Гармонический анализ и двойственность для операторов обобщенного сдвига тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

О Я 'Л

Академия на;/к Украинской ССР Ордена рудового Краоного Знамени Институт математики

На правах рукописи

ВАЙНЕРШЛ Леонид Иосифович

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ОБОБЩЕННОГО СДВИГА

01.01,01 - математический аналив

Автореферат диссертации на соискание ученой степенм доктора физико-математических наук

Киев 1991

Бабота выполнена в Киевском государственном университете им. Т.Г.Шевченко.

Официальные оппоненты: академик Л}] УССР, доктор физико-

математических наук БЕЕЕ34НСКИЙ Ю.М.,

доктор физико-математических паук профессор ЛЕВИТАН Б.М.,

доктор физико-математических наук профессор ЫЕР11ИК A.M.

Ведущая организация: Ленинградское отделение Математич

ского института им.В.А.Стсклова All СССР.

Защита диссертации состоится " 199,2

в часов на заседании специализированного совета Д 016.50.01 при Институте математики All УССР но адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул. Решша, 3.

С диссертацией могло ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан ¿i ■ 199^ г.

Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАК Д.В.

Актуальность теш. Исследование операторов обобщенного сдвига (о.о.с.) было начато в работах М.Дельсарта (1933) и В.М.Левитана (1945). С тех пор теория о.о.с. превратилась в обширную область исследований, привлекающую внимание многих математиков. Одной из основных задач этой теории является изучение представлений, гармонического анализа и теории двойственности для о.о.с.

В серии заметок 1945 года Б.Н.Левитан для определенного класса коммутативных о.о.с. получил ряд результатов гармонического анализа и теории двойственности, а затем применил эти результаты к спектральной теории дифференциальных операторов. Теория унитарных представлений о.o.e. в компактном случае изложена в монографиях Б. 1.1.Левитана (1962, 1973). Приложениям теории о.о.с. к дифференциальным операторам посвящены статьи А.Я.Повзнера, В.Л.Марченко, Ю.М.Березанского, М.Г.Крейна, Д.И.Гу ревича, В.Хатсона, Дж.Иима, Н.Лебланка и др.

Развивая исследования М.Дельсарта и Б.М.Левитана, Ю.М.Бере-занский и С.Г.Крейн (1950) ввели понятие гиперкомилексной системы (г.с.) с континуальным базисом. Она представляет собой коммутативную банахову алгебру i1CQ,ftt) (где Q - локально компактное топологические пространство - базис г.е., т. - положительная регулярная пера на Q ), операцией в которой является обобщенная свертка. При этом свертка положительных функций предполагается положительной. Для случаев компактного и дискретного базисов в 50-е годы были построены гармонический анализ, теория почти периодических функций и рассмотрены приложения к ортогональным многочленам, к задаче Штурма-Лиувилля на полуоси и к центральным функциям на компактной группе. Общий случай г.с. с локально компактным базисом изучен уже в 00-е годы Ю.Н.Берозанским и А.А.Калюжным.

Близкие к г.с. объекты - гипергруппы - введены Ч.Данклом (1973), Р.Дхуэтом (1975), Р.Спектором (1975) и изучались в дальнейшем целым рядом математиков - см. обзоры К.А.Росса (1977), Г.Л.Литвинова U9üü) и Л.И.Ваннермана (I9ü6). Техника о.о.е., порожденных коммутационными соотношениями, применялась М.В.Ка-1.а::.?пнм и О.НЛасловым (1У79, I'Jüö) для решения задач математи-

ческой физики. Применению гармонического анализа о.о.с. к теории распознающих систем посвящен обзор Л.И.Вайнермана (1986).

Рассмотрим проблему распространения принципа двойственности для коммутативных локально компактных групп на, вообще говоря, некоммутативные о.о.с. Поскольку двойственный объект к г.с.(коммутативной гипергруппе) не является, вообще говоря, г.с. (коммутативной гипергруппой), возникает задача выделить класс коммутативных о.о.е., охватывающий г.с. и гипергруппк и инвариантный относительно двойственности. Для некоммутативных компактных групп теорема двойственности доказана Т.Таннакой (1936) и М.Г. Крейном (1949); ее обобщения принадлежат В.Стайнспрингу (1959), Н.Татсууме (1965), М.Такесаки (1971). Наиболее полное и симметричное по форме решение указанной проблемы для унимодуоярных групп дал Г.И.Кац (1961). Он построил категорию так называемых кольцевых групп (в современной терминологии унимодулярних алгебр Каца), в которую вкладывается категория унимодулярних групп и в которой имеется естественный функтор двойственности. В случае коммутативных групп эта двойственность сводится к двойственности Л.С.Понтрягина.

Теория алгебр Каца развивалась в работах самого Г.И. Каца, а также В.Г.Налюткина, Л.И.Вайнермана, Э. Кирхберга, М.Энока, Ж.-М.Шварца, К. де Канье, В.Иорио, Дж.Валлина. Объекты типа алгебр Каца для негрупповых некоммутативных о.о.с. изучались А.М.Вершиком (1972), С.В.Керовым (1974) и Э.Кирхбергом (1977). Как показал В.Г.Дринфельд (1986), близкие к алгебрам Каца объекты (квантовые группы) находят применение в квантовом методе обратной задачи интегрирования нелинейных уравнений - см. Е.К. Склянин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фадеев (1979). Применения теории двойственности для некоммутативных групп в квантовой теории поля содержатся в. работах С.Доплихера и Дж.Робертса (I9B4).

Несмотря на наличие множества работ по гармоническому анализу и двойственности для различных классов о.о.е., полученные в них результаты не охватывают ряда интересных примеров, важных для математической физики (оператор Шредингера, система Дирака с потенциалом общего вида). Поэтому представляется актуальным изучение представлений, гармонического анализа и двойственности для достаточно широкого класса о.о.е., охватывающего указанные примеры и ранее рассмотренные классы о.o.e.

Научные результаты, выносимые на защиту, и их новизна. Всо результаты, изложенные в диссертации, являются новыми.

1. Установлен принцип двойственности для локально компактных топологических групп. Он опирается на построенную в диссертации теорию неунимодулярных алгебр ]Саца. Показано, что его следствием является теорема двойственности Т.Таннаки-М.Г.Крейна-В.Стайнспринга-Н.Татсуумы.

2. Даны определения вещественных г.с. с компактным и дискретным базисом. Показано, что на эти объекты можно распространить основные факты гармонического анализа на компактных и дискретных группах (теория Петера-Вейля, формулы Планшереля и обращения для преобразования Фурье, теорема Бохнера), а также принцип двойственности.

3. Доказана теорема двойственности для конечных г.с. Для этого развита теория г.с. Каца, включающая утверждение о существовании и единственности меры Планшереля и утверждения о свойствах представлений. Принцип двойственности для г.с. с'локально Компактным базисом получен с помощью квантованных г.с.

4. Сформулирована аксиоматика неограниченных о.о.с. в гильбертовом пространстве вектор-функций. Для преобразования Фурье По их фактор-представлениям установлены формула Планшереля и формула обращения. Даны приложения к спектральной теории дифференциальных и разностных операторов.

Теоретическая значимость. В диссертации разработаны новые метода, основанные на теории гильбертовых биалгебр, позволяющие Изучать представления, гармонический анализ и двойственность для «шрокого класса операторов обобщенного сдвига.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на международном симпозиуме по теории информации (Ташкент, 1984), на всесоюзных конференциях и школах по функциональному анализу в гг. Новосибирск (1977), Ульяновск (19а0), Иркутск (1982), Донецк (1983), Воронеж (1932, 1983,1964, 1935, 1937, 1903), Челябинск (1986), Тамбов (1937), Куйбышев (19П8), на семинарах в Московском государственном университете, Леьинградском отделении Математического института АН СССР, Казанском государственном университете, Ташкентском государственном университете, Институте математики АН УССР, Доме научно-технической пропаганды общества "Знание" УССР.

