Гармонический анализ Фурье-Данкля и приближение функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

003456420

Белкина Елена Сергеевна

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУРЬЕ-ДАНКЛЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ

ФУНКЦИЙ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2008

003456420

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии математического факультета Петрозаводского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент

Платонов С. С.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лукомский С. Ф.

кандидат физико-математических наук, доцент

Шестаков В. А.

Ведущая организация: Тульский государственный университет

Защита состоится " /3 " О!?^ХООл.9.2008 в ч. ЗО мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете имени Н. Г. Чернышевского по адресу: 410026, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Автореферат разослан " // " Н&Э&ЬЗС 2008.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н., доцент

Корнев В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В классической теории приближения функций центральную роль играют операторы сдвига f(x) н-» f(x + y), х, у S Ж. Так инфинитезимальным оператором сдвига является оператор дифференцирования, преобразование Фурье представляет собой разложение по собственным функциям оператора сдвига, оператор сдвига используется для построения модулей непрерывности и гладкости, которые являются основными элементами прямых и обратных теорем теории приближения. Различные обобщения операторов сдвига позволяют формулировать естественные аналоги задач классической теории приближения. Одним из обобщений операторов сдвига является группа или полугруппа операторов в банаховом пространстве. Многие задачи теории приближения такого вида рассмотрены в работах П. Бутцера, X. Беренса 1 и А. П. Терехина 2

Другим обобщением операторов сдвига являются так называемые "операторы обобщенного сдвига". Единого определения понятия обобщенного сдвига нет. Существует широкий класс обобщенных сдвигов (обобщенные сдвиги Дельсарта-Левитана), которые строятся по произвольному дифференциальному оператору Штурма-Лиувилля второго порядка 3, но существуют также и другие операторы обобщенного сдвига. Обобщенные сдвиги не обязательно образуют группу или полугруппу, но построенные по ним обобщенные модули гладкости могут быть лучше приспособлены для изучения связей между гладкостными свойствами функции и наилучшими приближениями этой функции в весовых функциональных пространствах, чем обычные модули гладкости. Различные задачи теории приближения функций, в которых используются операторы обобщенного сдвига, рассматривались в работах Я. Лёфстрема и Я. Петре, 3. Дитциана и В. Тотика, П. Бутцера, Р. Стенса и М. Веренса, А. Г. Бабенко, М. К. Потапова и В. М. Федорова, Д. В. Горбачева, X. П. Рустамова, 3. Дитциана и М. Фелтена.

lButzer P. L., Bchrens. Н. Semi-groups of operators and approximation. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967.

2 Терехин A. П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Саратовского гос. университета, 1975. Вып. 2. С. 3-28.

3Левита» Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.

На полупрямой К+ = [0, +оо) одним из важнейших операторов обобщенного сдвига является обобщенный сдвиг Бесселя, который используется при изучении различных задач, связанных с дифференциальными операторами Бесселя. С обобщенным сдвигом Бесселя тесно связан гармонический анализ Бесселя, т.е. раздел гармонического анализа, в котором изучаются различные задачи, связанные с интегральными преобразованиями Бесселя (Ганкеля). В работе С. С. Платонова 4 с помощью обобщенных сдвигов Бесселя изучались различные задачи теории приближения функций на полупрямой [0, +оо) в метрике Ьр со степенным весом целыми функциями экспоненциального типа.

В последние годы в математической литературе появился и стал использоваться новый класс обобщенных сдвигов — обобщенные сдвиги Данкля. Обобщенные сдвиги Данкля строятся по некоторым дифференциально-разностным операторам (операторам Данкля), которые широко используются в математической физике, в связи с этим стоит упомянуть работы К. Ф. Данкля, М. Маслоухова и Е. X. Ясси, М. Рёслер.

В общем случае операторы Данкля ранга п действуют в п-мерном евклидовом пространстве К", но даже в простейшем случае п — 1 операторы Данкля и связанный с ними гармонический анализ Фурье-Данкля представляет значительный интерес (см., например, работы С. Абделькефи и М. Сифи, М. А. Моро, К. Тримеша, М. Рёслер, Ф. Солтани, Н. Б. Салема и С. Каллела).

