Центры полугрупповых колец над полугруппами IS_n и IO_n тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правахрукописи

Попов Иван Николаевич

ЦЕНТРЫ ПОЛУГРУППОВЫХ КОЛЕЦ НАД ПОЛУГРУППАМИ К. и Юп

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль-2004

Диссертация выполнена на кафедре математики Архангельского государственного технического университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Понизовский Иосиф Соломонович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Кублановский Станислав Исаакович, доктор физико-математических наук, профессор Онищик Аркадий Львович

Ведущая организация - Российский университет дружбы народов

Защита состоится «25» июня 2004 года в_часов на заседании диссер-

тационного совета К 212.002.06 в Ярославском государственном университете имени П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова по адресу: г. Ярославль, ул. По-лушкина роща, д. 1.

Автореферат разослан «_»_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы Актуальность исследования

Настоящая-работа посвящена описанию центров полугрупповых колец над полугруппами Е„ и 10„.

Теория полугрупповых колец имеет уже долгую историю и богата содержательными результатами, которые связаны с именами Манна, Понизовского, Клиффорда, Грабба, Издана, Пассмана и многих других.

Исследования полугрупповых колец ведутся во многих направлениях: полупростота полугругаювого кольца относительно того или иного радикала; обратимость элементов полугрупповых колец; наличие или отсутствие особых элементов колец (делителей нуля, идемпотентов, нильпотентов); строение идеалов того или иного типов.

Одним из направлений является исследование строения центров полугрупповых колец. Этим направлением, в частности, занимались И.С. Понизов-ский, А.В. Руколайне, ЛВ. Потемкин, В.Д. Манн; были получены результаты о строении центральных элементов полугрупповых колец над определенными полугруппами, в частности над инверсными полугруппами.

В исследованиях по строению полугруппового кольца необходимо обращать внимание на строение основного кольца и на строение полугруппы, над которой рассматривается данное полугрупповое кольцо. Даже отсутствие большого числа центральных элементов полугруппы не гарантирует тривиального строения центра самого полугрушювого кольца. Тем не менее, строение центра полугруппового кольца в большей мере определяется строением самой полугруппы. Это сочетание теории полугрупп и классической теории колец, а также ее приложения в современных отраслях знаний (этому посвящены работы Келарева) вызывает неподдельный интерес к теории полугрупповых колец и, в частности, к данному направлению исследования.

Цель работы

Выяснить строение центральных элементов полугрупповых колец над полугруппами 18„ и Ю„. Найти необходимые и достаточные условия центральности элементов с групповым и смешанным носителями. Предложить способы получения центральных элементов полугрупповых колец над полугруппами иЮ„.

Методы исследования

В работе использованы методы комбинаторной алгебры, а также общепо-лугрупповые и общекольцевые методы.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность

Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований по теории полугрупповых колец, в частности для нахождения центров полугрушювых колец, и могут быть использованы для подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на третьей всероссийской молодежной научной школе-коференции (декабрь 2003 г., Казань), на алгебраических семинарах Поморского государственного университета (2002-2004 гг.), на XL всероссийской конференции по проблемам математики, физики и химии (апрель 2004 г., Москва).

Объем и структура работы

Диссертация изложена на 100 страницах машинописного текста. Состоит из введения и четырех глав. Библиография включает 32 работы российских и зарубежных авторов.

Краткое содержание работы

Во введении обозначена актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели исследования, отражена научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

Глава 1

Центр полугруппового кольца над произвольной полугруппой

В первом параграфе дается определение полугруппового кольца.

Пусть, К - кольцо с единицей I и 5 - полугруппа с единицей е. Обозначим через К^ абелеву группу, элементами которой служат всевозможные формальные суммы вида и почти все равны нулю, а сложение определяется равенством

Полугрупповым кольцом полугруппы 5 над кольцом К (оно обозначается -КВД) называется г р у п ЙГ^, с умножением, определенным равенством

Это произведение обозначает, что произведение двух формальных сумм вычисляется по обычным правилам умножения многочленов с последующим приве-

5

дением подобных слагаемых. Каждый элемент gвS отождествляется с элементом ^, а каждый элемент Л е К - с элементом Ле и Лg = gЛ для любых ЛеК и geS.

Для элемента а = £Лgg из кольца АГ[5] множество

называется носителем элемента а, а множество

называется множеством коэффициентов элемента а. В частности

Элемент полугруппы 5 называется групповым, если он принадлежит некоторой подгруппе полугруппы S.

Пусть а е и а^О. Если все элементы из носителя элемента а являются групповыми элементами полугруппы 5, то элемент а будем называть элементом с групповым носителем; если же все элементы из носителя элемента а являются негрупповыми, то элемент а будем называть элементом с негрупповым носителем; в противном случае элемент а будем называть элементом со смешанным носителем.

