Константы Джексона в пространствах L2 с весом и задача Логана для целых функций многих переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 517.5

ИВАНОВ Алексей Валерьевич

КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ Ь2 С ВЕСОМ И ЗАДАЧА ЛОГАНА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ I

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

Тула — 2011

4859505

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

доктор физико-математических наук Горбачев Дмитрий Викторович

доктор физико-математических наук, профессор

Арестов Виталий Владимирович

кандидат физико-математических наук Андреев Николай Николаевич

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 8 декабря 2011 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН (620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.

Автореферат разослан 3 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 004.006.02 кандидат физико-математических наук

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению многомерных экстремальных задач теории приближений и теории функций в пространствах с весом — задачи о точной константе Джексона в пространстве L2 с весом и связанной с нею задачи Логана для целых функций.

Актуальность темы. Задача о точной константе в неравенстве Джексона (константе Джексона) между величиной наилучшего приближения и модулем непрерывности функции в пространстве ¿2 является важной экстремальной задачей теории приближений. Первый точный результат для одномерного тора Т был получен Н.И. Черных в 1967 году. Несмотря на кажущуюся простоту метрики Li и возможность явной записи элемента наилучшего приближения задача о константе Джексона оказалась весьма сложной и привлекла внимание многих математиков. Развитие тематики шло по пути расширения списка многообразий, на которых рассматривалось пространство L2 и усложнения определения модуля непрерывности.

Точные неравенства Джексона были доказаны для многомерного тора Td (В.А. Юдин), евклидова пространства Rd (И.И. Ибрагимов и Ф.Г. Насибов, В.Ю. Попов, А.Г. Бабенко, A.B. Московский), гиперболоида Hd (В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев и М.С. Пискорж), евклидовой сферы Sd~l (B.B. Арестов и В.Ю. Попов, В.Ю. Попов, А.Г. Бабенко), проективных пространств (А.Г. Бабенко).

Точные неравенства Джексона с к-м и более общими модулями непрерывности были доказаны Н.И. Черных, А.Г. Бабенко, А.И. Козко и A.B. Рождественским, С.Н. Васильевым, B.C. Балаганским и другими математиками.

Константа Джексона, зависящая от приближающего подпространства и модуля непрерывности, имеет глобальный минимум. Если фиксировать приближающее подпространство, то интересной и сложной становится задача нахождения минимального значения аргумента в модуле непрерывности, при котором константа Джексона становится наименьшей. Минимальное значение аргумента модуля непрерывности называют оптимальной точкой или точкой Черных. Первый оптимальный аргумент нашел Н.И. Черных для тора Т. Наиболее полные результаты для евклидова пространства Rd были получены Е.Е. Бердышевой, Д.В. Горбачевым. Они показали, что оптимальная точка зависит как от геометрии спектра приближающих целых функций, так и от геометрии окрестности нуля в определении модуля непрерывности. Е.Е. Бердышева установила глубокую связь между

оптимальной точкой в неравенстве Джексона и экстремальной задачей Логана для целых функций многих переменных из пространства

Ьф.*).

Нахождение констант Джексона для широкого класса пространств 1г2 на компактных и локально компактных многообразиях использует развитый гармонический анализ. Наличие такого анализа определяется наличием группового сдвига, или наличием богатых групп движений на этих многообразиях, позволяющих естественным образом определять приближающие подпространства, обобщенный сдвиг и модули непрерывности.

Создание Ч. Данклем и другими математиками содержательного гармонического анализа на евклидовом пространстве К** с обобщенным степенным весом делает актуальным решение указанных задач и в пространствах с весом.

Цель работы. Основной целью диссертации является решение экстремальной задачи о константе Джексона в пространстве Ь2 на с обобщенным степенным весом и на Т<* с периодическим весом Якоби. Нахождение оптимальной точки в неравенстве Джексона в пространстве Ь2 на Е** с обобщенным степенным весом и решение связанной с ней экстремальной задачи Логана для целых функций многих переменных.

Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа в пространствах с весом.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана непрерывность константы Джексона в пространстве Ь2(Ша) с обобщенным степенным весом.

2. Многомерная задача о константе Джексона в пространстве с обобщенным степенным весом для случая, когда приближающее подпространство и модуль непрерывности определяются евклидовыми шарами, сведена к одномерной задаче в пространстве £2(К+) со степенным весом.

3. В случаях, когда приближающее подпространство определяется евклидовым шаром, а модуль непрерывности — евклидовым шаром или параллелепипедом, в неравенстве Джексона в пространстве Ь2 (К^) с обобщенным степенным весом найдены оптимальные точки.

4. Решены экстремальные задачи Логана, Фейера, Дельсарта для целых функций из пространства Ь1(Е<г) с обобщенным степенным

весом.

5. Доказано точное неравенство Джексона в пространстве ^(Т*) с периодическим весом Якоби.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные методы могут быть использованы при решении экстремальных задач в других пространствах с весом.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2009, 2010, 2011), VI Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» в г. Новороссийске (2010), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В.И. Иванова в ТулГУ (2009-2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [1, 2, 3] в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.

Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [4, 5, 6, 7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на 10 параграфов. Общий объем диссертации - 121 страница. Библиография содержит 79 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается краткая история вопроса, приводятся постановки задач и основные результаты.

