Необратимые явления и неэргодичность спиновых и структурных стекол тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ИМ.Б.П.КОНСТАНТИНОВА

На правах рукописи

ГИНЗБУРГ Саул Лейбович

УДК 537.61: 639.21.2

НЕОБРАТИМЫЕ ЯВЛЕНИЯ И НЕЭРГОДИЧНОСТЬ СПИНОВЫХ И СТРУКТУРНЫХ СТЕКОЛ

(01.04.02 - теоретическая физика)

' АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени докера физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена в Петербургском институте ядерной физики . им.Б.П.Консгантинова РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Е.И.ГОЯОВЕНЧИЦ;

доктор физико-математических наук, профессор В.Л.ГУРЕВИЧ;

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.ПОПОВ.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный технический университет.

Защита диссертации состоится _" / О1992 г. в

^^Дасов на заседании специализированного совета Д 002.71.01 по присуждению ученых степеней . в Петербургском институте ядерной физики им.Б.П.Константинова РАН по адресу : 188350, г.Гатчина, Ленинградская область.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПМЯФ РАН.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор фкз.-мат.наук А.К.Москалей

РОСС'-'^С^АЯ

ГОСУ, .,■••;

ЗВЕЛЕНИЕ

Актуальность теми. В последние годы физика твердого тела все

большее внимание уделяет изучению сильно неупорядоченных или аморфных систем. Это связано с двумя фактами. Во-первых, физика упорядоченных систем в настоящее'время понята достаточно хорошо, а во-вторых,: в последнее время резко увеличилось производство и использование различных аморфных систем в прикладных целях.- При этом, естественно. потребовалось хорошее понимание основных физических процессов, лежащих в основе новых явлений, присущих сильно неупорядоченным системам. Эти физические процессы, как правило, довольно сложны и весьма разнообразны. Поэтому естественно попытаться выделить и детально изучить такие системы, в которых то или иное явление существует практически в чистом виде. Одно из таких явлений - наличие в системе конкурирующих взаимодействий. В неупорядоченных системах подооная ситуация наолюдаетгя довольно часто-. Конкурирующие взаимодействия имеют самое разное происхождение и встречаются в репличных системах. В результате возникают такие системы, как спиноеыо, структурные, сверхпроводящие стекла и т.д. идно из основных свойств систем с конкурирующими взаимодействиями - существование большого класса неооратишх явления, которые отражают в эксперименте неэргодичность этих систем.

В настоящее время эти явления лучше всего изучены в спиновых и структурных стеклах, иднако совершенно ясно, что присущи они не только спиновым и структурным стеклам с конкурирующими взаимодействиями. Уже получены первые данные о несораткмых явлениях в дипольных, сверхпроводящих стеклах и в других системах с конкурирующими взаимодействиями. Поэтому физика необратимых процессов и не эргодичность б спиновых и структурных стеклах не является чем-то изолированным и единичным, а представляет собой лишь часть довольно широкого класса аналогичных явлений. Физика

спиновых и структурных стекол служит проооразом физики всех других систем аналогичного типа. Уаметим, что теоретические идеи, лежащие, в основе концепции неэргодичности спиновых и структурных стекол, в настоящее время нашли широкое применение в таких, казалось оы, далеких от физики твердого тела ооластя;., как задачи оптимизации, устройство нейронных сетей и другие. В указанной смысле эти вдби оказались весьма 'плодотворными.

Б настоящей работе развита теория, позволяющая описывать статические и динамические свойства спиновых и структурных стекол в ооласти неэргодичности. Выяснена их связь с оольшг" классом наооратишх явлений - долговременной релаксацией, явлениями старения и памяти, неравновесностыо и т.д. В рамках построенной теории производится описание этих явленна. Большое внимание уделено очень важному вопросу - ультраметрической топологии пространства долин и ее связи с долговременной логарифмической релаксацией.

Решению этих "задач и посвлшены рао:ты автора, явившиеся основой настоящей диссертации. •

иснс'.ные направления исследования. Результаты настоящего исследования получены с помощью введения концепции

ультраметрической структуры пространства долин в теорию молекулярного пол.1 в ста.ическоя теории и изучения долговременного логарифмического поведения корреляторов в яшамической теории.

¿.ак известно, при построении теории молекулярного поля, возникает неустойчивость. Эта неустойчивость явд::тся сигналом о появлении ¿еэргодичности в системе. Не эргодичность в свою очередь является с эдствием многодолинности пространства состояния, оказывается, что для устранения неустойчивости, необходимо ввести I статической то: ¿ии пространство дс.гш с ультраметрической топологией. В динамической теории этому соответствует долговременное логэрксмиче'чоэ поведение корреляторов с опте;:»«иным пэед-.-; (.ным переходом.

Далее, в статическом случае оили построены все многодолиншэ функции распределения, то есть получен плшя вероятностшя функционал.

соответственно, в динамической теории -или построен!, все разновременные функции распределения в равновесном случае, а также изучена долговременная релаксация этих фуг.сцил в неравновесном случае. В классических системах при этом использовалась ланжовеновская динамика, а в квантовых - техника Келдыша.

Таким ооразом, оказалось возмоааш.« построить с единой точки зрения к а;; статкчбскую, так и динамическую теорию классических и квантовых спиновых и структурных стекол в ооласти неэргодичности.

