Проекционно-итеративные методы решения интегральных и дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В в е д е н и е . 2

ГЛАВА I. ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ.ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 15

§ I. Стационарный проекционно-итеративный метод. 15

§ 2. Конструктивные условия сходимости и нестационарный проекционно-итеративный метод . 35

§ 3. Применение проекционно-итеративного метода к интегральным уравнениям . 51

§ 4. Быстрота сходимости.проекционно-итеративного метода . 87

ГЛАВА П. ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЮО

§ I. Общие критерии сходимости проекционно-итеративного метода . 100

§ 2. Сходимость метода для уравнений с монотонными операторами . 122

§ 3. Сходимость метода для уравнений с гладкими. операторами и.уравнений.со.слабой нелиней.т ностью. 132

§ 4. Применение проекционно-итеративного метода, к нелинейным интегральным уравнениям . 146

ГЛАВА Ш. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАТИВНОГО МЕТОДА К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. 161

§ I. Проекционно-итеративный метод для уравнений с неограниченными операторами . 161

§ 2. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и. их. решение проекционно-итера-тивным методом . 171

§ 3, Краевая задача для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и ее решение приближенными методами . 185

§ 4. Построение периодических решений дифференциальных уравнений проекционно-итеративным методом. 203

§ 5. Построение решений дифференциальных уравнений с частными производными.проекционно-итератив-ным методом. 210

ГЛАВА 1У. ВАРИАЦИОННО-ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ • ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 223

§ I. Вспомогательные утверждения . 223

§ 2. Вариационно-итеративный метод для.нелинейных . уравнений . 235

§ 3. Вариационно-итеративный метод для линейных уравнений . 243

§ 4. Применение метода к интегральным уравнениям . 253

§ 5. Применение метода к краевым задачам.для диффе.ренциальных уравнений . 270

§ 6. Вариационно-градиентный метод . 277

Многие задачи естествознания и техники сводятся к решению различных классов дифференциальных, интегральных , интегро-диффе-реяциальных, дифференциально-функциональных уравнений и их систем. В настоящее время существуют разнообразные методы качественного исследования и построения решений таких уравнений. Однако их наличие не исключает возможности создания новых , более эффективных методов и усовершенствования существующих . Среди обширного количества приближенных методов ярко выделяются итерационные, асимптотические и прямые методы. К последним относятся широко используемые в вычислительной практике разностные методы , а также вариационные и проекционные методы.

Основным представителем итерационных методов является обычный метод последовательных приближений , который возник уже дав -но. Он встречается в исследованиях Ж. Лиувилля [286] по теории дифференциальных уравнений и применялся К. Нейманом [291] к задачам теории потенциала. С точки зрения функционального анализа метод последовательных приближений укладывается в общую схему и приводит к принципу сжатых отображений , который впервые сформу -лировали С. Банах [280]в 1922 году и Р. Каччиопполи [285]. Идея метода последовательных приближений применительно к уравнению

Тх , (П где Т - линейный ограниченный оператор, действующий в банахо -вом пространстве / , заключается в том , что приближения к искомому решению определяются по формуле

Х^Г+ТХ^ , (2)

Вопрос о сходимости метода (2) тесно связан со сходимостью ряда

I + T+. + 7*-*-. , необходимым и достаточным условием сходимости которого является соблюдение неравенства г(Г)= Um Vi7**1' < / . к

Метод последовательных приближений успешно применяется и к нелинейным уравнениям 7*# t где Т - оператор сжатия. В случае , когда последнее условие не соблюдается , часто применяется принцип К. Шаудера [299]о неподвижной точке. Благодаря работам многих ученых принцип сжатых отображений и принцип неподвижной точки явились мощным средством исследования задач математической физики . Из многочисленных работ , посвященных этому вопросу, отметим глубокие работы В.В. Немыцкого [203], А.Н. Тихонова [300], I. Лере [127], Ю. Шаудера [127], М.А. Красносельского [97,99,100], П.П. Забрейко [100], Л. Коллатца [93], Ф. Бра уде ра [281,284], Г. Минти[288,289], 1.-Л. Лионса [128]и В.В. Петришина [284, 296].

В математической физике , в частности в теории колебаний,широкое применение получил асимптотический метод Крылова-Боголюбо-ва-Митропольского. Этому методу посвящена обширная литература как советских , так и зарубежных ученых. Основы метода заложены в фундаментальных трудах Н.М. Крылова , H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [17,18,188,190,191,192], а дальнейшее развитие метод получил в исследованиях их учеников и последователей, в частности , в работах A.M. Самойленко [18,239,242], О.Б. Лыковой [190], Б.й. Моисеенкова [191], Е.А. Гребеникова и Ю.А. Рябова [49-51], Д.И. Мартынюка [181,182, 189,192] и других авторов. Для построе -ния периодических решений дифференциальных уравнений применяются известные эффективные численно-аналитический метод A.M.Самойленко [235-238,240,241] и метод малого параметра Ю.А. Рябова [220-225].

Разностные методы широко используются в вычислительной практике, отличаются простотой вычислительных схем и удобством их реализации на ЭШ. Им посвящены многочисленные работы , в том числе фундаментальные монографии A.A. Самарского [230], A.A. Самарского и A.B. Гулина [231] , A.A. Самарского и Ю.П. Попова [232], A.A.Самарского и В.Б. Андреева [233], A.A. Самарского и Е.С. Николаева [234], Г.И. Марчука [185], Н.С. Бахвалова [14], С.К. Годунова и B.C. Рябенького [47], H.H. Яненко[278], И.И. Ляшко , В.Л.Макарова и A.A. Скоробагатько[171]. Заслуживают внимания исследования по теории разностных схем A.A. Самарского [118,174,175], В.Л. Макарова [118-120,172-177] и других авторов , а также работы А.А.Абра-мова[2,3], С.К. Годунова [46], В.Е. Шаманского [276,277],!.-П.Обэ-на [206]по разработке численных методов решения краевых задач. вариационные и проекционные методы, частными случаями которых являются метод Ритца , метод наименьших квадратов , метод Бубно-ва-Галеркина и метод моментов , возникли и развивались в связи с потребностью нахождения экстремумов функционалов и решения краевых задач. Вариационный метод был предложен В. Ритцем [297,298] (1908). Идеи проекционных методов содержатся в работах И.Г. Буб-нова[19](1913) и Б.Г. Галеркина [45](1915). Существенный вклад в обоснование и развитие вариационных и проекционных методов реше -ния уравнений математической физики [36 , 116 , 246 , 265,266] внесли советские ученые , в том числе Н.М. Крылов [103-105], Н.Н.Боголюбов [15,16], М.Ф. Кравчук [95], М.В. Келдыш[90].

Суть проекционных методов состоит в том , что исходное уравнение . f у ¿ce X fe у з) заменяется более простым уравнением a * W решение которого принимается в качестве приближения к искомому решению. В уравнениях (3) и (4) К и У - банаховы пространства и - оператор проектирования У ъа Уа , а j( и У^У - подпространства одинаковой размерности.