Первая глава содержит 4 параграфа и посвящена изучению константы Джексона в пространстве Ь2(К<1) с обобщенным степенным весом.

В §1 излагаются элементы гармонического анализа в пространствах с обобщенным степенным весом.

Гармонический анализ осуществляется с помощью дифференциально-разностных операторов и интегральных преобразований Да-нкля, определяемых с помощью конечной группы отражений. Такой подход к построению гармонического анализа и соответствующих специальных функций был предложен Ч. Данклем в конце 80-х годов прошлого века. В его работах, а также в работах М. Рёслер, М. де Же, К. Тримеш, Ю. Ху, других авторов он приобрел достаточно законченный вид, хотя еще имеется много важных вопросов, на которые нет окончательных ответов. Построенная теория получила название теории Данкля. Она нашла широкое применение в математической физике, теории вероятностей, теории функций. Настоящая

диссертация посвящена ее применению в теории приближений. Отметим также работы Е. С. Белкиной, Д. В. Чертовой, С.С. Платонова, в которых исследуются вопросы теории приближений на прямой и полупрямой со степенным весом.

Приведем необходимые факты из теории Данкля. Пусть М<£ — ¿-мерное действительное евклидово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой \х\2, е1,...,ес1 — стандартный ортонормированный базис, а £ {0}, аа — ортогональное отражение относительно гиперплоскости (а,х) = О,

«*(*)= П 1(<*.*)12*(в)

— обобщенный степенной вес, определяемый положительной подсистемой системы корней й С и функцией к(а) : Я —► инвариантной относительно группы отражений порожденной

К, ¿к = f е-'хУ2ун{х)(1х — интеграл Макдональда-Мета-Сельберга, к-1

¿цк{х) = с^1ук(х)(Ь, 1<р<оо, — пространство комплекс-

ных измеримых по Лебегу на функций / с конечной нормой ( \1,р

11Л1р,* = I \1{х)\рйцк{х) , Сь{1&*) — пространство непрерывных

Уди«1 )

ограниченных функций.

Дифференциально-разностные операторы Данкля определяются равенствами

-^ + Е *■>(«.;=■ • ■

Для у е система

/(0) = 1

имеет единственное в М** решение Ек(х, у), назьшаемое ядром Данкля, которое продолжается до аналитической в С* х Сй функции. Для обобщенной экспоненты ек(х,у) = Ефх,у) вьшолнены свойства, аналогичные свойствам экспоненты ег(-х'у\

Обобщенная экспонента позволяет определить прямое и обратное преобразования Данкля:

/*(*) = /КУЫъу)*^), /*(*) = /*(-*).

е«1

Для преобразования Данкля справедливы обычные Ьу и теории, равенство Парсеваля. Таким образом, преобразование Данкля является линейным ограниченным оператором из в Сь(Ма) и

из в поэтому по интерполяционной теореме Рисса

— Торина оно продолжается до ограниченного оператора из Ьр>к в Ьр.кСК*), 1 < р < 2.

Пусть V — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в функционал Минковского которого определяет норму в К'*:

\х\у = тш {А > 0 : ж 6 АУ}, Г = {а;еКЙ: шах|(®,у)| < 1}

уёУ

— поляра V, 1 < р < оо,

1/р

(1<P<<X)), 13d = (ж £ Rd : |х|р < 1}.

Для выпуклого центрально-симметричного компактного тела V С Rd через E^aV), 1 < р < 2, <т > 0, обозначим класс функций

/ е Zp,fc(Rd) ПСьО^). для которых носитель supp /* С aV. Если / 6 Ер k(crV), то для всех z €Cd справедливо равенство

/(*) = У fk(y)ek{z,y)dtik(y), aV

поэтому /(г) — целая функция, для которой справедлива экспоненциальная оценка

|/(z)|<C/e-lIm^, Cf > 0.

Обратное утверждение, называемое теоремой Пэли — Винера, доказано для случаев, когда V — евклидов шар, или V — инвариантно относительно G(R), а к(а) принимает целые значения.

Наилучшим приближением / е Z,2lfc(Rd) классом E% k{crV) назовем величину

E(aV,f)2<k = inf{||/ ~ Slkfc = 5 6 £2J,fc(<rV)}.

В §2 для функции / G L2,fc(Rd) с помощью выпуклого центрально-симметричного компактного тела U определяется модуль непрерывности

u{TVJ)2,k = sup f 2 f (1-Reek(t,y))\f(y)\2dfik(y) ,т > 0. t&rU \ J I

\ K<< /

Если к (а) = 0, то он совпадает с классическим модулем непрерывности

ш{ти,/)2 = вир{||/(а;+ *)-/(*)||2 -лети}.

Доказывается, что для функций из пространства Шварца (бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих к нулю) модуль непрерывности может быть записан в виде:

)1/2 где

ткНх) = ! ек^,у)}к(у)ек(х,у)(1цк(у) Е<*

— оператор обобщенного сдвига Данкля, определенный М. Рёслер. Если к{а) = 0, то тЦ{х) = /(х + Ь).