Научная ценность и новизна. оригинальные результаты,

представленные в диссертации, опуоликованы в работах [1-6] и ь монографии 17]. Они могут оыгь кратко сформулированы следующим образом:

- построена статическая теория' молекулярного поля сгаиовых стекол с учетом ультраметрической структуры пространства долин:

- вычислены шюгодолинше функции распределения молекулярных полей;

- на основе ланжевеновскоя динамики построена динамическая теория молекулярного поля спиновых стекол;

- получено решете этих уравнения, отражайте- неэргодичность' спиновых стекол;

- описаны неравновесные явления, учитывающие не эргодичность:

показано, что релаксационные явления описываются логарифмическими решениями;

- показано, что временное пространство с логарифмической метрикой имеет ульт?аг.:.-тричвскую топологию:

- построена статическая кЕантавая теория молекулярного поля структуркл и спинсеых стекол с учетом неэргодичности;

- построена динамическая квантовая теория молекулярного пола

структурных и спиновых стекол;

- изучена долговременная релаксация, функция распределения структурных стекол в квантовом случае.

Апробация работы. Диссертация содержит результаты 7 работ,

включая монографию. Работы докладывались на теоретических семинарах ЛИЯФ РАН, ФГИ РАН, ИТФ РАН, ИФП РАН, Ф1ЛРАН, на одесских симпозиумах по теоретической физике, Всесоюзной конференции по избранным вопросам твердого тела памяти и.М-Яифшица (Звенигород, 1984), 18 Всесоюзной конференции по физике магнитных явления (Калинин, 198а); 23, 24 и 25 Всесоюзных совещаниях по физика низких температур (Таллинн, 1984;. Тбилиси, 1986; Ленинград, 1988), Международной конференции по физике переходных металлов (Киев, 1989), 5' Международной школе по нейтронной физике (Алушта, ;93й). Международном симпозиуме по проблемам взаимодействия »¡ионов и пионов с веществом (Дубна, 1987).

основные результаты вошли в монографию автора (V1.

исноЕные результаты настоящей длссергадаи получены в

Петербургском институте ядерной физики им.Б.Л.Константинова РАН.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

1. Уравнение молекулярного поля в статическом случае

Гамильтониан'спинового стекла имеет вид:

-а - " £ 111 '

Предположим, что обменные интегралы л являются случайными есличкнзгдт, причем каждый из них статистически независим от всех остальных. Пусть «1,к подчиняются гауссову распределению с нулевым сродним, то есть

Со — 0; ^ —

Как известно, в неупорядоченных системах используют метод реплик '.8). Если ц-.г» = 1...П - реплики, то эффективный гамильтониан

имеет вид:

Н= I2 г.

£ к V - £ Р( V " I ехр {I ^А8*} •

3,, Н1У >

>

После совершения всех вычисления необходимо произвести предельный

переход п и. В (3) появилась новая переменная - пареметр

порядка в пространстве реплик о^,. Уравнение молекулярного поля

для а,„ имеет вид:

^ - 21

Б,, VI' '

2*0

V = 1г V1 V3 <3Ц3г'> = -:—гг--- !4)

I еХР1Е V

2. Уравнение молекулярного поля' с учетом предположения оо

ультраметрической структуре пространства долин

Основой статической теории неэргодичности спиновых стеюл является понятие о пространстве долин с ультраметрической топологией. Прежде всего необходимо ввести понятие многодалхпшости в теорию. Предположим, что у нас имеется М долин, обозначим их индексом а

а = 1,2 ... М; М * » .

Тогда гамильтониан вместо (1) примет вид:

н - - Е ¿иРиРьа - I 11 • (1а>

1а

где П - внешнее магнитное поле. Вместо (4) мы получим

на

Рю^) = ехр

{-Л £ Ч^ай 5ма + I X =

цг'ао ца '

(й)

Г1"

А (ИШП

•■а

а- +р„„ з,,„ а,к Л.,,1 + ¡р

- «Р* — [Чой ^о +рао V» ^ V1 + Г Ь V

рл'цо цс

%1ЛЯ = Р«Й + Чао 'Яа- н 1'

Предположим теперь, что пространство долин представляет собой некоторую иерархическую структуру, которую удооно изображать в виде генеалогического дерева. Для девяти долин оно изображено на рисунке 1.

оо 01 ог 10 -11 \г го

2К 22 С\г

иерархия определяется тем, что между разными долинами разная высота барьера (как на рис .а >. Очевидно, высота оарьера

00 01' 02 ЛО Ц \1 20 2< 22

Рис.2.

определяет и Бремя перехода мезду долинами. Будем считать это время экспоненциально большим. В этом случае для нашей иерархической структуры должны существовать два экспоненциально больших времени

а. си

т^е1; 1г,'ее; ¡^,^.»1;. си >> о,. (6)

Удесь т, - время установления , равновесия внутри групп долин (между долинами 00 и 02 или между 11 и 12, а т2 - время установления равновесия между группами долин. Таким ооразом, получается иерархия времен релаксации.

Ясно, что развитие такой иерархической'картины долин приведет к существованию иерархически устроенного набора Бремен релаксации, сказывается, что в спиновых стеклах имеется бесконечно мерное пространство дочин, устроенное иерархически и, соответственно, бесконечное число времен релаксации.

Прекде чем обсуждать устройство долин в спиновых стеклах, сосудпм иерархическое устройство пространства долин воосио.

