Интегро-дифференцирование комплексного порядка в гельдеровских классах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Вспомогательные сведения.

§ 1. Классы IV, Фр и некоторые их свойства.

Вспомогательные неравенства.

§ 2. Сведения из гармонического анализа на сфере

§ 3. Обобщенные пространства Гельдера. Некоторые замечания о плотных множествах.

Глава 2. Дробное интегро-дифференцирование комплексного порядка на отрезке.

§ 4. Дробные интегралы и производные мнимого порядка и их свойства.

§ 5. Оценки типа Зигмунда дробных интегралов мнимого порядка в обобщенных пространствах Гельдера

Щф ЛР)

§ 6. Оценки типа Зигмунда дробных интегралов и производных комплексного порядка в пространстве Гельдера

Л?«0,1],р)

§ 7. Теоремы о действии дробных интегралов и производных комплексного порядка в обобщенных пространствах Гельдера. Изоморфизм обобщенных гельдеровских пространств

Глава 3. Операторы типа сферической свертки в обобщенных пространствах Гельдера Щ(Зп-\, р)

8. Оценки типа Зигмунда для сферических операторов типа потенциала и гиперсинулярных интегралов порядка

О < Ие а <

§ 9. Мультипликаторы сферических гиперсингулярных интегралов при комплексных порядках

10. Теоремы о действии сферического оператора типа потенциала и гиперсингулярного интеграла. Изоморфизм обобщенных гельдеровских пространств

§ 11. Операторы сферической свертки со степеннологарифмическим ядром в пространстве Нш р). Теоремы о действии.

Глава 4. Неравенства типа Чебышева и их приложения

§12. Аналоги неравенств Чебышева в случае почти синхронных функций

В теории интегральных операторов одной из важных задач является задача выяснения связи между гладкостью образа интегрального оператора и его прообраза. Решение подобной задачи играет существенную роль в вопросах разрешимости интегральных уравнений, их устойчивости и др. Понятие гладкости может при этом формулироваться в самых разнообразных терминах. Один из способов, позволяющий достаточно тонко уловить гладкостные свойства функций, использует понятие обобщенной гельдеровости, формулируемой в терминах поведения модуля непрерывности.

Основной объект исследуемый в диссертации — это операторы дробного интегро-дифференцирования на отрезке [0,1] и на сфере в Еп, комплексного порядка а: 0 ^ Rea; < 1.

Оператор дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля на отрезке [a, b] обычно задается в виде „ w ч 1 ХГ 1 d ?

0.1) где порядок а допускается положительным. Дробная производная формально может быть определена по формуле = 0 < а < 1 (если использовать правую форму в определении (0.1) дробного интеграла), но более удобна использовать ее запись в форме Маршо:

Da f)(x) /WT/fr-'WWft

Wa+TA*) - (а. а)вГ(1 a) Г(1 - «) ¡ а < x < b. (0.2)

В такой форме дробная производная определена при 0 < а < 1. Известно (см. [38]), что этот оператор является левым обратным к дробному интегралу в рамках Lp пространств: = (р,1 < р < 1/ot, если понимать сходимость интеграла в правой части (0.2) в следующем смысле: е^О J£ t1+a

Вопросу о поведении операторов дробного интегро-дифференцирования в пространствах функций, имеющих заданный модуль непрерывности, посвящено немало работ. Первые точные результаты здесь принадлежат Г. X. Харди и Д. Е. Литтлвуду [49], 1928 г. Мы приводим их здесь при несколько больших ограничениях на параметры А и а в виде удобном для нас в дальнейшем (более полные формулировки можно найти в [38]). Именно в этой работе фактически были установлены следующие теоремы (см. [38], с. 56)

Теорема. Пусть ср(х) Е Нх[а,Ь], 0 < А < 1, а > 0, а + X < 1. Тогда дробный интеграл имеет вид где <ф(х) £ Нх+а[а, Ъ] и ф(а) = 0.

