Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа

Мирошникова, Елена Игоревна

Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Мирошникова, Елена Игоревна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа»

Автореферат диссертации на тему "Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа"

На правах рукописи

Мирошникова Елена Игоревна

РАЗРЕШИМОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С АНИЗОТРОПНО ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ КОМПАКТНОГО ТИПА

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2013

005545918

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» на кафедре алгебры и дискретной математики.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Деупдяк Владимир Михайлович

Официальные оппоненты:

Карапетянц Алексей Николаевич доктор физико-математических наук, доцент ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», профессор кафедры дифференциальных и интегральных уравнений

Павлов Игорь Викторович

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет», заведующий кафедрой высшей математики

Ведущая организация:

ФГБУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Защита состоится «03» декабря 2013 г. в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «октября 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.208.29

Кряквин В. Д.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение одномерных интегральных операторов с однородными степени (—1) ядрами, действующих в ¿^-пространствах, было начато Г. Харди и Дж. Литтлвудом. Далее теория таких операторов получила развитие в работах Л.Г. Михайлова, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, Р.В, Дудучавы, Я.Б. Рутицкого и др. Существенным при исследовании одномерных операторов с однородными степени (—1) ядрами являлась редукция к одномерным операторам типа свертки с суммируемыми ядрами. Данная связь позволила использовать результаты, полученные для операторов типа свертки, в теории одномерных операторов с однородными ядрами.

Многомерная ситуация оказывается сложнее и нуждается в принципиально других подходах. Впервые многомерные интегральные операторы с однородными степени (—га) ядрами в пространстве Lp(M.n), где 1 < р < оо и га ^ 2, появились в работах Л.Г. Михайлова в конце 60-х годов. Достаточные условия ограниченности таких операторов, а при неотрицательности ядра являющиеся и необходимыми, были получены Н.К. Карапетянцем. Вопросам разрешимости многомерных интегральных операторов с однородными степени (—п) ядрами и переменными коэффициентами посвящены работы Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, О.Г. Авсянкина и других авторов. При исследовании вопросов разрешимости многомерных интегральных операторов на ядра помимо однородности накладывалось дополнительное условие инвариантности относительно диагонального действия SO(n) — группы вращений пространства М". Это позволяло значительно облегчить задачу и в определенном смысле свести её к одномерному случаю. В.М. Деундяком рассмотрен новый широкий класс ядер компактного типа, включающий в себя SO(n)-инвариантные ядра. В доказательствах существенную роль играет пространственный изоморфизм подобия операторов с однородными ядрами компактного типа и операторов свертки с компактными коэффициентами. Отметим, что операторы с однородными ядрами в весовых пространствах практически не рассматривались. Исключение составляет лишь степенной вес. Однако, этот случай практически сразу сводится к безвесовому.

анизотропно однородными ядрами оказывается удобен при решении задач со сложными особенностями (B.C. Рабинович), находит приложения в механике (Р.В. Дудучава), в теории операторов, инвариантных относительно растяжений (И.Б. Симоненко).

Как уже упоминалось выше, в работе при исследовании разрешимости операторов с анизотропно однородными ядрами широко используются результаты из теории операторов свертки. Операторы свертки с момента их появления были и остаются актуальным предметом исследования. Это объясняется как внутренними потребностями различных областей математики, где они возникают (гармонический анализ, теория линейных операторов, теория вероятностей, дифференциальные и интегральные уравнения), так и прикладным значением. Изучение различных операторов свертки началось в работах У. Юнга, Д. Гильберта, А.Н. Колмогорова, Е. Титчмарша, М. Рисса, Г. Харди, Дж. Литтлвуда, С.Л. Соболева и других авторов. Различные методы и примеры операторов свертки, ограниченно действующих в Lp-пространствах, рассматривались в работах Ж. Марцинкевича, А. Кальдерона и А. Зигмунда, И. Хиршмана, С.Г. Михлина, Л. Хермандера, И. Стейна, Ч. Феффермана, С.Г. Самко, Н.К. Карапетянца, А.Н. Карапетянца, А.Г. Баскакова, В.Б. Коротко-ва и многих других. Значительный вклад в теорию операторов свертки был внесен И.Б. Симоненко. С помощью локального метода им полностью изучена разрешимость операторов из алгебр, порожденных свертками с вполне суммируемыми ядрами. Отметим, что локальным методом Б.Я. Штейнбер-гом исследована фредгольмовость сверток со слабо осциллирующими коэффициентами на локально компактных группах, а компактификация, впервые возникшая в теории индекса таких операторов (В.М. Деундяк, Б.Я. Штейн-берг), в более общем контексте использовалась в различных топологических задачах (Н. Хигсон, А.Н. Дранишников, С. Ферри и др.).

Исследование свойств операторов свертки, действующих в шкалах пространств, в частности, в шкале Соболева, нашло отражение в теории псевдодифференциальных операторов. Впервые они были введены в работах Дж.Дж. Кона, Л. Ниренберга и Л. Хермандера, далее их исследование продолжили такие ученые как Г.О. Кордесс, М.Е. Тейлор, Ф. Трев и многое другие. Псевдодифференциальные операторы на группе М+ с коэффициентами изучаются в работах Б.А. Пламеневского, применению техники предельных операторов в теории псевдодифференциальных операторов посвящены книги B.C. Рабиновича. В настоящей работе рассматривается вопрос об изучении свойств операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах пространств соболевского типа.