Иерархическая структура этого пространства • называется ультраметрической, а само пространство - ультраметрическим. Долины ■ отличаются друг от . друга реализациями локальных замороженных намагниченностей

Наличие 'различных означает существование в системе Еырождэния. Индекс а нумерует долины. . Таких реализаций (долин) Оесконечцо шого.

Введем понятие расстояния в ультраметрическом пространстве. Для этого воспользуемся нашим рисунком с деревом на стр. в . Из этого рисунка видно, что соответствующее ультраметрическому пространству иерархическое дерево имеет три ветви и зетвится оно два раза. Будем говорить, что дерево имеет Еетвистость 3 и к уровней иерархии. В нашем случае

3=3; к = 2 (8)

элемента™ ультраметрического пространства являются все отростки дерева, их число равно

И = . (9)

Долины удооно нумеровать индексами:

а^,аг ... а^; 0 < аа < 3-1; 1 г 1 £ к . <Ю)

В нашем примере.

а,, а2; О * а., <- 2; О й аг * 2 . (Юа)

По сути дела, мы нумеруем долины в з'-ричной системе исчисления ¿с числами.

Теперь определим расстояние между двумя долинами Е ультраметрическом пространстве (ультраметрическое расстояние), Онэ определяется как расстояние до общего предка. Так, в нашем примере это р&^стояние г прлимает только три значения: 0,1, 2, причем г = 0 есть расстояние от какой-ниоудь долины до кез самой. В сбаем случае

г = С, 1, г ... 1С .

Рассмотрим примеры разных расстояний на нашем рисунке. Расстояние между долинами СО и 02 раЕно единице, з расстояние между долинами 01 и 20 равно двум. Из этих примеров сразу видно, насколько удобна принятая нумерация долин. Рассмотрим две долины в ультраметричоском пространстве

• а,. аг ... а^ 6,. Ьг ... Ьк .

Если все а1 = то расстояние между этими доллиаш равно нулю. Если а, =0, ... ак_1 = й , но о^ * йк, то расстояние между долинами равно единице независимо от конкретных значения ак и ьк. Вообще, если а, « й,. а2 = Ь2, а^,, = й^, но а^, * Ьк.1+1> то расстояние между этими долинами равно 1.' Таким ооразом, вводится понятие расстояния между долинами.

Теперь можно сформулировать важнейшее свойство ультраметрического пространства - правило треугольников. В ультраметричоском пространстве Оывают лишь равносторонние и равнобедренные треугольники. Например, в нашем примере долины 00, 10 и 11 образуют равнобедренный треугольник, а долины Ю, 11 и 12 или 01, 11 и 22 - равносторонние. Других треугольников в ультраметрическом пространстве не бывает и это его ч сноЕк е свойство.

Введем теперь физическую величину, характеризующую расстояние между долинами. Определим перекрытие двух долин а = (а, ... а^, й = (Ь, ... Ьк):

1 ! ,

где N - число узлов в системе. Очевидно, зависит только от ультраметрического расстояния г^ между долинами, удобно положить

тогда видно, что пробегает к+. значение

□3, д, ... а.к. (13)

Как видно из (12), расстоя:шю г = 0. соответствует q и т.д.

- 12 -

Перекрытие q0 соответствует всем долинам с общим предком в самом

Чао-

Чай

(14)

10

начале дерева и. т.д. Выпишем явный вид матрицы соответствующей нашим девяти долинам;

"г Ч1 <4 чо "о «о Л> чо чо

Ч V

чо '»о чг Ч1 Ч Ч ч V чг

Ч1 Ч1 «г

Видно, что матрица ^ имеет очень четкую блочную структуру в ультраметрическом пространстве.

Вернемся теперь к вопросу о структуре ультраметрического пространства в спиновых стеклах. Как показал автор диссертации СМ, в спиновых стеклах

3 = И , к = 00 . ' Пб)

Это означает, что имеется бесконечное число параметров^:

ао, ч, ... . к >.оо'. ■ 416)

Если положить

х = 1/к , (17;

то увидим, что при к * ю переменная ус становится непрерывной а меняется на интервале 10,11. Это означает, что набор параметров q1 переходит в функцию ясх). Таким образом, перекрытие долин в. спиновых стеклах характеризуется одной переменной' а(Х). Другое введение непрерывной переменной связано с. возможностью отображения ультраметрического - пространства на обычкоо одномерное.

Будем обозначать долины числами г„, менявшимися . на интервале [-¡¿/2,16'21. При М <» получим интервал [-«.со]. Положим,

г0 - -(М/2) + с^З*'1 + с^З*-2 + ... + о^ (18)

где М, а, 1 определяются формулами (9) и (Ю). Определим теперь

расстояние между долинами а и Ь при помоши логарифмической переменной,г:

' г(г0-г(,) = а 1п(га-г6), а * Ь,

а *■ 0. 2 1 . (19)

Вторая строка в (19) соответствует предельному переходу, который необходим произвести, чтобы г(га-г&) определялось только расстоянием между долинами г^. Правило треугольника для ультраметрического пространства следует из того факта,. что при выполнении условий предельного перехода (24) имеем:

игл-ть) * тах(г(га-г&), г(Гь-гс)> . (20)

Таковы основные представления оо ультраметрической структуре пространства долин в спиновом стекле. Вернемся теперь к уравнению молекулярного поля (5). Из вышесказанного ясно, что пространство долин а можно пронумеровать при помощи бесконечного числа параметров а1.