Центр произвольного кольца Ь будем обозначать С(Ь). Элементы из С(Ь) будем называть центральными элементами кольца Ь.

Основными результатами первой главы являются

Лемма 1. Пусть К[5] - полугрупповое кольцо над полугруппой 5 с единицей е. Тогда если с е то соеГ(с) с С(К).-

Теорема 1. Ненулевой элемент с полугруппового кольца К[5] над полугруппой 5 с единицей е является центральным тогда и только тогда, когда (V* е SXcg = gc) и соеЦс) с С(К).

Полугрупповое кольцо К[5] над полугруппой 5 с единицей назовем тривиальным, если центр кольца К[5] изоморфен кольцу С(К).

Глава2

Центр полугруппового кольца над полугруппой В,

'о

Во второй главе рассматривается полугруппа 75„ и полугрупповое кольцо над ней; приедятся примеры цечтрапьных эяементов полугруппового кольца над полугруппой 13п и способы их построения.

В параграфе 2.1 даются определение полугруппы и основные понятия, связанные с ней. Приведем их.

Пусть N = {1;2;...;и}, где п - некоторое натуральное число. Для частичного отображения g: N —> N через символы ёош^) и т^) обозначим множества, являющиеся его областью определения и областью значений соответственно.

Определим полугруппу /5П как полугруппу всех (возможно, частичных) инъективных отображений g:N-+N, в которой произведение элементов g,h&ISn определяется равенством (^к)(х) = к(%(х)) для - всякого элемента хеЛГ.

Число гапк(£) =) |=| ¡т(^) | называется рангом элемента g е /5„.

Будем писать , указывая при необходимости верхним индексом ранг элемента geIS„.

Если ёот(^) = {/1;«2;...1„,} и я(ц) = Ь, где 1 = 1,2,...т, то будем использовать табличное представление элемента

мент / является составной частью элемента g. Будем считать, что нулевое отображение является составной частью любого элемента полугруппы

8

Далее будем рассматривать кольцо К с единицей характеристики 0 и по-лугрушювое кольцо .K[/Sn} с центром C(.K[JS„]).

Пусть aGK[IS„\, аФ0. Рангом элемента а назовем наибольшее значение ранга элементов из носителя элемента а и обозначим гапк(а). Ранг нулевого элемента пслугруппсвсго кольца K\lSn ] будем считать равным нулю.

Основными результатами данной главы являются теоремы и следствия о строении элементов из носителя наибольшего ранга центрального элемента полугруппового кольца .£[/5я] (параграф 2.8), о строении центральных элементов с групповым носителем полугруппового кольца Af/?,,] (параграф 2.13).

Теорема 8. Пусть ceC(A[S]), гапк(с) = ш>0 и - все эле-

менты из supp(c), которые имею общую правую единицу ет. Тогда элементы

gJ".....g™ являются групповыми.

Следствие 10. Пусть с - центральный элемент кольца А[/5„] ранга т>0. Тогда все элементы ранга т из supp(c) являются групповыми.

Теорема16. Любой центральный элемент сеАДО,,] с групповым носителем имеет вид

где a\,...,as еС(АГ), 1\ >..,>ls, е{1;2;...;л^ и е{,...,е^г - единицы всех

максимальныхподгруппрангаг, г.\ls}, полугруппы ISn.

В параграфе 2.9 основным результатом является теорема 9, в которой говорится о свойствах коэффициентов центрального элемента полугруппового кольца K[ISn\.

Теорема 9. Пусть с - центральный элемент кольца ранга т и

gm - элемент ранга т из supp(c), который не является единицей никакой максимальной подгруппы полугруппы ISn. Тогда все негрупповые элементы

А^-1,..., А/"-1 ранга т-1 полугруппы 18п, которыеявляются составной частью элемента gm, входят в запись элемента с с коэффициентом, противоположным коэффициенту приэлементеgm.

Используя теоремы 8, 9. 16. получаем полное описание строения центральных элементов рангов 1 и 2 полугруппового кольца

Глава 3

Центр полугруппового кольца над подполугруппами полугруппы

В данной главе в параграфе 3.1 приводятся примеры подполугрупп полугруппы

В параграфе 3.2 дается определение полугруппы и некоторые ее свойства. Приведем их.

Определим полугруппу 10п как полугруппу всех (возможно, частичных) инъективных отображений g:N —> ЛТ, которые сохраняют естественный порядок на множестве N (то есть для всех !,_/ из области определения отображения g, для которых /<у, следует справедливость неравенства g(i)<g(J))^ в которой произведение элементов определяется равенством

^И)(х) = h(g(x)) для всякого элемента хеЛГ.

Г'1 '2 •••'от

Элементы из полугруппы Юп вида

\JlJ2-Jm.