В §3 для вьшуклых центрально-симметричных компактных тел V ж XI определяем константу Джексона 0(аУ,ти)2,к, как точную константу в неравенстве Джексона

то есть полагаем

I Ш{ти,})2,к )

Функция £)(стУ,т(7)2,к Двух переменных сг, т является функцией одной переменной сгт:

0(стУ,ти)2,к = В{У,ати)2<к = Ц)2>к.

Для любых а, т > 0 справедливы неравенства

Пусть М° -Ж.Л\М — дополнение множества М С 5+(т?7) — множество вероятностных регулярных борелевских мер с носителем втЕЛ

В основе изучения свойств константы Джексона лежит следующая теорема.

и(ти,/)2,к= зир ( / (т*кШ-Пх)\2)\

гвти \J V

Теорема 1.1. Справедливы следующие равенства:

2 D2(aV,rU)2,k = —^ inf /(l-Reefc(i,x))dM(i) =

__1_

~ 1 — inf sup / Reek(t,x)dn(t)' Mes+Crt/) X£(ovyTu

Существует экстремальная мера ц* 6 S+(rU), для которой

2 D2(aV,rU)2,k = ш /(1_iejfc(tia.)^(t) = *6(ffV)eTI7

__1_

1— sup f Reek(t,x)dfi*(t) x£(aV)"TU

Теорема 1.1 получена с помощью соображений двойственности. Впервые в задаче о константе Джексона в Ь2 это было сделано В.В. Арестовым. Экстремальную меру в теореме 1.1 можно выбрать четной.

С помощью теоремы 1.1 доказывается непрерывность константы Джексона.

Теорема 1.2. Для всех а > 0, г > 0 константа Джексона D{trV,rU)2,k непрерывна.

При d = 1, k(a) = 0 непрерывность константы Джексона доказана В.В. Арестовым и А.Г. Бабенко. Мы следуем их рассуждениям.

В §4 рассматривается случай, когда V и U — евклидовы шары. Они инвариантны относительно ортогональных преобразований, поэтому точная верхняя грань при вычислении константы Джексона должна достигаться на функциях, инвариантных относительно ортогональных преобразований, то есть на радиальных функциях. Это, действительно, так.

Пусть J\(x) — функция Бесселя порядка А > —1/2, j\{x) — = 2ЛГ(А+1) — нормированная функция Бесселя, q\ — наименьший положительный нуль J\,

D(o-}t)2,\ - константа Джексона в пространстве 1/2,л(^+) на полупрямой R+ с весом х2Х+1. Она совпадает с константой Джексона в пространстве Ь2<к(Щ с весом Vk(x) — |ж|2Л+1 на подпространстве четных функций.

Основным результатом §4 является следующая теорема.

Теорема 1.3. Если ¿е Л, а > 0, г > 0, А* = ¿/2-1+ £ к(а),

ЩгВ$,тВ2)2,к=П(сг,т)3,Хк.

Из теоремы 1.3 и одномерных результатов А.Г. Бабенко, А.В. Московского для полупрямой вытекает утверждение.

ТЕОРЕМА 1.4. Если<1еП, а>0, \к = (1/2-1 + £ К«), то

а£Л+

V 2 ^ / 2,к

Результаты первой главы анонсированы в [6, 7] и опубликованы с доказательствами в [2, 3].

Вторая глава содержит 3 параграфа. Она посвящена нахождению оптимальных точек в неравенстве Джексона в пространстве ¿г^ОК'О и решению задачи Логана, а также некоторых других экстремальных задач для целых функций многих переменных.

В §1 устанавливается связь между задачей о константе Джексона в пространстве Ь2,к(К**) и задачей Логана.

Оптимальная точка в неравенстве Джексона или точка Черных определяется равенством:

и) = ш^т > 0 : £(<гУ, тС/)2,ь = 1/\/2}.

Д.В. Горбачев нашел точку Черных для одномерной константы Джексона Б(а,т)2^, поэтому из теорем 1.3, 1.4 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если(1еП, а > 0, Хк = й/2-1 + £ к(а), то

аел+

О"

Задача об оптимальной точке связана с задачей Логана для некоторого класса целых функций. Задача Логана для класса действительных функций Ш состоит в вычислении величины

Л(Ш1, V) = тф(/, V) : / е Ш, / ф 0},

где

А(/, V) = зир(И^ : /(х) > 0}.

— радиус наименьшего шара по норме, определяемой телом V, вне которого функция неположительна.

Пусть

Fd(jU) = i^Jek(x,t)dß(t) : ц б S+{rU), ц - четная J

— класс четных целых функций.

Для них справедливо утверждение, доказательство которого следует работе Логана.

Лемма 2.2. Если f е Fg{rU) и А(f,V) < оо, то f е Lltk{Rd), suppf* CtU и р(х) > 0 на Rd.

Если Wf;'+(U) — класс действительных четных целых функций / € Edk{U), для которых /(0) = 1 и ^(у) > 0 на Rd, то по лемме 2.2

A(Wt'+(U),V)=A(Fd(U),V).

