Итеративные методы решения сингулярных интегральных уравнений в обобщенных пространствах Гельдера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

:.":ш:ст2Рство - обрлзоздния украикы одесский государственна университет.

Р Г 5 дд и. и. мечичкова' 1 п АМ №5

На правах рукописи

Талас Бандиопадхьяй

итеративен методы ре1пешш сингулярных интегральных уравнений в обобщенных пространствах еельдерд

01.01.02 -• Дифференциальные уравнения

автореферат

I

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Одесса - 1995

Диссергация является рукописью.

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Одесского государственного университета и«. И. И. Мечникова.

Научный руководитель: кандидат физико - математических наук,' доцент Тихоненко Н. Я. '

Официальные оппоненты!

1. Доктор физико-математических наук, профессор Черский Ю.И.

2. Кандидат физико-математических наук, доцент Светной А. П.

Ведущая организация - Молдавский государетввнный университет г. Кишинев.

Зашита состоится "2-1 AJ% 1995г. в часов на

заседании специализированного совета К 05.01. 05 по физико - математическим наукам '(математика) при Одесском государственном университете им. И. И. Мечникова по адресу* 270100', г. Одесса, ул. Петра Великого, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Одесского государственного университета им. И. И. Мечникова по адресу: г. Одесса ул. Советской Армии, 24. *

7

Автореферат разослан .

-- -^С&рт А 1895г

Ученый секретарь специализированного совета

«Якпгагьность тока. Широкий r.pvr задач науки и техники прибодится к нахождению решений линейных или нелинейных сингулярных интегральных урапнений С СИУ) и их систем с ядром Кош на единичной окружности. Как известно, построение решений СИУ в замкнутом виде возможно лишь б весьма редких частных случаях и даже в этих случаях доведение результата.до числа наталкивается на большие трудности.

Указанные обстоятельства обусловили то большое вникание, которое в настоящее время уделяется вопросам разработки и обоснованию методов приближенного реле-'ия различных классов СИУ и их систем. Начало научным исследованиям б этом - направлении положили работы и. \ Лаврентьева, С. Б. Нихлина, X. Нультоппа, которые затем были продолжены С. Н. Белоцеркоеским, Г. М, Байникко, Б. Г. Габдулакае-еын, Б. Зильберманон. В. А. Золотаревским, . В. В. Ивановым, И. К. Ливановым. А, 10. Лучкой, 3. ПресдорФои, Д. Г. Саникидзе. Ю. В. Ганделеи, В. а. Диденко, А. Ф. йатвеевым. Б. И. Мусаевым, Н. Я, Тихоненко, К. А. Шзиь-ко и их последователями и учениками.

Обоснованию методов приближенного решения различных классов СИУ посвящено значительное число работ..В этих работах при

Достаточно полную.библиографию по этим вопросам можно найти б следующих изданиях*

1. Белоцерковский. С, К. , ЛиФанос Н, К. Численные методы в сингулярных интегральны/, уравнениях. - М.. 1 Наука, 1985. т_26б С.

2. Габдулахаев Б. Г. Оптимальные апроксимации решений линейных задач.. - Казань! Изд-во Казанск. ун-та, 1080. - 232 с.

3. Гусейнов А. И. , Мухтаров X. Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. - М, ■ Наука, 1060. - 414 с.

4. Золотаревский 3. А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнуты;? контурах интегрирования, -Кишинев« Штиинца, 1991, - 134 с.

5. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Кие81 Наумова думка, 1058. - 237 с.

6. Лучка А, Ю, Проекционно-итеративные методы решений дифференциальных и интегральных уравнений, - Киев! Н&укг>в& думка, 16В0, -262 с.

