Некоторые непрерывные и итеративные методы решения некорректных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕПРЕРЫВНЫЕ АНАЛОГИ МЕТОДОВ КВАЗИОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

§1. Непрерывный аналог метода квазиобращения Латтеса

Лионса.

§2. Непрерывный аналог метода квазиобращения Гаевского

Захариаса.

§3. Численное решение обратной задачи теплопроводности.

ГЛАВА II. НЕПРЕРЫВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

§1. Непрерывный аналог метода квазиобращения для дифференциального уравнения второго порядка.

§2. Новый метод квазиобращения и его непрерывный аналог.

ГЛАВА III. НЕПРЕРЫВНЫЕ И ИТЕРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 1 Непрерывный метод второго порядка для решения экстремальных задач в гильбертовом пространстве.

§2. Непрерывная регуляризация первого порядка для одного класса нелинейных операторных уравнений в банаховом пространстве.

§3. Трёхшаговый метод итеративной регуляризации для решения нелинейных монотонных уравнений в банаховом пространстве.

1. Рассмотрим операторное уравнение

Ах =/ * еХ, /еУ, (1)

X и У - некоторые метрические пространства

Задача (1) называется корректной по Адамару, если выполнены следующие условия:

1) задача (1) имеет решение при всех Г е У;

2) решение единственно;

3) решение непрерывно зависит от элемента / в метриках пространств X и V.

Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из этих требований, относится к классу некорректных. Ранее считали, что некорректные задачи не имеют реального физического смысла. Однако оказалось, что некорректными являются многие известные задачи, например, обратные. Как сказал академик М.М. Лаврентьев: "Корректно поставленные задачи - это далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления." Необходимость решать некорректные задачи в настоящее время общепризнанна.

Начало созданию теории и методов решения некорректных задач положила работа А.Н. Тихонова [65] и сформулированная в ней

Теорема. Взаимнооднозначный непрерывный оператор, переводящий компакт метрического пространства в метрическое пространство, имеет непрерывный обратный.

Согласно этой теореме, надо уметь накладывать условия, которые определяли бы компакт Х]С:Х для (1). Основной вклад в решение этой проблемы внес М.М. Лаврентьев [42,43]. В.К. Иванов, введя понятие квазирешения, т.е. элемента, минимизирующего невязку уравнения (1) иаХ] , снял вопрос о необходимости устанавливать существование решения задачи (1) [35].

Следующий важный шаг в развитии методов решения некорректных задач был сделан А.Н. Тихоновым, который ввел понятие регуляризирую-щего алгоритма (РА).

Определение. Оператор Щсх/) называется регуляризируюгцим алгоритмом задачи (1), если он обладает следующими свойствами:

1) определен при Уа >0 и V/ еГ;

2) существует функция а=а(5) такая, что регуляризованное решение ха=Ща(8),!) —>х - решению задачи (1) при 8 ру(/, у) <8, ру- метрика в пространстве У.

А.Н. Тихоновым был предложен способ построения такого РА. Мес тод А.Н. Тихонова определяет регуляризованное решение ха как точку минимума сглаживающего функционала

Фх(х^'ё) ру2(Ах,/5) + ах(х), где з(х)>0 - некоторый стабилизирующий функционал.

Кроме указанного, отметим два вариационных метода решения некорректных задач: метод невязки и метод квазирешений, разработанные в екатеринбургской школе математиков под руководством В.К. Иванова [36]. Многообразие вариационных методов обусловлено тем, что при их построении используется различная априорная информация о задаче (1) и обширный арсенал средств решения задач оптимизации.

Практически все существующие методы решения некорректных задач сводятся к решению некоторой корректной задачи, которая дает приближение к решению исходной проблемы. Наиболее известными и подробно изученными являются операторные методы регуляризации, в которых решаются семейства корректных задач, зависящих от дискретного параметра а, называемого параметром регуляризации. Однако сведение некорректных задач для дифференциальных уравнений к решению операторных уравнений неэффективно. В настоящее время разработаны методы регуляризации, использующие дифференциальную специфику некорректных задач. К ним относится предложенный Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом метод квазиобращения, в котором регуляризованное уравнение для нахождения элемента хад получается путем введения в уравнение дополнительных слагаемых с малым параметром а [44,36,37]. Метод получил широкое распространение, в частности, для решения обратных задач. Кроме того, в екатеринбургской школе математиков создан метод вспомогательных граничных условий (ВГУ). регуляризирующий за счет введения новых слагаемых с малым параметром в граничные условия. Наиболее полные результаты по вопросам корректности и регуляризации некорректной задачи Коши изложены в [37].