Цель работы. Исследование разрешимости многомерных интегральных

операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах суммируемых функций, а также в ¿^-пространствах с полумультииликатив-ными весами и в шкалах гильбертовых пространств.

Задачи работы.

• Получить условия ограниченности многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах Ьр, в ¿^-пространствах с полумультипликативными весами, в шкалах пространств соболевского типа.

• Построить символическое исчисление для алгебр, порожденных такими операторами как в безвесовом, так и в весовом случае. В терминах символа сформулировать и доказать критерии обратимости для элементов данных алгебр.

• Построить символическое исчисление для унитализированной алгебры Оип;р, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами и коэффициентами из нового класса мультипликативно слабо осциллирующих функций на К" = М"1 х ... х МП|г, п = (щ, ...,Пк). В терминах символа получить критерий фредгольмовости элементов данной алгебры. Получить топологическую формулу индекса для операторов из 2Пп;р.

• Построить аналоги операторов с анизотропно однородными ядрами, действующие в шкале пространств соболевского типа. Построить для таких операторов символическое исчисление и в терминах символа получить критерий фредгольмовости.

Результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Введен новый класс многомерных интегральных операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, расширяющий операторы с однородными ядрами. Для новых операторов получены достаточные условия ограниченности в безвесовых ¿^-пространствах, в ¿^-пространствах с полумультипликативными весами.

2) Для многомерных интегральных операторов рассмотрен новый класс анизотропно однородных ядер компактного типа. Установлен пространственный изоморфизм подобия между интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и многомерными операторами свертки с компактными коэффициентами в безвесовых ¿^-пространствах и в Ьр-иространствах с нолумультипликативными весами.

3) Для банаховых алгебр, порожденных операторами с анизотропно однородными ядрами компактного тииа, как в весовом, так и в безвесовом случа-

ях, построено символическое исчисление. В терминах символа получен критерий обратимости для операторов из описанных выше алгебр.

4) Введена новая С*-алгебра fi^uit многомерных мультипликативно слабо осциллирующих функций на М"1 х ... х где щ + ... + щ = п. Исследовано пространство максимальных идеалов алгебры изучены свойства короны соответствующей компактификации пространства R", построен изоморфизм этой алгебры на С*-алгебру слабо осциллирующих функций

х Тп_!), где Т„_х = S'm-i х ... х Snk-1 — произведение к сфер размерностей 71;, i = 1,..., к .

5) Для элементов банаховой алгебры, порожденной многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из построено символическое исчисление, в терминах символа сформулирован и доказан критерий фредгольмовости, получена топологическая формула индекса.

6) В рамках построения аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах, определены новые шкалы пространств соболевского типа с мультипликативной структурой. В построенных шкалах введен новый класс псевдодифференциальных операторов, для которого построен символ и получен критерий фредгольмовости. Исследована банахова алгебра 33П;2, порожденная операторами нулевого порядка, установлена связь между операторами с анизотропно однородными ядрами и псевдодифференциальными операторами из 33 „;2-

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми и получены автором самостоятельно.

Методологическая основа исследования. В представленной работе широко используются методы функционального анализа и теории операторов, в частности, локальный метод И.Б. Симоненко, методы исследования псевдодифференциальных операторов, развитые B.C. Рабиновичем, метод пространственного подобия, операторная ii-теория, техника работы с банаховыми и С*-алгебрами, включающая в себя теорию топологических тензорных произведений функциональных пространств и операторных алгебр, действующих в пространствах суммируемых функций.

Апробация. Результаты диссертации были представлены на: Воронежской математической зимней школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2012), международных научных конференциях «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2011, 2012, 2013), международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2012), VI международной конференции и международном семинаре «Аналитические методы

анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2011, 2012), на международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной Я.Б. Лопатинскому (Донецк, 2012).

Работа частично поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них», и внутренним грантом Южного федерального университета Мм 13-16 «Дифференциальные и интегральные уравнения. Приложения к математической физике и финансовой математике» (2013).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1-15], из которых три ([1], [5], [10]) являются публикациями в журналах перечня ВАК РФ по кандидатским диссертациям, четыре ([2], [3], [6], [11]) — статьи в других сборниках научных трудов, восемь — тезисы докладов на международных научных конференциях и семинарах. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Из совместных работ автору принадлежат следующие результаты.

[1] — теорема об ограниченности интегрального оператора с однородным ядром, инвариантным относительно преобразований группы 30(п) вращений пространства Ж", конструкция символа для элементов из унитализированной алгебры, порожденной такими операторами, формулировка и доказательство критерия обратимости для элементов из данной алгебры.

[2] — символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмо-вости для операторов из алгебры УУп;р, порожденной многомерными мультипликативными свертками с непрерывными компактными коэффициентами; конструкция пространственного изоморфизма подобия алгебры УУП;Р на алгебру многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и непрерывными коэффициентами.