Основное содержание работы опубликовано в [I - 20].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и содержит 300 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИИ РАБОТЫ

В главе I (§§ 1.1. - 1.4) построена теория двойственности для локально компактных, вообще говоря, некмадугативных топологических групп. Для этого построен и изучен класс неунимодуляр-ных алгебр Каца.

В § 1.1., имеющем вспомогательный характер, приведены без доказательств используемые в работе известные из литературы сведения из теории алгебр фон Неймана (1д/- алгебр), теории весов на таких алгебрах и связанной с ней теории модулярных гильбертовых алгебр Томита-Такесаки. Оригинальные утверждения (леммы 1.1.1 - 1.1.4) даны с доказательствами.

В § 1.2. дано определение неунимодулярной алгебры Каца.Если IV - алгебра ОС снабжена б -слабо непрерывным мономорфизмом Ф: ОС ООЗОС > определяющим на ОС коассоцнативное коумно-жение (т.е. (¿сА.<8ф)сР =(<:Р<2>Сс{)сР > гДе ~ тождественное отображение), причем <Р(1)=.1®[ (/- единица в ОС ), то говорят, что ОС снабжена структурой алгебры Хопфа-фон Неймана. Алгебра Хопфа-фон Неймана называется коинволютивной, если задано анпшинейное отображение +: 01 —»- ОС (коинволюция), удовлетворяющее условиям: ^^ (А+)%А,СА+)*=(А*)+,{АЗ)+-А+В+ <РГА+)= <Р(А)+®+, где А3В е Ос - инволюция в ОС&>ОС-~ОС&>ОС - линейное отображение, обладающее свойством А(8>В » + ® + - тензорное произведение отображения + на себя.

Алгебру Хопфа-фон Неймана назовем коммутативной, если коммутативна ее V"-алгебра, и симметричной, если ф = (р .На преддвойственном пространстве ОС^ к V/ -алгебре ОС отображения ф и + по сопряженности задают структуру инволютивной банаховой алгебры относительно свертки и инволюциио<_^ ОС*.) :

<<Р(А),*®р> =<А}о<*^>, <А+,*> = <А,о<т> где А € ОС , -с* } •> - двойственность между ОС и ССц. . Эта алгебра коммутативна тогда и только тогда, когда исходная алгебра Хопфа-фон Неймана симметрична.

b

Точный нормальный полуконечный вес (след)JLL на коинволю-тивной алгебре Хопфа-фон Неймана называется левым весом (следом) Хаара, если для любого положительного

AeQí "

(U®JÍ)[(I®A*) VfB)] - [(U®jiL)(CP(A*)(I®B))] +*

для А, Бе /¿^ = {ceOí ljU(C*C)-< <*=>} . Набор задает, по определению, неунимодулярную алгебру Каца, если

{OC^j+J- - коинволютивная алгебра Хопфа-фон Неймана, a -левый вес Хаара на этой алгебре. Алгебра Каца называется коммутативной (симметричной), если коммутативна (симметрична) соответствующая алгебра Хопфа-фон Неймана. Естественным образом определяется изоморфизм алгебр Каца. Ж.-М.Шварц (1980) показал, что любые два веса Хаара на коинволютивной алгебре Хопфа-фон Неймана пропорциональны друг другу. Приведем примеры алгебр Каца, связанных с локально компактной группой & .

Пример I. QC -коммутативная Ц/* -алгебра операторов умножения на функции из loo (G,jx) (JU- - левая мера Хаара на Q ) с обычными операциями поточечного умножения и комплексного сопряжения функций. ОС действует в L2(G*, /и.) • Зададим отображения 9-': +-. , где /Л ) £ 6 L & • сопряженности эти отображения задают на предцвойстеенном пространстве 0¿+-Li((p}jи,) структуру ин-волютивной банаховой алгебры, совпадающую с обычной структурой групповой алгебры (она коммутативна тогда и только тогда, когда коммутативна группа G> ) ■ Исли той же буквой jll обозначить след на ÜL , задаваемый интегралом по мере Хаара, тогда набор {(Х,СР, задает коммутативную алгебру Каца. Эта алгебра симметрична тогда и только тогда, когда & коммутативна *

Пример 2. Рассмотрим W*-алгебру OÍ, порожденную операторами левого сдвига L (х) : ¿(у.) м, действующими в пространстве L¿(G,jl)(ота U/*-a-nre6pa, с другой стороны, является iavHJtai-meM в слабой операторной топологии множества операторов левой спортки i (а) — (x~)íljt.(x) с непре-рыннши финитными функциями на G )• Можно показать, что отображения ф; ¿cu^/.fj-j&lpc), + : L(a>-~Lía.\jU:L(a.)~-a(V идо -Tf- (? ;ct(' У - иенрбриьч-:\ч финитная функция на Q , е -едиш'ил в Q, ) продолжяито'т ппптпптстиенно до коумножения, ко-

.л

инволюции и левого веса Хаара на ОС . Таким образом, набор {_ОС,Ф, $ , ¡И ]- задает симметричную алгебру Каца. Эта алгебра коммутативна тогда и только тогда, когда $ коммутативна.

Из определения веса Хаара ух вытекает, что оператор V: ^УЯ®^пеРев°Дит тензорное произведение

в себя и продолжается по непрерывности до изометрического онера-тора в Н^х. ® Иуи » где (-¡ух - гильбертово пространство, построенное по весу уи, с помощью конструкции Гельфанда-Наймар-ка-Сигала (ГНС). Более того, с помощью лемм 1.2.1-1.2.3 устанавливается, что оператор V унитарен и связан с коумножением ф на Ос с помощью формулы ФГА)= где А £ ОС .

Отсюда вытекает (лемма 1.2.4 и ее следствия) справедливость соотношений

где А £ ОС, (э £ - группа модулярных автоморфизмов IV ^-ал-

гебры 01 , порожденных весомул .

Неунимодулярная кольцевая группа в смысле работ Л.Н.Вайнер-мана и Г.И.Каца (1973, 1974) представляет собой алгебру Хопфа-фон Неймана, с весом/х , удовлетворяющим условию, несущественно отличному от второго из условий определения веса Хаара, и двум последним равенствам. Таким образом, из сказанного выше следует, что неунимодулярная алгебра Каца является неунимодуляр-ной кольцевой группой (теорема 1.2.1).

Оставшаяся часть § 1.2 посвящена построению линеала элементы которого можно трактовать и как операторы из ОС , и как формы из СС * , причем 3 плотно в (?С в 6 -слабой топологии, в в обычном смысле, в Сс + - по его норме и, кроме того, 2) определяет в Нуц, левую обобщенную гильбертову алгебру как по операциям умножения и инволюции А * в ОС , так и по операциям свертки и инволюции А т в С11м. В случае примеров I и 2 алгебр Каца, связанных с локально компактной группой О, , роль множества 2) может играть, например, множество непрерывных функций на О с компактными носителями.

Указанное множество Я определяет в Н^. гильбертову би-алЬебру в смысле следующего определения, содержащегося в § 1.3. Пусть Н - гильбертово пространство, £) - его плотное подпространство, на котором определены две пары операций - умножение

Ли 6 и инволюция СЬи (первая пара операций); умножение ЯП6 и инволюция С1п (вторая пара операций). Пусть по каждой паре операций 0 определяет в Н модулярную гильбертову алгебру

• пусть и , л , Аи ,Лп - соответствующие сопряженные инволюции и модулярные операторы. Если к тому же оператор V в Н&Н • однозначно определяемый равенством

(а и а', вп в') = (а ® &'г\ \/(а' в», где а. , а/, 8 , .0 , ограничен, то говорят, что .0 определяет в Н гильбертову биалгебру; оператор [/ называется связывающим оператором зтой биалгебры.

Простым следствием этого соотношения является равенство

(апа; =

справедливое для любых & , в котором V =

*—- 7

= а&>Ь= Отсюда ясно, что если поменять местам!

номера пар операций в гильбертовой биалгебре Й> , то получим новую гильбертову биалгебру <£) со связывающим оператором -назовем ее дуальной биалгеброй к биалгебре <£> . Очевидно,£>= £) Естественным образом определяется изоморфизм гильбертовых биал-гебр.

