Многомерные интегральные операторы с вырожденным символом в пространствах суммируемых и обобщенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. О разрешимости многомерного интегрального уравнения Фредгольма третьего рода. Ю

§ I. Предел в среднем и частные производные в среднем. Ю

§ 2. Пространства основных и обобщенных: функций.

§ 3. О нормальной разрешимости уравнения Фред гольма третьего рода в пространстве и в пространствах обобщенных функций.

§ 4. Теорема об условиях разрешимости многомерного интегрального уравнения Шредгольма третьего рода.

§ 5. Теоремы о разрешимости уравнения Фредголь-ма третьего рода в пространствах обобщен -ных функций.

§ 6. Некоторые замечания.

Глава 2. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространстве

§ I. Предварительные сведения.

§ 2. Доказательство теоремы об ограниченностипростейшего многомерного сингулярного оператора при № -1.

§ 3. Доказательство теоремы об ограниченности простейшего многомерного сингулярного оператора при произвольном НА.

Глава 3.

§ 4. Теорема об ограниченности многомерного сингулярного оператора с характеристикой, зависящей от полюса. О разрешимости многомерного сингулярного уравнения в исключительном случае. Многомерный сингулярный оператор на сопряженном пространстве.

§ 2. О нормальной разрешимости многомерного сингулярного оператора с вырожденным символом в пространстве и в пространствах обобщенных функций.

§ 3. Теорема о разрешимости многомерного сингулярного уравнения с вырожденным символом.

§ 4. Примеры Литература.

Вопросу разрешимости интегральных уравнений посвящены многие работы советских и зарубежных математиков /см.,напр.,монографии [I] - [б]/. Важное место среди них занимают исключительные случаи, к которым относят так называемые уравнения Фредголь-ма третьего рода и сингулярные интегральные уравнения с вырожденным символом. Отметим, однако, что по сравнению с одномерными интегральными уравнениями такого типа, многомерные интегральные уравнения в исключительном случае являются еще мало изученными. Наиболее завершенные результаты получены для уравнения

Р"1ФШц={ , /I/ где Р - преобразование Фурье, впервые такое уравнение при условии, что символ Ф(9) обращается в ноль, начали исследовать В.Г.Мазья, Б.А.Пламеневский [7] - [в]. Ими были указаны пространства обобщенных функций, в которых уравнение /I/ разрешимо при всех | е , описано общее решение в таких пространствах и выделены условия, обеспечивающие единственность решения. Дальнейшие исследования в этом направлении проводились в статье В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, Ю.Е.Хайкина [9], а также в работах М.Лоренца [ю] - [13]. Заметим, что каждый раз при этом предполагалось, что символ сингулярного оператора не зависит от полюса или слабо зависит от него. Последнее означает, что символ Ф(Х,0) остается постоянным при больших по модулю , X .

В ряде работ [14] - [22] исследовалась разрешимость краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных операторов. Найдены условия, при которых такие задачи являются нетеровыми в различных функциональных пространствах, отличных от , и пространств обобщенных функций, рассматриваемых в настоящей диссертации.

А.Э.Пасенчук [23] рассмотрел в пространстве + + ) оператор свертки в четверть-плоскости Вч++ с символом, вырождающимся в конечном числе точек пространства К . Для этого случая был построен неограниченный обратный оператор, описан образ изучаемого оператора и даны корректные постановки задач для операторов в свертках с вырождающимся символом.

Заметим, что в отличие от перечисленных работ, основная цель диссертации - получить условия разрешимости многомерных интегральных уравнений в исключительном случае в терминах ортогональности правой части решениями союзного однородного уравнения в соответствующих пространствах обобщенных функций.

Предлагаемая диссертация состоит из трех глав, в первой главе исследуется разрешимость уравнения Фредгольма третьего рода ш)+= / 2 / в пространстве и некоторых пространствах обобщенных функций, содержащих слагаемые вида . . 3ХП]

Г.Р , Х1 сЦХ^. р - суммируемые со степенью р функции/.