В диссертации рассматриваются различные задачи, связанные с применением гармонического анализа Фурье-Данкля в теории приближения функций. Эти задачи во многом аналогичны задачам, поставленным в работах С. С. Платонова и при их решении автор руководствовался его работами. Однако при решении возникло много принципиальных трудностей, связанных с возможностью продолжения оператора обобщенного сдвига Данкля до непрерывного оператора в Ь2,а (определение Ь2,а см. ниже). Это потребовало решить ряд задач, представляющих самостоятельный интерес.

4Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71. № 5. С. 149-196.

Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка и решение аналогов некоторых классических задач теории приближений функций для оператора Данкля.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с использованиеммстодов функционального анализа, гармонического анализа Фурье, теории приближений функций.

Научная новизна. В диссертационной работе:

1) Приведен новый вывод формулы М. Рёслер для явного вида обобщенного сдвига Данкля.

2) Сформулирована и доказана теорема типа Пэли-Винера для преобразования Данкля.

3) Сформулированы и доказаны аналоги классических первой и второй теорем Джексона для обобщенного модуля гладкости к-го порядка, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.

4) Дано описание аналогов пространств Никольского и Бесова в терминах наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа.

5) Доказаны два неравенства типа Бернштейна.

6) Сформулирована и доказана теорема об эквивалентности А'-функцио-нала и модуля гладкости, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.

7) Получен аналог одной теоремы Е. Титчмарша об описании образа при преобразовании Фурье множества функций, удовлетворяющих условию Липшица в

8) Сформулированы и доказаны аналоги классических неравенств Стечки-на-Никольского и Боаса.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы,разработанные в диссертации, могут быть использованы в различных вопросах гармонического анализа Фурье-Данкля.

Результаты, выносимые на защиту:

1) Аналоги первой и второй теорем Джексона для обобщенного модуля гладкости к-го порядка, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.

2) Описание аналогов пространств Никольского и Бесова в терминах наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа.

3) Теорема об эквивалентности Я'-функционала и модуля гладкости, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.

4) Описание образа при преобразовании Данкля, множества функций, удовлетворяющих условию Липшица в ¿2,а-

5) Доказательство аналогов неравенств Стечкина-Никольского и Боаса для оператора Данкля.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на:

— 13-й и 14-й Саратовских зимних школах, посвященных современным проблемам теории функций и их приложениям, г. Саратов (2006 г., 2008 г.);

— Воронежской зимней математической школе, посвященной современным методам теории функций и смежным проблемам, г. Воронеж (2007 г.);

— ежегодной студенческой конференции в ПетрГУ, г. Петрозаводск (2006 г.);

— научном семинаре кафедры математического анализа и алгебры Карельского государственного педагогического университета в 2007 г. (руководитель к.ф.-м.н., доцент Агапитов К. В.);

— научном семинаре кафедры геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета в апреле 2008 г.(руководитель д.ф.-м.н., профессор Иванов А. В.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 9-ти публикациях. Работы [6], [9] написаны в соавторстве с научным руководителем. Из совместных работ в диссертации представлены результаты, полученные автором самостоятельно. Работа [9] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 92 страницах, и состоит из введения, шести глав и списка литературы, включающего 61 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приведен обзор результатов по тематике диссертации, кратко изложено содержание работы, приведены основные результаты.

В первой главе определяются обобщенные сдвиги Данкля, рассматриваются некоторые их свойства и излагаются необходимые сведения из

гармонического анализа Фурье-Данкля.

Оператором Данкля (в диссертации рассматриваются только операторы Данкля ранга 1) называется следующий дифференциально-разностный оператор D:

где а — произвольное действительное число, удовлетворяющее условию а > —1/2. Действие оператора D определено для всех функций / 6

Через Z/2,Q обозначим гильбертово пространство, состоящее из измеримых комплекснозначных функций f(x) на R (функции рассматриваются с точностью до значений на множестве меры нуль), для которых конечна норма

+0О

11/112,a :=(/ |/(о:)|2|х|2«+1^)1/2.