[5] — достаточные условия ограниченности многомерных интегральных операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, определение новой алгебры П"1и11. функций на К." = К"1 х ... х К"*; конструкция изоморфизма С*-алгебры Ц"иц на алгебру х Тп_1) многомерных слабо осциллирующих на функций с компактными коэффициентами; символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмовости операторов из алгебры 2Пп;г>, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из

[3] — топологическая формула вычисления индекса фредгольмовых операторов из 2П„;р.

[6] — доказательство теоремы об индексе фредгольмовых операторов из

В работах [4], [7], [8] соавтору научному руководителю В.М. Деундяку принадлежат постановка задач и обсуждение формулировок основных результатов.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 разделов, и библиографического списка, который содержит 68 наименований использованной литературы.

Основное содержание работы

Во введении приводится исторический обзор результатов, связанных с основными объектами работы, обосновывается актуальность выбранной темы исследования.

Первая глава посвящена изучению ограниченности, обратимости и фредгольмовости операторов с анизотропно однородными ядрами в Ьр-пространствах, 1 < р < оо. Основным объектом главы является интегральный оператор вида

(Кк/)(х) = I ф,у)/(у)йу, (1)

К"

ядро которого удовлетворяет условию анизотропной однородности мульти-степени (—п):

Уге {1; Ух^, е К"', Щ е К+ :

к(Аа:(1), ...,/Зкх{к),/Зщ 1),-,РкУ(к)) = Р1Щ-РкПкФ(\), •••> х(к),У( 1).-,У[к))-и условиям суммируемости: почти для всех ст» £ ¿>,¡¡-1

Г к

«[^(стх,...,^) = / Д п'/р'(1х{1)...(1х{к) < оо,

К"

...,ак) = / \к(аи ...,сгк,х{1), ...,х{к))\^[\х(г)\~П1/р(1х{1)...(1х{к) < оо,

М" г=1

где 1 /р + 1 /р' = 1 и К[г],К[2] ё Ьоо(Тп_1). В разделе 1.1.2 доказывается, что класс Мп;р, состоящий из таких функций, является банаховым пространством с нормой

1И1л1„;р = тах^кшНоо; ||к[2]||оо}-

Основным результатом раздела 1.1 является теорема об ограниченности интегральных операторов вида (1) с такими ядрами:

Теорема 1. Если к Е Л4п;р, то оператор Кк вида (1) ограничен в ЬР(МП), 1 < р < оо, и справедлива оценка

Раздел 1.2 посвящен исследованию обратимости операторов с анизотропно однородными ядрами. Существенным здесь является описание более узкого класса ядер <£п;р компактного типа, естественно вложенного в Л4п-Р. Для этого подробно исследуется переход ц к полисферической системе координат. Полисферический аналог этого класса является замыканием в Л4'п.р = д(Мп;р) множества функций, анизотропно однородных мультистепени (—1):

Уг е {1, ...,£}, Е+:

и удовлетворяющих условиям суммируемости

а[0] = I \а(р,е)\рп/р^(1р = ^\а(е, р)\р~п/Чр < оо, е = (1,...,1) е

по радиальным переменным и существенно ограниченных по сферическим.

Символическое исчисление для — унитализации алгебры Шп;р, по-

рожденной интегральными операторами (1) с ядрами из £п;р, строится чек.

рез пространственный изоморфизм подобия к алгебре Ур р сверток на группе Е^" с компактными коэффициентами. Алгебра символов Сц"р(Еь; 1Ср), где К.р = К.(Ьр(Тп_1)), вводится в разделе 1.2.3 и является, по сути, оператор-нозначной версией алгебры мультипликаторов И.Б. Симоненко. В 1.2.4 построен символ ап;р : —> Сцр(Шк;К.р). Итогом раздела 1.2 является критерий обратимости для операторов из

Теорема 2. Пусть оператор В е Тогда для того, чтобы В е

необходимо и достаточно, чтобы его символ егп р(В) был обратим

вс+(жк-к:р).

При доказательстве этой теоремы существенным является утверждение о наполненности алгебры С£р(Кь; К.р) в С^(Ек-,/Ср) = С£2(Шк;!Ср).

Раздел 1.3 посвящен исследованию фредгольмовости операторов из расширения Я3+р операторами умножения функции из С*-алгебры Ц"и1г Подробно этот новый класс функций описывается в 1.3.1 и является аналогом С*-алгебры всех мультипликативно слабо осциллирующих функций на х Тп_1. Существенным в этом разделе является описание пространства максимальных идеалов С*-алгебры как некоторой компактификации

Ш(Шк х Тп_1) = (Ш.к х Тп_х) иОг1(Е,г х Тп_х) пространства К* х Т„_х короной х Тп_х) и построение гомеоморфизма

тгГ : («(К* х Т„_х)) ->

К К.

В 1.3.2 вводится алгебра символов Зрр, показывается, что Зрр есть уни-

тализация подалгебры банаховой алгебры Со(0Т(Ж'г) х №.к-,1Ср), состоящей из

таких функций <р, что

Уг] £ : <р(ч, -) е Со.ДМ"; ЦЬР(Т„_х))).

