Итеративные методы решения нелинейных операторных уравнений 1 рода и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Р Г Б

ОА

На правах рукописи

СМИРНОВА Александра Борисовна

ИТЕРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 РОДА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург-1995

Работа выполнена в Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. A.M. Горького на кафедре вычислительной математики.

Научный руководитель - член-корреспондент РАН,

профессор Васин В.В. Официальные оппоненты - дохтор фгоико-математиических наук

Короткий А.И., - кандидат фиоихо-математических наук, доцент Рогожин С.А. Ведущая организация - Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ.

Защита состоится " ¡^ " 'ШМъО- 1995 г. в часов на (заседании

диссертационного совета К 002.07.01 по оащите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики Уральского отделения РАН (620066, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской,16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат раоосдан " " 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м. н., ст.н.с.

Схарин В.Д.

Актуальность темы. Класс некорректно поставленных (неустойчивых) оадач необычайно широк. Это - оадачи решения операторных уравнений первого рода, минимиоадии функционалов, суммирования рядов Фурье с неточно известными коэффициентами, дифференцирования приближенно оадалных функций, многие оадачи линейной алгебры и др. К некорректным оадачам относится также большинство так намываемых обратных проблем, которые тесно с.вяоалш г. интерпретацией данных фиоических экспериментов.

Некорректно поставленные оадачи характеризуются тем, что как угодно малые иоменения исходных данных могут приводить к проиовольно большим изменениям решения. Исходные данные но эксперимента всегда находятся приближенно, поэтому некорректная постановка оадачи влечет практическую неединственность решения в рамках оаданной точности и необходимость отбора приближенного решения среди множества, возможных. Иными словами, речь идет о построении регуляржзующего алгоритма (регуляриэующего оператора, регуляршзатора) для некорректно поставленной оадачи как однопараметрического семейства операторов, специальным обраоом аппроксимирующего обратный оператор и обеспечивающего при согласовании параметра с уровнем погрешности исходных данных устойчивое восстановление приближенного решения.

Основополагающие результаты в теории неустойчивых проблем связаны сименами М.М.Лаврентьева, А.Н.Тихонова, В.К.Иванова. Дальнейшее развитие методы решения некорректно поставленных оадач получили в работах В-Я.Арсенина, А.Б.Бакушинсхого, В.В.Васина, В.А.Винокурова, А.Ю.Веретенникова, Ф.П.Васильева, Г.М.Вайникко, B.tl.DiacKO, Ю.Л.Гапоненко, A.B.Гончарского, О.А.Лисковца, В.А.Морооова, В.П.Та-наны, В.Н.Страхова, Ю.И.Худака, А.Г.Яголы и др. Ио оарубежных авторов необходимо, прежде всего, упомянуть Ж.Л.Лионса, предложившего метод регуляриоации дифференциальных уравнений, иовестный как ме-

тод кваомобращения. Среди недавних исследований по регуляризации и дискретиоации (не)линейных и а дач, оценке погрешности отметим работы A.Neubauer, C.W.Groetsch, O.Scherzer, H.W.Engl, K.Kunisch, G.Wah-ba, C.R.Vogcl и др.

К настоящему времени сооданы общие принципы конструирования регулярииукнцих алгоритмов для широкого круга неустойчивых задач. И частности, ухаоаны различные способы видоизменения (модификации) классических итерационных процедур с тем, чтобы их можно было успешно применять в некорректном случае. Значительным достижением в о гой области окавались модификации итерационной схемы Гаусса-Ньютона, которые посзволяют избавиться от условия монотонности оператора. Имеются в виду, во-первых, подход, основанный на регуляризации исходного уравнения вариационным методом (кваоирешений) с дальнейшей аппроксимацией Гаусса-Ньютона экстремального элемента регуяяриоую-щего функционала (C.R.Vogcl), и, в'о-вторых, итеративно регуляривован-ный однопараметрический метод Гаусса-Ньютона (А.Б.Бакушинский).