—оо

Скалярное произведение в гильбертовом пространстве Li a определяется по формуле

+00

(/, 9) ~ J /» <?(*) N2a+1 dx, f,g£ LXa.

—00

Пусть Т> ~ множество бесконечно дифференцируемых функций на R с компактным носителем. Для функции f(x) £ V оператор обобщенного сдвига Данкля и(х, у) — Tyf(x) можно определить как решение следующей задачи Коши:

Dxu{x,y) = Dyu(x,y); и(х, 0) = f(x),

где Dx и Dy — операторы Данкля, примененные по переменным х и у соответственно.

Известно, что решение этой задачи Коши существует и единственно, а его явный вид получен в работе М. Рёслер. Другой вывод формулы М.

Рёслер дан в теореме 1.1 диссертации. По непрерывности оператор Ту продолжается с плотного подмножества V С Ьг.а на все пространство Ьъ.а-Продолженный оператор будем также обозначать Ту.

Обозначим через ]а{х) нормированную функцию Бесселя первого рода, т. е.

. 2°Г(а + 1Щз;) За{х) = --—-,

где ^(х) — функция Бесселя первого рода, Г(х) — гамма функция. Обобщенной экспоненциальной функцией будем называть функцию

еа(х) ■= За{х) -\-гсахза+1{х),

ГДв Сое = (2(а+1)) , г = л/17!. Функция у = еа(х) удовлетворяет дифференциально-разностному уравнению Ву = г у с начальным условием у( 0) = 1. В предельном случае, при а = —1/2, обобщенная экспоненциальная функция совпадает с обычной экспоненциальной функцией егх.

Преобразованием Данкля называется следующее интегральное преобразование

-Ьоо

Г : /(®) /О) = j /(х)еа(\х)\х\2а+1(1х, АеИ -00

Обратное преобразование Данкля задается формулой

+оо

: д{\) -> }[х) =А I д(А) еа(~Ах) |А|2а+1 ¿А,

— 00

где А = (2а+1 Г(а + I))-2.

Преобразования Данкля (прямое и обратное) определены для достаточно быстро убывающих на бесконечности функций, в частности, для функций из класса V. Отображения Т и можно продолжить по непрерывности с плотного подмножества V С ¿2,а ДО взаимно обратных изоморфизмов гильбертова пространства 1*2,а на себя. Продолженное отображение будем также обозначать Т и и называть преобразованиями Данкля. Преобразования Данкля являются основными инструментами для доказательств теорем в следующих главах.

Во второй главе доказываются прямые теоремы джексоновского типа для обобщенного модуля гладкости к-го порядка. В качестве средства приближения используются целые функции экспоненциального типа.

Обозначим через lv, v > 0, множество всех функций д(х), х £ К, удовлетворяющих следующим условиям:

1) д(х) — целая функция экспоненциального типа < и\

2) д(х) принадлежит пространству

При помощи обобщенного сдвига Данкля для любой функции f{x) € определим разности с шагом h > 0:

A\f{x) = Ahf(x) := f(x) - Thf(x), A khf{x) := А,(А^/(х)).

Можно также написать, что

Akhf(x) = (I-Th)kf(x),

где I — единичный оператор.

Для любого натурального к обобщенный модуль гладкости порядка к в метрике L2,Q определим формулой

Wfc(/,<5)2,a := sup ЦДл/lkcn 5>0, /GL2,a-0 <h<6

Наилучшее приближение функции / € L<¡tа функциями из 1„ определяется как

ЕМКа := inf \\f-9h,a-

Следующая теорема является аналогом первой теоремы Джексона. Теорема 2.2. При / е ¿2,a справедливо неравенство

Ev{f)2,a < ClWfc(/,l/l/)2iQ,

гс?е Ci — некоторая положительная постоянная, зависящая только от к и а.

Обозначим через V множество всех обобщенных функций, т. е. линейных непрерывных функционалов на пространстве Т>. Значение функционала / G V на функции ip € V будем обозначать {/, <р). Пространство

¿2,а вкладывается в пространство Р', если считать, что функция / 6 ¿2,, отождествляется с функционалом

+оо

Действие оператора Данкля В продолжается с пространства Т> на пространство обобщенных функций Т>\ если для / £ С и ^ р В положить

В частности, действие оператора И будет определено для любой функции / € ¿2,а, но при этом функция О/ будет, вообще говоря, обобщенной.