Доказывается, что Брр является наполненной подалгеброй алгебры х М^/Ср).

В 1.3.3 для алгебры 2Ип;р, порожденной операторами вида

г=1

где Л £ С, е ~~ операторы вида (1) с ядрами К{ 6 €п;р, Т —

компактный оператор в Ьр(Ш"), строится символ-эпиморфизм ап;р : 2ПП;Р

С^Р

ор .

Основным результатом раздела 1.3 является теорема о фредгольмовости для произвольного оператора из алгебры ЯНП]Р.

Теорема 3. Пусть оператор В € 2ПП;р- Тогда для того, чтобы В £ Рг(2ип;р), необходимо и достаточно, чтобы его символ ап.р(В) был обратим в'с^(91(Е'!) х Шк;1Ср).

В заключительном разделе 1.4 главы 1 получена топологическая формула для вычисления индекса оператора В из Рг(0Пт, р):

т ¿(В) = тс1((<7п;р(В)).

Вторая глава посвящена исследованию ограниченности и обратимости интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в весовых Ьр-пространствах с полумультипликативными весами. В разделе 2.1 строится ■МП;р,р — весовой аналог банахова пространства -Мп;р анизотропно однородных функций, введенного в 1.1, затем доказывается ограниченность интегральных операторов с ядрами из ЛЛП\р,р в 1/р,р(М").

В 2.2 основным объектом исследования является банахова алгебра 53п\р,р — унитализация алгебры, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами из пространства £п,р,р ~ весового аналога класса £п;р ядер компактного типа, введенного в главе 1. Вводится алгебра символов

C^p(MWp-,lC(Lp(Tn_i))), где üjp — некоторая весовая функция, строящаяся по функции р, МШр(Ш.к) — трубчатая область с основанием DUp:

Мир(Шк) = {z = x + iy,x£ Rk,y е DUp},

основание DUp есть множество, для которого функция

к ~

w(j)= lim х = \x\j = ( ¡Xi\2 ] j,

IxHoo -|x| J

где ] — единичный вектор в М , является опорной, Мы (М ) является замыканием трубчатой области Ми!р{Жк) до компакта:

МШр(Е*) = (кьи(оо}) х ¿V

Доказан критерий обратимости в весовом случае.

Теорема 4. Пусть оператор В € Тогда для того, чтобы

В е С(ЭД+.рр), необходимо и достаточно, чтобы его символ ап-рр(В) £

с(с+(мШр-;цьр( Тп_0))).

Как и в безвесовом случае, важную роль играет наполненность алгебры С+р(МШр;1С(Ьр(Тп_!))) в алгебре С+(МШр] 1С(Ьр(Тп^))).

В заключительном разделе 2.3 главы 2 рассматривается частный случай операторов с однородными 510(п)-инвариантными ядрами, для элементов унитализации алгебры которых удается получить более эффектив-

ные условия обратимости. Показано, что в этом случае изучение обратимости таких операторов сводится к исследованию обратимости конечного числа одномерных операторов с однородными ядрами. Конструкция символа значительно упрощается и сводится к тому, что для произвольного оператора В из символ есть некоторая функция, непрерывная на одноточечной

компактификации Ъ+'Х.'Н. локально компактного пространства х П, где П — это полоса в комплексной плоскости:

П = {х + гу, х е К, т\ < у < тг}.

Здесь пределы

1п р(е~1) .. 1п р(е*) . .

П = Ит --—, т2 = пт --- (п < т2)

<->+оо —£ г-и-оо Ь

существуют и конечны.

В главе 3 исследуются псевдодифференциальные аналоги операторов с анизотропно однородными ядрами в классах пространств соболевского типа. Раздел 3.1 посвящен псевдодифференциальным операторам, заданным

на аддитивной группе Шк и действующим в шкале {Н"(№.к)}8е& пространств Соболева. В пункте 3.1.1 приведены некоторые сведения из теории классических псевдодифференциальных операторов из ОРБ0*0 с характеристиками из классов Хермандера 5ц !0, шб1. При рассмотрении вопроса о фредголь-мовости псевдодифференциальных операторов вводятся более узкие классы слабо осциллирующих характеристик 5™0, естественно вложенные в В пункте 3.1.2 результаты 3.1.1 распространяются на псевдодифференциальные операторы с компактными коэффициентами.

В разделе 3.2 рассмотрены важные промежуточные классы мультипликативных псевдодифференциальных операторов (ОР§^+ С ОРБ™^), заданных на мультипликативной группе В пункте 3.2.1 в случае произвольного метрического компакта X построена мультипликативная шкала пространств Соболева х X), в 6 М, в пункте 3.2.2 получены условия ограниченности и фредгольмовости мультипликативных псевдодифференциальных операторов с компактными коэффициентами в этой шкале.

