газеева Е.В., Сабурова РЛ., Хайбутдинова И.Р., Чугунова Г.П. Неравновесные динамические эффекты (старение, омоложение и память) в одномерных классических спиновых цепочках // Тезисы докладов XXXII международной замней школы физиков-теоретиков «Коуровка-2008», Екатеринбург, 2008, стр. 128.

17. Busiello G., Gazeeva Е., Saburova R., Khaibutdinova I. Rejuvenation effects in the spherical p-spin model of spin glasses И Сборник тезисов Moscow International Symposium on Magnetism (MISM), Москва, 2008, стр.510-511.

18. Busiello G., Gazeeva E., Saburova R., Khaibutdinova I. On the magnetic susceptibility of dipolar spin glasses//Сборник тезисов Moscow International Symposium on Magnetism (MISM), Москва, 2008, стр.510-511.

Список использованной литературы: [1J Binder К. and Young А.Р. Spin glasses: Experimental facts, theoretical concepts, and open questions // Reviews of Modern Physics. - 1986. - Vol.58. - N.4. - 801-963p.

[2] Москаленко B.A., Владимир МЛ., Кожукарь СЛ. Метод самосогласованного поля в теории стекольного состояния спиновых и квадрупольных систем // Под ред. д.ф.-м.н. М.Е. Палистранта. Изд-во <(Штиинца», Кишинев. - 1990. - 283с.

[3] Коренблит ИЛ., Шендер Е.Ф. Спиновые стекла и неэргодичность IIУФН. - 1989. -Т.157. — N.2. - С.267-310.

[4] Sherrington D. and Kirkpatrick S. Solvable model of a spin-glass // Phys. Rev. Lett. - 1975. - Vol.35. - N.25. - P. 1792-1796.

[5] Bouchaud J.-Ph., Cugliandolo L.F., Kurchan J. and Mezard M. Out of equilibrium dynamics in spin glasses and other glassy systems // in "Spin Glasses and Random Fields" ed. by Young A.P. World Scientific, Singapore, 1998. - 161p.

[6] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.-Ph. and Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses //in "Complex behavior of glassy systems" ed. by Rubi M. Springer-Verlag, Berlin, 1997. - 184p.

[7] Nordlad P. and Svedlindh P. Experiments on spin glasses // in "Spin Glasses and Random Fields" ed. by Young A.P. World Scientific, Singapore, 1998. - 161p.

[8] Spin-glasses and random fields // Ed. by Young AP. World Scientific, Singapore, 1998. - 161p.

[9] Доценко B.C. Физика спин-стекольного состояния // УФН. -1993. - Т.163. - N.6. - C.l-37.

[10] Sales М., Bouchaud J.-Ph., Ritort F. Temperature shifts in the Sinai model: static and dynamical effects // J. Phys. A 36. - 2003. - 665p.

[11] Schwinger J. Brownian motion of a quantum oscillator//J. Math. Phys. - 1961. - Vol.2. -N.3.-P.407-421.

[12] Keldysh L.V. Diagram technique for nonequilibrium processes//Zh. Eksp. Teor. Fiz. -1964. - Vol.47. - N.4. - P. 151-165 / Sov. Phys. JETP. - 1964. - Vol.20. - P. 10 l-l 18.

[13] Бузиелло Г., Сабурова P.B., Сушкова В.Г., Чугунова Г.П. Неравновесная динамика квантового спинового отекла в переменном магнитном поле // ФТТ. - 2004. - Т.46. -N.2.-C.316-325.

[14] Jimenez S., Martin-Mayor V., Perez-Gaviro S. Rejuvenation and memory in model spin glasses in 3 and 4 dimensions // cond-mat / 0406345.

[15] Fukao K., Sakamoto A. Aging phenomena in PMMA thin films - memory and rejuvenation effects II cond-mat / 0410602.

[16] Fisher D.S., Le Doussal P., Monthus C. // Phys. Rev. E 64. - 2001. - 066107.

[17] BerthierL., Holdworth P.C.W. //Eur. Lett. 58.-2002. - Vol.35. -P.589-612.

[18] Jimenez S., Martin-Mayor V., Perez-Gaviro S. // Prog. Theor. Phys. Suppl. - 2005. -Vol.157.-P.25-40.

[19] Suzuki I.S.; Suzuki M. // cond-mat / 0603725.

[20] Nishimori H. Statistical physics of spin glasses and information processing. Oxford Science Publications, 2001. - 740p.

[21] Krzakala F. et al. // cond-mat / 0107366. Phis. Rev. Lett. 87. - 2001. - 197204.

Введение

1 Динамика стеклоподобных систем

1.1. Спиновые стекла.