Следующая теорема является аналогом второй теоремы Джексона из классической теории приближений.

Теорема 2.3. Пусть функции /, £)/,..., принадлежат пространству ¿2,а, где £) — оператор Данкля. Тогда

где С2 = с2(А:,з,а) > 0 — некоторая постоянная.

В третьей главе на основе обобщенного сдвига Данкля определяются аналоги функциональных пространств Никольского и Бесова и доказывается теоремы, дающие описание этих пространств в терминах наилучших приближений функциями из классов Х„.

Пусть г > 0 — действительное число, к и я — произвольные неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию к > г — й > 0. Через Ща обозначим множество всех функций / € для которых Df, .О2/,..., £)■'/ £ ¿2>а и для некоторого числа А/ > 0 справедливо неравенство

-00

Для / 6 Яза определим полунорму

Теорема 3.1. Если / € Ща, то при и > 1 справедливо неравенство

¡? , f ч

М./Ъ,а < С!-—.

Обратно, если / £ ¿2,» « nPU v > 1

Л

гс?е А — ме зависящая от v (но зависящая от f) постоянная, то

f е и

\\fhila<c2{\\S\\,,a + A).

Пусть 1 < q < оо, г>0, к и в — неотрицательные целые числа, такие, что к > г — в > 0. Скажем, что функция / принадлежит классу Никольского — Бесова ВТ2^а, если /, £>/,.... Д5/ € ¿2,а и конечна полунорма

V?

ЫР°1,6)2,ау ¿8 '

<5(г—5

при q < оо,

sup

при g = оо.

Класс Bj „ Q является банаховым пространством относительно нормы

||/lk,a:= ||/|ка + йгг, „,«(/)•

Отметим, ЧТО В^оо.а = #2,а-

Теорема 3.2. Пусть а > 1 — произвольное число (можно, например, взять а = 2). Для того чтобы функция / € ¿2,« принадлежала классу Щ,q,a> 'необходимо и достаточно, чтобы была конечна полунорма

/ со \ 1/9

при g <00,

ЬГ2,ЧМ) \»=0 /

sup anr£,0n(/)2ia при q = оо,

neZ+

где Z+ = {0,1,2,... }. Яри этом норма (??j в эквивалентна норме

ll/lka +&,.„(/)■ И

Для доказательства достаточности условий теорем 3.1 и 3.2 применяются следующие аналоги неравенства Бернштейна. Лемма 3.1. Для любой функции Ф G %v справедливо неравенство

||£Ф||2,а < И|Ф||2,а. Лемма 3.2. При Ф(х) Е Т„ и h > 0 справедливо неравенство

Также в главе 3 получены различные эквивалентные нормы в банаховом пространстве Br2qa.

В четвертой главе вводятся пространства Соболева для оператора Данкля и доказывается теорема об эквивалентности /Г-функционала и модуля гладкости, построенного по обобщенным сдвигам Данкля. Эта теорема является аналогом теоремы об эквивалентности модуля гладкости и К-функционала в классической теории приближений, которая имеет многочисленные приложения в различных задачах теории приближений.

Пусть W™a (т = 1,2,3...)— пространство Соболева, построенное по оператору D, т. е.

■= {/ € L2,a : Djf £ L2,a,j = 1,2,..., rn}. Определим /С-функционал, построенный по пространствам и

W2ma-

K(f,t;L2,a;W2mQ) := inf{||/ -9\\2,a + t\\Dmg\\2,a : g G, W™a},

где / e ¿2,a, t > 0.

Для краткости будем использовать обозначение

Km(f,t) 2,а:= K(f,t;L2ia;W^a).

Теорема 4.2 Существуют положительные числа С\ = с\(т,а) и с2 = с2(т,а), для которых справедливо неравенство

CI wm(/, 6)2,а < Km(f, 6т)2,а < c2uim{f, 6)2ta,

где / 6 Ь2}Спд > 0.