К непрерывным методам мы будем относить те методы решения некорректных задач, в которых роль параметра регуляризации выполняет некоторая функция aft), t > t0 >0 , и которые сводятся к задаче Коши для дифференциального уравнения некоторого порядка. Под порядком непрерывного метода для уравнения (1) понимают порядок дифференциального уравнения, которое его описывает.

Отметим преимущества непрерывных методов. При решении операторного уравнения (1) с помощью непрерывных методов полнее используется априорная информация об искомом решении, появляется возможность использовать мощный современный аппарат численного решения дифференциальных уравнений, а также строить на основе непрерывных методов новые итерационные процессы для решения операторных уравнений. Если же в некотором методе, сводящемся к задаче Коши с некоторым параметром а, мы заменим этот параметр некоторой функцией aft), то для получения лучшего приближения к искомому решению при численной реализации метода необходимо сделать несколько шагов по t вместо того, чтобы решать задачу Коши на некотором отрезке [0,Т ] при фиксированном значении параметра а. Идея таких построений была предложена Я.И.Альбером.

В силу сказанного, интерес к непрерывным методам решения корректных и некорректных задач в последнее время существенно возрос. Укажем следующие работы [3,9,17, 18,19, 60].

Диссертация посвящена вопросам построения и исследования сходимости непрерывных методов регуляризации линейных и нелинейных некорректных задач в гильбертовом и банаховом пространствах, а также изучению некоторых итерационных процессов, созданных на их базе. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на восемь параграфов, и заключения. Нумерация определений, лемм, теорем, замечаний и следствий двойная: первая цифра совпадает с номером главы, а вторая -порядковый номер в главе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог изложенному, сформулируем основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. В гильбертовом пространстве для операторных линейных дифференциальных уравнений первого порядка построены непрерывные аналоги методов квазиобращения, получены достаточные условия их сходимости. Исследована устойчивость разностной схемы для регуляризован-ной задачи, проведены численные расчёты.

2. Для решения обратной задачи для линейного дифференциального операторного уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве предложен новый метод регуляризации, построены непрерывные аналоги методов квазиобращения для этой задачи, установлены условия их сходимости.

3. Для задачи минимизации выпуклого функционала в гильбертовом пространстве получены достаточные условия сходимости регуляри-зованного метода тяжёлого шарика, исследована устойчивость метода к возмущениям данных.

4. Для одного класса нелинейных операторных уравнений в банаховом пространстве доказана сходимость операторного метода регуляризации. Для этого же класса операторных уравнений построен непрерывный метод регуляризации первого порядка, получены достаточные условия его сходимости.

5. Для нелинейного монотонного уравнения в банаховом пространстве доказана сходимость трёхшагового метода итеративной регуляризации, построенного на базе метода Ньютона-Канторовича.

1. Абрамов A.A., Гаипова А.Н. О решении некоторых уравнений, содержащих разрывные монотонные преобразования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1972. - Т.12, №1 - С.204-207.

2. Альбер Я.И. Методы решения нелинейных операторных уравнений и вариационных неравенств в банаховых пространствах: Диссертация д.ф.-м.н. Горький, 1986. - 315 с.

3. Альбер Я.И. Непрерывная регуляризация линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве // Математические заметки. 1968. - Т.4, №5. - С.503-509.

4. Альбер Я.И. О решении методом регуляризации операторных уравнений I рода с аккретивными операторами в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1975. - Т.11, №12. - С.2242-2248.

5. Альбер Я.И., Рязанцева И.П. Минимизация выпуклых функционалов // Тезисы докладов I Всесоюзной конференции по экстремальным задачам и их приложениям. Таллин, 1973.- С.18-19.

6. Альбер Я.И., Рязанцева И.П. О решении нелинейных задач с монотонными разрывными отображениями // Дифференциальные уравнения. -1979. Т.15, №2. - С.ЗЗ 1-342.

