Операторы L-свертки и весовые функциональные пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

пг г, А П

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 51?. 38

БИЧЕГКУЕВ МАИРБЕК СУЛЕШАЖВИЧ

ОПЕРАТОРЫ ой-СВЕРТКИ И

ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой: степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Диссертация выполнена на кафедре дифференциальных уравнев с частными производными и теории вероятностей Воронежскс государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических нау*

профессор В.П.Глушко Официальные оппоненты - доктор физико-математических нар

С.К.Водопьянов - доктор физико-математических наут профессор В.Д.Степанов Ведущая организация - Московский университет Дружбы

народов им. П.Лумумбы

заседании специализированного совета К 002.23.02 в Инстит; математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, Универ татский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМ СО РАН

Защита состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь совета к. ф.-м. н.

В.В.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В конце тридцатых годов в результате аксиоматизации некоторых свойств оператора сдвига на пространстве функций на числовой прямой французским математиком Жаном Дельсартом (.1. Ве1еаг1;е) был введен термин "оператор обобщенного сдвига" (сокращенно о.о.с.)• Его интересовала роль, которую играют операторы обычного сдвига для функции в классическом математическом анализе. В своей монографии "Теория операторов обобщенного сдвига" (М, Наука, 1973- 312 с.) Б.М.Левитан писал "этот вопрос не гак уж прост, как может показаться с первого взгляда" из-за того, "что операторы сдвига настолько привычны и обыденны, что мы часто не отдаем себе отчета в том, какова же их истинная роль в той или иной математической конструкции". Например, в терминах оператора сдвига можно сформулировать такие важные понятия, как свертка, положительно-определенная функция, почти-периодическая функция и др. В рамках о.о.с. удалось полутать далеко идущие обобщения фундаментальных принципов и рэзульгов, связанных с указанными понятиями.

Систематическое построение теории о.о.с. было дано главным образом в работах Б.М.Левитана. Одной из главных задач теории о.о.с. является восстановление о.о.с. по инфинитезимальному оператору (Б.М. Левитан, И.М.Гельфанд, С.Г.Крейн.Ю.М.Березан-ский и др.)

С другой стороны в теории функционально-дифференциальных уравнений, в эргодической теории и теории динамических систем важную роль играют операторы взвешенного сдвига, представляющие

собой суперпозиции операторов подстановки и умножения на функцию. Различные классы операторов взвешенного сдвига в пространствах скалярных и векторных функций рассматривали А.Б.Антоне-вич, М.Е.Драхлин и др.

Указанные разновидности оператора сдвига приводят к обобщению оператора свертки и играют важную роль в теории интегральных операторов. Два класса интегральных операторов, ядра которых порождены соответственно операторами обобщенного и взвешенного сдвига обладают рядом интересных свойств и заслуживают самостоятельного изучения. Первый класс' рассматривали Б.М.Левитан, А.Я.Повзнер, И.А.Киприянов и М.И.Ключанцев, а второй - Бредает исследования настоящей диссертации, названных интегральными операторами Л- свертки.

Использование оператора <ь- свертки и методов для обычных невесовых пространств позволило определить новые весовые функциональные пространства типа Лебега-Бесова и Лизоркина-Трибеля.

Первое систематическое исследование весовых функциональных пространств с весом, равным некоторой степени расстояния точки до определенного многообразия, выполнил в середине 50-х -начале 60-х годов Л.Д.Кудрявцев, в связи с изучением эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Затем продолкенные в работах С.Б.Успенского, П.И.Лизоркина, В.И.Буренкова и др.

Тип выроздающихся уравнений, где вырождение происходит по нормали к границе, может носить достаточно общий (нестепенной) характер, рассмотрен в работах В.П.Глушко и его учеников. Весовая функция в этом случае получается более общего

вида, обладающее конечной гладкостью вплоть до многообразия "вырождения" и достаточно быстро обращающееся в нуль на этом

многообразии.

Изучение такого типа вырождающихся уравнений способствовало появлению функциональных простанств с не степенным весом рассматриваемых при р=2 в работах В.П.Глушко, М.И.Вшик, Х.Г.Леопольд и др. С помощью теории весовых обобщенных функций в полупространстве, введенных В.П.Глушко, удалось расширить и систематизировать эти простанства, построить для них теорию двойственности и теорию интерполяции.

