Непрерывные и итеративные методы решения нелинейных некорректных задач монотонного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Бубнова, Оксана Юрьевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Нижний Новгород
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Бубнова Оксана Юрьевна
Непрерывные и итеративные методы решения нелинейных некорректных задач монотонного типа
(специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения)
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
Нижний Новгород - 2005
Работа выполнена в Нижегородском государственном техническом университете.
Научный руководитель - доктор физико-математических наук И.П. Рязанцева.
Официальные оппоненты:
- доктор физико-математических наук М.И. Сумин,
- доктор физико-математических наук P.A. Шафиев.
Ведущая организация: Уральский государственный 1
университет
заседании диссертационного совета Д212.166.06 в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603600, Нижний Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 2, конференц-зал.
С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ.
Защита состоится
2005 года в
час. на
Автореферат разослан "
н
2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент
В.И. Лукьянов
А
Общая характеристика работы.
Цель работы. Диссертация посвящена вопросам построения и исследования сходимости непрерывных методов регуляризации нелинейных некорректных уравнений в банаховых пространствах, а также изучению некоторых итерационных процессов, созданных на их базе.
Актуальность представляемой диссертации.
Рассматривается задача, которая приводится к операторному уравнению
Ах = /, хеХ, /6 У, (1)
^ где оператор А действует из банахова пространства X в сопряженное простран-
ство У. Задача (1) называется корректной по Адамару, если выполнены следующие условия:
г 1) задача (1) имеет решение х при любом / € У;
2) решение х единственно;
3) х непрерывно зависит от / в нормах пространств X к У.
Если хотя бы одно из этих требований не выполняется, то задачу (1) относят к классу некорректных.
Широким классом некорректно поставленных задач, возникающих в физике, технике и в других отраслях знаний, являются, например, так называемые, обратные задачи определения интересующих нас количественных характеристик явления по результатам измерений их косвенных проявлений. Нас будут интересовать уравнения вида (1), относящиеся к классу некорректных.
Необходимость решать некорректные задачи в настоящее время является общепризнанной. Теория решения некорректных задач начала оформляться в большую самостоятельную область науки после выхода в свет работ А.Н. Тихонова.
V В этих работах было введено основополагающее понятие регуляризирующего ал-
горитма.
Определение 0.1 . Оператор Я(а, /) называется регуляризирующим алгорит-
? мом задачи (1), если он обладает следующими свойствами:
a) Л(а,/) определен при любом а > 0 и любом / € У;
b) существует функция а = а?(<5) такая, что регуляризованное решение х6а = Я(а(£),/5) —* х при си(6) —> 0, где х - некоторое решение (1), ||/ — /4|| < 6.
Элементы х6а называют регуляризованными решениями, а а - параметром регуляризации. Уравнение, из которого находят элементы хеа, называют регуля-ризованным уравнением.
Ясно, что х6а имеет смысл считать приближенным решением задачи при заданном наборе входных данных. Это определение.ОТОДОбОДЯлегли
I библиотека I
I ¿чага*]
в основу современных теорий и практики приближенного решения некорректных задач.
Различные аспекты общей теории некорректных задач изложены в монографиях А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина, Ф.П. Васильева, В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тан&ны, М.М. Лаврентьева и других математиков. При этом наиболее полно изучены теория и методы решения линейных некорректных задач, записываемых в форме операторных уравнений первого рода.
Многие некорректные задачи для дифференциальных и дифференциально -операторных уравнений могут быть сведены к операторным уравнениям первого рода, но как правило, такое сведение неэффективно, так как получаемые при сведении к уравнению (1) операторы А получаются слишком сложными. Поэтому требуются методы, использующие дифференциальную специфику рассматриваемых задач. Именно к таким методам относится предложенный Р. Латтесом и Ж. - Л. Лионсом метод квазиобращения, в котором регуляризованное уравнение для нахождения элемента х6а получается путем введения в уравнение дополнительных слагаемых с малым параметром а. Кроме того, в екатеринбургской математической школе создан метод вспомогательных граничных условий, ре-гуляризирующий за счет введения новых слагаемых с малым параметром в граничные условия. Результаты этого направления получены В.К. Ивановым, И.В. Мельниковой и их учениками.
Достаточно полных результатов, близких к тем, что известны в случае линейного оператора А, для всего класса нелинейных некорректных задач получить не удается. В связи с этим появилась необходимость выделения для исследования отдельных классов нелинейных задач. Важным классом нелинейных операторных уравнений являются уравнения с операторами монотонного типа. К операторам монотонного типа мы относим монотонные, аккретивные и (1-аккретивные операторы.
Основной частью работы является исследование непрерывных методов регуляризации второго порядка. К непрерывным методам мы будем относить те методы решения некорректных задач, в которых роль параметра регуляризации выполняет некоторая функция а(<), < > <о > 0, и которые сводятся к задаче Коши для дифференциального уравнения некоторого порядка. Порядок дифференциального уравнения называется порядком метода.
Отметим преимущества непрерывных методов регуляризации. При решении операторного уравнения (1) с помощью непрерывных методов полнее используется априорная информация об искомом решении, появляется возможность использовать мощный современный аппарат численного решения дифференциальных уравнений, а также строить на основе непрерывных методов новые итерационные процессы для решения операторных уравнений. В силу сказанного, интерес к непрерывным методам решения корректных и некорректных задач в последнее время существенно возрос. Для уравнений с дифференцируемыми операторами
монотонного типа в гильбертовом и банаховом пространствах сходимость непрерывных методов первого порядка изучалась в работах Я.И. Альбера, И.П. Рязанцевой, Е.А. Дунаевой. Методы второго порядка имеют ряд достоинств, выгодно отличающих их от методов первого порядка. К этим достоинствам следует отнести лучшую приспособленность для минимизации овражных и многоэкстремальных функций, по крайней мере для корректных задач, что отмечено в работах A.C. Антипина. Кроме того, они дают более широкую свободу при выборе методов численного интегрирования соответствующих задач Коши и позволяют эффективно распараллелить вычисления. Поэтому исследование сходимости методов второго порядка для задач минимизации, для решения уравнений с операторами монотонного типа представляется интересным. Непрерывные методы второго порядка, о которых здесь пойдет речь, строятся на базе так называемого метода "тяжелого шарика". Идея метода "тяжелого шарика" для целей оптимизации была впервые предложена в работе Иномато С., Кимадо М. и получила свое дальнейшее развитие в работе Поляка Т.Б., посвященной способам ускорения сходимости итерационных процессов. Метод "тяжелого шарика" опирается на очень прозрачную механическую аналогию между движением системы в пространстве параметров и движением материального шарика в физическом трехмерном пространстве. Подробно эта идея описана JI.A. Растригиным.
Непрерывный метод второго порядка в гильбертовом пространстве достаточно полно отражен в работах Ф.П. Васильева, A.C. Антипина, И.П. Рязанцевой и их учеников. Однако, не всякую нелинейную задачу можно рассмотреть в рамках гильбертова пространства, а значит, существенно нелинейные задачи следует рассматривать в банаховых пространствах.
