О некоторых интегральных операторах в весовых обобщенных пространствах Гельдера с нестепенными характеристиками и весами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

<0 " чо>Ф

г

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 063.52.13 по 4аэико - математическим наукам

На права* рукописи

НУССАЛАЕВА Зарина Умаровна

О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ВЕСОВЫХ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА С КЕСТЕПЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ И ВЕСАМИ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов - на - Дону

1395

Работа выполнена в Ростовской государственном университете

научный руководитель:

доктор фиэико - математических наук, профессор С. Г. Самко

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физике - математических наук, профессор М.Л. Гольдман кандидат физико-математических наук, доцент А. Ф. Чувенков

ведущая организация: Воронежская государственная

, Архитектурно - Строительная

Академия

Защита состоится " " " ^О^^ШЛ " 1995 г. в часов на

заседании специализированного совета К 063.52.13 по физико-математическим наукам в РТУ по адресу: 344104, г.Ростов-на-Дрну, ул. Зорге, 5, мехмат. •• Ч.: .

С диссертацией Можно ознакомиться в научной библиотеке РТУ (ул.Пуи-' кинская, 148 )

Автореферат разослан

и 1995 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, доцент

0

С/ в* Л- Кряквин

'--------7----------ОБЩАЯ -ХАРАКТЕРИСТИКА- РАБОТЫ---------------------^

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследование операторов дробного интегродиффе-зенцированил произвольного положительного порядна в весовых н без-ieconux, периодических и непериодических обобщешаи гельдеровских фостранствах (ОГП).

Основными объектами исследования в диссертации являются:

Л ПпаХ1Глл гНГМАППЛМ«||МАПЙ1ЛПтлПй1Л1й Pl«ll4Utt-)T{lm;T(I>fft] П СЗ i rv и

)<■«<! Ц et > U В ьеСОЙО!! И беаьеиоьоу СЛуЧаЯХ еОиТЬетС-Т-ВсННО.

2. Дробное шмегродифференцирование Вейля-Маршо порядка ы >о.

актуальность. Изучение поведения дробного интегрировашя и дифференцирования в пространствах функций, шеищих заданный модуль гепрерывности, имеет важное значение в теории интегральных операторов и еиу посвящено немало работ. Подробную библиографию и истории этого вопроса «окно найти в монографии С.Г. Саьпсо, A.A. Килба-:а, О.И. Ыаричева "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения (Минск, Наука и техника 1987 г.)

Первые точные результаты в выяснении связи мекду гладкостью образа и прообраза принадлежат Г.X.Харда а Д.Е.Литтлвуду (1928 г.), рассмотревший дробное интегрирование в гельдеровских пространствах.

В. названной выше монографии ыоано найти результаты по дробно-

иу ннтегродафферешдароватт в ОГП с весом р(х)-(\-л)'*(1)-.ч)",

Q < Н < .2, 0 < v < 2 и характеристиками из классов типа Бари-Стечкина , О s и < s , а тшеие - по дробному интегродиФ1«-ренцировадая в ОГП периодических функций с «(t.) - t.v и более общей оШ е У, полученные С.Г. Саико и Х.М. Мурдлекын,

Н.К. Карапетянц, Х.и, Цурдаев, А.Я. Якубов (1Э8Эг.) рассмотрели дробное шггегродифференцнрованае в некоторых подпространствах

непериодических пространств .

Важным этапом изучения дробного интегродойеренцировакия фу}гкций из ОГП в работах названных вше авторов является получение оценок типа Зигмунда, т.е. оценок модуля непрерывности дробного интеграла (дробной производной) через модуль непрерывности исходной функции.

Существует и другой подход к проблеме изоморфизма ОГП при дробной интегрировании, реализованный для непериодических пространств с оси = г.П. Костометовыы.

В многомерном случае известки работы С.К. Абдуллаева, АД,Бабаева (операторы тша потенциала, сингулярные интегралы в ОГП),

Б.Г. Вакулова (потенциалы Рисса в ОГП, поверхностные потенциалы на »

сфере). г

Все приведенные результаты довольно полно описывают поведение дробного интегрирования и ди4ференцировшгая в ОГП - весовых и безвесовых, периодических и непериодических. Но вместе с' тем- оставалась реальная возможность решить эти задачи в гораздо более, общей их постановке. А именно, рассмотреть более, общие, по сравнению со степенными, классы весов, характеристик, а в некоторых случаях и ядер. Снять ограничение сверху на порядок интегрирования и дифференцирования и . А такие сблизить, по возможности, подходы к ука-ааноиу вопросу Н.К. Карапетянца, Х.У. Мурдаева, А.Я. Якубова с одной иторонм, и Г.П. Костометова - с другой.