Основным результатом §1 является теорема. ТЕОРЕМА 2.3. Имеют место следующие равенства:

tdik(<jV,U)=A(w£'+(aU),V)=A(Fd(aU),V) = = rd,k(V,U) = A(Wt'+(U),V) = А (Fd(U),V)^

а er а

Теорема 2.3 при к(а) = 0 была доказана Е.Е. Бердьппевой. В §2 решаются некоторые экстремальные задачи со спектром в евклидовом шаре.

Из теорем 2.1, 2.3 вытекают равенства

Л (Wt'+(aBd),Bd) = A{Fi{aBd),Bd) =

Экстремальная функция в задаче Логана для указанных классов — радиальная. Это связано с тем, что классы w£'+(crB$), F£(crB$) инвариантны относительно ортогональных преобразований. Какие еще важные классы целых функций обладают этим свойством. Рассмотрим постановки следующих экстремальных задач. Задача Логана I. Вычислить величину

Afca№d)=mfA(/,ß2d),

если / е Е(к(еВ%), f ф 0, / - действительная, /*(0) > О.

Задача Логана I — это задача Логана на более широком классе целых функций, чем W^'^crBj).

Задача Логана II. Вычислить величину

Af№d) = infA(-/,B|),

если / б Efk(aB$), f ф 0, / - действительная, /*(0) = 0, > О в некоторой окрестности нуля.

Задача Фейера. Вычислить величину

A f{cBi) = sup/(0),

если / б Eftk{<rB$), f{x) > 0 на Rd, /*=(0) = 1. Задача Турана. Вычислить величину

A'f(aB2d) = sup/*(0),

если / 6 C(Rd), supp / с cBi, /(0) = 1, /*(у) > 0 на Rd.

Из свойств преобразования Данкля вытекает, что величины Лf(<rBd) и A'f (cr£d) совпадают.

Задача Дельсарта. Вычислить величину

Ad'4(aBd)=sup/*(0),

если / g Е%к{<?В$), / — действительная, /(0) = 1, /(х) < 0 (|ж|2 > 1), fk(y)>0 на Rd.

Рассмотрим случай единичного веса. Соответствующие задачи будем обозначать кй'{(стВ%), г - 1,2,3,4. Задача Логана I для d = 1 была поставлена и решена Б. Логаном. Результат Логана вытекает и из более ранних работ Н.И. Черных. Величина Л3,1(стВ|) вычислена А.В. Московским. В многомерном случае задача Логана I для произвольных тел V, U была поставлена Е.Е. Вердышевой. Для евклидовых шаров она решена Д.В. Горбачевым (оценка снизу). Экстремальные функции построены Н.И. Черных (d ~ 1) и В.А. Юдиным (d > 1). Задача Логана II для d = 1 была поставлена и решена Б. Логаном. В многомерном случае задача Логана П в неявной форме возникла у В.А. Юдина при исследовании связи между кодами и дизайнами на торе Td. При d > 1 им была предложена функция, оказавшаяся экстремальной. В явном виде задача Логана II была поставлена Д.В. Горбачевым. Он получил в

ней правильную оценку снизу. Задача Фейера была поставлена и решена Д.В. Горбачевым. Л. Фейер поставил и решил аналогичную задачу для тригонометрических полиномов на торе Т в 1913 году. Задача Турана была решена К. Зигелем (1935). Однако решение не было замечено. Оно было повторено при в, = 1 — Боасом и Кацем (1945), а при Л > 1 — Д.В. Горбачевым (2001). Задача Дельсарта для целых функций была поставлена В.А. Юдиным в связи с исследованием упаковки тора Т* шарами. Допустимое множество в задаче Дельсарта не пусто, например, при а > сг^ = 2(^/2 • Для 1 решение задачи Дельсарта известно только для а — а а (оценка сверху — Д.В. Горбачев и независимо X. Кон). Экстремальная функция построена В.А. Юдиным.

Для функций из £?1,а([0,с]), <т > 0, А > -1/2 на полупрямой аналогичным образом можно сформулировать задачи Логана I, II, Фейера, Дельсарта, в которых преобразование Данкля заменяется на преобразование Ганкеля. Соответствующие величины обозначим = 1,2,3,4.

Теорема 2.4. Если в, е К, а > 0, Хк = <1/2 - 1 + £ к{а), то

аеп+

для г = 1,2,3,4 справедливы равенства

Следуя Д.В. Горбачеву, при доказательстве теоремы 2.4 применяем усреднение целых функций по сфере с обобщенным степенным весом, а также формулу для усреднения обобщенной экспоненты:

I ек{у,х')ук{х')<Ь'= зХк(\у\2) I ьк(х')с1х'.

5л-1 Я*-1

Отметим, что усреднение по сфере или сферическим шапочкам успешно применяли многие авторы (например, М.В. Дейкалова).

Решение одномерных задач Ал'к1([0,сг]), г = 1,2,3 и задачи Л^4([0,2<7ль+1]) было получено Д.В. Горбачевым, поэтому можно сразу выписать ответы, вытекающие из теоремы 2.4.

Решить задачу Логана в такой общности для тел, когда хотя бы одно из них отлично от евклидова шара, очень сложно. В §3 рассматривается случай веса

^А(х) = П Ы2Л'+\ А = (Ах,..., АД X] > —1/2.