Основу аппарата методов решения нелинейных уравнений в банаховом пространстве с операторами монотонного типа составляет оператор дуального отображения, причем его свойства базируются на геометрии банахова пространства. Другими словами, возникает необходимость использования определенных свойств дуального отображения, находящихся в тесной связи с геометрией банахова пространства.
Процесс создания и применения методов непрерывной регуляризации для решения нелинейных проблем далек от завершения. Поэтому исследования в области непрерывных методов решения задач, особенно некорректных, продолжают оставаться актуальными.
Методика исследования. Аппарат исследования 'задач, рассмотренных в диссертации, включает некоторые разделы теории нелинейных некорректных задач, численного и функционального анализа, в том числе современную теорию монотонных операторов, существенный вклад в развитие которой внесли М.М. Вайнберг, Р.И. Качуровский, Ya. Alber, H. Brezis, F.E. Browder, T. Kato, J. - L. Lions, S. Reich, R. T. Rockafellar и другие отечественные и зарубежные математики.
Научная новизна. В диссертации предложены и исследованы следующие методы решения нелинейных некорретных задач, устойчивые к возмущениям оператора и правой части уравнения (1):
- для операторного нелинейного уравнения с монотонным оператором в банаховом пространстве построен непрерывный метод регуляризации второго порядка;
- для нелинейных монотонных уравнений на базе непрерывного метода регуляризации второго порядка построен метод итеративной регуляризации, получены достаточные условия его сходимости;
- для класса нелинейных уравнений с аккретивными операторами получены достаточные условия сходимости непрерывного регуляризованного метода в форме задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка и построенного на его основе метода итеративной регуляризации;
- построен и исследован непрерывный метод регуляризации второго порядка для нелинейных операторных уравнений с с1-аккретивными операторами в банаховом пространстве;
- для нелинейного <1-аккретивного уравнения в банаховом пространстве доказана сходимость одного метода итеративной регуляризации второго поряда.
Научная и практическая ценность. Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят вклад в методы решения некорректных задач. Работа носит теоретический и прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы при решении многочисленных уравнений в частных производных, возникающих в механике, нелинейной теории упругости, теории неньютоновской жидкости и т.д.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались:
на Международной конференции "Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой" (Самара, 2001), на Всероссийских научных конференциях "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001г., 2004г.),
на научной конференции 10-ой Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 2005),
на научных семинарах кафедры прикладной математики НГТУ, на семинаре кафедры математической физики ННГУ.
Работа выполнена при поддержке РФФИ грант N99-01-00807. Результаты представляемой работы отмечены стипендией администрации Нижегородской области имени академика Г.А. Разуваева и дипломом I степени 10-ой Нижегородской сессии молодых ученых.
Основные результаты отражены в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [7] - [10], выполненных в соавторстве с И.П. Рязанцевой, личным вкладом диссертанта являются формулировки и до-
казательства теорем. И.П. Рязанцевой принадлежат формулировки задач, идеи доказательств основных теорей и общее руководство.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 87 наименований. Материал изложен на 110 страницах.
Содержание работы.
Во введении обоснована актуальность темы, обозначаются направления исследования, дается краткая аннотация работы.
Глава 1 содержит основные определения и утверждения функционального анализа и теории операторов монотонного типа, используемые в последующих главах.
Глава 2 посвящена построению методов регуляризации второго порядка для нелинейного уравнения (1) с монотонным оператором А : X —> X" в банаховом пространстве X. Отсутствие свойства равномерной монотонности оператора А позволяет считать задачу (1) некорректной и строить для нее регуляризирующие методы. Во второй главе для уравнения (1) построены непрерывный и итеративный методы второго порядка.
В пункте 2.1 для решения уравнения (1) предлагается непрерывный регуля-ризирующий метод вида
^ЩГ1 + + + ~ /«)] = 0, /»> о,
(2)
М*о) = го, - = ги (3)
где го и 21 - произвольные элементы из X", А{1) и /(1) - возмущения А и / соответственно, а(<) и /?(£) - некоторые параметрические функции, <0 > 0.
При исследовании поведения х(<) при / —► +оо используем метод замороженных коэффициентов. Поэтому при каждом фиксированном т > <0 строим вспомогательную задачу Коши с точными данными
f^+/J^+0{т)[Ay{t,r) + Q{т)m1т}_f] = ^ (4)
Теорема 2.1. Пусть пространства X и X' равномерно выпуклы, уравнение (1) имеет непустое множество решений, оператор А : X -+ X* - монотонный ограниченно гельдер - непрерывный и аппроксимируется семейством (>4(<)} монотонных хеминепрерывных операторов, В(А) = 1)(А(<)) = X,
||А(<> - Ах|| < Ь(*ММ). ^х € X, (6)
вместо элемента / известны его приближения f(t), t > to,
II/-/(ОН <«(*), (7)
где h(t) и 6(t) - неотрицательные функции, определенные при t > t0, h{t) < h, 6{t) < S при всех t > to, g{s)(s > 0) - неотрицательная ограниченная функция (т.е. переводящая ограниченное множество в ограниченное), a(t) и ß(t) - положительные дифференцируемые убывающие функции, определенные при t > to, обладающие свойствами:
lim a(t) = lim = 0, (8)
<-~н» v ' l-oo (tä(t))' v '
= (9)
(<d(i))'> О хотя бы при достаточно больших t, (10)
.iffle = 0, (11)
^£ (|â(<) - â(r)| + |/?(т) - /?(<)| + Ф(а,т))ехр[к2(т)(т - *)] ds = 0, (12)
здесь Ф(*,г) = ß(T)[r}(t,T)Y + ä(T)gx\(dLT,(t,T)), d > 0, r,{t,r) = «^(^(i.r)), L - постоянная Фигеля, 1 < L < 1.76,
£(<, т) = m [exp[fc2(r)(i - <o)] - /?2(т)Д2(т)] , m = consi >0, (13)
кг(т) = (-// + у/? - 4в(т)1/2 = -о(т)/А1 + о(а(т)), (14)'
а(г) = а(т)Р(т), 5х«(£) * функция, обратная к = - модуль
выпуклости пространства X*, £дг_1(е) - функция, обратная к <5*(з), ^(а) - модуль выпуклости пространства X. Предположим, что задачи (2), (3) и (4), (5) имеют единственные решения такие, что ж(<), Jx{t), и 7у(<,т) принадле-
жат классу С2[1о, +оо) при каждом фиксированном г > при этом ||х(<)|| < ¿1, 1М<,г)||<<*ьУ*><о,Уг>*о.
Пусть геометрии пространств X и X* таковы, что при всех < > 40, т > ¿0 справедливы неравенства
[1^3lit,г) t <iy(t,T)| < д /■«PJyÇt.r) А7у(*,т). |dJy(«,r)|a
причем последнее неравенство верно при z(t) = x(t) и z(t) = y(t,r) при всех т > ta, здесь Aj и Лг - положительные постоянные.
Тогда решение задачи (2), (3) при t —* +оо стабилизируется по'норме пространства X к нормальному решению уравнения (1).