методика исследования. В работе используются метода теории 4«уизисий: интегральные представления, дробное интегрирование и диф-

• • -5-

ренцированне, метод оцекок типа Зигмунда.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Все ОСНОВНЫЙ ре-льтаты диссертации являются новыми.

. В случае пространств выделены некоторые классы весов

и ядер Ух вольтерровского оператора свертки К . Получена

совая оценка типа Загиунда, из которой выведен результат

кт Н" (р) —н"в ф, икСЮ = Ь кСЮ ОСЬ),

>торый в случае степенного ядре, т.е. в случае оператора /дебииго ггегрирования (но, по-прежнему, в случае не обязательно степенных ¡сов) усиливается до изоморфизма

»С (Р)] ~ "о* СР5 ' °*сю = • о < а < 1 .

ро достигается за счет предварительного получения оценки типа игыунда для дробного дифференцирования Маршо.

Для пространств в периодическом и непериодаческсм случаях

оказано, что дробное интегрирование произвольного порядна и > и зоиорфно отображает их на такие же пространства с характеристиками

(о = 1"исо.

(X

Все основные результаты работы сформулированы и доказаны в ерианах характеристик из класса лд , но благодаря выявленной

зйииоснязи классов Ал и , они справедливы н для характе-

истик из класса типа Бари-Стечюша

Диссертация носат теоретический характер. Ее результаты могут !ыть использованы в теории интегральных уравнений.

» . -

-б-

апробация и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на зимней школе - конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (г. Воронеж, январь-февраль 1993 г.), на IV международной симпозиуме "Методы дискретных особенностей в математической физике" (т. Харьков, май 1993 г.} и неоднократно на семинаре профессора С.Г. Самко "Линейные операторы и функциональные пространства" (г. Ростов-на-Дону, РГУ).

Содержание диссертации опубликовано в работах Ш-[8]. Работы [I] - [3] выполнены совместно с профессором Н.К. Карапетящем, работы 16] - [8] - совместно с профессором С.Г. Сашл, работы [4], [51 - совместно с Н.К. Карапетянцем и С.Г. Саико.

СТРУКТУРА и ОБ ЕМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на . границах, состоит из введения и четырех тлав, разбитых на 15 параграфов и списка литературы. Библиография насчитывает 52 названия.

г

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ - Во введении дается общая характеристика работы, обзор тематики, а также кратко излагается основные результаты диссертации.

Глава I содержит предварительные сведения и результаты.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Непрерывная на . СО,г] функция асьэ принадлежит классу V, если «СО почти возрастает, о(0) = 0 и аС1) > и при ь > о. -

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Функция «си принадлежит Дя и , О г А <; р,

если оС1) е V, 2) иси 1"А почти возрастает, 3) о(0 Г'' почти . убывает.

Затхт, что аа .. э а, . если я, а я_ , кз к, ;

1<Г1 2»' 2 ъ л

К .. П ЛД - & ** таЧ C*l» Ä25 < Я1П К5-_Класс типа Бара-Стечкнна в определяемом юте виде введен

Х.М. «урдаешч (1986 г.)

определение 13. Функция fco принадлеаат , i е [0.u, где m ь а, s > 0, если 1) uCO е V ,

2) Г* dg < г з) fl < с -ЙШ-

ГДЗ - ПССТС.ТТЯГЛТ^ 7Т? ^«pTirjOTTba от о и * И ч 3.

Если неотрицательная на 10,11 функция удовлетворяет линь условию 2) при ш ■ о или условии 3) при s » 1, то говорят, что о принадлежит классам Зигмунда Z ила Zt соответственно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Ш.Г. Самко, 1990 г.) Числа

Inf lim [uC£hVaCh))l 1пГ"ШГ(о(5!0/сСН51]

в«=* sup 1таГ1м t-----Л f^inf -^Vi--

называют ш(д-,кс!гьдст числоил (ялп индексами), шгавш п . со-

ответственно, футос^ив ,о(х) е У ..