В разделе 3.3 получены конструкции новых псевдодифференциальных операторов, действующих в новой шкале {"Н5},^® пространств соболевского типа с мультипликативной структурой. В 3.3.1 для описания строится опе-

ратор 5"п — аналог оператора Фурье. Пространства 'Н8{К"), в шкале которых далее изучаются операторы с анизотропно однородными ядрами, являются подпространствами пространства обобщенных функций ^'(М"), и состоят из функций, удовлетворяющих условию

/( 1 + Еь21Си|) №)12(0^<ОО.

Основным объектом раздела является оператор

К" -?=1

где к лежит в б™0 — некотором классе функций, гладких по радиальным переменным. Для оператора К доказывается теорема об ограниченности в шкале {"Н8}5бК- Далее вводится класс слабо осциллирующих характеристик (Зцц, естественно вложенный в ©™0 для произвольного т € К. Для операторов с характеристиками из <3цп0 строится символ, в терминах символа получен критерий фредгольмовости. Особое внимание уделено алгебре ®п;2, порожденной операторами типа (2) с характеристиками из 6ц 0. Раздел 3.3.3 посвящен установлению связи между основными объектами 1 и 3 глав. Доказывается, что алгебра операторов, исследованная в главе 1, в случае р = 2

вложена в алгебру 03п;2 новых псевдодифференциальных операторов нулевого порядка.

Заключение

В диссертации в рамках исследования разрешимости многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа получены следующие результаты:

для новых многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами получены достаточные условия ограниченности как в безвесовых Ьр-пространствах, так и в .¿^-пространствах с полумультипликативным весом;

установлен пространственный изоморфизм подобия между интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и многомерными операторами свертки с компактными коэффициентами в безвесовых Ьр-пространствах и в Ьр-пространствах с полумультипликативным весом; для банаховых алгебр, порожденных операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа, как в весовом, так и в безвесовом случаях, построено символическое исчисление, в терминах символа получен критерий обратимости для операторов из этих алгебр;

введена новая С*-алгебра Ц™^ многомерных мультипликативно слабо осциллирующих функций на Ж"1 х ... х К"*, где п\ + ... + Пк = п, исследовано пространство ее максимальных идеалов;

для элементов банаховой алгебры, порожденной многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из П"ц1);, построено символическое исчисление, в терминах символа сформулирован и доказан критерий фред-гольмовости, получена топологическая формула индекса; в рамках построения аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах, определены новые шкалы пространств соболевского типа с мультипликативной структурой, в построенных шкалах введен новый класс псевдодифференциальных операторов, для которого построен символ и получен критерий фредгольмовости, изучена банахова алгебра 03п;2, порожденная операторами нулевого порядка, установлена связь между операторами с анизотропно однородными ядрами и псевдодифференциальными операторами из ®ВП;2-

Полученные в диссертации результаты могут позволить исследовать вопросы фредгольмовсти операторов из алгебр, порожденных многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами и коэффи-

циентами из операторами многомерной свертки и слабо осциллирую-

щими коэффициентами, в весовых ¿р-пространствах; рассмотреть псевдодифференциальные операторы с более общими характеристиками; решить задачу о вычислении индекса таких операторов.

Список работ, опубликованных автором по теме диссертации

[1] Мирошникова Е.И. Об обратимости многомерных интегральных операторов с однородными ядрами в весовых пространствах/ Авсянкин О.Г., Мирошникова Е.И.// Изв. вузов Сев-Кав per. Естественные науки. — № 5. — 2010. - С. 5-8.

[2] Мирошникова Е.И. Многомерные мультипликативные свертки и их приложения к теории операторов с однородными ядрами/ Деундяк В.М., Мирошникова Е.И.// Сборник «Труды научной школы И.Б. Симоненко». Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. - 2010. - С. 67-78.

[3] Мирошникова Е.И. Вычисление индекса многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами/ Деундяк В.М., Мирошникова Е.И.// Математика и ее приложения: журнал ивановского математического общества. - № 1(8). - 2011. - С. 39-48.

[4] Miroshnikova E.I. On Fredholmness of Integral Operators with Anisotropically Homogeneous Kernels of Compact Type/ Deundyak V.M., Miroshnikova Е.1.// Тезисы докладов VI международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», Минск, Беларусь, 11-17 сентября 2011 года. Минск: ИМ НАИБ. - 2011. - С. 54-55.

[5] Мирошникова Е.И. Об ограниченности и фредгольмовости интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и переменными коэффициентами/ Деундяк В.М., Мирошникова Е.И.// Известия вузов. Математика. — № 7. — 2012. — С. 3-17.

[6] Miroshnikova E.I. On Fredholm property and index of integral operators with anisotropically homogeneous kernels of compact type/ Deundyak V.M., Miroshnikova E.I.// proceedings of the 6-th International Conference «Analytical Methods of Analysis and Differential Equations»: in two volumes (Ed. by S.V.Rogosin). . Minsk: Institute of Mathematics of NAS of Belarus. — Vol. 1. Mathematical Analysis. - 2012. - P. 64-68.

[7] Miroshnikova E.I. On operators with anisotropically homogeneous non-summable kernels in Lp-spaces/ Deundyak V.M., Miroshnikova E.I.// Тезисы докладов международного научного семинара «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», Минск, Беларусь, 10-14 сентября 2012 года. Минск: ИМ НАИБ. - 2012. - С. 29.