Обозначим через Яи(0,) (соответственно Хп(<Х, )) ограниченный в Н оператор умножения слева на элемент &е2) в смысле операции и (соответственно П ), через/и(£)) (соответственно ¿г>(£))) - \д/*-алгебру, порожденную такими операторами, через(соответственно ) - канонический вес на этой

IV* -алгебре. На операторах из Я^^Лкроме естественных операций умножения &1/(0'УХиСё) = Хи (а.и ё) и инволюции [ХиСа.)]*^ можно определить также операции 'Хи(сС)

= 7Си(ап(?) и[Хи(а)]+= 5Си(сьп) , гдеО-^ёеЗ). Положим также СХи(си]*= ХцСа^ЁкуСа^^ТиСа")- Аналогичным образом определяются операции и «а .

Преобразованием Фурье оператора %и(С1) назовем, по определению, оператор (и) , а преобразованием Зурье оператора 5Гл(сг)-оператор (_<х) (здесь <2.е). Из этого определения непосредственно следует, что преобразование Фурье А устанавливает взаимно-однозначное соответствие между Усу (&) и \ Й А " в СНЛУ преобразования Фурье А*В^А-&,

Я* (здесь

G 5Г<, (Г-Э) либо А,& е . Кроме этого, имеет место фор-

мула Нланшереля для преобразования Фурье:

Jiu(ß*A)=Jtn С& ^ А), означающая, что преобразование Фурье можно продолжить до унитарного оператора, действующего из гильбертоьа пространства Н/а.и , построенного на Lи(Z) по весу jllu с помощью ШС-конструк-ции, в аналогичное гильбертово пространство Hjun

Лемма I.3.I утверждает, что связывающий оператор гильбертовой биалгебры обязательно принадлежит W * -алгебре L{J(£>)'3Lu$0\ Рассмотрим пример гильбертовой биалгебры, связанной с локально компактной группой (? .

Пример. Пусть 0 - локально компактная группа, Н= L2(G,jiC) гильбертово пространство функций на Q , интегрируемых с квадратом модуля по левоинвариантной мере Хаара на G, 2> = Со CG) -пространство непрерывных финитных на £1 функций с компактными носителями. По определен™, полагаем: {Ci,

Здесь 6(х-) е Со(&), Д (:Х-) - модулярная функция на 6> .

По первой паре операций 2* определяет в Н коммутативную гильбертову алгебру: CL°(oc)-ClCJ^):, = I , а по второй паре операций - вообще говоря, некоммутативную модулярную гильбертову алгебру: Ап(х:)=а",(ж\ аса:"1). Более того, Sj определяет в Н гильбертову биалгебру с унитарны?.! связывающим оператором Vi ^С^ф^Ж^,где J-'erL2(G,juV соответствующев соотношение проверяется непосредственно. Ал -гебра L и порождается операторами 'Лц (учл:)) умножения на функцию y>(x)elÖ • Отождествляя Хи(у(х)) с ) , имеем

, где ^ у е2> ;

последнее совпадает с обычным определением свертки функций на группе. Алгебра /п порождается операторами i'yioc)) свертки слева с функциями . Очевидно, [Х:) (уч^У)] * -

- Xnty>fx))} Хпф'х>)*лпС/С^)) = Л'п(Ус^)' Sc*» , где.f',yeS) .

Преобразованием Фурье оператора 'л л (является оператор Ai{(/Oc)) умножения на функцию . Канонический вес на W^-алгебро L¡j(z-) определяется равенством/iL, ( -J^fC^l/cCx) • В силу общего свойства унитарности преобразования 'Оурье имеем

Из этой формулы Планыереля для преобразования Фурье нетрудно подсчитать, что если У'С-х:) =(£*<р){хУ для , то _Ап&пС!/'1-х')>)=У'(е) ( е - единица группы & ).

• Две гильбертовы алгебры называются эквивалентными, если они эквивалентны как модулярные гильбертовы алгебры по соответствующим операциям.

Как отмечалось выше, в каждой алгебре Каца Г= {Ос,Ч>, можно выделить линейное пространство Ъ , определяющее в гильбертовом пространстве Н_/и. гильбертову биалгебру, причем роль связывающего оператора играет рассмотренный выше оператор V : А&В I—»— ФСбУСЛ&Т) , где ^^и- • Волее того, имеет место Теорема 1.3.1. Биалгебра обладает следующими свойствами:

1) самосопряженные операторы Аи и Лп коммутируют в смысле разложения единицы; _ _

2) 0&")Я-Са п)°, са,и)п&п)и=са°)п}

3) лп Са о 6) =АП (¿1 )и6=а иАп(6);Аи (а п6)=ДЛ<2)П а ПД</£);

4) Пг,ё)ь1-аил£" для

5) оператор V" унитарен;

6) (V®Ш®(I®(1в>4)

Справедлива также и обратная теорема.

Теорема 1.3.2. Для любой гильбертовой биалгебры, удовлет-ряющей условиям I) -- 6) теоремы 1.3.1, существует алгебра Каца/-,

и^*-алгеброй которой является С2>) • весом Хаара - канонический вес на сР(А) = \/С1<&А)У* (где /1 £ / , V - связывающий оператор биалгебры ).

Относительно алгебры Каца Г и гильбертовой биалгебры 2> , фигурирующих в формулировке теоремы 1.3.2, скажем, что они связаны по первой паре операций. Пусть Д^ - отображение, ставящее в соответствие каждой алгебре Каца /"гильбертову биалгебру <55 по описанному зипе способу, а /Сд - отображение, ставящее в соответствие кагкдол гильбертовой биалгебре, удовлетворяющей условиям I) - 6) теоремы 1.3.1, алгебру Каца по способу, указанному в.теореме 1.3.2. Эти отображения взаимно обратны в следующем сг/нсле:

Теорема 1.3.3. Гильбертова биалгебра К^КгС^) эквивалентна 31 . Алгебра Каца К2 /С, (~Г~) изоморфна Г .

Заметим теперь, что в силу леммы 1.3.6 дуальная биалгебра ¿2) к гильбертовой биалгебро 55 , удовлетворяющей условиям I) - б) теоремы 1.3.1, сама удовлетворяет этим же условиям. ^ Построим по 2) алгебру Каца Г-^¿С^) • Если 5? - (г) , то Г называется двойственной к алгебре Каца Г . Будем говорить, что алгебры Каца Г и Г связаны с одной и той жо гильбертовой биал-геброй соответственно по первой и второй паре операций. Из теоремы 1.3.3 следует, что алгебра Каца, двойственная к Г , изоморфна Г . Последнее утверждение и представляет собой принцип двойственности для алгебр Каца.

Выше были приведены два примера алгебр Каца, связанных с локально компактной группой. Следующая теорема позволяет охарактеризовать соответствующие алгебры Каца среди всех алгебр Каца.

Теорема 1.3.4. Алгебра Каца Г тогда и только тогда является коммутативной (симметричной), когда найдется такая локально компактная группа, что Г изоморфна алгебре Каца примера I (примера 2), построенной по этой группе.

.Сопоставление каждой локально компактной группе (т коммутативной алгебры Каца по способу примера I можно рассматривать как способ вложения множества локально компактных групп во множество алгебр Каца (коммутативные алгебры Каца изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны соответствующие локально компактные группы). Тогда роль двойственного объекта к локально компактной группе играет алгебра Каца примера 2, построенная по (У •

Если 6? - коммутативная локально компактная группа, то обе алгебры Каца, построенные по ней, одновременно коммутативны и симметричны. Но тогда в силу теоремы 1.3.4 алгебра Каца примера I, построенная по & , изоморрна алгебре Каца примера 2, построенной по некоторой другой группе 6? , которую назовем двойственной к & . Нетрудно усмотреть, что £ состоит в точности из характеров группы & . и, следовательно, сформулированный выше принцип двойственности для алгебр Каца является непосредственным обобщением принципа двойственности Л.С.Понтряги-на для коммутативных локально компактных групп.