В 51 подробно аз учена свойства классов фукга^кй V, ,

Здесь ке рассматриваются икдексньга фугащии п индексные тлела яы я,

Ми в даются некоторые их свойства. В частности, в их термина*

формулируется признак принадлежности функции классу я иляэет-рируется связь незду шиссавд AÄ<)t " •

. :д.:-1 'к м. Пусть оСх) е V. Тогда ОСх5 G Ф" тогда в только Tf.'/да, когда

m < me s Mu < s .

ТЕОРЕМА 1.2. Справедливо равенство

9f" ш и и А.

< * ■<■ та На < Ц <

я S t*

где объединение берется по всем я , в по всей функци

uct) е Ая ^ таким, что их индексные числа удовлетворяют условия!

ш < X < ти s Mw < р < s .

В }2 рассмотрены некоторые свойства интегральных модулей я прерывности.

В {3 даны определения ОГП.

определение 3.1. Функция f(x) принадлежит обобщенному прос ранству Гельдера Н* = и* [а.ы, если для нее

def

e(f,h)--sup sup IpCx+O - f<X)| а С tt(h), '

o<t<h x,x»teta,bl .",."■'..

где uCh) - заданная непрерывная неотрицательная • монотонная фун ция, ofOi - О ; положим

II f II II ? Ilc + sup [0Cf>,hV«Ch>] .

и" ^ h>o

Через H^ обозначается подпространство функций из н", обра

цаюощся в нуль при х « а.

Функция «со называется характеристикой пространства н" ,

определение 3.2. Через 1£ср) обозначается пространство фун ций fix) таких, что

р(х) Г(Ю е (Г , н г || ы s II pf II .

и лР> и

-si-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Говорят, что F е ¡Г'"'ксф , гдя я г О н к > о - uejrua числа, а «Ш с V, если г е . имзет

сбоби^енные производные r<j:>e L до порядка п вгшлптплыго п для iihi выпсипшются неравенства

II f^'lL S

1Г

где М ке зависит от h е R* . При этой

» ■ •• .¡ь ^ЧП/Н

4* И —^ 1

Ч Г И u т lr I ■ >1 f li- + Slip -jTrjr-t-.

H (R У p h>o

P *

Аналогично определяются п обобщенный пространства Гелкдара

l£'M'k [о, 2п1 перибдаческих функций.

определение зз'. Есля в определении 3.3 заменить II л* f<w>ilp ь-ы» , ,

{k Cmt п

J I л,, г ■ г dx j . (т.е. не вводить за пргделн огрызка [а.Ы при рассмотрении л,* г<и>Ск) ), то такой клпсс будан обозначать через f£,B,\t [з,Ы . .

определение 3.4. йудпц говорить, что задашмя яа [О, щ функция принадлежит пространству l£,e,t to, aj, если после продолжения на R* нулей fCx) g l£'w,tCR^).

Очевидно, [О,а] с [О,а] .

Помимо определений ОГП в }3 получены условия независимости

этих пространств от парзиегров тик (для характеристик я

Уточнена связь между интегральными модулями непрерывности

различных порядков функций из н£'т'к. В этом «е параграфе рассмотрен вопрос продолжимости нулем функций, заданных на отрезке, за его пределы.

определение 4.1. Будем говорить, что неотрицательная на СО, П функция кСхз принадлежит классу Ух . А > о, если

1) кСх) £ о, хА ксх) почти возрастает и хя кСх))Хе0 « о,

2> э с , о < с < А , такое, что к(х) почта убывает, 3) 3 с > о , такое, что

к *

X

I к(х> : 5 , шах Сх,у) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.8. Будем ГОВОРИТЬ, ЧТО ?Сх)6 Ур [0, ч , Р >0, а < х < I , есяз е А0 ^ в существует постоянная с такая,

что

I

1 *С*к I ТР [ х = .иах(х,у) 4.

Глава II посвящена весовым ОГП с весами рСх) с V .

Рассмотрено действие в этих пространствах (04) оператора свертки

' *

К|» в / кСх-15 А1, , а < X < Ь, -<» < а < Ь < » .