¿=1

Е.Е. Бердышева исследовала задачу Логана для целых функций из пространства £х(К<г). Наша цель — получить обобщение ее результатов на этот весовой случай.

В этом случае система корней Я — {±еь... ,±е<г}, Я+ —

— {б1,..., еа}, группа отражений <3(Я) — группа диагональных матриц порядка с? с элементами ±1 на диагонали. Пространства Ьр^Ш1) будем обозначать Ьр>а (К*), преобразование Данкля /* — т^к^У, Л) — II). Система обобщенных экспонент имеет вид

а

= Д елДауэд), е^{х,у5) = - %УХ.(х^).

й

Пусть а = (аь..., аа), а,- > О, Па = П [-а,-, а,], И^(Па) — класс

3=1

действительных четных целых функций / € Е1>л(Ксг), для которых ДО) = 1, зирр /> с Па и /*(0) > 0.

Класс И^ (Па) лежит в более широком классе целых функций \Уд,'а экспоненциального типа а, для которых для любого е > 0 выполняется оценка

\/Ш < с£е(°1+е> 1«1|+-+(^+е)|«-|> 2 е С<г.

Для получения оценки снизу в задаче Логана используют квадратурные формулы. Пусть а > —1/2, к € N

" • < 9<х>-2 < Ча,-1 < Яа,о < 0 < да>1 < qa¿ < ... , =

— нули функции Бесселя ]а(х), А = (Аь...,А<г), Xj > -1/2, к = (Ал,..., ка) € г*, гх(к, а) = П*=1 гА, а,-),

гх (к- а-) - 22Л'+31^12Л' > 0 вк _ (ЪхгМ Ъх^Л аз УхМ^ъ))2 V а1 /

Справедлива многомерная квадратурная формула типа Гаусса. Теорема 2.10. Если / е И^П-^аО^), то

I/(флСОЛс = £ гА(к,о)/Ю.

причем ряд в правой части сходится абсолютно.

При d = 1 она была доказана Фрапье, Оливером и Грозевым, Рахманом. В задаче Логана удобнее применять ее следствие.

Лемма 2.5. Если f 6 Wd'a П^.аО^), & = (ft,...,^) € (0,1]"*, fe(x) = f(dixi,..., edxd), то

f f(x)v,(x)dx = nÖ?J+1) E rx{k,a)fe(ßt). 3=1 fee ъ*

Из леммы 2.5 в задаче Логана получается следующая оценка. Лемма 2.6. Если норма \x\v — четная функция по каждой

координате, ß%a = (^f1,. - •, то

A(WJ?(n.),V) > \ßehJy.

Экстремальную целую функцию из класса W^'+(na) удалось построить только для случая V = Б|, применяя подход В. А. Юдина. Сформулируем основную теорему §3.

Теорема 2.11. Пусть А = (Аь...,А<г), > -1/2, а = = (ûj, ..., aj), aj > 0, а > 0. Тогда

Td,AH?f,na) = Л«(аПа),Б|) = А( (сгПа), =

= A(FAd(ana),ß2d) =

IflLb

- лге^/тт \ rdx _ iffijp _ 2<?Ax,1^1/p

- Л(^(<гПа), -Bp) - — - ^ •

Экстремальная функция в задачах Логана имеет вид = ( 1 - ) 11 --; —■•

àa 12 /

■■'('-te)2)'

Теорема 2.11 и леммы 2.5, 2.6 в случае единичного веса были доказаны Е.Е. Бердышевой.

Результаты второй главы анонсированы в [5, 7] и опубликованы с доказательствами в [2, 3].

Третья глава содержит три параграфа и посвящена доказательству точного неравенства Джексона в пространстве Ь2(ТЛ) с периодическим весом Якоби.

В §1, 2 излагаются элементы гармонического анализа, определяются наилучшее приближение, операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности.

Пусть € М, Т* = (-7Г, тг]<* — ¿-мерный тор, а = {аъ..., ау) е € Е*, а,- > -1/2, з = 1,...,й,х = (хх,...,хл) е Т", ьа{х) = = П,=11 — многомерный периодический вес Якоби (ульт-

расферический вес), ¿1>а(х) = уа(х)с1х, Ь2,а{Тй) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на функций /(ж) с конечной

нормой ||/||2|в = .

В случае единичного веса точное неравенство Джексона в пространстве 1-2 (Т) для приближений тригонометрическими полиномами было доказано Н.И. Черных, а в пространстве Ь2{Т*), й > 1 — В.А. Юдиным. Точные неравенства Джексона в пространствах Х2,а(Т), а > —1/2 для четных функций были доказаны А.Г. Бабенко, а в общем случае — Д.В. Чертовой.

Пусть а > —1/2, Рпа,а*(£) — ортогональные многочлены Якоби на отрезке [-1,1] с весом (1 -*2)а, для которых р£*'а)( 1) = 1, (р%(х) = _ р^а,а)(СОдх) _ четные тригонометрические полиномы порядка п,

— полная ортогональная система тригонометрических полиномов в Х2,а(Т), построенная Д.В. Чертовой.