Класс алгебр Каца со следом Хаара исследован ы.Такесаки

(1972). Однако вес Хаара двойственной алгебры Каца при этом не обязан быть следом. Если след Хаара обладает дополнительным свойством для Ае Ос+ , тогда алгебра Каца на-

зывается унимодулярной. Унимодулярные алгебры Каца под названием "кольцевые группы" были введены и изучены Г.И.Кацем (1961). В этом классе алгебр имеет место пршщил двойственности, охватывающий, в частности принцип двойственности для унимодулярных групп.

Построение теории двойственности для локально компактных групп, в которой под двойственным объектом к группе понимается некоторая 1^*-алгебра, порожденная ее представлениями, осуществлено Т.Таннакой (1938) в компактном, В.Ф.Стайнспрингом (1962) в унимодулярном и Н.Татсуумой (1965-1967) в общем случае. Однако в этих работах не были аксиоматически списаны двойственные к группам объекты. Такое описание дано М.Г.Крейном (1949) в компактном, Г.И.Кацем (1961) в унимодулярном и Л.И.Вайнерманом (1974) в общем случае. Как показал М.Такесаки (1972), принцип двойственности для локально компактных групп в форме Т.Таннаки-И.Г.Крейна-В.Ф.Стайнспринга - Н.Татсуумы вытекает из принципа двойственности' для алгебр Каца.

В § 1.4 дан краткий обзор работ по гармоническому анализу на алгебрах Каца. Как известно, унитарные представления локально компактной группы находятся во взаимно-однозначном соответствии с невырожденными представлениями ее групповой алгебры. Поскольку аналогом групповой алгебры для алгебры Каца Г= -¿Ос, Я>} + } является банахова * -алгебра ОС# , естественно назвать представлением алгебры Каца невырожденное представление Ос*- . Элемент А сназывается положительно определенным, если он задает положительную форму на * -алгебре Ос. Представления и положительно определенные элементы алгебр Каца изучались в работах Г.И.Каца, В.Г.Палюткина, М.Энока, Ж.-П.Шварца, Ж. де Канье, ЭЛирхберга.

Алгебра Каца называется компактной, если ее вес Хаара конечен, и дискретной, если ее 1л/*-алгебра представляет собой прямую сумму полных матричных алгебр конечной размерности. Г.И.Кацем (1962) построен аналог теории Петера-Вейля в компактном случае и показано, что классы компактных и дискретных алгебр двойственны друг другу. Наиболее полные и естественные результаты получены Г.И.Кацем и В.Г.Палюткиным (1966) для конечных алгебр Каца (т.е. б случае, когда 1л'^-алгебра СХ конечномерна).

В конце § 1.4 сформулированы некоторые проблемы.

Глава II (§§ 2.1 - 2.4) посвящена изучению специальных классов о.о.е., для которых удается построить достаточно содержательный гармонический анализ и теорию двойственности.

§ 2.1 начинается с определения о.о.с. по Б.М.Левитану.Пусть Q - множество, М - линейное пространство комплекснозначных функций на О . Семейство линейных операторов Rs CseQ), действующих в М , называют правши о. о. с., если: о

1) существует t £ Q такое, что fíe~¿c¿ ;

2) для любого функция = &S) принадлежит^, если /е М ;

3) f¿¡ любых S,i,1e Q , ¿eM , где нижний индекс указывает, по какой из двух переменных действует оператор.

Операторы L ^ : f(s)1—RSf(-ír) будем называть левыми

0.0.с.

Поясним смысл условия 3). Пусть Q - локально компактное топологическое пространство*^ M-C(Q)- топологическая * -алгебра всех непрерывных функций на Q с топологией равномерной сходимости на компактах относительно обычных операций над функциями. Тогда, как показали Б.М.Левитан и Г.Л.Литвинов, левые и правые о.о.с. непрерывны в М и слабо непрерывно зависят от t и S в том и только в том случае, когда на сопряженном пространстве М' = MoiQ) комплексных борелевских мер с компактными носителями задана структура топологической алгебры с операцией (сверткой) вида

¿s * <$; > = с £ >=£ Vr о

(где £ i е Q f - дельта-функция, сосредоточенная в точке

1, <.• , ^-двойственность междуА/ и/V'), правой единицей и топологией, согласованной с указанной двойственностью. При этом условие 3) эквивалентно ассоциативности указанной свертки, коммутативность этой свертки эквивалентна соотношению

-/¿f^eA/jS^ZeQ}~'гатв о.о.с. называются коммутативными.

Всюду в дальнейшем предполагается, что У можно представить в виде объединения не более чем счетного числа компактов.

В зависимости от рассматриваемой ситуации возможно определение о.о.с. и в других пространствах функций на О . В § 2.1 рассмотрена серия примеров о.о.е., связанных с гиперкомплексными системами, полными системами ортогональных функций, двойными классами смежности локально компактной группы по компактной подгруппе, центром групповой алгебры компактной группы, задачей Штурма-Лиувилля. Наиболее изученным является класс о.о.е., выделяемый следующим дополнительным условием: под действием этих операторов положительные функции на 0. переходят в положительные. К таким о.о.е., в частности, относятся г.с. с локально компактным базисом и гипергруппы.

Пусть 350(0) - кольцо борелевских подмножеств О , имеющих компактные замыкания, 3^(0) - порожденная им б -алгебра. Отображение ^ : 53С<Э')х-!3(<3)хС}'-^-Ю°°)> являющееся неотрицательной конечной на компактах борелевской мерой по первому и второму аргументам, называется структурной мерой г.е., если:

I) Х(А>В,0еСо(0) для любых А, В € ~ непрерыв-

ность ;

любых

А,6,<Х£|£0}-ассоциативность ;

3) = -)[(В,А, г) Лля любых6?-ком-

мутативность.

Положительная на открытых множествах борелевская мера /71 на <3 называется мультипликативной, если.^(А,в,Х)с{т(г)=Ш(А)1п(В) для любых А, В ё(0). Если С) -коммутативная локально компактная группа, т - мера Хаара, ПВ)-структурная, а т. - мультипликативная мера. А.А.Калюжный (1933) показал, что если структурная пера конечна при любых фиксированных В и £ , причем ^(Ср,В, т) - непрерывна, ограничена на С] и положительна при открытых В€&<?(<3) , то существует хотя бы одна мультипликативная мера. Пространство^/ф/л^ с Ц -нормой и операцией

является коммутативной банаховой алгеброй, приведенное утверждение для компактного С? доказано ранее Ю.И.Березанским и С.Г. Крегном.

Эта алгебра, по определению, и называется г.с. с локально компактным базисом. Г.с. называется нормальной, если существует и'нволютивнчй гомеоморфизм X ъ пространства 6? такой, что

1П(Ё)=т(Е)>%(/\> 6..СЛ-УГС. В.АЩе Е^в(0)А, ЩуГААСШ^Л^СЦ Условие нормальности эквивалентно тому, что вместе с инволюцией з:*(Ч)= Я С "с) становится банаховой * -алгеброй.Муль-

типликативная мера на нормальной г.с. обязательно единственна.

Для нормальных г.с. с локально компактным базисом в работах Ю.М.Березанского, С.Г.Крейна, Л.А.Калюжного построен гармонический анализ, включающий теорию характеров, положительно определенных функций, преобразования «урье и элементы теории двойственности.

Близкими к г.с. объектами являются гипергруппы; их аксиоматики, данные Ч.Данклсм (1973), Р.Джуотом (1975), Р.Снектором (1975), несколько отличны по форме, но базируются на одних и тех же идеях и охватывают один и тот же круг примеров. Опуская топологические аксиомы, отметим лишь, что гипергруппа представляет собой пространство М (О) всех конечных борелевских мер на 6} , снабженное структурой л -алгебры относительно обобщенной свертки мер и инволюции (т £ А1 (С1) ), черта обозначает комплексное сопряжение, л:1-»-лг - инволютивный гомеоморфизм (3 ) с единицей (5"е ('ее(3} • При этом предполагается, что свертка вероятностных мер снова является вероятностной мерой и е принадлежит носителю меры тогда и только тогда, когда X = у, ; носитель свертки дельта-функций предполагается компактным.