[8] Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с анизотроп-

но однородными ядрами компактного типа/ Мирошникова Е.И., Деундяк В.М.// Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2-7 июля 2010 года. Москва: МИАН. - 2010. - С. 135-136.

[9] Мирошникова Е.И. Об условиях ограниченности и обратимости многомерных интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа в некоторых весовых Ьр-пространствах/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международного научного семинара «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения», Ростов-на-Дону, 24-27 апреля 2011 года. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. -2011. - С. 17.

[10] Мирошникова Е.И. Ограниченность и обратимость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа в некоторых весовых Lp-пространствах/ Мирошникова Е.И.// Изв. вузов Сев-Кав per. Естественные науки. - № 2. - 2012. - С. 22-26.

[11] Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и псевдодифференциальные операторы/ Мирошникова Е.И.// Материалы воронежской математической зимней школы С.Г. Крейна-2012, Воронеж, 24-30 января 2012 года. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. — 2012. — С. 151-152.

[12] Мирошникова Е.И. Об одном классе псевдодифференциальных операторов/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения», Ростов-на-Дону, 22-26 апреля 2012 года. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. - 2012. - С. 34.

[13] Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и их псевдодифференциальные аналоги/ Мирошникова Е.И.// Тезисы международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 29 июня — 4 июля 2012 года. Москва: МИАН. - 2012. - С. 123-124.

[14] Мирошникова Е.И. Об ограниченности и фредгольмовости псевдодифференциальных аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкале пространств типа Соболева/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной Я.Б. Лопатинскому, Донецк, Украина, 14-17 ноября 2012 года. Донецк: Изд-во ДонНТУ. — 2012. - С. 55-56.

[15] Мирошникова Е.И. О некоторых вопросах теории многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами/ Мирошникова

Е.И.// Тезисы докладов международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения», Ростов-на-Дону, 2-6 июня 2013 года. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. - 2013. - С. 27-28.

Сдано в набор 24.10.2013. Подписано в печать 24.10.2013. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0. Бумага офсетная. Тираж 130 экз. Заказ 2410/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Мирошникова, Елена Игоревна, Ростов-на-Дону

южный федеральный университет

На правах рукописи

Мирошникова Елена Игоревна

РАЗРЕШИМОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С АНИЗОТРОПНО ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ

КОМПАКТНОГО ТИПА

01.01.01. — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

00 со

Диссертация на соискание ученой степени

СО кандидата физико-математических наук

со ^ со 8

сч

о ^

I4- Научный руководитель:

^ кандидат физ.-мат. наук, доцент

В. М. Деундяк

Ростов-на-Дону — 2013

Введение

Актуальность темы. Изучение одномерных интегральных операторов с однородными степени (—1) ядрами, действующих в ¿^-пространствах, было начато Г. Харди и Дж. Литтлвудом. Далее теория таких операторов получила развитие в работах Л.Г. Михайлова, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, Р.В. Ду-дучавы, Я.Б. Рутицкого и др. Существенным при исследовании одномерных операторов с однородными степени (—1) ядрами являлась редукция к одномерным операторам типа свертки с суммируемыми ядрами. Данная связь позволила использовать результаты, полученные для операторов типа свертки, в теории одномерных операторов с однородными ядрами.

Многомерная ситуация оказывается сложнее и нуждается в принципиально других подходах. Впервые многомерные интегральные операторы с однородными степени (—п) ядрами в пространстве Ьр(Шп), где 1<р<ооип^2, появились в работах Л.Г. Михайлова в конце 60-х годов. Достаточные условия ограниченности таких операторов, а при неотрицательности ядра являющиеся и необходимыми, были получены Н.К. Карапетянцем. Вопросам разрешимости многомерных интегральных операторов с однородными степени (—п) ядрами и переменными коэффициентами посвящены работы Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, О.Г. Авсянкина и других авторов. При исследовании вопросов разрешимости многомерных интегральных операторов на ядра помимо однородности накладывалось дополнительное условие инвариантности относительно диагонального действия 30(п) — группы вращений пространства Мп. Это позволяло значительно облегчить задачу и в определенном смысле свести её к одномерному случаю. В.М. Деундяком рассмотрен новый широкий класс ядер компактного типа, включающий в себя 5'0(п)-инвариантные ядра. В доказательствах существенную роль играет пространственный изоморфизм

подобия операторов с однородными ядрами компактного типа и операторов свертки с компактными коэффициентами. Отметим, что операторы с однородными ядрами в весовых пространствах практически не рассматривались. Исключение составляет лишь степенной вес. Однако, этот случай практически сразу сводится к безвесовому.

В представленной работе рассматривается обобщение класса однородных функций — новый класс функций, удовлетворяющих условию анизотропной однородности, и исследуется класс интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами как в безвесовых, так и в весовых Lp—пространствах. Интерес к таким операторам продиктован, в частности, их естественной связью с операторами многомерной мультипликативной свертки. Помимо этого аппарат теории многомерных интегральных операторов с однородными и анизотропно однородными ядрами оказывается удобен при решении задач со сложными особенностями (B.C. Рабинович), находит приложения в механике (Р.В. Дудучава), в теории операторов, инвариантных относительно растяжений (И.Б. Симоненко).

