Полугрупповые многообразия и сплетение полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.532

ТЙЩЕНКО Александр Владимирович

Полугрупповые многообразия и сплетение полугрупп

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре математики Московского института -интерната для инвалидов с нарушением опорно-двигательной " системы.

Научный консз'льтант: доктор физико-математических наук, профессор А.В.Михалев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Артамонов;

доктор физико-математических наук, профессор А.А.Туганбаев;

доктор физико-математических наук, про'фессор Л.Н.Шеврин.

Ведущая организация: Московский педагогический государственны] университет.

Защита диссертации состоится "17" ноября 2000г. в 16ч. 15м. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899'., ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 17" октября 2000г.

Ученый секретарь диссертационного Д.053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н.Ч/бариков

О

совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Как известно, конструкция сплетения групп возникла в работе Калужнина H.A., Краснера М. 1 в 1951 году. В I960 году конструкция стандартного сплетения полугрупп была применена в теории полугрупп Нейманом Б.Х. для доказательства теорем вложения в полугруппах. В частности, он дал новое доказательство теоремы Эванса о вложении произвольной счетной полугруппы в двухпорожденную полугруппу, доказал теорему о вложении любой конечной полугруппы в конечную двухпорожденную полугруппу, а также некоторые другие теоремы вложения2. Проблема исследования операции сплетения полугрупповых многообразий привлекает алгебраистов-исследователей с середины 70-х годов. Этот интерес возник из двух основных источников. Во-первых, благодаря фундаментальным трудам алгебраической школы Роудза, и теории строения конечных полугрупп, имеющей своим истоком знаменитую теорему Крона - Роудза о декомпозиции конечных автоматов и конечных полугрупп, опубликованную в 1965 году3 ( см. также литературу по этому вопросу в переведенной книге4) Во-вторых, интерес к исследованию сплетения многообразий мотивируется тем фактом, что операция произведения групповых многообразий может быть определена через сплетение групп и показала свою плодотворность при изучении групповых многообразий (см., например, 5).

В дальнейшем развитии первого направления сыграла важную роль книга С.Эйленберга 6. Именно в последней книге была определена операция полупрямого произведения псевдомногообразий, которая интенсивно исследовалась в

последующие годы. Кроме того, в этой книге была доказана важная теорема, устанавливающая взаимно однозначное соответствие

1 Kaloujnine L-, Krasner M. Produit complete des groupes de permutations et le problème d'extension des groupes, III // Acta Sei. Math. Szeged. - 1951. - V.14. - P.69-82.

2 Neumann B.H. Embedding theorems for semigroups //J. London Math. Soc. - 1960. - V.35. -P.184-192.

3 Krolm K. and Rhodes J. Algebraic theory of machines. I.Prime decomposition theorem for finite semigroups and machines // TVans. Amer. Math. Soc. - 1965. - V.116. - P.450-464.

4 Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп. Под редакцией М.А.Арбиба. М., Статистика, 1075. ,

5 Нейман X., Многообразия групп, Мир, М., 1969

s Eilenberg S. Automata, Languages and Machines. V.B. New York: Acad. Press, 1976.

между псевдомногообразиями (конечных) моноидов и потоками рациональных языков . Аналогичная теорема верна и для псевдомногообразий полугрупп и потоков рациональных языков, заданных на свободных полугруппах, а не на свободных моноидах (см. 7) Таким образом, развиваемая теория имеет непосредственное влияние на теорию формальных языков, возникновение и развитие которой, в частности, в настоящее время мотивируется бурным развитием программирования и вычислительных задач.

В 1987 году В.Тилсон отмечает, что при переходе от рассмотрения моноидных многообразий и псевдомногообразий к полугрупповым более правильной является операция сплетения полугрупповых многообразий, которая им введена в работе 8. Это мнение Б.Тилсон мотивирует лучшими возможностями его определения сплетения полугрупповых многообразий при обобщениях на некоторые категории, содержащие полугруппы. Более точно Б.Тилсон отметил, что полупрямое произведение в смысле Эйленберга, которое является вполне подходящим для псевдомногообразий моноидов, не является подходящим для многообразий полугрупп, так как доказанная им "теорема о задержке" для многообразий моноидов, перестает быть верной для многообразий полугрупп. Впрочем, обе операции близки, хотя и не совпадают.

Отметим также, что параллельно с полупрямым произведением в литературе рассматривались и другие произведения псевдомногообразий моноидов, например, двустороннее полупрямое произведение, произведение Шютценберже (см. 9 , 10 ).

В частности, рассматривался и другой аналог произведения групповых многообразий, а именно, мальцевское произведение (см., например, 11 ). Группоид полугрупповых многообразий относительно мальцевского произведения был изучен на классе

7 Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М.: Мир, 1985.

6 Tilson В, Categories as algebra: an essential ingredient in the theory of monoids// Л.Риге and Appl.Algebra. - 1987. - V.48, N 1-2. - P.83-198.

9 Blanchet-Sadri F., Gaddis F.D. On a product of finite monoids // Semigroup Forum. - 1998. -V.57, N 1. - P.75-91.

10Margolis S.W., Pin J.E., Inverse semigroups and varieties of finite semigroups // J.Algebra. -1987. - V.110. -P.306-323.

"Шеврин Л.Н., Суханов E.B. Структурные аспекты теории многообразий полугрупп// Изв.вузов. Матем. - 1989. - N 6. - С.3-39

идемпотентных полугрупп Е.В.Сухановым в 12. В частности, выяснилось, что мальцевское произведение в этом случае, как правило, неассоциативно. В литературе обсуждались и случаи совпадения полупрямого произведения и мальцевского произведения псевдомногообразий 13.

В теории Крона - Роудза уже рассматривались сплетения полугрупп преобразований, что позволило предложить ассоциативную конструкцию сплетения и явилось дальнейшим обобщением сплетения. В 1979 году Скорняков Л.А.' 14 применил сплетение моноидов с помощью полигона для изучения моноида эндоморфизмов свободного полигона над моноидом. В дальнейшем различные модификации сплетения с успехом применялись Кнауэром У. и Михалевым A.B. для изучения моноидов эндоморфизмов полигонов (см., например, 15).

Здесь важно отметить, что при переходе от групп к полугруппам могут возникать различные определения сплетения полугрупповых многообразий, как это и было исторически. Однако, здесь существенно отметить, что вариант определения Тилсона, является, по-видимому, оптимальным. Это мотивируется на наш взгляд двумя следующимим факторами. Во-йервых, тем, что операция сплетения полугрупповых многообразий ассоциативна 16. Это не так для стандартного сплетения полугрупповых многообразий, которое определил Ю.Г.Кошелев в 1976 году. Во-вторых, эта операция для периодических групповых многообразий совпадает с операцией произведения групповых многообразий. Это не так для произведения многообразий полугрупп, которое предложил рассматривать Ю.Г.Кошелев в 1989 году 17. Для непериодических групповых

12 Sukhanov E.V. The groupoid of varieties of idempotent semigroups // Semigroup Forum. - 1977. - V.14, - Р.143-15Э

13 Henekell K., Maigolis S.W., Pin J.-E., Rhodes J. Ash's type И theorem, profinite topology and Malcev products // International J. Algebra and Computation. - 1991. - V.l, N4. - P.411-436

14 Skornjakov L.A. Regularity of the wreath product of monoids// Semigroup Forum. - 1979. -V.l8, N 1. - P.83-S6.

15 Knauer U., Mikhalev A.V. Endoinorphism monoids of free acts and O-wreath product of monoids, III // Semigroup Forum. - 1980. - V.19, N 1. - P.355-369.

16 Tilson B. Categories as algebra: an essential ingredient in the theory of monoids // J.Pure and Appl.Algebra. - 1987. - V.48, N 1-2. - P.83-198

17 Кошелев Ю. Г. Ассоциативность умножения многообразий полугрупп // Международная конф. по алгебре, поев, поиятн А. И. Мальцева. Тезисы докл. по теории моделей и алгебр, систем. - Новосибирск, 1989. - С.63

многообразий о таком совпадении думать не приходится, так как непериодические групповые многообразия уже не являются полугрупповыми многообразиями. При этом операция сплетения для непериодических (надкоммутативных) полугрупповых многообразий является слишком грубой, так как сплетение двух надкоммутативных многообразий равно многообразию всех полугрупп.

Вопрос об описании структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения возник в связи с известной теоремой А.Л.Шмелькина и Б.Х.Нейман, Х.Нейман, П.М.Нейман, а также известного описания всех идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий (см. теоремы 23.32 и 23.4 в 18 и 19). Теорема А.Л.Шмелькина и трех Нейманов утверждает, что полугруппа всех нетривиальных групповых многообразий относительно сплетения является свободной

полугруппой.

Вопросы, связанные с изучением сплетения периодических полугрупповых многообразий возникли как вопросы наиболее актуальные при изучении операции сплетения многообразий в связи с полученными результатами о структуре моноида полугрупповых многообразий. Одновременно с этим возник интерес к выяснению, при каких условиях сплетение полугрупповых периодических многообразий обладает тем или иным хорошим свойством. Рассматриваемые классы многообразий вводились при изучении периодических многообразий полугрупп как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из которых они состоят, на языке полурешеточных разложений. Задачи обсуждались с М.В.Сапиром на XIX Всесоюзной алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 в третьем выпуске Свердловской тетради .

При изучении сплетения полугрупповых многообразий оказалось полезным решение задач, выясняющих при каких условиях

18 Нейман X., Многообразия групп, Мир, М., 19S9

19 Koselev Yu. G. Varieties preserved under wreath producta // Semigroup Forum. - 1976. - V.12. - P.95-107

20 Свердловская тетрадь, Нерешенные задачи теории полугрупп. Вып. третий, Свердловск, 1989 -

сплетение полугрупп обладает тем или иным хорошим свойством. Такие вопросы начинают изучаться в литературе, начиная с середины 60-х годов, Хантер в 1966 году нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы вполне простой полугруппой (см. 21). В 1969 году Мур22 нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы коммутативной полугруппой. В 1976 году Ю.Г.Кошелев нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы сплетение полугрупп принадлежало бы одному из следующих классов полугрупп: инверсные, регулярные, простые слева (справа), левые (правые)

94

группы, группы, полурешетки, идемпотентные и т.п. ,

24, Позднее Л.А.Скорняков предложил другие необходимые и достаточные условия регулярности сплетения моноидов 25.

Проблема В.И. Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условий идеальной простоты сплетения полугрупп была сформулирована Ю.Г.Кошелевым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38 26.