Положительная борелевская мера нг называется левой мерой Хаара, если пг для любого х е <3 .На компактной,

дискретной либо коммутативной гипергруппе существует мера Хаар(; на общей же гипергруппе существование меры Хаара приходится постулировать. Две любые меры Хаара пропорциональны друг другу, носитель такой меры совпадает с (? . Отметим, что коммутативные гипергруппы являются г.с. с локально компактным базисом. Для гипергрупп с мерой Хаара построена теория представлений, гармонический анализ и элементы теории двойственности - см. обзоры К.А.Росса (1977), Г.Л.Литвинова (19Ь5), Л.И.Вачнерыана (1985).

Не все о.о.е., встречающиеся в приложениях, удовлетворяют приведенному выше условию положительности. Например, Р.Дкуэтом (1975) построена г.с. из трех элементов, двойственная к гипергруппе, в которой условие положительности нарушается. Другие

примеры подобного рода появляются при рассмотрении о.о.е., связанных с ортогональными полиномами (Дж.Гаспер (1971)) или с задачей Штурма-Лиувилля на полуоси (Б.Н.Левитан (1952)). Поэтому возникает естественный вопрос, в какой мере можно развить гармонический анализ и теорию двойственности для о.о.е., не обязательно удовлетворяющих условию положительности. Частично этот вопрос исследован Б.М.Левитаном, Ю.М.Березанским, С.Г.Крейном, А.А.Калюжным.

В § 2.2 рассматриваются левые о.о.е., действующие в линейном пространстве/1/ , плотном в С//(/* - положительная борелевская мера, носитель которой равен (X ), причем эти операторы непрерышм в И , переводят вещественные функции в вещественные, для любого а еМ интеграл^ сходится в слабой операторной топологии к непрерывному оператору ¿(а) и единичный оператор / является точкой прикосновения множества операторов вида ¿{Л) Сссе/Ч) ■ Кроме того, М предполагается инвариантным относительно отображений а.(х.}>^-сЦА.\а.(ху-—АСх.уКз:)^ где - инволютивный гомеоморфизм <3 , - производная Радона-Никодима меры ул. по мере ус • V

С таким семейством о.о.с. можно связать модулярную гильбертову алгебру, определяемую в Н линеалом Л/ с операциями О. *6~ =1(сОб и С1*('х)-ДСИ) С1 (£) , в которой роль модулярного оператора играет оператор умножения на А (•) . Благодаря этому и пользуясь свойствами модулярных гильбертовых алгебр, можно показать (теорема 2.2.1), что существует локально компактное пространство 2 и положительная мера р на нем такие, что

ас^бС-^усС^]-^ (^л(б) * Р-х (а))ир(Л)- формула Планшереля,

формула обращения, где Рл('а)= преобразование Фурье элемента

компоненты центрального разложения оператора , - компоненты соответствующего центрального разложения канонического веса у .

В частности, если о.о.с. коммутативны, тогда (I )% - скаляры и приведенные выше формулы принимают более простой вид: /а(х)(у-)-^ 5(а)Р^р(1),а<х>^

Приведенная аксиоматика о.о.с. не позволяет получить другие результаты гармонического анализа (например, теорему Бохне-ра) и построить теорию двойственности. Такую возможность дают рассматриваемые ниже вещественные г.с. с компактным и дискретным базисом.

Пусть (3 - хаусдорфов компакт со 2-й аксиомой счетности, М - множество всех конечных борелевских мер на 0_ ; помимо обычной нормы 11-11 > снабдим М топологией, связанной со сходимостью мер на некотором плотном в С (О) подпространстве 7" (Т -топологией). Снабдим (3 инволютивным гомеоморфизмом а:*-»-.ж таким, что Т инвариантно относительно инволюции й относительно комплексного сопряжения. Назовем М вещественной г.с. с компактным базисом (3 , если выполнены следующие аксиомы:

К1) М - топологическая * -алгебра с единицей / относительно свертки Ьг*п. , инволюции пг*= /П'^ и Т- топологии, .причем т*7ъ= т. #■ п. и для $€Т юл еем 5~х.*6~у > еС ("<3 -хсЗ) (<■•;,•> - двойственность между С(О) и /V ).

Из К1) следует, что для \itneA7 определена свертка

Назовемте/1/ мерой Планшереля, если^/^^ и для любыхтеМ и /е Т .

К2) Существует и единственна (с точностью до умножения на константу)положительная мера Планшереля, носитель которой равен в .

КЗ) Для любых пьеМ, 7~ справедлива оценка

где С - константа, II- норма в гильбертовом пространстве

Компактные гипергруппы удовлетворяют условиям К1) - КЗ), а г.с. с компактным базисом в смысле Ю.М.Березанского - С.Г.Крой-на - не обязательно, т.к. для них определена свертка лишь элементов из • Тем не менее,- г.с. в обоих смыслах идейно близки, а мультипликативная мера является мерой Планшереля.

Определим свертку £* ^ = *- с^- элементов из Т , причем из КЗ) вытекает оценка 11$*%11<м =г СII£ Но /4 ^ //• И и - норма в С (О) ). Благодаря этому, можно показать, что пространство Н

является полной гильбертовой алгеброй относительно свертки и инволюции S . Лемма 2.2.2 утверждает, что Н представляет собой ортогональную прямую сумму не более чем счетного числа своих конечномерных идеалов.

Представлением а вещественной г.с. с компактным базисом в гильбертовом пространстве Нх назовем такое *• -представление А в lV'-ялгебру В(Няг^) всех ограниченных операторов в Н^ , что оператор-функция х сильно непрерывна. Имеет место

Теорема 2.2.2. Все неприводимые представления вещественной г.с. с компактным базисом конечномерны, множество Q их классов эквивалентности не более чем счетно. Система всех матричных элементов таких представлений полна и ортогональна в Н и ограничена в совокупности в CCQ) .

Линейную оболочку матричных элементов неприводимых представлений обозначим через Trig Q .

Теорема 2.2.3. ТтУ.д. О плотно в C(Q) в равномерной топологии.

Поскольку Q > вообще говоря, алгеброй относительно умножения функций не является, теорема 2.2.3 не сводится к теореме Стоуна-Вейерштрасса. Отметим также, что при связном <5? мера Пламиереля автоматически единственна.

Преобразованием Фурье-Стилтьеса меры >п€ Л1 назовем матрицу-функцию {xOn^j-^Q - пг , преобразованием- Фурье функции £е eL^(Q,/t) - матрицу-функцию /= {XCJyu.)}^fi • Имегат место формула Планшереля

C-f, = ^ Тг (xfy/tfxOfyx))

и формула обращения

(*(<%.) kifyt)) , гд

след, числа CLK положительны.

Назовем функцию /с C(Q) положительно определенной, если

<£, Sic *<Уч > е С (Q X Q) и jt <£, ■ * $Х >СС О для любых J 1 J J

конечных наборов • Аналогом теоремы Бохнера для

компактных групп является следующая теорема.

Теорема 2.2.4. Функция fei, (Q,jic) положительно'определена тогда и только тогда, когда ß - положительная матрица-функция ^х 7Ъ оо.

Следствие. Линейная оболочка множества всех положительно определенных функций совпадает с линейной оболочкой функций вида

Для некоторого класса о.о.с. теоремы 2.2.2. к 2.2.3 ранее доказаны Б.М.Левитаном (1962), для компактных гипергрупп теоремы 2.2.2 - 2.2.4-Р.Времом (1979).

§ 2.3 посвящен рассмотрению вещественных г.с. с дискретным базисом и вопросов двойственности между г.с. с компактным и дискретным базисом. Г.с. с дискретным базисом представляет собой

С* -алгебру М с единицей / и фиксированным счетным множеством элементов из А/ , инвариантным относительно инволюции * , тотальным в М и таким, что:

Д1) 'существует и единственен с точностью до умножения на константу точный конечный след уи на М со свойством

.А (¿Ьа/ Оу>¿Л;

Д2) числа структурные константы - вещественны

и существует непрерывная эрмитова форма £ на /V , для которой

//&МС£(~ н°Риа вМ ).