Теория прямых методов , в том числе вариационных и проекционных , была создана благодаря усилиям многих ученых. В ее создание и развитие ощутимый вклад внесли Л.В. Канторович[82,83], С.Г. Мих-лин[194-198], Н.И. Польский[210-213], М.А.Красносельский [96,97,99], Г.М. Вайникко[22-34,99], В. Петришин[292-296]. Установлению критериев сходимости исследованию быстроты сходимости , получению оце -нок погрешности , изучению устойчивости вычислительных схем, построению новых алгоритмов , различным обобщениям и приложениям прямых методов посвящены многочисленные исследования. Заслуживают внимания в этом направлении , кроме вышеуказанных , работы М.М. Вайн-берга[20,21], Б.Г. Габдулхаева [39-41], М.К. Гавурина [43], Й.К. Даугаве та [52,53], A.B. Джишкариа ни [54-58], В.К. Дзядыка [59-63], М.В. Жук[67,68], В.В. Иванова [75-77], В.П. Ильина [79, 80], И.А.Лу-ковского [130,131] , Г.И. Марчука и В.И. Агошкова [186], Г.И. Мар-чука и В.И. Лебедева [187], В.А. Морозова [200-202], А.И.Перова [208], В.Л. Рвачова [129], И.В. Свирского[245]и других авторов.

Прямые методы имеют широкую область применения. Характерной чертой, например , проекционных методов является степенная ско -рость сходимости , иногда довольно медленная , и проявление вы -числительной неустойчивости. Итерационные методы , которым посвя -щены , например , работы [83 , 93 , 99 , 100, 125 , 126, 171,185, 204,205,207,230,234, 270], обладают достоинствами: простота вы -числительных схем, показательная скорость сходимости, устойчивость. Вместе с тем им присда и недостатки , к которым , в частности, можно отнести ограниченность области применения. Прямые и итерационные методы широко используются при доказательстве теорем суще

- б ствования и единственности решений. При построении решений согласно приближенным методам следует учитывать ряд погрешностей , возникающих в процессе реализации метода. Этому вопросу посвящены работы М.Д. Бабича и В.В. Иванова [12,13], В.К. Задираки[71] и других авторов.

Ограниченная область применения метода последовательных приближений и не всегда удовлетворительная скорость сходимости явились стимулом создания методов , ускоряющих сходимость итерационных процессов и расширяющих область их применения. Идея создания таких методов появилась уже давно. Она встречается в работах А.А.Абра-мова[1], М.К. Гавурина [42], В.В. Воробьева [38]и других.

В последние десятилетия появились методы , сочетающие в себе идеи прямых и итерационных методов . К ним относятся метод осреднения функциональных поправок , предложенный Ю.Д. Соколовым [248-25б]и «ЖР- метод , разработанный В.И. Лебедевым [121-124]. Дальнейшее развитие таких методов привело к созданию проекционно-ите -ративного метода.

Идея метода осреднения функциональных поправок применительно к линейному интегр|льному уравнению ГШ ч- ^ ¿) уМШ состоит в том , что приближенные его решения строятся на основе формул £

6 о. а в силу которых в к-{Г И ми*, = И йхсМ . а, а.

Первое обобщение метод получил в работах Э.А. Чернышенко [273-275], которая предложила более общую схему и применила метод к нелинейным уравнениям в нормированном пространстве , однако вопрос обоснования оставался открытым. Дальнейшему развитию метода посвящены работы автора [132-139], в которых дано обоснование метода осреднения функциональных поправок для линейных уравнений (I) и рассмотрены применения этого метода к линейным интеграль -ным уравнениям и краевым задачам для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Обоснованию метода для нелинейных уравнений посвящен цикл работ Н.С. Курпеля [106-115], Он построил ряд общих итерационных процессов , частным случаем которых является, например, алгоритм х^рт^атос^, <?=Х-р, (5) решения нелинейного уравнения х= Тх в банаховом пространстве X , где Р - оператор проектирования / на его подпространство V, . Однако установленные Н.С. Курпелем достаточные условия сходимости метода (5) , названного им проекционно-итератив-ным , таковы, что при их соблюдении оператор Т является ежи -мающим . Установлению общих критериев сходимости , существенно расширяющих область применения метода (5) , посвящены работы автора [143 , 150,160, 161]. Заслуживают внимания исследования В.И. Тивончука [258-263], в которых он предложил и обосновал но -вые варианты метода осреднения функциональных поправок для ин -тегральных уравнений типа Вольтерра и смешанного типа. Применению метода осреднения функциональных поправок к различным клае -сам уравнений математической физики и его обобщениям посвящены многие исследования советских и зарубежных авторов. Отметим , например , работы [70,72-74, 102,140,141,144,145,148,154,159, 162-170,218,219, 267,268,279,290] (более подробная библиография приведена в [157]). К данному направлению также тесно примыкают работы автора [142,146,147,149,151-153], в которых изучаются проек -ционные методы.

К методам , сочетающим в себе идеи прямых и итерационных, относится метод расщепления , предложенный Г.Н. Положим и П.Н. Чаленко и получивший дальнейшее развитие в работах А.Ф. Калайды, B.C. Середы, Г.П. Головача , В.Ю. Дидыка и других авторов[48, 64-66].

Диссертационная работа посвящена построению теории проекцион-но-итеративных методов решения линейных и нелинейных уравнений и обоснованию применения этих методов к интегральным и дифферен -циальным уравнениям и их системам , а также разработке вычисли -тельных алгоритмов и осуществлению их реализации на ЭВМ.

Основным объектом исследования являются интегральные уравне -ния и краевые задачи для дифференциальных уравнений. Однако автор считал целесообразным основы теории проекционно-итеративного мето -да изложить в абстрактном виде , при этом особо выделяется случай гильбертового пространство , в силу специфики которого получается ряд новых свойств метода. При применении метода к интегральным и дифференциальным уравнениям автор стремился переформулировать ос -новные положения теории для данного класса уравнений и дополнить новыми фактами , непосредственно не вытекающими из общей теории, а также проиллюстрировать эффективность метода на тестовых примерах;

1. Абрамов A.A. Об одном способе ускорения итерационных процессов. - Докл. АН СССР, 1950, 74, № 6, с. 1.5I-I052.

2. Абрамов A.A. Вариант метода прогонки.- Журн. вычисл. матем. и мат. физики , 1961, I, № 2, с. 349-351.

3. Абрамов A.A. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Журн. вычисл.матем. и мат. физики , 1961, I, № 3 , с. 542-545.

4. Азбелев Н.В. О границах применимости теоремы Чаплыгина о диф -ференциальных неравенствах. Матем. сборник , 1956 , 39, № 2, с. 161—178.

5. Азбелев Н.В. , Цалюк З.Б. О методе Чаплыгина. Укр.матем.жур-' нал , 1958, 10, № I, с. 3-12.

6. Азбелев Н.В. , Цалюк З.Б. Об интегральных неравенствах. Матем. сборник , 1962, 56, № 3, с. 325-342.

7. Азбелев Н.В. , Цалюк З.Б. К вопросу о дифференциальном неравенстве. -Дифференц. уравнения , 1965, I, №-4, с. 431-438.