Первая глава состоит из шести параграфов. §§1-3 носят вспомогательный характер, в первом параграфе даются определения предела в среднем и производных в среднем, являющихся непосредственными обобщениями аналогичных понятий, введенных в одномерном случае З.Пресдорфом [5]. Понятие предела в среднем сравнивается с известным определением следа функции.

Во втором параграфе введены пространства основных и обобщенных функций. Доказываются теоремы вложения,связывающие пространства основных функций с анизотропными пространствами Соболева и их аналогами. Эти теоремы применяются во второй главе при до -казательстве ограниченности многомерного сингулярного оператора.

В третьем параграфе исследуется нормальная разрешимость оператора А , определяется союзный к нему оператор в пространствах и обобщенных функций.

Четвертый параграф посвящен доказательству основного результата первой главы - теоремы о разрешимости уравнения / 2 / в цространстве ад Согласно этой теореме необходимыми и достаточными условиями разрешимости уравнения /2 / являются условия ортогональности правой части всем решениям союзного одно -родного уравнения в пространстве обобщенных функций.

Идея рассмотрения союзного пространства и союзного оператора вместо сопряженного пространства и сопряженного оператора в аб -страктном случае принадлежит М.Г.Крейну [24] . Ее развитие со -держится в статье [25] / см. также [2б] / . С других позиций к понятиям союзного пространства и союзного оператора подошел Р.В.Дудучава [27] . Заметим, что все перечисленные авторы применяли общие теоремы о замене сопряженного пространства и сопряженного оператора союзными к одномерным интегральным уравнениям,

В пятом параграфе найдены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения /2 /в пространстве обобщенных функций , как условия ортогональности правой части решениям союзного однородного уравнения в пространстве .

В шестом параграфе формулируются возможные обобщения полученных результатов.

Отметим, что в отличие от одномерного уравнения ©редгольма третьего рода [28] - [зз] , коядро оператора А может ока -заться бесконечномерным, поэтому техника исследования уравнения / 2 / существенно отличается от методики работ [28] - [32] .

Принципиальные трудности по сравнению с одномерным случаем возникают также и при изучении многомерного сингулярного уравнения с вырожденным символом хГ(шх) + +Т1{=/ з / где

ОСм

1x^1 1x^1

Главная из них - вопрос об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространстве основных функций г/{<р<с>°?т>{ ? ГЛ - целое/ . Пространство } состоит из тех функций (|(Х) £ ¿£р (К ), которые в полосе

1 = и»1.х1> • •■ ,Х„) = (Х1,Ч)£РчП :|Х11<1} имеют представление т-1

Х) -- хГ ЧЧх) + Т./, Щ , V€Л^ХрГ1).

Норма в пространстве равна т-1

Решению этого вопроса посвящена вторая глава диссертации. Отметим, что ранее ограниченность многомерного сингулярного оператора доказывалась в различных функциональных пространствах / библ. см. в [зз^ - [35]/ »которые существенно отличаются от

ЫтДЧ

В связи с этим результаты, полученные во второй главе, представляют, на наш взгляд, самостоятельный инте -рес.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В первом из них формулируются известные вспомогательные утверждения. Второй и третий параграфы посвящены доказательству теоремы об ограничен -ности многомерного сингулярного оператора Ш

- ) хп R характеристика которого не зависит от полюса, в пространстве

Ц<р<схо,П1>1) . Теорема об ограниченное -ти доказывается вначале в § 2 для Ж = I , затем в § 3 методом математической индукции обобщается на случай произвольного целого ГП > i .

В четвертом параграфе доказана теорема об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространстве XpllTl^R^ ; характеристика которого зависит от полюса.

В третьей главе изучается разрешимость уравнения /3 / в пространстве . Аналогичные вопросы в одномерном случае для пространств гельдеровских функций рассматривались в работах В.С.Рогожина и Т.Н.Радченко [зб] - [зэ] .

Третья глава состоит из четырех параграфов.