[1ервая глава настоящей диссертации целиком посвящена дальнейшему развитию итеративной регуляриоации методов типа Гаусса-Ньютона для нелинейных неустойчивых операторных уравнений в условиях оашумлен-ных исходных данных. Во второй главе рассмотрены два класса монотонных итерационных схем для нелинейных уравнений первого рода с иоотонными операторами в полуупорядоченных пространствах. В рамках отой математической модели могут быть описаны многие важные прикладные оадачи, например, гравиметрии и сейсмики. Для аналиоа эффективности предложенных регуляриоующих алгоритмов выполнена большая серия численных экспериментов, результаты которых обсуждаются в третьей главе.

Цель работы.

1. Построение на основе классических итерационных процедур нулевого

и первого порядков регулярных методов решения нелинейных уравнений 1 рода с немонотонными (в смысле вариационных неравенств) операторами.

2. Апробация практической эффективности предложенных методов.

Общие методы исследования опираются на концепции и результаты Теории некорректных оадач, функционального анализа и вычислительной математики.

Научная новиона работы заключается в следующем:

1. На основе функционального аппарата конечномерной аппроксимации сформулированы достаточные условия сходимости каркасов приближенных решений нелинейных некорректных оадач в гильбертовых пространствах.

2. Исследована двуступенчатая регулярная процедура, включающая в себя тихоновскую регуляризацию и итерационное решение задачи минимизации регуляриоующего двупараметрического функционала на основе процесса Гаусса-Ньютона.

3. Обоснован итеративно регуляризованный одноступенчатый метод Гаусса-Ньютона с тремя управляющими параметрами.

4. Получены достаточные условия монотонной сходимости и дана оценка погрешности для явных (типа простой итерации) и неявных (типа Ньютона-Канторовича) итерационных схем для уравнений 1 рода с изотопными операторами в К-пространствах.

5. Проведены численные эксперименты для плоской задачи гравиметрии, нелинейного уравнения Вольтерра и уравнения универсальности Фейген-баума.

Все основные результаты диссертационной работы являются новьми. Теоретическая и практическая ценность работы состоит в построении и обосновании нового класса регулярных методов решения нелинейных некорректных (неустойчивых) проблем. Практическая оначи-

б

мость работы обусловлена тем, что предложенные в ней алгоритмы могут быть исполызованы при решении нелинейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1 рода, выступающих в качестве математических моделей важных прикладных оадач.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации были обсуждены на научных семинарах в отделе некорректных оадач анализа и приложений ИММ РАН, на XXII, XXIII, XXIV и XXVI Региональных математических Конференциях молодых ученых (г.Екатеринбург, 1991, 1992,1993, 1995гг.); на Всесоюзной Конференции по условно-корректным задачам математической фгоики и аналиоа (г.Новосибирск, 1-5 июня 1992г.); на Сибирской Конференции по прикладной и индустриальной математике (г.Новосибирск, 24-30 июля 1994г.), на Всероссийской научной Конференции "Алгоритмический и численный анализ некорректных оадач" (г.Екатеринбург, 27 февраля-3 марта 1995г).

Публикации. Но теме диссертации опубликовано 5 работ. В [1] автору принадлежит регуляриэующий алгоритм, включающий в себя линейную аппроксимацию исходного оператора и нахождение итерационной поправки методом Гаусса-Ньютона с квадратичным ограничением; в [4] автором докаоаны теоремы 4.1,4.4 и выполнены модельные расчеты.

Структура и объем диссертации. Работа состоит ио введения, трех глав, оакяючения и списка литературы. Объем диссертации составляет 106 страниц машинописного текста, включая 1 рисунок, 18 таблиц и 85 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко изложено состояние вопроса и основные результаты работы.