1.2. /7-спиновая сф ерическая модель.

1.3. Динамика спиновых стекол.

1.3.1. Динамика Сомполинского.

1.3.2. Старение в дроплет картине.

1.3.3. Слабое нарушение эргодичности и эффективная температура.

1.4. Эффекты старения, восстановления и памяти в спиновых стеклах.

2 Эффекты старения и восстановления в неравновесном квантовом спиновом стекле в слабых магнитных полях

2.1. Модель спинового стекла.

2.2. Динамические интегродифференциальные уравнения для автокорреляционной функции и функции линейного отклика.

2.3. Флуктуационно-диссипативное соотношение.

2.4. Общее рассмотрение и обсуждение.

2.5. Отрицательные и положительные температурные сдвиги и эффект восстановления (омоложения).

2.6. Полевые Н-сдвиги и эффект восстановления.

3 Неравновесные динамические эффекты (старение, омоложение и память) в одномерных классических спиновых цепочках

3.1. Модели.

3.2. Тепловые сдвиги, циклы и эффекты восстановления (омоложения) и памяти.

4 Нуль-температурная неравновесная динамика сферической модели спинового стекла Шеррингтона-Киркпатрика во внешнем поле

4.1. Среднеполевая/»-спиновая модель сферического стекла.

4.2. Поведение спинового стекла в магнитном поле различной величины.

Актуальность исследования. В последние годы значительное внимание уделяется изучению спиновых систем с конкурирующими взаимодействиями, в частности спиновых стекол. Спиновые стекла являются одними из самых интересных систем/ для? теоретического! и экспериментального исследований неравновесных динамических свойств; Они? характеризуются медленной динамикой, обладают широким спектром' времен релаксаций, наличием эффектов старения и восстановления'. Поведение спиновых стеколV в магнитном поле привлекает значительное: внимание; так как оно не изучено - полностью: В отличие от дроплетной теории; спиновых стекол,, теория: среднего поля предсказывает фазовый переход в магнитном поле. .

Удивительные эффекты- такие как старение, восстановление, память и другие, делают стеклоподобные: системы; очень привлекательными как для экспериментаторов, так и для теоретиков. Однако почти отсутствует аншштическое; исследование этих; эффектов. Изучение подобных^ эффектов позволяет более: глубоко проникнуть в природу спин-стекольной фазы, которая не выяснена до конца. В настоящее время известно:большое число? спиновых стекол, к ним относятся: соединения металлов (СиМп, АиМп, АиБе, Р1Мп), концентрированные и разбавленные растворы и сплавы

К(СЫХхВг1х:),- полупроводники! (Еи^Г!.^), аморфные вещества

АЬМпз81з012, СоО ЛЬОз-ЗЮг) [1, 2]. Спиновые: стекла являются модельными системами для изучения более сложных стеклоподобных материалов. ,

Вычислительные методы, разработанные для исследования спиновых стекол, нашли применение при решении^ сложных задач в таких различных областях, как информатика, нейрология, биохимия и теория эволюции.

Цель настоящей диссертационной работы заключалась в теоретическом исследовании низкотемпературных неравновесных динамических свойств ряда моделей спиновых стекол.

Для этого необходимо было решить следующие задачи:

Исследовать влияние температуры и- квантового параметра на низкотемпературное неравновесное динамическое поведение изинговского спинового стекла, возбуждаемого внешними магнитными полями.

2. Изучить влияние постоянного и переменного магнитных полей на динамическое поведение квантовой неупорядоченной > стеклоподобной системы.

3. Исследовать эффекты старения и восстановления^ в квантовой, р-спиновой модели стекла, связанной с квантовым внутренним окружением и внешними магнитными полями.

4. Рассмотреть эффекты восстановления и памяти в одномерной классической изинговской спиновой цепочке в хаотическом поле.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые получены следующие результаты:

1. Исследовано затухание функций корреляции и отклика в неупорядоченной стеклоподобной квантовой системе, проанализирована роль температуры, квантового параметра и внешних полей (постоянного и переменного) в неравновесной динамике системы.

2. Обнаружен эффект восстановления в процессе температурного и полевого сдвигов, который зависит от параметров системы и прикладываемых внешних полей в квантовой ^-спиновой модели стекла, связанной с квантовым окружением.

3 '. Рассмотрены эффекты восстановления памяти для динамической восприимчивости посредством изучения температурных сдвигов и циклов в одномерной классической изинговской спиновой цепочке.