При исследовании различных функциональных пространств важное значение приобретает проблема аппроксимации функций из со-ответветствукщего пространства (в норме последнего) при помощи последовательности достаточно гладких функций. Эту проблему для пространств Соболева рассматривали С.М.Никольский, В.П.Бурен-ков, Э.Гальярдо, В.И.Ильин и др., а в случае пространств Соболева со степенным этот вопрос изучали 0.В.Бесов, А.Куфнер, Д.Ф.Калиниченко, Т.С.Пиголкина и В.Р.Портнов.

Цель настоящей работы - исследование интегральных операторов, ядра которых порождены введенными операторами обобщенного и взвешенного сдвига; определение понятия "свертки" в весовых пространствах основных и обобщенных функций; расширение определения пространств Лебега-Бесова и Лизоркина-Трибеля с нестепенным весом =<*«•) и построение теории интерполяции; решение вопроса об аппроксимации функций для введенных пространств и пространств Соболева, заданных в полупространстве, гладкими функциями.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Схематически юс можно представить следующим образом.

1. Введены новые классы операторов обобщенного и взвешенного сдвига на пространствах функций одной независимой переменной, заданных на положительной полуоси числовой прямой. .

2. Рассмотрены интегральные операторы, ядра которых порождены введенными операторами, исследована их ограниченность и регулярность в лебеговых пространствах.

3. Введен оператор -свертки в весовых пространствах основных и обобщенных функций и установлена его связь с некоторыми непрерывными операциями в них.

4. Определены новые весовые пространства типа Лебега-Бесова и Лизоркина-Трибеля в полупространстве и доказаны для них интерполяционные теоремы.

5. Посредством а1- свертки построена .последовательность гладких функций, аппроксимирующая функции из весовых и невесовых пространств Соболева.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории вырождающихся уравнений,теории интегральных операторов и теории функциональных пространств.

Методы исследования. В работе использованы : теория обобщенных функций, теория операторов взвешенного и обобщенного сдвига, теория весовых и невесовых функциональных пространств, теория интегральных операторов.

Апробация работы. Все основные результаты обсуждались на семинарах по уравнениям в частных производных Воронежского госуниверситета (рук. проф. В.П.Глушко). Полученные в диссертации результаты докладывались на IX (Тернополь, 1384) и X (Новосибирск, 1985) школе по теории операторов в функциональных прос-

транс твах,- на семшаре по прикладному функциональному анализу Северо-Осетинского госувдверситега (рук. проф. А.Г.Кусраев).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Объем работы страниц машинописного тек-

ста. Библиография включает 73 наименований.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]

- а -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертационной работы вводятся семейства операторов обобщенного сдвига ^ , взвешенного сдвига (рМ,$>о) и интегральные операторы, ядра которых порождены этими операторами. Рассмотрим функцию «6ф<£ С(Р.*), которая удовлетворяет следующим условиям: ; при

(<1 - фиксированное положительное число), = о и ,

где функция ^(-1) построена по следующим образом

л 1

се = = 5 (1)<кт: (0,00) _> „о^ ^ .

Обозначим через 4 = Ч7^) функцию, обратную к , а через

С^р и Сг^.р (^) операторы, определенные на функциях и формулами

Положим =/.р ({*<) - пространства измеримых функций, суммируемых со степенью ре0,<*0 с стандартными нормами,которые будем обозначать символами Ц-(|£ и И-Пр соответственно, а через (о^) , ре0,<="=>Т! » весовое пространство Лебега с нормой И-$-й- £ )|р .

В 5 1 вводятся положительные функции и ) определяемые тождествами

*(*) , Ш)-^) (я «,$)) .

р

С помощью функций у и р> определяются семейство операторов и М^ , зависящих от ьбС0,00) как от параметра, на функциях

следующим образом

5 | > ПРИ Р = е*>>

Непосредственно из определения операторов М^ и имеем

ССДКкФс^ли. ССК^-еа.рШсг-^.