В 27 отмечено, что если полугруппа конечна, то псевдомногообразие ею порожденное, совпадает с псевдомногообразием, заданным множеством тождеств этой полугруппы. Это означает, что такое псевдомногообразие есть пересечение многообразия, порожденного этой полугруппой с классом всех конечных полугрупп. Как следует из результатов главы 5 настоящей работы, почти все сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий порождаются конечными полугруппами. Следовательно, результаты этой главы могут

11 Hunter R.P. Some results on wreath products of semigroups // Bull. Soc. Math. Belg. - 1966. -V.18. - P.3-16

22 Moors R. Note sur le "wreath product" de deux demi-groupes // Bull. Soc. roy. sci. Liege. -1969. - V.38. - P. 116-124

25 Кошелев Ю.Г. Сплетения и уравнения в полугруппах // Semigroup Forum. - 1975. - V.ll. - P. 1-13

24 Кошелев Ю.Г. Регулярность и идемпотентность сплетения полугрупп // Соврем, алгебра. Вып.4, Л., 1976. - С.97-106

25 Skornjakov L.A. Regularity of the wreath product of monoids // Semigroup Forum. - 1979. -V.18, N 1. - P.83-86

26 Свердловская тетрадь. Нерешенные задачи теории полугрупп. Свердловск, Уральский государственный университет, 1979

27 Свердловская тетрадь. Нерешенные задачи теории полугрупп. Свердловск, Уральский государственный университет, 1979

рассматриваться и как результаты, непосредственно относящиеся к теории псевдомногообразий.

Цель работы. Работа посвящена исследованию операции сплетения полугрупп и, в первую очередь, ее применению при изучении моноидного сплетения полугрупповых многообразий для решения следующих задач.

1. Нахождение описания структуры моноида полугрупповых многообразий с помощью разложения в полурешетку подполугрупп, и получение информации об этих подполугруппах.

2. Нахождение необходимых и достаточных условий на сплетаемые многообразия, при которых их моноидное сплетение является:

а)многообразием всех полугрупп; б)многообразием конечного индекса; в)полуархимедовым многообразием; г)вполйе простым многообразием,

3. Нахождение необходимых и достаточных условий на пассивную полугруппу сплетения для того, чтобы при фиксированной пассивной полугруппе сплетение полугрупп было бы простой полугруппой, если в качестве активной полугруппы взять произвольную простую полугруппу.

4. Вычисление базисов тождеств и решеток подмногообразий для сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий с целью сопоставления операции моноидного сплетения полугрупповых многообразий и их решеточного объединения. В частности, решаются вопросы а) конечной базируемости сплетения; б) конечности решетки подмногообразий сплетения; в) порождаемое™ конечной полугруппой сплетения многообразий в рассматриваемых случаях.

Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие.

1. Решение проблемы Нейманов — Шмелькина для полугрупповых многообразий, возникшая как задача описания структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения. Задача была поставлена в связи с известной теоремой А. Л.Шмелькина и Б.Х.Нейман, Х.Нейман, П.М.Нейман, а также известного описания идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий.

2. Решение задачи М.В.Сапира о выяснении необходимых и достаточных условий, при которых сплетение полугрупповых многообразий является многообразием конечного индекса или полуархимедовым многообразием. Эти классы многообразий возникли при изучении периодических многообразий полугрупп как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из которых они состоят, на языке полурешеточных разложений. Задачи были высказаны М.В.Сапиром на XIX Всесоюзной алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 в Свердловской тетради 28.

3. Решение проблемы Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условиях идеальной простоты сплетения полугрупп в случае, если активная полугруппа сплетения есть объединение своих максимальных главных правых идеалов, а также в случае если активная полугруппа сплетения содержит минимальные левые идеалы, а само сплетение стандартно. Проблема была сформулирована Ю.Г.Кошелевым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38. Эти результаты обобщают теорему Хантера, которая давала необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы вполне

W оо

простои полугруппой .

4. Решение "ослабленной проблемы Б.И.Плоткина", а именно, нахождение необходимых и достаточных условий для того, чтобы при фиксированной пассивной полугруппе, сплетение двух полугрупп было бы идеально простой полугруппой при любой активной простой полугруппе.

5. Решение вопроса, в каких случаях решетка подмногообразий моноидного сплетения полугрупповых многообразий, каждое из которых является атомом решетки полугрупповых многообразий, является конечной. При этом конечные решетки вычислены в явном виде во всех случаях, кроме случая, когда первое из сплетаемых многообразий есть многообразие полурешеток, а второе — многообразие полугрупп с нулевым умножением.

28 Свердловская тетрадь, Нерешенные задачи теории полугрупп. Вып. третий, Свердловск, 1989

29 Hunter R..P. Some results on wreath producta of semigroups // Bull. Soc. Math. Belg. - 196S. -V.18. - P.3-16

Все результаты диссертации являются новыми.

Основные методы исследования. В работе используются методы алгебраической теории полугрупп, методы как структурной, так эквациональной характеризации многообразий полугрупп, комбинаторные методы вычисления базисов тождеств и решеток подмногообразий.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применения в различных разделах теории полугрупп, теории полугрупповых многообразий, а также многообразий алгебраических систем. Некоторые результаты уже нашли применение для решения задач теории псевдомногообразий конечных полугрупп. Некоторые из доказанных теорем могут быть использованы при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров для студентов и аспирантов.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIX Всесоюзная алгебраической конференции (Львов, 1987), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, Барнаул, 1991, Санкт-Петербург, 1997), на международных конференциях по теории полугрупп и ее приложениям в Санкт-Петербурге в 1995 и в 1999 году, на Международном алгебраическом семинаре в МГУ (Москва, 1999). Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре "Кольца и модули" в МГУ, а также на научно-исследовательском семинаре по алгебре в МГУ и на семинаре "Алгебраические системы" в Уральском государственном университете в Екатеринбурге.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата. Там же приведен список из 13 публикаций, примыкающих по теме к основным. Среди них одна является совместной.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав и занимает 201 страницу компьютерного текста. Список литературы содержит 90 наименований и занимает 8 страниц. Имеется 12 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Исследования, проведенные в диссертации можно разделить на три группы вопросов. Во-первых, изучение структуры

моноида полугрупповых многообразий относительно операции сплетения. Во-вторых, нахождение необходимых и достаточных условий на сплетаемые полугруппы (или многообразия), при которых их сплетение обладает одним из указанных выше хорошим свойством. В-третьих, в последней части диссертации вычисляются сплетения многообразий, которые являются атомами решетки £ полугрупповых многообразий. Такие вычисления производятся для того, чтобы оценить, насколько сильно сплетение полугрупповых многообразий отличается от их решеточного объединения. Все группы вопросов связаны общим предметом и методологией исследования. В основе применяемого метода исследования лежат комбинаторное вычисление тождеств сплетения полугрупп и использование структуры рассматриваемых полугрупп. Опишем теперь содержание диссертации по главам.

В главе 1 обсуждается выбор определения этой операции из уже возникавших в литературе. Выбирается операция сплетения полугрупповых многообразий, введенная в 1987 году Б.Тилсоном. Одновременно разрабатывается техника определения, истинно ли заданное тождество в сплетении полугрупп, если мы умеем определять истинно ли тождество в сплетаемых полугруппах.

Операцию сплетения полугрупповых многообразий, которую впервые определил Тилсон, мы называем моноидным сплетением в отличие от общего и стандартного сплетения многообразий, которые рассматривал Ю.Г.Кошелев (см. 30, 31). Операция моноидного сплетения полугрупповых многообразий была определена в Б.Тилсоном в 1987 году. Позднее автором найдена другая характеризация в 32, 33. Обсуждение возможных определений сплетения многообразий, которые возникали в литературе, и разработка техники вычислений тождеств сплетения полугрупповых многообразий проводится в главе 1. Предпочтение

30Кошелев Ю.Г. Об одной ассоциативной операции на множестве всех многообразий моноидов// Соврем, алгебра. Вып.4, Л., 1976. - С.107-117

31 Кошелев Ю. Г. Ассоциативность умножения многообразий полугрупп // Международная конф. по алгебре, поев, помяти А. И. Мальцева. Тезисы докл. по теории моделей и алгебр, систем. - Новосибирск, 1989. - С. 63

32 Тшценко A.B. Когда моноидное сплетение многообразий полугрупп имеет конечный индекс?// Междунар. конф. по алгебре памяти А.И.Ширшова (Барнаул, август 1991). Тезисы докл. по логике и универс. алгебрам, прихл. алгебре. Новосибирск, 1991. - С.144

33 Тищенко A.B. О различных определениях сплетения полугрупповых многообразий// Фундам. иприкл. матем. - 1996. - T.2, N 1. - С.233-249

моноид ному сплетению многообразий отдается на том основании, что оно ассоциативно в отличие от стандартного сплетения полугрупповых многообразий и совпадает с групповым произведением периодических групповых многообразий в отличие от общего сплетения полугрупповых многообразий.

Основным результатом главы 1 является теорема 1.4.2 и алгоритм 1.4.1, позволяющие определять, справедливо ли данное тождество в сплетении полугрупп при условии, что мы умеем проверять справедливость тождеств в сплетаемых полугруппах. Из этих результатов выводятся необходимые и достаточные условия истинности тождества в моноидном сплетении полугрупповых многообразий (теорема 1.4.5). Приведен пример, показывающий, что стандартное сплетение полугрупповых многообразий неассоциативно уже на подгруппоиде, порожденном двумя атомами решетки полугрупповых многообразий.

Техника вычислений тождеств сплетения полугрупп и полугрупповых многообразий, разработанная в главе 1, используется в дальнейшем на протяжении всей диссертации.

В главе 2 решается проблема Нейманов — Шмелькина для полугрупповых многообразий, возникшая как задача описания структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения. Задача была поставлена в связи с вышеупомянутой теоремой А.Л.Шмелькина и Б.Х.Нейман, Х.Нейман, П.М.Нейман, а также известного описания идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий.

Отметим, что моноид полугрупповых многообразий имеет существенно более сложную структуру, чем моноид групповых многообразий, который является просто свободным моноидом континуального ранга с внешне присоединенным нулем. В главе содержится ряд важных результатов о структуре этого моноида, которые дают представление об этом моноиде в целом. Отдельные части моноида получают полное или же достаточно ясное описание. О других же частях показано, что они имеют сложную структуру, а также установлены их отдельные свойства. Прояснение структуры моноида полугрупповых многообразий ставит дальнейшие задачи его исследования.

Дадим теперь точные формулировки основных результатов

диссертации. Для этого введем ряд обозначений. Пусть ОС — множество всех надкоммутативных многообразий, I — множество, состоящее из одного многообразия Т всех тривиальных полугрупп, Сг — множество всех периодических групповых многообразий, ЬЫ — множество всех периодических многообразий, состоящих из нильпотентных слева полугрупп, М — множество всех периодических многообразий, которые содержат хотя бы одну полугруппу, не являющуюся группой и нильпотентной слева полугруппой. Очевидно, что разложение

МУ = I и ьы и в и м и ОС (*)

есть разложение МУ в объединение попарно не пересекающихся подмножеств.