7. Прэсдор« 3. Некоторые классы сингулярных уравнений, И. i Пир, 1070, - 496 с,

разлмчных предположениях - относительно коэффиц:'-нтов, регулярных ядер и правых частей СИУ и-контуров интегрирования были обоснованы различные численно-аналитические, проекционные и итеративные методы приближенного решения различных классов СИУ и их систем. Благодаря работай В.В.Иванова, Б.Г.Габдулахаева. И.К.Лифанова. Б.Зильберлана, 3.Пр&сдорфа, В.А.Золотаревского и др. теория проекционных методов приближенного решения линейных СИУ и их систем на ограниченных контурах интегрирования достаточно полно разработана. Проекционные методы, как правило,. имеют простую вычислительную схему, однако они обладают существенным недостатком. Они наделены неуд 5ным в вычислительной практике свойством - свойством насыщения, состоящим а тон, что при нахождении приближенных решений СИУ с заданной высокой точностью проекционные методы приводят к необходимости находить решения систем линейных алгебраических уравнений, матрицы которых при больших порядках становятся плохо обусловленными, что не дает возможности эффективно применять проекционные методы к нахозщзнию с высокой точностью приближенных решений СИУ, так как в этом случае ошибки округления при решении соответствующих систем линейных алгебраичесхих уравнений приводят к больший ошибкам в окончательном результате.

Среди методов.приближенного решения различных классов СИУ и их систем особое место занимают итерационные методы. В этом направлении выполнено значительно число работ. Так, в цикле работ Гусейнова А.И. и его ученихоэ обоснованы метод простой итерации и метод Ньютона-Канторовича приближенного решения нелинейных СИУ с ядром Коси На единичной ' окружности в обобщенных пространствах Гельдера. Однако эти методы, вообще говоря, имеют ограниченную область применимости, поскольку при их реализации воз> кает необходимость в точном вычислении сложных квадратур, в связи с чем входные данные исследуемых уравнений подчиняются жестким условиям.

В связи с этим обстоятельством современные итеративные методы приближенного решения СИУ преследуюут две задачи: расширение области прин-'нимости метода и ускорение его сходимости. Так в цикле работ А. Ю. Лучки и его учеников предложен и обоснован очень эффективный о вычислительно!! точки зрения проекционно-итеративный нетод приближенного решения скалярных линейных и нелинейных СИУ с ядром Коши и с ядром Гильберта в, пространствах функций, суммируемы* с квадратом. и в пространствах фунхций.

удовлетворявших условию Гельдера. В цикле работ Б.Г.Габдулахаева и его учеников предложены и исследованы стационарный итерационный и аппроксимативно-итерационный методы приближенного решения

нормального случая линейных и нелинейных СИУ с ядром Кошн и с ядром Гельберта в пространствах функций, удовлетворяющих условию Гельдера, и з пространствах функций суммируемых с р-й, 1 < р < со . степень». В цикле работ Б.Г.Габдулахаева и В.А.Золотаревского и их учеников были предложены и обоснованы различные вычислительные схемы квадратурно-итерационного метода приближенного решения нормального случая нелинейных СИУ с ядром Гельберта или с 'ядром Коши на различных гладких контурах в пространствах функций, суммируемых с квадратом, и в пространствах функций, удовлетворяющих условию Гельдера.

Что же касается обоснования вычислительных схем различных кодификаций итерационных методов при5лиженного решения нормалвного и исключительного случая СИУ и их систем с ядром Кови на единичной окружности в обобщенных пространствах Гельдера, то „ в этом направлении оказалось много не решенных задач. Этот пробел в некоторой мере восполняет представляемая диссертационная работа.

Целью работы является обоснование вычислительных схем различных итерационных методов приближенного решения нормального и исключительного случаев СИУ и их систем о ядром Коши,1 на единичной окружности в обобщенных пространствах Гэльдера. '"При этом, следуя Д.В.Канторовичу, под обоснованней метода будем понимать:

- установление осуществимости и сходиности алгоритма;

- исследование быстроты сходиности;

- эффективная оценка погрешности.

Методика исследования. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов существенным образом используются различные сведения и утверждения иэ Функционального анализа, конструктивной теории функций, теории функции комплексного переменного, интегральных уравнений и общей теории приближенных методов.

. Научная новизна н основные результаты, выносимые па защиту. Все результаты, полученные в диссертации, являются Новыми, строго доказанными, получены лично автором и следующие иэ них выносятся на защиту!