Теорема. Пусть ср(х) 6 Нх[а,Ъ], 0 < а < А < 1. Тогда дробная производная имеет вид

Da+V = f0а){х ~ а)~а + где ф(х) е Нх~а[а, Ь] и ф(а) = 0.

Эти теоремы обычно объединяют в виде единого утверждения о том, что дробный интеграл изоморфно отображает пространство Hq [а, Ь] на пространство Н^+а[а,Ь], а + А < 1, где нижний индекс 0 определяет подпространство функций из указанных классов, выделяемое условием (р(а) = 0. В дальнейшем этот результат Харди и Литтлвуда обобщался в самых различных направлениях: весовые пространства, переменный порядок дробного интегрирования и др. Остановимся вкратце на некоторых из них.

Б. С. Рубин [34], [61], обобщил эти результаты на весовой случай, доказав следующую теорему для оператора дробного интегрирования в пространствах Hq ([а,6],р). Теорема. Пусть 0<А<1, 0<а<1иА + а<1. Оператор изоморфно отображает пространство Н$([а,Ь], р) на пространство где п р(х) = П \х — а ^ х < xi < • ■ • < хп = Ъ (0.3) к=1 U

0^jlîi<A + 1, Л 4- 01 < ¡ik < А 4-1, fe = 2,3,.,n.

Доказательство этой теоремы (как и упомяннутого классического безвесового результата Харди и Литтлвуда и других теорем такого рода) включает ограниченность операторов дробного интегрирования и дифференцирования из Н$([а,Ь],р) в Н$+а([а, 6], р) и обратно соответственно, а также представимость любой функции из Н$+а ([а, Ь], р) дробными интегралами порядка а. Заметим, что ограничения на порядок веса ¡i\ и fin в концевых точках а и Ъ могут быть ослаблены.

В работах [27]-[29], [37] (см. также монографии [38], [62]) Х.М. Мур-даев и С. Г. Самко исследовали действие операторов дробного интегро-дифференцирования в обобщенных пространствах Гельдера со степенными весами р(х) = (х — аУ и р(х) = (х — аУ(Ъ — хУ, 0 < z/ < 2, 0 < р < 2 и установили изоморфизм, осуществляемый оператором между обобщенными пространствами Гельдера Щ([а,Ъ],р) и Hq"([а,6],р), где ujQ(t) = tau(t), u(t) характеристика из класса типа Бари-Стечкина.

Карапетянц Н. К., Мурдаев X. М. и Якубов А. Я. [13]—[15] рассмотрели дробное интегро-дифференцирование в обобщенных гельдеровских пространствах, определяемых поведением интегральных модулей непрерывности, а именно, в пространствах Нр([0,1]), 1 < р < оо.

Исследованию дробных интегралов и производных в гельдеровских и обобщенных гельдеровских классах посвящены также работы Сам-ко С. Г., Мусалаевой 3. У. [63], где рассмотрены общие веса, Карапетян-ца Н.К и Мусалаевой 3. У [16]-[19], где рассмотрено (периодическое) дробное интегро-дифференцирование по Вейлю, причем в этих работах допускается и произвольный положительный порядок у дробного интеграла.

В работах Б. Росса и С. Самко [60] и Н. Карапетянца и А. Гинзбург [21], [53] дробные интегралы рассматривались уже в пространствах гельдеровских функций с переменным порядком в определении пространства. В этих работах найдены условия на функцию, определяющую этот порядок, при которых имеют место аналоги теорем Харди и Литтлвуда.

В работах [22], [23], [52], Н.К. Карапетянц и А. Гинзбург получили локальные оценки дробных интегралов в пространствах суммируемых функций. Отметим, что имеется бурно развивающееся направление, связанное с двух-весовыми оценками интегральных операторов в весовых пространствах суммируемых функций (в частности, дробных интегралов). Поскольку наши интересы связаны с гельдеровскими классами, мы здесь лишь сошлемся на работы В. Степанова [42], [64] и обзор Е. Дынькиши Б. Осиленкера[11]. Более полное представление о результатах в этом направлении и современном состоянии вопроса можно найти в монографиях В. Кокилашвили, М. Крбец [57] и И. Генебашвили, А. Гогатишвили, В. Кокилашвили и М. Крбец [48].