8. Азбелев Н.В., Бардникова М.П. , Рахматулина Л.Ф. Интегральные уравнения с отклоняющимся аргументом. Докл. АН СССР,1970, 192 , !й 3 , с. 745-748.

9. Азбелев Н.В. , Рахматулина Л.Ф. Задача Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом . Дифференц. уравнения, 1972,8,9, с. 1542-1552.

10. Азбелев Н.В. , Березанский Л.М., Рахматулина Л.Ф. О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа. Дифференц. уравнения , 1977, 13 , № II, с. I9I5-I925.

11. Азбелев Н.В. , Рахматулина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения. Дифференц. уравнения , 1978, 14, № 5, с. 771-797.

12. Бабич М.Д., Иванов B.B. Оценка полной погрешности .при решении нелинейных операторных уравнений методом простой итерации.- Журн. вычисл. матем. и мат. физики , 1967, 7, № 5,с.988-1000.

13. Бабич М.Д. , Иванов В.В. Исследование полной погрешности в задачах минимизации функционалов при наличии ограничений.- Укр.мат.журн., 1969,21I, с. 3-14.

14. Бахвалов Н.С. Численные методы. И.: Наука, 1973. - 632 с.

15. Боголюбов М.М. Hobi методи в вар!ац1йному числешп. Хрк. -К.: Техн!ко-теорет. вид-во, 1932. - ПО с.

16. Боголюбов H.H. Избранные труды: В 3-х т.- Киев: Наук.думка, 1969. Т.1.648 с.

17. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний . М.: Физматгиз , 1958. - 408с.

18. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. , Саыойленко А.М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наук, думка, 1969. - 248 с.

19. Бубнов И.Г. Отзыв о сочинениях проф. Тимошенко ,удостовен -ных премии им. Д.И. Журавского . Сб. Ин-та путей сообще -ний , I913, вып. 81, с. 1-5.

20. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследований нелинейных операторов. М.: Гостехиздат , 1956. - 344 с.

21. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. - 416 с.

22. Вайникко Г.М. Асимптотические оценки погрешности проекционных методов в проблеме собственных значений. Журн. вычисл. матем. и мат. физики ,1964, 4, I» 3 , с. 405-425.

23. Вайникко Г.М. Оценка погрешности метода Бубнова-Галеркинав проблеме собственных значений. Журн. вычисл.матем. и мат.физики, 1965, 5, № 4, с. 587-607.

24. Вайникко Г.М. Необходимые и достаточные условия устойчивости метода Галеркина-Петрова. Уч. зап. Тартуск. ун-та , 1965,177, с. 141-147.

25. Вайникко Г.М. 0 сходимости и устойчивости метода коллокации. Дифференц. уравнения, 1965, I, № 2, с. 244-254.

26. Вайникко Г.М. 0 сходимости метода коллокации для нелинейных дифференциальных уравнений. Журн. вычисл. матем. и мат. фи -зики, 1966, 6, № I, с. 35-42.

27. Вайникко Г.М. Возмущенный метод Галеркина и общая теория приближенных методов для нелинейных уравнений. Журн. вычисл. матем. и мат. физики , 1967,7, Н , с. 723-751.

28. Вайникко Г.М. 0 быстроте сходимости метода моментов для обык -новенных дифференциальных уравнений. Сиб. мат.журн.,1968,9, Ш I , с. 21-28.

29. Вайникко Г.М. 0 сходных операторах. Докл. АН СССР,1968,179, № 5, с. 1029-1031. '

30. Вайникко Г.М. О связи между методами механических квадратур и конечных разностей. Журн. вычисл. матем. и мат. физики,1969, 9, № 2, с. 259-270.

31. Вайникко Г.М. О сходимости метода коллокации для многомерных интегральных уравнений . Уч. зап. Тартуск. ун-та , 1970,253, с. 244-257.

32. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. Тарту: Изд.-во Тартуск. ун-та,1970.- 192 с.

33. Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений. В кн.: Итоги науки и техники. Сер.Математический анализ , 1979, 18, с. 5-53.

34. Вайникко Г.M. Анализ дискретизационных методов. Тарту:Изд-во Тартуск. ун-та , 1976. - 161 с.

35. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1980, 520 с.

36. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Физмат-гиз, 1967. - 436 с.

37. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.- М.: Наука, 1976. 280 с.

38. Воробьев Ю.В. Метод моментов в прикладной математике. М.: Физматгиз, 1958. -188 с.

39. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решений некоторых операторных уравнений, 1-1У. Изв. вузов. Математика , 1971,№ II, с.33-44; 1972 , К? 12 , с. 28-38 ;1972, Ш 4, с. 32-43; 1974,№ 3,с.18-31.

40. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань : йзд-во Казане, ун-та, 1980. - 232 с.

41. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ , M., 1980 , 18, с. 251-308.

42. Гавурин М.К. Применение полиномов наилучшего приближения к улучшению сходимости итеративных процессов. Успехи матем.наук, 1950, 5, вып. 3 , с. 156-160.

43. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука,1971.- 248 с.

44. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. - 336 с.

45. Галеркин Б.Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок. Вест, инженеров,1915, Ш 19, с. 897-908.

46. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Успехи матем. наук , 1961, 16, вып. 3 , с. I7I-I74.

47. Годунов С.К. , Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 440 с.

48. Головач Г.Н. , Калайда О.Ф. Наближен! методи розв"язування опе-раторних piBHHHb. К.: Вища школа , 1974. - 248 с.

49. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, I97I. - 432 с.

50. Гребеников Е.А. »Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М.: Наука, 1978. - 126 с.

51. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. M.s Наука, 1979. - 432 с.

52. Даугавет И.К. О быстроте сходимости метода Галеркина для обык -новенных дифференциальных уравнений. Изв. вузов. Математика, 1958, Ш 5(6) , с. 158-165.

53. Даугавет И.К. О методе моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сиб. мат.журн., 1965,6, te I,с.70-85.

54. Джишкариани A.B. О быстроте сходимости приближенного метода Ритца. Журн. вычисл.матем. и мат. физики , 1963 , 3 , N2 4, с. 654-663.

55. Джишкариани A.B. О быстроте сходимости метода Бубнова-Галерки-на. Журн. вычисл. матем. и мат. физики , 1964,4, Ц° 2,с.343-348.

56. Джишкариани A.B. О методе Бубнова-Галеркина. Журн. вычисл. матем. и мат. физика, 1967, 7, № 6, с. 1398-1402.

57. Джишкариани A.B. О методе наименьших квадратов и Бубнова-Галер-кина . Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1968, 8,№ 5,с. III0-III6.

58. Джишкариани A.B. 0 сходимости метода Бубнова-Галеркина для одного типа нелинейного операторного уравнения. Журн.вычисл. матем. и мат. физики , 1973, 13 , № 2, с. 459-464.

59. Дзядик В.К. Про застосування лШйних метод!в до наближення пол1номами функгий, HKi е розв"язками ¡нтегральних р^внянь Фредгольма другого роду. Укр.мат. журн., 1970,22,№ 4,с.448-467. 5, с. 567-578.

