Операторы альфа-свертки и весовые функциональные пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГб од

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

/ ¡л..-Л На правах рукописи

УДК 51?-. 9 8

БИЧЕГКУЕВ МАИРБЕК СУЛЕИМАНОВИЧ

ОПЕРАТОРЫ ¿¿-СВЕРТКИ И

ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск • 1994

Диссертация выполнена на кафедре дифференциальных уравне с частными производными и теории вероятностей Воронежа государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических на,

профессор В.П.Глушко Официальные оппоненты - доктор физико-математических на

С.К.Водопьянов - доктор физико-математических на профессор В.Д.Степанов Ведущая организация - Московский университет Дружбы

народов им. П.Лумумбы

Завдта состоится "_" _ 1994 г. в_ча<

заседании специализированного совета К 002.23.02 в Инст] математики СО РАН да адресу: 630090, Новосибирск-90, Уд® тетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМ СО Р

Автореферат разослан "_" _ 1994 г.

Ученый секретарь совета к. ф.-м. н.

В.В.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ'

Актуальность теиы. В конце тридцатых годов в результате аксиоматизации некоторых свойств оператора сдвига на пространстве функций на числовой прямой французским математиком Жаном Дельсартом (,1. ие1ва1Че) был введен термин "оператор обобщенного сдвига" (сокращенно о.о.с.). Его интересовала роль, которую играют операторы обычного сдвига для функции в классическом математическом анализе. В своей монографии "Теория операторов обобщенного сдвига" (М, Наука, 1973- 312 с.) Б.М.Левитан писал "этот вопрос не так уж прост, как может показаться с первого взгляда" из-за того, "что операторы сдвига настолько привычны и обыденны, что мы часто не отдаем себе отчета в том, какова же их истинная роль в той или иной математической конструкции". Например, в терминах оператора сдвига можно сформулировать такие важные понятия, как свертка, положительно-определенная функция, почти-периодическая функция и др. В рамках о.о.с. удалось получить далеко идущие обобщения фундаментальных принципов и результов, связанных с указанными понятиями.

Систематическое построение теории о.о.с. было дано главным образом в работах Б.М.Левитана. Одной из главных задач теории о.о.с. является восстановление о.о.с. по инфинитезимальному оператору (Б.М. Левитан, И.М.Гельфанд, С.Г.Крейн.Ю.М.Березан-ский и др.)

С другой стороны в теории функционально-дифференциальных уравнений, в эргодической теории и теории динамических систем важную роль играют операторы взвешенного сдвига, представляющие

собой суперпозицию операторов подстановки и умножения на функцию. Различные классы операторов взвешенного сдвига в пространствах скалярных и векторных функций рассматривали А.Б.Антоне-вич, М.Е.Драхлин и др.

Указанные разновидности оператора сдвига приводят к обобщению оператора свертки и играют важную роль в теории интегральных операторов. Два класса интегральных операторов, ядра которых порождены соответственно операторами обобщенного и взвешенного сдвига обладают рядом интересных свойств и заслуживают самостоятельного изучения. Первый класс рассматривали Б.М.Левитан, А.Я.Повзнер, И.А.Киприянов и М.И.Ключанцев, а второй - предмет исследования настоящей диссертации, названных интегральными операторами <£- свертки.

Использование оператора свертки и методов для обычных

невесовых пространств позволило определить новые весовые функциональные пространства типа Лебега-Бесова и Лизоркина-Трибеля.

Первое систематическое исследование весовых функциональных пространств с весом, равным некоторой степени расстояния точки до определенного многообразия, выполнил в середине 50-х -начале 60-х годов Л.Д.Кудрявцев, в связи с изучением эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Затем продолженные в работах С.В.Успенского, П.И.Лизоркина, В.И.Буренкова и др.

Тип вырождающихся уравнений, где вырождение происходит по нормали к границе, может носить достаточно общий (нестепенной) характер, рассмотрен в работах В.П.Глушко и его учеников. Весовая функция ¿--ф) в этом случае получается более общего вида, обладающее конечной гладкостью вплоть до многообразия "вырождения" и достаточно быстро обращающееся в нуль на этом

многообразии.

Изучение такого типа вырождающихся уравнений способствовало появлению функциональных простанств с нестепенным весом <¿-¿(4), рассматриваемых при р=2 в работах В.П.Глушко, М.И.Вишик, Х.Г.Леопольд и др. С помощью теории весовых обобщенных функций в полупространстве, введенных В.П.Глушко, удалось расширить и систематизировать эти простанства, построить для них теории двойственности и теорию интерполяции.