Отметим, что в выше перечисленных работах порядок а дробного интеграла действительный. Комплексный порядок а дробного интегрирования впервые появился в работах Ж. Лиувилля, Б. Римана, А. Б. Лет-никова [26], 1868 г., и др. Дробные интегралы чисто мнимого порядка а = 19 (см. [38]) вводились X. Хольмгреном [50], 1868 г., X. Кобером

56], 1941 г., Г. Калишем [54], 1967 г. Исследованию в Ьр операторов интегрирования чисто мнимого порядка посвящена работа М. Фишера [47], 1971 г. Обстоятельное исследование формул композиции для дробных интегралом мнимого порядка проведено в работах Э. Лава [58], [59].

Важным этапом изучения дробного интегро-дифференцирования функций из обобщенных гельдеровских пространств (ср. [27]-[29], [37], [13]-[19]) является получение оценок типа Зигмунда, т.е. оценка модуля непрерывности дробного интеграла (дробной производной) через модуль непрерывности исходной функции.

Оценка модуля непрерывности сингулярного интеграла с ядром Ко-ши или что тоже самое с ядром Гильберта на единичной окружности для произвольной монотонной функции (р(х) впервые была дана А. Зигмундом [66], 1924 г. Полученная им оценка где — модуль непрерывности в С, хорошо известна под названием оценки Зигмунда.

Заметим, что оценки типа Зигмунда для сингулярного интеграла на замкнутом контуре в случае модулей непрерывности к-то порядка получены в работе Е.Г. Гусейнова, В. В. Салаева [10], а в случае модулей непрерывности дробного порядка в работе С. Г. Самко, А. Я. Якубова [35]. Подробный обзор других подобных результатов для сингулярного оператора дан в [9]. Изучению действия сингулярных интегралов по М™ в обобщенных гельдеровских пространствах с весом и без веса посвящены работы Абдуллаева С. К. [1], [2]. В многомерном случае рассматривалось поведение потенциалов Рисса (многомерных операторов дробного интегрирования, порожденных степенями Лапласиана) в обобщенных пространствах Гельдера, а также поверхностные потенциалы на сфере, см. работы Б. Г. Вакулова [5]—[8], Самко С. Г. [41], также работу С. К. Абдуллаева [3], относящуюся к операторам типа потенциала. Операторы типа потенциала чисто мнимого порядка по Шп рассмотрены в работах: Заволженский М. П., Ногин В. А. [12] и Ногин В. А. Карапетянц А.Н. [30],

Гиперсингулярные интегралы появляются как операторы, обратные .к операторам типа потенциала и представляют собой дифференциальные операторы дробного порядка. В Шп были получены оценки типа Зигмунда в работе С. Г. Самко, А. Я. Якубова [36]. Операторы типа потенциала и гиперсингулярные интегралы с большой полнотой изучены в работах [31]—[33], [36], [39], [41], [5]-[8].

Следующий интересующий нас этап в исследованиях по дробному интегро-дифференцированию связан с многомерным анализом и распространением результатов типа Харди-Литтлвуда на операторы типа потенциала в М.п и на сфере в IR".

Операторы типа потенциала на сфере обычно задаются с помощью мультипликатора по сферическим гармоникам. Известен потенциал, ядро которого является элементарной функцией. Этот оператор, порожденный мультипликатором, т ~ Г(т + ^ + f ) имеет вид ср(а) ! ТГsn

Кау)(х) = ——- / —^L-dor, а>0, а#п-1,п + 1,., " ' (0.4) и является непосредственным аналогом на сфере риссова потенциала. Подробнее о таких операторах см. [40]. Павлов П.М. [33] получил обращение риссова потенциала Ка, 0 < а < 2 на сфере в виде Т*а = (Ка)~1 = сЕ + где Ба — сферический гиперсингулярный интеграл: n-l и показал, что оператор Va является левым обратным к оператору Ка в пространстве Lp(Sn-1) : Т>аКаср = ср, 1 ^ р < оо, где Va понимается т^ т, (П ~ 1 - /тл (п ~ 1 + ос\ как ар + limс = Г ^---j/Г(—---J.