Теорема 2.2.2 (Первая структурная теорема). Моноид МУ полугрупповых многообразий может быть разложен в пятиэлементную полурешетку (*) своих подполугрупп I, ЬИ, й, М, ОС, причем

ОС <М, М < ЬИ, М < <7, ¿Л" < /, в < I.

При этом ОС — идеал с нулевым умножением в МУ мощности континиума, й — свободная полугруппа континуального ранга, ЬИ разложима в счетную полурещетку конечных нильпотентных подполугрупп Т(1^)т)(т > 1,0 < з < т), М — полугруппа без идемпотентов, содержащая подполугруппу С, изоморфную свободной полугруппе континуального ранга, но не удовлетворяющая закону ни правого, ни левого сокращения.

Первая структурная теорема дает разложение в полурешетку моноида МУ всех полугрупповых многообразий относительно моноидного сплетения. Кроме того, очевидно, что компоненты I, ОС не требуют дополнительного описания. Компонента (7 совпадает со свободной полугруппой всех групповых периодических многообразий и результаты, связанные с ее описанием и, в частности, различные серии примеров неразложимых многообразий имеются в книге 34). Компонента ЬЫ описывается во второй структурной теореме с помощью дальнейшего разложения ее

34 Нейман X., Многообразия групп, Мир, М., 1969.

в полурешетку уже полурешеточно неразложимых конечных нильпотептных полугрупп.

Теорема 2. 5.2 (Вторая структурная теорема).Класс кручения Т(1(])т), где т > 1, 0 < 2 < т, содержит наименьшее многообразие которое может быть задано следующим

набором тождеств:

•• -ХзУ1 ...ут-} =®1 ...«^1 .. .¿т-Я-1, (1)

ж2 = я2*, (2)

жуж = хухг, (3)

хух = зу2, (4)

Х1...Х;у2=:Х1...Х}Ху (5)

При этом Г(Ь|,и) совпадает с решеточным отрезком и является подалгеброй алгебры

Что касается последней компоненты М, то она является полугруппой без идемпотентов, и ее исследование с помощью дальнейшего разложения в полурешетку подполугрупп не является эффективным инструментом изучения. Пока здесь она не имеет достаточно ясного описания, но сложность ее структуры характеризуется информацией, указанной первой структурной теореме, а именно: она содержит с одной стороны, в качестве подполугруппы свободную полугруппу континуального ранга, а с другой стороны, она не удовлетворяет закону ни правого, ни левого сокращения. Этот факт показывает, что пока мы можем только эффективно описывать не всю эту компоненту, но лишь какие-либо ее части.

В разделе 6 главы 2 вычислены индексы нильпотентности полугрупп Тот(т > 1) (теорема 2.6.1). В частности, из этого результата следует, что индексы нильпотентности полугрупп Т1т не ограничены в совокупности (следствие 2.6.9).

Наконец, в последнем разделе 7 найдены необходимые и достаточные условия, при которых сплетение двух полугрупповых многообразий равно нулю моноида, т.е. совпадает с многообразием всех полугрупп (теорема 2.7,1).

Как следует из результатов главы 2, сама операция сплетения полугрупповых многообразий для непериодических (или в других

терминах надкоммутативных) многообразий тривиальна, так как совпадает с многобразием всех полугрупп. Поэтому интерес представляет случай, когда по крайней мере одно из сплетаемых многообразий периодическое. В частности, если оба они периодические.

В главе 3 изучается вопрос, при каких условиях полугруппы

сплетения периодических полугрупповых многообразий обладают

хорошими структурными'свойствами. Более точно, решаются

вопросы, при каких условиях на сплетаемые многообразия, их

моноадное сплетение является периодическим полуархимедовым

многообразием или многообразием конечного индекса. Выбор этих

классов многообразий обусловлен тем, что среди периодических

многообразий полугруппы этих классов обладают хорошими

структурными свойствами разложимости в полурешетку

архимедовых полугрупп. При этом архимедовы полугруппы

в периодическом случае являются нильрасширениями вполне

простых полугрупп. Полугруппы многообразий конечного

индекса являются нильпотентными расширениями вполне простых

полугрупп. Оба класса периодических полугрупповых многообразий

были выделены в 35, хотя первый из названных здесь классов

там именуется нематричными многообразиями. Ответы даны

в терминах как структурной, так и эквациональной теории

полугрупп. В частности, при решении первой задачи решена

полностью проблема 3.56, поставленная автором в третьем выпуске

Свердловской тетради 36 (теорема 3.2.3). В качестве приложения

развитой техники доказано, что моноидное сплетение многообразия

полурешеток и многообразия абелевых групп экспоненты п есть

существенно бесконечно базируемое многообразие для любого

натурального числа п >2 (теорема 3.5.3), что обобщает результат 37

Теорема 3.2.4.Эквивалентны следующие условия: 1) моноидное сплетение Uw V многообразий полугрупп является периодическим полуархимедовым многообразием; 2) U и V — периодические

35 Сапир М.В., Суханов Е.В. О многообразиях периодических полугрупп // Изв.вузов. Матем. - 1981. - N 4. - С.48-55

36 Свердловская тетрадь, Нерешенные задачи теории полугрупп. Вып. третий, Свердловск, 1989

" Irastorza С., Base поп finie de Varietes // Lect. Notes Coroput. Sei. -1985. - V.182. -P.180-186.

полуархимедовы многообразия и, кроме того, либо U архимедово, либо V состоит только из полурешеток левых нильполугрупп.

Кроме того, теорема 3.2.4 содержит ответ и в терминах эквациональной теории, который здесь не приводится.

В разделе 6 главы 3 находятся необходимые и достаточные условия на полугруппы, при которых их расширенное стандартное сплетение порождает многообразие конечного индекса (теорема 3.6.1).

Теорема 3.6.1. Моноидпое сплетение UwV полугрупповых многообразий является многообразием конечного индекса тогда и только тогда, когда U и V являются многообразиями конечного индекса и имеет место один из следующих четырех случаев: 1)либо V состоит из левых нилъпотентных полугрупп; 2)либо U и V состоят из нилъпотентных расширений вполне простых полугрупп; 3)либо U состоит из нилъпотентных расширений прямоугольных групп, а объединение GrS всех подгрупп любой полугруппы S € V есть правый идеал; ^либо U состоит из нилъпотентных расширений прямоугольных связок.

В разделе 8 главы 3 устанавливается структурная характеризация полугрупп, порождающих какое-либо многообразие конечного индекса, т.е. FI -полугрупп, которая дополняет теорему Сапира - Суханова 38. Найденная характеризация оказалась полезной при рассмотрении примеров. В главе указан также пример пятиэлементной полугруппы, которая не является FI -полугруппой. Данный пример послужил отправной точкой для . характеризации многообразий полугрупп конечного индекса на языке "запрещенных делителей" в совместной работе автора и Волкова М.В. Позднее эта же полугруппа была использована в недавней работе Алмейда Ж. для решения одной из задач, касающихся псевдомногообразий 39. Результаты раздела 8 использованы в разделе 9.

Наконец, в разделе 9 указано применение сплетения полугрупп и результатов о многообразиях конечного индекса к исследованию свойств моноида эндоморфизмов свободного левого S -полигона над

38 Сапир M.B., Суханов Б.В. О многообразиях периодических полугрупп Ц Изв.вузов. Матем. - 1981. - N 4. - С.48-55

39 Almeida J. Power exponents of aperiodic pseudovarieties // Semigroup Forum. - 1999. - V.59, N1. - P.18-32.

моноидом б'. А именно, дается отпет на вопрос, при каких условиях моноид эндоморфизмов свободного левого полигона над моноидом порождает многообразие конечного индекса.

Теорема 3.9.1. Моноид эндоморфизмов Еп<1зР{Х) свободного левого Б -полигона с множеством образующих X для произвольного моноида 3 есть Е1 -полугруппа тогда и только тогда, когда либо 1) |АГ| = 1 и Б есть П -моноид, т.е. это моноид, который является Р1 -полугруппой; либо 2) |Х| = 2 и Б есть группа.

В главе 4 в связи с изучением свойств, которыми обладает моноидное сплетение полугрупповых многообразий, а также сплетение полугрупп, рассматривается задача Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условий на сплетаемые полугруппы, при которых их сплетение является (идеально) простой полугруппой. Очевидным необходимым условием простоты сплетения является простота как активной, так и пассивной полугруппы сплетения. Более точно, в главе 4 решается проблема Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условиях простоты сплетения полугрупп в ряде важных случаев при дополнительных предположениях об активной полугруппе сплетения, а именно: 1) если активная полугруппа простая и каждый ее главный правый идеал вкладывается в максимальный главный правый идеал (в частности, это так для простых полугрупп с единицей) (теорема 4.6.1); 2) если активная полугруппа простая, содержит минимальные левые идеалы и сплетение стандартное (теорема 4.7.1). В частности, проблема решена в случае, если активная полугруппа содержит единицу. Проблема Б.И. Плоткина об (идеальной) простоте сплетения была сформулирована Ю.Г.Кошелевым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38 40. Используя эти результаты, найдены необходимые и достаточные условия на пассивную полугруппу сплетения для того, чтобы при фиксированнной пассивной полугруппе сплетение полугрупп было бы простой полугруппой, * если в качестве активной полугруппы взять произвольную простую полугруппу (теорема 4.1.1).

40 Свердловская тетрадь. Нерешенные задачи Теории полугрупп. Свердловск, Уральский государственный университет, 1979.

Теорема 4.1.1. Сплетение SÄwR является простой полугруппой для любой простой полугруппы R и любого ее правого полигона Ar тогда и только тогда, когда пассивная полугруппа S сплетения проста слева.

Степенью главной левой простоты plsimS полугруппы S называется наименьшее кардинальное число /х, для которого система уравнений

4 = ukcv (к е К), (4.3.1)

с \К\ ~ ц не имеет решения в S относительно щ и v для ; "которых du, с £ S. Если такого кардинального числа не существует, то будем говорить, что S имеет неограниченную степень главной левой простоты.

