Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Вахрамеева Анна Владимировна

УРАВНЕНИЕ СВЕРТКИ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ВЕСОМ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание у ченой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 2007

003056682

Работа выполнена на кафедре специальных глав математики Уфимского государственного авиационного технического университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

член-корреспондеэт РАН, профессор Напалков В.В., кандидат физико-математических наук, профессор Водопьянов В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Секерин А.Б., кандидат физико-математических наук, доденг Луценко В.И.

Ведущая организации: Нижегородский госуниверситет

Защита состоится «20» апреля 2007 года в 15 часов на заседапии диссертационного совета Д002.57.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450000, Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан «_» марта 2007 года.

* /'

Ученый секретарь диссертационного совета t /

канд.фю,- мат. наук ¡/J Попенов C.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Свойства операторов свертки в раз-летных пространствах аналитических функций исследовались многими отечественными и зарубежными математиками: достаточно привести в пример работы таких ученых, как Л. Эренпрайе, Б. Мальгранж, А.Ф. Леонтьев, И.Ф. Красичков-Терновский, Н.К. Никольский, Ю.Ф. Коробейник, А.М. Седлецкий, М.Г. Крейн, В.В. Напалков, A.C. Кривошеев, P.C. Юлмухаметов. Большой интерес к проблемам дашюй тематики обусловлен тем, что, с одной стороны, многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки, а с другой стороны - операторы свертки часто применяются при решении задач прикладного характера. При этом важную роль играет специфика рассматриваемых пространств аналитических функций, в частности, многие исследования приводят к необходимости конструктивного изучения пространства H(Ur) аналитических в открытом круге Ur радиуса г (с центром в начале координат комплексной плоскости) функций с топологией равномерной сходимости на внутренних компактах и пространства Н(17Г) функций, аналитических в замкнутом круге Ur радиуса г, - индуктивного предела при т —» +оо пространств H(Ur+Vm).

Благодаря наличию в пространствах H(Ur) естественного базиса Шаудера {z"} , любая задача для этих пространств может быть поставлена в терминах коэффициентов Тейлора — например, задача о представлении аналитических функций рядами экспонент, решением которой занимался А.Ф. Леонтьев, или вопрос эквивалентности дифференциальных операторов, изучавшийся K.M. Фишманом. Наличие базиса Шаудера в локально выпуклом пространстве гарантирует существование изоморфного ему пространства последовательностей, вследствие чего локально выпуклые пространства, классу которых принадлежат многие функциональные пространства, имеют естественное изоморфное представление в виде пространства последовательностей. Наиболее известным примером является гильбертово пространство функций 1), которое может быть представлено как пространство последовательностей

12. Менее тривиален пример пространства Бергмана Ap(U\) аналитиче-

(

ских в единичном круге Uj функций с нормой ¡¡/|| = j Jfl/O)^ dxdy

j

где 1 < p < изоморфного пространству lp. В дашюй работе показано, что пространство H(Ur) для г > 1 изоморфно проективном}' пределу Вг весовых гильбертовых пространств комплекснозначных последовательностей с неотрицательными индексами ¡1Л = {5 = {а,,}»Го; =

= jj- < +oo}, где 1 < ). < г, а пространство #((/,) - индуктивному

пределу пространств , где А > г.

Изоморфное представление пространств аналитических функций в виде пространств последовательностей делает актуальной задачу решения дискретного аналога уравнения свертки. Под руководством Напалкова В.В. изучением уравнения свертки для различных пространств последовательностей занимались Карпов A.B., Ким В.Э., Коган Г.А.

В данной диссертации исследуется дискретный аналог уравнения свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом, причем особую важность в ходе исследований приобрел вопрос о способе реализации таких пространств в виде пространств аналитических функций. В связи с этим возникла необходимость построения естественного изоморфизма между гильбертовыми пространствами последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весом и некоторыми функциональными пространствами. Специфика структуры гильбертова пространства, а также введение в весовых пространствах последовательностей преобразования Меллина (а не преобразования Фурье-Лапласа, как в вышеупомянутых работах), позволили получить требуемую изоморфную реализацию таких пространств в виде пространств функций, аналитических в круге и в кольце комплексной плоскости, а также в виде функциональных пространств типа Харди и Бергмана. Отдельная задача, решению которой посвящена глава 4 диссертации, состояла в определении на исследуемых пространствах последовательностей операции, обладающей всеми свойствами свертки, и изучении аналога уравнения свертки для такой операции.

Цель работы. Изучение дискретного аналога уравнения свертки в гильбертовых пространствах последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение естественной изоморфной реализации таких пространств последовательностей в виде пространств аналитических функций.

2. Определение на элементах пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами бинарной операции, обладающей всеми свойствами свертки, образ которой в изоморфных пространствах аналитических функций совпадал бы с произведением образов исходных последовательностей.

3. Исследование образов пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами относительно введенного оператора свертки.

Результаты, полученные лично автором, и им носим :лс на защиту:

1. Естественное изоморфное представление относительно преобразования Меллипа гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами, а также их индуктивного и проективного пределов в виде пространств функций, аналитических в открытом и замкнутом круге, в кольце, а также в комплексной плоскости без начала координат.

2. Определение на элементах гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами бинарной операции, обладающей всеми свойствами свертки, образ которой в изоморфных относительно преобразований Меллина пространствах аналитических функций совпадает с произведением образов исходных последовательностей; описание образов таких пространств последовательное! ей относительно введенного оператора свертки.

3. Необходимые и достаточные условия разрешимости и единственности решения дискретного аналога уравнения свертки в гильбертовых пространствах последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми:

• получено полное описание образов гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами относительно преобразования Меллина; показано, что преобразование Меллина реализует естественное изоморфное представление таких пространств последовательностей в виде пространств аналитических функций, причем в случае пространств последовательностей со степенным весом полученная изоморфная реализация изометрична;

® предложен способ введения в гильбертовых пространствах последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами бинарной операции, обладающей всеми свойствами классической свертки, образ которой в соответствующих изоморфных пространствах аналитических функций совпадает с произведением образов исходных последовательностей;

• найдено описание ядра и образа введенного оператора свертки в гильбертовых пространствах последовательностей со степешшм и логарифмически выпуклым весами, получены критерии разрешимости и единственности решения дискретного аналога уравнения свертки в данных пространствах'.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации подтверждается строгостью доказательств, тщательным анализом

литературы и периодических изданий соответствующей тематики, а также апробацией полученных результатов на научных конференциях и семинарах.

Методы исследования. Использованы методы теории уравнений свертки, теории аналитических функций и функционального анализа.