Вакулов Б. Г. [5]-[8] получил оценки типа Зигмунда для операторов сферической свертки положительного порядка а. Например, для сферического потенциала она имеет вид:

0 < р < п — 1. h

Здесь р(х) = — х, а £ Sn-u PÍ £ C(Sn-i) и и = min(l,/¿). Далее на основе этих оценок устанавливается изоморфизм:

K'(HÍ(S„.1)) = H^H(Sn1), а-еФ»а+ы, а > 0.

K"(Ht(Sn.„,)) = ^ы(5„ьР), с 6 Ф^ЭД^м при а > 0, а ^1,2,., а — [а] < р < п — а -f [а].

Диссертация посвящена исследованию дробного интегродифферен-цирования комплексного (0 < Rea < 1) и чисто мнимого порядка (Rea = 0). Оператор может быть определен и при комплексных значениях параметра а. При этом естественно возникает вопрос: на что отображается пространство ÜA[0,1] (или Нш\0,1]) и будет ли этот образ зависеть от Im а. Ответ на такой вопрос прозрачен, если речь вести о потенциалах, заданных в ХДМ1), 1 < р < сю, ар < 1 и перейти к рассмотрению символов. В случае дробных интегралов на отрезке такое соображение использовать не удается, хотя оно может служить косвенной подсказкой. Здесь мы покажем, что образ дробного интеграла на отрезке не зависит от Im a; при этом аналог упомянутого выше результата об изоморфизме принимает вид:

0а+(#0А[О,1]) = Я0А+Ееа[0,1], 0 < Rea < 1, 0 < A + Rea < 1.

В случае Rea = 0 оператор дробного интегрирования ведет себя подобно сингулярному интегралу и по этой причине технику, использованную ранее при исследовании случая Re а > 0, здесь применить не удается. Одним из новых средств при рассмотрении операторов мнимого порядка оказалось использование аналогов неравенства Чебышева для монотонных функций (см. ниже).

Как отмечалось выше, операторы сферической свертки порядка О < а < 1 в обобщенных пространствах Гельдера с достаточно большой полнотой изучены в работах Б. Г. Вакулова [5]-[8] и П. М. Павлова [33] ; В работах Б. Г. Вакулова рассмотрен также случай произвольных порядков а > 0. Следуя этим работам, в диссертации рассмотрены операторы типа сферической свертки комплексного порядка 0 < Re а < 1, включая чисто мнимый случай Re а = 0. При этом оказалось, что операторы сферической свертки чисто мнимого порядка имеет смысл определять с самого начала как гиперсингулярные сферические операторы (определение см. в (0.5)).

Естественным обобщением операторов типа сферической свертки являются сферические операторы со степенно-логарифмическим ядром

7П вида \x — (j\l+a~n In1' -j-г. Часть работы посвящена исследованию дейх — а\ ствия таких операторов в обобщенных пространствах Гельдера. Отменим, что операторы со степенно-логарифмическим ядром на отрезке в весовом и безвесовом случае изучены в [25], [55].

Построение работы следующее: диссертация состоит из четырнадцати параграфов, которые составляют четыре главы, введения и библиографии.

Основные результаты, полученные в диссертации, следующие:

1. Впервые проведено исследование операторов дробного интегро-дифференцирования чисто мнимого порядка в гельдеровских пространствах с весом.

2. Введены операторы сферической свертки комплексного порядка и дано описание их образа, основанное на оценках типа Зигмунда.

3. Впервые получены весовые оценки типа Зигмунда для операторов -типа сферической свертки и соответствующих им гиперсингулярных интегралов для случая «больших» показателей веса.

4. Исследованы операторы типа сферической свертки на окружности.

5. Дано распространение неравенств Чебышева на случай почти синхронных функций и их приложение с одной стороны к оценкам Зигмунда, с другой в теории нелинейных интегральных уравнений.

0 < V < 1.