В первой главе обосновывается двуступенчатый регуляризующий алгоритм (РА) на бале метода Гаусса-Ньютона с двумя параметрами, а

также одноступенчатый итеративно регуляриоованный вариант метода Гкусса-Ньютона с двумя и тремя управляющими параметрами. В первом раод.1 приводится постановка задачи. На паре гильбертовых пространств рассматривается нелинейное операторное уравнение 1-го рода

F(*)=y F:X-*Y (1)

в условиях возможного нарушения корректности по Адамару, означающего, что F-1, вообще говоря, разрывное ( многозначное ) отображение. Предположим, что исходные данные оадачи,то есть пара (F, у), имеют уровень погрешности <5, Л:

11У-Ув11<*. ||F(*)-F*(z)||<¥>(i,A), (2)

где Ip{x,h) —> 0 при Л —► 0 на каждом ограниченном подмножестве D С X. Требуется построить регуляршованное, т.е. устойчивое к возмущениям исходных, данных семейство приближенных решений, аппроксимирующее элемент

re Ms{xeX, F(x) = г/} ?ь 0. (3)

Таким обраоом,речь идет о построении регуляризующего алгоритма (РА) для оадачи (1).

Исследование итерационных схем типа Гаусса-Ньютона начинается с двуступенчатого РА. В раод.1 на первом этапе решения к уравнению (1) применяется вариационная регуляриоация А.Н.Тихонова и одновременно дискретная аппроксимация последовательностью коненомерных экстремальных оадач

min {||Fn(x„) - у„||2 + о,||«в - z°||2}, (4)

где {Х„} - последовательность конечномерных пространств, {Fn} - семейство операторов, аппроксимирующих F, ал - параметры регуляризации, {х°} - множество пробных функций. Справедлива

Теорема 2. Предположим, что выполнены условия:

1) X,Y - гильбертовы пространства;

2) последовательности е Jfn,{jin} е Yn дискретно сильно сходятся к элементам х° € X, у е Y соответственно;

3) уравнение (1) разрешимо в X, т.е. К = {х е X,F(x) = у} 0;

4) для {F„} и F при «-»oo справедливо:

Ужп е X : ж„- '-i^ F»(®„)- F(x), Vie К: F„(Pni)- - F(z),

где {P,i}~ произвольные свжэывающие операторы;

5) limsuprt_00a„ = 0,a„ > 0;

6) \хс,} - такая последовательность св- оптимальных элементов функционалов /п(хп), что limsup^^ = 0;

7) WQnV - УпII < 6Я, ||<2nF(£) - Fn(Pn®)|| < и

iimsupMiA)±M = o,

п—*оо 0tn

гДе {Qk}- линейные свяоывающие операторы;

8) г„ : Хп —»Х- операторы сильного восполнения. Тогда

Замечание 1. В форме (4) В.В.Васиным ранее был исследован линейный случай, а для нелинейного оператора сходимость была доказала при фиксированном а.

В третьем разд. рассмотрены конкретные реалшзации общей схемы дискретной аппроксимации для нелинейных интегральных уравнений первого рода: метод механических квадратур, проекционные методы и метод коллокаций.

Для приближенного решения конечномерной оадачи (4) в четвертом раод. применяется модифицированная схема Гаусса-Ньютона с двумя упра

вляющими параметрами

х?1 = ** - (*5)Ж*5) + К + /*)/)-1 х

- »,) + - «»)), (5)

к = 0,1,..., х^^Хц,

где ц - неотрицательное число. Справедлива

Теорема 2. Предположим, что выполнены условия теоремы 1. Пусть оператор Рп является дважды непрерывно дифференцируемым по Фреше в X и для норм первой и второй производных выполнены оценки

Пусть, кроме того, минимум функционала (Л) достигается на некотором элементе хп и для параметров а„,ёп,/х и начального приближения х® выполнено соотношение

„ _ М + м + + а„||Р,а - ^Н2)'/2 + (1/2)ЛГ, - д„|| ,

Чп = __ . < д < 1,

где £ - я0 - нормальное решение задачи (1).

