Некоторые экстремальные задачи для положительно определенных целых функций нескольких переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Список обозначений

Введение

Глава I. Неравенство Джексона в пространстве Ь2(11т) с наименьшей константой и оптимальной точкой в аргументе модуля непрерывности и родственная экстремальная задача для целых функций

§1. Постановка задач и их взаимосвязь.

§2. Решение задач для функций со спектром в кубе.

Глава II. Оптимальное неравенство Джексона в пространстве 1/2 (К"1) с наименьшей константой и оптимальной точкой в аргументе модуля непрерывности и соответствую' щая экстремальная задача для положительно определенных целых функций

§1. Задача об оптимальном неравенстве Джексона и задача о наименьшей мере множества точек положительности целой положительно определенной функции. Связь задач

§2. Решение задач в одномерном случае .'.,.

В диссертации рассматриваются несколько связанных между собой экстремальных задач для положительно определенных целых функций экспоненциального типа нескольких переменных. Одна из целей диссертации состоит в исследовании того, сколь мало может быть множество точек пространства Rm, на котором функция определенного класса целых функций принимает положительные значения. В диссертации изучаются две задачи такого типа: малость множества положительности понимается в смысле нормы, порожденной некоторым телом, либо в смысле меры. Устанавливается взаимосвязь этих задач с задачами о наименьшей константе и оптимальной точке в неравенстве Джексона в пространстве L2 (Rm) для приближений целыми функциями экспоненциального типа со спектром в фиксированном выпуклом центрально симметричном замкнутом ограниченном теле либо в оптимально выбираемом множестве фиксированной меры, соответственно. В ряде случаев приводится точное решение задач.

1. Две экстремальные задачи о "малости" множества неотрицательности целых функций экспоненциального типа различных классов. Пусть Rm — m-мерное вещественное пространство, Тт - (—7г,7г]т — т-мерный тор, Zm — решетка целых чисел из Rm, xt = x\ti + . + xmtm — скалярное произведение элементов х = {xi,., хт) и i = (tb .,tm) из Rm, \x\ = (xj +----b a^)1/2. Условимся в интегралах по пространству Rm множество интегрирования не указывать. Через mes X будем обозначать меру Лебега множества X в пространстве Rm.

Мы будем рассматривать задачу о том, сколь мало может быть множество точек пространства Rm, на котором функции из некоторого класса Q принимают положительные значения. Для постановки задач относительно класса Q достаточно требовать, чтобы функции класса были вещественными, непрерывными на Rm и для любой (отличной от тождественного нуля) функции / G Q множество {х <Е Rm : f(x) > 0} точек пространства Rm с положительными значениями функции было не пусто. В представленной диссертации малость множества рассматривается в следующих двух смыслах: в смысле меры и в смысле нормы, порожденной некоторым телом. Более точная постановка рассматриваемых нами двух задач такова.

1) Исследуется величина

M(Q) = inf {m(f) :feQJ ф 0}, (0.1) где m(f) = mes {x € Rm : f{x) > 0}.

2) Пусть V — выпуклое замкнутое ограниченное центрально симметричное тело в Rm; порождаемую этим телом норму, а точнее, функционал Минковского тела V, будем обозначать через || • ||у. Изучается величина

T(Q; V) = inf{Т(/; V) : / € Q, f ф 0}, (0.2) где

T(f] V) = sup {||i||v : f{t) > 0}.