19

Содержание диссертации опубликовано в работах [51], [67]—[73]. Четыре из них выполнены совместно с научным руководителем Н. К. Ка-рапетянцем [67]—[70], А. Я. Якубовым [51] и Б. Г. Вакуловым [71]. В указанных работах Н. К. Карапетянцу, А. Я. Якубову и Б. Г. Вакулову принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации — реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов. Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (3-7 дек. 1996. Нальчик), на VII международном симпозиуме «Прикладная математика и математическое моделирование» (26-30 июня, 1997. Феодосия), на VII международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование» (26 мая-1 июня 1999. Новоросийск) и многократно на семинаре по линейным операторам в функциональных пространствах в Ростовском университете (руководители профессор Самко С. Г. и профессор Карапетянц Н. К.).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н. К. Карапетянцу за постановку задач и постоянное внимание и руководство работой, а также доценту Б. Г. Вакулову, заботливо помогавшему в работе во время командировки профессора Н. К. Карапе-тянца.

1. Абдулаев С. К. Многомерный сингулярный оператор на одноточечно компактизированном // Уч. зап. МВ ССО АЗ ССР. 1978. № 2. С. 60-67.

2. Абдулаев С. К. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространствах Гельдера с весом // ДАН СССР. 1979. Т. 35, № 2. С. 7-10.

3. Абдулаев С. К. О некоторых классах интегральных операторов в пространствах суммируемых функций // ДАН СССР. 1985. Т. 283, № 4. С. 777-780.

4. Бари Н. К, Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций //Тр. Моск. мат. об-ва. 1956. Т. 5. С. 483-522.

5. Вакулов Б. Г. Сферические операторы типа потенциала в обобщенных пространствах Гельдера на сфере. Дис. . кандидата физ. мат. наук. Ростов на/Д, РГУ, 1986. 143 с.

6. Вакулов Б. Г. Операторы типа потенциала на сфере в обобщенных пространствах Гельдера // Рук. деп. в ВИНИТИ 6.03.86. № 1553-В86. 31 с.

7. Вакулов Б. Г. Теоремы типа Харди-Литтлвуда-Соболева об операторах типа потенциала в Ьр(Зп-1,р) // Рук. деп. в ВИНИТИ 25.07.86. № 5436-В86.

8. Вакулов Б. Г. Операторы типа потенциала на сфере в обобщенных классах Гельдера // Изв. вуз. Математика. 1986. № 11. С. 66-69.

9. Гусейнов А. И., Мухтаров X. Ш. Введение в теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1980. 415 с.

10. Гусейнов А. И., Салаев В. В. Сингулярный оператор в модулях гладкости // Изд. ин-та мат. и мех. Ан Аз. ССР, Баку. 1973. Деп в ВИНИТИ 6.07.73. № 6744-73.

11. Дынкин Е. М., Осиленкер Б. Б. Весовые оценки для сингулярных интегралов и их приложения // Итоги Науки и Техники. Сер. Ма-тем. анализ. Т. 21. М.: Наука. 524 с.

12. Заволженский М.Н., Ногин В. А. Об одном методе обращения операторов типа потенциала // Рук. деп. в ВИНИТИ 6.03.91. № 978-В91. С. 82.

13. Карапетянц Н.К., Мурдаев X. М., Якубов А. Я. Об изоморфизме, осуществляемом дробными интеграламы в обобщенных классах Гельдера // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, № 2. С. 288-291.

14. Карапетянц Н. К., Мурдаев Х.М., Якубов А. Я. Об изоморфизме осуществляемом дробными интегралами в обобщенных классах Никольского // Изв. Вузов. Математика. 1992. № 9. С. 49-58.

15. Карапетянц Н.К., Мусалаева 3. У. Дробное интегро-дифференци-рование произвольного порядка в бобщенных гельдеровских классах // Рук. деп. в ВИНИТИ 25.11.93. № 2917-В93. 41 с.

16. Карапетянц Н. К., Мусалаева 3. У. Дробные интегралы Вейля в обобщенных гельдеровских классах // Изв. Национальной Акад. Наук Армении. Математика. 1996. Т. 1, № 6. С. 58-77.