Наряду с введенными операторами в С ""(С) рассматривается оператор весового дифференцирования = ''(-ь) ( р&^.оо!,-?* р. ), который связан с оператором "обычного" дифференцирования равенством

С помощью операторов М^ л определяются семейства операторов взвешенного сдвига

Т^Ш = - 1 ^ 1+) -Л* <3Щ (Ч )

играющих в дальнейшем важную роль. Для операторов {Ч) имеем

С С -

Рассмотрим следующее семейство операторов взвешенного сдвига

для которых справедливы равенства

Основные результаты первого параграфа связаны с весовым дифференцированием операторов (2)-(5) и доказательству равенств вида

в случае, когда </, и £ гладкие функции. Устанавливается, что операторы (оо) являются линейными ограниченными операторами в ¿+ при щ-^ч , причем нормы их не превосходят единицы.

Во втором параграфе решается задача восстановления о.о.с. по инфинитезимальному оператору 1-го и 2-го порядка. В частности, доказывается, что функции = М а-И"4) и является решениями следующих краевых задач:

а функции СССч^^Т^-^) и (<^-£(/0 соответственно

I * ' I

В третьем параграфе рассматриваются интегральные операторы, ядра которых порождены введенными операторами (2)-(5), изучается ограниченность и регулярность в 1.р- пространствах. Оператор, представимый в виде '

ВД^-'Гт^М Кьиъ , (6)

где к-(ч),-(г>0у- фиксированная функция, будем называть интег-

ральным оператором свертки. Для оператора =6- свертки справедлива

Теореиа I. Имеют место следующие утверждения.

(а) Если функция 1ц & ) , то оператор оС - свертки является ограниченным в 1+ , причем

(б) Пусть - ограничен и к - неотрицательна.

Тогда она суммируема с весом и итгц.!/?-*»^II =

Как следствие теоремы 1 получаем: оператор оС- свертки регулярен в , тогда и только тогда, когда Ь е ¿Д {¿^ ). Оператор вида

о

называют оператором транспонированным к (6) и действует из I в (-р + = О . совпадает с сопряженным V* к оператору ^ и регулярен.

Вторая глава посвящена изучению весовых пространств основных и обобщенных (К*) функций и введению операции Ы.-свертки в них.

В четвертом параграфе рассматривается весовое пространство основных функций и непрерывные операции в нем.

От весовой функции ¿-иЩ , рассмотренной в первой главе, потребуем, чтобы она принадлежала и удовлетворяла усло-

виям:

и'<+>-Л«|< эее- Ом!;

Тогда функция сС (чЧтг)) принадлежит классу 9И .

Через будем обозначать весовое пространство основных

функций ^(тс.-ь) , для которых функция ^Гр^*.*)! принадлежит . Топология в ^СЮ вводится с помощью норм

«и«! - (<+1«»% 'г\ ^ЕГД^СЙ^М .

Б дальнейшем будем предполагать, что функция удовлетво-

ряет условию (г). Тогда операции умножения на функцию а1р(4) (р« С-«», со")) , весового дифференцирования р и "обычного" дифференцирования непрерывны в

Определим преобразования (Р^ ) на (С*) ( ) ра-

венством Р"1 ) Для любого ,

где прямое (обратное) преобразование Фурье, которое на-

зывают прямым (обратным) весовым преобразованием Фурье. Преобразование ) является линейным непрерывным отображением (на 5 [5-0 (ЯДЕ1)) и справедливы равенства

р

С помощью оператора взвешенного сдвига Та>г на пространстве ЯгГ^) вводится операция с1- свертки.

Определение I. сС- сверткой функций и

будем называть функцию

(•И* =

Пользуясь определением оператора получаем, что ос. -

свертка может быть записана в виде

Это равенство позволяет установить, что

и £ а^Ом ч") = -и« ■

В 5 5 дается определение весового пространства обобщенных функций а:), как множество линейных непрерывных функционалов над со слабой сходимостью. Значение функционала -^Я^ц) на основной функции цб^СБ^) будем записывать (^кУ , а для ^- (з^). Функционал % принадлежит тогда и только тогда, когда для любого ре[1,<») существует ^бВ'Сй*) такой, что (8. М-) для любого ^се^* (£.5) .

Операции , и Ъ по непрерывности продол-

жаются из Я/К) на ^(й^)- Вводится понятие ¿¿-свертки -^б^О^ и «¿^(Е.^), которую описывает

Теореуа 2. Если и ие^СК«*) , то есть

регулярная обобщенная функция из Й^С^) , значение которой при равны •

В третьей главе вводятся весовые пространства Лебега-Бесова и Лизоркина-Гриселя строится теория

интерполяции.