60. Дзядык В.К. О применении линейных методов к приближению полиномами решений обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений Гаммерштейна. Изв. АН СССР. Сер,матем., 1970, 34, с. 827-848.

61. Дзядык В.К. Аппроксимационный метод приближения алгебраичес -кими многочленами решений линейных дифференциальных уравнений. -Изв. АН СССР, Сер.матем.,1974, 38, № 4, с. 937-967.

62. Дзядык В.К. Аппроксимационный метод решения дифференциальных уравнений. В кн.: Теория прибл. функций. - М.: Наука, 1977, с. 149-157.

63. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука , 1977 . - 512 с.

64. Д1дик В.Ю. Про розв"язування однрго класу нелШйних 1нтеграль-них р1внянь. Доп. АН УРСР, сер. А, 1968, № 6, с. 508-511.

65. Дидык В.Ю. О приближенном решении одного класса интегральных уравнений. Укр.матем.журн., 1969, 21, -й 4, с. 530-534.

66. Емельянов К.В., Ильин A.M. О числе арифметических действий , необходимом для приближенного решения интегрального уравненияФредгольма П рода. Журн. вычисл. матем. и мат.физики ,1967, 7, № 4, с. 905-910.

67. Жук М.В. Досл1дження швидкост1 зб1Жност1 методу Канторовича.--В кн. Проектfiho-iTepaTHBHi методи розв"язування диференц1альних та 1нтегральних р1внянь.К.:1н-т математики АН УРСР, 1974, с.37-44.

68. Жук М.В. Исследование быстроты сходимости метода Канторовича для нелинейных дифференциальных уравнений. Укр.мат.журн., 1976,28, № 2, с. 183-193.

69. Забрейко П.П., Кошелев А.И. и др. Интегральные уравнения.-М.: Физматгиз , 1968. 448 с.

70. Забрейко П.П., Зленко П.П. Об обобщении метода Ньготона-Канто-ровича на уравнения с недифференцируемыми операторами. Укр. матем .журн., 1982, 34 , № 3 , с . 365-369.

71. Задирака В.К. Теория вычисления преобразования Фурье. Киев: Наукова думка, 1983. 215 с.

72. Иваницкий В .Г. Приближенное решение одного класса особых интегральных уравнений со сдвигом методом осреднения функциональных поправок. Укр.матем.журн., 1968, 20, № 5,с. 700-705.

73. Иваницкий В.Г. О приближенном решении нелинейного характеристического сингулярного интегрального уравнения с ядром Гиль ^ берта. Журн. вычисл. матем. и мат. физики , 1969, 9, № 5, с. 1177-1179.

74. Иваницкий В.Г., Лучка А.Ю. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений с замкнутым контуром, В кн.: Труды семинара по дифференциальным и интегральным уравнениям.К.: Ин-т математики АН УССР, 1969, с. 211-218.

75. Иванов В.В. О применении метода моментов и смешанного метода к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений. Докл. АН СССР, 1957,114, № 5, с. 945-948.

76. Иванов В.В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. В кн.: Математический анализ , 1963, сер. Итоги науки. М.: 1965, с. 125-177.

77. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев:Наук, думка, 1968. 288 с.

78. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некор -ректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

79. Ильин В.П. Оценка погрешности в методе Ритца для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тр. Матем.ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР,1959,53,с.43-63.

80. Ильин В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных процессов. Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1959,53, с. 64-127.

81. Канторович Л.В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Докл. АН СССР, 1934, 2, № 8-9 , с. 532-536.

82. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика. Успехи матем.наук, 1948, 3, № 6(28) , с. 89-185.

83. Канторович Л.В. , Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М.: Физматгиз , 1959.- 684 с.

84. Канторович Л.В. , Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа . М.-Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

85. Карпиловская Э.Б. О сходимости интерполяционного метода для обыкновенных дифференциальных уравнений. Успехи матем.наук, 1953,8, Ш 3 , с. III—I18.

86. Карпиловская Э.Б. О сх9димости метода коллокации. Докл. АН СССР,1963, 151, №4, с. 766-769.

87. Каспшицька М.Ф. Про один варiант методу колокацП. Доп. АН УРСР. Сер.А,1967, ■№» I, с. II8-I2I.

88. Каспшицкая М.Ф., Лучка А.Ю. О методе коллокации. Журн.вычисл. матем. и мат. физики , 1968, 8, № 5, с. 950-964.

89. Каспшицкая М.Ф., Тукалевская Н.И. К вопросу о сходимости метода коллокации. Укр.матем.журн., 1967,19,№ 4, с. 43-56.

90. Келдыш М.В. О методе Б.Г.Галеркина для решения задач. -Изв. АН СССР,Сер.матем., 1942, 6, № 6, с. 309-330.

91. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тби-лиск.ун-та , 1975, - 352 с.

92. Киш 0. О сходимости метода совпадения. -Acta math. akad. scient. Hung., 1966, 17, НЗ-4» с.433-442.

93. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.- М.: Мир, 1969. 448 с.

94. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. - 320 с.

95. Кравчук М.Г. Застосування способу моментiв до розв"язання лШйних диференцдальних та штегральних р1внянь . К.: ВУАН, 1932, в. I, 222 е.; 1936, в. 2, 216 с.

96. Красносельский М.А. Сходимость метода Галеркина для нелинейных уравнений. Докл. АН СССР, 1950 , 73 , № 6, с. I121— 1124.

97. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелиней -ных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат , 1956. -392с.

98. Красносельский М.А. , Забрейко П.П. и др. Интегральные one -раторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука,1966.- 500 с.

99. Красносельский М.А.,.Вайникко Г.М. и др. Приближенное реше -ние операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 456 с.

100. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

101. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховомпространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

102. Кривошеин JI.E. Приближенные методы решения обыкновенных линейных интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе :Изд-во АН Кирг.ССР, 1962. - 184 с.ЮЗ. Крылов Н.М. Избранные труды: В 3-х т. Киев: Изд-во АН УССР, 1961. - T.I.266 с.

103. Крылов Н.М. Избранные труды : В 3-х т. Киев: Изд-во АН УССР, 1961. - Т.2. 308 с.

104. Крылов Н.М. Избранные труды : В 3-х т. Киев: Изд-во АН УССР, 1961. - Т.З. 352 с.

105. Курпель Н.С. О приближенном решении нелинейных операторных уравнений методом Ю.Д. Соколова. Укр.матем.журн.,1963, 15, Ш 3 , с. 309-314.

106. Курпель М.С. 0ц1нки похибки проекц1йного методу та методу Ю.Д. Соколова для нелШйних piBHHHb в координатному простор!. Доп. АН УРСР,1963, № 9 , с. II35-II39.

107. Курпель М.С. Про один наближений метод розв"язування лшй-них операторних piBHHHb в г1льбертовому npocTopi. Доп.АН УРСР, 1963, Н2 10 , с. 1275-1279.

108. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения опера -торных уравнений. Киев : Наук, думка, 1968. - 244 с.

109. Курпель Н.С. Об одном нестационарном проекционно-итератив -ном методе. В кн.: Приближенные и качественные методы теории дифференциальных и интегральных уравнений, йн-т матем.АН УССР,I971, с. 73-84.