1. Обоснованы две схемы проекционно-нтеративного метода приближенного решения нормального случая линейных СИУ с ядром Коши и их систем, которые затем применены к приближенному решению нормального случая СИУ со сдвигон и СИУ, содержащих комплексно сопряженные значения неизвестной функции.

2. Обоснованы две модификации стационарного итерационного и две модификации алпроксимационно-итерационного методов приближенного решения нормального и исключительного случая СИУ и их систем с ядром Коши.

3. Обоснованы стационарный итеративный и квадратурно-итеративный методы приближенного решения нормального случая нелинейных СИУ и их систен.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит в основном теоретический характер. Полученные в ней результаты 'могут быть использованы при дальнейшем развитии методов приближенного решения различных классов СИ У. Кроме того, они могут быть использованы при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к нахождению решений различных классов СИУ и их обобщении.

Аппробацил работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на: V Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" СОдесса -1991 г.Э, Республиканской научно-методической конференции, посвященной 200-летию со дния рождения Н.И.Лобачевского СОдесса - 1992 г.Э, международной научной конференции "Теория приближения и задачи вычислительной математики" СДнепропетровск - 1993 г.Э. научной конференгчи 'Таковские чтения" СОдесса - 19Э9 >, заседаниях научного сенинара "Общая теория приближенных методов" при Одесском университете, научный руководитель доц. Тихоненко Н.Я. С1989-1993 г.г.Э, Одесской городском научном семинаре по теории функции, научный руководитель проф. Сторохенко Э.А. С1994 г.Э, ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Одесского госуниверситета С1989-1994 г.г.Э.

Основные результаты опубликованы в 5 научных публикациях, выполненных лично автором.

Структура диссертации и объем работы. Диссертационная работа

состоит из вгедения. трех глгэ, разбитых на 11 параграфов, списка литературы, включающего 60 наименований. и содерм(Тся на 159 страницах машинописного текста.

Основное содержание работы. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан анализ состояния проблемы, кратко изложено содержание диссертации » сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава состоит из гятн параграфов: §§ 1-5 и посвящена обоснованию проекшюнно-итератлзного метода приближенного решения нормального случая СИУ и их систем с ядром Каши иа •единичной окружности в обобщенных пространстrax Гельдера, а такке СИУ со сдвигом Карлемана и СИУ. содержащих комплексно-сопряженные значения неизвестной функции. В частности, в первом параграфе, котор* ; носит в основной вспомогательный характер. изложена известная схема проекционно-нтергтнвного ¡отода приближеного решения операторных уравнений и, кроме того, установлены новые достаточные условия его сходимости. § 2 посвящен обоснованию вычислительных схем проекционно-итеративного метода приближенного. решения нормального случая СИУ

<KpMt) s a <t>f>(t) + |2±LL dT + Г k (t, т) р < т > dr « fit), t в Г.

ni JT-t J

г , г ^ (1'

на единичной окрукностн Г ■ |t в ti Где a(t), bit),

k <t,T> ,-f (t > - известные функции.- принадлежащие пространству и',

ш

Начальное приближение является приближенным решением,

определяемым по методу редукции или коллокаций, уравнения С1Э и имеет вид

п

V«-n

где <pv - неизвестные постоянные, которые в случае метода коллокаций определяются из системы уравнений

т*

£ f^jaU^t" + Sgn и b(tJ)t1^ + fti<t ..Пт^Ит! » < «t^i.

Г CI

-d-

где Здп и = I при Бдп V <= -1 при а

Ъ - ехр j 1 у, (4)

' 2п+1

3 случае нел^дда редукции неизвестные (¡> определяем из системы уравнений

г»

V* -п

где а^., Ь^, D.^, f - коэффициенты. Фурье соответственно Функций

a(t>, b<t>,

JMt'1

Г

Элементы поправок ииен в виде

г»

о, (t) = £ c"V (6)

k l* <.