Научная и практическая цеппость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные п ней результаты применимы, в частности, к теории уравнений свертки, а также могут быть включены в содержание специальных курсов по теории пространств последовательностей, пространств аналитических функций и теории операторов свертки для студентов математических специальностей Казанского, Нижегородского, Саратовского и Ростовского государственных университетов, разрабатывающих проблемы данной тематики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором

• на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 2000 г.);

• на XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2001 г.);

• на международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003 г.);

• на международной школе-семинаре по геометрии и анализу-памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004 и 2006 гг.);

• на научных семинарах отдела теории функций Института математики с ВЦ УНЦ РАН и кафедры специальных глав математики УГАТУ.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 129 страницах машинописного текста и состоит из введения и четырех глав. Библиография работы содержит 63 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, изложены цели и задачи работы, перечислены научные положения, выно-

с-имые автором на защиту, описана структура раооты и приведено ее краткое содержание, а также список публикаций автора по теме диссертации.

Глава 1 содержит предварительные сведения; ней вводятся понятия и определения, а также приводятся или доказываются результаты, играющие вспомогательную роль при доказательстве основных Ноложе-1шй, содержащихся в последующих главах.

В пункте 1.1.1 параграфа 1.1 вводится (весовая) последовательность положительных чисел и» = {м>„} и рассматриваются банаховы пространства двусторошгих последовательностей где 1 <р < -Ьо, и с0(-й') с весом й>:

//»={* = {х.}^: ||*| //*-)!! = ( £(]х„ ?< ч™},

Ш) = {х = {х„};;.„: ||х|Ш')||= вирОх. |-И'„)<+сс}, с0(Я) = {X = {х„} : 1йп О X. I -и;) = 0}, II х| с„(и<)|| = ||х| « Й>)!|.

Далее под обозначением Х(м') понимается одно из пространств /Дй') гаи пространство с0(>7'), под обозначением X — соответствующее Х{уЬ) классическое банахово пространство 1р или с0.

Существование изометрического изоморфизма между пространством Х(>г) и X позволяет применить в пространстве Х(й) критерий относительной компактности для банаховых пространств с базисом.

Установлено условие вложения ЛЯ'), заключающееся в

принадлежности последовательности м>А = ■(—1 пространству

И'Х.

В заключение сформулирован и доказан критерий полной непрерывности вложения банаховых пространств последовательностей с весом: вложение J(w)cJ(v) вполне непрерывно тогда и только тогда, когда

последовательность = i — i принадлежит пространству cc(v).

KL-»

Содержание пункта 1.1.2 параграфа 1.1 посвящено теории индуктивного и проективного пределов локально выпуклых пространств.

Пусть {.¥,,, уеГ} - семейство локально выпуклых пространств, и для каждого уеГ иу - линейное отображение пространства Ху в векторное пространство X, причем объединение [Juf(X ) порождает А'. Тогда

те г

вX существует сильнейшая локально выпуклая топология г, при которой все отображения иу непрерывны. Пространство X, наделенное топологией г, называется индуктивным пределом пространств Ху относительно отображений иу.

В качестве отображений н, могут быть приняты то поло гич е с кие вложения ХуаХ. Индуктивный предел пространств Хр порожденный такими линейными отображениями, называется каноническим индуктивным пределом пространств Хг

Говорят, что последовательность {Х„нормированных пространств регулярна, если для каждого п выполнены следующие условия:

а) справедливо топологическое вложение X„<zX„+\, причем топология, индуцируемая на Хп из А'я+Ь мажорируется собственной топологией Х„,

б) единичный шар пространства Х„ относительно компактен в Х„,,, то есть вложениеХ„сХ„+1 вполне непрерывно.

Определение 1.1.3. LN*-npocmpancmeoM называется всякое локально выпуклое пространство X, представимое в виде канонического индуктивного предела регулярной последовательности нормированных пространств {Х„} .

Второй метод топологазации векторного пространства в некотором смысле двойственен методу образования индуктивного предела.

Пусть {Yr, ye Г} - семейство локально выпуклых пространств и для каждого уеГ и, есть линейное отображение векторного пространства Y в пространство У,,, причем пересечение Pjv~'(0) = {0}. Тогда в Y СуЩе-

re Г

ствует слабейшая соглас}аощаяся с алгебраической структурой топология и, в которой все отображения vr непрерывны. Пространство Y, наделенное топологией о, называется проективным пределом пространств Yy относительно отображений vr

Пространство Г = р|Гг, наделенное топологией проективного пре-

7EI'

дела относительно топологических вложений Yd Yp называется каноническим проективным пределом пространств Yr

Определение 1.1.5. М*-пространством называется всякое локально выпуклое пространство Y, представимое в виде (канонического) проективного предела «убывающей» последовательности нормированных пространств {}'„} где все вложения 7„+1сГ„ вполне непрерывны.

Основные свойства LN*- и А/ *- пр о стра нств заключены в следующих хорошо известных теоремах:

Теорема 1.1.2. ЬЫ*-пространстворефлексивно. Теорема 1.1.3. Если LN*-npocmpancmeo X - индуктивный предел последовательности пространств {Х„} , то сильно сопряженное к X пространство топологически изоморфно М*-пространству - проективному пределу последовательности пространств {Х'п} **.

Параграф 1.2 содержит описание некоторых свойств функции А {у) = sup {yt - h(t)}, сопряженной по Юту х выпуклой функции h(t),

в частности, леммы о поведении экспоненты exp{-2h(у)} для одномерного и многомерного случаев аргумента у.

В параграфе 1.3 изложены некоторые аспекты теории классических пространств Харди Нр - FFiD), где 1 < р < +оо, аналитических в выпуклой области D с границей 8D функций Дг), для которых конечна величина sup J| /(r£) I" i/ц, в том числе пространств Харди функций, аналитических в открытом круге Ur радиуса г и вне замкнутого круга Ur.

Так как пространство Харди Я2 = II2 (U\) с нормой ||Дг)|Яг|| = = 1 im | fire' Ii тг] 11 - гильбертово, то существует изоморфизм между

пространством Нг и пространством последовательностей 12, который описывается следующим образом: функция /(z) = принадлежит

tr=О

пространству Нг тогда и только тог да, когда последовательность ее коэффициентов Тейлора принадлежит пространству 12, то есть сходится

ряд 2>j\

ыо

Пространства Харди II2 (U„) и II2 (С\ Ь\ ) функций, аналитических в открытом круге Ua = {zeC:\z\<o} п вне замкнутого круга U а = {ze С: I z | 5 er} соответственно, определяются равенствами

Нг т = Ш g(z) -г)6 Н1},

Н\СЛ.) = №- 3 !im fiz) < -br., g(z) =/(-- )еЯ',g(0) = lim/z)}.

Критерии принадлежности функций пространствам Харди II2 (£/„) и II1 (С\IJа) (формулируются в терминах коэффициентов ряда Тейлора и Лорана этих функций соответственно. Так, аналитическая в открытом

круге Ua функция fiz) - принадлежит пространству II2 (ГУ,,) тогда

и только тогда, когда последовательность с = ic„}*Ic ее коэффициентов Тейлора лежит в пространстве I2(w) с весом w = {(f) Функция fiz) =

о

= £c„z", аналитическая во внешности замкнутого круга Üe, принадле-

rjs-«c

жит пространству II1 (С\ Üп) тогда и только тогда, когда последовательность с ~ {ся}°„„ коэффициентов ее ряда Лорана лежит в пространстве /2(v) с весом v = {с"}°=.«,.