Тогда последовательность {х£}, определенная схемой (5), сходится сильно к хп и справедлива оценка:

\\хкп - «»II < 9*11*1 - *»||. (6)

Замечание 2. Величина д в (6) слабо зависит от значения /г > 0, в частности, можно положить /1 = 0. Однако следует иметь в виду, что при малых значениях параметра регуляризации ап операция обращения оператора В» = + может оказаться численно неустой-

чивой. Поэтому введение положительного ц > 0 позволяет иметь дело с хорошо обусловленным оператором Вц = (Е„(х!ц)Р^(х*) + (ап + р)1) независимо от величины а„.

Таким обраоом, на основании теорем 1 и 2 имеем соотношение

lim (lim я*) = х,

т.е. тихоновский метод в совокупности со схемой (5) порождает двуступенча-тый регудяриоующий алгоритм для оадачи (1).

В раяд.5 обосновывается трехпараметрическая одноступенчатая процедура Гаусса - Ньютона вида:

**+» = - ßk(F!?(xk)Fji(xk) + (ак + (1к)1)-> х

x(i?(**)(itf«*) - Vk) + <*к(хк - г0)), (7)

А: = 0,1,..., х°еХ.

Сходимость итеративно регуляриоованного метода (7) исследуется на основе общей схемы Бакушинсхого-Поляка. А именно, одновременно с последовательностью {я4} рассмотривается вспомогательная последовательность {zk} - экстремальных элементов функционала Тихонова

тш{||П(х) - ук\\г + - *°И2}. (8)

Прежде всего, устанавливается разрешимость задачи (8) (существование {zk}) и сильная сходимость {zk} кг0 - нормальному решению уравнения (1). Далее обосновывается стабилизация {я*} к {zk} при к -+ оо, которая влечет сходимость хк к решению (1). Ткким образом, получаются достаточные условия сходимости (7), среди которых главными являются предположения об асимптотическом поведении решений оадачи минимизации (8) и условие на начальную аппроксимацию решения (1). Имеет место следующая

Теорема 3. Предположим, что выполнены условия 1 )Ks{xeX,F(x) = y}j=9-,-

2)\\F(x)-Fk{x)\\<<p(x,hk) Чх<еК, \\у - ук\\ < 6к\

3) семейство операторов {Fk}, а также F слабо непрерывны в X:

V{xn}cX:xn^x Fk(xn)-rFk(x), F(zn) - F(x)

ю

при п-*оо;

4) для имеет место:

<p(s,hk).+ Sk<vak,

где V - малая величина, х е К;

5) для любого к оператор Fk является дважды непрерывно дифференцируемым по Фреше, и для норм первой и второй проиоводных справедлива оценка

!№)!!< №)||<Wi;

6) в пространстве X существует единственное ха - нормальное решение z уравнения (1): F(z) = у, для которого

zk-z = v(x<>)(ak + o(ak)\ «(*«>) е*; (9)

7) последовательность {а*} выбрана таким обрапом, что

lim ак = 0, 1 < SIL. < i _ const lim ак~аш < ^ > 0>

¿—»оо ОД+1 . к—со се %

где С - малая величина;

8) управляющие параметры свяоаны соотношением

о <<г<_&£*_<1, ~ /it + ак ~

где о - con$t, ßh >0, ßb> 0;

9) у s 1 - 2ЛГ2(||ф°)||(||2 - «оц + |И*°)||аа))»/» - N3v > #;

10) для начального приближения справедливо

||20-*°||<ао9,

где q определяется го условия

Тогда

2[1(7а-1) + 1]

стТЩГ-1 9'

lim ||и4 - = 0, ||iA - z\\ < Сак. *-• 00 •

Замечание 3. Отметим, что условиям теоремы удовлетворяют, например, последовательности

Обратим также внимание, что. соотношение (9) выпол|шется для нелинейных монотонных операторов.