110. Курпель H.С., Мигович Ф.М. О некоторых обобщениях метода Ньютона-Канторовича. Укр.матем.журн.,1969,21, № 5,с. 594609.

111. Курпель Н.С. , Курченко Т.С. Двусторонние методы решения систем уравнений. Киев: Наук, думка, 1975. - 184 с.

112. Курпель Н.С. , Шувар Б.А. Двусторонние операторные неравенства и их применения. Киев: Наук, думка, 1980. - 268 с.

113. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. В 2-х Т.-М.: Гостехиздат ,1951. T.I 476 е.; Т.2. 544 с.

114. Лаврентьев М.М. , Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1982. -288 с.

115. Лазаров Р.Д. , Макаров В.Л., Самарский A.A. Применение точных разностных схем для построения и исследования раз -ностных схем на обобщенных решениях. Матем.сборник ,1982, 117(159), !Р. 4, с. 469-480.

116. Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Сходимость метода сеток и мето -да прямых для многомерных задач математической физики в классах обобщенных решений. Докл. АН СССР, 1982, 259, ffâ 2,с. 282-286.

117. Лазаров Р.Д. , Макаров В.Л. Разностные схемы второго порядка точности для осесимметричного уравнения Пуассона на обобщенных решениях из . Докл. АН СССР, 1982,262I,с. 22-26.

118. Лебедев В.И. О KP-методе ускорения сходимости итераций при решении кинетического уравнения. В кн.: Численные методы решения задач математической физики. - M., 1966,с. 154-176.

119. Лебедев В.И. Об итерационном KP-методе. Журн.вычисл.матем. и мат. физики , 1967, 7, № 6 , с. I250-1269.

120. Лебедев В.И. О сходимости КР-метода для некоторых задач переноса. Журн. вычисл. матем. и мат. физики , 1969,9, й I, с. 226-235.

121. Лебедев В.И. О построении операции Р в ЛР-методе.-Журн, вычисл. матем.и мат.физики , 1969,9, , с. 762-774.

122. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе. Журн. вычисл. матем. и мат. физики , 1971,11, № 2,с.425-438.

123. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевских итерационных методах. Журн.вычисл. матем. и мат.физики , 1973, 13,N° 1,с. 18-33.

124. Лерэ Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения.-Успехи матем.наук,1946,1,вып.3-4,с. 71-95.

125. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.-588 с.

126. Литвин О.М., Рвачов В.Л. Класична формула Тейлора , II уза-гальнення та застосування. К.: Наук, думка, 1973. - 124с.

127. Луковский И.А. Нелинейные колебания жидкости в сосудах сложной геометрической формы. Киев: Наук, думка, 1975.-136с.

128. Луковский И.А. Вариационные методы в нелинейных задачах теории движения твердого тела с полостью , частично заполненной жидкостью . Киев, 1978. - 34 с. (Препринт) АН УССР; йн-т математики : 78.22).

129. Лучка А.Ю. Достаточное условие сходимости метода осреднения функциональных поправок. Докл. АН СССР, 1958,122,№ 2,с.179-182.

130. Лучка А.Ю. Приближенное решение интегральных уравнений Фред-гольма методом осреднения функциональных поправок.-Укр.матем.журн., 1960,12, N2 I, с. 32-45.

131. Лучка А.Ю. Приближенное решение линейных операторных урав -нений в пространстве Банаха методом Ю.Д. Соколова. -Укр. матем.журн.,1961, 13 , № I, с. 39-52.

132. Лучка А.Ю. Наближене розв"язання безконечних систем алгебра!-чних р1внянь методом Ю.Д. Соколова. Доп. АН УРСР,1961,№ 2, с. 146-149.

133. Лучка А.Ю. Про наближене розв"язання лШйних операторних ргвнянь в просторI Банаха методом Ю.Д. Соколова. Доп.АН УРСР,1961, № 4, с. 424-428.

134. Лучка А.Ю. Наближене розв"язання безконечних систем лШйних ¡нтегральних р1внянь методом Ю.Д.Соколова. Доп. АН УРСР,1962, № 9, с. 1149-1153.

135. Лучка А.Ю. Наближене розв"язання безконечних систем лШйних диференц!альних р1внянь методом Ю.Д. Соколова. Доп. АН УРСР,1963, № 5, с. 563-567.

136. Лучка А.Ю. Теория и применение метода осреднения функциональных поправок. Киев:йзд-во АН УССР,1963. - 128 с.

137. Лучка А.Ю. Про застосування методу Ю.Д. Соколова до розв"я-зання задач! Д1р1хле для р!вняння Пуассона. Доп. АН УРСР, 1965, № 4, с. 426-429.

138. Лучка А.Ю. Про застосування методу Ю.Д. Соколова до розв"язан-ня зовнтньо! задач1 Неймана для р1внянь Пуассона. Доп.АН УРСР, 1965 , Ш 5 , с. 547-550.

139. Лучка А.Ю. Про оц1нки похибки I швидк1сть зб1жност1 проеший-них метод1В. Доп. АН УРСР. Сер.А, 1969, Н? 2, с. 121-124.

140. Лучка А.Ю. Об одном достаточном условии сходимости и оценка погрешности метода осреднения функциональных поправок. В кн.: Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов, Киев: йн-т математики АН УССР, 1969, с. 127-141.

141. Лучка А.Ю. Про зб1жн1сть методу осереднення фуншцональних поправок.-Доп. АН УРСР. Сер.А, 1969, № 10, с. 878-881.

142. Лучка А.Ю. Ускорение сходимости градиентных методов. В кн.: математическое обеспечение ЭЦШ и эффективность организации вычислительных процессов. Киев :йн-т кибернетики АН УССР, 1969, с. 58-65.

143. Лучка А.Ю. 0 быстроте сходимости некоторых проекционных методов для линейных операторных уравнений. Укр.матем.журн., 1971, 23 , № 3 , с. 307-317.

144. Лучка А.Ю. Про достатн1 умови зб1жност1 методу Гальорк1на -Петрова. Доп. АН УРСР,Сер. А, 1971, № 7 , с. 594-598.

145. Лучка А.Ю. 0 сходимости и устойчивости проекционных и проек-ционно-итеративных методов . В кн.: Матем. обеспечение ЭЦВМ. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1972, с. 228-236.

146. Лучка А.Ю. Розв"язування крайово! задач! для лШйних зви -чайних диференщальних р1внянь другого порядку модифхкованим ск1нченно-р1зницевим методом. Доп. АН УРСР. Сер.А,1973,1 9, с. 805-810.

147. Лучка А.Ю. Застосування проекц1йно-1теративних методов до нелШйних р1внянь з необмеженими операторами. У кн.: Проек-ц1йно-1теративн1 методи розвпязування диференц1альних та ¡нтегральних р1внянь. Ки1в: 1н-т математики АН УРСР,1974,с. 100-1II.

148. Лучка А.Ю. Про CTiiteiCTb проекцШних метод1в для нелШйних Р1внянъ з необмеженими операторами. Доп. АН УРСР,Сер.А, 1974, № 6, с. 508-511.