17. Карапетянц Н. К., Мусалаева 3. У. Дробное интегродифференциро-вание по Вейлю произвольного порядка в обобщенных гельдеров-ских классах // Рук. деп. в ВИНИТИ 16.02.94. № 388-В94. 65 с.

18. Карапетянц Н. К., Мусалаева 3. У. О разрешимости интегрального уравнения дробного порядка в обобщенных гельдеровских классах // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 6. С. 1102-1109.

19. Карапетянц Н. К., Якубов А. Я. Уравнение свертки со степенной нелинейностью отрицательного порядка. // Докл. АН. СССР. 1991. Т. 320,№ 4. С. 777-780.

20. Карапетянц Н. К., Гинзбург А. И. Дробное интегро-дифференцирование произвольного порядка в классах Гельдера // Докл. РАН. 1994. Т. 339, № 4. С. 439-441.

21. Карапетянц Н.К., Гинзбург А. И. Локальные оценки дробных интегралов в весовых пространствах суммируемых функций / / Сб. «Интегро-дифференциальные операторы и их приложения». Ростов-на-Дону, Изд-во ДГТУ. 1996. С. 73-79.

22. Карапетянц Н. К. Локальные оценки, точки Лебега и дробные интегралы // Тр. международной конференции «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление». Минск, Белгосуни-верситет. 1996. С. 101-111.

23. Крейн С. Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М: Наука, 1978. 400 с.

24. Килбас A.A., Самко С.Г. I. О гладкости функций, представимых логарифмическими интегралами // Вестн. Белорус, ун-та, сер. 1, физ., мат., мех. 1978. № 1. С. 73-75.

25. Летников А. В. Теория дифференцирования с произвольным ука-. зателем // Мат. сб. 1968. Т. 3. С. 1-68.

26. Мурдаев Х.М., Самко С. Г. Действие дробного интегродифферен-цирования в обобщенном пространстве Гельдера Щр с весом р(х) = (х аУ{Ъ - ъ)и // Рук. деп. в ВИНИТИ 11.05.86. № 3350-В86. 25 с.

27. Мурдаев X. М., Самко С. Г. Весовые оценки модулей непрерывности дробных интегралов от функций, имеющих с весом заданный модуль непрерывности // Рук. деп. в ВИНИТИ 11.05.86. № 33511. В86. 42 с.

28. Мурдаев X. М. Операторы дробного интегродифференцирования в обобщенных пространствах Гельдера с характеристиками из двупараметрического класса типа Бари-Стечкина. Дисс----кандидатафиз. мат. наук. Ростов на/Д: РГУ, 1986. 131 с.

29. Ногин В. А., Карапетянц А. Н. Обращение мультипликативных операторов с выраждающимися символами в пространствах Lp(Rn) // Рук. деп. в ВИНИТИ 8.10.96. № 2970-В96. 81 с.

30. Павлов П. М., Самко С. Г. Описание прорстрпнства Lp(Sn-1) в терминах сферических гиперсингулярных интегралов // ДАН СССР. 1984. Т. 276, № 3. С. 546-550.

31. Павлов П. М., Самко С. Г. Обращение риссовых потенциалов на сфере и описание пространств Lp(Sn-1) в терминах гиперсингулярных интегралов // Рук. деп. в ВИНИТИ 31.05.85. № 3800-85. 17 с.

32. Павлов П. М. Сферические гиперсингулярные интегралы и их приложения. Дисскандидата физ.-мат. наук. Ростов на/Дону, РГУ.1987. 114 с.

33. Рубин Б. С. Дробные интегралы в пространстве Гельдера с весом и операторы типа потенциала // Изв Арм. ССР. Математика. 1994. Т. 9. № 4. С. 308-324.

34. Самко С. Г., Якубов А. Я. Оценки Зигмунда для модулей непрерывности дробного порядка для сопряженной функции // Изв. вузов, Математика. 1985. № 12. С. 49-53.