Для фиксированного г 6 R, степень кратности деления на г определяется как наименьший кардинал dv(r), обладающий свойством таким, что для каждого о G Л, уравнение

xr = а (4-4.1)

имеет меньше, чем dv{r) решений. Предельной степенью кратности деления на t называется кардинал d(t) = inf{dv(r) : г 6 R, vRl D tR1}. Степенью d(A) кратности деления в полигоне А определяется как точная верхняя грань множества всех предельных степеней кратности деления всех элементов полигона, т.е.

d{A) = sup{d(t) : t е R}. (4.4.2)

Теорема 4.6.1.Пусть R есть простая полугруппа, которая является объединением своих максимальных главных правых идеалов. Тогда сплетение SAwR есть простая полугруппа тогда и только тогда, когда справедливо неравенство

d(A) < plsimS, (5.1)

Теорема 4.6.1 есть обобщение известной теоремы Хантера о необходимых и достаточных условиях, при которых стандартное

41

сплетение полугрупп есть вполне простая, полугруппа .

41 Hunter R.P. Some results on wreath products of semigroups // Bull. Soc. Math. Belg. - 1966. -V.1S. - P.3-16

В разделе 9 эти результаты используются для решения задачи, при каких условиях на сплетаемые многообразия, их моноидное сплетение является вполне простым многообразием, т.е. состоит только из вполне простых полугрупп. Решение последней задачи в дальнейшем было использовано в главе 5 при вычислении тождеств моноидиого сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий.

Теорема 4.9.2. Моноидное сплетение полугрупповых

многообразий является вполне простым многообразием тогда и только тогда, когда оба они являются вполне простыми многообразиями и либо и есть многообразие левых групп, либо V есть многообразие групп.

В главе 5 мы возвращаемся к исследованию операции моноидного сплетения полугрупповых многообразий. Ставится задача оценить поведение этой операции для небольших многообразий. А именно, в главе 5 исследуется, как велика может быть подрешетка моноидного сплетения полугрупповых многообразий в случае, если сплетаемые многообразия являются атомами решетки полугрупповых многообразий. Моноидное сплетение полугрупповых многообразий всегда содержит их решеточное объединение (см. главу 1), но может в некоторых случаях довольно сильно от него отличаться. Для получения информации о том, насколько моноидное сплетение может быть больше, чем решеточное объединение этих же многообразий, исследуется поведение этой операции в случае сплетения двух многообразий, каждое из которых является атомом решетки С полугрупповых многообразий.

При вычислении базисов тождеств существенно используются результаты главы 1. Затем либо устанавливается бесконечность решетки всех подмногообразий сплетения двух атомов, либо устанавливается ее конечность и вычисляется эта решетка (теорема 5.1.3). Заметим, что в случае конечной решетки ее полное вычисление выполнено во всех случаях, кроме двух. А именно, в случае, если сплетаемые атомы оба есть абелевы группы различных простых экспонент р и д, эта решетка известна и содержит 5 элементов. В случае же, если первый атом есть многообразие полурешеток, а второй есть многообразие полугрупп

с нулевым умножением, такая решетка достаточно велика и полностью пока не вычислена. Отметим, что в последнем случае вычислены две подполурешетки решетки сплетения этих атомов. Это вычисление показывает, что эта решетка содержит не менее 33 элементов. В то время, как все остальные решетки подмногообразий сплетений атомов, в которых хотя один атом негрупповой, в случае конечности числа элементов в них содержат не более 12 элементов.

Кроме этого, для всевозможных атомов и и V вычисляются теточные интервалы [и УУ, и\уУ] (теорема 5.1.4). Мощность ;х интервалов (если она конечна) вычислена во всех случаях, кроме одного, а именно, она не вычислена, если первый атом есть многообразие полурешеток, а второй атом — полугруппы с нулевым - умножением. В последнем случае показано, что этот решеточный интервал содержит не менее 18 подмногообразий. В остальных же случаях указанный решеточный интервал (если он конечен) содержит не более 4 подмногообразий. В случае двух различных групповых атомов решетка подмногообразий их сплетения известна и содержит 5 элементов, а соответствующий решеточный интервал состоит из двух элементов. Это следует из результатов Хигмэна (см., 42). В случае двух одинаковых групповых атомов решетка подмногообразий их сплетения также известна и бесконечна. Это следует из результатов Ковача и Ньюмэна (см., 43). В случае экспоненты 2 такая решетка является цепью 44.

Последний цикл результатов направлен на вычисления решеток подмногообразий сплетения двух многообразий, которые являются атомами в решетке полугрупповых многообразий с целью оценки, насколько сильно моноидное сплетение отличается от решеточного объединения полугрупповых многообразий. Первая теорема здесь содержит вычисленные базисы тождеств таких сплетений. Вычисления здесь проводятся полностью, хотя для некоторых из соответствующие вычисления проводились для псевдомногообразий другими методами. Такие случаи отмечены в тексте.

42 Нейман X., Многообразия групп, Мир, М., 1969

43 Нейман X., Многообразия групп, Мир, М., 1969

44 Артамонов В.А. Цепные многообразия групп // Труды семинара имени И.Г.Петровского. -Вып.З. - С.3-8

Атомы решетки £ хорошо известны. Это в точности многообразия N2 всех полугрупп с нулевым умножением, всех полурешеток, 1/1 всех полугрупп левых нулей, Г^ всех полугрупп правых нулей, Ар всех абелевых групп простой экспоненты р.

Теорема 5.1.1. 1) Если и - идемпотент моноида МУ полугрупповых многообразий, то Ц\уУ = ТТ V V для любого полугруппового многообразия V. В частности, = N2 V V

и Ь^У = Ь<1 V V для любого атома V решетки £,

2) = Уаг{уху2х = х^х}, П^ууЬх = уаг{хуг = хг] — R1VLlVN2, И? = уаг{хуху2 = У1У2}, = уаг{хг = х2г, хуг — ухг}, Ы^луАр = V Ар = иаг{хуг = ухх, х — урх}.

3) = уаг{х\х2у = Х1Х2у2, Х\х%уг = Х\Х2ху}, вЫЬг = иаг{ху = ху2, хуг = хху}, 81\уГ11 = иаг{х2 = х3, хух = хухух, хухгх = хгхух}, БЬу81 = ьаг{х2 = х3, хух2 = хух, хуху — ху2х, хиуиху — хиуиух, хиуху — хиуух, хуиху = хуьух}.

4) ApwN2 = иат{хххгуг ~ ххх2гу, ххх2ур — х\х2}, АрлуЕ1 = Ар\/1|1 = ьаг{хух = хху, хур = а;}, ApwRx = иаг{х = х(ух)р, х2ух — хух2, (хрур)р — (ху)р}, ApwSl = иаг{х = х1+р, хуиху = хууух}.

5) Многообразия Ар и ApwAq, где р и 5 - простые числа, конечно базируемы. Многообразия БЬлгАр (р - простое число) существенно бесконечно базируемы.

Следствие 5.1.2. Моноидное сплетение Ц\уУ атомов решетки Ь всех полугрупповых многообразий не имеет конечного базиса тождеств тогда и только тогда, когда и = и V = Ар для некоторого простого числа р.

Теорема 5.1.1 существенно используется в доказательстве основной теоремы о решетках подмногообразий моноидного сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий. В этом направлении были известны лишь результаты для периодических групповых многообразий. Хотя в ряде случаев такие результаты просты, но в целом здесь имеются очень нетривиальные случаи.

Теорема 5.1.3. Мощность решетки £(11, V) в случае, если и и V — атомы решетки полугрупповых многообразий, указана в следующей таблице:

Таблица 1.

n2 Li Ri S1 Aq

n2 4 4 4 4 4

Li 4 4 4 4 4

Ri 10 8 5 10 4

S1 конечная 10 бесконечная бесконечная бесконечная

AP 10 4 9 11 5 для рф q

Следствие 5.1.4. Мощность решеточного интервала Х(и, V) = [и V V; илу V] в случае, если и и V — атомы решетки полугрупповых многообразий, указана в следующей таблице: Таблица 2.

n2 Li Ri Sl Aq

n2 1 1 l 1 1

LI 1 1 l 1 1

Ri 3 2 3 3 1

S1 конечная 3 бесконечная бесконечная бесконечная

AP 3 1 3 4 2 для p ф q

Автор выражает свою искренюю признательность своему консультанту Александру Васильевичу Михалеву за всесторонюю поддержку и стимулирующее влияние, а также благодарит участников алгебраических семинаров МГУ и УрГУ за полезные обсуждения и замечания.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Основные публикации

[1] Тищенко A.B. Степень главной левой простоты полугруппы // Изв. вузов. Матем. - 1988. - N 1. - С.79-83.

[2] Тищенко A.B. Замечание о полугрупповых многообразиях конечного индекса // Изв.вузов. Математика. - 1990. - N 7. -С.79-83.

[3] Тищенко A.B. О различных определениях сплетения полугрупповых многообразий// Фундам. и прикл. матем. - 1996.

- Т.2, N 1. - С.233-249.

[4] Тищенко A.B. Сплетения многообразий и полуархимедовы многообразия полугрупп// Труды ММО. - 1996. - Т.57. - С.318-338.

[5] Тищенко A.B. Моноид полугрупповых многообразий относительно сплетения //"Успехи матем. наук. - 1996. - Т.51, вып.2. - С.177-178.

[6] Тищенко A.B. Сплетение атомов решетки полугрупповых многообразий // Успехи матем. наук. - 1998. - Т.53, вып.4. -С.219-220.

[7] Тищенко A.B. Упорядоченный моноид полугрупповых многообразий относительно сплетения// Фундам. и прикл. матем.

- 1999. - Т.5, N 1. - С.283-305.

[8] Tishchenko A.V. Simplicity of wreath product of semigroups with fixed passive semigroup // Semigroup Forum. - 1994. - V.49. - P.275-287.

2. Публикации, примыкающие к основным

[9] Тищенко A.B. Радикальность и полупростота сплетения полугрупп // Сиб. матем. ж. - 1986. - Т.27, N6. - С.183-195.

[10] Тищенко A.B., О нильпотентности в смысле А.И. Мальцева сплетения полугрупп // Успехи матем. наук. - 1988. - 43, вып.5, С.223-224.

[11] Тищенко А. В., Волков М.В. Характеризация многообразий полугрупп конечного индекса на языке "запрещенных делителей" // Изв. вузов. Матем. - 1995. - N 1. - С.91-99.

[12] ТиЩенко A.B. Простота сплетения полугрупп с фиксированной пассивной полугруппой // XIX Всесоюзная алгебр, конф. Тезисы сообщений. 4.1. - Львов. - 1987. - С.277.

[13] Тищенко A.B. Полупрямые произведения обобщенных многообразий полугрупп // Междунар. конф. по алгебре, поев, памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, август 1989). Тезисы докл. по теории моделей и алгебр, систем, Новосибирск, 1989. - С.138.