Замечание 4. Итеративно регуляргоованный метод ГЪ.усса-Ньютона с одним управляющим параметром и условием (9), предложенный А.Б.Баку-шинсжим, соответствует (7) при /ц = 0,/Зц = 1. Следует подчеркнуть, что в некоторых случаях целесообразно введение параметра цк > 0 в силу тех же причин, что отмечались для процесса (5) (смотри оамечание 3).

В последнем 6 разд. первой главы обсуждается процедура типа Гаусса-Ньютона следующего вида:

xk+l = хк- + akI)~l X

x(i?(*fc)№(*4)-»)+«*(*4-*0)). (ю)

к = 0,1,2,..., х°еХ

((7) при hi,. = О, Д.)

Докалывается сходимость процесса (10) с испольоовалием априорного условия на олемент х°, более сильного, чем просто блиоость по норме к точному решению г:

2-x° = F?(z)Fi(z)v + Vk, v,VkeX (11)

Справедлива

Теорема 4. Предположим, что уравнение (1) имеет единственное х° - нормальное решение z , причем для z и х° выполнено соотношение (11) и lim^«, HvaII = 0.

Пусть оператор Fk дважды непрерывно дифференцируем по Фреше при любом к, и для норм первой и второй производных справедливы

оценки

1№)11<^ь ||ВДц<^2. Будем также предполагать, что параметры а^, /3 выбраны таким об-раоом, что

0</?<1,

«к = «к, <* = & = РЫи *о =

1 > д а 1 _ (1 _ 2ВД||«||)0 + (2М ЛЬМ)1'2/? + [2А?1 ||»||/ Л,]"^ > О,

оо е.

5?<вВ-

Кроме того,

\\Рк{г)-Е{г)\\<ф,Нк), ||У-УА||<4, +

Тогда

Ит \\хк-г\\ = 0.

А—»оо

Замечание 5. Условие (11) называется условием истокообразной представимости решения. Если на каждом шаге (11) выполняется точно, т.е. щ = 0, ^ = F, то последовательность {г*} сходится к г со скоростью геометрической прогрессии.

Во второй главе поучаются условия сходимости явных и неявных итерационных процессов для нелинейных уравнений с изотопными операторами, действующими в банаховых пространствах с конусом, Рассматривается нелинейное операторное уравнение

*■(*) = у, F:Л'-+Jr, (12)

где X - банахово полуупорядоченное пространство. Определяются последовательности {и*}, {и*} с помощью рекуррентных формул:

и**1 = и* - ак(Р{ък) - у + ек(ик - в4)),

= „* _ ак(р(ик) - у + ек(х>к - и*)), (13)

к = 0,1,2,...

Справедлива

Теорема 5. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) X - правильно полуупорядоченное банахово пространство;

2) F - изотонный непрерывный оператор на [u°,t)°], v°>u°;

3) F{ v°) -y< peQ(v° - u°), -F(ua) + y < pe0(v° - u°); где 0 <p< 1, e0 >0;

4)(k=e0/(l-2q)k, 0 < q < 1/2, ak=q/ek;

5) -oo< F{uk)-y< 0, +oo > F{vk)- y > 0, к = 0,1,2,... .

Тогда уравнение (12) разрешимо на [u0,v°] и {ufc},{t»*} монотонно сходятся к некоторому решению (12) и 6 [и0,и0], причем

max{||u* - u||,|]u* - u||} < (1 - 2(1 -p)g)V - ы°||.

Допустим, в задаче (12) исходные данные (F,y) известны неточно:

НУ ~ У8II < 6, №) - Fh(x)|| < ip(x, h).

Для возмущенной пары (Fh, у6) рассматривается итерационный процесс:

йк+1 = йк _ -ys + ек(йк - 5*)), ü° = u°,

Ьк+1 =ък_ ajfc(^A(û*) _ ys + _ «*)), V0 = и0, (14)

v°,u°eX, ¿ = 0,1,2,...