Содержанке параграфа 1.4 посвящено гильбертовым пространствам Бергмана.

Напомним, что под классическим пространством Бергмана A2(D) понимается пространство функций из L2(D, ds) (здесь eis = dxdy - rdrdf -плоская мера Лебега на D), аналитических в области D комплексной

плоскости С. Так как Л2(0) - замкнутое подпространство пространства Ь2{Д Л), то оно является гильбертовым.

Рассматриваются частные случаи пространств Бергмана А2(Р) для областей О = и', и£) = С> V ^, где через и, - {ге С:\г\<а} обозначаются открытый, а через II, = {геС: \ г \ <а} - замкнутый круги радиуса ег. Пространства Л2(£/„) и А2(С\[/а) описываются в терминах коэффициентов рядов Тейлора и Лорана принадлежащих им функций. Так, аналитическая в круге и? функция У?/) = с, 2* лежит в пространстве Бершана

А2(и„) тогда и только тогда, когда для ее коэффициентов Тейлора ск схо-

+-|с |! •егг<*+1) -дится ряд У1——-----. Аналитическая вне круга II функция g(z) =

м к +1

+« £ __

= Т--- принадлежит пространству Бергмана Л2(С\ и,) тогда и только

тогда, когда ее коэффициенты Лорана ск удовлетворяют условию I с |г

^-----i—__ < +со. Таким образом, между пространствами Бергмана

¿=2 (А* — 1) • ст 1 '

,}2(£,У иА2(С\(1гт) и пространствами последовательностей /2(й') с весом

- [ Г" , - [ 1 Г

и> = < , и 12( V) с весом V = <--, - > соответственно ус-

танавливается естествешшй изоморфизм.

В главе 2 изучаются гильбертовы пространства последовательностей со степенным весом. Показывается, что преобразование Меллина, определенное на элементах таких пространств, осуществляет естественный изометрический изоморфизм между этими пространствами и пространствами Харди и Бергмана функций, аналитических в кольце комплексной плоскости. Кроме того, получена изоморфпая реализация пространств функций, аналитических в открытом и замкнутом кольце комплексной плоскости, в виде соответственно проективного и индуктивного пределов пространств последовательностей со степенным весом. Результаты распространены также на многомерный случай.

Для следующих частных случаев весовой последовательности к': 1

где а > 1 - фиксированное действительное число, - рассматриваются гильбертовы пространства комплекснозначных последовательностей

(V'2 4(vv)= {х = {х„;с.: p|/2(w)li= |.w,)lJ < + <*},

а также подпространства I*(w) = {х e/2(w): п < 0 х„ = 0} и Гг (w) = = {хe/2(w): п > 0 => х„ = 0} этих пространств.

Для элементов а = {«, KL, пространств 1г(wffJt), где к = 1, 2, 3, равенством

(2-1)

K=-w 0"

определено (взвешенное) преобразование Меллина. Получено полное описание образов пространств /г), А: = 1, 2, 3, а также их компонент /j ) и (M'„ t) относительно 1феобразова1Шя Меллина (2.1). Параграф 2.1 посвящен исследованию пространства

с

и описанию его образа относительно преобразования Меллина (2.1):

Теорема 2.1.1. Для того чтобы функция F(z) была аналитической

я

в кольце Ка = {zeC: Ш < | z j < а) и интегралы J| F{re"f) |2 dp

имели конечные пределы при г—> ст — 0 м г —» 1/ег + О для почти всех значений <ре[-ж; ж], необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина (2.1) некоторой последоеатёлыю-

+*» Q Z*

сти из пространства /2 (vi^,): F(z) ~ £ > я ~

В параграфе 2.2 рассматриваются подпространства пространства h^ci) ~ гильбертовы пространства односторонних последовательностей ¿z(wal) и 12 в частности, доказана их изоморфность относительно преобразования Меллина пространствам Харди II2 (U„) и Hl(C\UvJ соответствешю, где Щ(С\П,1а) = {/(г): НтДг) = 0, g(z) =

-J{-— )е#2, g(0) -- 0} - подпространство пространства H2(C\UU!r) cr-z

функции, принимающих нулевое значение в бесконечно удаленной точке комплексной плоскости С.

Конструкция такого естественного изоморфизма описывается теоремами 2.2.1 и 2.2.2:

Теорема 2.2.1. Функция F(z) принадлежит пространству Харди Л1 (U0) тогда и только тогда, когда F(z) является преобразова-

наем Мсллина (2.1) некоторой последовательности из пространства ,): Я*) - где Ъ = {Ь„} Г0 е № ,).

».о сг

Теорема 2.2.2. Функция Р{г) принадлежит пространству #0:(С\£/,/1г) тогда и только тогда, когда Ь\£) является преобразованием Меллгта (2.1) некоторой последовательности из про-

^ Ь —

странства /Дн^,): Я-г) , где Ь = {Ь„} ~ е /2"(Я,).

/>-17 • сг

Обобщением этих теорем является теорема 2.1.3 - критерий принадлежности функции образу пространства ^(н" ,) относительно преобразования Меллина (2.1), сформулированный в терминах пространств Харди:

Теорема 2.1.3. Для того чтобы функция Г(г) допускала (единственное) разложение = + /^.(г), где функции F+(г) и К(г) принадлежат пространствам Н1 {IIа) и #0:(С\С/1/1Т) соответственно, необходимо и достаточно, чтобы /"(г) являлась преобразованием Меллина (2.1) некоторой последовательности из про""" а 2*

странства 1г (й'„,): Лг) = X "¿Г. где а = {ап} е /,(и>„,).

Л——£Т

Таким образом, преобразование Меллина осуществляет естественное изоморфное отображение пространства ^(м^,) в прямую сумму пространств Харди Н2 (Ь'„) Ф Я 02 (С\£7„„).

В параграфе 2.3 рассматриваются семейства пространств 12 (й>а1) и индуктивный и проективный пределы таких семейств. В терминах преобразования Меллина описаны изоморфизм между индуктивным пределом семейства пространств /2('Я'<г1) и пространством Н(Ка) аналитических в замкнутом кольце комплексной плоскости функций с одной стороны, и между проективным пределом семейства пространств (й1^.) и пространством Н(Ка) аналитических в открытом кольце комплексной плоскости функций - с другой.

Для монотонно возрастающей последовательности действительных чисел {<5, У^. с(1; а), имеющей предел Нт 8к - а, определяется пространство А„ канонического индуктивного предела последовательности {/,(*,.,)}£, на элементы которого распространяется действие преобразования Меллина (2.1). Так как для любого натурального значения к выполняются вполне непрерывные топологические вложения /Дн^ ,) с:/2 (м^ ,), причем топология, индуцируемая на /20\,) из

/,(1^1), мажорируется собственной топологией 1г(м$ ,), то последовательность {/ДуТ^,)}^, регулярна. Следовательно, пространство А„ является £Лг*-пространством.