Ранее в работах Ф.П. Васильева и его учеников установлена сходимость непрерывного метода второго порядка для задач выпуклой минимизации в гильбертовом пространстве при некоторых ограничениях на параметр ц. В то же время известно, что параметр р влияет на скорость сходимости метода, поэтому снятие ограничений на ц существенно важно для численной реализации метода.
В пункте 2.2 на базе непрерывного метода (2), (3) построен некоторый метод итеративной регуляризации второго порядка. Достаточные условия его сходимости установлены в следующей теореме.
Теорема 2.2. Пусть пространства X и X* равномерно выпуклы, уравнение (1) имеет непустое множество решений, А : X —► X* - монотонный оператор, являющийся ограниченно гельдер - непрерывным, вместо элемента / известны его приближения Д, к > 2, а отображение А аппроксимируется семейством {Ак} монотонных хеминепрерывных операторов, D(A) = D(Ak) = X, при этом выполнены неравенства
\\Ax-Akx\\<kkg(\\x\\), ЧхеХ, (17)
\\í-h\\<h, (18)
где g(s)(s > 0) - неотрицательная ограниченная функция, О < А* < А, 0 < St¡ < 8, к >2.
Пусть убывающие бесконечно малые последовательности положительных чисел {ajt}, {ßk} и невозрастающая последовательность {т*}, г* > 0 при всех к > 2, удовлетворяют условиям
lim am = lim — = 0, lim k?Tm = -oo, (19)
m->oo m->oo Qm m—oo * 1 v '
— < с, с > 0, < Cj, Cj > 0, Vfc > 2, (20)
Tk Pk
m
lim £ (ФГ + «Г+ ß,(b + Ы) + ßf)exp(-\mk?T,)T,/exp(-\mk?Tm) = 0, (21) i=2
Ф™ = ^т(ФГ)" + ómsjfí(7V?)> 7 " некоторая положительная постоянная,
Ф? = ¿хЫТ), = exp(\mk?Tm) - ß2Jk?, (22)
где ат = атрт, и? = - рт\ + - ат|, Тт = £ г,-, т > 2, Ат = тт(Л» А"),
>=2
А™ = 1/(1 — к™т2), г = 1,2, к™ ъ к™ - действительные корни квадратного уравнения к2 + цк + ат = 0.
Предположим, ччр последовательность {х*}, определяемая уравнением
9к ~ 9"~1 + т + Рк{Акхк + акЗхк - /к) = 0, (23)
тк
ограничена, значения хо и хх задаются, а последовательности {у™} при каждом т = 2,3,..., определяемые уравнением
«И _ дИ
Як Чк-1 + МТ + РЛАу? + с^у? - /) = 0, (24)
Тк
ограничены в совокупности при любых хп, ц, здесь дк = ^хк - Ja;fc_^)/тк, ^ = (Jl/kí—JyГ-l)/тt■ Пусть геометрии пространств X и X' таковы, что справедливы неравенства
||и* - и*-г|| < А1||.7и* - 1|, А1 = сопз1 > 0, (25)
для ик = хк и ик = V™, к>2,тп>2,а
II дг + ^Г|| < чг1^-+«г| + НЙ.1111 +
+ ШИС-хИ), А2>о, $Г = (УГ-У"-1)Л*. (26)
Тогда, при любых начальных элементах ж0 и Х1 из X последовательность однозначно определяемая из (23), сходится по норме пространства Л" при к —* оо к нормальному решению уравнения (1).
Глава 3 посвяшена изучению достаточных условий сходимости непрерывного и итеративного методов для уравнения (1) с аккретивным оператором А в предположении приближенного задания элемента / и оператора А.
Пусть вместо элемента / известны его S(t) - приближения /(¿) , а для оператора А известны приближения Л(<): X —* X, В(А) = £)(А(г)) = X. Для решения (1) с аккретивным оператором А рассмотрим в X непрерывный метод второго порядка в виде следующей задачи Коши
^ + + + = ^>0, (27)
®(<о) = Х0, г'(«о) = х'0. (28)
Кроме того, при каждом фиксированном т > <0 рассмотрим дифференциальное уравнение с точными данными
+ »^¿Г + т> + г) - /] = 0, (29)
y{to,r)=xo,^fl = x'0. (30)
Основные результаты главы 3 представлены следующими теоремами. Теорема 3.1. Пусть X рефлексивное банахово пространство, X и X" строго выпуклы, вместо оператора А известны его аккретивные хеминепрерывные приближения A(í), удовлетворяющие (6), а вместо элемента / известны его 8 -приближения /(<), и выполняется неравенство (7). Пусть дуальное отображение J : X —► X* непрерывно и слабо непрерывно и задачи Коши (27), (28) и (29), (30) имеют ограниченные решения класса C2[ío,+oo), положительные дифференцируемые бесконечно малые при t —» оо функции a(t) и 0(t) и неотрицательные функции h(t) и S(t) удовлетворяют условиям (8) - (11),
Tlirn(|â(s) - 5(г)| + |/3(т) - p{s)^txp[2irl&{T)s] ds/exp\2n-lâ{T)T\ = 0,(31)
а также при z(t) = x(í) и z(t) = y{t,r) для всех t > t0, г > tQ имеет место неравенство
О 0, Vi > ío, (32)
Тогда решение задачи (27), (28) при любых элементах хо 6 X, х'0 6 X стабилизируется по норме пространства X при t —► оо к решению х* уравнения (1), однозначно определяемому соотношением
{J{x'-x),x') <0, VxeN, x*6 JV, (33)
где N ф 0 - множество решений уравнения (1).
Теорема 3.2. Пусть пространства X, X" и дуальное отображение J : X X" и оператор А : X -* X удовлетворяют условиям теоремы 3.1, {Ак} - последовательность аккретивных хеминепрерывных операторов, D(Ah) = D(A) = X, удовлетворяющих условию (17), {Д} - семейство 8к - приближений элемента /, для которых выполняется (18).
Предположим, что последовательность {x/t}, к = 2,3,..., определяемая равенством
°к ~Gk~l + fGk + ft(Akxt + <*k*k - fk) = 0, Gk = (xk - xt-O/rt, (34) » fc
ограничена при любых хо и xi, а последовательности {у£*} определяемые уравнением
Qm _ Qm
+ nQl + -f amy? - /) = 0, k> 2, m > 2, (35)
ограничены в совокупности при любых у™ = х0, у™ = з^. Кроме того, пусть дуальное отображение J удовлетворяет неравенству
|| Jzk - Jzk.iИ < Dt \\zk - zk-xH, Di > 0, (36)
при zk = xk, zk — yк > 2, m > 2. Пусть {û/t}, {A} - убывающие бесконечно малые последовательности положительных чисел, {г*} - невозрастающая последовательность положительных чисел, удовлетворяющие условиям (19) и (20). Тогда при любых начальных элементах хо € X, h € X последовательность {ж/ь} сходится по норме пространства X при к -+ оо к решению х* £ X уравнения (1), удовлетворяющему неравенству (33).