При исследовании различных функциональных пространств важное значение приобретает проблема аппроксимации функций из со-ответветствущего пространства (в норме последнего) при помощи последовательности достаточно гладких функций. Эту проблему для пространств Соболева рассматривали С.М.Никольский, В.П.Бурен-ков, Э.Гальярдо, В.И.Ильин и др., а в случае пространств Соболева со степенным этот вопрос изучали 0.В.Бесов, А.Куфнер, Д.Ф.Калиниченко, Т.С.Пиголкина и В.Р.Портнов.

Цель настоящей работы - исследование интегральных операторов, ядра которых порождены введенными операторами обобщенного и взвешенного сдвига; определение понятия "свертки" в весовых пространствах основных и обобщенных функций; расширение определения пространств Лебега-Бесова и Лизоркина-Трибеля с нестепенным весом и построение теории интерполяции; решение вопроса об аппроксимации функций для введенных пространств и пространств Соболева, заданных в полупространстве, гладкими функциями.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Схематически их можно представить следующим образом.

1. Введены новые классы операторов обобщенного и взвешенного сдвига на пространствах функций одной независимой переменной, заданных на положительной полуоси числовой прямой.

2. Рассмотрены интегральные операторы, ядра которых порождены введенными операторами, исследована их ограниченность и регулярность в лебеговых пространствах.

3. Введен оператор об-свертки в весовых пространствах основных и обобщенных функций и установлена его связь с некоторыми непрерывными операциями в них.

4. Определены новые весовые пространства типа Лебега-Бесова и Лизоркмна-ТриСеля в полупространстве и доказаны для них интерполяционные теоремы.

5. Посредством ¡¿- свертки построена последовательность гладких функций, аппроксимирующая функции из весовых и невесовых пространств Соболева.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории вырождающихся уравнений,теории интегральных операторов и теории функциональных пространств.

Методы исследования. В работе использованы : теория обобщенных функций, теория операторов взвешенного и обобщенного сдвига, теория весовых и невесовых функциональных пространств, теория интегральных операторов.

Апробация работы. Все основные результаты обсуждались на семинарах по уравнениям в частных производных Воронежского госуниверситета (рук. проф. В.П.Глушко). Полученные в диссертации результаты докладывались на IX (Тернополь, 1934) и X (Новосибирск, 1985) школе по теории операторов в функциональных прос-

транствах, на семинаре по прикладному функциональному анализу Северо-Осетинского госуниверситета (рук. проф. А.Г.Кусраев).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Объем работы страниц машинописного тек-

ста. Библиография включает 73 наименований.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]

- а -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертационной работы вводятся семейства операторов обобщенного сдвига д/' , взвешенного сдвига (р?^&>о) и интегральные операторы, ядра которых пороздены этими операторами. Рассмотрим функцию которая

удовлетворяет следующим условиям: ; <а(ь)~А при

(а. - фиксированное положительное число), и

где функция Чв) построена по следующим образом

л ^

х= ^(4) = 5 об' С?)Яг: («,<» )_>(.«,

Обозначим через •^Ч'ф функцию, обратную к , а через

С* и б^.р () операторы, определенные на функциях , и формулами

О^ - - -^Ч.*«*

С[§(х)]

Положим ¿р=/.р(й{), ¿р - ((¿<) - пространства измеримых функций, суммируемых со степенью с стандартными норма-

ми,которые будем обозначать символами |(-|'1р и И-Ир соответственно, а через , рб[1,<х>~], весовое пространство Лебега с нормой И-Я^-ЙЛ*^ Ир .

В 5 1 вводятся положительные функции ¿^^ЙЛ) и О ) определяемые тождествами

С помощью функций ц и определяются семейство операторов N5 ' , зависящих -от &€•(»,<») как от параметра, на функция

следующим образом

При р<оо • (2)

, при Р^ео,

^ , при р^

(3)

)- оо .

Непосредствешо из определения операторов М' и К/, имеем

СЧ7 С К = Р ),

Наряду с введенными операторами в рассматривается опера-

тор весового дифференцирования ^ и/р (+)

( р&С1»«>']> р'-р' ). который связан с оператором "обычного" дифференцирования равенством

С^-С^См.