в

с ядром ксх) с Уя и дробной, производной Мараю ($5) (порядка о < к < 1 )

Сгш * —+ « Гх пю - гш^

ГС1-Л)Сх-а) ги-Ю.) Сх-О1*"

с предварительным полученаеи весовых оценок типа Зпгнуяда дяя этих операторов. _

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть kCx) е , О < Ä < 1, р(х~) - ?Сх-а">. 4>CXJ е о < ft < 2. Если

Ii pCx)f(x) е CCia.bP и p(x)fCx) » О,

Ь-а

2) / t~r ü(pf, DtlL < со , j = юаха, ¿О, о

Zü СЗроЕЗД-ТЛЗа VVW* "тип» .Чиги*нлд: -

uCpKf.h) seh' кСМ jWf.t? dt + ch J^utpy.UkCO dt >

о . h

приО<р<1 + Аи

h Ь—а

üCpKy.h) s с h J dl * h J -Mii^y. dL ,

о h

npa l < * s p < ?.

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть pCx) - yix-a), fCX> e V, , 0 < fJ < 2; MO e Уд, о < Л < 1. Если 1) )i < ! •,

2) Г"""'<0''"1>иСО e Z , l km Mt) e Zt .

то оператор К ограничен из И^Р' в !f0 (/>), гда a^CW-hkCMuCM. СЛЕДСТВИЕ. 1. Оператор C4.1J С ядро« kCDcL"-1« In

у > Ь-а, 0 < « < 1, ß i о, ограничен из в

где рСч) в <?Сх-з), чК'ОеУ^ и oK - och) h*C In , если 0 < fi < 2 - а, е Z, h*( In i-i'Vhl e Zt.

ь

следствие 2. Оператор вида J kct-x) fCO dt ограничен на

X

Н"ср) в Н0 Ср) при условиях теоремы 4.3, если в определении класса р) условие pf|x_ft » о заменить на pf|x=b » 0.

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть рСх) » fCx-a), уСхЭ е V^, 0 < ц < 2, и

/р"—< « • у = maxti./d. Тогда

üCpD^f.h) £ с Ы-1 /Äiidt.

ТЕОРЕМА 5.г. Пусть ptxi - «рСх-а), fix) £1^, 0 < f< < 2 - й и пусть Dum о при t > о, 2)исог**|,_0* о, з^ан1"*-? е Z, у я вах{1,р>. Тогда оператор дробного дифференцирования D"^ огра-яаченно действует из весового пространства i£cp) в пространство Н"-"(р). где а_аШ « t-*uCO.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть eVjj о< р < 2 - е. а' почта

возрастающая на [0, Ь-а] функция «CD удовлетворяет условиям:

15 ö(D) - D, оСО НО орв j. £('0, Ь-а 1; 2) «COt-1"* G Z, Г « шах { 1, |4 ).

Тогда оператор D"^ ограниченно действует на весового ПРОСТАЯ

ракства в пространство Н^Ср), р(х) » yfx-a), ua(t) в h"«CW.

Доказана следующая теорема

ТЕОРЕМА 6.1. (Об изомогфиэ-е). Пусть <рСх) е " О < ¡л < 2—et' и «СО t.1'* е Z , Ott.) t" eZt , ТДИ у » шах Cl.fO. О < et < 1.

Тогда оператор дробного интегрирования изоморфно отображает

с*

__пространство с весом рСхз = ч»Сх-аЗ на пространство

с тем та весом и характеристикой «/м = ьвиСИ).

В главе III (}}7-9) изучается дробное интегрирование и дифференцирование Римана-Лиувиляя в пространствах [0. а] в терминах характеристик из лд и . С использованием подхода Г.П. Костометова получены результата:

1> = Ю,а} -► Нр0" ' "[О,а],

Г: Нр"в 1*'к[0,а1 -► [0,а)

и, наконец,

— . —а ,»,к

Iу г ш.а] 1 » Нр • [О,а], « > 0 .

Действие при целых и нецелых к рассматривается отдельно, но в том и другом случаях существенную роль играет факт "независимости от

выбора и и" к "

и I

В $10 критерий вложения с Нр (П.Л. Ульянов) передока-

эан в терминах индексных чисел характеристик оСО, о1(1) . ЛЕММА 10.2. Пусть «((.), «4СО * . Для того, чтобы

о

С Н/ . 1 5 р 5 Г < <х» ,

необходимо, чтобы

и достаточно, чтобы

■«' - \ > f - т •

лгмма Ю.2 ' . Пуст* u(t> е ? ■ Тогда с Lp , lips

л г < ся , если

JL _ JL < 0

р Г > ща '