Пространство А„ изоморфно пространству //(Кп) функций, аналитических в замкнутом кольце комплексной плоскости С внешнего радиуса <х и внутреннего радиуса Мс, относительно преобразования Мел-лина:

Теорема 2.3.1. Для того чтобы функция F(z) была аналитической в замкнутом кольце Ка - {ze С: I/o- < | z | < <т}, необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина некоторой последовательности из пространства А„: F(z) = £ —, где

Для монотонно убывающей последовательности действительных чисел {¡5*} ™ , имеющей предел lim ök = а, вводится пространство В, канонического проективного предела последовательности пространств {/,(»,..,)>". Так как все топологические вложения i с вполне непрерывны и топология, индуцируемая на /2Д из 1гА, мажорируется собственной топологией в /, , то пространство В„ является М*-пространством.

Преобразование Меллина (2.1) реализует изоморфизм между пространством В, и пространством Н(К„) функций, аналитических в открытом кольце комплексной плоскости внешнего радиуса а и внутреннего радиуса 1/<т с центром в начале координат:

Теорема 2.3.2. Для того чтобы функция F(z) была аналитической в кольце К„= {z: I/o < | z ( < а}, необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина (2.1) некоторой последо-

вательности из пространства В„: F{z) = где Ъ =

В параграфе 2.4 данной главы исследуется пространство последовательностей = {а = {а„}7_. ||3| Ц^л)\\2 = <

а

<+ао}, и доказывается изоморфность относительно преобразования Меллина (2.1) его подпространств /,'2) и соответственно

пространствам типа Бергмана A"'(U„) и A^(C\Öiltr) функций, аналитических в круге U„ и вне замкнутого круга UWtr, определяемых равенствами

Г(г)еА2{иа)}, А <" (CSUVa ) = ): f(z) eA2{C\iJVa)}, .

где A2{Ua), A2(C\U:/a) - пространства Бергмана, определенные в пункте 1.4 главы 1.

Теорема 2.4.1. Функция принадлежит пространству Бергмана А™(и„) тогда и только тогда, когда Р(г) является преобразованием Меллина (2.1) некоторой последовательности из про-

Ь 2* —

странства /* (м^ г), то есть F(z) = , где Ь =

»=о (X *

Теорема 2.4.2. Функция Р(г) принадлежит пространству А^(С\иус) тогда и только тогда, когда Р(г) является преобразованием Меллина некоторой последовательности из пространства

Ь -

1~г (>£„,), то есть когда Р{г) = г&е Ь =

о-" • г"

Обобщежем этих результатов является следующая теорема: Теорема 2.4,3. Для того чтобы функция ^(г) допускала (единственное) разложение = + где функции Г+(г) и РАг) принадлежат пространствам А2'(£/„) и Л"'(СЛС/,,,) соответственно, необходимо и достаточно, чтобы 1'(г) являлась преобразованием Меллина некоторой последовательности из пространства /г(Я,): т = а = {«„} е /,«,)■ и

Таким образом, преобразование Меллина (2.1) реализует естественный изоморфизм между гильбертовым пространством последовательностей /2 (й 2) и прямой суммой пространств Бергмана

Наконец, из справедливости вполне непрерывных вложений /2(й'Д1) с /г(н'г 2) с /2(н'г1) при шобых значениях 1< 8 следует совпадение индуктивных пределов семейств пространств {1г(ъ>гг)} и то есть выполнение равенства Нт т<1 /2(и>,2) =А,. Те же

вложения влекут совпадение проективных пределов семейств {К )} и {1г (м-1л)} : Шпрг /, ) = Ва.

В параграфе 2.5 устанавливается существование изоморфизма относительно преобразования Меллина (2.1) между пространствами Бергмана А2(иа), А2{С\и1/с) и соответственно подпространствами 3), /2 ) гильбертова пространства последовательностей /2 (>?..,), определяемого равенством

- {й = ЦЙ|/2(^;)!!2= Е-17Г7ГТТК <

п--ж<Х * ( I П "Г 1)

Теорема 2.5.3. Дня того чтобы функция F(z) допускала (единст-

F (z)

еенное) разложение F(z) ----- F+(z) ~ FAz), где функции F+(z) и —:—

z

принадлежат пространствам и Ai(C\Uilc) соответствен-

но, необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Мглчина некоторой последовательности из пространства

t-^-где а ={0^6/,(*„,). „=-. ст"

Таким образом, теорема 2,5.3 содержит конструктивное описание изоморфизма относительно преобразования Меллина между пространством ,) и прямой суммой

Параграф 2.6 главы 2 содержит обобщение результатов параграфа 2.1 на многомерный случай.

Для т > 2 и фиксированного вектора а = (<7Ь ..., гг^елТ" с координатами > 1 для любого k = 1,..., т, равенством

№,>={3=

<т

где к = (?7ь ..., пт) - мультииндекс, | п | и сгм = oripe-

t

деляется гильбертово пространство /n-мерных двусторонних комплекс-нозначных последовательностей .

Преобразование Меллина элемента а = пространства IT,

имеет вид

+t0 a zn

(2-2)

гдсг"= г*'•...•г*' ■

Доказана справедливость следующей теоремы: Теорема 2.6.1. Для того чтобы функция F(г) £>ьи« аналитической в открытом поликольце К" = {z = (гь ...,г»)бГ: <

& = 1, ..., да} и интегралы )\F(re'i')f~ dep. где <р = (&ь ..., ip„) и

ге1' -- (г/'", ..., имели конечные пределы при

г = (гь ..., гя) —!► <ти г —► 1/ст = (1/(Ть ..., !/сги), необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина (2,2) р.еко-

a zп

торой последовательности из пространства /Г0: ^(z) = У] та

5 = {«,},£-. е С-

Следовательно, теория, построенная в параграфах 2.1-2.5 для гильбертовых пространств одномерных последоватен-ностей с Ессо™, успешно продолжается на многомерные аналоги таких пространств.

Обобщая результаты пунктов 2.1-2.5, заметим, что справедливость вполне непрерывных вложений A„cz 1г(~*'„г) с /,(м^,) с 1г(w^3) с:Д, влечет, в силу существования изоморфизмов относительно преобразования Меллина (2.2), выполнение аналогичных вложений для соответствующих пространств аналитических функций:

ЩКа) с А У (Lg ®А f (C\UVa) с Нг (<У„)© © Щ (CV/1/(f) с ®A2(C\Üv„)czH(K«y

Таким образом, в главе 2 получено описание пространств Харди II1 (Ua) и H](OXJVa), пространств Бергмана A2(LQ и A2{C\Üila),A^(Ua) и A^'{C\Ui;a), а также прямых сумм этих пространств H\U,)®H;(C\Uva), A2(UJ(BA2((M7„J и A^(Ua)®A^((AÜvJ в терминах коэффициентов ряда Тейлора в открытом круге и коэффициентов ряда Лорана в открытом кольце принадлежащих им аналитических функций.

Глава 3 посвящена исследованию гильбертова пространства последовательностей l2(h) с логарифмически выпуклым весом. Доказывается, что преобразование Меллина, введенное на элементах этого пространства, изоморфно отображает его в пространство Бергмана функций, аналитических вне начала координат комплексной плоскости, причем имеет место эквивалентность норм. Изучаются индуктивный и проективный пределы таких пространств последовательностей и дается полное описание их образов относительно преобразования Меллина. Показывается, что полученные результаты распространимы на многомерный случай.