С помощью операторов Мр4 и К* определяются семейства операторов взвешенного сдвига

т^ш = • К-И ; 1+1 ЧР§щ (ч)

играющих в дальнейшем важную роль. Для операторов (40 имеем

Рассмотрим следующее семейство операторов взвешенного сдвига

для которых справедливы равенства

Основные результаты первого параграфа связаны с весовым дифференцированием операторов (2)-(5) и доказательству равенств вида

мц «)= (-<)%,^ К ± м,

в случае, когда </, и | гладкие функции. Устанавливается, что операторы $$ С^>о) являются линейными ограниченными операторами в ¿р при -(¿р^а , причем нормы их не превосходят единицы.

Во втором параграфе решается задача восстановления о.о.с. по инфинитезимальному оператору 1-го и 2-го порядка. В частности, доказывается, что функции = ^и ^ является решениями следующих краевых задач:

а функции СС^Л"^} и чг (^М соответственно

I Р

В третьем параграфе рассматриваются интегральные операторы ядра которых порождены введенными операторами (2)-(5), изуча ется ограниченность и регулярность в ¿р- пространствах. - Оператор, представимый в виде

где 1г.(ч),фиксированная функция, будем называть интег

ральным оператором об- свертки. Для оператора об- свертки справедлива

Теорема I. Имеют место следующие утверждения.

(а) Если функция Ь £ . Р€•[<,<»), то оператор оС- свертки является ограниченным в , причем

(б) Пусть : ¿-р -^¿р - ограничен и (г. - неотрицательна.

Тогда она суммируема с весом р и II = .

Как следствие теоремы 1 получаем: оператор <£.- свертки регулярен в ¿.^ , тогда и только тогда, когда (¿е ¿\ (¿У ). Оператор вида

« - Гт' • 11+) М,

о

называют оператором транспонированным к (6) и действует из в + = \ ^ , совпадает с сопряженным к оператору

и регулярен.

Вторая глава посвящена изучению весовых пространств основных и обобщенных ^^ (К^) функций и введению операции оС-свертки в них.

В четвёртом параграфе рассматривается весовое пространство основных функций и непрерывные операции в нем.

От весовой функции ¿-¿Ц) , рассмотренной в первой главе, потребуем, чтобы она принадлежала и удовлетворяла усло-

виям:

и'(+)-Л«1< ,-зее-Со, а;

с- • ^ (-0, .. .«.¡>о,

Тогда функция об (^с^) принадлежит классу 9* .

Через будем обозначать весовое пространство основных

функций и-О*,*) , для которых функция принадлежит

. Топология в ^(Ю вводится с помощью норм

II1Ш1 = цси>1*) ^ ^Ш^СО^М .

В1дальнейшем будем предполагать, что функция ¿^¿а) удовлетворяет условию (г). Тогда операции умножения на функцию (ре , весового дифференцирования р и

"обычного" дифференцирования ^ непрерывны в 'ъДЩ.).

Определим преобразования () на Б* (Е^) ( "$(¡2.,) ) равенством ( = (?-„,_(. Г'1 ) для любого , где f(F',)- прямое (обратное) преобразование Фурье, которое называют прямым (обратным) весовым преобразованием Фурье. Преобразование (р^,,) является линейным непрерывным отображением ( на и справедливы равенства

р

С помощью оператора взвешенного сдвига Та>г на пространстве ^вводится операция о1- свертки.

Определение I. оС- сверткой функций и(-*,+)б£„,(£¡0 и будем называть функцию

(•м-* 1Г) М =

Пользуясь определением оператора получаем, что ^ ■

свертка может быть записана в виде

Это равенство позволяет установить, что и и) * а^Ои« = (яС,,. ^

В » 5 дается определение весового пространства обобщенных функций , как множество линейных непрерывных функциона-

лов над ^(й-Х) со слабой сходимостью. Значение функционала -И-Як^ц) на основной функции це-^(^) будем записывать (¿,иУ , а для «"¿9(12,3- 0^) . Функционал принадлежит ^(Е*)

тогда и только тогда, когда для любого ре[1,<*=] существует д такой, что (8. ^чрГчО для любого (£2) .