ао, о,.. .о^, к » со ; 0 < о2 < 3-1, 3 * ю ; (21) тогда можно показать, что Ро^) имеет следующий вид:

V ' сш'®' Г (ЬСо) )г

' 1 Г

/ЯГГ' I 8

о 'о

1 г Г '

* П ехр -р,-

/8x1 (-а'/о )' 1

О О * О

П 1 а J

сш,

г1 1

о уйх

ехр

К;?

« Ь 1 /

(1)

о У 8х1о(-Л'/р1)

-Р,

I

ал,

'3.... а.

1с-1

во"'ак-1 /8x1 а;

и а1с

ехр

з I о; о -к

1

с!«,1

.'к)

цал. ..а.

_ V к - к

ехр

-Д

, с ,2

8 i.(—дл!

и ¿с

= Ь + 1г''0) .+ п!1' + ••• +

«с— 1

с (о) , (1 ) с(к)

■к-1

^из.

- л . V

-1

122)

Уравнения ю) и (22) с учетом предельных переходов 117),ИЗ), (21 ). п дают замкнутую систему уравнения молекулярного поля для сесконечного числа параметров и Если ввести непрерывны" параметр х из (17), то можно ввести две функции ч(х) д<Х) по

формулам:

ач^х^ ади=хх)

сЬс —аЗГ—'23>

Функция ч(х) совпадает с функцией паризи 19], а д(х) - с

функцией, введенной иомполинским ПО]. Можно показать, что д(х)

является коррелятором двух долин, определяемый по формуле с п) или '

Ъ = <<81я>т<8и»>т>с • 124 >

где <...>т означает среднее по температура, •;...>с - по конфигурации, а х связано с ультраметрическим расстоянием г^

между долинами а и о по формуле юм.ОУ)):

■ ' '

хао = '

ш а 1п гао ; ' а - 0; \2од .

У. Многодолинные функции распределения молекулярных по. эй

В работе автора вычислен полный' вероятностный функционал для миогодолинных молекулярных полей. Мы не оудем выписывать его, а ограничимся примерами функций распределения от двух и четырех-долинных полей. Функция распределения молекулярных полей, в двух долинах, находящиеся на ультраметрическом расстоянии г^ ¿13 (1С) имеет вид:

к функция распределения молекулярных полей п3,п0,пс и па в четырех долинах а,о,с,й, изображенных на рис.3

Рис.3.

имеет еид:

' = /йй1айгайз *

^ Р121,1г1,е2,Ь2) Р(21,Л1,а3,п3) х

X Р(г3,113.0,Ьс) Рсг3,ь3,о,пй)

ке ри.п.г/ ,п') и Г(2,К) удовлетворяют уравнениям:

2

ар л а р 1 ар л

" аг = 4 М^1 -5 - * л'.(а)щв.ь) т } ;

ар 55

аи' а2Р

л а^Р 1 о И Ь с!* (а) —^ + я л'(й>

оЬ2 1 °п >

: ь*

(27 )

\си )

точно так г:е мо&нэ ашсдоть>лвоу» мнагодолишю'

- 17 -

распредолешш молекулярных полей.

4. Динамическая теория молекулярного пЬля

В динамической теории, в отличие от статической, усреднять по конфигурациям можно непосредственно производящий функционал. Ми используем так называемую "мягкую" модель сшшоеого стекла и ланжевеновскую динамику. Эффективный лагранжиан ' удооно представить в суперсимметричных переменных:

' ' » . г Г

1 = ~ Ш Х«10 ¿0 сЦ ¿е 2 Ф1(0,г)|Р(е,£)——— +

+ + | /си /<19*с10Н(Ф) ; (29)

Щт) = ¿ц^А + ^ ;

Хк 1

и (га) = шг/2Ь -ь ишд/8 ;

= ш1(г) + £в*т)1(г) + т1*(Х)е1 - в'еср^ъ) ;

р<е,£) = -(в* - б*но + О ,

где И и в* - суперсимметричные координаты, т), и т)* - грассмановы переменные, <р± - дополнительная переменная, Т - температура, Г"', - характерное время столкновений. Усреднение (29) по .11к даст член

- -¡4 /агаг /сш*сшси*(3е*с1е х

1к

Теория молекулярного поля получается при расцеплении

Y. iik<i>i(e't)®i^.t,)®k(e't)®k(f,i;,) * lk

* 2IoG(e,£ft-f) ;

G(e,e,t-f)' = <®(0,t)®(i,t')> . (30a).

Легко показать, что G(6,t,t) предстовима в виде

C<e,e,t) = G0(t)E(9,£) + G1(t)P(e.Ç) + D(t)A(9,Ç); (31 )

E(6.Ê) = -(в*-{*)(е-{); • ЛС0.С) «-1 .

Оказывается, что D(t) - это коррелятор спинов, a G±(t) = 0Q(t) ± Gч Ct) - опережающая и запаздаващая функции Грина. Таким ооразом, уравнения молекулярного поля дают систему уравнения для коррелятора и функция Грина.

Во втором порядке теории возмущений по U получим для (^(Ш) и ЕСо» : ;

G"1 - S± + (4Io/T2)G± = .0 ;

D = -BG+G_£1 - (4îo/r2)G+GJ_1 ; S± = (1 /Т) (1/6 ± 1ш/Г) - ^j. » В = -2/ГТ - cr . 3u 9u2 <4 «4s

3U2

cr(ù» = —Г Г-- D(ûbCi).-vP) DWt)D{u ).