Если X = H - гильбертово пространство, то J = Е - единичный оператор, в (32) С = 1, х" - элемент из Ne минимальной нормой, а теоремы 3.1 и 3.2 дают достаточные условия сходимости методов второго порядка (27), (28) и (34) для уравнения (1) с монотонным оператором.
В главе 4 рассматривается непрерывный и итеративный методы регуляризации второго порядка для еще одного класса нелинейных уравнений с операторами, действующими из банахова пространства X в X, а именно, для d-аккретивных операторов. Используя ту же методику, что и в предыдущих главах, доказаны следующие теоремы.
Теорема 4.1. Пусть X и X' - равномерно выпуклые банаховы пространства, дуальное отображение J слабо непрерывно, уравнение (1) разрешимо и N - непустое множество его решений, d-аккретивный оператор А : X —» X является ограниченно гельдер-непрерывным, возмущения элемента / и оператора А удовлетворяют условиям (6) и (7), a(t) и ft(t) - убывающие положительные диф-френцируемые функции, определенные при t > <о > 0, и обладающие свойствами (8) - (12), где
Ф(<,т) = /?(г)Ф'(*,г) + а(г)ф(*,т), ф(t,T) = бх-1(Щ1,т)),
к3(т) - определяется формулой (14), задачи Коши (27), (28) и (29), (30) имеют единственные решения класса C2[t0,+oo) при любых элементах х0 и х'0 из X, причем решение задачи (27), (28) ограничено на [f0, +оо), а решения задач (29), (30) ограничены в совокупности при всех t > t0, т > t0, дуальное отображение на решениях задач (27), (28) и (29), (30) обладает свойством (32), кроме того
\<PJy(t,T) djy(t,r)l
Il dt' dt ||-
здесь P > 0, t > <o, t > t0. Тогда, решение задачи (27), (28) при любых элементах х0 и х'0 из X сходится по норме пространства X при t -> +оо к решению х* уравнения (1), определяемому неравенством
{Jx"-Jx,x')< 0, Wx£N, х* € N. (38)
*У(*,т) , , dy(t,r)\ dt2 dt
dy(t, т) I dt
(37)
Далее в пункте 4.2 на базе этого непрерывного метода строится метод итеративной регуляризации второго порядка вида (34).
Теорема 4.2. Пусть пространства X, X" и оператор А удовлетворяют условиям теоремы 4.1, для возмущений Auf выполняются условия (17), (18), причем Ак : X —* X - d-аккретивные, хеминепрерывные, ограниченные операторы, D{Ak) = D(A) = X, к > 2, убывающие бесконечно малые последовательности положительных чисел {а*}, {ßk} и невозрастающая последовательность {п}, тк > 0 при всех к > 2, удовлетворяют условиям (19), (20), считая, что ФГ = ßm{$?)" + а функции Ф™ и V5™ определены в (22).
Предположим, что последовательности {х*} и {у™}, определяемые уравнениями (34) и (35) соответственно, удовлетворяют условиям теоремы 3.2 при к > 2, га > 2. Кроме того, пусть дуальное отображение J непрерывно и слабо непрерывно, и на последовательностях {хк} и {у™} удовлетворяют неравенству (36), и
+ +^1 + 1^1111^11). D2> 0. (39)
Тогда при любых начальных элементах х0 и Xi из X последовательность {ж*} сходится по норме пространства X при к —> оо к решению х* € X уравнения (1), удовлетворяющему неравенству (38).
Как уже ранее отмечалось, всякая дискретизация непрерывного метода порождает итерационный процесс. Некоторые из таких процессов и были построены нами во второй, третьей и четвертой главах. Но если к непрерывным методам вида (2) и (27) применить способ аппроксимации первой и второй производных, принятый, например, в работах Ф.П. Васильева, A.C. Антипина и их учеников, то свойства решений уравнений (2) и (27), играющие существенную роль при доказательстве сходимости этих методов, у получаемых при этом последовательностей, не сохраняются. Нами был выбран иной способ аппроксимации производных, который сохраняет у последовательностей {zjt} свойства решений уравнений (2) и (27).
Для всех доказываемых теорем строятся примеры функций a(t), ß(t), h(t), 6(t) и примеры последовательностей {о:*}, {ßk}, {hk}, {ч}, удовлетворя-
ющих достаточным условиям сходимости непрерывных и итеративных методов соответственно. Кроме этого, приводятся примеры банаховых пространств, геометрии которых обладают свойствами (15), (16), (25), (26), (32), (37), (36) и (39), необходимыми для сходимости изучаемых методов.-
В заключение сформулируем основные результаты, выносимые на защиту:
1. В банаховом пространстве для нелинейных монотонных уравнений второго порядка построен непрерывный метод регуляризации, получены достаточные
условия его сходимости, исследована устойчивость метода к возмущениям оператора и правой части уравнения.
2. Для нелинейных монотонных уравнений второго порядка на базе непрерывного метода построен метод итеративной регуляризации и получены также как и для непрерывного метода достаточные условия сходимости при возмущениях исходных данных.
3. Для класса нелинейных уравнений с аккретивными операторами в банаховом пространстве предложены, как и в случае с монотонными операторами, непрерывный и итеративный методы регуляризации второго порядка с приближенно заданными оператором и правой частью исходного уравнения. Приводятся условия, при которых рассматриваемые методы сходятся и исследуется устойчивость этих методов к возмущениям исходных данных.
4. Для уравнения с <1-аккретивным оператором в банаховом пространстве по- 1 строен непрерывный метод регуляризации второго порядка. Взяв за основу этот непрерывный метод, строится метод итеративной регуляризации второго порядка для рассматриваемого уравнения с ё-аккретивным оператором. Доказана схо- ' димость этих методов к некоторому решению уравнения и показано, что эти методы устойчивы к возмущениям оператора и правой части уравнения.
Работы, опубликованные по теме диссертации.
1. Бубнова О.Ю. Метод итеративной регуляризации второго порядка для нелинейных аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Вестник ННГУ. Матем. моделирование и оптим. управление. - 2001. - В.2(24). - С.219-227.
2. Бубнова О.Ю. Метод итеративной регуляризации второго порядка для нелинейных аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Тезисы Международной конференции "Матем. моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой". - Самара. - 2001. - С.54-55. \
3. Бубнова О.Ю. Метод итеративной регуляризации второго порядка для монотонных уравнений в банаховом пространстве// Н.Новгород. Известия АИН РФ. Прикладная матем. и механика. - 2004. - Т.9. - С.23-32. ,
4. Бубнова О.Ю. Метод итеративной регуляризации второго порядка для с1-аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Вестник ННГУ. Матем. моделирование и оптим. управление. - 2004. - В. 1(27). - С.53-64.
5. Бубнова О.Ю. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для нелинейных ¿-аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т.41, N6. - С.774-780.
6. Бубнова О.Ю. О непрерывных и итеративных методах регуляризации// Тезисы конференции 10-ой Нижегородской сессии молодых ученых. Матем. науки. - Саров. - 2005. - С.15-16.