4. Исследован эффект старения и нестационарная медленная динамика в различных магнитных полях для сферической модели спинового стекла Шёррингтона-Киркпатрика при нулевой температуре: ^

Научная ценность и практическая значимость связана с изучением неравновесных динамических свойств и особенностей низкотемпературного поведения спиновых стекол. Полученные выражения для неравновесной автокорреляционной функции и функции отклика в /^-спиновой сферической модели! спинового стекла важны для более глубокого, понимания неравновесной медленной релаксации в спин-стекольной фазе. Рассчитанные нами; неравновесные' динамические эффекты, (старение, восстановление и память) для различных, моделей спиновых стекол могут найти экспериментальные приложения.

Содержание работы. Работа состоит из четырех глав. В первой главе дан обзор моделей; спиновых стекол; а также используемых в диссертации теорий и методов расчета: Во второй главе рассматриваются эффекты старения и восстановления; температурные и полевые сдвиги в неупорядоченной квантовой системе; находящейся в контакте с внутренним окружением и подверженной действию внешних переменных полей: В третьей: главе изучаются такие явления, как; омоложение и память в одномерной изинговской цепочке в хаотическом поле. В четвертой главе рассчитывается затухание неравновесной спин-спиновой автокорреляционной функции с использованием динамики Ланжевена для сферической моделиУ(р = 2) спинового стекла Шёррингтона-Киркпатрика в постоянном магнитном поле и при нулевой тёмпературе.

Положения, выносимые на защиту.

1. Анализ зависимости функций корреляции, отклика и интегрального отклика от температуры, времен ожидания, квантового параметра и амплитуд переменного и постоянного магнитных полей в неупорядоченной квантовой системе в слабых магнитных полях, связанной с квантовым окружением.

2. Отрицательные и положительные температурные и полевые сдвиги в сферической /»-спиновой модели стекла, связанной с квантовым окружением.

3. Старение, восстановление (омоложение) и память в одномерной классической изинговской спиновой цепочке в хаотическом поле.

4. Аналитическое и численное изучение затухания неравновесной спин-спиновой автокорреляционной функции для сферической модели спинового стекла Шеррингтона-Киркпатрика в постоянном магнитном поле при нулевой температуре.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: Ш Международная конференция «Фундаментальные проблемы физики» (13-18 июня 2005, Казань); ХУЛ Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-2005» (22 июня - 3 июля 2005, Казань); VII Международный семинар «Магнитные фазовые переходы» (22 ноября 205, Махачкала); Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка—2006» (19-25 февраля 2006, Кыштым); Юбилейная XX международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (12-16 июня 2006, Москва); VII Молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (27 ноября - 3 декабря 2006, Екатеринбург); Евразийский симпозиум по магнетизму «Магнетизм на наноразмерах» (23-26 августа 2007, Казань); XXXII Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка—2008» (25 февраля — 2 марта 2008, Новоуральск).

По теме диссертации опубликовано 18 статей и тезисов в журналах, сборниках трудов и материалах конференций (см. список литературы).

Заключение

Основные научные результаты и выводы диссертации' заключаются в следующем:

Г. Впервые исследована зависимость от температуры, внешних (постоянного? и переменного), полей иг квантового параметра низкотемпературного неравновесного динамического поведения квантовой неупорядоченной?, стеклоподобной системы, связанной« с квантовым окружением и< возбуждаемой внешними полями: Показано;; что» для малых

I ' ' * времен корреляционные, кривые совпадают при: различных; температурах Т. На сравнительно длинных временах; т = ^ — ^ корреляционные кривые'для различных, температур Т не совпадают, т.е. имеется» существенная« температурная зависимость. Для высоких: температур/затухание становится быстрее. Нами найдена сильная полевая зависимость корреляционной функции С. При малых полях // наблюдается медленное затухание, с ростом № затухание возрастает, и при некотором критическом: значении ( Нкр« 0.6) фаза стекла нестабильна (уменьшение корреляционной функции до нуля с ростом времени т).*

2. Впервые обнаружен эффект восстановления (омоложения) в квантовой /7-спиновой модели стекла, в процессе температурного и полевого сдвигов, зависящие от параметров системы и прикладываемых полей; Для отрицательного и положительного Г-сдвигов найдены соответственно сильный эффект восстановления и слабый эффект восстановления. Найдено, что в процессе полевого сдвига; в большом поле старение в системе прекращается.

3. Рассмотрены эффекты восстановления и памяти в одномерной изинговской цепочке в хаотическом поле, посредством изучения температурных сдвигов и циклов. Показано, что в трех различных режимах эффекты омоложения и памяти различаются, но более сильное омоложение и почти полная память наблюдается в случае разделенных времен t и

4. Изучено затухание неравновесной спин-спиновой автокорреляционной функции с использованием динамики Ланжевена для сферической модели спинового стекла Шеррингтона-Киркпатрика в постоянном магнитном поле при нулевой температуре. Показано, что фаза стекла «выживает» в слабых и умеренных полях; в сильном поле зависимость корреляционной функции от двух времен, характеризующих стеклофазу, исчезает. Найдено критическое значение поля , когда старение прекращается.