Если п = (щ,...,^) е Ъл, х = (х1,...,х<1) е Та = = («!,...,аа) е И* су > -1/2, то полиномы е£(х) = П?=1 е^'(^) образуют полную ортогональную систему тригонометрических полиномов в пространстве Х,2,а(Тй). Для нее выполнены свойства

е£(0) = 1, К(х)\<1, ей(*) = е°п(а:) = «£(-*). Для любой / б 1-2,а справедливо разложение в ряд Фурье

(/.ей),

/П^п^л Jn —

пС» \СП>СПМ

Если / е L2,a(Td), Vr = ja; € Rd : E |s,-|(|sj| + 2a,- + 1) < R2 ^ , R > O, то наилучшее приближение определим равенством ErUKc* = inf

Е a"e"

neVB

2,a

Операторы обобщенного сдвига определим равенствами nez«1 m€Z^. п€Лт

где

Лт = {(ехтоь...,£dmd) : e¿ = ±1}, 4>%ÁX) = Д (х,)-

i=i

Они действуют в пространстве ¿2,a(Td) и их нормы равны 1.

Для них можно записать интегральные представления, используя их

интегральные представления при d — 1, полученные Д.В. Чертовой.

d

Пусть а = (ai,...,ad), 0 < a¿ < тг, П0 = Г1 [—«j,aj] —

i=i

параллелепипед в Td. Модули непрерывности для / £ ¿2,a(Td) определим равенствами

/ \ !/2 /)2,в = ¿sup J (r¿|f(y) - f(x)\2)\y=x dva{x)

U>2(5,f)2,a= SUP ( Í (T¿|/(l/) — f(x)\2)\ dua(x) te<ma \ У

Vid /

В случае единичного веса они совпадают с классическим модулем непрерывности.

В §3 в пространстве L2,a(Td) доказывается точное неравенство Джексона.

Пусть 0 <х <ir, 0 < а < тг, а >-1/2, z' = ^ z2 + (а + 1/2)2,

2Q+l/2p/'Q, j\ ?

= +1/2)(sinх)^ J (C°S* ~ C°S Х)°~1/2 C°S ^

о

^г (а) ~ наименьший положительный корень уравнения Va(a> 2f(a)) = = 0. При a = -1/2 (ж, z) = cos zx, zf (о) = 7г/2a.

Пусть a = (oi,..., a<i), 0 < aj < я, a = (ab..., ay), a,,- > -1/2, положительные числа Rvi 5r выбраны так, что

d

= 25r ПаСТ".

i=i

Теорема 3.1. Для любой f е L2>a(Td) справедливы точные неравенства

Яд(/К« < /Ь,а. ^я(/)2,а < /Ь,«-

При R —* оо

if^vV'2

R

■ f / т ^

25^ ~

Асимптотика для 2£д совпадает с оптимальной точкой в неравенстве Джексона в пространстве Ь2 для случая, когда V = В2, [/ = Па,(г = Я.

Результаты третьей главы анонсированы в [4] и опубликованы с доказательствами в [1].

Автор благодарит своего научного руководителя Д.В. Горбачева за постановку задач и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Иванов A.B. Теорема Джексона в пространстве L2(Td) с весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.З. С.26-42.

2. Иванов A.B. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26-44.

3. Иванов A.B. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.29-58.

4. Иванов A.B. О теореме Джексона в пространстве L2(Td) с весом Якоби // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2009. С. 48-52.

5. Иванов A.B. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2010. С. 35-38.

6. Иванов A.B. О теореме Джексона в пространстве L2(K.d) со степенным весом // Ряды Фурье и их приложения: тез. докл.VI Междун. симпоз. Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2010. С. 15-16.

7. Иванов A.B. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2011. С. 19-22.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 31.10.2011. Формат бумаги 60 х 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,2. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ 039 Тульский государственный университет 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95.

Обозначения.

Введение.

Глава 1. Константа Джексона в пространстве ¿^(М^)

§ 1. Гармонический анализ Данкля.

§ 2. Оператор обобщенного сдвига и модуль непрерывности

§ 3. Непрерывность константы Джексона.

§4. Константа Джексона Б(аВ^, тБ|)

Глава 2. Задача Логана для целых функций в пространстве

Ь!,к{т*).

§ 1. Связь константы Джексона с задачей Логана.

§ 2. Некоторые экстремальные задачи для целых функций со спектром в евклидовом шаре.

§ 3. Задача Логана для целых функций со спектром в параллелепипеде.

Глава 3. Константа Джексона в пространстве Ь2,а(Та)

§ 1. Гармонический анализ в пространстве Ь2,а(Тсг).

§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности

§ 3. Точное неравенство Джексона.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению многомерных экстремальных задач теории приближений и теории функций в пространствах с весом — задачи о точной константе Джексона в пространстве с весом и связанной с нею задачи Логана для целых функций.

Актуальность темы. Задача о точной константе в неравенстве Джексона (константе Джексона) между величиной наилучшего приближения И МОДулеМ НепрерЫВНОСТИ фуНКЦИИ В Пространстве 1/2 является важной экстремальной задачей теории приближений. Первый точный результат для одномерного тора Т был получен Н.И. Черных [47] в 1967 году. Несмотря на кажущуюся простоту метрики 1/2 и возможность явной записи элемента наилучшего приближения задача о константе Джексона оказалась весьма сложной и привлекла внимание многих математиков. Развитие тематики шло по пути расширения списка многообразий, на которых рассматривалось пространство Ь2 и усложнения определения модуля непрерывности.