149. Лучка А.Ю. Про CTiftKioTb проекц1йних метод1в для лШйних piвнянь з необмеженими операторами. Доп. АН УРСР,Сер.А, №8 , с. 705-709.

150. Лучка А.Ю. Аппроксимация элементов в гильбертовом пространстве и приближенное решение дифференциальных и интегральных уравнений. В кн.: Оптимизация вычислений. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1975 , с. 53-57.

151. Лучка А.Ю. Аппроксимационно-итеративный метод. В кн.: Приближенные и качественные методы теории дифференциальных и дифференциально-функциональных уравнений. - Киев: йн-т математики АН УССР, 1979, с. 32-41.

152. Лучка А.Ю. Применение проекционно-итеративных методов к уравнениям первого рода . Докл. АН УССР. Сер. А,1978. 1 7, с. 591-594.

153. Лучка А.Ю. О применении проекционно-итеративных методов к системам линейных алгебраических уравнений. Докл. АН УССР. Сер.А, 1978, № 9, с. 785-789.

154. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наук.думка,1980. 264 с.

155. Лучка А.Ю. Быстрота сходимости проекционно-итеративного метода для интегральных уравнений. Укр.матем. журн.,1981, 33, № 2, с. 190-198.

156. Лучка А.Ю. О краевой задаче для линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В кн.: Дифференциально-функциональные и разностные уравнения. - Киев: йн-т математики АН УССР, 1981, с. 35-36.

157. Лучка А.Ю. Критерии сходимости проекционно-итеративного метода для нелинейных уравнений. Препринт 82.24, ИМ АН УССР, 1982. - 54 с.

158. Лучка А.Ю. Вариационно-итеративный метод. Препринт 83.55, ИМ АН УССР, 1983. - 52 с.

159. Лучка А.Ю., Курпель Н.С. Об одном нестационарном итерационном методе приближенного решения линейных операторных уравнений. Укр.матем.журн., 1964, 16, № 3, с. 389-395.

160. Лучка А.Ю. , Рощин В.А. О приближенном решении линейного интегрального уравнения типа свертки. В кн.: Приближенные и качественные методы теории дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Йн-т математики АН УССР, 1971,е.133-141.

161. Лучка А.Ю. , Ярмуш Я.И. О решении систем линейных конечно-разностных уравнений проекционно-итеративным методом. Известия вузов. Математика , 1976, № 5 , с. 54-64.

162. Лучка А.Ю. , Ярмуш Я.И. Решение системы конечно-разностных уравнений с малой нелинейностью проекционно-итеративным методом . Препринт 79.6, ИМ АН УССР, 1979, с. 20-30.

163. Лучка А.Ю. , Ярмуш ЯЛ. Розв"язування крайово! задач1 для Л1н1йних звичайних диференщальних р1внянь четвертого порядку модиф1кованим р1зницевим методом. Доп. АН УРСР,Сер.А,1981,11, с. 24-27.

164. Лучка А.Ю., Тукалевская Н.й. Проекционно-итеративный метод решения интегральных уравнений , основанный на интерполя -ционных сплайнах. Укр.матем.журн.,1979, 31,® 6,с.683-691.

165. Лучка А.Ю. »Габрель О.М. Приближенные решения задачи Валле-Пуссена для обыкновенных дифференциальных уравнений проек-ционно-итеративным методом. Докл. АН УССР.Сер.А, 1982,8, с. 18-22.

166. Ляшко И,И. , Макаров В.Л. , Скоробогатько A.A., Методы вычислений. Киев: Наук, думка, 1977. - 408 с.

167. Макаров В.А. Разностные схемы с точными и явными спектрами. I. -Препринт 74-12 , ИМ АН УССР,1974. 12 с.

168. Макаров В.А. Разностные схемы с точными и явными спектрами. П. Препринт 14-13 , ИМ АН УССР, 1974. - 10 с.

169. Макаров В.Л. , Самарский A.A. Применение точных разностных схем к оценке скорости сходимости метода прямых. -Препринт № ИЗ , ИПМ АН СССР им. Келдыша В.М. , 1979. 30 с.

170. Макаров В.Л. , Самарский A.A. Применение точных разностных схем к оценке скорости сходимости метода прямых. Журн.вычисл. матем. и мат. физики , 1980,20, 2, с. 371-387.

171. Макаров В.Л. , Гаврилюк И.П., Пирназаров С.П. Согласован -ные оценки скорости сходимости разностных решений к обоб -ценным решениям первой краевой задачи для уравнений четвертого порядка. Известия вузов. Математика , 1983 ,№ 2(492), с.15-22.

172. Макаров В.Л. , Слушаенко Н.В. Согласованные оценки скорости сходимости метода сеток для квазилинейных уравнений эллиптического типа с большой константой Липшица Дифференц. уравнения , 1983, 19, Ч? 7 , с. 1246-1250.

173. Мартынюк А.Е. Некоторые приближенные методы решения не -линейных уравнений с неограниченными операторами. Известия вузов. Математика, 1966, № 6, с. 85-94.

174. Мартынюк А.Е. Об одном комбинированном приближенном методе. Укр.матем.журн., 1971, № 23, № б, с. 781-788.

175. Мартынюк А.Е. О методе Галеркина -Крылова и скорости его сходимости. Укр.матем.журн., 1978, 30 , № б, с. 757-767.

176. Мартынюк Д.И. Лекции по теории устойчивости решений систем с последействием. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1971.- 177 с.

177. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наук, думка, 1972. - 246 с.

178. Мартынюк Д.И. Исследование окрестности гладкого инвариантного тороидального многообразия системы разностных уравнений. Дифференц. уравнения, 1975, II,te 8, с. 1474-1484.

179. Мартынюк Д.И. , Самойленко A.M. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием. -Математическая физика, Киев: Наук, думка, 1967, с.128-145.

180. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.:Наука, 1980. - 536 с.

181. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

182. Марчук Г.И. , Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат , 1971. - 496 с.

183. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.- Наук, думка, 1971. 440 с.

184. Митропольский Ю.А. , Мартынюк Д.И. Лекции по теории коле -баний систем с запаздыванием. Киев: ИМ АН УССР,1969.-309с.

185. Митропольский Ю.А. , Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. - 506 с.

186. Митропольский Ю.А. , Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. -Киев: Вища школа, 1976. 590 с.

187. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. -Киев: Вища школа, 1979. 248 с.

188. Митропольский Ю.А. , Мартынюк Д.И., Данканич В.А. Метод Галеркина в теории квазипериодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Укр.матем. журн. , 1980 , 82, № 4, с. 553-557.

189. Михлин С.Г. 0 сходимости метода наименьших квадратов.-Докл. АН СССР, 1948, 59, № 7, с. 1245-1247.

190. Михлин С.Г. О сходимости метода Галеркина . Докл. АН СССР, 1948 , 61, № 2, с. 197-199.

191. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала.41.: Л.: Гостехидат , 1952. 216 с.

192. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. Наука, 1966. 432 с.

193. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука, 1970. 512 с.

194. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, I971. - 424 с.