В диссертации задачи (0.1) и (0.2) будут рассматриваться для нескольких классов целых функций экспоненциального типа, принимающих вещественные значения на Rm и имеющих неотрицательное среднее значение на RTO, понимаемое в том или ином смысле; на спектр функций класса будут наложены определенные ограничения. Важным для нас примером такого класса является множество функций, определяемое следующим образом. Пусть U — еще одно выпуклое замкнутое ограниченное центрально симметричное тело в Rm. Через E^(U) обозначим класс вещественных функций, заданных и суммируемых на Rm, преобразование Фурье которых - (¿г I обращается в нуль вне множества U и неотрицательно в начале координат:

0) = f(x)dx

Наряду с классом E+(U) задачи (0.1) и (0.2) будут рассматриваться еще на нескольких родственных классах функций. Все эти классы будут принадлежать пространству £m(U) функций, преобразование Фурье которых сосредоточено во множестве U. Точнее, обозначим через £m(U) множество вещественных функций на Rm, представимых в виде = / (0.3) и где ф — комплексная конечная мера Лебега на множестве U (т.е. ле-беговское продолжение регулярной счетно аддитивной функции множества, определенной на cr-поле всех борелевских подмножеств множества U); такие функции можно записать также в виде f(x) = J cosxt йфс{Ь) + Jsinxtdips(t), (0.4) и и где фс и ф$ есть вещественные конечные меры Лебега на U.

Следуя Логану [24], введем класс С^(и) (четных) вещественных функций / G £m(U), пред ставимых в виде f{x) = J созхг(1фс^), (0.5) и где фс — вещественная конечная мера Лебега на множестве U, неотрицательная в некоторой окрестности нуля.

Пусть есть класс функций / Е £+(17), у которых мера фс в представлении (0.5) неотрицательна на всем множестве U.

Введем еще более узкий класс C+(U) четных функций / € E+(U), преобразование Фурье которых неотрицательно на всем множестве U. Класс C+(U) состоит из суммируемых функций /, представимых в виде х) = J cos xt <p(t) dt, и где вещественная функция <р непрерывна и неотрицательна на множестве U и обращается в нуль на границе U.

Определим, наконец, еще один класс функций £+(U), который будет содержать уже введенные классы E+(U), £+(£/), J-'^iU) и С+(С/). Пусть Ф — измеримая ограниченная функция на Rm, непрерывная в нуле и принимающая в нуле значение, равное единице; такая функция будет интерпретироваться ниже как ядро метода суммирования. В пространстве £m{U) выделим подмножество £^(U) функций /, для каждой из которых существует (свой) метод суммирования с вещественным неотрицательным ядром Ф, такой, что

0 < Jm J f{x)<f>(ex)dx < +оо. (0.6)

Класс £+([/), очевидно, содержит все функции / € £т(и), интегралы от которых суммируются каким-либо Ф-методом с неотрицательным ядром к неотрицательному числу. В частности, имеет место вложение с е+(ц).

Допустим, что функция Ф есть преобразование Фурье функции ф, причем обе функции ф и Ф = ф суммируемы и, как следствие, непрерывны на Н.т. Тогда для любой функции / е Вт(и) при любом е > О имеет место равенство Дх)Ф(ех)<Ь = I &(*)#(*), (0-7) где фе{Ь) = ~ф(^). Дополнительно предположим, что функции ф, Ф вещественные, неотрицательные, четные на 11т, функция ф имеет компактный носитель и выполняется равенство Ф(0) = 1. Этим ограничениям удовлетворяет, к примеру, функция являющаяся преобразованием Фурье произведения т одномерных ядер Фейера. Если мера ф в представлении (0.3) функции / € 8т(и) или, более обще, мера т/)с в представлении (0.4), являющаяся четной составляющей вещественной части меры -ф, неотрицательны в некоторой окрестности нуля, то при сделанных предположениях правая часть (0.7) будет неотрицательной при достаточно малом е, поэтому такие функции / принадлежат множеству £+(11). В частности, (1Г) с £+(С).

Итак, для введенных выше классов имеют место вложения

С+(Ц) С Е+(Ц) С 6+(1Г), сии) с Г+(Ц) С £+(Ц) С (0.8)

2. Неравенство Джексона и оптимальное неравенство Джексона. Задача о наименьшей константе и оптимальной точке.