С зрзвлечением этого результата доказана

ЛЕММА ЮЗ. Пусть ffxj е , 1 i pi я, где «СЫ е , l/p + - юи < v < 1 . справедливо неравенство

- г- ОСЬ? L . <>

Это неравенство - одно вз неравенств, которые долгш удовлетворять функция вз пространств , рассматриваемых Н.К. • Ка-

рапетянцеы, Х.Н. Уурдаевш, А.Я. Якубовым, Другое из этих, нёра-венств означает яродолхииость нулем, которой функции из тгространста

обладаю? по определение. Таким образом, имея леш/у 10.3, можнс

утвауглтеь, что в случае . 1/р «- - bw< w < 1 пространства

и X ■ J в 1> 2, совпадают. Это, в свою очередь.пззволяет сблизить подходы к дробному интегродифференцированию в ОПТ Г.П. Кос-тометова с одной стороны в указанных трех авторов - с другой.

В $11 подучены оценки типа Зигмунда для операторов вольтер-ровской свертки в ¡аналогичного обобщения дробной производной Маршо, Глава IV посвящена дробному интегродифференцировани» в перпо-

даческих ОГП |£'">к [0,2л]. •_____В _ §12 рассматриваются дробный интеграл Ве&ля

11а>? = усС^ (11 , х е С~п,п) , СП

-я

( где определена в монографии С.Г. Самко, А.А, Килбаса,

0.!(. Марнчева, с.264 >, дробная производная Вейлл-Маркй при произвольном 1 и а > О

"усеченный" интеграл Римана-Лиувалля

* О .

И усеченны« прейЗВ0Д1ШЙ &;йля-Шршо г М&ршо

'2 К

^ д ; .(X) 4- хеС0,2Ю, С4)

+»*< . • £ н 1 ■»•

, 00 СДг, ГКх

(о:спсх)= 1 хек;.

1 с ь

о^сс. -. .*г1ю в названной монографии 1".1\ и др,, сс. 1(Ю-

102 ).

Исследуется взаимосвязь дробных интегралов Риыаиа-Лиунилля и Вейля я-усеченных дробных производных Ыаршо а Вейля - Ыаршо. Кроче того, изучается сходимость (почти всвду и по норме ьрсо,2Ю) "усеченного" интеграла (3> и усеченных производных (4). (5).

Для ядра . определяицего интеграл Вейля и производную

-16-

I '

Вейля-Парию, при о < а < 1 известна оценка

5 с М""1--1 , ^ » О, 1, 2,... Сб)

ас

Она распространяется на произвольные значения а > О , а «Е N , j ь I«] (при о £ л а [«1 — 1 в правой части (6) стоит константа) н используется при рассмотрении действия дробного интеграла Вейля и дробной производной Вейля-Маршо в ОГП.

Отметим, что в {12 дан явный вид для функции чСс<л при в е N.

Ддя доказательства изоморфизма ОГП - образа в прообраза дробного интегрирования - существенен шаг, состоящий в доказательстве представимости функций из предполагаемого "образа" дробным интегралом от функции из "прообраза". В этой связи важна теорема 12.1 об эквивалентности названной представимости двум другим условиям, одно из которых - сходимость ро норме 1р(0,2п1 усеченной дробной производной Царшо. Это условие и применяется впоследствии (в теореме 15.1 > при доказательстве изоморфизма.

В (13 рассматривается дробное интегрирование в периодических ОГП. Делается это при двух подходах к вопросу (Г. П. Костометова с одной стороны и Н.К. Карапетякца р др. - с другой). Первый из этих подходов иллюстрируется леммой 13.1, где показывается ограни-

чеииость оператора Г- у из ч^'т, [о,2п] в Ю,2п], где

ось) е аа и условия на параметры таковы: О 5 ■ < я 5 р < « + к,

я + к > р +

Подход Н.К. Карапетянца в др. реализуется в теореме 13.1, где получена оценка типа Зш-мунда

I следствия из этой теоремы и теореме 13.2, где оценка (7) упроща-тся:

о'а^р, ю 5 с ^ » , ст

р ♦ Т р I

I такие теоремах 13.3, 13.4, в которых, исходя из оценок (7), (8)

, ш . • Я» , к.

[оказывается ограниченность ез п^'"1*- а мр" , л > и.

I последних двух теоремах условия на параметры ужа ¡теюг вид : О

; Я р < 1 , п + к > р * в. Здесь условие /< < 1 возникает из-за ;амого вида оценок (7), (8): слева стоят модули непрерывности по-1ядка к, справа - порядка 1.