Следствие 1. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) \\У - У5|| < - FA(*)II < Ф, h),

где <p(x,h) -» 0, при Л-»0 равномерно пои; на [u°,t>0];

2) X - правильно полуупорядоченное банахово пространство;

3) Fk - изотонный оператор на [и0, и0] ;

4) е* = с0/(1 -2q)k, 0<q< 1/2, ак = q/ek;

5) последовательность {k(S,h)} такова, что

lim k(6,h) = оо;

6) -ОО < FÄ(йЩ -ys< y(6, h), +oo > Fh(vW) -yi> -7(г, A);

где 0 <7(б,Л)еХ,

lim ||7(^Л)|| = 0, fc= 0,1,2, ...,*(£, Л).

5—»0

7) F*(ü°) - у« < ре0(г>° - -FA(u°) + у < ре0К - «°)> где 0 <р< 1, г„> 0.

ТЪгда уравнение (12) разрешимо на [и0,«0],

тах{||б*№ - и||,||й*№ - и||} < (1 - 2(1 - р)д)*^ц„° - и°||,

де {ü^f8)}, {цН5)} определяются ио (14), а и - решение (13) на [u°,t>0].

В раод.2 для нелинейного операторного уравнения (1) на паре банахо-ых пространств X, Y с приближенно известной правой частью:

(15)

сследуется неявная итерационная схема

= „«> _ T-^Fiv*) - у6), vü е X =ufc-T"1(i,(«fc)-yi), ийеХ (16)

v°>u°, к = 0,1,2,...,

трТ :Х -+Y - линейный, непрерывный, обратимый оператор. Справедлива

Теорема 6. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) оператор F непрерывно дифференцируем на порядковом интервале,

v° > и°;

2) существует линейный, непрерывный оператор Т: X -+Y, что для обого хе[и°,»°] оператор F'{x)< Т:

F'(x)h<Th VheX,h> 0;

3) Т имеет положительный линейный обратный Г-1;

4) У - полуупорядоченное, а X - правильно полуупорядоченное бана->вы пространства;

5) — уй < 0, F(v0) - у6 > 0;

6) ||У - 2/4|| < 6, Пшг_о Ц5) — оо-

Тогда множество решений уравнения (1) на [и°,1>°] не пусто, среди них есть наименьшее и наибольшее: и и V соответственно и

< и1 < ... < < ...< и < V < ... < «ЭД < ... < V1 < V0,

Нт||иЗД -и|| = 0, ПтНуЭД -и|| = 0.

Для случая, когда, требование 5) теоремы б не выполнено (такая ситуация возникает, ^частности, если элементы F(ti0),F(t;0) и у6 несравнимы в пространстве У), формулируются достаточные условия другого рода.

Теорема 7. Предположим, имеют место следующие условия:

1) ^ - непрерывно дифференцируем на [и0,и0], у°>и°;

2) существует линейный непрерывный оператор Т :Х У, что для любого же [и0, и0] оператор Р(х)<Т:

УЛ>0 F'(a:)/^ < ТК, ЛеХ;

3) Г имеет положительный линейный обратный Г-1;

4) У - полуупорядоченное, а X - правильно полуупорядоченное бана ховы пространства;

5) - у < 0, Р(»о)-у>0;

6) для оператора Р справедливо условие Гельдера

^(а^)-^(ж2)|| < с||®1 -х2\\ Чх1,х2еХ, с-сопаЦ

7) оператор Т~х ограничен: ||Г_1|| < т.

Тогда при связи параметров

= 0,

6-.0

где Ь = 1 + тс, ||у - у61| < 6, множество решений (1) не пусто, среди ни: есть наименьшее и наибольшее: и,и соответственно, при этом

Пт||и*<*) - и|| = 0, Ит||и^) - и|| = 0.