Представлением г.с. с дискретным базисом назовем непрерывное * -представление ее С *~-алгебры. ГНС-конструкция позволяет построить по следууи. некоторое представление г.е., называемое регулярным. Преобразованием Фурье элемента теЛ7 называется операторное поле -ЯГд (т) , где Л принадлежит множеству классов 'квазиэквивалентности фактор-представлений, содержащихся в регулярном. С помощью цитированной выше теоремы 2.2.1 можно установить, что для указанного преобразования Фурье имеют место формула План-шереля и формула обращения.

Рассмотрим коммутативную вещественную г.с. А/ с компактным базисом <3 и мерой Планшереля _/■<- . Пусть М - С -алгебра ^ С СО,) - В качестве дискретного базиса в А/ выберем множество (у всех * -характеров алгебры М . В силу теорем 2.2.2 и 2.2.3 (3 образует полную ортогональную систему в Н = ¿-2СО.}у.с) и тотальное множество в М . Можно проверить, что набор (Л1, С^) удовлетворяет условиям Д1) и Д2) и, таким образом, определяет г.с. с дискретным базисом (она называется двойственной к исходной г.с. с компактным базисом).

Наоборот, если М - коммутативная вещественная г.с. с дискретны:.! базисом <3 , ее можно реализовать как С* -алгебру

С(<3) на некотором хаусдорфовом компакте <3 , причем следуя-породит положительную борелевскую мерууи, с носителем С} (меру Планшереля), а базисные элементы ^д'к} породят полную ортогональную систему функций в ¡-г(С1,уС1) > тотальную в С(О) • Обозначим через Т линейную'оболочку этих функций, а через Я3 - ко-умножение 2 С) . По сопряжен-

ности можно определить свертку мерыпг€ М =[С(О.У}' и функции из Т . причем справедлива оценка из КЗ). Указанная свертка по непрерывности продолжается до ассоциативной коммутативной операции на М и проверяется, что выполнены условия К1), К2). Таким образом, набор ( М , <3 ,/л ) определяет коммутативную г.с. с компактным базисом.

Назовем морфизмом г.с. с компактным (дискретным) базисом непрерывный морфизм их базисов как топологических пространств, индуцирующий морфизм соответствующих алгебр мер. Принцип двойственности (теорема 2.3.1) утверждает, что описанный вше переход к двойственной г.с. задает контравариантный инволютивный функтор из категории вещественных г.с. с компактным (дискретным) базисом в категорию коммутативных вещественных г.с. с дискретным (компактным) базисом.

В § 2.4 рассмотрено семейство о.о.е., порожденных задачей Штурма-Лиувилля вида ¿(^^-у'+уС, у'(а сЩу Гб) - у (в), где оо , - вещественные константы, 2. - параметр,

И = 12 (О, 6) • Пусть А - одно из самосопряженных расширений минимального оператора, порожденного указанной задачей,

- решение уравнения у , удовлетворяющее усло-

виям уСо,Л)=-/ , Лу • Тогда можно показать, что огра-

ниченные .самосопряженные в Н операторы ¿^^уСбуА) являются коммутативны;,™ о.о.е., порождающими вещественную коммутативную г.с. с компактным базисом [0,61 . Для доказательства используется техника дифференциально-операторных уравнений гиперболического типа - см.С.Г.Крейн (1957), В.И. и М.Л.Горбачук (1969, 1971). Роль меры Планшереля играет лебегова мера на СО, б] . Характерами г.с. являются функции , где = - спектр оператора А ; в силу теорем 2.2.2, 2.2.3 они не только образуют полную ортогональную систему в Н , но и тотальны и ограничены в совокупности в С С О, -6] : л

Роль двойственного пространства играет О , преобразование

Фурье функции имеет вид /У&А¿¿ЮсИ •

Имеют место формула Планшереля и формула обращения. Из теоремы 2.2.4 вытекает описание положительно определенных (функций в описанной г.с. Двойственная г.с. представляет собой С* -алгебру С ГО, 6] | операция в ней задается структурными константами

Лемма 2.4.1 утверждает, что числа С^ однозначно определяют исходную задачу Штурма-Лиувилля с точностью до постоянного слагаемого в потенциале.

В конце § 2.4 сформулированы некоторые проблемы.

В главе Ш (§§ 3.1 - 3.4) рассматривается вопрос о построении теории двойственности для, вообще говоря, некоммутативных вещественных г. с.

Обобщением конечных алгебр Каца являются описанные в § 3.1 гиперкомплексные системы Каца (г.с. Каца). Г.с. Каца - это конечномерное линейное пространство М над (£ , снабженное структурами С -алгебры с единицей (с помощью отображений

с/://« А/—А/

у \ £—~Л7,#-:А/—А7)и * -коалгебры с коединицей (с помощью отображенийМ-^МНЬМ^^М-^С, причем выполнены

аксиомы:

I. + * = * + ,+'<1 = с6> О- ®-О, <Р»*=С* »*)" <Р.

Пусть в = 1Х(СС<%>6)=(а®Ь)Х\ для любых

П. , где 7?= ЕЛ 1пи[(+*<& 1сС)(р],

Следовательно, сС(7Ъ)порождается элементом £=-&*£/Ч . б) /1- - положительный обратимый элемент в С* -алгебр ьМ.

Морфизмом г.с. Каца назовем морфизм их С -алгебр, коммутирующий с Я^ и' +. Г.с. Каца называется коммутативной (симметричной), если ее алгебра коммутативна (коалгебра симметрична).

С каждой вещественной конечной г.с. связаны две г.с. 1Саца.

Пример I. Пусть М - конечная г.с. с базисом \. Зададим на ней структуру симметричной коалгебры с помовшю отображений ФСЮ = & & ё1~ > / • Проверяется, что вместе о

исходной структурой С'-алгебры на М мы построили симметричную г.с. Каца-.

Пример 2. Пусть M - линейное пространство над ¿Г , {¿¿\ -

конечный базис в нем. Зададим в Л/ две структуры: коммутативной

С*"-алгебры , где à}j- символ Кронекера, /- единица в € ) и коалгебры (VPCCk)-^:^■(€■&€■)

Ei-Z-TгДе Cj',^1-—Не - соответственно структурные константы, инволюция и компоненты единицы исходной т.е.). Проверяется, что построена коммутативная г.с. Каца.

В § 3.2 дано определение меры Планшереля. Она представляет собой положительную центральную форму ja, на С* -алгебре M , обладающую свойствами:

jjl(cl*) (id®/i)(V(cl)(-l ® ê *))=(iJ®ju.)[(+«> *)Ф(6) (4&<z)l,

где <XsêeM . Имеет место такая теорема.

Теорема 3.2.1.На каждой г.с. Каца существует и единственна с точностью до умножения на константу мера Планиереля. Она имеет следующий вид: jn.QX)-Jx-TT,R,(nia.) , где > О , £ - элемент, фигурирующий в аксиоме II, ft - правое регулярное представление С * -алгебры M , Jx. - след.

Для г.с. Каца справедлив принцип двойственности: л

Те ope lia 3.2.2. Переходя от /V к сопряженному пространству/V и от отображений, задающ!к на

M структуры * -алгебры и -коалгебры, к сопряженным отображениям, получаем вновь структуру г.с. Каца. Этот переход задает инволютивный контравзриантный функтор в категории г.с. Каца. Категория конечных алгебр Каца инвариантна относительно этой двойственности.

Точно так же, как в главе I, с каждой г.с. Каца связана гильбертова биалгебра 0 . Преобразованием Фурье называется ли^-нейное отображение пространства Л1 г.с. Каца на пространство// дуальной г.е., являющееся * -изоморфизмом первой (второй) С*-ял-гебры гильбертовой биалгебры 2) на вторую (первую) С*-алгебру биалгебрн S> (т.е. умножение переходит в свертку, свертка - в умножение). Очевидно обратное отображение также является преобразованием £урье. Лемма 3.3.1 утверждает, что при соответствующей нормировке мер Планшереля исходной и двойственной г.с.Каца преобразование <5урье изоыетрично (т.е. имеет место формула Планшереля).