§14 посвящен дифференцированию Бейля-Маршо (и Марию) в пространствах при едннои подходе к поставленной задаче: через юлучение оде шиз типа Зигмунда:

1 ^ П 5 I СО)

п дсоог £ с р * '

о'сГД) „ „

I ^ц--«"-+ 5 «р^.«

I аналогичной оценки для дробной. производной Маршо:

г ог'(Г I)

«"СО* Г, Ю £ С -Р ' ,

Р * .1 • ь

СЮ)

да 1 $ п 5 1 , П<й<п, I - порядок разности, используемой в £ Г. Отметим еще раз, что оценки (9), (10) качественно лучше оцв-

нок (7) в (8), т.к. в них справа в слега - модули непрерывности одинаковых порядков. На основании этих оценок легко доказать огра-

, » »и,к

ннченность операторов П. и , а > 0 из Нр" Ю,2п] в

10,2я], где ОСЬ) е Аа в < » 5 И < в + к, А > О, га + к > > р ♦ в .

В завершающем {15 доказывается. изоморфизм периодических 0П1 с характеристиками оСЬ5 и ь" иСЮ при дробной интегрирования по Вейлю. В основу доказательства легли упомянутые утверждения об ограниченности соответствуксдах операторов, а также теорема 12.1 о представимости.

В этом же параграфе приведены формулировки результатов

5513-15 в терминах характеристик из Ф" .

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору С.Г. Самко за постановку задач и постоянное внимание и руводс1во работой, а также профессору Н.К. Карапетянцу, заботливо выполнявшему обязанности руководителя в 1992/33 учебном году во время отсутствия профессора С.Г. Самко.

Основные результаты диссертации опубликованы в следущтх работах:

1. Карапетянц Н.К., Муссалаева З.У. Дробное иитегродафференцирова-нне по Вейлю в обобщенных гельдеровских классах. Рост. ун-т. Ростов н/Д., 1993.- 64 с. Деп. в ВИНИТИ 23.07.93, № 2100 - В93.

2. Карапетянц Н.К., Муссалаева З.У. Дробное интегродифференцирова-ние произвольного порядка в обобщенных гельдеровских классах. Изоморфизм. Ростов н/Д., 1993; -41 с. Деп. в.ШШ 25.11.93, А 2917 - Б93.

l. Карапетянц H.K., Муссалаева З.У. Дробное интегродифференцирова-

няе по Вейлю произвольного порядка в обобщениях гельдеровски* классах. Ростов н/Д.. 1993. -65 с. Деп. в ВШГГО 16.02.94, Й ЗШ - В94.

Нуссалаева З.У. Обобщенные гельдеровские пространства с харак -теристикани из класса типа Бари-Стечкина. I. Изоморфизм. Рост, ун-т. Ростов н/Д., 1932. - 29 с. Деп. в ВИНИТИ 30.12.92,

* - W

Нуссалаева З.У. Обобцгшага гельдеровские'пространства с xapsii. -теристикани из класса типа Бари-Стечкина. II. Классы характе -ристик. Рост. ун-т. Ростов н/Д, i992.- 47 с. Деп. в ВИНИТИ 30.12.92, Й 3725 -В92.

Самко С,Г., Нуссалаева З.У. Оценки типа Зигмунда и теоремы об ограниченности операторов свертки в весовых обобщенных пространствах Гельдера. Рост. н/Д., 1992. 26с. Деп. в ВИНИТИ 23.07.92, № 2431 - В92.

Саыко С.Г., Нуссалаева З.У. Оценки типа Зягиунда я теоремы об ограниченности операторов свертки в' весовых обобщенных пространствах Гельдера. Тезисы докладов икаяы-кояференции "Теория функций, дифференциальные уравнения в математическом моделирования", г. Воронеж, I9S3 г., C.I17.

5amto S. G., Mussalaeva Z. IJ. Fractional type operators in

weighted generalized Holder sraces. Proceedings of Uta Georgian Academy of Sciences. Math., 1993, V.l, N 5, p. 601-626.

Подписано к печати IS.0I.Ö5 Формат 6üxf4/l6 Byvera тип 13. Объем 2,0 усл.п.л., 0,9 гп.-иад.л.,

Роотосский Щ!ТИ