7. Альбер Я.И., Рязанцева И.П. Вариационные неравенства с разрывными монотонными отображениями //Доклады АН СССР. 1982. - Т.262, №6. -С. 1289-1293.

8. Амочкина Т.В., Недич А. Об одном варианте непрерывного метода проекции градиента второго порядка и его дискретном аналоге // Вестник МГУ, серия 15. 1995. - №2. - С.5-11.

9. Антипин A.C. Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования и типа проектирования // Вопросы кибернетики. Вычисл. вопр. анализа больших систем. М.: Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР. - 1989. - С.5-43.

10. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. - 344с.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.:Наука,1981.-400с.

12. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.1. М.:Наука, 1988.-552с.

13. Васильев Ф.П., Недич А. Об одном варианте регуляризованного методапроекции градиента // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. - Т.34, №4. - С.511-519.

14. Васильев Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации второго порядка для задач минимизации с неточными исходными данными //Вестник МГУ, серия 15. 1996. -№3. - С.5-12.

15. Васильев Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации для задач минимизации с неточными исходными данными //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. - Т.36, №3. С.33-43.

16. Васильев Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации третьего порядка //Дифференциальные уравнения. 1995. - Т.31, №10. - С. 1622-1627.

17. Гавурин M.K. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов //Изв. вузов. Математика,- 1958. -№5 -С. 18-31.

18. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. -336с.

19. Гареев Ф.А., Гончаров С.А., Жидков Н.П. и др. Численное решение задач на собственные значения для интегродифференциальных уравнений в теории ядра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. - Т. 17, №2. - С.407-419.

20. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. -400с.

21. Жанлав Т., Пузынин И.В. О комбинации метода установления и метода Ньютона для решения нелинейных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. -Т.23, №2. -С.175-184.

22. Дунцева Е.А. Алгоритмы непрерывных методов регуляризации // Тезисы Второй международной конференции «Математические алгоритмы» Н. Новгород, 1995. -С. 19.

23. Дунцева Е.А. Метод высокого порядка для монотонных уравнений вбанаховом пространстве //Межвуз. сб. «Моделирование и оптимизация сложных систем», вып. 273. Н. Новгород: ВГАВТ, 1997. - С. 139.

24. Дунцева Е.А. Метод шестого порядка для монотонных уравнений в банаховом пространстве // Ред. ж. Изв. вузов. Матем. Казань, 1997. -24с. - Деп. в ВИНИТИ за № 2709-В97.

25. Дунцева Е.А. Некоторые методы решения обратных задач для уравнений второго порядка в частных производных // Горький, 1988. — 11с. — Деп. в ВИНИТИ за №336-В89.

26. Дунцева Е.А. Непрерывная регуляризация уравнений в банаховом пространстве II Н. Новгород, 1992. Юс. - Деп. в ВИНИТИ за №323-В93.

27. Дунцева Е.А. О непрерывных методах решениянекорректных задач //Материалы научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, вып.283,ч.3- Н. Новгород: ВГАВТ, 1999. С.52-54.

28. Дунцева Е.А., Рязанцева И.П. Непрерывные аналоги методов квазиобращения // Горький, 1987. 9с. - Деп. в ВИНИТИ за №481-В88.

29. Дунцева Е.А., Рязанцева И.П. О непрерывных методах решения некорректных задач // Тезисы доклада международной школы-семинара по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 1998. - С. 190.

30. Дунцева Е.А., Рязанцева И.П. Решение обратной задачи теплопроводности методом квазиобращения // Межвуз. сб. «Колебания и волны в жидкости и газе». Горький: ГПИ, 1990. - С.144-151.

31. Иванов В.К. К величине параметра регуляризации в некорректно поставленных задачах управления // Дифференциальные уравнения. -1974. Т. 10, №12 - С.2279-2285.

32. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // Докл. АН СССР.1962. Т. 145, №2. - С.270-272.

33. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректныхзадач и её приложения. М.:Наука, 1978. - 206с.

34. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциальнооператорные уравнения и некорректные задачи. М.:Наука, 1995. -175с.

35. Иосида К. Функциональный анализ. М.:Мир, 1967. - 624с.

36. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука,1977. -741с.

37. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 543с.

38. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные операторы в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464с.

39. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректнопоставленных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 92с.

40. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальныхуравнений. Новосибирск: НГУ, 1973. - 72с.

41. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.:1. Мир, 1970. 336с.

42. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.1. М.: Мир, 1972.- 587с.

43. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. -Минск: Наука и техника, 1981. 343с.

44. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.- М.: Высшая школа, 1982. 271с.

45. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. - 456с.

46. Мельникова И.В. Решение обратной задачи Коши методом квазиобращения // Изв. вузов. Математика. 1981. №6. - С.36

47. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.- 504с.

48. Недич А. Непрерывный метод проекции градиента третьего порядка длязадач минимизации // Дифференциальные уравнения. 1994. - Т.30, №11.-С. 1914-1922.

49. Нотик А.И. О свойствах дуального отображения с масштабной функцией // Изв. вузов. Математика. 1985. - №12. - С.68-70.

50. Поляк Т.Б. О некоторых способах ускорения сходимости итерационныхметодов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. - Т.4, №5. - С.791-803.

51. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.А. Численные методы в экстремальныхзадачах. М.: Наука, 1975. - 319с.

52. Распопова Н.С. Величина параметра регуляризации вметоде квазиобращения // Изв. вузов. Математика. 1979. - №2. -С.48-51.

53. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974.-630с.

54. Рисс В., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. -М.: Мир, 1979.-587с.

55. Рязанцева И.П. Итерационные методы типа Ньютона-Канторовича прирешении нелинейных некорректных задач с монотонными операторами // Диффер. уравнения. 1987. - Т.23, №11. - С.2012-2014.

56. Рязанцева И.П. О некоторых итерационных процессах в банаховом пространстве // Межвуз. сб. «Условно-корректные задачи матем физики и анализа». Красноярск: КГУ, 1988. - С.258-262.

57. Рязанцева И.П. О некоторых методах непрерывной регуляризации длямонотонных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. -Т.34, №1. - С.3-11.

58. Рязанцева И.П. Устойчивые методы решения нелинейных монотонныхнекорректных задач. Дис. д.ф.-м.н. Нижний Новгород, 1996. 344с.

59. Рязанцева И.П., Дунцева Е.А. Об одном непрерывном методе решениявыпуклых экстремальных задач // Дифференц. уравнения. 1998. -Т.34, №4. - С.480-485.

60. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука,1974.-808с.

61. Соминский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. О математической индукции. М.: Наука, 1967. - 144с.

62. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР.1943. Т.39, №5. - С.195-198.

63. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.1. М.: Наука, 1979.-285с.

64. Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальныеуравнения с монотонными нелинейностями. Минск: Наука и техника, 1986,- 199с.

65. Ульм С.Ю. Об обобщённых разделённых разностях // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат.н. 1967. - 16. - №1. - С.13-26.

66. Хромова JI.H. Итеративная регуляризация метода минимизации со скоростью сходимости шестого порядка // Вестник МГУ, сер. 15. 1988. -№4. - С.17-23.

67. Хромова JI.H. Об одном методе минимизации с кубической скоростьюсходимости // Вестник МГУ, сер. 15. 1980. -№3-С.52-56.

68. Шепилов М.А. Непрерывные аналоги метода штрафов для задачи выпуклого программирования // Экономика и матем. методы. 1975. -Т.11, №1. - С.130-140.

69. Юргелас В.В. Методы приближённого решения уравнений с монотонными операторами: Дис. к.ф.-м.н. Воронеж, 1983. - 118с.

70. Dixmier J. Les algebres d'operateurs dans les espaces hilbertiens. Paris, Gauthier. - Villars, 1957.

71. Gaewski H., Zacharias К. Zur Regularisirang einer Klasse nichtkorrekter Probleme bei Evolutions gleihungen //j. Math. Anal. And Appl. - 1972-. V.38, №3. - C.784-789.

72. Inomata S., Kumada M. On the Golt method // Bulletin of Elect. Lab.vol.27, №7, March 23. Tokyo, 1961. 76.Rockafellar R.T. Monotone operators and the proximal point algorithm // SIAM J. Contr. and Optim. 1976. - V.14, №15. -p.877-898.