Унитарным представлением г.с. Каца назовем * -представление ее коалгебры. Можно показать, что такое определение обобщает

определение представления конечной вещественной г.с. Далее в §3.3 изучаются матричные элементы и характеры унитарных представлений. Следствием этих рассмотрений является следующая теорема.

Теорема 3.3.1. Г.с. Каца тогда и только тогда коммутативна (симметрична), когда для некоторой конечной вещественной г.с. она изоморфна г.с. Каца примера 2 (примера I).

Для конечных алгебр Каца эта теорема сводится к частному случаю теоремы 1.3.4. Построен пример г.с. Каца 4-го порядка, не являющейся ни коммутативной, ни симметричной, обсуждаются связи с работами, в которых изучались объекты, близкие к г.с. Каца, в частности, с работами А.М.Вершика (1972), С.В.Керова (1974) и Э.Кирхберга (1977).

Обобщением г.с. с локально компактным базисом в духе г.с.Каца являются рассмотренные в конце § 3.3 квантованные г.с. Выше было дано определение гильбертовой биалгебры 2> . Обозначим через ¿и(£>)х (¿п(!0д)*) преддвойственное пространство к соответствующей У/* -алгебре, а через Еи(Еп') - замыкание в равномерной норме множества ¿.у ^2)02)) (соответственно /.д (Я>и8)) ), где 3} иЗ> (Я)Л2>) - линейная оболочка произведений вида С1оё(С1п&) для любых СЦ$«=2). Из ограниченности оператора V следует существование непрерывных отображений: ¿.„(2• Квантованной г.с. называется гильбертова биалгебра, удовлетворяющая условиям I) - 4) теоремы 1.3.1, а также условиямк&с ри=кёхА^=

и, — подалгебры соответственно в 1~и(2)) и в ¡-г\(3>) . Из последних условий следует, что Еи и Еп - С*-алгебры. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.3.2. Если операция Л в квантованной г.с. коммутативна, то найдутся локально компактное топологическое пространство <1 , инволютивный гомеоморфизм х м»- х этого пространства и регулярная положительная борелевская мерана <3 такие, что:

1) Ел изоморфно С*-алгебре С0((Ц)всех непрерывных функций на 0 , аннулирующихся на бесконечней;

2) этот изоморфизм продолжается до изометрии гильбертова пространства Н на ух)и банахова пространства (""£))* на

3) если с помощью изоморфизма утверждения I) перен_ести на С/0)инволюции и и и , то * ,

где £е-СоС()) , х £ (■) | Д С') - производная Радона-Никодима мерььа-У по мере ус

В силу утверждения 2) пространство ¿1{(3,ус) наделяется операциями свертки (вообще говоря, некоммутативной) и инволюции■ С этой сверткой связано некоторое семейство левых вещественных ограниченных о.о.с. в смысле приведенного выше определения, поэтому справедливы формула Планшереля и формула обращения.

Итак, если одна из операций коммутативна, квантованная г.с. реализуется как объект, близкий к г.с. с локально компактным базисом. Однако мультипликативность меры ус. , наличие базисной единицы и сохранение положительности при свертке, вообще говоря, не имеют места. Первые два из этих свойств обеспечиваются наложением на квантованную г.с. дополнительного условия:

Отображение СО ►-■«- со (I) , где I - единичный оператор,сое (¿лбэ;*), продолжается до характера С -алгебры £п СЕ и)

Достаточным условием для этого является наличие аппроксимативной единицы в и в В классе квантованных г.е., удовлетворяющих этому условию, имеется естественное отображение двойственности, меняющее местами пары операций в гильбертовой би-алгебре. Вели обе операции коммутативны, такая двойственность перейдет в двойственность Л.С.Пснтрягина для вещественных г.с. Накладывая на квантованную г.с. дополнительные ограничения, можно добиться сохранения положительности при свертке и справедливости аналога теоремы Бохнера о предетявлении положительно определенных функций.

В § 3.4 рассмотрено семейство о.о.е., порожденных конечно-разностным уравнением вида [ — ,

где числа и ^ положительны, а ¿у - вещественны, Д - параметр, индекс J принимает либо конечное множество значений 0,1,2,..., /V ( /V- натуральное число), либо бесконечное множетво значений 0,1,2..... В первом из этих случаев к уравнению присоединяются два краевых условия: ¿¿л'+у +{А - вещественное число), а во втором - лишь первое из этих условий. Обозначим через А ограниченный самосопряженый оператор, порождаемый указанной задачей на собственные значения в гильбертовом пространстве// последовательностей (конечных или бесконечных), суммируемых с квадратом модуля с весом (предполагается,что в бесконечном случае выполнено условие ^^¡/¿¿^ '¿С'^0*^,

необходимое и достаточное для ограниченности минимального оператора). Если полином Р/(Х)- решение исходного конечно-разностного уравнения, удовлетворяющее условиям Р--,(Л)гО, Ро(1)=/ , тогда можно показать, что ограниченные самосопряженные в И операторы LJ = Pj(А) являются коммутативными о.о.с. При некоторых дополнительных условиях на Pj(X) , которые выполняются для многих семейств ортогональных полиномов в бесконечном случае (см. Ю.М.Березанский и А.А.Калюжный (1986)) и всегда - в конечном случае, с указанными о.o.e. можно связать вещественную коммутативную г.с. с дискретным базисом. Характерами этой г.с. являются после некоторой нормировки последовательности Pj(X) при различных Л , принадлежащих компакту Ö - спектру оператора А . Согласно теореме 2.3.1, по указанной г.с. можно построить дуальную вещественную коммутативную г.с. с компактным базисом Q . Роль меры Планшереля в этой последней играет спектральная мера оператора А , относительно которой ортогональны полиномы Pj СЛ) .

В первых трех главах рассматривались исключительно ограниченные о.о.с. Однако в ряде примеров эти операторы оказываются неограниченными. Так, например, с.о.с. Pj (А) , порожденные ко-нечноразностным уравнением, рассмотренным выше, окажутся неограниченными, как только будет неограниченным соответствующий оператор А . Изучению неограниченных о.о.с. посвящена глава 1У (§ 4.14.4).

Инструментом для изучения неограниченных о.o.e. является теория * -алгебр неограниченных операторов в гильбертовом пространстве - так называемых Ор*-алгебр (Г.Ласснер (1972), Р.Т.Пауэре (1971)) и, в частности, £^+-алгебр (А.Инуэ (197Ь)). Необходимые сведения из теории указанных алгебр без доказательств приведены в § 4.1. Обзор работ по алгебрам неограниченных операторов имеется в монографии С.С.Хоружего (1986).

В § 4.2 дано определение неограниченных о.о.е., которое в двух отношениях обобщает данное ранее определение с.и.с. - теперь о.o.e. не только могут быть неограниченны!,¡и, но и погут действовать в пространстве вектор-функций. Пусть Q - локально компактное топологическое пространство, счетное в бесконечности, положительная борелевская матричная мера на Q , // = Lz((i,ju) ~ J гильбертово пространство С^-значных вектор-фунчцич ( " - пату-

ральное число) со скалярным произведением

(л, 6) =/ I djU¿:{é)a¿(é)67i).

Q J J

Предполагается, что носитель меры U- совпадает с fl и что снабжено инволютивным гомеоморфизмом таким, что

J-<'CS)=J<t'(S) Для любого борелевского S<S Q • Нусть<0 -плотный в Н линеал, инвариантный относительно комплексного сопряжения и отображения

Семейство где ¿ ■ (максимальной Op* -ал-

гебре) при каждом seQ , назовем семейством левых вещественных неограниченных о.о.е., ест ¿f=(iL)/^=(¿¿), LffC¿) принадлежит 3) как функция по S и выполнены следующие условия:

1) (¿fk Lja(iHLl)t ¿Jaez), [¿¿а(Щ =[lfa+cs)J¿,

где , г , , í е <3, нижний индекс показывает, по какой

переменной действует оператор;

2) интеграл//а.)=5Г Sa dju¿j(í)(li(bLj для любого CLeS) сходится в слабой топологий'1" ¿^"-алгебры и принадлежит этой алгебре.