Пусть А(0 - выпуклая на всей действительной оси R функция, удовлетворяющая условию lim = +оо. Гильбертово пространство

последовательностей h(h) = l2(w) с весом w = определяется

равенством

l2(h) = { а = {а„}, а„е С: |г e""w < +*>}.

Для элемента а пространства l2(h) введено преобразование Меллина

ад=Ц(з'о

показана корректность такого определения.

В параграфе 3.1 рассматривается (взвешенное) пространство Бергмана А2(СЛ{0}, dfi>,(z)) - A2(h) функций fiz), аналитических вне начала координат комплексной шюскости С, для которых конечна норма I! fiz)\ /l2(/i)i!2 = J|/(z)|l <//*,(*), где d^iz) = d/ih(re,f)' =

= (2~)~'ехр{-2/,• (Inг)} dh'(\nr) p. (Inг) и функция ph(x) > 0 однозначно определяется из условия и(х + д,(х)) - 2 к(х) + м(х) - р„(х)) = 1. Доказана изоморфность этого пространства пространству последовательностей i2(h) относигельно преобразования Меллина (3.1):

Теорема 3.1.1. Для того чтобы функция F(z) принадлежала пространству Бергмана А2ф) и удовлетворяла условию

я

J j Pire'*) \chp < С-ехр{2/г (In г)}, где С - постоянная, не завися-

-я

щая от г, необходимо и достаточно, чтобы F{z) являлась преобразованием Меллина некоторой последовательности из про-

+«> Q

стрстства l2(h): F(z) = где а= {а„} el2(h).

При этом справедливы неравенства:

e-2ISaii2(h)f <!iF(z)|a\k>\ï< МК)II2.

е -1

Для оператора Меллина Т, действующего по правилу Т[а\ ~

О „ 2

-2

M.(z), получена двусторонняя оценка на норму: е < || Г || <

Параграф 3.2 посвящен семействам пространств 12{И) и изучению индуктивного и проективного пределов таких семейств.

Через т(И) обозначается множество непрерывных минорант g(t) функции /;(/), удовлетворяющих условиям:

1. Нт-^-Ьс;

2. 11т [/г(0-£(/)] = *».

Пусть £ = {£*(/)} >"=1 - монотонно возрастающая последовательность выпуклых минорант £*(/) функции //(г), принадлежащих множеству т(И), при любых натуральных к удовлетворяющих условию 1шг - Як(()\ = +°о, имеющая предел пшрД!) = й(г). Показывается,

что индуктивный предел пространств /2(?), порожденный семейством и (/г), совпадает с индуктивным пределом пространств 12(£к), порожденным последовательностью §. Обозначим этот предел через Лк. Так как последовательность пространств {/2^)} ¡Г, регулярна, то пространство Л/, является /,Лг*-пространство.м.

Пусть теперь М(И) - множество непрерывных мажорант g(г) функции й(г), удовлетворяющих условиям:

1. 1ип^=+оо; И— |<|

2. - /.'(0] =

Для монотонно убывающей последовательности G = {&(/)} ^ выпуклых мажорант gk{t) функции h{t), лежащих в пространстве Мф), с пределом = k(f) показано совпадение проективного предела пространств

h(g), порожденного семейством MQi), с проективным пределом пространств h(gk), порожденным последовательностью G. Обозначим этот предел через В,,. В силу полной непрерывности всех вложений h(gk)^> k(gk+i) пространство Bh является А/*-пространством.

Для элементов пространств Лк и ßj, сохраняется определение преобразование Меллина (3.2).

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.2.1. Для того чтобы функция F(z) принадлежала проективному пределу lim pr A2(g) пространств Бергмана A2(g), порожденному семейством M(h), необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина (3.2) некоторой последо-

Q £П

вательности из пространства А^: F(z) = •

а =

Теорема 3.2.2. Для того чтобы функция F(z) принадлежала индуктивному пределу lim ind A'(g) пространств Бергмана A'(g),

g€W!(A)

порожденному семейством m(h), необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Мелиина (3.2) некоторой после-

Ь z"

дователъности из пространства В/,: F(z) ~ * где

Параграф 3.3 содержит обобщение результатов, полученных для пространства /2(/;), на многомерный случай.

Для натурального значения т >2 введем пространство т -мерных последовательностей (h):

i; (А) = {а = : Vi«..r<- <

где. «=(wi, ..., nm) - мультииндекс, h(n) = ^ht(nt) и h\(t), ..., hji) - набор выпуклых функций, определенных на всей действительной оси R,

г ■ , ,

таких, что Jim - — = -гао при к = 1,..., т.

\t|

Преобразование Меллина элемента а пространства /*(й) определяется равенством

Введем пространство Бергмана Л~(С*\{0}, ф/,(г)) ~А2'тф) функций /{¿), аналитических вне начала координат и-мерного комплексного пространства С, для которых конечна норма

Ш1 л2-»!!2 = {I № I1 с[ик (г) = (2пГ х

с" чо>

х I с/? /(ге:г) Г ехр{-2А(1пг)} р,(1пг)еГА'(1пг). Справедлива следующая теорема:

Теорема 3.3.1. Для того чтобы функция Р(г) принадлежала пространству Бергмана А2'т(И) и удовлетворяла условию ||-Р(7-е'®) |г с1<р <С ехр{2/((т г)}, где С - постоянная, не зависящая от г, необходимо и достаточно, чтобы Г(г) являлась преобразованием Меллина (3.2) некоторой последовательности из про-

странстеа Гг (А): Р(г) = ^ , где а = {а„} ~ _ € /2*" (А).

При этом выполняются неравенства: 2131 (А) II2 < ¡1^(2)! Л2'т(А)||2 < у~^ -1151 ¡1 (А) II2.

Таким образом, построен естественный изоморфизм относительно преобразования Меллина (3.2) между гильбертовым пространством последовательностей I" (А) и весовым пространством Бергмана функций из /с(СЛ{0}, с!и/,), аналитических в С"\{0}, где норма с1ик определена равенством dj.it, * ехр {-2А (1п г)}р~ (1п г)(1к' (1п г)с!<р.

В главе 4 для элементов гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами, изученных в главах 2 и 3, введена бинарная операция, обладающая всеми свойствами свертки, образ которой относительно преобразования Меллина (2.1) и (3.1) совпадает с произведением образов исходных последовательностей. Исследуется вопрос о разрешимости и единственности решения аналога уравнения свертки.

Параграф 4.1 посвящен определению операции свертки на элементах пространств А„, /2(Иа1г), где к = 1, 2, 3, и В,.