Основное содержание § I составляет теорема I.I, согласно ко -торой при определенных ограничениях на характеристику £1(0) многомерный сингулярный оператор Cil + К можно^ непрерывно продолжить на пространство, сопряженное к ] , так что он при этом останется непрерывно обратим.

Во втором параграфе исследуется нормальная разрешимость многомерных сингулярных операторов с вырожденным символом в простран -стве и в пространствах обобщенных функций.

В третьем параграфе, следуя методике главы I, доказывается теорема о разрешимости многомерного сингулярного уравнения/3 /в пространстве р (в терминах ортогональности правой части решениям союзного однородного уравнения в пространстве обоб -¡ценных функций.

В четвертом параграфе приводятся примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

По теме диссертации опубликовано четыре работы [48] - [51] , в которых содержится основная часть изложенных ниже ре -зультатов.

I 10

1. Мусхелишвили H.И. Сингулярные интегральные уравнения. - 3-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука, 1968. - 512 с.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- 3-е изд., перераб. и доп.-M.î Наука, 1977. 640 с.

3. Михлин' С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интег -ральные уравнения.- M., 1962. 256 с.

4. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных операторов.- Кишинев: Штиинца, 1973.- 426 с.

5. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений М.: Мир, 1979. 494 с.

6. ЩМж S.&.tPiossclobf i. ¿'ш^иА?mtорш^огиь.-Bbvün- ■ (ic^imÀj^ )/еп1ау,19&0г51Ц

7. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. 0 сингулярных уравнениях с символом, обращающемся в нуль.- Докл. АН СССР, 1965, т.160, № 6, с.1250-1253.

8. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. 0 задаче Коши для гиперболических сингулярных интегральных уравнений типа свертки.- Вестник Ленинградского университета, 1965, № 19, вып.4, с.161-163.

9. Вишк М.й., Грушин В.В. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений высших порядков«- Матем. сборник, 1966,т. 79, № I, с. 3-36

10. Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области.- Матем.сборник, 1969, т.80,1Р 122, с. 455-491.

11. Глушко В. П. Оценки в и разрешимость общих гра -ничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка,- Труды Московского матем. об-ва , 1970, № 23, с. 113178.

12. Грушин В.В. Об одном классе эллиптических псевдодиффе -ренциальных операторов, вырождающихся на многообразии.- Матем. сборник, 1971, т.84, № 2 , с.163-195.

13. Глушко В.П. О разрешимости смешанных задач для гиперболических уравнений второго порядка с вырождением,- Докл. АН СССР, 1972, т.207, № 2, с.266-269.

14. Левендорский С.З. Краевые задачи в полупространстве для квазиэллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на границе.- Матем. сборник, 1980, III /153/, № 4, 483 -502.

15. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений.- Матем. сборник, 1980, т.112, № 3, с.354-379.

16. Барановский Ф.П. Смешанная задача для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка с двумя переменными.-Дифференциальные уравнения, 1978, т. 14, №8, с. 1424-1438.

17. Брюханов В.А. Задача Коши для одного класса вырождаю -щихся гиперболических уравнений.- В кн.: Дифференциальные уравн. с частн. производи.: Тр. семинара С.Л.Соболева, йн-т математ.СО АН СССР, Новосибирск, 1979, № 2, с.33-41.

18. Пасенчук А.Э. Об одном классе двумерных интегральных операторов с вырождающимся символом.- В кн: Мат. анализ и его приложения. Ростов-на-Дону, 1981, с. I05-II2.

19. Крейн М.Г. Про л1н1йн1 ц1лком непреривн1 оператори в функц1ональних просторах з двома нормами.- Сб. праць 1н-ту матем. АН УРСР, 1947, № 9, с. 104-129.