Пусть и — ограниченное выпуклое замкнутое центрально симметричное тело в пространстве В.ш и V — измеримое множество в пространстве Ит. Через УУ{сгV), а > 0, обозначим класс целых функций из пространства Ь2 ~ 1/2(К-т)) преобразование Фурье которых сосредоточено на множестве аУ, т.е. класс функций вида д(х) = I ф{Ь)еш <И, феЬ2(<гУ). аУ

Пусть / G L2. Величина

E(f-aV) = M{\\f-g\\L2 : g G W(aV)} называется наилучшим приближением функции / классом W(crV) в пространстве Ь2. С помощью множества U. определим модуль непрерывности функции / в точке т > 0: j(f; rU) = sup {||/(* + t)~ f(x)\|La : t G rU}. (0.9)

Неравенство вида

E{f]aV) < Ku{f-,rU), f G L2, (0.10) выполняющееся на всем пространстве функций Ь2 с не зависящей от функции / константой К, называется неравенством Джексона. Наилучшей (т.е. наименьшей возможной) в неравенстве (0.10) является константа

K(tU, <jF) = sup ( :feL2}/^ const], (0.11) u(f\TU) J которая называется константой Джексона.

Для величины (0.11) выполняется соотношение

K(rU,aV) = K(<ttU,V)i (0.12) в силу этого соотношения можно ограничиться изучением константы (0.11) только при <т = 1. В диссертации исследуются именно свойства наилучшей константы

K(rU,V) = sup : f G L2) f ф consi j (0.13) в неравенстве Джексона

E{f\V) < Ku)(f',rU), f G L2. (0.14)

Нетрудно понять, что величина (0.13) не возрастает по переменному г при фиксированных U и V. Величину

К* (U, V) = inf {K(tU, V) : г > 0} (0.15) \ мы будем называть наижецьщей константой в неравенстве Джексона (0.14). Оптимальной mowooi^iавенства Джексона (0.14) (или, оптимальной точкой для константы (0.13)) мы будем называть значение аргумента модуля непрерывности 6(U,V), такое, что

K(tU, V) = K*(U,V) при г > 0(U, V),

K(tU, V) > К*{U, V) при г < 9{U, V). к >

В силу (0.12) для наименьшей константы и оптимальной точки в неравенстве Джексона (0.10) при любом а > 0 выполняются соотношения

K*(U, aV) = 7), 0(i/, aV) = 0^U'V\ a

Наряду с величиной (0.13) мы будем также изучать величину

K(tU, р) = inf {K(tU, V) : mes V ~ р}] (0.17) здесь нижняя грань берется по всем измеримым множествам V, лебегова мера которых равна р, р > 0. Величина (0.17) есть непрерывный аналог тригонометрического поперечника множества {/ € L2(Rm) : oj(f^rU) < !}•

Нетрудно понять, что величина (0.17) не возрастает по переменному г при фиксированных U и р. Введем для нее понятия наименьшей константы и оптимальной точки аналогично тому, как это было сделано для константы (0.13) в неравенстве (0.14). Положим

К*(U, р) — inf {K(tU, р) : г > 0} (0.18) и обозначим через #([/, р) точку со свойствами

K(rU,p) = K*(U,p) при т > в(и,р),

K(tU, р) > K*(U, р) при г < S(U, р). К '

Ниже в работе будет показано, что при любом р > 0 существует измеримое множество Vp С Rm со свойством mes Vp = р, такое, что на нем достигается нижняя грань в (0.17) и, более того, на всем пространстве Ь2 — Z-2 (Rm) при любом

Т>ё(и}р) выполняется неравенство Vp) < К*{U, р) u>(f-, tU), f е L2. (0.20)

Это неравенство мы будем называть в дальнейшем оптимальным неравенством Джексона, а величину K*(U, р) и точку 9{U, р) будем называть соответственно наименьшей константой и оптимальной точкой (оптимального) неравенства Джексона (0.20) или, еще, задачи (0.17).