В пятой главе вводится определение класса Липшица и доказывается аналог одной классической теоремы Е. Титчмарша об описании образа при преобразовании Фурье множества функций, удовлетворяющих условию Липшица в Ь2(Ш).

Определение 5.2. Будем говорить, что функция /(х) принадлежит классу Липшица Ыра(7,2), 0 < 7 < 1, если /(х) £ Ь2>а и

\\Тк1(х)-/(х)\\2>а = 0(К) ■

при к —► 0.

Теорема 5.2. Если /(х) £ а и /(А) — ее преобразование Данкля, то условия

/(х)£Ыра{ 7,2)

и

I |/(А)|2 ¿А = 0(Х-27-2а-1)

(А|>Х

при X —+оо эквивалентны.

В шестой главе доказываются аналоги неравенств Никольского-Стеч-кина и Боаса для оператора Данкля.

Теорема 6.1.Пусть Ф £ и > 0, т £ N. Для любого И е (0,1/^) справедливо неравенство

\\отФ\\2,а < С1л-т|!Д5ГФ||2,а, где С\ = с^т, а) — некоторая постоянная.

Теорема 6.2.Пусть Ф 6 Т„, 1 < р < оо, V > 0, т £ N. Для любых чисел 5 и Н, удовлетворяющих неравенству 0 < 5 < И < 1/и, справедливо неравенство

< с2}Гт\\Х£Щ2,а, ,

где с2 = с2(т,а) — некоторая постоянная.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Белкина Е. С. Обобщенный сдвиг Данкля и приближение функций /

Е. С. Белкина // Современные проблемы теории функций и их прило-

жения: тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. - Саратов: ООО Изд-во "Научная книга", 2006. - С. 26-27.

2. Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. I / Е. С. Белкина // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. - Петрозаводск, 2006. - Вып. 13. - С. 3-25.

3. Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. II / Е. С. Белкина // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. - Петрозаводск, 2006. - Вып. 13. - С. 26-37.

4. Белкина Е. С. Преобразование Бесселя функций, удовлетворяющих условию Липшица / Е. С. Белкина // Известия ТулГУ. Серия математика, механика, информатика - 2005. - Т. 11, вып. 1. - С. 106-114.

5. Белкина Е. С. Преобразование Данкля функций, удовлетворяющих условию Липшица / Е. С. Белкина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. - С. 23-24.

6. Белкина Е. С. О модулях гладкости, построенных пр обобщенным сдвигам Данкля / Е. С. Белкина, С. С. Платонов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. -С. 180-181. (вклад диссертанта 50%)

7. Белкина Е. С. Преобразование Данкля функций, удовлетворяющих условию Липшица / Е. С. Белкина // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. - Петрозаводск, 2007. -Вып. 14. - С. 3-13.

8. Белкина Е. С. Об одном аналоге неравенства Стечкина.для оператора Данкля / Е. С. Белкина // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы,

посвящ. памяти акад. П. Л. Ульянова. - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2008. - С. 22-23.

9. Белкина Е. С. Эквивалентность /С-функционалов и модулей гладкости, построенных по обобщенным сдвигам Данкля / Е. С. Белкина, С. С. Платонов // Известия ВУЗов. Математика. - 2008. -№8. -С. 3-15. (вклад диссертанта 50%)

Подписано в печать 14.11.08. Формат 60*84'\|б-Бумага офсетная. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ К» 201.'

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Карельский государственный педагогический университет» Республика Карелия. 185680, г. Петрозаводск, ул. Пушкинская, 17. Печатный цех

Введение

1 Обобщенные сдвиги Бесселя и Данкля

2 Теоремы джексоновского типа

3 Функциональные пространства Никольского и Бесова

4 Эквивалентность .К"-функционалов и модулей гладкости

5 Функции, удовлетворяющие условию Липшица

6 Аналоги неравенств Никольского-Стечкина и Боаса 80 Литература

В классической теории приближения функций центральную роль играют операторы сдвига /(ж) н-»- /(ж + у), х,у е М. Так инфинитезималь-ным оператором сдвига является оператор дифференцирования, преобразование Фурье представляет собой разложение по собственным функциям оператора сдвига, оператор сдвига используется для построения модулей непрерывности и гладкости, которые являются основными элементами прямых и обратных теорем теории приближения. Различные обобщения операторов сдвига позволяют формулировать естественные аналоги задач классической теории приближения. Одним из обобщений операторов сдвига является группа или полугруппа операторов в банаховом пространстве. Многие задачи теории приближения такого вида рассмотрены в работах П. Бутцера, X. Беренса и А. П. Терехина (см. [35], [41]).