21 (2it) ...

g = G±(0> = 0) . (32)

5. Динамическая теория с учетом неэргодичности

Рассмотрим теперь уравнения для неэргодичэской фазы спинового стекла.

Как мы уже говорили, иерархическая структура долин 'должна шести к иерархической структуре времен релаксации. 1 ассмотрим подробнее физический смысл иерархии Бремен релаксации. Для этого вернемся к рисунку на стр.8 . Пусть Г1 -обратное время релаксации, которое характеризует установление полного термодинамического равновесия между долинами нижнего уровня иерархии, например, между долинами 00, 01 и 02 или 10, 11, 12 и т.д. Далее, пусть Г0 - обратное время релаксации, которое характеризует установление полного термодинамического равновесия уже не мевду долинами, а между группами долин, образующих следующий уровень иерархии. Поскольку рисунок на стр. 8 соответствует лишь двум уровням иерархии, времен релаксации токе всего два.

В спиновых стеклах бесконечно много уровней иерархии и, соответственно, бесконечно много величин Гх, при этом низшему уровню йерархии соответствует Гк (к *• ю), а верхнему - Го. Положил

Гх = х-1 ехр {- < 1 -1) дг/а> ;

Гк = х-1 ехр(-ла/а> ,

где.т - парамагнитное время релаксации. В неп получим:

Гг - Г(2) = 1/1 е'г/а ;

О < г < а » 0 .

. Ксррэлятор спшов раЕвн:

о. г (У)

При а » 0 1)(и>) является сингулярной функцией, равна

(33)

рернвном пределе

(24) (35)

Восприимчивость

° Г(у)

G_Ui>) = -1 | dy Л* (У)^Щу) • (36)

со

При а * 0 имеем из (35} и (36)

1ИХ

D(u) » - щ q'(yj . (37)

1Ш

о_(ш) '= дш + 1 -г л* (у) ;

а

D(t) = q(z),0(t) = i Д• (z)v(t> ; ' (38)

у » - а ln(|w|t) ; z = а ln(|t|/t) .

Для того, чтобы написать динамические уравнения молекулярного поля в области неэргодичцости надо сумму регулярных частей °±reS^'H сложить с сингулярными выражениями (38) и

подставить в уравнения (32). Тогда получим для qty) и Л(у):

Vro 9U2 2 1

' + ts + = 1 :

e * °±гвв(® * • (39)

Уравнение (39) связывает долговременной коррелятор q(y) и сингулярную росприимчивость д(у). Очень важно отметить, что (39) противоречит флуктуационно-дассипативной теореме (ФДТ), которая в переменных (38) имеет вид:

¿'(У) = -Я'(У) . (40)

Заметим, что логарифмические переменные z и у удовлетворяют условиям, аналогичным (19) и (20), то есть, если

z(t - t') = а Int ;

а *• 0; z 'v 1 , (41)

то

s(ti - t3) $ шах i'z(t1 - t2), z(t2 - t3)>. (42)

6. Неравновесные явлэцвд в спиновых стеклах .

Введенные в предыдущем разделе величины описывают поведение системы в масиааэ астрономически больших времен:

ôxap s 'c e1/a : <«>

H апример, релаксация намагниченности система при включении магнитного поля h определяется формулой

M(t) = h \{z) . (44)

Зычно эксперимент ставится в узком интервале времен вокруг некоторого характерного времени t ', тогда, разлагая (44),получим

M(t) = htg + A(z ) + а Д'(а ) ln(t/t )] (45)

^ о о о

zQ = а ln (tQ/x) .

ИЗ (43) видно, что

"его = 8 + Mz0): в-аА'(в0). (46)

где ae_Fo - восприимчивость система, охлажденной в нулевом поле, а з - коэффициент магнитной вязкости. При измерении динамической восприимчивости получим:

G(U) = g + д(уо) - а Л*(У)(1Ш0)/шо) - 1 (тс/2) 1 ; (47)

yo = -а liuuot),

то есть' - ооычную наолвдаемую на эксперимента (11) картину. Из наших формул также следует наличие 1/Î - шума в спиновых стеклах:

на

D(ct>) ----ч'(у„) ; (48)

■ |М| °

q'(У0) < □ •

Рассмотрим теперь другой класс неравновесных явлений.

Рассмотрим, например, задачу о релаксации динамической восприимчивости. Можно показать, что она равна

* 2 tt)<g + Л(у(Ш)))2;

' * 3U _ .

2 (tJ s 2Î ho * àlz{X)))z . <49)

Рассмотрим теперь другую задачу с временем ожидания. Пусть мы в момент времени tQ включили поле hQ, а в момент времени t, > гй -поле п, и изучаем члеа Ш " h* h,. Тогда имеем:

«.р

\

v<v[g + д(а3)]2, zw > 2s

Kza)Cg + Ш3)1г. 2S > zw . zw я Slt1 ~ V

z3 = B(t - tt) (50)

и i(z) определена . в (48). В эксперименте ' изучается логарифмическая производная

^tot-Vj а ]*

х I*(2tnt)ig + A(ZS)J| . (51)

едМ/aZg = h, |гд'(г8)Св + Mzg)l E(ztat) + exp

UZg)jj .

' _ fs • as > 2W ' tot - \ZW . Zw > Za .

Выражение (51) дает волну, движущуюся вперед при увеличении что качественно соответствует эксперименту £123.