а последующие приближения определяем следующим образом

*>k<t) = Pk_i(t)+u)k<t) + ^R^-K(*>k_t+uk)Jj<t), k-l,2...; (7)

кде 0. - оператор» 'определенный Формулой С13, a R - его регуляриэа-тор вида

ait) b(t)

(Ry) (t)s

b<t) 1 г у(т> _ V<t)---:— - dr. ,<S)

c) a2 (t> ~b2<t) ni J r-t

а <1)-Ь (О а'<0-Ь <Ы п! Л т-

г

При этой постоянные С<1е>, определяющие поправки определяем

в случае метода коллокации иэ систены уравнений

п

2 С^" ^ + Бдп V + .

» fit.) - (К*>, Mt .), J к"» . I

(9)

где t- узлы f43. В случае метода редукции постоянные С^ определяем иэ систены уравнений

П

E cpk,[-j-p + Б9П " + %} = V V

(10)

где i _ коэффициенты Оурье функции (K*>k (t).

Если постоянные определяются согласно методу колло-

каций, то справедлива

Теорема 1. Пусть функции a(t), bit), k(t,r),f(t) в Н</1> ,

ы

a(t>-b(t)

1^0, по всем переменным, а (t) —ba(t)* = ind -- О.

a(t)+b(t)

уравнение C15 имеет единственное решение и Функция 6*F<6>]ln <5|-.0

при â++0, где F(<5)= о/"(<5) /о»'1'(<5) , то при достаточно больших »

итерационный процесс С2Э-С45,С6Э-C9J реализуем, а приближеннее решения »>k<t) уравнения С15 сходится в пространстве H^i» к его точному решению i>M(t) со скоростью

¡l^V-V^lHy- <>([^<¿>10 - - .....

где ы'"(<5>, ы'г'(0> - модули непрерывности, удовлетворяющие условиям Зикмундэ-Бари-Стечкина.

I к>

Если постоянные С^ определяются согласно метолу

редукции, то для итерационного процесса С2Э.С5Э - С8Э, С10Э спраг ведливо утверждение, аналогичное теореме I. В третьем параграфе производится обоснование проекционно-итеративного метода, основанного на нетодах коллокацим, приближенного решения нормального случая систен СИУ

р(т)

A(t)f>(t)+ I--dT + |K(t,T)p<r)dr » fit), t«f,

Bli> Г dT + L

ni J r-t J

r (11) где Ait), Bit), К(t,ti - известные матрицы-функции. f(t) - известная вектор-Функция размерности m с элементами из пространства

I О)

H <»>, a f><t) - неизвестная вектор-функция размерности т.

и *

Установлена осуществимость метода и определены оценки скорости его сходиности. На основе сведения к системе СИУ с ядром Коши в § 4 производится обоснование проекционно-итеративного метода приближенного решения нормального случая СИУ со сдвигон

Г 1 С(М Г piT) d(t) Г р(Т>

A(t)ptt>+ bitip o(t) + I - UT + - -- dT +

L J ni J т-t ni J r-a(t)

г г

+ Гк (t,т Jv>Ст i от = h(t) , tei", С12Э

J г

ггг «(О - сдзиг, удовлетворяющий условию Карлемана или обобщенному условию Карлекана.а в Ь 5 - нормального случая СИУ с комплексно-сопряженными значениями неизвестной функции

-<t) Г "<т) 1 Г *><т) iiLL - dr + d(t> —— -

ni J т-t ni J r-t

a(t)p(t>+ b(t)»>(t) * ■■■■■ - I - dT + d (t) -1 - dr

+ (tjTJr'TJdT + Jkz (t,T)f>(r) dr h <t) .

г Г

Вторая глава состоит из четырех параграфов:. §§ 6-9 и пссьящена обосиозани» двух кодификаций стационарного итеративного и аппрксимационио-итеративного методов приближенного решения нормального и исключительного случаев СИУ и их систен с ядром Коши на единичной окружности в обобщенных пространствах Гельдера.' В § о строится итерационный процесс

= *?k<t> + TH^f<t)-(Kpk) (t>|, k»0,l,2,..., (13)

приближенного рекания уравнения C1Ï, где оператс ■ H выбирается из требования простоты реализации итерационного процесса С135, • а параметр т - из требования обеспечения его максимальной скорости сходимости. Итерационный процесс С13Э исследован, если H=R - регу-ляризатор С 85 оператора К или Н=1 - единичный оператор. Указаны границы изменения итерационного параметра т, при значениях которого итерационный процесс ОЗЭ сходится. В частности, если Н=1, то имеет место

Теорема 2. Пусть функции ait), b<t>, k(t,T) fit) e H по всем

oi

перепенным, a1 ( t )-(t) *Q. x=0 и уравнение С1Э имеет единственное решение. Тогда итерационный процесс С13Э сходится к точному решению ^(t) уравнения С15 со скоростью

-а-

!K(t)'Vu!!h - — P{t>-(k„ ) (t)'| . к = 0,1,-.....