195. Морозов В.А. О приближенном решении операторных уравнений методом сплайнов . Докл. АН СССР, I97I,200,№ I,с.35-38.

196. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи.- Итоги науки и техники. Математический анализ,II.41.: ВИНИТИ,1973, с. 129-178.

197. Морозов В.А. О принципе оптимальности невязки при приближенном решении уравнений с нелинейными операторами. Журн. вычисл. матем. и мат. физики , 1974,14, № 4, с. 819-827.

198. Немыцкий В.В. Метод неподвижных точек в анализе.- Успехи матем.наук, 1936, I, с. I4I-I74.

199. Николаев Е.С. , Самарский A.A. О вычислительной устойчи -вости двухслойных и трехслойных итерационных схем. -Журн. вычисл. матем. и мат.физики, 1972,12,№ 5, с. 1197-1207.

200. Николаев Е.С. Нелинейное ускорение двухслойных итерационных методов вариационного типа. Журн. вычислит, матем. и мат. физики , 1976, 16, Ш 6, с. I381-1387.

201. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 384 с.

202. Ортега Дж. , Рейнбольд В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 560 с.

203. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний. Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1981. - 196 с.2091 Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. - 304 с.

204. Польский Н.И. Некоторые обобщения метода Б.Г. Галеркина.- Докл. АН СССР, 1952, 86, № 3, с. 469-472.

205. Польский Н.И. О сходимости некоторых приближенных методов анализа. Укр.матем.журн.,1955, 7, № 1,с. 56-70.

206. Польский Н.И. Об одной общей схеме применения приближенных методов. Докл. АН СССР, 1956, III, 1 6, с. II8I-II84.

207. Польский Н.И. Проекционные методы в прикладной математике.- Докл. АН СССР, 1962, 143 , to 4, с. 787-180.

208. Рахматулина Л.Ф. К теории линейных уравнений с функциональным аргументом. Дифференц. уравнения, 1972, 8, № 3,с.523-528.

209. Рахматулина Л.Ф. О канонических формах линейных функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения,1975, II, № 12, с. 2143-2153.

210. Рахматулина Л.Ф. Оператор Грина и реализация линейных крае -вых задач. Дифференц. уравнения , 1979 , 15, № 3 , с.426-435.

211. Ронто Н.й. Применение метода коллокации для решения краевых задач. Укр. матем. журн. , 1971, 23 , № 3,с. 415-421.

212. Рощин В.О. Про один метод наближеного розв"язання 1нтеграль-ного р1вняння типу згортки. Доп. АН УРСР. Сер.А,1969, № 10, с. 905-909.

213. Рощин В.О. Наближене розв"язуванняИнтегрального р!вняння типу згортки методом Ю.Д. Соколова. Доп. АН УРСР. Сер.А, 1^70 , № 2, с. 1079-1083.

214. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра к исследованию систем автоматического регулирования с запаздыванием. -Автоматика и телемеханика, 1960, 21, № 6, с. 729-739.

215. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре в теории систем с запаздыванием. Инженерный журн.АН СССР, 1961, I, № 2, с. 3-15.

216. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра для построения решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Докл. АН СССР, 1960, 133,№ 2, с. 288-291.

217. Рябов Ю.А. Об одном способе оценки области применимости метода малого параметра в теории нелинейных колебаний. Инженерный журн. АН СССР, 1961,1,вып.I,с.16-28.

218. Рябов Ю.А. Об оценке области применимости метода малого параметра в теории нелинейных колебаний. Инженерный журн.,АН СССР,1961,1, вып. 3 , с. 3-21.

219. Рябов Ю.А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием. -Труды семинара по теории дифф. уравн. с откл. аргументом (Ун-т Дружбы народов), 1962, вып. I, с. 103—113.

220. Рябов Ю.А. Анализ нелинейных колебаний систем с малым запаздыванием. В кн.: Второй всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. -М.: Наука, 1964 , с. 181—189.

221. Рябов Ю.А. Анализ нелинейных колебаний систем с малым запаздыванием. III Konferenz über nichtlineare Schwingungen, I.Akademie- Verlag, Berlin, 1965, c.94-99.

222. Рябов Ю.А. 0 периодических-решениях и о методе малого параметра для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. -Honlinear Vibration Problems, v.15.- Warszawa, 1974, с.67-73.

223. Рябов Ю.А., Толмачев И.Л. Построение условно-периодических решений в задачах теории нелинейных колебаний с помощью ЭВМ.- В кн.: Труды У Между, конф. по нелинейным колебаниям,т.I.- Киев: Наук, думка, 1970 , с. 489-493.

224. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука,1977.- 656 с.

225. Самарский A.A. , Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973. 416 с.

226. Самарский A.A. , Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики.- М.: Наука, 1975. 352 с.

227. Самарский A.A. , Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

228. Самарский A.A. , Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

229. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. I. Укр.матем.журн., 1965, 17, 4, с. 82-93.

230. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. П. Укр.матем.журн., 1966, 18, № 2,с. 50-59.

231. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования счетных систем периодических дифференциальных уравнений. Математическая физика , 1966, с. 115-132.

232. Самойленко A.M. 0 периодических решениях нелинейных уравнений второго порядка. Дифференц. уравнения , 1967, 3,№ II, с . 1903-1912.

233. Самойленко A.M. , Мосеенков Б.И. Итерационные методы реше -ния нелинейных уравнений с частными производными, близкихк линейным .-Препринт 80.10, Ин-т мат. АН УССР, I980.-44 с.

234. Самойленко A.M. , Ронто В.А. О численно-аналитическом мето -де решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений . Укр.матем.журн., 1981, 33 , № 4,с. 467-475.

235. Самойленко A.M. , Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа, 1976. - 184 с.

236. Самойленко A.M. , Мартынюк Д.И. , Перестгок H.A. Инвариант -ные торы разностных уравнений . Дифференц. уравнения,1973, 9, № 10 , с. 1904-1910.

237. Самойленко A.M. , Парасюк 1.0. Про метод Гальорк1на в теорИ збурень 1нвар1антних торгв. Доп. АН УРСР.Сер.А,1977,№ 2, с. 112-115.

238. Самойленко A.M. , Нуржанов О.Д. Метод Бубнова-Галеркина построения периодических решений интегро-дифференциаль-ных уравнений типа Вольтерра. Дифференц. уравнения,1979, 15, № 8, с. I503-I5I7.

239. Свирский И.В. Методы Бубнова-Галеркина и последовательных приближений. М.: Наука, 1968. - 199 с.

240. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. М.: Гос-техиздат , 1947. - 440 с.

241. Соболев C.JI. Некоторые приложения функционального анализак математической физике. Ленинград: йзд-во Ленингр. ун-та, 1950. - 255 с.

242. Соколов Ю.Д. О методе осреднения функциональных поправок.- Укр.матем.журн., 1957, 9, 1 I, с. 82-100.

243. Соколов Ю.Д. О применении метода осреднения функциональных поправок к нелинейным интегральным уравнениям. -Укр. матем.журн., 1957, 9, № 4, с. 394-411.