35. Самко С. Г., Якубов А. Я. Оценка тира Зигмунда для гиперсингулярных интегралов // Рук. деп. в ВИНИТИ 19.03.85. № 1966-85. 22 с.

36. Самко С. Г., Мурдаев X. М. Весовые оценки Зигмунда для дробного интегро-дифференцирования и их приложения // Труды МИАН СССР. 1987. Т. 180. С. 197-198.

37. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

38. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов на/Д: Изд. РГУ, 1984. 208 с.

39. Самко С. Г. Сингулярные интегралы по сфере и построение характеристики по символу // Изв. вузов, Математика. 1983. № 4. С. 2842.

40. Самко С. Г. Сферические потенциалы, сферическое риссово дифференцирование и их приложения // Изв. вузов. Математика. 1977. № 2. С. 135-139.

41. Степанов Б. Д. Двупараметрические оценки для дробных интегралов Римана-Лиувиля // Препринт ДВО АН СССР, Владивосток. 1988. 32 с.

42. Соболев С. А. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1984. 808 с.

43. Харди Г. Г., Литтлвуд Д.Е., Полна Г. Неравенства. М.: ИЛ. 1948. 456 с.

44. Якубов А. Я. Нелинейное уравнение Вольтерра с разностным ядром в случае степенной нелинейности // Рук. деп. в ВИНИТИ 25.12.91. № 4607-В91.

45. Якубов А. Я. Нелинейное уравнение типа Вольтерровской свертки в случае степенной нелинейности // Рук. деп. в ВИНИТИ 29.03.92. № 1018-В92.

46. Fischer M.J. Imaginary powers of the indefinite integrals // Amer. J. . Math. 1971. V. 93, № 3. P. 317-328.

47. Genebashvili I., Gogatishvili A., Kokilashvili V., Krbec M. Weight theory for integral transforms on spaces of homogeneous type // Pitman Monographs and surveys, Pure and Applied mathematics: Longman Sci. and Technical. 440 p.

48. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some propertes of fractional integrals. I // Math. Z. 1928. V. 27. P. 565-606.

49. Holmgren Hj. Of differentialkalkyls med indices af hrad natur som heist . // Ко. Engl. Svenska Vetenskans -Akad. Handle. Stockholm. 1865-1866.1. Bd 5, № 11. S. 1-83.

50. Jakubov A. J., Shankishvili L. D. Some inequalities for convolution integrals transforms // Integral transforms and special Functions. 1994. V. 2, № 1. P. 65-76.

51. Karapetyants N. K. Local estimates for fractional integral operators and potentials // Proc. of International Conference «Operator theory for complex analysis». 12-17 December, 1994, CINVESTAV, Mexico City, Contemporaru Math. 1998. P. 137-143.

52. Karapetyants N.K., Ginsburg A.I. Fractional integrals and singular integrals in the Holder classes of variable order // J. «Integral Transforms and Special Functions». 1995. V. 2, № 2. P. 91-105.

53. Kalisch G. K. On fractionals integrals of pure imaginary order in Lp // Proc. Amer. Math. Soc. 1967. V. 18, № 1. P. 136-139.

54. Kilbas A, Saigo M, Bubakar S. Zygmund type Estimates and Mapping Properties of operators with power-logarithmic kernels in generalized Holder spaces // Math. Japonica 40. 1994. № 3. P. 473-485.

55. Kober H. On a theorem of schur and of fractional integrals of purely imaginari order // Trans. Amer. Math. Soc. 1941. V. 50. № 1. P. 241259.

56. Kokilashvili V. Krbec M. Weighted inequalites in Lorentz and Orlicz spaces // World Sci. and Technical. 440 p.

57. Love E.R. Fractional derivatives of imaginary order // J. London. Math. Soc. Ser 2. 1971. V. 3. P. 241-259.

58. Love E. R. Two index lows for fractional integrals and derivatives //J. Austral. Math. Soc. 1972. V. 14, № 4. P. 385-410.

59. Ross B. Samko S. G. I. Fractional Integration of variable order in Holder spaces Hx // Intern. J. of Math, and Math. Sci. V. 18, № 4. P. 778-788.