Операции 6а1Р , и ^ по непрерывности продол-

жаются из ЯД;) на ^(£*■)■ Вводится понятие ¿¿-свертки и которую описывает

Теореиа 2. Если в) и ке^С^) , то есть

регулярная обобщенная функция из ^ ) , значение которой при равны =

В третьей главе вводятся весовые пространства Лебега-Бесова и -йизоркина-Трибеля Р р^О^) и строится теория

интерполяции.

В §6 дается определение пространств В^О^ и ^^(КЬ содержащие в качестве частных весовые пространства Соболева-Сло-бодецкого ^^'(Еч) и Лебега Н^ (Е.^ .Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть - «»< к<~ , а < р < и ^ ^ о-э . Тогда справедливы следующие утверждения.

(а) Функция тогда и только тогда, когда

, причем справедливо равенство

- 14 -

(б) Для любой последовательности ^ Чг,

Сею ■■ = н-ям^с/»*-}.

Норма ь"--'эквивалентна норме НИ^Ь (р^-).

Аналогичные результаты доказаны для весовых пространств

Теорема 4. (а) Пусть и ^^f><oo . Тогда

С (е:) ш и нГ(С) -» С О1? 14 .

(0) Пусть , , И

для ... к . Тогда

В 6 7 рассматривается интерполяция В ^

(К ) и Р р^ С КГ) ,

используя вещественные и комплексные интерполяционные функторы. Теорема 5. Пусть к„,Ь,< 0° ,9еС°,О,

I (-6.0 ( в в

кь>?<<°°> > р= р. + т; > i= т. ь г. •

Тогда имеют место ут&ертк/цени.я .

(а) Если к* к,, -го

(б) Если , \ < р , % < оо , то (в) (комплексный метод)

Геореиа 6. Пусть —о»«.!;,, Гогда

(а) Для Ь.*к, и р-^

(б) (комплексный метод)

Теорема 7. (а) Пусть -~<|г<«о и кр<с» . Тогда (б) Если -««¿и

< ОО 9 И Л^р<С>0 у ТО

В конце параграфа вводится в рассмотрение пространство

Это пространство банахово (как пересечение двух банаховых тространств) с нормой

Четвертая слава посвящена построению, с помощью ^-свертки, да функций из Н^С^) и Н^С^) аппроксимирующей последова-гельности достаточно гладких функций.

В восьмом параграфе приводятся формулы производных высокого горядка для оператора взвешенного сдвига ( -и-

лладкая функция) и их оценки.

гладкая функция) и их оценки. В девятом параграфе вводится

Определение 2. Множество функций при 5>о называ-

ется ¿-усреднением функции SJ.CE.Î") . если -ft С*>-0 пред-

ставимы в виде -f'S^s > ГДе C^i-t^ = Г^э! j йг(*/с) = Г* ¿(F, • К (oc.TîeCrCRO , Kfrtf.

при |*|г+ Г1 » 1 ; i ¿oCx.T) Л-xd-e = 1 . S»

Приведем основную теорему этого параграфа

Теорема 8. (а) При <<fc*> для любой функции -И H СЭД имеем ((•$ ~ II н^ ПРИ

(б) Пусть ^c-HÎCdÎ) и oif+NéC^^Cei) , причем Vît '°<l,)№l<po Для ^ = целое положительное число.

Тогда ^»о при

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору В.П.Глушко за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бичегкуев М.С. Об одном подходе к построению весовых пространств БесоЕа /IX ¡шсола по теории операторов в функциональных пространствах.-Тернополь, 1984.-Тезисы докладов. С.12.

2. Бичегкуев М.С. Пространства 0.В.Бесова с весом и их свойства /Воронеж, ун-т. Деп. в ВИНИТИ 6.07.84, N4589-84 Деп. 27 с.

3. Бичегкуев М.С. Обобщенные функции на полуоси и об- свертка /Воронеж, ун-т., Деп. в ВИНИТИ, N5543-85 27 с.

4. Бичегкуев М.С. Об одном классе операторов обобщенного и

взвешенного сдвига на полуоси /Северо-Осетинский ун-т., Деп. В ВИНИТИ, 08.06.94, И1411-В94, 28 С. >. Бичегкуев М.С. Мнтергальные операторы оС- свертки

/Ред. Сиб. мат. журн., Деп в ВИНИТИ N2110-94, В94. 11 с. 5. Бичегкуев М.С., Глушко В.П. О свойствах пространств Соболева и Бесова с весом /Воронеж, ун-т., Деп. в ВИНИТИ, 29.07.84. N5542-85 Деп. 40 с.