7. Бубнова О.Ю., Рязанцева И.П. Непрерывный метод второго порядка для монотонных уравнений в банаховом пространстве// Журнал вычислит, матем. и мат. физики. - 2004. - Т.44, N6. - С.968-978.
8. Рязанцева И.П., Бубнова О.Ю. Об одном непрерывном методе для аккре-тивных уравнений в банаховом пространстве// Тезисы Всероссийской научной конф. "Алгоритмический анализ неустойчивых задач",- Екатеринбург. - 2001. -С.54-55.
9. Рязанцева И.П., Бубнова О.Ю. Непрерывный метод второго порядка для нелинейных аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Труды Оред-неволжского мат. об-ва. - 2002. - Т.3-4, N1. - С.327-334.
10. Рязанцева И.П., Бубнова О.Ю. Об одном непрерывном методе регуляризации для нелинейных (1-аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Тезисы Всероссийской научной конф. "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". - Екатеринбург. - 2004. - С.59-60.
I
Подписано в печать 10.11.2005. Формат 60x84 '/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уел -изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 717.
Нижегородский государственный технический университет. Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул Минина, 24
ВВЕДЕНИЕ.
1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ.
1.1 .Основные понятия и обозначения.
1.2 . Дуальное отображение и операторы монотонного типа.
2. МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ.
2.1. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для монотонных уравнений.
2.2. Метод итеративной регуляризации второго порядка для монотонных уравнений.
3. МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С АККРЕТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ.
3.1. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для аккретивных уравнений.
3.2. Итеративный метод регуляризации второго порядка для аккретивных уравнений.
4. МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С а-АККРЕТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ.
4.1. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для ё-аккретивных уравнений.
4.2. Метод итеративной регуляризации второго порядка для с1-аккретивных уравнений.
Многие прикладные задачи приводятся к операторному уравнению
Ах = /, хех, /ег, (1) где оператор А действует из метрического пространства X в метрическое пространство У. Нас будут интересовать задачи вида (1), относящиеся к классу некорректных. Понятие корректности связано с исследованиями французского математика Адамара различных краевых задач для уравнений математическох! физики. Ему же принадлежит следующее определение.
Определение 0.0.1 . Задачу (1) называют корректной, если выполняются следующие условия:
1) задача (1) имеет решение х при любом / е У;
2) решение х единственно;
3) х непрерывно зависит от / в метриках пространств X и У.
Если хотя бы одно из этих требований не выполняется, то задачу (1) относят к классу некорректных.
Ранее существовало мнение, что некорректные задачи не имеют физического смысла. Впоследствии выяснилось, что это мнение было ошибочным, и что многие задачи математической физики, являющиеся некорректными и, в частности, задачи, отмеченные Адамаром, имеют реальное физическое содержание. Оказалось также, что некорректные задачи возникают и во многих других разделах математики, связанных с приложениями. Некорректной является такая классическая задача математического анализа, как задача дифференцирования, если она связана с обработкой экспериментальных данных. Кроме того, также некоторые задачи оптимального управления, задачи выпуклого программирования и многочисленные задачи математической физики, сводящиеся к уравнениям в частных производных, тоже относятся к некорректным. При численном решении любой задачи важнейшим является вопрос о непрерывной зависимости решения от данных задачи (оператора А и элемента /), так как на практике точные А и /, как правило, неизвестны. При отсутствии этого свойства непосредственное численное решение задачи невозможно. Но установление непрерывности обратного к А оператора весьма непростая задача. Этот факт также способствовал созданию теории и методов решения некорректных задач.
В отечественной математической науке сложились три школы в теории некорректных задач, основоположниками которых являются А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов. А.Н. Тихонову принадлежит следующее важное понятие регуляризируюгцего алгоритма (РА) задачи [6-3].
Определение 0.0.2 . Оператор R(a, /) : Y —> X называется регуляризирую-щим алгоритмом задачи (1), если он обладает следующими свойствами: a) R(a,f) определен при Va > 0 и V/ 6 Y; b) существует функция а = а(8) такая, что регуляризованиое решение х5а = R(a(8),f5) —> х при а(8) —»• 0, где х - некоторое решение (1), py(f,fs) < 8, ру -метрика в пространстве Y.
Параметр а называется параметром регуляризации.
Наиболее тонкие результаты в области решения некорректных задач получены для линейных операторных уравнений. Фундаментальные результаты указанного направления исследований получены в монографиях М.М. Лаврентьева [43, 44], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, С.П. Шишатского [45], А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина [63], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы [37], В.А. Морозова [49], А.Б. Бакушинского, A.B. Гончарского [10] и т.д. В качестве наиболее значимых методов решения линейных некорректных задач укажем: операторный метод регуляризации М.М. Лаврентьева [43], метод сглаживающего функционала А.Н. Тихонова [63], метод невязки и метод квазирешений В.К. Иванова [36, 37]. Полные и законченные результаты в этой области достигнуты в основном благодаря использованию в качестве аппарата исследований основополагающего раздела анализа - спектральной теории линейных операторов. Достаточно полных результатов, близких к тем, что известны в линейном случае, для всего класса нелинейных некорректных задач получить не удается. В связи с этим появилась необходимость выделения для исследования отдельных классов нелинейных задач. Важным классом нелинейных операторных уравнений являются уравнения с операторами монотонного типа. К операторам монотонного типа мы относим монотонные операторы, впервые определенные Р.И. Качуровским [40], аккретив-ные [78] и d-аккретивные [69] операторы. К таким уравнениям сводятся многие задачи математической физики, оптимального управления, задачи минимизации выпуклых функционалов, задачи о седловых точках и т.д. Подтверждением этого факта может служить утверждение: градиент выпуклого функционала является монотонным оператором [40]. Интенсивное изучение задач с отображениями монотонного типа привело к созданию целостной теории монотонных операторов, которая содержит подробное описание свойств этого класса отображений, теоремы существования решений уравнений. Существенный вклад в ее развитие внесли Ф. Браудер [73]-[76], X. Брезис [71, 72], М.М. Вайнберг [20], Р.И. Качу-ровский [40, 41], Ж.-Д. Лионе [47], С. Райх [82], Р. Рокафеллар [83]-[86] и другие математики (укажем некоторые монографии [33, 79, 81]). Их фундаментальные исследования создали базу для построения устойчивых методов решения нелинейных некорректных задач, описываемых с помощью отображений монотонного типа.
Если оператор А в уравнении (1) произвольный монотонного типа, то задача нахождения решения (1) в общем случае не является корректной. Кроме того, сходимость известных итерационных методов решения монотонных уравнений доказана лишь при выполнении требований сильной или равномерной монотонности отображения (см., например, [4, 10, 22]). Для уравнений с операторами монотонного типа операторный метод регуляризации изучен достаточно подробно.