3. Исторический обзор. Неравенство Джексона в различных функциональных пространствах с различными модулями непрерывности является одним из традиционных объектов исследования теории приближения. Его богатую историю можно найти, например, в работе А. Г. Бабенко [4]. Мы кратко изложим результаты, относящиеся к неравенству Джексона в пространстве L2(RW) для приближений целыми функциями экспоненциального типа и к близкому случаю неравенства Джексона в пространстве L2(Tm) для приближений периодических функций тригонометрическими полиномами.

Впервые точное неравенство Джексона в пространстве Ь2 было получено в 1967 г. Н.И. Черных [18, 19] на одномерном торе Т. Он доказал, что ni(/)<-bw(/;r), const, ТУ*-, (0.21) где i?ni(/) есть наилучшее приближение функции / € Ь2{Т) тригонометрическими полиномами степени не выше п — 1 в пространстве Ь2(Т), а

Ц/;т) = sup {|| f{x + t) - f(x)||i2(T) : t G [0,r]} есть модуль непрерывности функции / в точке т. При этом константа ■щ неулучшаема при каждом п. Неравенство (0.21) было перенесено на случай приближения целыми функциями экспоненциального типа в пространстве L2(R) И. И. Ибрагимовым и Ф. Г. Насибовым [8] и независимо В.Ю. Поповым [15].

В пространстве L2(Tm), m > 1, точное неравенство Джексона получено В. А. Юдиным [20] в 1981 г. в случае, когда V есть евклидов единичный шар пространства Rm, а тело U произвольное. Он доказал, что

Ел(/)<±:ы(Кти), ft const, (0.22) здесь En(f) — inf {||/ — ^д||i2(Tm) : tn € Vr} есть наилучшее приближение функции / в пространстве L2{Тт) множеством Vr тригонометрических многочленов tR(x) = J2\v\<r сиег1/х со спектром в евклидовом шаре радиуса R, модуль непрерывности rU) определен аналогом формулы (0.9) в пространстве L2(Tm) на торе, Ai есть первое собственное число задачи на собственные значения

Аи = -Хи, и\ди = 0, и е L2(U), для оператора Лапласа А = Yl™=i J^r и dU — граница U. При этом константа в неравенстве (0.22) неулучшаема. Фактически в [20] получено и соответствующее точное неравенство Джексона для приближения целыми функциями экспоненциального типа в пространстве L2(Rm). В работе A.B. Московского [13] содержится точное неравенство Джексона в пространстве L2(Rm) с модулем непрерывности, несколько отличным от (0.9), в случае, когда U и V есть евклидовы единичные шары. Результаты, относящиеся к неравенству Джексона вида (0.10) в пространстве Li на многообразиях с различными модулями непрерывности, принадлежат А. Г. Бабенко, В. В. Арестову, В. Ю. Попову, Д. В. Горбачеву и ДР

История задачи об оптимальной точке начинается с 1979 г., когда Н. И. Черных [21] доказал, что в неравенстве (0.21) с константой нельзя взять т < Таким образом, он вычислил в одномерном случае оптимальную точку для константы (0.13); она оказалась равной Долгое время это была единственная известная оптимальная точка. Для функций многих переменных, кроме результатов автора, приводимых ниже, известны оптимальные точки в неравенстве Джексона (0.14) в случае, когда U и V есть евклидовы единичные шары: в пространстве L2(R3) этот результат был получен в 1997 г. A.B. Московским [13], в пространстве L2(Rm) при произвольном т > 1 — в 1998 г. Д. В. Горбачевым [7].