¿—»О 6—»0

Замечание 6. Достаточные условия сходимости процесса (16) с точными данными (в несколько иных терминах) ранее уже были получены А.Н.Балуевым. В теоремах 6, 7 эти условия удалось обобщить на случай воомущенной правой части, используя несколько иной подход к доказательству.

При дополнительных предположениях получена оценка погрешности метода (16).

В разд.З монотонную сходимость процесса (16) удалось полностью обосновать для одного класса нелинейных уравнений Вольтерра 1 рода.

В третьей главе проводится анализ численной эффективности раз-

работанных процедур. С этой целью рассматриваются три модельные задачи:

1) обратная задача гравиметрии ( нелинейное уравнение Фредгольма первого рода )

F\x}(t)-pl'p2 fin, Д"2 + (*-5)2 ds-v(t)

которое связывает неизвестную функцию x(t), описывающую поверхность раздела двух сред с разными плотностями р\ > р2 на глубине Н, с заданной аномалией силы тяжести y(i);

2) нелинейное уравнение Вольтерра первого рода

Ffe>](<) = j e'+t (ф) + в"*')) ds = ln(i 4- e)2t - e'; о

3) уравнение универсальности (удвоения) Фейгенбаума

дг(х) = -azgz {д2 .

Решение последнего уравнения 3) отыскивалось на классах четных вогнутых аналитических функций дг(х), где х е [-1,1], имеющих единственный максимум порядка z и зависящих от х через \х\*, для 2 < z < 26. Как результат численного эксперимента приведена таблица констант Фейгенба-

ума аг, численные (значения которых для 2 < z < 12 были ранее получены K.Briggs.

Расчеты на ЭВМ подтвердили работоспособность и перспективность итеративных и итеративно регулярноованных методов типк Гаусса -Ньютона, а также итерационных монотонных процессов. Причем, последние могут быть использованы как самостоятельно, так и для улучшения начальных данных с дальнейшим привлечением какого-либо итеративно регулярииованного метода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертации.

1. Для нелинейных операторных уравнений исследован регулярный двуступенчатый алгоритм, включающий в себя тихоновскую регуляри-оацию, дискретную аппроксимацию и итерации на основе модифицированного метода Гаусса-Ньютона.

2. Обоснована итеративно регулярноованная одноступенчатая процедура Гаусса-Ньютона с тремя управляющими параметрами.

3. Поучены достаточные условия монотонной сходимости явных (типа простой итерации) и неявных (типа Ньютона-Канторовича) итерационных схем для уравнений первого рода с иоотонными операторами в К-лространствах.

4. Проведены численные эксперименты для обратной задачи гравиметрии и уравнения универсальности.

Значимость работы обусловлена тем, что предложенные в ней алгоритмы могут быть исполызованы при решении нелинейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра, выступающих в качестве математических моделей важных прикладных оадач.

•Список работ по теме диссертации

1. Васин В.В., Смирнова А.Б. Итерационная аппроксимация решений нелинейных некорректных операторных уравнений// Тео. докл. Всес. конф. "Условно-корректные задачи математической фиоики и анализа". Новосибирск, 1992. С.14-15.

2. Смирнова А.Б. Вариационная регуляризация и итеративная аппроксимация решений нелинейных операторных уравнений// Ин-т математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1992. 18с. Деп. в ВИНИТИ 04.01.92, N18-B92.

3. Смирнова А.Б. Дискретизация и итерационная аппроксимация решений нелинейных некорректных задач// Изв. вузов. Математика. 1992, N8. С.73-79.

4. Smirnova A.B., Vasin V.V. Iterative Approximation of Solutions of Non-Linear Unstable Problems in a Hilbert Space// Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 1993. V.8, N2. P.127-145.

5. Смирнова А.Б. Итерационная аппроксимация решений нелинейных некорректных уравнений с изотопными операторами в K-пространствах// Тео. докл. Веер. науч. конф. "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач". Екатеринбург, 1995. С.115.