Практически все существующие методы решения некорректных задач сводятся к решению некоторой корректной задачи, которая дает приближение к решению исходной проблемы. Наиболее известными и подробно изученными являются операторные методы регуляризации, в которых решаются семейства корректных задач, зависящих от дискретного параметра а, называемого параметром регуляризации [4, 10, 43, 44, 55]. Однако, сведение некорректных задач для дифференциальных уравнений к решению операторных уравнений неэффективно. В настоящее время разраработаны методы регуляризации, использующие дифференциальную специфику некорректных задач. Например, для решения некорректных задач управления процессами, описываемыми дифференциально-операторными уравнениями, Ж.-Л. Лионсом и Р. Латтесом был предложен метод квазиобращения [46]. Метод получил широкое распространение для задач управления и был применен для решения некорректных обратных задач. Суть этого метода заключается в том, что некорректная краевая задача заменяется корректной введением в уравнение дополнительных слагаемых с малым параметром. Кроме того, в екатеринбургской школе математиков создан метод вспомогательных граничных условий (ВГУ), в котором регуляризующие слагаемые вводятся в граничные условия. Наиболее полные результаты по вопросам корректности и регуляризации некорректной задачи Коши изложены в [38].
В данной работе изучаются непрерывные методы регуляризации второго порядка и построенные на их основе методы итеративной регуляризации.
К непрерывным методам мы будем относить те методы решения некорректных задач, в которых роль параметра регуляризации выполняет некоторая функция £ > ¿о > 0, и которые сводятся к задаче Коши для дифференциального уравнения некоторого порядка. Под порядком непрерывного метода понимают порядок дифференциального уравнения, которое его описывает.
Отметим преимущества непрерывных методов регуляризации. При решении операторного уравнения (1) с помощью непрерывных методов полнее используется априорная информация об искомом решении, появляется возможность использовать мощный современный аппарат численного решения дифференциальных уравнений, а также строить на основе непрерывных методов новые итерационные процессы для решения операторных уравнений [8]. В силу сказанного, интерес к непрерывным методам решения корректных и некорректных задач в последнее время существенно возрос. Укажем, например, следующие работы [5, 8, 21, 28, 29, 30, 34, 35, 54, 56, 62, 68].
Непрерывные методы первого порядка в гильбертовом пространстве для задач минимизации изучались Васильевым Ф.П., Альбером Я.И. (см., например, [5, 21]). Для уравнений с дифференцируемыми операторами монотонного типа в гильбертовом и банаховом пространствах сходимость непрерывных методов первого порядка изучалась в [1, 3, 5, 34, 68]. Методы второго порядка имеют ряд достоинств, выгодно отличающих их от методов первого порядка. К этим достоинствам следует отнести лучшую приспособленность для минимизации овражных и многоэкстремальных функций, по крайней мере для корректных задач [8]. Кроме того, они дают более широкую свободу при выборе методов численного интегрирования соответствующих задач Коши и позволяют эффективно распараллелить вычисления [8]. Поэтому исследование сходимости методов второго порядка для задач минимизации, для решения уравнений с операторами монотонного типа представляется интересным. Непрерывный метод второго порядка в гильбертовом пространстве для задач минимизации изучен достаточно полно (см., например, [26, 56, 62]). В работах [25, 51] рассматриваются непрерывные методы третьего порядка для задач минимизации в гильбертовом пространстве. Однако, не всякую нелинейную задачу можно рассмотреть в рамках гильбертова пространства. Примером, подтверждающим это высказывание, может служить оператор А Немыцкого, порожденный некоторой функцией а(и,х•): Аи = а(и(х),х), х € [а,6]. Известно [19], что А действует из Ьр\а, Ъ] в Ьч[а,Ь], 1/р + 1 /д = 1, тогда и только тогда, когда |а(гг,,г")| < а^х) + с\и\р~1, с > О, Й1(.г-) € Ьч[а,Ь), р > 1. Последнее соотношение накладывает ограничение на порядок роста по и функции а(и,х). Следовательно, в гильбертовом пространстве Ь2[а, Ь] порядок роста а(и,х) по и не выше линейного. Значит, существенно нелинейные задачи следует рассматривать в банаховых пространствах.
В основе решения поставленных нами задач стоит метод тяжелого шарика (см. [11, 53]), который сводится к решению задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка. Идея метода тяжелого шарика для целей оптимизации была впервые предложена японцами [77] и получила свое развитие в работе [52]. Метод "тяжелого шарика" опирается на очень прозрачную механическую аналогию между движением системы в пространстве параметров и движением материального шарика в физическом трехмерном пространстве.
Дискретные варианты непрерывных методов регуляризации для задач минимизации в гильбертовом пространстве изучались в [7, 27, 31, 50, 58]. В данной работе на основе непрерывного метода второго порядка строятся методы итеративной регуляризации, использующие иную аппроксимацию производных, нежели в [23] и генерирующие последовательности с иными свойствами.
Основу аппарата методов решения нелинейных уравнений в банаховом пространстве с операторами монотонного типа составляет операто]э дуального отображения и его свойства, базирующиеся на геометрии банахова пространства. Следует отметить, что при исследовании сходимости непрерывных и итеративных методов в банаховом пространстве существенную роль играют не только свойства оператора А : X —» А"*, но и геометрические свойства банахова пространства X и его сопряженного Xя, другими словами, возникает необходимость использования определенных свойств дуального отображения, находящихся в тесной связи с геометрией банахова пространства, выражаемых в терминах модуля выпуклости и модуля гладкости этих пространств.
Кроме того, крайне важно для каждого типа рассматриваемых нелинейных уравнений монотонного типа правильно выбрать стабилизирующий функционал, который в отличие от гильбертова пространства не всегда совпадает с квадратом нормы.
Диссертация состоит из четырех глав, разделенных на восемь пунктов, и заключения. Нумерация определений, лемм, теорем, замечаний и следствий тройная: первая цифра совпадает с номером главы, вторая - с номером пункта, третья цифра - порядковый номер в пункте.
В главе первой приводятся основные, используемые в дальнейшем определения и утверждения функционального анализа, а также теоремы существования решений для уравнений с операторами монотонного типа и примеры таких операторов.
Последующие главы (вторая, третья и четвертая) посвящены исследованию сходимости методов регуляризации второго порядка для нелинейных уравнений с операторами монотонного типа в банаховом пространстве.
В пунктах 2.1, 3.1, 4.1 рассмотрены непрерывные методы регуляризации, второго порядка для монотонных, аккретивных и с1-аккретивных нелинейных уравнений в банаховом пространстве соответственно. Во всех трех случаях получены достаточные условия сходимости непрерывных методов регуляризации в форме задачи Коши для дифференциальных уравнений второго порядка, исследована устойчивость этих методов к возмущениям исходных данных задачи (т.е. оператора А и правой части / уравнения (1)). Во второй части каждой главы на базе непрерывных методов строятся методы итеративной регуляризации второго порядка для нелинейных уравнений с операторами монотонного типа в банаховом пространстве. Итеративные методы строятся таким образом, что они генерируют последовательности со свойствами соответствующих им регуляри-зованных решений непрерывных методов. Это достигается за счет определенного способа аппроксимации производных. Сохранение у таких последовательностей свойств регуляризованных решений, получаемых в непрерывных методах, необходимо для доказательства сходимости итеративных методов. Таким образом, все свойства решений непрерывных методов переносятся на последовательности, генерируемые методами итеративной регуляризации, построенными на базе рассматриваемых непрерывных методов. Аппарат теории операторов монотонного типа показал свою высокую эффективность при установлении сходимости рассматриваемых методов в банаховом пространстве.