будем на-

зывать единицами полугруппы

Теорема 17. Единицы полугруппы Юп и толькоониявляютсягрупповы-миэлементами полугруппы 10п.

Основным результатом данной главы является

Теорема 19. Любой центральный элемент свК\10^\ с групповым носителем имеет вид

c=ax ej1 +...+<*, £

i=l

7 '

где «J.....aseC(K), /¡>...>/s, /¡,...,ls е{1;2;...;л} и e[,...,err - единицыран-

га г, г е{1{;...;/.}, полугруппы 10..

В параграфе 4.1 дается определение полугруппы IS^ Определим полугруппу IS^ как полугруппу всех инъективных отображений g:N-*N с конечной областью определения и присоединенной внешним образом единицей, в которой произведение элементов gfhelS^ определяется равенством (gh)(x) = h(g(x)) для всякого элемента xeN. Основным результатом данной главы является Теорема 22. Кольцо ^[/S^] является тривиальным.

Глава 4

Центр полугруппового кольца над полугруппой ISoo

Работы автора по теме диссертации

1. Попов И.Н. Центр полугруппового кольца полугруппы Рейли над коммутативным кольцом с единицей // Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 5. - Архангельск: ПТУ, 2002. С. 4150.

2. Попов И.Н. Строение элементов наибольшего ранга из опорного множества центрального элемента полугругаювого кольца ЩКп] // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Том 21 / Казанское математическое общество. Лобачевские чтения - 2003 / Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2003. С. 185-187.

3. Попов И.Н. Строение центральных элементов с групповым носителем полугруппового кольца К[Кп] // Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 6. - Архангельск: ПТУ, 2003. С. 5-30.

4. Попов И.Н. Пример центрального элемента полугруппового кольца К[Кп] со смешанным носителем // ХЬ Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секция математики и информатики / Материалы всероссийской научной конференции. -М.: Изд-во РУДН, 2004. С. 50-52.

5. Попов И.Н. Строение центральных элементов полугруппового кольца К[1Оп] // Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 6. - Архангельск: ПТУ, 2003. С. 30-40.

1-9665

Подписано в печать //¿Ггт. Бумага писчая. Формат 60х 84)(6. Тираж 100 экз. Объем 4,0 п.л. Заказ № /А<?

Издательский центр 111 У 163002, Архангельск, пр. Ломоносова, 6

Введение.

Глава 1. Центр полугруппового кольца над произвольной полугруппой.

1.1. Определение полугруппового кольца.

1.2. Центр полугруппового кольца.

1.3. Тривиальные полугрупповые кольца.

Глава 2. Центр полугруппового кольца над полугруппой 13п

2.1. Определение и свойства полугруппы 75п.

2.2. Центр полугруппы /5„.

2.3. Количественные характеристики полугруппы /¿>п.

2.4. Полугрупповое кольцо над полугруппой 13п.

2.5. Центральные элементы кольца К[13п] с групповым носителем

2.6. Центральные элементы кольца К[13п] со смешанным носителем

2.7. Способы получения центральных элементов кольца К[13п] со смешанным носителем.

2.8. Строение элементов из носителя наибольшего ранга центрального элемента полугруппового кольца К[13п].

2.9. Необходимые условия центральности элемента полугруппового кольца К[13п].

2.10. Строение центральных элементов ранга 1 полугруппового кольца К[13п].

2.11. Строение центральных элементов ранга 2 полугруппового кольца К[13п].

2.12. Строение центральных элементов полу группового кольца К[1Б'з].

2.13. Строение центральных элементов с групповым носителем полу группового кольца К[13п].

Глава 3. Центр полугруппового кольца над подполугруппами полугруппы 75п.

3.1. Подполугруппы полугруппы 1Бп.

3.2. Определение и свойства полугруппы Юп.

3.3. Полугрупповое кольцо над полугруппой 10п.

3.4. Строение центральных элементов полугруппового кольца К[Юп].

3.5. Центр полугруппы 10.

Глава 4. Центр полугруппового кольца над полугруппой

4.1. Определение и свойства полугруппы /З^.

4.2. Центр полугруппы 15оо.

4.3. Полугрупповое кольцо над полугруппой 75оо.

4.4. Строение центральных элементов полугруппового кольца

Целью данной работы является выяснить строение центров полугрупповых колец над полугруппами ISn и 10п над произвольным кольцом с единицей характеристики 0.

Теория полугрупповых колец имеет уже долгую историю и богата содержательными результатами.

Исследования полугрупповых колец ведутся во многих направлениях: полупростота полугруппового кольца относительно того или иного радикала; наличие или отсутствие особых элементов колец; строение идеалов того или иного типа.

Одним из направлений является исследование строения центров полугрупповых колец.

Изучением строения центров полугрупповых колец занимались такие математики, как Потемкин JI.B., Руколайне A.B., Понизовский И.О., а также Crabb J.N., Munn W.D. и другие.