Пусть последовательности а их принадлежат каждая одному из пространств Аа, /Ди'^), где к ~ 1, 2, 3, или В„. Тогда члены последовательности у = {у„}а*х - свертки а их- определяются равенством

^ а т

v = У —(4 1) <£-! го«-»Н*И«!> ' ^ *

Показано, что так определенная свертка обладает всеми свойствами классической свертки. Более того, сужение свертки (4.1) на пространст-

ва ¡¡(у>с1) , где к = 1,2,3,-5* совпадает с каноническим определением свертки; если а е хеХ*ь где А'1', Т - любые (возможно, совпадающие между собой) из пространств А *, ¡*(м^,), где /с = 1, 2, 3, то для членов последовательности = {у„} ™0 = а*х справедливы равенства уя - ■

^ о

Преобразование Меллина (2.1) отображает свертку (4.1) в произведете: для последовательности у = а * х выполняется равенство

М,{2)=М-Х1УМ-х{2).

■■ Полненные в главе 2 результаты позволяют свести изучение решения в пространствах А„, /Д*,,), к = 1, 2, 3, В„ уравнения свертки а * х = у относительно неизвестной последовательности х к изучению решения в соответствующих, пространствах аналитических функций функционального уравнения

= 0(2), (4.2)

Относительно неизвестной функции АГ(г), где Р(г) = М-(г), = М-{¿) иХ(г) = А/,(2).

Верны следующие предложешм:

Предложение 4.2.1. Если функция Е(г)еН(Кс), функция Х(г)еА, где А - любое из пространств А1 ( Г/„) ® А П\, „ ), Н\иа)®Н1(С,и\,Л А2(и,)ФЛ2(С\иь,с), ЩКГ) или Н(Ка\ то функция 0(г) = Е(г)Х(г) принадлежит пространству А. Предложение 4.2.2. Если функция Р{г)еН(К0), функцня ¥(г)еА, где А - любое из пространств /^"'(СУ ФЛ^ЧСШ^Д Нг(иа)®Н20(ШЬс), А2(Щ®А2(СМ;,,„), ЩК.) или Н(Ка), то функция (}(г) = /'(.?)■ ЧЧг) принадлежит пространству//(А',). Через Л,.обозначено множество нулей (с учетом их кратности) функции Е(г) в открытом круге Ка внешнего радиуса а и внутреннего радиуса 1 !а с центром в начале координат. Основным результатом параграфа является теорема о единственности решения уравнения (4.2):

Теорема 4.2.1. Пусть функция (7(г) принадлежим пространству А, где А - любое из пространств А^(и^)®А^'{С\1]\1в),

Н\Щ®Н1(.аииа),А2т®А2(С\и\1а).

Тогда если функция Р(г)еН(Кс) не имеет нулей на границе кольца К\ (то есть при | г ( = а и | г | = Ма) и выполнено

вложение ЛЯ1„сЛ0„, уравнение (4.2) имеет единственное реме-

ниел(г)= —5— в пространстве А. ¿"(г)

В параграфе 4.2 исследуется дискретный аналог уравнения свертки для пространств последовательностей с логарифмически выпуклым весом Аи, h(k) и Bh.

Автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям Напалкову В.В. и Водопьянову В.В. за постановку задачи и многочисленные денные советы и замечания.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

!. Построена изоморфная реализация относительно преобразования Меллина гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами, а также их индуктивного и проективного пределов, в виде пространств функций, аналитических в открытом и замкнутом круге, в кольце, а также в комплексной плоскости без начала координат.

2. На элементах гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами определена бинарная операция, обладающая всеми свойствами свсртки, образ которой в изоморфных относительно преобразования Меллина пространствах аналитических функций совпадает с произведением образов исходных последовательностей.

3. Получено описание образов гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами относительно введенного оператора свертки, а также необходимые и достаточные условия разрешимости и единственности решения дискретного аналога уравнения свертки для случая таких пространств последовательностей.

Основные публикации по теме диссертации:

1. Зайцева A.B. Теорема типа Пэли-Винера для весовых пространств последовательностей И Уфа: Труды межд. коиф. «Комплексный анализ, дифф. уравнения и смежные вопросы». —4.1. Комплексный анализ. - 2000. - С. 54-58.

2. Напалков В.В., Зайцева A.B. Теорема Пэли-Винера для пространств последовательностей Н Докл. АН России. - 2000. - Т. 374, № 2. - С. 157-159.

3. Вахрамеева A.B. Теорема типа Пэли-Винера для весовых пространств последовательностей II Труды XXIII конф. молодых ученых мех.-матсм. фахультета МГУ. 9-14 апреля 2001г. Ч. 1. -М.: ЦПИ при мех.-матем. факультете МГУ, 2001. - С. 98-100.

4. Вахрамеева A.B. Описание пространства, сопряженного к индуктивному пределу гильбертовых пространств последовательно-

стей // Казань: М'ат-лы VI Казанской меж д. школы-конф., 27 ию-ня-4 июля 2003 г. - С. 46-47.

5. Вахрамеева A.B. Описание пространств преобразований Фурье-Лапласа элементов гильбертовых пространств последовательностей И Вестник УГАТУ. - 2003. - Т. 4, №2. - С. 168-170.

6. Вахрамеева A.B. Об операторе Метина в гильбертовых пространствах весовых последовательностей II Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н В.Ефимова. 5-11 сентября 2004 года. - Ростов-на-Дону, 2004. -С.88-89.

7. Вахрамеева A.B. Об изоморфизме лкжду пространствами Бергмана и гильбертовыми пространствами последовательностей с весом // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. 5-11 сентября 2006 года. - Ростов-на-Дону, 2006. - С. 111-113.

Отпечатано в ООО «Выбор» Лицензия ПД №01006 от 26.04.2001 Министерства Печати РФ Башкортостан, 450075, г. Уфа, пр. Октября, 129/3, тел. (347) 235-59-76. Бумага офсетная, формат 60x84/16. Отпечатано методом ризографии. Тираж 100 экз.

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

§ 1.1. Компактные вложения в пространствах последовательностей с весом. Индуктивный и проективный пределы локально выпуклых пространств.

1.1.1. Полная непрерывность вложений в пространствах последовательностей с весом.

1.1.2. Индуктивный и проективный пределы локально выпуклых пространств.

§ 1.2. Функция, сопряженная по Юнгу к выпуклой функции, и ее свойства

§ 1.3. Пространства Харди в круге и во внешности замкнутою круга.

§ 1.4. Пространства Бергмана в круге и во внешности замкнутою круга.

1.4.1. Пространство Бергмана ^(Ц,).

1.4.2. Пространство Бергмана А2(С\иа).

Глава 2. Гильбертовы пространства последовательностей со степенным весом и их изоморфнос1ь пространствам Харди и Бергмана.

§ 2.1. Преобразование Меллина элементов пространства последовательностей /2(и^,).

§2.2. Преобразование Меллина в пространстве связь с классами Харди.

2.2.1. Пространство /

2.2.2. Пространство /2"(й'(Т,).

§ 2.3. Индуктивный и проективный пределы последовательности пространств /2(Я,).

2.3.1. Пространство^.

2.3.2. Пространство Ва.

§ 2.4. Преобразование Меллина в пространстве ^2(^,2): связь с классами функций с производными из пространств Бергмана.

2.4.1. Пространство 1Ц\&а2).

2.4.2. Пространство /2 (й^ 2).