В « 6 дается определение пространств В^О^ и со-

держащие в качестве частных весовые пространства Соболева-Сло-бодецкого и Лебега .основными результатами это-

го параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть , ц<р<«*» и . Тогда

справедливы следующие утверждения.

(а) Функция 4е Бр^/е.^4) тогда и только тогда, когда ^рШёВр^Е^, причем справедливо равенство

- 14 -

(0) Для любой последовательности ^аТ^Т. £ Чг.

Норма (НИ ^ ^ эквивалентна норме НН^^-^,

Аналогичные результаты доказаны для весовых пространств

Теорема 4. (а) Пусть и . тогда

(б) Пусть , ч, 1> , 1<рС£~ и

для 3 = 0,-1,1,^ .Тогда

В 5 7 рассматривается интерполяция В^С^ ) ,

используя вещественные и комплексные интерполяционные функторы. Теорема 5. Пусть -«»»< к„Ь,< <>° , к-О-е^Лвк^

Ь-ё -и е 1 <-© . <2_

«р.,р,<<», и^ос, + ъ > т; ■

Тогда Имеют место утьег*;денй.я .

(а) Рели Ь,, то

(б) Если , << р < оо , то (в) (комплексный метод)

- 15 -

Теорема 6. Пусть -о-^Ь,«». о<£<<( . к.- з

Тогда

(а) Для Ыг, и р^

¿г, с^)

(б) (комплексный метод)

Теорема 7. (а) Пусть -<~<1г«*> и К()<к> . Тогда (б) Если

< оо а И , ТО

В конце параграфа вводится в рассмотрение пространство

н^ад - (^п п и V С а:1).

Это пространство банахово (как пересечение двух банаховых пространств) с нормой

Четвертая глава посвящена построению, с помощью .¿-свертки, для функций из Н^Сй^ и Н^С^) аппроксимирующей последовательности достаточно гладких функций.

В восьмом параграфе приводятся формулы производных высокого порядка для оператора взвешенного сдвига (-и-

гладкая функция) и их оценки.

гладкая функция) и их оценки.

В девятом параграфе вводится

Определение 2. Множество функций (*>+") при Ьо называется л-усреднением функции Яд , если С*>-И пред-

ставиш в виде = , где - Г^э!-,

С^ег/О = иЗ ( Г, 1-); СЗ^.Т^СГОМ , й^-о

при |тс|г+ 'С1 5- 1 ; ^ З'С-х.'Г) ^-х ^ ~ 1 ■

Приведем основную теорему этого параграфа

Теорема 8. (а) При для любой функции -4<? н р (ЭД

имеем К - -к II н (е*)-* 0 при о.

(б) Пусть ^с-НрС^О и С С?) , причем

Для ^=0,1, целое положительное число.

Тогда М'-ЬЦ^у-эо при Г-^-ю.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору В.П.Глушко за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бичегкуев М.С. Об одном подходе к построению весовых пространств Бесова /IX школа по теории операторов в функциональных пространствах.-Тернополь, 1984.-Тезисы докладов. С.12.

2. Бичегкуев М.С. Пространства О.В.Весова с весом и их свойства /Воронеж, ун-т. Деп. в ВИНИТИ 6.07.84, N4589-84 Деп. 27 с.

3. Бичегкуев М.С. Обобщенные функции на полуоси и об- свертка /Воронеж, ун-т., Деп. в ВИНИТИ, N5543-85 27 с.

4. Бичегкуев М.С. Об одном классе операторов обобщенного и

взвешенного сдвига на полуоси /Северо-Осетинский ун-т., Деп. в ВИНИТИ, 08.06.94, N1411-В94, 28 с.

5. Бичегкуев М.С. Интергальные операторы оС- свертки /Ред. Сиб. мат. журн., Деп в ВИНИТИ N2110-94, В94. 11 с.

6. Бичегкуев М.С., Глушко В.П. О свойствах пространств Соболева и Бесова с весом /Воронеж, ун-т., Деп. в ВИНИТИ, 29.07.84. N5542-85 Деп. 40 с.