Основные результаты предложенной работы являются, новыми и вносят вклад в методы решения нелинейных некорректных задач. Они опубликованы в [12]-[1Т], [59]-[61] и докладывались на Международной конференции "Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой" (Самара, 2001г.), на Всероссийских научных конференциях "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001г., 2004г.), на научной конференции 10-ой Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 2005г.), на научных семинарах кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета и кафедры математической физики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Работа выполнена при поддержке РФФИ грант N99-01-00807. Результаты представляемой здесь работы отмечены стипендией администрации Нижегородской области имени академика Г.А. Разуваева и дипломом I степени 10-ой Нижегородской сессии молодых ученых.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итог изложенному, сформулируем основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
1. В банаховом пространстве для нелинейных монотонных уравнений второго порядка построен непрерывный метод регуляризации, получены достаточные условия его сходимости, исследована устойчивость метода к возмущениям оператора и правой части уравнения.
2. Для нелинейных монотонных уравнений второго порядка на базе непрерывного метода построен метод итеративной регуляризации и получены также как и для непрерывного метода достаточные условия сходимости при возмущениях исходных данных.
3. Для класса нелинейных уравнений с аккретивными операторами в банаховом пространстве предложены, как и в случае с монотонными операторами, непрерывный и итеративный методы регуляризации второго порядка с приближенно заданными оператором и правох! частью исходного уравнения. Приводятся условия, при которых рассматриваемые методы сходятся и исследуется устохгчи-вость этих методов к возмущениям исходных данных.
4. Для уравнения с с!-аккретивным оператором в банаховом пространстве построен непрерывный метод регуляризации второго порядка. Взяв за основу этот непрерывны!! метод, строится метод итеративной регуляризации второго порядка для рассматриваемого уравнения с с1-аккретивным оператором. Доказана сходимость этих методов к некоторому решению уравнения и доказано, что эти методы устоххчивы к возмущениям оператора и правой части уравнения.
Для всех предложенных методов приводятся примеры банаховых пространств, геометрии которых обладают свохктвами, необходимыми для сходимости изучаемых методов, строятся примеры параметрических функций и последовательностей, удовлетворяющих достаточным условиям сходимости методов.
1. Альбер Я.И. Непрерывная регуляризация линейных операторных уравнений в банаховом пространстве// Математические заметки. - 1968. - Т.4, N5. -С.503-509.
2. Альбер Я.И. О решении нелинейных уравнений с монотонными операторами в банаховом пространстве.// СМЖ. Т.16, N1. - 1975. - С.3-11.
3. Альбер Я.И. О решении методом регуляризации операторных уравнений с аккретивными операторами в банаховом пространстве// Дифференциальные уравнения. 1975. - Т.11, N12. - С.2242-2248.
4. Альбер Я.И. Методы решения нелинейных операторных уравнений и вариационных неравенств в банаховых пространствах. Дисс. д.ф. м.н., Горький, 1986.
5. Альбер Я.И., Рязанцева И.П. Минимизация выпуклых функционалов // 1>Г" зисы докладов I Всесоюзной конференции по экстремальным задачам и их приложениям. Таллин. - 1973. - С.18-19.
6. Альбер Я.И., Рязанцева И.П. О решении нелинейных задач с монотонными разрывными операторами// Дифференциальные уравнения. 1979. - Т.15, N2. - С.331-342.
7. Амочкина Т.В., Недич А. Об одном варианте непрерывного метода проекции градиента второго порядка и его дискретном аналоге// Вестгик МГУ. 1995. - N2. - С.5-11.
8. Антипин A.C. Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования и типа проектирования// Вопросы кибернетики. Вычисл. вопр. анализа больших систем. М.: Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика" АН СССР. - 1989. - С.5-43.
9. Апарцин A.C. К построению сходящихся итерационных процессов в гильбертовом пространстве// Тр. по прикладной математике и кибернетике. -Иркутск. 1972. - С.7-14.
10. Бакушинский А.Б., Гончарский А.Г. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.
11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
12. Бубнова О.Ю. Метод итеративной регуляризации второго порядка для нелинейных аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Вестник ИНГУ. Матем. моделирование и оптим. управление. 2001. - В.2(24). - С.219-227.
13. Бубнова О.Ю. Метод итеративной регуляризации второго порядка для монотонных уравнений в банаховом пространстве// Н.Новгород. Известия АИН РФ. Прикладная матем. и механика. 2004. - Т.9. - С.23-32.
14. Бубнова О.Ю. Метод итеративной регуляризации второго порядка для d-аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Вестник ННГУ. Матем. моделирование и оптим. управление. 2004. - В. 1(27). - С.53-64.
15. Бубнова О.Ю., Рязанцева И.П. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для нелинейных d-аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Дифференциальные уравнения. 2005. - Т.41, N6. - С.774-780.
16. Бубнова О.Ю. О непрерывных и итеративных методах регуляризации// Тезисы конференции 10-ой Нижегородской сессии молодых ученых. Матем. науки. Саров. - 2005. - С.15-16.
17. Бубнова О.Ю., Рязанцева И.П. Непрерывный метод второго порядка для монотонных уравнений в банаховом пространстве// Журнал вычислит, матем. и мат. физики. 2004. - Т.44, N6. - С.968-978.
18. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956.
19. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972.
20. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
21. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.
22. Васильев Ф.П., Недич А. Об одном варианте регуляризованного метода проекции, градиента// Журнал вычислит, математики и матем. физики. 1994.- Т34, N4. С.511-519.
23. Васильев Ф.П., Недич А. Регуляризованный непрерывный метод проекции градиента второго порядка// Вестник МГУ. Сер.15. 1994. - N2. - С.3-11.
24. Васильев Ф.П., Недич А. Регуляризованный непрерывный метод проекции градиента третьего порядка// Дифференциальные уравнения. 1994. - Т.30, N2. - С.2033-2042.
25. Васильев Ф.П., Амочкина Т.В., Недич А. Об одном регуляризированном варианте непрерывного метода проекции градиента второго порядка// Вестник МГУ. Сер.15. 1995. - N3. - С.39-46.
26. Васильев Ф.П., Амочкина Т.В., Недич А. Об одном регуляризированном варианте двухшагового метода проекции градиента// Вестник МГУ. Сер. 15.- 1996. N1. - С.35-41.
27. Васильев Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации третьего порядка// Дифференциальные уравнения. 1995.- Т.31, N10. С.1622-1627.
28. Васильев Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации второго порядка для задач минимизации с неточными исходными данными// Вестник МГУ. Сер.15. 1996. - N3. - С.5-12.
29. Васильев Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации для задач минимизации с неточными исходными данными// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1996. - Т.36, N3. - С.33-43.
30. Васильев Ф.П., Недич А., Ячимович М. Двухшаговый регуляризованный метод линеаризации для решения задач минимизации// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1996. - Т.36, N5. - С.9-19.
31. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. -Екатеринбург: Уральская издательская фирма "Наука", 199-3.
32. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
33. Дунцева Е.А. Некоторые непрерывные и итеративные методы решения некорректных задач. Дисс. к.ф. м.н., Нижний Новгород, 2000.
34. Жанлав Т., Пузынин И.В. О комбинации метода установления и метода Ньютона для решения нелинейных дифференциальных уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1994. - Т.23, N2. - С.175-184.
35. Иванов В.К. О нелинейных некорректных задачах// Доклады АН СССР. 1962. Т.145, N2. - С.270-272.
36. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
37. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально- операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1995.
38. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. М.:Наука. -Часть I. - 1982.
39. Качуровский Р.И. О монотонных операторах и нелинейных функционалах// УМН. 1960. - Т.15, в.4. - С.213-215.
40. Качуровский Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах// УМН. 1968. - Т.23, в.2. - С.121-168.
41. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1976.
42. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск. - СО АН СССР, 1962.
43. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973.
44. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.- М.: Наука, 1980.
45. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.
46. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.
47. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Разностные методы решения нелинейных задач фильтрации// Известия вузов. Математика. 1983. - N7. - С.28-45.
48. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: МГУ, 1988.
49. Недич А. Трехшаговый метод проекции градиента для задач минимизации// Известия вузов. М. 1993. - N10. - С.32-37.
50. Недич А. Непрерывный метод проекции градиента третьего порядка для задач минимизации// Дифференциальные уравнения. 1994. - Т.30, N11. -С.1914-1922.
51. Поляк Т.Б. О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов// Журнал вычисл. матем. и матем. физики 1964. - Т.4, N5. - С.791-803.
52. Растригин JI.A. Системы экстремального управления. М., 1974.
53. Рязанцева И.П. О некоторых методах непрерывной регуляризации для монотонных уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1994. -Т.34, N1. - С.3-11.
54. Рязанцева И.П. Устойчивые методы решения нелинейных монотонных некорректных задач. Дисс. д.ф. м.н., Новосибирск, 1996.
55. Рязанцева Й.П. Непрерывный метод решения задач условной минимизации// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1999. - Т.39, N5. - С.734-742.
56. Рязанцева И.П. Метод итеративной регуляризации второго порядка для выпуклых задач условной минимизации// Известия вузов. Математика. 2000. - N12. - С.67-77.
57. Рязанцева Й.П. Об одном методе итеративной регуляризации для выпуклых задач минимизации// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2000. -Т.40, N2. - С.181-187.
58. Рязанцева И.П., Бубнова О.Ю. Об одном непрерывном методе для аккре-тивных уравнений в банаховом пространстве// Тезисы Всероссийской научной конф. "Алгоритмический анализ неустойчивых задач".- Екатеринбург. -2001. С.54-55.
59. Рязанцева Й.П.,,Бубнова О.Ю. Непрерывный-метод второго порядка для нелинейных аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Труды Сред-неволжского мат. об-ва. 2002. - Т.3-4, N1. - С.327-334.
60. Рязанцева Й.П., Бубнова О.Ю. Об одном непрерывном методе регуляризации для нелинейных d-аккретивных уравнений в банаховом пространстве// Тезисы Всероссийской научной конф. "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". Екатеринбург. - 2004. - С.59-60.
61. Рязанцева И.П., Дунцева Е.А. Об одном непрерывном методе решения выпуклых экстремальных задач// Дифференциальные уравнения. '1998. -Т.34, N6. - С.480-485.
62. Тихонов А.Н., Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.:Наука, 1979.
63. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач// Доклады АН СССР. 1963. - Т.39, N5. - С.195-198.
64. Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. Минск: Наука и техника, 1986.
65. Юргелас В.В. Методы приближенного решения уравнений с монотонными операторами: Дисс. к.ф. м.н., Воронеж, 1983.
66. Alber Ya. I. Metric and generalized proejection operators in Banach spaces: Properties and applications. Funct. Differential Equations. -1994. V.l, N1. -P.1-21.
67. Alber Ya. I. A new approach to investigation of evolution differential equations in Banach space, Nonl. Anal. 1994. - V.23, N9. - P.1115-1134.
68. Alber Ya., Reich S. An iterative method for solving a class of nonlinear operator equations in Banach spaces// Panamerican Math. J. 1994. - V.4, N2. - P. 39-54.
69. Alber Ya., Reich S., Ryazantseva I. Nonlinear problems with accretive and d-accretive operators. Preprint. Technion. Haifa: 2003.
70. Brezis H. Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. North-Hoi-Land: Math. Studies. - 1973. - B.5.
71. Brezis H., Grandall M. G., Pazy A. Perturbations of nonlinear maximal monotone sets in Banach spaces// Communic. Pure Appl. Math. 1970. - V.23, N1. - P. 123-144.
72. Browder F. E. Nonlinear elliptic boundary value problems. I// Bull. Amer. Math. Soc. 1963. - V.69, N6. - P. 862-874.
73. Browder F. E. Nonlinear elliptic boundary value problems. II// Trans. Amer. Math. Soc. 1965. - V.117, N2. - P. 530-550.
74. Browder F. E. Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequations// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1966. - V.56, N4. - P. 1080-1086.
75. Browder F. E. Nonlinear maximal monotone operators in Banach spaces// Math. Ann. 1968. - V.l75, N2. - P. 89-113.
76. Inomata S., Kumada M. On the Gold method// Bulletin of Elect, lab.- V.27, N7, March 23. Tokyo, 1961.
77. Kato Т. Accretive operators and nonlinear evolution equations in Banach spaces// Proc. Symp. Pure. Math. 1970. - V.13, Nl . - P. 133-161.
78. Kluge R. Nichtlinear Variationsungleihungen unci Extremalaufgaben. Theory and Naherungsverfahren. Berlin: Dtsch. Verl. Wiss.,1974.
79. Linclenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1979.
80. Pascali D., Sburlan S. Nonlinear operators of monotone type. Bucuresti: Ed. Acad. R.S.R., 1978.
81. Reich S. Extension problems for accretive sets in Banach spaces// J. Funct. Anal. 1977. - V.26, N4. - P. 378-395.
82. Rockafellar R. T. Local boundedness of nonlinear monotone operators// Michigan Math! J. 1969. - V.16, N4. - P. 397-407.
83. Rockafellar R. T. On the maximality of sums of nonlinear monotone operators// Trans. Amer. Math. Soc. 1970. - V.149, N1. - P. 75-88.
84. Rockafellar R. T. On the maximal monotonicity of subdifferential mappings// Рас. J. Math. 1970. - V.33, N1. - P. 209-216.
85. Rockafellar R. T. Monotone operators and proximal point algorithm// SIAM. J. Contr. and Optim. 1976. - V.14, N5. - P. 877-898.
86. Weyer J. Maximal monotonicity of operators with sufficiently large domain and application on the Hartree problem// Manuscripta Math. 1982. - V.38, N2. -P. 163-174.