§ 2.5. Преобразование Меллина в пространстве ^(^т.з) • связь с пространствами Бергмана.

2.5.1. Пространство 3).

2.5.2. Пространство 1~г{йа3).

§ 2.6. Описание преобразования Меллина элементов многомерною пространства последовательностей /"(и^,).

Глава 3. Гильбертово пространство последовательностей 1г(И) с логарифмически выпуклым весом.

§ 3.1. Преобразование Меллина элементов пространства ^(/г): связь с пространством Бергмана функций, аналитических в С\{0}.

§ 3.2. Индуктивный и проективный пределы последовательности пространств /г(//).

3.2.1. Пространство А/,.

3.2.2. Пространство В/,.

3.2.3. Преобразование Меллина элементов пространств А¡, и

§ 3.3. Преобразование Меллина элементов многомерною аналог пространства ¡2(И).

Глава 4. Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом.

§4.1. Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей со степенным весом.

§ 4.2. Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с логарифмически выпуклым весом.

Классический подход к решению уравнения свертки в пространствах аналитических функций (см., в частности, [6]) или его дискретною аналога (см., например, [50]) - в пространствах последовательностей состоит в применении к обеим частям этого уравнения непрерывного либо, соответственно, дискретного преобразования Фурье (Фурье-Лапласа), переводящего свертку оригиналов в произведение изображений, что позволяет свести исходную задачу к задаче факторизации функций в некотором функциональном пространстве. Как следствие, возникает вопрос об описании замкнутых идеалов в различных пространствах (аналитических) функций. Свойства операторов свертки, а также близкие к ним проблемы факторизации и описания замкнутых идеалов в различных функциональных пространствах исследовались многими отечественными и зарубежными математиками: достаточно привести в пример работы ia-ких ученых, как JI. Эренпрайс [59], Б. Мальгранж [62], И.Ф. Красичков-Терновский ([20]-[22]), А.Ф. Леонтьев [28], Ю.Ф. Коробейник [19], Н.К. Никольский ([38],[39]), А.М. Седлецкий [45], М.Г. Крейн [23], В.В. Напалков [34], Н.А.Широков ([54]-[56], [63]), A.C. Кривошеев [24], P.C. Юлмухаметов [57]. Тесная связь между оператором сдвига, с помощью которого часто определяется свертка, и оператором дифференцирования породила также интерес к исследованиям так называемых D-операторов (из современных работ см., например, [9]). Большое внимание к проблемам данной тематики обусловлено тем, что, с одной стороны, многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки, а с другой стороны - операторы свертки часто применяются при решении задач прикладного характера. При этом важную роль играет специфика рассматриваемых пространств аналитических функций, в частности, многие исследования приводят к необходимости конструктивного изучения пространства II(Ur) аналитических в открытом круге Ur радиуса г (с центром в начале координат комплексной плоскости) функций с топологией равномерной сходимости на внутренних компактах и пространства Н(17,) функций, аналитических в замкнутом круге Пг радиуса г, - индуктивною предела при т —* +со пространств Я(С/гт]/т).

Благодаря наличию в пространствах H(Ur) естественного базиса Шаудера {zn}l\, любая задача для этих пространств может быть поставлена в терминах коэффициентов Тейлора - например, задача о представлении аналитических функций рядами экспонент, решением которой занимался А.Ф. Леонтьев [27], или вопрос эквивалентности дифференциальных операторов, изучавшийся K.M. Фишманом [48]. Наличие базиса Шаудера в локально выпуклом пространстве гарантирует существование изоморфного ему пространства последовательностей, вследствие чего локально выпуклые пространства, классу которых принадлежат многие функциональные пространства, имеют естественное изоморфное представление в виде пространства последовательностей. Наиболее известным примером является гильбертово пространство функций L2(0;1), которое может быть представлено как пространство последовательностей /2. Менее тривиален пример пространства Бергмана AP(U\) аналитических в единичном круге U\ функций с нормой f{z)\p dxdy z <1

Up где 1 < p < +co, изоморфного пространству 1Р. В данной работе показано, что пространство Н(иг) для г > 1 изоморфно проективному пределу Вг весовых гильбертовых пространств комплекснозначных последовательностей с неотрицательными индек

I С1 Р сами /;я = {а = {а„} ||а|/2д ||2 = < +оо}, где 1 < А < г, а пространсгво п-0 Л

У,) - индуктивному пределу пространств /2 А, где А > г.

Изоморфное представление пространств аналитических функций в виде пространств последовательностей делает актуальной задачу решения дискретною аналога уравнения свертки. Под руководством Напалкова В.В. изучением уравнения свертки для различных пространств последовательностей занимались Карпов A.B. (см. [12]), Ким В.Э. (см. [13],[36]), Коган (Сапронова) Г.А. (см. [15],[37]), Шагапов И.А. ([52]).

В данной диссертации исследуется дискретный аналог уравнения свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом, причем особую важность в ходе исследований приобрел вопрос о способе реализации таких пространств в виде пространств аналитических функций. В связи с этим возникла необходимость построения естественного изоморфизма между гильбертовыми пространствами последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весом и некоторыми функциональными пространствами. Специфика структуры гильбертова пространства, а также введение в весовых пространствах последовательностей преобразования Меллина (а не преобразования Фурье-Лапласа, как в вышеупомянутых работах), позволили получить требуемую изоморфную реализацию таких пространств в виде пространств функций, аналитических в круге и в кольце комплексной плоскости, а также в виде функциональных пространств типа Харди и Бергмана. Отдельная задача, решению которой посвящена глава 4 диссертации, состояла в определении на исследуемых пространствах последовательностей операции, обладающей всеми свойствами свертки, и изучении аналога уравнения свертки для такой операции.

В работе получены следующие основные результаты:

• построена естественная изоморфная реализация относительно преобразования Меллина гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами, а также их индуктивного и проективного пределов, в виде пространств функций, аналитических в открытом и замкнутом круге, в кольце, а также в комплексной плоскости без начала координат;

• на элементах гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами определена бинарная операция, обладающая всеми свойствами свертки, образ которой в изоморфных относительно преобразования Меллина пространствах аналитических функций совпадает с произведением образов исходных последовательностей; • получено описание образов гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами относительно введенного оператора свертки, а также необходимые и достаточные условия разрешимости и единственности решения дискретного аналога уравнения свертки для случая таких пространств последовательностей.

Структура диссертации

Работа состоит из введения и 4 глав.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, изложены цели и задачи работы, перечислены научные положения, выносимые автором на защиту, описана структура работы и приведены ее краткое содержание, а также список публикаций автора по теме диссертации.

1. Вахрамеева A.B. Об операторе Меллина в гильбертовых пространствах весовых последовательностей II Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. 5-11 сентября 2004 года. Ростов-на-Дону, 2004. -С.88-89.

2. Вахрамеева A.B. Описание пространств преобразований Фурье-Лапласа элементов гильбертовых пространств последовательностей II Вестник УГАТУ. 2003. - Т. 4, №2. - С. 168-170.