7. Статическая квантовая теория сщшовых и структурных стекол

До сих пор ш обсуздали только спиновые стекла, : которые возникают в магнетиках со • случайным конкурирующим взаимодействием. Однако имеется большой класс сегнетоэлектриков с конкурирующим взаимодействием (133. В этих системах ввозникают структурные стекла. В структурных стеклах наблюдается весь тот ке класс необратимых явлений, о которых мы . говорим в спиновых стеклах. Это означает, что эти системы тоже неэргодичнц. Однако перенести просто теорию неэргодичности спиновых стекол на структурные нельзя.' Это связано с тем, что,: в отличие ог спиновых стекол, в структурных стеклах нельзя пренебрегать квантовыми явлениями, поскольку в них квантовые частоты порядка температуры и квантовый параметр порядка единицы. При этом параметр порядка Паризи ЧШ -должен зависеть еще и от мацубаровского времени 1, то есть он должен быть функцией Я(х,т). В такой ситуации возникает необходимость распространения

стандартной теории неэргодичности спиноецх стекся нь структурныо стекла в условиях сильно развитой неэргодичности. Именно эту задачу и решил автор в работах (4,5). В настоящем разделе мы рассмотрим статический случай, а в следующем раздело тшемкческии.

Вывод основных уравнений для структурных стекал, аналогичный выводу в разделах 1 м 2 для спиновых стекол, показывает, что на первый взгляд действительно должна возникнуть зависимость чсх.т) от т. Если оы решение действительно обладало этим свойстг м, то обычные интегралы пришлось бы заменить на континуальные и теория стала оы совершенно неконструктивной. Однако оказывается, что уравнения молекулярного поля для' ч(х,т) имеют решение, но зависящее от т. Б результате можно построить вполно конструктивную теорию, полностью аналогичную теории классических спиновых стекол. Кеэнтовость при этом существенна в двух местах: во-первых, 'граничные условия к уравнениям сильно зависят от квантовых ' флуктуация и, Ео-вторых, Енутридолшная восприимчивость полностью определяется квантовыми эффектами. Однако важно отметить, что эта величша не является параметром порядка и существует также .и в • парафазе. Величины, ■ характеризующие непосредственно неэргодичность, чувствуют квантовые флуктуации только через граничные условия к уравнениям.

В теории структурных переходов обычно различают два случая: переходы типа смешения и переходы типа порядок-беспорядок. Для структурного стекла первого типа гамильтониан имеет вид:

гМы? х? Р?

(52)

Н = X А1АХ* + I Г

Гх 1 и

Г ° г 1 I— х, + + —

8 2М

где х, - смещения, Р, - импульсы, М - масса ис.ча, ы -характерная частота, д1к - гауссова случайная величина с нулевым средню/.. Обозначив х1=я1а; Р^г^а , получим

н = X "Т1кпА * Г и(^'г1>:

'Л: 1

т2 тл Чг2

Ч(т,г) = 25 + -5- + 0-2—.; . \1 = Ал4; О"1 = Мс^о2"; - а^о2? , <«*цс> в ^

= 11к • (53)

В классическом.пределе ыо «- О (53) переходит в (29). '

Для стекла типа порядок-беспорядок используется модель Изинга в поперечном поле:

1к' 1 В эргодической области имеем уравнения молекулярного поля для

вр(р[п^(т1 )т1>(т2)е ° ) Vvl?11•г, = ар£Рехр(-но/Т)) ~ •

Н0 1/т _

-тр - -210 X / ^ ч^х.,) уунух.,) +

О ЦУ '

1/Х '

+ / <1т £ ИПухКг (-О) . (55)

о ц

Оказывается, что (65) имеет очень простое решение

Чцу^г' = V + ~хг\ V ' V (56)

то есть неднагональше матричные элементы не зависят от %г'и х2 . Физически это означает, что флуктуации замороженных молекулярных полей не испытывают квантовых флуктуация. Тогда из (55) к (56). получим следующие простые уравнения. .

^ "Я" Г _ е - М2Ш);

-и/т spPime ° ]

M(h) » -Ж5Г-

spPe °

h2

dh ~вх a

W = <* + ^W a J ____:

8*Iq

-H /Т

3pp[m(t1)mn2)e ° ]

' : -H /т •

spPié ° i

H 1/T 1/T

■ о

nj = -h f dt met) - 2IQ J" f d^dtg DK,-*,,) x о

1/T

x m(t1)m(T2) + f üx (J(m,r) . (57)

О

В области неэргодичности ситуация полностью сохраняется. Необходимо снова ввести понятие пространства долин с ультраметрической топологией. Тогда для q^lvai)(T1 ,t2) получим

fyrt^i'V У %t> V + + D<W Vnv\ <58>

vя'1 '

Опять q^ перейдет в q(X), р^ - в Д(х), a для D(x) получим норое урзвнение. .

Выпишем, например, уравнение для P(z,h):

dF(z,h) (1 a2P(z,h) 1 а

az "

. dK(z,h). п ä2M(z,h) 1 . dX(z,h)

dz

(1 acF(z,h) 1 8 1

j_ q. (z) --— + _ ¿.(ZJ _ [f(s,h)M(2,h) )} -

3ii 2 ati J

n d3U(Z,h) 1 ' . eiiiz.h) ! - Î Ij- q'iz; -5---V<2)M(z.h) - l

ah2 ir eh I,

- Z6 -

11(0,h) = M (h). (59)

Mu видим, что квантовыэ флуктуации входят только через M(h).