[14] Тищенко A.B. Когда моноидное сплетение многообразий полугрупп имеет конечный индекс?// Междунар. конф. по алгебре

памяти А.И.Ширшова (Барнаул, август 1991). Тезисы докл. по логике и универс. алгебрам, прихл. алгебре. Новосибирск, 1991. -С.144.

[15] Тищенко А.В. Когда моноид эндоморфизмов свободного полигона порождает полугрупповое многообразие конечного индекса?

' // Третья международная конф. по алгебре памяти М.И.Каргаполова (Красноярск, 23-28 августа 1993), Тезисы докладов. Красноярск, 1993. - С.ЗЗО.

[16] Тищенко А.В. Моноид полугрупповых многообразий относительно моноидного сплетения// Третья Междунар. конф. по алгебре памяти М.И.Каргаполова (Красноярск, 23-28 августа 1993). Тезисы докл. - Красноярск, 1993. - С.331,

[17] Tishchenko A.V. Wreath products of atoms of the lattice of semigroup varieties // Международная конф. "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е.С.Ляпина. Тезисы докладов. - Санкт-Петербург, 1995. - Р.72-73.

[18] Tishchenko A.V. On partially ordered monoid of semigroup varieties// Международная алгебраическая конф. памяти Д.К.Фаддеева. - Санкт-Петербург, 1997. - Р.126-127.

[19] Tishchenko A.V. Indecomposable in a weak sense semigroup varieties// Международная алгебраическая конф. памяти А.Г.Куроша 1998 года- Тезисы докладов. Москва, Механико-математический факультет МГУ, 1998. - С, 122.

[20] Тищенко А.В. Сплетение полугрупповых многообразий и . вполне простые многообразия // Международный алгебр, семинар,

поев. 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (10-12 февраля 1999г.) Тезисы докладов. Москва, Механико-математический факультет МГУ, 1999. - С.55-56.

[21] Тищенко А. В. О решетке подмногообразий моноидного сплетения многообразий //И междунар, конф. "Полугруппы: теория и приложения" в честь Е.С.Ляпина. Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 2-9 июля. - 1999. - С.98-99,

0.1 Актуальность темы.

0.2 Цель работы.

0.3 Решенные проблемы

0.4 Публикации

0.5 Объем и структура работы

0.6 Содержание работы

О различных определениях сплетения полугрупповых многообразий

1.1 Сплетения и полупрямые произведения полугрупп

1.2 Гомоморфизмы и сплетения.

1.3 Различные определения сплетения многообразий

1.4 Алгоритмическая разрешимость проблемы истинности тождества в сплетении полугрупп

1.5 Неассоциативность стандартного сплетения полугрупповых многообразий

1.6 Один пример разложения полу группового многообразия в моноидное сплетение многообразий.

1.7 Достаточное условие совпадения моноидного и общего сплетений многообразий

Упорядоченный моноид полугрупповых многообразий относительно сплетения

2.1 Введение.

2.2 Первая структурная теорема.

2.3 Предварительные сведения.

2.4 Доказательство первой структурной теоремы

2.5 Вторая структурная теорема

2.6 Индексы нильпотентности классов кручения моноида многообразий.

Описание делителей нуля в моноиде полугрупповых многообразий относительно сплетения.

Заключительные замечания.

Сплетения полугрупп, полуархимедовы многообразия и многообразия конечного индекса

3.1 Введение.

3.2 Полуархимедовы многообразия полугрупп

3.3 Обобщенные многообразия.

3.4 Доказательство результатов о полуархимедовых многообразиях полугрупп

3.5 О существенной бесконечной базируемости сплетений многообразий.

3.6 Полугрупповые многообразия конечного индекса

3.7 Доказательство результатов о многообразиях конечного индекса.

3.8 Замечание о полугруппах, порождающих многообразия конечного индекса.

4.2 Предварительные сведения.115

4.3 Степень левой простоты полугруппы.116

4.4 Степень кратности деления в полигоне.119

4.5 Достаточные условия простоты сплетения полугрупп 123

4.6 Простые полугруппы с максимальными главными правыми идеалами .124

4.7 Простые полугруппы с минимальными левыми идеалами.127

4.8 Доказательство основной теоремы .131

4.9 Вполне простые многообразия.133

Сплетение атомов решетки полу групповых многообразий 135

5.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов 135

5.2 Вычисление базисов тождеств сплетения полугрупповых многообразий.140

Введение

0.1 Актуальность темы

Как известно, конструкция сплетения групп возникла в работе Калужнина Л.А., Краснера М. [70] в 1951 году. В 1960 году конструкция стандартного сплетения полугрупп была применена в теории полугрупп Нейманом Б.Х. для доказательства теорем вложения в полугруппах [82]). В частности, он дал новое доказательство теоремы Эванса о вложении произвольной счетной полугруппы в двухпорожденную полугруппу, доказал теорему о вложении любой конечной полугруппы в конечную двухпорожденную полугруппу, а также некоторые другие теоремы вложения [82]).

Проблема исследования операции сплетения полугрупповых многообразий привлекает алгебраистов-исследователей с середины 70-х годов. Этот интерес возник из двух основных источников. Во-первых, благодаря фундаментальным трудам алгебраической школы Роудза, и теории строения конечных полугрупп, имеющей своим истоком знаменитую теорему Крона - Роудза о декомпозиции конечных автоматов и конечных полугрупп, опубликованную в 1965 году [76], ( см. также литературу по этому вопросу в переведенной книге (22]). Во-вторых, интерес к исследованию сплетения многообразий мотивируется тем фактом, что операция произведения групповых многообразий, может быть определена через сплетение групп и показала свою плодотворность при изучении групповых многообразий (см., например, [39]).

В дальнейшем развитии первого направления сыграла важную роль книга С.Эйленберга [62]. Именно в последней книге была определена операция полупрямого произведения псевдомногообразий которая интенсивно исследовалась в последующие годы. Кроме того, в этой книге была доказана важная теорема, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между псевдомногообразиями (конечных) моноидов и потоками рациональных языков (см. также [35, теорема 5.11]). Аналогичная теорема верна й для псевдомногообразий полугрупп и потоков рациональных языков, заданных на свободных полугруппах, а не на свободных моноидах (см. [35]). Таким образом, развиваемая теория имеет непосредственное влияние на теорию формальных языков, возникновение и развитие которой, в частности, в настоящее время мотивируется бурным развитием программирования и вычислительных задач.

В 1987 году Б.Тилсон отмечает, что при переходе от рассмотрения моноидных многообразий и псевдомногообразий к полугрупповым более правильной является операция сплетения полугрупповых многообразий, которая им введена в работе [89]. Это мнение Б.Тилсон мотивирует лучшими возможностями его определения сплетения полугрупповых многообразий при обобщениях на некоторые категории, содержащие полугруппы. Более точно Б.Тилсон отметил, что полупрямое произведение в смысле Эйленберга, которое является вполне подходящим для псевдомногообразий моноидов, не является подходящим для многообразий полугрупп, так как доказанная им "теорема о задержке" для многообразий моноидов, перестает быть верной для многообразий полугрупп. Впрочем, обе операции близки, хотя и не совпадают (см. [89]).

Отметим также, что параллельно с полупрямым произведением в литературе рассматривались и другие произведения псевдомногообразий моноидов, например, двустороннее полупрямое произведение, произведение Шютценберже (см. [61, 79]).

В частности, рассматривался и другой аналог произведения групповых многообразий, а именно, мальцевское произведение (см., например, [49, 52]). Группоид полугрупповых многообразий отнсительно мальцевского произведения был изучен на классе идемпотентных полугрупп Е.В.Сухановым в [88]. В частности, выяснилось, что мальцевское произведение в этом случае, как правило, неассоциативно. В литературе обсуждались и случаи совпадения полупрямого произведения и мальцевского произведения псевдомногообразий [65].

В теории Крона - Роудза уже рассматривались сплетения полугрупп преобразований, что позволило предложить ассоциативную конструкцию сплетения и явилось дальнейшим обобщением сплетения. В 1979 году Скорняков JI.A. [86] рассмотрел сплетение моноидов с помощью полигона, что явилось еще некоторым расширением конструкции Крона -Роудза. Такое сплетение было применено им для изучения моноида эндоморфизмов свободного полигона над моноидом. В дальнейшем различные модификации сплетения с успехом применялись Кнауэром У. и Михалевым A.B. для изучения моноидов эндоморфизмов полигонов (см., например, [71, 72, 73]).

Здесь важно отметить, что при переходе от групп к полугруппам могут возникать различные определения сплетения полугрупповых многообразий, как это и было исторически. Однако, здесь существенно отметить, что вариант определения Тилсона, является, по-видимому, оптимальным. Это мотивируется на наш взгляд двумя следующимим факторами. Во-первых, тем, что операция сплетения полугрупповых многообразий ассоциативна (см. [89]). Это не так для стандартного сплетения полугрупповых многообразий, которое определил Ю.Г.Кошелев в 1976 году. Во-вторых, эта операция для периодических групповых многообразий совпадает с операцией произведения групповых многообразий. Это не так для произведения многообразий полугрупп, которое предложил рассматривать Ю.Г.Кошелев в 1989 году [33]. Для непериодических групповых многообразий о таком совпадении думать не приходится, так как непериодические групповые многообразия уже не являются полугрупповыми многообразиями. При этом операция сплетения для непериодических (надкоммутативных) полугрупповых многообразий является слишком грубой, так как сплетение двух надкоммутативных многообразий равно многообразию всех полугрупп.

Вопрос об описании структуры моноида полугрупповых многоЪбразий относительно сплетения возник в связи с известной теоремой А.Л.Шмелькина и Б.Х.Нейман, Х.Нейман, П.М.Нейман, а также известного описания всех идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий (см. [39, теоремы 23.32 и 23.4] и [31]). Теорема А.Л.Шмелькина и трех Нейманов утверждает, что полугруппа всех нетривиальных групповых многообразий относительно сплетения является свободной полугруппой.

Вопросы, связанные с изучением сплетения периодических полугрупповых многообразий возникли как вопросы наиболее актуальные при изучении операции сплетения многообразий в связи с полученными результатами о структуре моноида полугрупповых многообразий. Одновременно с этим возник интерес к выяснению, при каких условиях сплетение полугрупповых периодических многообразий обладает тем или иным хорошим свойством. Рассматриваемые классы многообразий вводились при изучении периодических многообразий полугрупп как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из которых они состоят, на языке полурешеточных разложений. Задачи обсуждались с М.В.Сапиром на XIX Всесоюзной алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 в третьем выпуске Свердловской тетради [47].