H U (J 1-q Ч II' oi

где *>0<t) « H - начальное приближение, если итерационный параметр т выбран в соответствии с оценкой

1

- < т

I | и ч-л^ппк 1С.Т) ,.

.И I "

» " II ш

так, чтобы величина ц = Ц1—гКЦ была бы кеньсе единицы. Здось ыСбз - модуль непрерывности, удовлетворяются условиям Зикиунда-Бэри--Стечхина.

Седьмой параграф посвящен обоснованию аг.п; .^симативно-итераци-онного метода приближенного решения нормального случая уравнения С)Э. Этот метод состоит в том, что функции а(г), Ь(1:>, Р<1:> приближаются соответственно функциями

(11 > - отрезки рядов Фурье или многочлены Лагранжа по узлам СО. а приближенное решение уравнения С1Э строится .посредством реализации итерационного процесса

, Ь (и - V>J <т>

0'*'^) = *>'<1)+тН Н= С1:) - а- ---- , - ¿т -

П1 п " т .Л

- Jk^tt.T)«^ <T)drj. j » 0.1,

(14)

г

где т - итерационный параметр, а оператор Hn=I ™ единичный оператор или имеет вид

a <t> bit) 1 Г V'т>

<Н v> <t)s --- v<t)------ dT, (15) .

n a2(t)-b2(t) a* <t)-bZ(t) ni J t-t

n n n n г

Установлены границы изменения итерационного параметра т, при значениях которого итерационный процесс СЮ сходится, а также определена скорость сходимости приближенных решений уравнения С13 к его точному решению. В частности, если N^=1. то имеет место

Теорема 3. Пусть-функции aft), b(t), l;(t,t). fU) e t£0, по всем переменным. переменным, a1 (t )-b2 (t ) к=0 и

уравнение CID имеет единственное решение, а F<6> Jln <5| О при

¿•»♦О. Тогда при достаточно больших п итерационный процесс С14Э схгчнтся в пространства Н и> со скоростью

U

^.<t»V(l>JVe)- o(n-^F<i)ln п] ♦ 0<сф,

где итерационный параметр т определяется в соответствии с оценкой

1

S т

так, чтобы величина qo= была бы иеиьше единицы. Здесь

оператор К имеет следующий вид

Ь <t) г , . г

(К pXUsa tt)«>tt> + ~— Eili. dT+lk (t,T)p(T)dT.

ni Jr-t J "

г r

В восьмом параграфе производится обоснование стационарных итерационного и аппрксимативно-итерационного иетодов приближенного решения исключительного случая уравнения СХЭ, т.е., случая, когда att)-b(t) и a<t)+b<t> инеют нули на'Г целых порядков в конечном числе точек. Девятый параграф посвящен обоснованию стационарных итерационного и аппроксимативно-итерационного методов приближенного решения нормального и исключительного случаев систем СИУ вида С11Э.

Третья глава состоит иэ двух параграфов: §§ 10. 11 и посвящена обоснованию итерационных нетодов приближенного решения нелинейных СИУ и их систен о ядром Коши. Так в §10 прог эводится обоснование стационарного итеративного метода решения нелинейного СИУ '

(1 г k<t,T, *><т>) 1 t,*><Tl, —~ J _______ dt j

dt I * f (t >. <16>

Выяснены условия дифференцируености по Фреша оператора А, также установлены сходимость итерационного процесса

Г f if kit>T> VT>' п *\*«<<:,и (t> " F^t.^tt),-—- j --s-- dtjj < 17)

r

0, 1,.