внесен И.Б. Симоненко. С помощью локального метода им полностью изучена разрешимость операторов из алгебр, порожденных свертками с вполне суммируемыми ядрами. Отметим, что локальным методом Б.Я. Штейнбергом исследована фредгольмовость сверток со слабо осциллирующими коэффициентами на локально компактных группах, а компактификация, впервые возникшая в теории индекса таких операторов (В.М. Деундяк, Б.Я. Штейнберг), в более общем контексте использовалась в различных топологических задачах (Н. Хигсон, А.Н. Дранишников, С. Ферри и др.).

Исследование свойств операторов свертки, действующих в шкалах пространств, в частности, в шкале Соболева, нашло отражение в теории псевдодифференциальных операторов. Впервые они были введены в работах Дж.Дж. Кона, JI. Ниренберга и J1. Хермандера, далее их исследование продолжили такие ученые как Г.О. Кордесс, М.Е. Тейлор, Ф. Трев и многое другие. Псевдодифференциальные операторы на группе R+ с коэффициентами изучаются в работах Б.А. Пламеневского, применению техники предельных операторов в теории псевдодифференциальных операторов посвящены книги B.C. Рабиновича. В настоящей работе рассматривается вопрос об изучении свойств операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах пространств соболевского типа.

Цель работы. Исследование разрешимости многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах суммируемых функций, а также в Lp-пространствах с полумультипликативными весами и в шкалах гильбертовых пространств.

Задачи работы.

• Получить условия ограниченности многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах Lp, в Lp-пространствах с полумультипликативными весами, в шкалах пространств соболевского типа.

данных алгебр.

• Построить символическое исчисление для унитализированной алгебры 2Нп;р, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами и коэффициентами из нового класса мультипликативно слабо осциллирующих функций на К'1 = МП1 х ... х Мп<!, п = (щ, ...,Пк). В терминах, символа получить критерий фредгольмовости элементов данной алгебры. Получить топологическую формулу индекса для операторов из 2Пп;г).

Результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Введен новый класс многомерных интегральных операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, расширяющий операторы с однородными ядрами. Для новых операторов получены достаточные условия ограниченности в безвесовых £р-пространствах, в ^-пространствах с полумультипликативными весами.

2) Для многомерных интегральных операторов рассмотрен новый класс анизотропно однородных ядер компактного типа. Установлен пространственный изоморфизм подобия между интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и многомерными операторами свертки с компактными коэффициентами в безвесовых ¿^-пространствах и в Ьр-пространствах с полумультипликативными весами.

3) Для банаховых алгебр, порожденных операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа, как в весовом, так и в безвесовом случаях, построено символическое исчисление. В терминах символа получен критерий обратимости для операторов из описанных выше алгебр.

4) Введена новая С*-алгебра многомерных мультипликативно слабо осциллирующих функций на МП1 х ... х М"*, где щ + ... + п^ = п. Исследовано

пространство максимальных идеалов алгебры изучены свойства короны

соответствующей компактификации пространства построен изоморфизм этой алгебры на С*-алгебру слабо осциллирующих функций xTn_i), где Tn_i = Sni-1 х ... х Snk-1 — произведение к сфер размерностей щ, i = 1,..., к

5) Для элементов банаховой алгебры, порожденной многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из f^uit' построено символическое исчисление, в терминах символа сформулирован и доказан критерий фред-гольмовости, получена топологическая формула индекса.

6) В рамках построения аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах, определены новые шкалы пространств соболевского типа с мультипликативной структурой. В построенных шкалах введен новый класс псевдодифференциальных операторов, для которого построен символ и получен критерий фредгольмовости. Исследована банахова алгебра Q3n;2, порожденная операторами нулевого порядка, установлена связь между операторами с анизотропно однородными ядрами и псевдодифференциальными операторами из

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми и получены автором самостоятельно.

Методологическая основа исследования. В представленной работе широко используются методы функционального анализа и теории операторов, в частности, локальный метод И.Б. Симоненко, методы исследования псевдодифференциальных операторов, развитые B.C. Рабиновичем, метод пространственного подобия, операторная К-теория, техника работы с банаховыми и С*-алгебрами, включающая в себя теорию топологических тензорных произведений функциональных пространств и операторных алгебр, действующих в пространствах суммируемых функций.

и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2011, 2012, 2013), международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль. 2010, 2012), VI международной конференции и международном семинаре «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2011, 2012), на международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной Я.Б. Лопатинскому (Донецк, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пятнадцати работах, из которых три ([27], [31], [34]) являются публикациями в журналах перечня ВАК РФ по кандидатским диссертациям, четыре ([26], [28], [30], [60]) — статьи в других сборниках научных трудов, восемь — тезисы докладов на международных научных конференциях и семинарах. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Из совместных работ автору принадлежат следующие результаты.