Благодарности

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю, д. ф.-м. н., профессору Ригине Васильевне Сабуровой за помощь в постанове задачи, организацию теоретических исследований, обсуждение полученных результатов; своим соавторам профессору Г. Бузиелло, ст.преп. Е.В. Газеевой и доценту Г.П. Чугуновой за ценные советы; профессору Л.Ф. Кульяндоло и профессору С. Францу за предоставленный численный алгоритм.

1. Binder К. and Young A.P. Spin glasses: Experimental facts, theoretical concepts, and open questions//Reviews of Modern Physics. — 1986. -Vol.58.-N.4. - P.801-963.

2. Москаленко B.A., Владимир М.И., Кожукарь С.П. Метод самосогласованного поля в теории стекольного состояния спиновых и квадрупольных систем // Под ред. д.ф.-м.н. М.Е. Палистранта. Изд-во «Штиинца», Кишинев. — 1990. — 283с.

3. Mydosh J.A. Spin glasses: an experimental introduction // Taylor. Francis. London, 1993.-430p.

4. Коренблит И.Я., Шендер Е.Ф. Спиновые стекла и неэргодичность // УФН. 1989. - Т.157. - N.2. - С.267-310.

5. Доценко B.C. Физика спин-стекольного состояния//УФН. 1993. -Т.163. —N.6. - С.1-37.

6. Edwards S.F. and Anderson P.W. Theory of spin glasses // J. Phys. F. — 1975. Vol.5. - N.5. - P.965-974.

7. Sherrington D. and Kirkpatrick S. Solvable model of a spin-glass // Phys. Rev. Lett. 1975. - Vol.35. -N.25. - P. 1792-1796.

8. Cugliandolo L.F., Grempel D.R., da Silva Santos C.A. Imaginary-time replica formalism study of a quantum spherical p-spin-glass model // Phys. Rev. B. -2001. Vol.64. — P.014403-1-014403-26.

9. Chakrabarti B.K., Dutta A., Sen P. Quantum Ising phases and transitions in transverse Ising models // Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996 -205p.

10. Kosterlitz J.M., Thouless D.J., Jones R.C. Spherical model of a spin-glass // Phys. Rev. Lett. 1976. - Vol.36. - N.20. - P.1217-1220.

11. Sompolinsky H. and Zippelius A. Dynamic theory of the- spin-glass phase // Phys. Rev. Lett. 1981. - Vol.47. - N.5. - P.359-362.

12. Fisher D.S., Huse D.A. Nonequilibrium dynamics of spin glasses // Phys. Rev. B. 1988. - Vol.38. -N.l. - P.373-385.

13. Kisker J., Santen L., Schreckenberg M. and Rieger H. Off-equilibrium dynamics in finite-dimensional spin-glass models //Phys. Rev. B. 1996. - Vol.53. -N.3. -P.6418-6420.

14. Cugliandolo L.F., Kurchan J. Analitical solution of the'off-equilibrium dynamics, of a long-range spin glass model// Phys. Rev. Lett. 1993. -Vol.71.-P.173-180.

15. Cugliandolo L.F., Kurchan J. One the out-of-equilibrium relaxation of the Sherrington-Kirkpatrik model// J. Phys. A. 1994. - Vol.27. - P.574-621.

16. Bouchaud J.-Phi., Gugliandolo L.F., Kurchan J. and Mezard M. Out of equilibrium dynamics in spin? glasses and" other glassy systems // in "Spin Glasses and Random Fields" ed. by Young A.P. World Scientific, Singapore, 1998.- 161p.

17. Berthier E.,,Bouchaud-J.P. // Phys. Rev: B: 711 —2005; — 2M429:. '

18. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Oxford Science Publication, 1996. 510 p.

19. Schwinger J. Brownian motion of a quantum oscillator // J; Math. Phys. — 1961. — Voli2. — N;3; — P.407-421.

20. Keldysh L.V. Diagram technique for nonequilibrium processes // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1964. - Vol.47. -N.4. - P. 151-165 / Sov. Phys. JETP. -1964. -Vol.20:-P.101-118.

21. Chou K., Su Z., Hao B:, Yu L. Equilibrium and nonequilibrium formalisms made unified// Phys. Rep. 1985. - Vol.118. - N. 1-2,3. -P. 150-168.