60. Rubin B. Fractional Integrals and potentials // Pitman. Monographs ans Surveys in Pure and Applied Mathematiks. 1996. V. 82. P. 409.

61. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Application // «Gordon. Breach, Sci, Publ». London-New-York. 1993. P. 1002.

62. Samko S.G., Musalaeva Z.U. Fractional type operators in weighted generalized Holder spaces // Proc. of Georgian Acad. Sci. encens. Math.1993. V. 1, № 5. P. 601-626.

63. Stepanov V. D. Weighted norn inequalites for integral operators and related topics // Nonlinear analisis, functional space and applications.1994. № 5. P. 42-129.

64. Strichartz R. S. Multipliers for sperical harmonic expansions // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. 167. P. 115-124.

65. Zygmund A. Sur le modulecontinuite de la Somme de la serie conjugull de la serie de Fourier // Prace. Mathematyczko. Fizyczne. 1924. 33. P. 125-134.

66. Карапетянц H. К., Шанкишвили Jl. Д. Дробные интегралы и производные мнимого порядка //Сб. науч. тр. «Прикладная математика и математическое моделирование». Феодосия. 1997. С. 77-80.

67. Карапетянц Н.К., Шанкишвили Л. Д. Замечание о плотных множествах в обобщенных гельдеровских классах // Сб. «Интегро-дифференциальные операторы и их приложения». Ростов н/Д. 1998. Вып. 3. С. 67-70.

68. Карапетянц Н.К., Шанкишвили Л. Д. Дробные интегралы мнимого порядка в пространстве Гельдера с весом // Докл. РАН. 1999. Т. 364, № 6. С. 738-740.

69. Karapetiants N.K., Shankishvili L. D. A short proof of Hardy— Littlewood — Type theorem for fractional integrals in Holder spaces. Fractional Calculus and Applied Analysis. 1999. V. 2, № 2. P. 177-192.

70. Вакулов Б. Г., Шанкишвили Л. Д. Операторы со степенно-логарифмическим ядром в обобщенных пространствах Гельдера // Рук. деп. в ВИНИТИ 17.03.99. № 819-В99. 28 с.

71. Шанкишвили JI. Д. Операторы интегрирования и дифференцирования мнимого порядка в пространствах Гельдера // Рук. деп. в ВИНИТИ 9.07.97. № 3311-В97. 41 с.

72. Шанкишвили Л. Д. Операторы типа сферического потенциала комплексного порядка в обобщенных пространствах Гельдера // Рук. деи. в ВИНИТИ 23.03.98. № 860-В98. 65 с.1. Тезисы

73. Карапетянц Н.К., Шанкишвили Л. Д. Дробные интегралы и производные мнимого порядка в гельдеровских классах // Труды VII межд. симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Феодосия, 1997. С. 77-80.

74. Karapetyants N. К., Shankishvili L. D. Fractional integration operator of imagimary order in generalized Holder Spaces / / Djrbashian Memorial Conference. Yerevan, 1998. P. 30-31.

75. Карапетянц H.K., Вакулов Б. Г., Шанкишвили Л. Д. Операторы сферической свертки со степенно-логарифмическим ядром в обобщенных пространствах Гельдера / / Тезисы VII межд. конф. «Математика. Экономика. Экология. Образование». Ростов-на-Дону, 1999. С. 62.

76. Якубов А. Я., Шанкишвили Л. Д. Неравенства Чебышева для слабосинхронных функций. Их приложения // Тезисы межд. конф. «Нелинейные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик, 1996. С. 112— 113.125

77. Шанкишвили Л. Д. Интегродифференцирование мнимого порядка в пространстве Гельдера со степенным весом // Тезисы докл. V межд. конф. «Экономика. Математика». Ростов-на-Дону, 1997. С. 43.

78. Карапетянц Н. К., Шанкишвили Л. Д. Операторы типа сферической свертки на окружности // Тезисы докл. межд. конф. «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений». Минск, 1999. С.101.