[27] — теорема об ограниченности интегрального оператора с однородным ядром, инвариантным относительно преобразований группы в О (п) вращений пространства Кп, конструкция символа для элементов из унитализированной алгебры, порожденной такими операторами, формулировка и доказательство критерия обратимости для элементов из данной алгебры.

[26] — символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмово-сти для операторов из алгебры УУп;р, порожденной многомерными мультипликативными свертками с непрерывными компактными коэффициентами; конструкция пространственного изоморфизма подобия алгебры У\?п-Р на алгебру многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и непрерывными коэффициентами.

[34] — достаточные условия ограниченности многомерных интегральных операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, определение новой алгебры функций на Мп = МП1 х ... х Кгг'=; конструкция изомор-

физма С*-алгебры на алгебру х Тп_1) многомерных слабо осциллирующих на М*1 функций с компактными коэффициентами; символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмовости операторов из алгебры 2Нп;р, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из

[60] — топологическая формула вычисления индекса фредгольмовых операторов ИЗ 2ПП;р-

[28] — доказательство теоремы об индексе фредгольмовых операторов из

077

В работах [61], [62], [25] соавтору научному руководителю В.М. Деундяку принадлежат постановка задач и обсуждение формулировок основных результатов.

Глава 1

Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в ¿^-пространствах

В данной главе изучаются вопросы разрешимости многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в пространствах Ьр(Шп), п > 2, 1 < р < оо.

В разделе 1.1 исследуется банахово пространство Л4п;р анизотропно однородных суммируемых функций, которое впоследствии будет играть роль пространства ядер операторов. В этом разделе также получены достаточные условия ограниченности многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными суммируемыми ядрами из Л4п;р, приведена соответствующая оценка для нормы.

В разделе 1.2 вводится новый класс анизотропно однородных суммируемых ядер компактного типа и исследуется обратимость элементов уни-тальной банаховой алгебры порожденной операторами с ядрами из €п-р. Для алгебры построено символическое исчисление и критерий обратимости формулируется в терминах символа. Существенную роль при построении символического исчисления для играет связь алгебры с операторами свертки на группе М^, подробно рассмотренная в пункте 1.2.4.

В разделе 1.3 получен критерий фредгольмовости для элементов алгебры

2Нп;р, порожденной многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами и операторами умножения на функции из введенной в 1.3.1 С*-алгебре

Заключительный раздел 1.4 главы 1 посвящен получению топологической формулы индекса для операторов из 2ИП;Р.

1.1 Операторы с анизотропно однородными ядрами 1.1.1 Предварительные сведения и результаты

В данном разделе приведем необходимые обозначения и вспомогательные сведения из теории ¿^-пространств (см.,например, [52], [51]).

Здесь и далее Ъ — множество целых чисел, N — множество натуральных чисел, Z+ = МУ{0}, С — множество комплексных чисел, М^ — к-мерное евклидово пространство

= М х Е х ... х М, к

— положительный конус в

Через сх. = («!,..., а/с) обозначим мульти-индекс размера /с, состоящий из действительных чисел пусть 1 =

(1,..., 1) — единичный мультииндекс. Мультииндексы одинакового размера можно покоординатно складывать и умножать на скаляр. Под ха, где х = (ж1, ...,ж/с) 6 М^, будем понимать выражение х^.-.х^.

Для произвольного т 6 N через Зт-1 обозначим единичную сферу в Мт с центром в нуле. Пусть Тп_1 = -5П1_1 х ... х 5Пл_1, где п — мультииндекс с компонентами п./, соответствующими разбиению Мп = МП1 х ... х М"*.

Пусть 1 ^ р < оо, и; — положительная весовая функция на снабженном мерой ¡1 пространстве X, Л4(Х) — множество всех /¿-измеримых функций на X. Определенная на X измеримая функция / принадлежит пространству Ьр(Х:и>) = Ьр1Ш(Х), 1 ^ р < оо, если

I |/(х)|М*№<00,

тогда по определению полагают

\\Дьр(х-,ш) = 11/11 ЬР,Ш(Х) = ||/|

J \f(x)\Mx)d» \х

Определенная на X измеримая функция / принадлежит пространству Loo(X;w) = Loo^X), если

ess sup |/(х) < сю,

хеХ

тогда по определению полагают

Пусть 1 < р < оо. Число р' называется сопряженным показателем к р, если

Аналогично классическому случаю (см. [4], с. 36) сформулируем неравенство Гельдера в весовом случае.

Лемма 1.1 Пусть и), V — положительные весовые функции на X, 1 < р < оо; / £ Ьр(Х\ш), д £ Ьр'(Х;у). Тогда

Для полноты изложения приведем доказательство. Пусть одна из функций / и д эквивалентна 0, тогда неравенство очевидно. Покажем его справедливость для функций /, д, не эквивалентных нулю. Воспользуемся неравенством Юнга (см., например, [4], с. 27)

ll/IUoo(*;uO = ll/llw*) = ll/lloo,. = ess sup \f(x)\u(x).

xex

V P

(1.1)

a =

a S\f(x)\Pu>(x)d»

Ш\P'v(x)

l\g{x)\P'v(x)d/j,-

Имеем

/|/(:г)