Другим обобщением операторов сдвига являются так называемые "операторы обобщенного сдвига". Единого определения понятия обобщенного сдвига нет. Существует широкий класс обобщенных сдвигов (обобщенные сдвиги Дельсарта-Левитана), которые строятся по произвольному дифференциальному оператору Штурма-Лиувилля второго порядка (см. [21]), но существуют также и другие операторы обобщенного сдвига (например несимметричные обобщенные сдвиги (см. [31], [30]). Обобщенные сдвиги не обязательно образуют группу или полугруппу, но построенные по ним обобщенные модули гладкости могут быть лучше приспособлены для изучения связей между гладкостными свойствами функции и наилучшими приближениями этой функции в весовых функциональных пространствах, чем обычные модули гладкости. Различные задачи теории приближения функций, в которых используются операторы обобщенного сдвига, рассматривались в работах Я. Лёфстрема и Я. Петре [50], 3. Дитци-ана и В. Тотика [44], П. Бутцера, Р. Стенса и М. Веренса [42], А. Г. Бабенко [2], М. К. Потапова [27, 29, 30, 31], М. К. Потапова и В. М. Федорова [28], Д. В. Горбачева [15], X. П. Рустамова [33], 3. Дитциана и М. Фелтена [45].

На полупрямой = [0, +оо) одним из важнейших операторов обобщенного сдвига является обобщенный сдвиг Бесселя, который используется при изучении различных задач, связанных с дифференциальными операторами Бесселя (см., статью Б. М. Левитана [20] и книгу И. А. Куприянова [18]). С обобщенным сдвигом Бесселя тесно связан гармонический анализ Бесселя, т.е. раздел гармонического анализа, в котором изучаются различные задачи, связанные с интегральными преобразованиями Бесселя (Ганкеля). В работах С. С. Платонова (см. [24]-[26]) с помощью обобщенных сдвигов Бесселя изучались различные задачи теории приближения функций на полупрямой [0, +оо) в метрике Ьр со степенным весом целыми функциями экспоненциального типа.

В последние годы в математической литературе появился и стал использоваться новый класс обобщенных сдвигов — обобщенные сдвиги Данкля. Обобщенные сдвиги Данкля строятся по некоторым дифференциально-разностным операторам (операторам Данкля), которые широко используются в математической физике (см., например, [46], [48], [51], [55], [56]).

В общем случае операторы Даикля ранга п действуют в п-мерном евклидовом пространстве Мп, но даже в простейшем случае п = 1 операторы Данкля и связанный с ними гармонический анализ Фурье-Данкля представляют значительный интерес (см., например, [39], [52], [53], [54], [57],

В диссертации рассматриваются различные задачи, связанные с применением гармонического анализа Фурье-Данкля в теории приближения функций. Работа состоит из введения и шести глав. Кратко остановимся на содержании глав.

1. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для Ь2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах / А. Г. Бабенко // Известия РАН. Серия математическая. - 1988. -Т. 62, № 6. - С. 27-52.

2. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексопа-Стечкина для Ь2-приближений на полупрямой с весом Лаггера / А. Г. Бабенко // Труды междунар. шк. С. Б. Стечкина по теории функций: (1998, Миасс Челяб. обл., Россия). Екатеринбург: УрО РАН, 1999. - С. 38-63.

3. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции: в 2 т. / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 296 с.

4. Белкина Е. С. Обобщенный сдвиг Данкля и приближение функций / Е. С. Белкина // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов: ООО Изд-во "Научная книга", 2006. - С. 26-27.

5. Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. I / Е. С. Белкина // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2006. - Вып. 13. - С. 3-25.

6. Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. II / Е. С. Белкина // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2006. - Вып. 13. - С. 26-37.