22. Martin PiC. and*« Siggia E.D., Rose H.A. Statistical dynamics of classical systems // Phys. Rev. A. 1973. - Vol.81. -N.l. - P.423-437.*

23. Lefloch F., Hammann J., Ocio M., Vincent E. Can aging phenomena discriminate between the droplet model and a, hierarchical description in spin glasses // Europhys. Lett. 1992. - Vol.18. - N.7. - P.647-652.

24. Leggett A.J., Chakravarty S., Dorsey A.T., Matthew P. A. Fisher, A. Garg, W. Zwerger. Dynamics of the dissipative two-state system // Reviews of Modern Physics. 1987. - Vol.59. - N.l'. - P. 1-86.

25. Бузиелло F., Сабурова P.B:, Сушкова В.Г., Чугунова Г.П. Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле // ФТТ. 2004. - Т.46. -N.2. - С.316-325.

26. Cugliandolo L.F., Grempel D.R., Lozano G., Lozza HI and da Silva Santos C.A. Dissipative effects on quantum glassy systems//Phys. Rev. B. — 2002. -Vol.66. N.l. -P.014444-1-014444-20.

27. Fisher D.S., Huse D.A. Equilibrium behaviour of the spin-glass ordered phase // Phys.Rev.B. 1988. - Vol.38. - N.l. - P.386-441.

28. Berthier L., Young A.P. Temperature cycles in the Heisenberg spin glass // cond-mat / 0503012.

29. Berthier L., Bouchaud J.P. Geometrical aspects of aging and rejuvenation in the Ising spin glass : A numerical'study // Phys.Rev.B. 2002. — Vol.66. -054404-1-16.

30. Komori T., Oshino H., Takayama H. Numerical study on aging dynamics in Ising spin-glass models: temperature-change protocols // J.Phys.Soc Jap. Suppl.A. 2000. - Vol.69. - P.228-237.

31. Jimenez S., Martin-Mayor V., Perez-Gaviro S. Rejuvenation and memory in model spin glasses in 3 and 4 dimensions // cond-mat / 0406345.

32. Fukao K., Sakamoto A. Aging phenomena in PMMA thin films — memory and rejuvenation effects // cond-mat / 0410602.

33. Takayama H. and Hukushima K. Field-Shift Aging Protocol on 3D Ising Spin-Glass Model: Dynamical Crossover between the Spin-Glass and Paramagnetic States // J. Phys. Soc. Jap. 2004. - Vol.73. - N.8. - P.2077-2080.

34. Fisher D.S., Le Doussal P., Monthus C. Nonequilibrium dynamics of random field Ising spin chains: Exact results via real space renormalization group // Phys. Rev. E 64. 2001. - P.066107-1-066107-41.

35. Fisher D. Critical behaviour of random transverse field Ising spin chains // Phys. Rev. B 51. 1995. -P.6411-6435.

36. Fisher D.S., Le Doussal P., Monthus C. // cond-mat / 9710270; Phys. Rev. Lett. 80. 1998. - P.353-369.

37. Imry Y., Ma S.K. Random field instability of the ordered state of continuous symmetry // Phys. Rev. Lett. 35. 1979. - P. 1399-1421.

38. Gaviro S.P., Ruiz-Lorenzo J., Taracon A. // cond-mat / 0603266.

39. Nishimori H. Statistical physics of spin glasses and information processing. Oxford Science Publications, 2001. — 740p.

40. Busiello G., Gazeeva E.V., Saburova R.V., Khaibutdinova I.R., Chugunova G.P. // The Physics of Metals and Metallography. — 2006. — Vol.101. P.123-128; 2006. - Vol.102. - P.264-272.

41. Berthier L., Holdworth P.C.W. // Eur. Lett. 58. 2002. - Vol.35. - P.589-612.

42. Jimenez S., Martin-Mayor V., Perez-Gaviro S. II Prog. Theor. Phys. Suppl. 2005. - Vol.157. - P.25-40.

43. Suzuki I.S., Suzuki M. 11 cond-mat / 0603725.

44. Newman C.N., Stein D.S. // cond-mat / 0105282.

45. Jönsson T., Jomson K., Jönsson P., Nordblad P. // cond-mat / 9809021.

46. Krzakala F. et al. // cond-mat / 0107366. Phis. Rev. Lett. 87. 2001. -P. 197204-01-197204-26.

47. Berthier L., Cugliandolo L.F., Iguain J.L. // Phis. Rev. E. 63. 2001. -P.051302-01-051302-15.

48. Binder K., Kob W. Glassy materials and disordered solids // World Scientific Publishing, 2005. 650p.