В связи с результатами Н. И. Черных [18, 19, 21] представляют интерес аналоги задач (0.18) и (0.19) в одномерном периодическом случае. Пусть п — натуральное число, v = {щ,., ип} — набор из п различных целых чисел и Vv есть n-мерное подпространство тригонометрических полиномов gu(x) — ajCWjX■ Для функции / Е L2(T) рассмотрим величину £u(f ) — inf 11|/ — .д^Ць^т) •' ^ £ Pi,} наилучшего приближения подпространством Vv- Положим

K(t, v) = supi^g) : / 6 L2(T), / ф const

К(т, п) = т£{/С(т, и) : \и\ = тг}; в последнем соотношении нижняя грань берется по всем наборам и из п различных целых чисел. Пусть К*(п) = т£{К(т,п) : т > 0}, а 0{п) — соответствующая оптимальная точка. Утверждение (0.21) влечет оценку

2гг — 1) < —=, т>~. (0.23)

С другой стороны, из результата В. И. Бердышева [5] (см. также [6]) следует, что при любых т ш и справедлива оценка снизу К(т,и) > а потому выполняется неравенство

К*(п)>~ п> 1. (0.24)

В силу (0.23) и (0.24) имеют место соотношения

К*(2п — 1) = 9(2п — 1) <

Исследуя неравенство Джексона в пространстве Ь2 для функций одного переменного, Н. И. Черных в 1967 - 1979 годах фактически решил задачу (0.2) в одномерном случае для класса С+(тП), где П = [—1,1]. Из результатов Н. И. Черных [18, 19, 21] следует, что

Т(С+(тП),П) = -. т

При этом экстремальной в (0.2) является функция cos 1 /■ 7г fr(x) = А—гА? = «— / sin cos xtdt. (0.25)

7г — (txv 27гт J т

Задача (0.2) была сформулирована в явном виде позднее, в 1983 г., Б. Ло-ганом [24] и решена им в одномерном случае на классе /^(тП). Он доказал, что

Т(/?(гП),П) = -, т и экстремальной функцией в этом случае вновь является функция (0.25). В 1998 г. Д. В. Горбачев [7] решил задачу (0.2) в пространстве 11т, т > 1, в случае, когда U = V = B2(Rm) есть евклидовы единичные шары. Именно, он показал, что

Т(Я+(Вя(Лт)),В2(Кт)) = 2да, где qa есть первый положительный нуль функции Бесселя первого рода Ja, а = и экстремальной является функция, построенная В. А. Юдиным в работе [20].

В 1984 г. А. Г. Бабенко [2] решил аналог задачи (0.1) для тригонометрических полиномов одного переменного. Он показал, что на классе вещественных тригонометрических полиномов степени не выше п с нулевым средним значением на периоде величина inf mes{® G [0,2тг] : t(x) > 0} (0.26) равна и нижняя грань в (0.26) достигается на полиноме * = —-V- 0-27 cos х — COS ^

Задача (0.26) была впервые сформулирована JI. В. Тайковым в 1965 г. на семинаре по теории приближения под руковдством С. Б. Стечкина в Институте математики и механики УрО РАН. Она возникла в исследованиях JL В. Тайкова [17] поведения наименьшей константы с(п) в неравенстве

1И|С[0,2*] < C(n)\\t\\m2n] на множестве Рп тригонометрических полиномов степени не выше п. Гипотеза о том, что экстремальным в задаче (0.26) является полином (0.27), была выдвинута С. Б. Стечкиным и Н. И. Черных (см. [2]). Подобные задачи изучали также В. А. Юдин, Д. В. Горбачев и др.

4. Обзор результатов диссертации. В главе I диссертации рассматриваются задача о наименьшей константе (0.15) и оптимальной точке (0.16) в неравенстве Джексона (0.14) и задача (0.2) для введенных в п. 1 классов целых функций. Основным результатом §1 этой главы является следующее утверждение, в котором описана взаимосвязь задачи (0.15) + (0.16) й задачи (0.2) для класса

Теорема 1 Для любых двух центрально симметричных выпуклых замкнутых ограниченных тел II, V в пространстве И"1, т > 1, имеют место равенства

К*(и, V) = 9(11, V) = Т(Г+(иу, V).