7. Белкина Е. С. Преобразование Бссселя функций, удовлетворяющих условию Липшица / Е. С. Белкина // Известия ТулГУ. Серия математика, механика, информатика 2005. - Т. 11, вып. 1. - С. 106-114.

8. Белкина Е. С. Преобразование Данкля функций, удовлетворяющих условию Липшица / Е. С. Белкина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. - С. 23-24.

9. Белкина Е. С. Преобразование Данкля функций, удовлетворяющих условию Липшица / Е. С. Белкина // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2007.- Вып. 14. С. 3-13.

10. Белкина Е. С. Эквивалентность if-функционалов и модулей гладкости, построенных по обобщенным сдвигам Данкля / Е. С. Белкина, С. С. Платонов // Известия ВУЗов. Математика. 2008. - № 8. - С. 315.

11. Берг И. Интерполяционные пространства / И. Берг, И. Лёфстрем. -М.: Мир, 1980. 264 с.

12. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1979. - 320 с.

13. Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения / Д. В. Горбачев. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. -152 с.

14. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

15. Житомирский И. С. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя / И. С. Житомирский // Математический сборник 1955. - Т. 36, № 2. - С. 299-310.

16. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И. А. Киприянов. М.: Наука; Физматлит, 1997. - 198 с.

17. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 544 с.

18. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // Успехи математических наук. 1951. - Т. 6, № 2. - С. 102-143.

19. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига / Б. М. Левитан. М.: Наука, 1973. - 312 с.

20. Никольский С. М. Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна / С. М. Никольский // ДАНСССР. 1948. - Т. 60, № 9. - С. 1507-1510.

21. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. М.: Наука, 1977. - 456 с.

22. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций в метрике 1/2,а- I- / С. С. Платонов // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2000. - Вып. 7. - С. 70-82.

23. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций в метрике П. / С. С. Платонов // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2001. - Вып. 8. - С. 3-17.

24. Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой / С. С. Платонов // Известия РАН. Серия математическая. 2007. - Т. 71, № 5. - С. 149-196.

25. Потапов М. К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби / М. К. Потапов // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 1983. - № 3. - С. 43-52.

26. Потапов М. К. О теоремах Джексона для обобщенного модуля гладкости / М. К. Потапов, В. М. Федоров // Труды Математического ин-та АН СССР. 1985. - Т. 182. - С. 291-295.

27. Потапов М. К. О применении оператора обобщенного сдвига в теории приближений / М. К. Потапов // Вестник Моск. ун-та. Серия математика, механика. 1998. - № 3. - С. 38-48.

28. Потапов М. К. О приближении функций, характеризуемых одним несимметричным оператором обобщенного сдвига / М. К. Потапов // Труды Математического ин-та АН. 1999. - Т. 227. - С. 243-259.

29. Потапов М. К. О свойствах и о применении в теории приближений одного семейства операторов обобщенного сдвига / М. К. Потапов // Математические заметки. 2001. - Т. 69, вып. 3. - С. 412-426.

30. Рад М. Методы современной математической физики: в 4 т. / М. Рид, Б. М. Саймон. М.: Мир, 1978. - Т. 1. - 360 с.

31. Рустамов X. П. Модули гладкости высших порядков, связанные с разложением Фурье-Якоби, и приближение функций алгебраическими полиномами / X. П. Рустамов // Доклады РАН. 1995. - Т. 344, № 5. - С. 593-596.

32. Стечкин С. Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна / С. Б. Стечкин // ДАНСССР. 1948. - Т. 60, № 9. - С. 1511-1514.

33. Терехин А. П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение / А. П. Терехин // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Саратовского гос. университета, 1975. - Вып. 2. - С. 3-28.

34. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. / А. Ф. Тиман. М.: Физматгиз, 1960. - 624 с.

35. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье / Е. Титчмарш.- М.: Гостехиздат, 1948. 480 с.

36. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель. М.: Мир, 1980. - 664 с.

37. Abdelkefi С. Characterization of Besov spaces for the Dunkl operator on the real line / C. Abdelkefi, M. Sifi // Journal of inequalities in pure and appl. Math. 2007. - V. 8, Iss. 3. - P. 1-11.