Точные неравенства Джексона были доказаны для многомерного тора Td (В.А. Юдин [51]), евклидова пространства (И.И. Ибрагимов, Ф.Г. Насибов [23], В.Ю. Попов [42, 43], А.Г. Бабенко [4], A.B. Московский [37]), гиперболоида Hd (В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев и М.С. Пискорж [15]), евклидовой сферы 5d1 (B.B. Арестов, В.Ю. Попов [1], В.Ю. Попов [44], А.Г. Бабенко [3]), проективных пространств (А.Г. Бабенко [5]).

Точные неравенства Джексона с к-м и более общими модулями непрерывности были доказаны Н.И. Черных [48], А.Г. Бабенко [3-5], А.И. Козко, A.B. Рождественским [34], С.Н. Васильевым [11, 12], B.C. Балаганским [7] и другими математиками.

Константа Джексона, зависящая от приближающего подпространства и модуля непрерывности, имеет глобальный минимум. Если фиксировать приближающее подпространство, то интересной и сложной становится задача нахождения минимального значения аргумента в модуле непрерывности, при котором константа Джексона становится наименьшей. Минимальное значение аргумента модуля непрерывности называют оптимальной точкой или точкой Черных. Первый оптимальный аргумент нашел Н.И. Черных [55] для тора Т. Наиболее полные результаты для евклидова пространства были получены Е.Е. Бердышевой [10] и Д.В. Горбачевым [18]. Они показали, что оптимальная точка зависит как от геометрии спектра приближающих целых функций, так и от геометрии окрестности нуля в определении модуля непрерывности. Е.Е. Бердышева установила глубокую связь между оптимальной точкой в неравенстве Джексона и экстремальной задачей Логана для целых функций многих переменных из пространства Ь^Ш*1).

Нахождение констант Джексона для широкого класса пространств 1/2 на компактных и локально компактных многообразиях использует развитый гармонический анализ. Наличие такого анализа определяется наличием группового сдвига, или наличием богатых групп движений на этих многообразиях, позволяющих естественным образом определять приближающие подпространства, обобщенный сдвиг и модули непрерывности.

Создание Ч. Данклем и другими математиками содержательного гармонического анализа на евклидовом пространстве с обобщенным степенным весом делает актуальным решение указанных задач и в пространствах с весом.

Цель работы. Основной целью диссертации является решение экстремальной задачи о константе Джексона в пространстве на М^ с обобщенным степенным весом и на с периодическим весом Якоби. Нахождение оптимальной точки в неравенстве Джексона в пространстве Ь2 на Ж^ с обобщенным степенным весом и решение связанной с ней экстремальной задачи Логана для целых функций многих переменных.

Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа в пространствах с весом.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана непрерывность константы Джексона в пространстве с обобщенным степенным весом.

2. Многомерная задача о константе Джексона в пространстве с обобщенным степенным весом для случая, когда приближающее подпространство и модуль непрерывности определяются евклидовыми шарами, сведена к одномерной задаче в пространстве 1/2(М+) со степенным весом.

3. В случаях, когда приближающее подпространство определяется евклидовым шаром, а модуль непрерывности — евклидовым шаром или параллелепипедом, в неравенстве Джексона в пространстве Ь2(Мсг) с обобщенным степенным весом найдены оптимальные точки.

4. Решены экстремальные задачи Логана, Фейера, Дельсарта для целых функций из пространства Ь\(Е^) с обобщенным степенным весом.

5. Доказано точное неравенство Джексона в пространстве 1/2 (Т^) с периодическим весом Якоби.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные методы могут быть использованы при решении экстремальных задач в других пространствах с весом.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2009, 2010, 2011), VI Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» в г. Новороссийске (2010), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В.И. Иванова в ТулГУ (2009-2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях [24-26] в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.

Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [27-30].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на 10 параграфов. Нумерация утверждений идет по главам, а формул — по главам и параграфам.

1. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в Ь2 // Изв. Вузов. Математика. 1995. №8. С.13-20.

2. Бабенко А.Г. О точной константе Джексона в Ь2 / / Матем. заметки. 1986. Т.39, №5. С.651-664.

3. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2 на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т.60, №3. С.333-355.

4. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т.5. С.183-198.

5. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для Ь2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т.62, №6. С.27-52.

6. Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2006. 132 с.

7. Балаганский B.C. Точная константа в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве L2 на периоде // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, т. С.79-101.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: Наука, 1966. 296 с.

9. Белкина Е.С. Гармонический анализ Фурье-Данкля и приближение функций: дис. . канд. физ.-мат. наук. Петрозаводск. 2008. 92 с.

10. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т.66, т. с.336-350.

11. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в Ь2(ТМ) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, №1. С.102-110.

12. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в ^(Ж14) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, №4. С.93-99.

13. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

14. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

15. Горбачев Д.В., Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в Ь2 на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.54-58.

16. Горбачев Д.В. Приближение в I? частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т.5. Вып.1. С.38-50.

17. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Мп шарами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т.6. Вып.1. С.71-78.

18. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т.68, №2. С.179-187.

19. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т.69, №3. С.346-352.

20. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложений. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

21. Дейкалова M.B. Функционал Тайкова в пространстве алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Матем. заметки. 2008. Т.84, №4. С.532-551.

22. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир, 1965. 538 с.

23. Ибрагимов И.И., Насибов В.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т.194, №5. С.1013-1016.

24. Иванов A.B. Теорема Джексона в пространстве L2{Td) с весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.З. С.26-42.

25. Иванов A.B. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26-44.

26. Иванов A.B. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.29-58.

27. Иванов A.B. О теореме Джексона в пространстве L2(Td) с весом Якоби // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2009. С. 48-52.

28. Иванов A.B. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах / / Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2010. С. 35-38.

29. Иванов A.B. О теореме Джексона в пространстве Ь2(Ш.а) со степенным весом // Ряды Фурье и их приложения: тез. докл.VI Междун. симпоз. Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2010. С. 15-16.

30. Иванов A.B. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствахСовременные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2011. С. 19-22.

31. Иванов В.И., Лю Юнпин, Смирнов О.И. Некоторые неравенства для целых функций экспоненциального типа в пространствах Lp(Rd) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.70-80.

32. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Ьр. Тула: ТулГУ, 2010. 174 с.

33. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

34. Козко А.И., Рождественский A.B. О неравенстве Джексона в Ь2 с обобщенным модулем непрерывности // Матем. сборник 2004. Т.195, №8. С.3-46.

35. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976. 320 с.

36. Левитан Б.М., Саргасян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 671 с.

37. Московский A.B. Теоремы Джексона в пространствах Ьр(Шп) и LP)\(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.44-70.

38. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

39. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с.

40. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. Матем. 2007. Т.71, №5. С.149-196.

41. Платонов С.С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций на полупрямой // Сиб. матем. журн. 2009. Т.50, №1. С. 154-174.

42. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. №6. С.65-73.

43. Попов В.Ю. О точных константах Джексона для наилучших сферических среднеквадратических приближений // Изв. вузов. Математика. 1981. №12. С.67-78.

44. Попов В.Ю. Приближение на сфере в Ь2 // ДАН СССР. 1988. Т.301, №4. С.793-797.

45. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

46. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

47. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

48. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 // Матем. заметки. 1967. Т.2, №5. С.513-522.

49. Чертова Д.В., Теоремы Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1. С.5-27.

50. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве Ь2(Ш) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.З. С.100-116.

51. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в Ь2 / / Матем. заметки. 1981. Т.29, №2. С.309-315.

52. Юдин В.А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов // Труды МИРАН. 1997. Т.219. С.453-463.

53. Юдин В.А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для тригонометрических полиномов // Дискр. матем. 1989. Т. 1, №. С. 155-158.

54. Andersen N.B., de Jeu M. Elementary proofs of Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform on the real line // Int. Math. Res. Not. 2005. V.30. P.1817-1831.

55. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the .¿^-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: proc. intern, conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P.25-43.

56. Arestov V.V., Babenko A.G. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L2 with Respect to Argument of Modulus of Continuity // Approx. Theory: a vol. dedic. B. Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P. 13-23.

57. Berdysheva E.E. An extremal problem for entire functions of exponential type with nonnegative mean value // East J. Approx. 1997. V.3, №4. P.393-402.

58. Boas R.P., Kac M. Inequalities for Fourier transforms for positive functions // Duke Math. J. 1945. V.12, №2. P.189-206.

59. Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. V.6. P.329-353.

60. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math. Z. 1988. V.197. P.33-60.

61. Dunkl C.F. Differential difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V.311. P.167-183.

62. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. V.43. P.1213-1227.

63. Dunkl C.F. Hankel transforms associated to finite reflection groups // Contemp. Math. 1992. V.138. P.123-138.

64. Fejer L. Uber trigonometrische Polynome //J. Reine Angew. Math. 1916. V.146. P.53-82.

65. Frappier C., Oliver P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math, of Comp. 1993. V.60. P.303-316.

66. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. V.14, №2. P.249-252.

67. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V.14, №2. P.253-257.

68. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on IR // Probability Measures an Groups and Related Structures: proc. conf. Oberwolfach, 1994. Would Scientific, 1995. P.292-304.

69. Rosier M. Generalized Hermite polynomials and the heat equation for the Dunkl operators // Comm. Math. Phys. 1998. V.192. P.519-542.

70. Rosier M. Positivity of Dunkls interwining operator // Duke Math. J. 1999. V.98. P.445-463.

71. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. 2002. V.1817. P.93-135.

72. Rosier M. A positivity radial product formula or the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. V.355. P.2413-2438.

73. Siegel C.L. Uber Gitterpunkte in konvexen Korpern und damit zusammenhangendes Extremal problems // Acta Math. 1935. V.65. P. 307-323.

74. Thangavelu S., Xu Y. Convolution operator and maximal funcnion for Dunkl transform //J. Anal. Math. 2005. V.97, №1. P.25-55.

75. Trimeche K. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. V.13, №1. P. 17-38.

76. Xu Y. Dunkl operators: Funk-Hecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls // Bull. London Math. Soc. 2000. V.32. P.447-457.