При изучении сплетения полугрупповых многообразий оказалось полезным решение задач, выясняющих при каких условиях сплетение полугрупп обладает тем или иным хорошим свойством. Такие вопросы начинают изучаться в литературе, начиная с середины 60-х годов. Хантер в 1966 году нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы вполне простой полугруппой (см. [68]). В 1969 году Мур [81] нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы коммутативной полугруппой. В 1972 году Макнайт и Садовский Е. [80] отметили наличие ошибки в доказательстве Хантера и дали другое доказательство его теоремы. При этом они доказали также, что сплетение Ж вполне простых полугрупп всегда удовлетворяет равенству И^2 = В 1976 году Ю. Г. Коше лев нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы сплетение полугрупп принадлежало бы одному из следующих классов полугрупп: инверсные, регулярные, простые слева (справа), левые (правые) группы, группы, полурешетки, идемпотентные и т.п. (см. [29, 30]). Позднее Л.А.Скорняков предложил другие необходимые и достаточные условия регулярности сплетения моноидов [86].

Проблема Б.И. Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условий идеальной простоты сплетения полугрупп была сформулирована Ю. Г. Коше левым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38 [46].

В [63] отмечено, что если полугруппа конечна, то псевдомногообразие ею порожденное, совпадает с псевдомногообразием, заданным множеством тождеств этой полугруппы. Это означает, что такое псевдомногообразие есть пересечение многообразия, порожденного этой полугруппой с классом всех конечных полугрупп. Как следует из результатов главы 5, почти все сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий порождаются конечными полугруппами. Следовательно, результаты этой главы могут рассматриваться и как результаты, непосредственно относящиеся к теории псевдомногообразий.

0.2 Цель работы

Цель работы - исследование операции сплетения полугрупп и, в первую очередь, ее применение при изучении моноидного сплетения полугрупповых многообразий для решения следующих задач.

1. Нахождение описания структуры моноида полугрупповых многообразий с помощью разложения в полурешетку подполугрупп, и получение информации об этих подполугруппах.

2. Нахождение необходимых и достаточных условий на сплетаемые многообразия, при которых их моноидное сплетение является: а) многообразием всех полугрупп; б) многообразием конечного индекса; в)полуархимедовым многообразием; г)вполне простым многообразием.

3. Нахождение необходимых и достаточных условий на пассивную полугруппу сплетения для того, чтобы при фиксированнной пассивной полугруппе сплетение полугрупп было бы простой полугруппой, если в качестве активной полугруппы взять произвольную простую полугруппу.

4. Вычисление базисов тождеств и решеток подмногообразий для сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий с целью сопоставления операции моноидного сплетения полугрупповых многообразий и их решеточного объединения. В частности, решаются вопросы а) конечной базируемости сплетения; б) конечности решетки подмногообразий сплетения; в) порождаемости конечной полугруппой сплетения многообразий в рассматриваемых случаях.

0.3 Решенные проблемы

1. Проблема Нейманов — Шмелькина для полугрупповых многообразий, возникшая как задача описания структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения. Задача была поставлена в связи с известной теоремой А.Л.Шмелькина и Б.Х.Нейман, Х.Нейман, П.М.Нейман, а также известного описания идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий.

2. Задача М.В.Сапира о выяснении необходимых и достаточных условий, при которых сплетение полугрупповых многообразий является многообразием конечного индекса или полуархимедовым многообразием. Эти классы многообразий возникли при изучении периодических многообразий полугрупп как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из которых они состоят, на языке полурешеточных разложений. Задачи были высказаны М.В.Сапиром на XIX Всесоюзной алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 в Свердловской тетради [47].

3. Решена проблема Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условиях идеальной простоты сплетения полугрупп в случае, если активная полугруппа сплетения есть объединение своих максимальных главных правых идеалов, а также в случае если активная полугруппа сплетения содержит минимальные левые идеалы, а само сплетение стандартно. Проблема была сформулирована Ю. Г. Коше левым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38. Эти результаты обобщают теорему Хантера, которая давала необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы вполне простой полугруппой [68].

4. Решена "ослабленная проблема Б.И.Плоткина", а именно, найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы при фиксированной пассивной полугруппе, сплетение двух полугрупп было бы идеально простой полугруппой при любой активной простой полугруппе.

5. Выяснено, в каких случаях решетка подмногообразий моноидного сплетения полугрупповых многообразий, каждое из которых является атомом решетки полугрупповых многообразий, является конечной. При этом конечные решетки вычислены в явном виде во всех случаях, кроме случая, когда первое из сплетаемых многообразий есть многообразие полурешеток, а второе — многообразие полугрупп с нулевым умножением.

0.4 Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах, перечисленных в конце диссертации. Среди них одна является совместной. Результаты диссертации докладывались на XIX Всесоюзная алгебраической конференции (Львов, 1987), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, Барнаул, 1991, Санкт-Петербург, 1997), на международных конференциях по теории полугрупп и ее приложениям в Санкт-Петербурге в 1995 и в 1999 году, на Международном алгебраическом семинаре в МГУ (Москва, 1999). Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули" в МГУ, на научно-исследовательском семинаре по алгебре в МГУ и на семинаре "Алгебраические системы" в Уральском государственном университете в Екатеринбурге.

0.5 Объем и структура работы

Работа состоит из введения, пяти глав и занимает около 200 страниц компьютерного текста. Список литературы содержит 90 наименований. Имеется 12 рисунков и 2 таблицы. 0.6 Содержание работы

Исследования, проведенные в диссертации можно разделить на три группы вопросов. Во-первых? изучение структуры моноида полугрупповых многообразий относительно операции сплетения. Во-вторых, нахождение необходимых и достаточных условий на сплетаемые полугруппы (или многообразия), при которых их сплетение обладает одним из указанных выше хорошим свойством. В-третьих, в последней части диссертации вычисляются сплетения многообразий, которые являются атомами решетки С полугрупповых многообразий. Такие вычисления производятся для того, чтобы оценить, насколько сильно сплетение полугрупповых многообразий отличается от их решеточного объединения. Все группы вопросов связаны общим предметом и методологией исследования. В основе применяемого метода исследования лежат комбинаторное вычисление тождеств сплетения полугрупп и использование структуры рассматриваемых полугрупп Опишем теперь содержание диссертации по главам.

Отметим, что в работе принята следующая система ссылок: ссылка на теорему 1.4.2 означает, что это теорема 4.2, сформулированная в разделе 4 главы 1. При этом при ссылке внутри одной главы первая цифра, означающая номер главы, как правило, опускается.

В главе 1 обсуждается выбор определения этой операции из уже возникавших в литературе. Выбирается операция сплетения полугрупповых многообразий, введенная в 1987 году Б.Тилсоном [89]. Одновременно разрабатывается техника определения, истинно ли заданное тождество в сплетении полугрупп, если мы умеем определять истинно ли тождество в сплетаемых полугруппах.

Операцию сплетения полугрупповых многообразий, которую впервые определил Тилсон, мы называем моноидным сплетением в отличие от общего и стандартного сплетения многообразий, которые рассматривал Ю.Г.Кошелев (см. [33, 31]). Операция моноидного сплетения полугрупповых многообразий была определена в [89, 7]. Обсуждение возможных определений сплетения многообразий, которые возникали в литературе, и разработка техники вычислений тождеств сплетения полугрупповых многообразий проводится в главе 1. Предпочтение моноидному сплетению многообразий отдается на том основании, что оно ассоциативно в отличие от стандартного сплетения полугрупповых многообразий и совпадает с групповым произведением периодических групповых многообразий в отличие от общего сплетения полу групповых многообразий.

Основным результатом главы 1 является теорема 1.4.2 и алгоритм 1.4.1, позволяющие определять, справедливо ли данное тождество в сплетении полугрупп при условии, что мы умеем проверять справедливость тождеств в сплетаемых полугруппах. Из этих результатов выводятся необходимые и достаточные условия истинности тождества в моноидном сплетении полугрупповых многообразий (теорема 1.4.5). Приведен пример, показывающий, что стандартное сплетение полугрупповых многообразий неассоциативно уже на подгруппоиде, порожденном двумя атомами решетки полугрупповых многообразий.

Кроме того, техника вычислений тождеств сплетения полугрупп и полугрупповых многообразий, разработанная в главе 1, используется в дальнейшем на протяжении всей диссертации:.

В главе 2 решается проблема Нейманов — Шмелькина для полугрупповых многообразий, возникшая как задача -описания структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения. Задача была поставлена в связи с известной теоремой А.Л.Шмелькина и Б.Х.Нейман, Х.Нейман, П.М.Нейман, а также известного описания идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий (см. [39, теоремы 23.32 и 23.4] и [31]).

Отметим, что моноид полу групповых многообразий имеет существенно более сложную структуру, чем моноид групповых многообразий, который является просто свободным моноидом континуального ранга с внешне присоединенным нулем. В главе содержится ряд важных результатов о структуре этого моноида, которые дают представление об этом моноиде в целом. Отдельные части моноида получают полное или же достаточно ясное описание. О других же частях показано, что они имеют сложную структуру, а также установлены их отдельные свойства. Прояснение структуры моноида полугрупповых многообразий ставит дальнейшие задачи по его исследованию.

Дадим теперь точные формулировки основных результатов диссертации. Для этого введем ряд обозначений. Пусть ОС —1 множество всех надкоммутативных многообразий, I — множество, состоящее из одного многообразия Т всех тривиальных полугрупп, О — множество всех периодических групповых многообразий, ЬЫ — множество всех периодических многообразий, состоящих из нильпотентных слева полугрупп, М — множество всех периодических многообразий, которые содержат хотя бы одну полугруппу, не являющуюся группой и нильпотентной слева полугруппой. Очевидно, что разложение

МУ = / и ьы и в и м и ОС -(*) есть разложение МУ в объединение попарно не пересекающихся подмножеств.

Теорема 2.2.2 (Первая структурная теорема). Моноид МУ полугрупповых многообразий может быть разложен в пятиэлементную полурешетку (*) своих подполугрупп I, С, М, ОС, причем

ОС < М, М < LN1 М < G, LN < I, С < I.

При этом ОС — идеал с нулевым умножением в МУ мощности континиума, G — свободная полугруппа континуального ранга, LN разложима в счетную полурещетку конечных нильпотентных подполугрупп Т(Ь-ьт)(т > 1,0 < 3 < т), М — полугруппа без идемпотентов, содержащая подполугруппу С, изоморфную свободной полугруппе континуального ранга, но не удовлетворяющая закону ни правого, ни левого сокращения.

Первая структурная теорема дает разложение в полурешетку моноида МУ всех полугрупповых многообразий относительно моноидного сплетения. Кроме того, очевидно, что компоненты 1, ОС не требуют дополнительного описания. Компонента С совпадает со свободной полугруппой всех групповых периодических многообразий и результаты, связанные с ее описанием и, в частности, различные серии примеров неразложимых многообразий имеются в книге [39]. Компонента ЬМ описывается во второй структурной теореме с помощью дальнейшего разложения ее в полурешетку уже полурешеточно неразложимых конечных нильпотентных полугрупп.