В §2 главы I исследуется задача (0.2) для классов целых функций экспоненциального типа со спектром в кубе Пт = [—1,1]т. Пусть V — выпуклое замкнутое ограниченное центрально симметричное тело в пространстве И"1. Положим

С(7) = тт{|И^:яеКт}, (0.28) где Кто есть множество точек х = (2кг+1,., 2А:т+1), (кг,., кт) € Ъш, координаты которых являются целыми нечетными числами. Введем еще одну характеристику множества V к(У) = тах{||ж||у : \х\ = у/т}. (0.29)

Число к = к(у) является наименьшим положительным числом с тем свойством, что евклидов шар В(0,л/т) = {х € Ш™ : |ж| < \/т} содержится во множестве кУ. Допустимые множества (0.28) и (0.29), т.е. решетка Кт и шар В(0, у/т), пересекаются по множеству Е точек, каждая координата которых есть ±1. Будем говорить, что множество V удовлетворяет Е-условию, если набольшее значение в (0.29) достигается на каждой точке 5 6 X). Очевидно, Е-условие означает, что все точки множества Е являются общими точками границ шара В(0, у/т) и множества кУ, к — к(У). В §2 главы I будет показано, что Е-условие, на самом деле, эквивалентно тому, что имеет место равенство С(Ю = к(У)-Таким образом, в этом случае,

V) = к(У) = ||е||у, е = (1,1,., 1).

Основным результатом §2 главы I является следующее утверждение.

Теорема 2 Для любого центрально симметричного выпуклого замкнутого ограниченного тела V при любом т > 0 имеют место соотношения Т(£+(т1Г»); V) = ГК(гЕГ); V) < Г(С+(тП">); V) < т т

Если множество V удовлетворяет Е-условию, то выполняются равенства

Т(£+(т1П; V) = Т(Е+(тТГ)-, V) = Т(С+(т1Г); У) =

В силу вложения (0.8) отсюда также можно сделать вывод о значении величины (0.2) для промежуточных классов ^(гП) и £+(тП). Именно, справедливо утверждение.

Следствие 1 Для любого центрально симметричного выпуклого замкнутого ограниченного тела V при любом т > 0 выполняются неравенства Т(£+(т1Г); V) < Т(£+(ПГ»); 7) < ГИ(гП™); У) < Т(С(тПт); V) <

Если множество V удовлетворяет Е-условию, то справедливы равенства

Г(С(гП-); V) = Г(Я+(гПт); У) =

Легко видеть, что Е-условие выполняется для единичных шаров ВрСК171) пространств £р(11т), 1 < р < 2. Поэтому имеет место следующее утверждение.

Следствие 2 Пусть 1 < р < 2. Тогда Т(£+(т1Г»);Яр(Нт)) = Г(Д+(тП™);£р(10) = Г(£+(гП-);Бр(Кт))

1гтУр ПЖПГЬВгОВГ)) = Т(С*(тПт); Вр(Ит)) = т

Эти результаты можно применить к исследованию задачи о наименьшей константе и оптимальной точке в неравенстве Джексона. В случае I/ — Пт теорема 1 и следствие 1 дают следующее утверждение.

Теорема 3 Для любого центрально симметричного выпуклого замкнутого ограниченного тела V имеют место неравенства п((У) < 0(1Г\У) <тгк(У).

Если же множество V удовлетворяет И-условию, то имеет место равенство в(ит,У)=ф\\у.

В частном случае, когда в качестве тела I/ взят куб Пт, а в качестве тела V — единичный шар Вр(11т) пространства £р(Ит) при 1 < р < 2, теорема 1 и следствие 2 позволяют выписать точное решение задачи (0.16).

Следствие 3 Пусть 1 < р < 2. Тогда

К*(П.т, Вр(К™)) = ^(П"1, ВР(К">)) = тгт1/р.