244. Соколов Ю.Д. О приближенном решении линейных интегральных уравнений типа Вольтерра. Укр.матем.журн.,1958,10,№ 2, с. 193-208.

245. Соколов Ю.Д. Об одном методе приближенного решения нели -нейных интегральных уравнений с переменными пределами.- Укр.матем.журн., 1958, 10, № 4, с. 419-433.

246. Соколов Ю.Д. О применении метода осреднения функциональных поправок к линейным относительно производных диффе -ренциальным уравнениям параболического типа. Укр.матем, журн., I960, 12, № 2, с. I81—I95.

247. Соколов Ю.Д. Об одном методе приближенного решения систем линейных интегральных уравнений. Укр.матем.журн.,I961, 13, Н , с. 79-87.

248. Соколов Ю.Д. Об одном методе приближенного решения систем нелинейных интегральных уравнений с постоянными пределами. Укр.матем.журн., 1963 , 15 , № I, с. 58-70.

249. Соколов Ю.Д. О достаточных признаках сходимости метода осреднения функциональных поправок. Укр.матем.журн.,1965, 17, № 3 , с. 91-103.

250. Соколов Ю.Д. Метод осреднения функциональных поправок. -Киев: Наук, думка, 1968. 336 с.

251. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248 с.

252. Тивончук B.I. Про розв"язування лШйних 1нтегральних р!в -нянь 3MimaHoro типу за допомогою одного вар!анта методу Ю.Д. Соколова. Доп. АН УРСР, 1964, Щ 12, с. 1559-1563.

253. Тивончук В.И. О решении линейных интегральных уравнений типа Вольтерра при помощи одного варианта метода Ю.Д.Соколова. Укр.матем.журн.,1965, 17, №1,с.77-88.

254. Тивончук В.И. О решении линейных интегральных уравнений Вольтерра и уравнений смешанного типа в пространстве Lp при помощи одного варианта метода Ю.Д. Соколова. Укр. матем.журн., 1965, 17, №4, с. 133-139.

255. Тивончук В.И. Об одном варианте методе осреднения функциональных поправок для решения линейных интегральных уравнений смешанного типа. Дифференц. уравнения,1966, 2,1 9, с. I228-1238.

256. Тивончук В.И. О решении нелинейных интегральных уравнений с переменными пределами методом осреднения функциональных поправок. Укр.матем.журн., 1969, 21, № I,с.133-139.

257. Тивончук В.И. О решении нелинейных интегральных уравнений смешанного типа методом осреднения функциональных поправок.- Дифференц. уравнения f 1969, 5, № 3 , с. 568-573.

258. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1976. - 224 с.

259. Тихонов А.Н. , Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

260. Трикоми Ф. Интегральные уравнения . М.: Иностранная литература , i960. - 300 с.

261. Тукалевська-H.I. Про один метод розв"язування лШйних iH-тегральних р1внянь типу Вольтерра. Доп. АН УРСР,1965,® 8, с. 998-1002.

262. Тукалевська H.I. Про один метод наближеного розв"язання Л1 ■ н1йних 1нтегральних р1внянь вольтерр!вського типу в Knaciфунший. Доп. АН УРСР, 1966 , Ш 3 , с. 299-302.

263. Урабе М. Метод Галеркина для нелинейных периодических сис -тем. Механика (периодический сборник переводов иностранных статей), 1966, 97, № 3 , с. 3-34.

264. Фадеев Д.К., Фадеева-В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JI.; Физматгиз , 1963. - 736 с.

265. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. -М.: Наука, 1978. 488 с.

266. Фридман В.М. Новые методы решения линейного операторного уравнения. Докл. АН СССР, 1959, 128, Ш 3 , с. 482-484.

267. Чернышенко Э.А. Исследование сходимости и установление оценки погрешности метода усреднения в полном нормированном пространстве. Укр.матем.журн.,1954, 6, № 3,с.305-313.

268. Чернышенко Е.А. Про один вар|ант методу осереднення.-Доп. АН УРСР, 1956, № I, с. 10-12.

269. Чернышенко Э.А. Об одном методе приближенного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.- Укр.матем.журн.,1958, 10, № I, с. 89-100.

270. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ; В 2-х т. Киев: йзд-во АН УССР, 1963. - T.I. - 196 с.

271. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ : В 2-х т. Киев: Наук, думка, 1966. - Т.2. - 244 с.

272. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск : Наука, 1967. - 196 с.

273. Ярмуш Я.И. О быстроте сходимости проекционно-итеративного метода для линейных интегральных уравнений. В кн.: Математический сборник , 1976, с. 228-231.

274. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrates.- Fand. Math., 1922, 3, p.133-181.

275. Browder F.E. Fixed point theorems for nonlinear semicon-tractive mappings in Banach spaces.- Arch. Ration. Mech. Analysis, 1966, 21, IT 4, p.259-269.

276. Browder F.E. Nonlinear maximal monotone operators in Banach space.- Math. Ann, 1968, 175, p.85-113.

277. Nonlinear functional analysis and nonlinear integral equations of Hammerstein and Uryschn type. Contributions to nonlinear functional analysis (ed E.Zarantonello), New York, 1971, p.425-500.

278. Browder F.E., Petryschyn W.V. Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space, J.Math.Anal.Appl., 1967, 20, p.197-228.

279. Caccioppoli R. Sugli elementi uniti delle transformazioni funzionali: un'osservazione sui problem! di valori ai limi-ti. Acc.Naz.Lincei, 1931, 6, N13, p.498-502.

280. Luchka A.Ju. The method of averaging functional corrections: theory and applications. lev/ York and London, Academic Press, 1965. - 136 p.

281. Minty G.J* Monotone (non linear) operators in Hilbert space.- Duke Math. J., 1962, 29, p.341-346.

282. Minty G.J. On monotonicity method for the solution of nonlinear equations in Banach spaces. Proc. Hat. Acad. Sci. USA, 1963, 50, p.1038-1041.

283. Mock M.S. On sufficiently fine mesh for quasilinear elliptic equations. Communie, on pure and appl. mathem., 1974, 27, p.351-360.291. lieumanu C.Untersuchungen uber das logarithmische und Uewtonische Potential. Leipzig, 1877.

284. Petryschyn W.V. Direct and iterative methods for the solution of linear operator equations in Hilbert space.-Trans. Amer. Math. Soc., 1962, 105, p.136-175.

285. Petryshyn W.V. On a class of K-p.d. operators and operators equations. J.Math.Anal.Appl., 1965, 10, p.1-24,

286. Petryshyn W.V. Projection methods in nonlinear numerical functional analysis. J.Math. Mech., 1967, 17, 1*4,p. 353-372.

287. Ritz W. Über eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik.- J. für die reine und angew. Math., 1908, 135, H. 1, S. 1-62.

288. Ritz W. ¡Theorie der Iransversal-schwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rander. Ann. der Physik, 1909, 28, N4, S.737-786.299« Schauder J. Der Fixpunktzatz in Functionalräumen. Stad. Math., 1930, 2, S,171-180.

289. Tichonow A.H. Ein Fixpunktsatz. Math. Ann., 1935, 111, S. 767-776.