3. Вахрамеева A.B. Описание пространства, сопряэ/сенного к индуктивному пределу гильбертовых пространств последовательностей II Казань: Мат-лы VI Казанской межд. школы-конф., 27 июня-4 июля 2003.-С. 46-47.

4. Вахрамеева A.B. Теорема типа Пэли-Винера для весовых пространств последовательностей II Труды XXIII конф. молодых ученых мех.-матем. факультета МГУ. 9-14 апреля 2001г. 4.1. М.: ЦПИ при мех.-матем. факультете МГУ, 2001. - С. 98-100.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. - 512 с.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. -470 с.

7. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Изд. иностр. литер., 1963.-312 с.

8. Карпов A.B. Уравнения свертки в пространствах числовых посчедо-вательностей. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа,2001.-99 с.

9. З.Ким В.Э. О некоторых свойствах решений дискретных уравнений свертки. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2005. -85 с.Н.Кириллов A.A., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционачьного анализа. М.: Наука, 1979. - 382 с.

10. Коган Г.А. Экспоненциальные ряды в весовых пространствах посче-довательностей. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2003.- 141 с.

11. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука, 1972. - 496 с.

12. Кондаков В.П. Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их допочняемых подпространствах II Сибирский мат. журнал. 2001. - Т.42, № 6. - С. 1300-1313.

13. Коренблюм Б. Инвариантные подпространства оператора сдвига во взвешенном гильбертовом пространстве II Матем. сборник. -1972. -Т.89, №1. С. 110-137.

14. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах Изд. Ростовского ун-та, 1983. - 156 с.

15. Красичков И.Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. Алгебры минимального типа II Сибирский мат. журнал . 1968. - Т. IX, № 1. - С. 77-96.

16. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства пространств аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях П Матем. сборник. 1972. - Т.88, № 1. - С. 3-30.

17. Красичков-Терновский И.Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях // ДАН СССР. 1971. - Т. 197, № 1. - С. 29-30.

18. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов II Успехи мат. наук. 1958. - Т.ХШ, вып.5(83). - С. 3-120.

19. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки // Успехи матем. наук, 1992. Т. 57, вып.6(288). - С. 3-58.

20. Кусис П. Введение в теорию пространств № (с приложением доказательства Волффа теоремы о короне). М.: Мир, 1984. - 366 с.

21. Левин Б .Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.-632 с.

22. Леонтьев А.Ф. О представлении аналитических в открытом круге функций рядами Дирихле II Мат. заметки. 1968. - Т.З, вып.2. — С.113-124.

23. Леонтьев А.Ф. О свойствах последовательностей починомов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси // Изв. АН СССР. Сер. Ма-тем. Т. 29. - 1965. - С.269-328.

24. Луценко В.И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 1992. -79 с.

25. Луценко В.И., Юлмухаметов P.C. Обобщение теоремы Пэчи-Винера на весовые пространства II Мат. заметки. 1990. - Т.48, вып.5. - С. 80-87.ЗКЛюстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа -М.: 1965 -520 с.

26. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. -М.: Наука, 1966.-388 с.

27. Митягин Б.С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах.!I Успехи матем. наук. 1961. - Т.XVI, вып. 4. - С. 63-132.

28. Напалков В.В. О базисе в пространстве решений уравнения свертки II Мат. заметки. 1988. - Т.43, вып.1. — С.44-55.

29. Напалков В.В., Зайцева A.B. Теорема Пэли-Винера дчя пространств последовательностей. II Докл. АН России. 2000. - Т. 374, № 2. - С. 157-159.

30. Напалков В.В., Ким В.Э. Изоморфизм между пространствами решений уравнений свертки И ДАН. 2004. - Т. 394, № 1. - С. 12-21.

31. Никольский H.K. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах цешх функций II Сибирский мат. журнал. 1968. - Т. IX, № 1. - С. 211-215.

32. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа.// Труды матем. инст-та им. В.А. Стеклова Т. СХХ. - Изд. «Наука», Ленингр. отд., 1974. - 272 с.

33. Платонов С.С. Об одной теореме Пэли-Винера-Ахиезера II Тр. Петрозаводского гос. университета. Серия «Математика». - 1998. -Вып. 5.-С. 131-139.

34. Пустыльник Е.И. Квазивогнутые функции.!I Деп. ВИНИТИ, рег.№ 1202-79 (1979 г.)-33 с.

35. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.-258 с.

36. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ М.: Мир, 1973. - 470 с.

37. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально-выпуктх пространств, важных в приложениях.// В сб. «Математика», 1957. -Т. 1, № 1.-С. 60-77.

38. Седлецкий A.M. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на вещественной оси/1 Успехи матем. наук. 1982. - Т. 37, вып. 5.-С. 51-95.

39. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1964. - 440 с.

40. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х тт.)-М.: Наука, 1970.

41. Фишман K.M. К вопросу об эквивалентности дифференциальных операторов в пространстве аналитических функций в круге // Успехи матем. наук, 1964.-T.XIX, вып.5(119). С. 143-147.

42. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах М.: Мир, 1970. -352 с.

43. Чеботарев Г.Н. Уравнения Винера-Хопфа Казань: Изд-во КГУ, 1974.- 104 с.

44. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1985. - 571 с.

45. Шагапов И.А. Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 1999. - 91 с.

46. Шведенко C.B. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге, шаре.// В сб. «Итоги науки и техники», сер. «Математический анализ», т.23. М., 1985.-С. 3-124.

47. Широков H.A. Деление на внутреннюю функцию не меняет класса гладкости И Докл. АН СССР. 1983. - Т. 268, № 4. -С. 821-823

48. Широков H.A. Замкнутые идеалы алгебр типа B"pq II Изв. АН СССР,сер. математическая. 1982. - Т.46, № 6. - С. 1316-1332.

49. Широков H.A. Идеалы и факторизация в алгебрах аналитических функций, гладких вплоть до границы II Труды матем. инст-та им. В.А. Стеклова Т. СХХХ. «Спектральная теория функций и операторов». -Изд. «Наука», Ленингр. отд., 1978. - С. 196-222.

50. Юлмухаметов P.C. Однородные уравнения свертки // ДАН СССР. -1991. Т. 316, № 2. - С. 312-315.

51. Юлмухаметов P.C. Преобразование Лапласа в весовых гильбертовых пространствах // Тезисы докл. Всесоюзной школы-конф. «Современные проблемы теории функций» (15-25.05.1989г.). Баку, 1989. -С. 109-110.

52. Ehrenpreis L. Mean periodic functions II Amer. J. Math., 1955 V. 77, № 2. - P. 293-326.

53. Hedenmalm H., Korenblum В., Zhu К. Theory of Bergman Spaces. -Springer-Verlag New-York, 2000. 286 p.l.Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1977.

54. Malgrange B. Existence et approximation de solutions aux des equations derivees partielles et des equations de convolution II Ann. Inst. Fourier, 1955-56. -V.6.- P. 271-355.

55. Shirokov N.A. Division and Multiplication by Inner Functions in Spaces of Analytic Functions Smooth up to the Boundary II Lect. Notes Math. -1981.-№ 864.-P. 413-439.