Теорема 2. 5.2 (Вторая структурная теорема).Класс кручения Т(Ь^т), где т > 1, 0 < з < га, содержит наименьшее многообразие Ц^т, которое может быть задано следующим набором тождеств:

XI. х^уг. утЧ = хг. . 2т-у+ъ (1) х2 = х2г, (2) хух = хухх, (3) хух = ж?/2, (4)

Жх . . жууг = а?!. . х^гу (5)

При этом Т(Ь^т) совпадает с решеточным отрезком [и};т; Ь];ГП] и является подалгеброй алгебры (МУ, w, П, V,).

Что касается последней компоненты М, то она является полугруппой без идемпотентов, и ее исследование с помощью дальнейшего разложения в полурешетку подполугрупп не является эффективным инструментом изучения. Пока здесь она не имеет достаточно ясного описания, но сложность ее структуры характеризуется информацией, указанной первой структурной теореме, а именно: она содержит с одной стороны, в качестве подполугруппы свободную полугруппу континуального ранга, а с другой стороны, она не удовлетворяет закону ни правого, ни левого сокращения. Этот факт показывает, что пока мы можем только эффективно описывать не всю эту компоненту, но лишь какие-либо ее части.

В связи с этим, далее решаются задачи о нахождении необходимых и достаточных условий на сплетаемые многообразия, при которых их моноидное сплетение является: а)многообразием всех полугрупп; б) многообразием конечного индекса; в)полуархимедовым многообразием; г)вполне простым многообразием. Решение этих задач тесно связано с решением соответствующих задач для сплетения полугрупп, которые также рассматриваются в диссертации.

Кроме первой и второй структурной теоремы в главе 2, вычислены индексы нильпотентности полугрупп Г0т(ш > 1) (теорема 2.6.1). В частности, из этого результата следует, что индексы нильпотентности полугрупп не ограничены в совокупности (следствие 2.6.9).

Наконец, в последнем разделе 7 найдены необходимые и достаточные условия, при которых сплетение двух полугрупповых многообразий равно нулю моноида, т.е. совпадает с многообразием всех полугрупп (теорема 2.7.1).

Как следует из результатов главы 2, сама операция сплетения полугрупповых многообразий для непериодических (или в других терминах надкоммутативных) многообразий тривиальна, так как совпадает с многобразием всех полугрупп. Поэтому интерес представляет случай, когда по крайней мере одно из сплетаемых многообразий периодическое. В частности, если оба они периодические.

В главе 3 изучается вопрос, при каких условиях полугруппы сплетения периодических полугрупповых многообразий обладают хорошими структурными свойствами. Более точно, решаются вопросы, при каких условиях на сплетаемые многообразия, их моноидное сплетение является периодическим полуархимедовым многообразием или многообразием конечного индекса. Оба класса периодических полугрупповых многообразий были выделены в [45], хотя первый из названных здесь классов там именуется нематричными многообразиями. Ответы даны в терминах как структурной, так и эквациональной теории полугрупп. В частности, при решении первой задачи решена полностью проблема 3.56, поставленная автором в третьем выпуске Свердловской тетради [47] (теорема 3.2.3). В качестве приложения развитой техники доказано, что моноидное сплетение многообразия полурешеток и многообразия абелевых групп экспоненты п есть существенно бесконечно базируемое многообразие для любого натурального числа п > 2 (теорема 3.5.3).

Теорема 3.2.4. Эквивалентны следующие условия: 1) моноидное сплетение и\уУ многообразий полугрупп является периодическим полу архимедовым многообразием; 2) и и V — периодические полуархимедовы многообразия и, кроме того, либо и архимедово, либо V состоит только из полурешеток левых нилъполугрупп.

Кроме того, теорема 3.2.4 содержит ответ и в терминах эквациональной теории, который здесь не приводится.

Теорема &.5.&.Моноидное сплетение 81\уАп многообразия 81 полурешеток и многообразия Ап абелевых групп экспоненты п является существенно бесконечно базируемый многообразием для любого натурального числа п> 2.

В разделе 6 главы 3 находятся необходимые и достаточные условия на полугруппы, при которых их расширенное стандартное сплетение порождает многообразие конечного индекса (теорема 3.6.1). Выбор этих классов многообразий обусловлен тем, что среди периодических многообразий полугруппы этих классов обладают хорошими структурными свойствами разложимости в полурешетку архимедовых полугрупп. При этом архимедовы полугруппы в периодическом случае являются нильрасширениями вполне простых полугрупп. Более того, в случае многообразий конечного индекса они являются нильпотентными расширениями вполне простых полугрупп.

Теорема 3.6.1. Моноидное сплетение ИлуУ полугрупповых многообразий является многообразием конечного индекса тогда и только тогда, когда и и V являются многообразиями конечного индекса и имеет место один из следующих четырех случаев: Г)либо V состоит из левых нилъпотентных полугрупп; 2)либо и и V состоят из нилъпотентных расширений вполне простых полугрупп; 3)либо и состоит из нилъпотентных расширений прямоугольных групп, а объединение ОгБ всех подгрупп любой полугруппы Б £ V есть правый идеал; 4)ли^° и состоит из нилъпотентных расширений прямоугольных связок.

В разделе 8 главы 3 устанавливается структурная характеризация полугрупп, порождающих какое-либо многообразие конечного индекса, т.е. П-полугрупп, которая дополняет теорему Сапира - Суханова [45, 52]. Найденная характеризация оказалась полезной при рассмотрении примеров. В главе указан также пример пятиэлементной полугруппы, которая не является П-полугруппой. Данный пример послужил отправной точкой для характеризации многообразий полугрупп конечного индекса на языке "запрещенных делителей" в совместной работе автора и

Волкова М.В. [10]. Позднее эта же полугруппа была использована в недавней работе Алмейда Ж. для решения одной из задач, касающихся псевдомногообразий [58]. Результаты раздела 8 использованы в разделе 9.

Наконец, в разделе 9 указано применение сплетения полугрупп и результатов о многообразиях конечного индекса к исследованию свойств моноида эндоморфизмов свободного левого S -полигона над моноидом S. А именно, дается ответ на вопрос, при каких условиях моноид эндоморфизмов свободного левого полигона над моноидом порождает многообразие конечного индекса.

Теорема 3.9.1. Моноид эндоморфизмов EndsF(X) свободного левого S -полигона с множеством образующих X для произвольного моноида S есть FI -полугруппа тогда и только тогда, когда либо 1) .= 1 и S есть FI -моноид, т.е. это моноид, который является FI -полугруппой; либо 2) \Х\ —2 и S есть группа.

Отметим, что применение сплетений для исследования свойств моноидов эндоморфизмов было начато в [86], а затем продолжено в серии работ [71, 72, 73].

В главе 4 в связи с изучением свойств, которыми обладает моноидное сплетение полугрупповых многообразий, а также сплетение полугрупп, рассматривается задача Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условий на сплетаемые полугруппы, при которых их сплетение является (идеально) простой полугруппой. Очевидным необходимым условием простоты сплетения является простота как активной, так и пассивной полугруппы сплетения. Более точно, в главе 4 решается проблема Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условиях простоты сплетения полугрупп в ряде важных случаев при дополнительных предположениях об активной полугруппе сплетения, а именно: 1) если активная полугруппа простая и каждый ее главный правый идеал вкладывается в максимальный главный правый идеал (в частности, это так для простых полугрупп с единицей) (теорема 4.6.1); 2) если активная полугруппа простая, содержит минимальные левые идеалы и сплетение стандартное (теорема 4.7.1). В частности, проблема решена в случае, если активная полугруппа содержит единицу. Проблема Б.И. Плоткина об (идеальной) простоте сплетения была сформулирована Ю. Г. Коше левым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38 [46]. Используя эти результаты, найдены необходимые и достаточные условия на пассивную полугруппу сплетения для того, чтобы при фиксированнной пассивной полугруппе сплетение полугрупп было бы простой полугруппой, если в качестве активной полугруппы взять произвольную простую полугруппу (теорема 4.1.1).

Теорема 4.1.1. Сплетение 3А,шИ является простой полугруппой для любой простой полугруппы Я и любого ее правого полигона Ац тогда и только тогда, когда пассивная полугруппа 5 сплетения проста слева.

Степенью главной левой простоты р1з1т8 полугруппы £ называется наименьшее кардинальное число /и, для которого система уравнений

4 = щси (к £ К), (4.3.1) с \К\ = ¡1 не имеет решения в 5 относительно щ и V для некоторых ¿4, с 6 5. Если такого кардинального числа не существует, то будем говорить, что 5 имеет неограниченную степень главной левой простоты.

Для фиксированного г £ Л, степень кратности деления на г определяется как наименьший кардинал ¿¿г>(г), обладающий свойством таким, что для каждого а 6 А, уравнение хг = а (4-4.1) имеет меньше, чем <Ьи(г) решений. Предельной степенью кратности деления на £ называется кардинал = : г Е Д, г Я1 Э Ш1}. Степенью «¿(А) кратности деления в полигоне А определяется как точная верхняя грань множества всех предельных степеней кратности деления всех элементов полигона, т.е.

А) = гшр{<г(*) : г <= К}. (4.4.2)

Теорема 4.6.1.Пусть И есть простая полугруппа, которая является объединением своих максимальных главных правых идеалов. Тогда сплетение вАгиК есть простая полугруппа тогда и только тогда, когда справедливо неравенство д(А) < рЫтв, (4.5.1)

Теорема 4.6.1 есть обобщение известной теоремы Хантера о необходимых и достаточных условиях, при которых стандартное сплетение полугрупп есть вполне простая полугруппа [68, 80].

В разделе 9 эти результаты используются для решения задачи, при каких условиях на сплетаемые многообразия, их моноидное сплетение является вполне простым многообразием, т.е. состоит только из вполне простых полугрупп. Решение последней задачи в дальнейшем было использовано в главе 5 при вычислении тождеств моноидного сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий.

Теорема 4.9.2. Моноидное сплетение полугрупповых многообразий является вполне простым многообразием тогда и только тогда, когда оба они являются вполне простыми многообразиями и либо и есть многообразие левых групп, либо V есть многообразие групп.