В теории возмущений по и можно получить явные уравнения для A(z) и q(s).

1

AU) + Td = ..............■ ■■ ■ ; (60)

/ (41о/Тг)+(9иг/2Тг)аг(s)

d = Б(шп=0) 1 1 '^U

щгп мпгп "4IoDUV -

поп J

3u

jo(ft,n, . тг £ D(Wb, D(0>i) d^-G^) *

9иг с-.

+ -J- qr • 161 >

m

Уравнения (6î) уже достаточно просты.

Аналогичные результаты получаются и для стокол типа порядок-беспорядок.

8. Динамическая квантовая теория спиновых

и структурных стекол

Следующим очень важным вопросом является вопрос о построении общей теории нелинейных неравновесных процессов в кваатошх стеклах, структурных и спиновых. Кроме тех проблем, которые рассматривались в шестом разделе, здесь возникают ряд совершенно новых задач, связанных именно с квантовым характером задачи, в частности,' вопрос о долговременной релаксации кьантоаых спектров, о релаксации трехчастичшх корреляция в гейзенберговском ферромагнетике и ряд других.

В осыпкой квантовой статфизике, если имеется' статическая теория какого-то явления, то теория неравновесных явлошШ, в том число и нелинейных, строится путем анадлтичоского продолжения с

мацусаровских частот на вещественные. Оказывается, однако, что тати оорззж можно найти в нашем случае лишь Енутридолинше восприимчивости I! коррэляторы, которые СВЯЗЭНЫ С И(Шп) из предыдущего раздела. Мекдолинныэ перехода при аналитическом продолжении просто не возникают.

Связано, это. конечно, с неэргодичностью наших систем. Теорема оО аналитическом продолжении выведена для эргодических систем и не может выполняться для неэргодических. Физически это связано с тем, что при построении статической теории было сделано геяьное предположение, что при х = -м имеется уже установившееся распределение Гио,'са. С другой стороны, несколько лет тому назад обсуждался вопрос о роли начальных условий в физике спияоеых стекол (141. Было показано, что начальные условия играют опредечякщую роль в этих системах. Оказывается, если предположить, что при х = -со имеется распределение Гиббса, то возникает лишь внутридолинная динамика и ничего больше. Этот факт являе-ся классическим аналогом нашего утверждения в квантовом случае. Однако, если не делать этого предположения, то видно, что получается какое-то совершенно другое решение. Аеторн этих работ не смогли выяснить ни вида этого решения, ни его физического смысла. Однако из' их результатов ясно, что для изучения как стационарного динамического решения с междолшной дшамигая, так и для изучения нестационарных явлений нельзя исходить из гибОсовского начального состояния, а надо орать в качестве нулевого состояния при г - -со какое-то другое.

Эта задача была решена автором в работе С5). В дальнейшем ми будем пользоваться техникой Келдыша. При этом можно ■ случайное обменное ЕЕзанмодействие, котором и формирует пространство долин с ультргметрической топологией, отнести к нулевому гамильтониану или к Езаимодейстзию. Мозяо показать,что в перЕом случае так. :ко, .чэк и в статическом случае,необходимо использовать метод рзплик, л в результате ш получим аналитическое продолжение решения, полученного б предыдущем раздело. Этого и следовало ожидать, если учесть, чгс при г = -а> кы залокили распределение Гиоос^. Во втором с луч >18 оказывается, что никаких реплик использовать не надо, но гаю деосходикс предположить, что суейстгуит 'долго громе инея логарифмическая динамика, а незрго.йичлость

связана о нарушением ФДТ.

Очень интересен вопрос, каким образом можно обойтись в этом случае оез метода реплик. Оказывается, что в технике Келдыша тлеется совершенно оОший механизм, приводящий к обращению в нуль вакуумных петель. Именно этот механизм и заменяет метод реплик.

В работе рассмотрены три системы: структурные стекла типа смещения, типа порядок-беспорядок и модель Гейзеноерга. Соответственно имеем три гамильтониана:

Н1 - - +

ю2 ит1 Ч1*2 иоп.г) = ¡55 + -др + —;

нг - - I V si sk " Л I si =

lie 1

lk i <JL> - ^ •

В качестве нулевого гамильтониана ми выберем вторые члены в Н2 .и Н3 и квадратичный член в Н,.

Как известно, в технике Келдыиа имеются два контура, верхний (+) и никний (-). Матрица рассеяния равна

S = Т ехр J dt > vn(t)

и s dt ^

-а> а

Va(t) з V(m(ta)) , (63)

f i. a=+ v" ,

. «Vaa " .-I, a=- X (cVaa = 0 • 1 a

Именно оуш*а no a и приводит в этой технике к обращению в нуль

знаменателя. Полагая

Dap(t-t') = Krin^ttjmpCfiS),

D++ = -iD + 1/2(GH+GA); i)__ = -ID - 1/2<GR+GA); = -ID - t/2(GR-GA);

D_+ = -iD + 1/2(GR-GA). (64)

Легко показать, что D - это обычный коррелятор, a GR и СА -запаздывающая и опережающая функции Грина. В области неэргодичности положим:

D(t) = Do(t) t q(z); (65)

в в а

G«(t) = G"(t> - û' (E)v(t);

z = a ln— ; а «- 0, z v 1 ;

q(z) и t(z) аналогичны величинам, введенным в пятом разделе, а Do и G* описывают квантовые и временные флуктуации при t -v % " 1/Т.