1. Арестов В. В., Попов В.Ю. Неравенства Джексона на сфере в Ь2 // Изв. вузов, Математика. 1995. N 8 (399). С. 13-20.

2. Бабенко А. Г. Об одной экстремальной задаче для полиномов // Матем. заметки. 1984. Т. 35. N 3. С. 349-356.

3. Бабенко А. Г. О точной константе Джексона в L2 // Матем. заметки. 1986. Т. 39. N 5. С. 651-664.

4. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т. 60. N 3. С. 333-355.

5. Бердышев В. И. Приближение периодических функций в среднем: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Свердловск: ИММ АН СССР. 1967.

6. Бердышев В. И. Наилучшее приближение в Lp классом функций ограниченной вариации. В сб. Приближение функций полиномами и сплайнами. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.

7. Ибрагимов И. И., Насибов Ф. Г. Об оценке наилучшего среднеквадратичного приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // Докл. АН СССР. 1970. Т. 194. N 5. С. 1013-1016.

8. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

9. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

10. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976.

11. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. JL: Гостехиздат, 1951.

12. Московский А. В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и LP)A(R+) // Изв. Тул. гос. ун-та, Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 44-70.

13. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

14. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратичных приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов, Математика. 1972. N 6 (399). С. 65-73.

15. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.

16. Тайков Л. В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов // Успехи матем. наук. 1965. Т. 20. N. 3. С. 205211.

17. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 // Тр. МИАН. 1968. Т. 88. С. 71-74.

18. Черных Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 // Матем. заметки. 1967. Т. 2. N 5. С. 513-522.

19. Юдин В. А. Многомерная теорема Джексона в Ь2 // Матем. заметки. 1981. Т. 29. N 2. С. 309-315.

20. Arestov V. V., Chernykh N. I. On the ^-approximation of periodic function by trigonometric polynomials // In: Approximation and function spaces. Proc. Conf. Gdan'sk, 1979. - Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25-43.

21. Dunford N., and Schwartz J. T. Linear operators. Part I: General theory. J. Wiley. New York.

22. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. MATH. ANAL. 1983. V. 14. N 2. P. 249-252.

23. Logan B. F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions // SIAM J. MATH. ANAL. 1983. V. 14. N 2. P. 253-257.

24. Stein E.M. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton Univ. Press. Princeton, New Jersey. 1970.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

25. Berdysheva Е. Е. An extremal problem for entire functions of exponential type with nonnegative mean value // East J. Approx. 1997. V. 3. N 4. P. 393-402.

26. Бердышева E. E. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т. 66. N 3. С. 336-350.

27. Berdysheva Е. Е. Several related extremal problems for multivariate entire functions of exponential type // East J. Approx. 2000. V. 6. N 2 . P. 241-260.

28. Бердышева E. E. Об одной экстремальной задаче для целых функций экспоненциального типа / / Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов школы. Воронеж, ВГУ, 1997. С. 179.

29. Бердышева Е.Е. Задача Логана для целых функций многих переменных // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 9-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. С. 22.

30. Бердышева Е. Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций экспоненциального типа / / Алгоритмический анализ некорректных задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург: УрГУ, 1998. С. 51-52.

31. Бердышева Е. Е. Взаимосвязь двух экстремальных задач для целых функций многих переменных // Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов международной конференции. -ТУла: ТулГУ, 1998. С. 42-44.

32. Бердышева Е. Е. Связь двух задач для функций с ограничениями на преобразования Фурье // Школа по теории функций "Озерск-99". Тез. докл. Озерск: ОТИ МИФИ, 1999. С. 25-27.

33. Бердышева Е. Е. Задача Тайкова Логана и некоторые свойства константы Джексона // Теория приближения функций и операторов: Тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения С. Б. Стечкина. Екатеринбург: УрГУ, 2000. С. 36-37.