В главе 5 мы возвращаемся к исследованию операции моноидного сплетения полугрупповых многообразий. Ставится задача оценить поведение этой операции для небольших многообразий. А именно, в главе 5 исследуется, как велика может быть подрешетка моноидного сплетения полугрупповых многообразий в случае, если сплетаемые многообразия являются атомами решетки полу групповых многообразий. Моноидное сплетение полугрупповых многообразий всегда содержит их решеточное объединение (см. главу 1), но может в некоторых случаях довольно сильно от него отличаться. Для получения информации о том, насколько моноидное сплетение может быть больше, чем решеточное объединение этих же многообразий, исследуется поведение этой операции в случае сплетения двух многообразий, каждое из которых является атомом решетки С, полугрупповых многообразий.

При вычислении базисов тождеств существенно используются результаты главы 1. Затем либо устанавливается бесконечность решетки всех подмногообразий сплетения двух атомов, либо устанавливается ее конечность и вычисляется эта решетка (теорема 5.1.3). Заметим, что в случае конечной решетки ее полное вычисление выполнено во всех случаях, кроме двух. А именно, в случае, если сплетаемые атомы оба есть абелевы группы различных простых экспонент р и д, эта решетка известна и содержит 5 элементов. В случае же, если первый атом есть многообразие полурешеток, а второй есть многообразие полугрупп с нулевым умножением, такая решетка достаточно велика и полностью пока не вычислена. Отметим, что в последнем случае вычислены две подполурешетки решетки сплетения этих атомов. Это вычисление показывает, что эта решетка содержит не менее 33 элементов. В то время, как все остальные решетки подмногообразий сплетений атомов, в которых хотя один атом негрупповой, в случае конечности числа элементов в них содержат не более 12 элементов.

Кроме этого, для всевозможных атомов и и V вычисляются решеточные интервалы [их/Л^илуУ] (теорема 5.1.4). Мощность этих интервалов (если она конечна) вычислена во всех случаях, кроме одного, а именно, она не вычислена, если первый атом есть многообразие полу решеток, а второй атом — полугруппы с нулевым умножением. В последнем случае показано, что этот решеточный интервал содержит не менее 18 подмногообразий. В остальных же случаях указанный решеточный интервал (если он конечен) содержит не более 4 подмногообразий. В случае двух различных групповых атомов решетка подмногообразий их сплетения известна и содержит 5 элементов, а соответствующий решеточный интервал состоит из двух элементов. Это следует из результатов Хигмэна (см., [39, 66]). В случае двух одинаковых групповых атомов решетка подмногообразий их сплетения также известна и бесконечна. Это следует из результатов Ковача и Ньюмэна (см., [39, 75]). В случае экспоненты 2 такая решетка является цепью [23].

Последний цикл результатов направлен на вычисления решеток подмногообразий сплетения двух многообразий, которые являются атомами в решетке полугрупповых многообразий с целью оценки, насколько сильно моноидное сплетение отличается от решеточного объединения полугрупповых многообразий. Первая теорема здесь 'содержит вычисленные базисы тождеств таких сплетений. Вычисления здесь проводятся полностью, хотя для некоторых из соответствующие вычисления проводились для псевдомногообразий другими методами. Такие случаи отмечены в тексте.

Атомы решетки С хорошо известны [51]. Это в точности многообразия N2 всех полугрупп с нулевым умножением, всех полурешеток, Ьх всех полугрупп левых нулей, К^ всех полугрупп' правых нулей, Ар всех абелевых групп простой экспоненты р.

Теорема 5.1.1. 1) Если и - идемпотент моноида МУ полугрупповых многообразий, то = и V V для любого полу группового многообразия V. В частности, N2wV = N2 V V и Ь^У = V V для любого атома V решетки С.

2) RlwN2 = уаг{у\у2х = г^х}, Ы^Ь! — var{xyz = хг] = КхУЬхУ^, = иаг{хугу2 = У1У2}, RlwSl = уаг{хг = х2г, хуг = ухг}, К^Ар = Их V Ар = уаг{хуг = ухг, х - урх}.

3) 81\уМ2 = уаг{х1Х2У = Х1Х2у2, хгх2уг = х^х^у], БЬуЬх = уаг{ху — ху2, хух = хху], ЭЬл^х = уаг{х2 = ж3, хух — хухух, хухгх — хххух}, 8ЬуБ1 = уаг{х2 — ж3, хух2 — хух, хуху = ху2х, хиууху = хиууух, хиуху = хиуух, хууху = хууух}.

4) Ар\у^ = var{xlX2yz = х1 х2гу, х1х2ур = Х1Х2}, Ар\уЬх = Ар V = иаг{хуг = хгу, хур = х], ApwRl = уаг{х — х(ух)р, х2ух = хух2, ,(хрур)р = (ху)р}, ApwSl = уаг{х — х1+р, хууху = хууух}.

5) Многообразия Ар и Ар\\гАч 7 где р и q - простые числа, конечно базируемы. Многообразия 81\уАр (р ~ простое число) существенно бесконечно базируемы.

Следствие 5.1.2. Моноидное сплетение ИчуУ атомов решетки Ь всех полугрупповых многообразий не имеет конечного базиса тождеств тогда и только тогда, когда и = 81 и V = Ар для некоторого простого числа р.

Теорема 5.1.1 существенно используется в доказательстве основной теоремы о решетках подмногообразий моноидного сплетения атомов решетки полу групповых многообразий. В этом направлении были известны лишь результаты для периодических групповых многообразий. Хотя в ряде случаев такие результаты просты, но в целом здесь имеются очень нетривиальные случаи.

Теорема 5.1.3. Мощность решетки £(и,У) в случае, если и и V — атомы решетки полугрупповых многообразий, указана в следующей таблице:

Таблица 1.

N2 Ьх

N2 4 4

Ь1 4 4

10 8 конечная 10

Ар 10 4

1*4 4 4 5 бесконечная 9

81

4 4 10 бесконечная 11

4 4 4 бесконечная

5 для р ф д

Следствие 5.1.4. Мощность решеточного Х(и,У) = [и V V; илуУ] в случае, если и и V решетки полугрупповых многообразий, указана в таблице: Таблица 2. интервала — атомы следующей

N2 Ь

N2 1 1

1а 1 1

Ях 3 2

81 конечная 3

АР 3 1

Кх

1 1 3 бесконечная 3

1 1 3 бесконечная 4

1 1 1 бесконечная 2 для рф д

Автор выражает свою искренюю признательность своему консультанту Александру Васильевичу Михалеву за всесторонюю поддержку и стимулирующее влияние, а также благодарит участников алгебраических семинаров МГУ и УрГУ за полезные обсуждения и замечания.

1. Тищенко A.B. Радикальность и полупростота сплетения полугрупп// Сиб. матем. ж. 1986. - Т.27, N6. - С.183-195.

2. Тищенко A.B. Простота сплетения полугрупп с фиксированной пассивной полугруппой // XIX Всесоюзная алгебр, конф. Тезисы сообщений. 4.1. Львов. - 1987. - С.277.

3. Тищенко A.B., О нильпотентности в смысле А.И. Мальцева сплетения полугрупп // Успехи матем. наук. 1988. - 43, вып.5, С.223-224.

4. Тищенко A.B. Степень главной левой простоты полугруппы // Изв. вузов. Матем. 1988. - N 1. - С.79-83.

5. Тищенко A.B. Полупрямые произведения обобщенных многообразий полугрупп // Междунар. конф. по алгебре, поев, памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, август 1989). Тезисы докл. по теории моделей и алгебр, систем, Новосибирск, 1989.- С.138.

6. Тищенко A.B. Замечание о полу групповых многообразиях конечного индекса // Изв.вузов. Математика. 1990. - N 7.- С.79-83.

7. Тищенко A.B. Когда моноидное сплетение многообразий полугрупп имеет конечный индекс?// Междунар. конф. по алгебре памяти А.И.Ширшова (Барнаул, август 1991). Тезисы докл. по логике и универс. алгебрам, прикл. алгебре. Новосибирск, 1991. С.144.

8. Тищенко A.B. Моноид полу групповых многообразий относительно моноидного сплетения// Третья Междунар. конф. по алгебре памяти М.И.Каргаполова (Красноярск, 23-28 августа 1993). Тезисы докл. Красноярск, 1993. - С.331.

9. Тищенко А. В., Волков М.В. Характеризация многообразий полугрупп конечного индекса на языке "запрещенных делителей" // Изв. вузов. Матем. 1995.- N 1. С.91-99.

10. Тищенко A.B. О различных определениях сплетения полугрупповых многообразий// Фундам. и прикл. матем. 1996. - Т.2, N 1. - С.233-249.

11. Тищенко A.B. Сплетения многообразий и полуархимедовы многообразия полугрупп// Труды ММО. 1996. - Т.57. -С.318-338.

12. Тищенко A.B. Моноид полу групповых многообразий относительно сплетения // Успехи матем. наук.- 1996. Т.51, вып.2. - С.177-178.

13. Тищенко A.B. Сплетение атомов решетки полу групповых многообразий // Успехи матем. наук. 1998. - Т.53, вып.4.- С.219-220.

14. Тищенко A.B. Упорядоченный моноид полугрупповых многообразий относительно сплетения // Фундам. и прикл. матем. 1999. - Т.5, N 1. - С.283-305.

15. Тищенко А. В. О решетке подмногообразий моноидного сплетения многообразий //II междунар. конф. "Полугруппы: теория и приложения" в честь Е.С.Ляпина. Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 2-9 июля. 1999. - С.98-99.

16. Tishchenko A.V. Simplicity of wreath product of semigroups with fixed passive semigroup // Semigroup Forum. 1994. - V.49. -P.275-287.

17. Tishchenko A.V. Wreath products of atoms of the lattice of semigroup varieties // Международная конф. "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е.С.Ляпина. Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 1995. -Р.72-73.

18. Tishchenko A.V. On partially ordered monoid of semigroup varieties// Международная алгебраическая конф. памяти Д.К.Фаддеева. Санкт-Петербург, 1997. - Р. 126-127.

19. Tishchenko A.V. Indecomposable in a weak sense semigroup varieties// Международная алгебраическая конф. памяти А.Г.Куроша 1998 года. Тезисы докладов. Москва, Механико-математический факультет МГУ, 1998. С. 122.Цитированная литература

20. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп. Под редакцией М.А.Арбиба. М., Статистика, 1975.

21. Артамонов В.А. Цепные многообразия групп // Труды семинара имени И.Г.Петровского. Вып.З. - С.3-8.

22. Бирюков А.П. Полугруппы, заданные тождествами // Учен, зап. Новосибирского пед. ин-та. 1963. - Т.18. - С.139-169.

23. Бирюков А.П. Многообразия идемпотентных полугрупп // Алгебра и логика. 1970. - Т.9. - N 3. - С.255-273.26. ГолубовЭ.А., Сапир М.В. Многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп // ДАН СССР. 1979. - Т.247. - N 5. - С.1037-1041.

24. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т.1-2. М.: Мир, 1972.28 2930