20. Гохберг И.Ц., Замбицкий М.К. К теории линейных операторов в пространствах с двумя нормами.- Укр. матем. журнал, 1966, № 18, вып.I, с.11-23.26. \J\Jmdlaiul W. Ъ'т (ШшшЬт- fm OfwafowrU) du, kzucfuJu шш^ ^¡uUnmui

21. Расламбеков С.Н. К теории линейных интегральных уравнений третьего рода в классе обобщенных функций,I. Казань 41976.- 17 с. Рукопись представлена ред.ж."Изв. вузов. Матем." Деп. в ВИНИТИ I июля 1976, № 2475-76.

22. Расламбеков С.Н. К теории линейных интегральных уравнений третьего рода в классе обобщенных функций, П.- Казань ,1977.- 18 с. Рукопись представлена ред.ж. "Изв. вузов. Матем." Деп. в ВИНИТИ I марта 1977, Р 791-77.

23. Рогожин В.С., Расламбеков С.Н. Теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщенных функций.- Изв. вузов , Матем., 1971, № 3, 41-49.

24. Дынькин Е.М., Осиленкер Б.П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения.- В кн.: Итоги науки и техники.М., 1983, т.21, с.42-129.

25. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.- М.: Мир, 1973.- 342 с.

26. Дудучава Р.В. 0 многомерных сингулярных интегральных уравнениях. Предварительные теоремы.- Сообщ. АН ГССР, 1983, т.109, Р 2, с.241-244.

27. Рогожин B.C., Радченко Т.Н. Об индексе и нормальной раз -решимости сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае.- Изв. вузов. Матем., 1977, № б, с.131-144.

28. Радченко Т.Н. Об индексе и нормальной разрешимости сингулярного интегрального уравнения третьего рода.- Ростов-на-Дону, 1976. 14 с. - Рукопись представлена Ростовск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 7 декабря 1976, № 4250-76.

29. Радченко Т.Н. Сингулярные интегральные уравнения третье1/ /У) 9) У Ч * fP*го рода в пространствах г/ у ( cL)) oUq; ; <г% } у % . Ростов-на-Дону, 1976. - 34 с. - Рукопись представлена Ростовск.ун-том. Деп. в ВИНИТИ 7 декабря 1976, № 4251-76.

30. Радченко Т.Н. Сингулярное интегральное уравнение третье1. О) V СГ V Ср Уго рода в пространствах П у , ; i/«г и и ^В кн.: Теория функций. Диф. уравнения и их приложения. Элиста,1976, с.138-155.

31. Дыбин В.Б. Нормализация сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае.- В кн.: Матем. анализ и его при -лож. Ростов-на-Дону, 1974, с.45-61.

32. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М.: Наука, 1969.- 480 с.

33. Эдварде 9. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1969.1072 с.

34. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов.- УМН, т.12, вып.2, 1957, с.44-118.

35. Канторович Л.В., Акилов Г.П. функциональный анализ. -М.: Наука, 1977. 744 с.

36. Радченко Т.Н. Сингулярные интегральные уравнения в исключительном случае в пространствах гельдеровых и обобщенных функ -ций. Дис. . канд. физ.-мат. наук.- Ростов-на-Дону, 1978 . -III с.

37. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- M.î Мир, 1972. 740 с.

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1971. 512 с.

39. Тимофеева Е.П. Двумерное интегральное уравнение Фредголь-ма третьего рода. Изв. вузов. Матем., 1980, № 7, с. 54-64.

40. Баран Е.П. Об одном двумерном интегральном уравнении Фредгольма третьего рода. Ростов-на-Дону, 1983. - 14 с. - Рукопись представлена Ростовск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 24 марта 1983, № 1488-83.

41. Баран Е.П. Об условиях разрешимости двумерного интегрального уравнения третьего рода. Казань, 1984. - 9 с. - Рукопись представлена ред. ж. "Изв. вузов. Мат." Деп. в ВИНИТИ 27 июня 1984 , № 4400-84.

42. Баран Е.П. Об условиях разрешимости многомерного сингу -лярного уравнения с вырожденным символом.- Краматорск, 198436 с. Рукопись представлена Краматорским индустр. ин - том. Деп. в Укр ШИНТИ 17 июля 1984, № 1263 Ук - 84.