Легко показать, что система уравнений для равновесных величин аналогична уравнениям предыдущих разделов, причем замыкает систему новое уравнение:

D^J(t> = f dhF1 (h) D^Ui.t); ' (66)

= -l<Tnia(t)ma(0)So(h!> ;

a F,il) определяется уравнениями предыдущих разделов.

Випетем теперь выражэние для неравновесной части F1 (h). Пусть мы имеем стационарный процесс и в какой-то момент времени to включено магнитное поло произвольной величины 1г. Оказывается, что !.'.с:шо вычислить полную, нелинейную по h добавку к Р, (h.). un а дмео? вид:

' ¿F, (z.ii) = f dJyFîïï.Oj) Pta.hgfh.o.h,); ¡67)

а = а1п[(г-х )/а] , о

где Р(г,11) и Р(г1 .г^,!^) удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям пятого раздела, но модифицированным с учетом квантовости. Заметим, что ДР1 зависит от времени через г, поскольку это неравновесная поправка (равновесная Р от времени не зависит). В заключение выпишем выражение для трехчастичного коррелятора в модели Гейзенберга:

= -(1/6,£цу\ * ^ ^ЬХ'ЯУ+БР;1 *

+ й_+а. 0>1 ) - К_+2.(У+К,и>1,ш3,0)г) +

+ - Я_+а(у+К,(Вз1а)г,{л1)>зг ;

й_+г.(Й,ш1 = айНо^м^+Из) {(1/Т)а"Ш)Но(У3)К(Ь,ш1) •

- г,(1г)К(и,ш1)К(Ь,ш1+ш3)} ; = " (ан-И+МГ1 ;

Л

а(П) = зМ(з+1/2)Ь/Т]/81г ;

с[у г уг 1 <■•■•>_ = х-,75 (•••) ехр----;

7 (8тс1ос1Т >1 /2 ч

йТ - (1/3)3(8+1); а >> 1; ОТ = (4УЗ)~1; 8 = 1/2. (68)

ВЫВОДЫ

Не эргодичность спиновых' и структурных стекол играет оольшую роль в физике этих систем и проявляется в большом класса необратимых и долговременных явлений.

Адекватным способом " теоретического исслодования ноэргодичности является учет ультрамотрической структуры

пространства долин в статической и ультраметрической структуры временного пространства в динамической теории. \

В результате удается удовлетворительно объяснить и описать качественно и количественно большую часть экспериментальных

''нных.

Литература

1. Гинзбург С.Л. Уравнения для необратимого отклика в спиновых стеклах. // ЖЭТФ, 1983, т.85, с.2171-2184.

2. Гинзбург С.Л. Неэргодичность и неравновесность спиновых стекол. // ЖЭТФ, 198S, т.90, с.754-766.

3. Гинзбург С.Л. Полный вероятностный функционал и внутренняя структура ультраметрической топологии в спиновых стеклах. // ЖЭТФ, 1986, т.91, с.2171-2190.

4. Гинзбург С.Л. Теория неэргодичности структурных стекол в квантовом случае. // ЖЭТФ, т.94, с.235-250.

5. Гинзбург С.Л. Неравновесные свойства структурных и спиновых стекол в квантовом случае. // ЖЭТФ, 1989, т.95, с.269-286.

6. Рунов В.В., Гинзбург С.Л., Топерверг Б.П., ' Третьяков А.Д., окороков А.И., Мальцев Е.И. Исследование спиновых корреляций в концентрированных спиновых стеклах Fe-Nl-Cr с помощью рассеяния поляризованных нейтронов. // ЖЭТФ, 1988, т.94, с.325-346. •

7. Гинзбург С.Л. Необратимые явления в спиновых стеклах. Москва: Наука, 1989.

8. Edwards S.F., Anderson P.W. Theory of зр1п glasses. // J.Phys.Ser.F, 1975, 7.5, p.965-974.

9. Parisi 0. Infinite number of order parameters for spin-glasses. // Phys.Per.Lett., 1979, v.43, p.1754-1756.

Ю.. Sc.t.pcilnsky H. Time-dependent order parameters In spin-glasses. // Phys.Rs7.Iett., 1981, 7.47, p.935-933.

11. Mulder O.A.M., Van Duyne7eldt A.J., Mydosh J.A.Frequency and field dependence oi the ac susceptibility of the Auiln spin-glaiss. //'Phys.Rey.Ser.B, 1932,. 7.25, p.515-518. .

12. I'jndpren I-., Svedlindii P., Nprdblad P., Eectaan 0., Dynanlcs

oi the relaxation-time spectrum In a CuMn spin-glass. // Phys.Rev.Lett., 1983 , 7.51, p.911-914.

13. Courtens E. Scaling dielectric data on Rb^ <№VX H2 P04 structural glasses and their deuterated lsomorphs. // Phys.Rev.Ser.B, 1<36, v.33, p.2975-2978.

14. Houston A., Jain £., Young A.P. Role or Initial conditions In the mean-field theory oi apln-glass dynamics.//Phys.Rev. Ser.B, 1983, 7.28, p.2630-2637.

PTfi nMH®,3aK.793,THp.I20,y<i.-M3A.Ji.I.b; 6/Xl-I992r. BecnnaTHO