38. Boas R. P. Quelques généralisations d'une théoréme de S. Bernstein sur la dérivée d'un pofynome trigonometrique / R. P. Boas // Сотр. Rend. -1948. V. 227. - P. 618-619.

39. Butzer P. L. Semi-groups of operators and approximation / P. L. Butzer, H. Behrens. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967. - 480 p.

40. Butzer P. L. Higher order moduli of continuity based on the Jacobi translation operator and best approximation / P. L. Butzer, R. L. Stens, M. Wehrens // Math. Rep. Acad. Sci. Canada. 1980. - V. 11, No. 2. -P. 83-88.

41. DeVore R. A. Constructive approximation / R. A. DeVore, G. G. Lorentz.- Berlin etc.: Springer-Verlag, 1993. 449 p.

42. Ditzian Z. Moduli of smoothness / Z. Ditzian, V. Totik. New York etc.: Springer-Verlag, 1987. - 227 p.

43. Ditzian Z. Averages using translation induced by Laguerre and and Jacobi expansions / Z. Ditzian, M. Feiten // Constr. Approx. 2000. - V. 16. -P. 115-143.

44. Dunkl G. F. Differential-difference operators assosiated to reflection groups / C. F. Dunkl // Trans. Amer. Soc. 1989. - V. 311. - P. 167-183.

45. Feng D. Some equivalence theorems with ii-functionals / D. Feng // J. of Appr. Theory. 2003. - V. 121. - P. 143-157.

46. Jeu M. F. The Dunkl transform / M. F. de Jeu // Invent. Math. 1993.- V. 113. P. 147-162.

47. Johnen H. On the equivalence of the ii-functional and moduli of continuity and some applications / H. Johnen, K. Scherer // In: Constructive Theory of Functions of Several Variables. Lecture Notes in Math. 1977. - V. 571.- P. 119-140.

48. Löf ström J. Approximation theorems connected with generalized translations / J. Löfström, J. Peetre // Math. Ann. 1969. - V. 181.- P. 255-268.

49. Maslouhi M. Harmonic functions associated to Dunkl operators / M. Maslouhi, E. H. Youssi // Monathefte für Math. 2007. - V. 152.- P. 337-345.

50. Mourou M. A. Transmutation operators assosiated with a Dunkle type differential-difference operator on the real line and certain of theirapplications / M. A. Mourou // Integral Transforms and Special Functions. 2001. - V. 12, No. 1. - P. 77-88.

51. Mourou M. A. Transmutation operators and Paley-Wiener theorem associated with a singular differential-difference operator on the real line / M. A. Mourou, K. Trimeche // Analysis and Applications. 2003. - V. 1, No 1. - P. 43-70.

52. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on M / M. Rosier // In: Heyer, H. and Mukherjea, A(Eds), Probability Measures an Groups and Related Structures. Proc. Couf. Oberwolfach, 1994. Would Scientific. - 1995. -P. 292-304.

53. Rosier M. Markov processes related with Dunkl operators / M. Rosier, M. Voit // Adv. in Appl. Math. 1998. - V. 21. - P. 575-643.

54. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications / M. Rosier // Lecture Notes in Math. 2002. - V. 1817. - P. 93-135.

55. Soltani F. Littlwood-Paley operators associated with the Dunkl operator on E / F. Soltani // J. of Funct. Anal. 2005. - V. 221. - P. 205-225.

56. Salem N. B. Mean-periodic functions associated with the Dunkl operators / N. B. Salem, S. Kallel // Integral Transforms and Special Functions. -2004. V. 15, No 2. - P. 155-179.

57. Thangavelu S. Convolution and maximal function for Dunkl transform / S. Thangavelu, X. Yuan // J. Anal. Math. 2006. - V. 97. - P. 25-55.

58. Trimèche K. Transmutation operators and mean-periodic functions associated with differential operators / K. Trimèche // Mathematical Reports. 1988. - V. 4, Part 1. - P. 1-282.

59. Trimèche K. Generalized harmonie analysis and wavelet packets / K. Trimèche. Amsterdam: Gordon and Breach Sciences Publishers, 2001. - 228 p.