Через 3)а обозначим линеал всех тех , для которых ¿(Cl)

можно продолжить до непрерывного оператора в Н .

3) 3)0 плотно в И ; единичный оператор I в Н является точкой прикосновения множества операторов L (Ct) (CL€S)0) в слабой топологии.

Подобно тому, как ограниченными о.о.с. порождалась некоторая

У

-алгебра, так и неограниченными о.о.с. порождается некоторая EW+ -алгебра L(S>) - подалгебра в 3.Ее центральное разложение (D

l(S¡)=Sz ЫШ?(Х),

где 2 - локально компактное топологическое пространство, J> -положительная^борелевская мера на 2 . позволяет рассматривать компоненты-¿"Z¿ центрального разложения оператора Z¿ и ввести преобразование Фурье

ra) Л, (i)(Lj)x •

Teopei.:a 4.2.1. Для о.о.с. существуют локально компактное топологические пространство и положительная борелевскэя мера

J5 на Z (определяемая с точностью до эквивалентности мер) такие, что имеют место формула Планшереля

и формула обращения

а,- а) = /1Л ((¿¡)+л рл(аНРа\

где - компоненты центрального разложения канонического следа на ЕУ+—алгебре ¿(¿й).

Следствие. Если о.о.с. L¿ коммутируют в смысле разложения единицы, приведенные выше формулы принимают более простои вид:

л

В § 4.3 рассмотрен пример неограниченных (вообще говоря) о.о.е., порожденных задачей Штурма-Лиувилля вида^¡^ 1/(0) ^ Яц(0), где {.е [О^ХуШе/-^^,^), £ - вещественное число, Я - параметр. Пусть А - одно из самосопряженных расширений минимального оператора Ао , порожденного указанной задачей в пространстве - решение уравнения

> удовлетворяющее условиям -1, у>

Тогда можно показать, что самосопряженные в /7 коммутирующие в смысле разложения единицы операторы ¿^ = ¡/'(¿¿А) являются о.о.с. при /£ = / - вообще говоря, неограниченными (их ограниченность имеет место лишь в случае полуограниченности снизу минимального оператора Ао ). После этого следствием теоремы 4.2.1 становится теорема 4.3.1 о равенстве Парсеваля и формуле обращения для преобразования Фурье по обобщенным собственным функциям операторам) . Эта классическая теорема впервые была доказана аналитически!, 1И методами Г.Вейлем (1910). Ряд работ был посвящен попыткам получить этот результат методами о.о.с. Так, А.Я.Повзнер (1940) сделал это в предположении С^СЬ) = 0(£~3~Е) при (здесь £ >0). Указанное предположение несколько ослабил В.Л.!.1арченко (1952). Затем Ю.М.Березанский (1953) доказал обсуждаемое утверждение при условии, что имеет ограниченную вариацию на[О,оо) .Л.И.Вай-нерман и Г.Л.Литвинов (1981) требовали лишь, чтобы оператор А0 был полуограничен снизу.

В § 4.4 изучаются о.о.е., порожденные гамильтоновой системой второго порядка вида £(у.) = йу'* . где О(^)

и - симметрические матрицы-функции с вещественными элемента-

ми, X - параметр, ^/-(В/ ''о), [ ^/М)} у 1СРоме тог°|

предполагается, что элементы б?("¿^принадлежит а

элементы непрерывно дифференцируемы на и что матри-

ца-функция ¿Р{-6) строго положительна. Присоединим к указанному уравнению краевое условие вида О, где о< - вещественное число. Пусть А - одно из самосопряженных расширений минимального оператора Ао I порожденного в гильбертовом пространстве //=/2ССО,со.). -эначных вектор-функций со скалярным произведением _

(а, 6) =/"2-

гФЛ-б!) 7 О Ч"1 У ¿> ч

[<р2(£ 2)] " решение уравнения 1.(Ц)=Л\1 . удовлетворяющее условиям <ру• Проверяется, что самосопряженные в Н коммутирующие в смысле разложения единицы операторы ¿^/"¡^^¿'^ц/ являются о.о.с. при 2. - вообще говоря, неограниченными. Применяя к ним теорему 4.2.1, приходим к теореме 4.4.1 о равенстве Парсеваля и формуле обращения для преобразовашн Фурьо по обобщенным собственным функциям оператора А . Обычно эта теорема доказывается сначала на конечном интервале [О, $2 (О€< со), а затем осуществляется предельный переход ^ч-по(см. О.Аткинсон (1966), случай системы Дирака Я^С'Ь) = I рассмотрен в монографии Б.М.Левитана и И.С.Саргсяна (1970)).

Методами, развитыми в главе 1У, можно изучить и о.о.е., порожденные конечно-разностными уравнениями (см. 5 3.4) в случав, когда соответствующий оператор А является неограниченны!.:, т.е. когда соответствующие полиномы РуС^О ортогональны на некомпактном множестве вещественной оси.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Вайнерман Л.И. Характериэация объектов, двойственных к локально компактным группам // Функцион. анализ и его прил. -

• 1974. - 6, Г' 1.-С. 75-76.

2. Вайнерман Л.П., Кац Г.И. Неунимодулярные кольцевые группы и алгебры Хопфа-фон Неймана // Докл. АН СССР. - 1973. - 211, » 5. - С. 1031-1034.

3. Вайнерман Л.И., Кац Г.И. Неунимодулярные кольцевые группы и алгебры Хопфа-фон Неймана // !.ат. сборник. - 1974. - 94,

2.-е. 194-2;:5.

2а

4. Вайнерман Л.И. Краевые задачи для гиперболического уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве // Кибернетика. -1974. - № 3. - С.149-150.

5. Вайнерман Л.И. Самосопряженные граничные задачи для сильно зллиптичесюк и гиперболических уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве // Докл. АН СССР. - 1974. - 218, № 4. - С. 345-343.

6. Вайнерман Л.И. 0 самосопряженности абстрактных дифференциальных операторов // Мат. заметки. - 1976. - 20, № 5. - С. 703708.

7. Вайнерман Л.И. О расширениях замкнутых операторов в гильбертовом пространстве // Там же. - 1960. - 28, № 6. - С. 833841.

В. Вайнерман Л.И. Гиперболическое уравнение с вырождением в гильбертовом пространстве // Сиб. мат. журн. - 1977. - 18, X* 4.-С. 736-746.

9. Вайнерман Л.И. О максимальной диссипативности абстрактных

дифференциальных операторов гиперболического типа // Дифференц. уравнения. - 1981. -17, № 9. - С. 1678-1681.

10. Вайнерман Л.И., Литвинов Г.Л. Формула Нланшереля и. формула обращения для операторов обобщенного сдвига // Докл. АН СССР.-1984. - 251, № 4. - С. 792-795.

11. Вайнерман Л.И. Конечные гиперкомплексные системы ¡Саца //шунк-цион. анализ и его прил. - "1984. - 17, Л 26. - С. 68 - 69.

12. Вайнерман Л.И. Гиперкомплексные системы с компактным и дискретным базисом // Докл. АН СССР.—1984.—278, Г» I. - С.16-20.

13. Вайнерман Л.И. Гармонический анализ на гиперкомллексшх системах с компактным и дискретным базисом // Спектральная теория операторов и бесконечномерный анализ. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. - С. 19-32.

14. Вайнерман Л.И. Принцип двойственности для конечных гиперкомплексных систем // Известия вузов. Мат. - 1935. - 1,"2. - С.12-21.

15. Вайнерман Л.И. Двойственность алгебр с инволюцией и операторы обобщенного сдвига // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. Мат. анализ. - 1986. - 24. - С.165-205.

16. Вайнерман Л.И., Калюжный А.А. Квантованные гшеркошлексше системы //' Краевые задачи для дифференциальных уравнений. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1988. - С.13-29.