приближенного решения уравнения С165 и определены границы изменения итерационного параметра т, при значениях которого итерационный процесс С173 явлнетеп еходлиякия. Аналогичная результат получен и для систем нелинейных С'ЛУ. % 11 поезягдан обоснованию квадратурно-итеративного метода, основанного на методах коллохации и механических квадратур, приближенного ресения СИУ С1ьЗ, приближенное решение которого.например, в случае метода коллокаций ищется из итерационного процесса

. г , <.'<с,т. (»'<т>>

рЧо+тр]^) - Рк.р^щ — --- ^И

I п •> т-1 •'Л

г

j - О, 1. 2, ... , где - начальное приближение, которое имеет вид С£}. а Р

оператор Лаграняа по узлам интерполяции С45.Аналогичный результат получен и для систем нелинейных СИУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следувдих работах: ' ■

1. Тапас Бандиопадхьяй. Проекционно-итератизный нетод решения сингулярных интегральных уравнений а пространствах непрерывных функций / Тезисы докладов У Всесоюзного симпозиума "Кетод дискретных особенностей в задачах математической физики". - Одесса, 15-19 сентября 1991 г. - Одесса, 1991. - часть II. - С.53.

2. Тапас Бандиопадхьяй. Решение проекционно-итератнвным методом нормального случая сингулярных интегральных уравнений в пространствах непрерывных функций, определяемых модулями непрерывности / Одесск. ун-т. - Одесса, 1991. - 15 с. - Деп. в УкрНИЯНТИ 15.11.1991, N1796. - Ук 91.

3. Тапас Бандиопадхьяй. Метод уточняющих итераций решения сингулярных интегральных уравнений в пространствах непрерывных функций, определяемых модулями непрерывности / Тезисы докладов Республиканской научно-методической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского. - Одесса, 3-8 сентября 1992 г. - Одесса, 1992. - Часть 2. - С. 96.

4. Тапас Бандиопадхьяй. Приближенное решение вырожденного случая сингулярных интегральных уравнений проекционно-итеративным методом / Тезисы докладов Международной конференции " Теория приближения и задачи вычислительной математики." - Днепропетровск, 26-28 мая

1955 г. - Днепропетровск, 1993. - С.173.

5. Тапас Бандиопадхьяй. Стационарны0 итерационные нетоды решения лирейных сингулярных интегральных уравнений в обобщенных пространствах Гельдера. / Одесск. ун-т. - Одесс, 1994'. - 28 с. Дел. в ГНТБ 06.04.1994, N 649. - Ук 94.

Тапас Бандиопалхьяй. Итеративные методы реиения сингулярных интегральных уравнений в обобщенных пространствах Гельдера, Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения. Одесский государственный университет. Одесса 1995.

Диссертация лосвякена.обосновании сычислительнк:-: скея и установлении оценок скорости сходимости итеративных, кетовое. приближенного решения нормального и исключительного случаев линейных, и нелинейных сингулярных интегральных уравнение и их систем с ядром Коши и их обобщений на единичной окружьчсти в обобщенных пространствах Гельдэра.

• Tapas Bandyopadhyay. Iterative methods of solution of singular integral equations on generalised Holder's spase. Manuscript. Dissertation to obtain the scientific degree of Doctor of Philosophy in Mathematics in the speciality 01.01.02 -differential equations. Odessa State University. Odessa 1855. Dissertation is devoted to the foundation of calculating plan and the establishment of the estimation of speed of" convergence ox the ite.rative methods of annpoxiaate solution in normal and exceptional cases of the linears and rion-linears singular integral equations and their systems with Cauchy core and their generalisations on the unit0circle in generalised Holder's spase.

Ключов! слоеа: ij-ерашйний иетод, сингулярно 1нтегральне р1бняння, оценка iuBMaKOCTi эб1жност1.

Подписано к печати 09.03.95. Формат 60x84/16. Бумага газетная. Печать офсетная. 0,67 усл.печ.л. 0,94 уч.-изд.л.. Тираж 100 экз. Заказ №

Одесский государственный политехнический университет 270044, Одесса, пр.Шевченко, I.