В исследованиях по строению полугруппового кольца необходимо обращать внимание на строение основного кольца и на строение полугруппы, над которой рассматривается данное полугрупповое кольцо. Даже отсутствие большого числа центральных элементов полугруппы не гарантирует тривиального строения центра самого полугруппового кольца.

Это сочетание теории полугрупп и классической теорией колец, а также ее приложения в современных отраслях знаний (например, этому посвящены работы A.B. Келарева) вызывает неподдельный интерес к теории полугрупповых колец и, в частности, к данному направлению исследования.

Строение центра полугруппового кольца в большей мере определяется строением самой полугруппы. Поэтому авторы работ по данной теме ограничиваются исследованиям центров полугрупповых колец над "более простыми" полугруппами.

В работах Понизовского И.С. (в частности [27]) исследуется вопрос о строении центров полугрупповых колец над инверсными полугруппами, в частности над инверсными полугруппами с конечным числом идемпо-тентов.

Известен результат о строении центра полугруппового кольца над би-циклической полугруппой ([17], proposition 19.40). В работе [6] этот результат обобщается на полугруппу Рейли.

Ряд работ Krempa J. были также направлены на исследование центров полугрупповых колец (работы [20] и [21]).

Особую роль в изучении строения центров полу групповых колец сыграли, так называемые, идемпотенты Руколайна A.B. (работы [30], [31], [32]).

В работах [28] и [29] дается описание центра полугруппового кольца над полугруппами всех преобразований и частичных преобразований конечного множества X. Предложенные формулы строения центрального элемента имеют большую теоретическую значимость, но для практического применения достаточно сложны (даже для малых рангов центральных элементов или определенного типа элементов полугруппы, например, групповых).

В данной же работе показывается, какими свойствами должны обладать элементы из носителя и коэффициенты центрального элемента полугруппового кольца над полугруппой ISn и ее подполугруппами, в частности полугруппой 10п.

Обозначения и часть терминологии, используемых в работе, взяты из работ [18] и [19].

В качестве методов исследования используются некоторые общеполу-групповые и общекольцевые методы, а так же методы комбинаторной алгебры.

Данная работа посвящена полугрупповыми кольцам над полугруппой ISn всех (возможно частичных) инъективных отображений конечного множества N = {1; 2;.; п} в себя и над подполугруппами полугруппы ISn, в частности над полугруппой 10п всех (возможно частичных) инъективных отображений конечного множества в себя, которые сохраняют естественный порядок на множестве N.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы. Нумерация теорем, лемм и примеров общая внутри всей работы.

1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М.: Наука, 1969.

2. Клифорд Г., Престон А. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1. М.: Мир, 1971.

3. Клифорд Г., Престон А. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 2. М.: Мир, 1971.

4. Общая алгебра. Т. 1/ В.А. Артамонов, В.Н. Салий, Л.А. Скорняков и др. Под общ. ред. Л.А. Скорнякова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.

5. Общая алгебра. Т. 2/ В.А. Артамонов, В.Н. Салий, Л.А. Скорняков и др. Под общ. ред. Л.А. Скорнякова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.

6. Попов И.Н. Центр полугруппового кольца полугруппы Рейли над коммутативным кольцом с единицей// Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 5. Архангельск: Поморский государственный университет, 2002. С.41-50.

7. Попов И.Н. Строение центральных элементов с групповым носителем полугруппового кольца К13п]// Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 6 Архангельск: Поморский государственный университет, 2003. С.5-30.

8. Munn W.D. On semigroup algebras// Proc. Cambridge Phil. Soc. 51, 1955. P. 1-15.

9. Passman D.S. The algebraic structure of group rings. New York, Wiley-Interscience, 1977.

10. Petrich M. Inverse semigroups. New York, John Wiley & Sons, 1984.

11. Ponizovskii J.S. Semigroup ring// Semigroup Forum, Vol. 36, 1987. P. 1-46.

12. Pot'jomkin L.V. Semigroup rings of symmetric transformation semigroups // Izv. vyss. uc. zav., Matem. 10, 1972. P. 63-74.

13. Pot'jomkin L.V. Semigroup rings of symmetric partial transformation semigroups// Dop. Akad. Nauk UkSSR, A, 1, 1973. P. 41-43.

14. RukolaYne A.V. On characters of finit inverse semigroups // Zap. naucn. semin. LOMI 74, 1977. P. 207-215.

15. Rukolaine A.V. The center of semigroup algebra of finite inverse semigroup over the field of comlex number// Zap. naucn. semin. LOMI 75, 1978. P. 154-158.

16. Rukolaine A.V. Semigroup algebra of finite inverse semigroup over arbitrary fields, Modules and linear groups// Zap. naucn. semin. LOMI 103, 1980. P. 117-123.