Некоторые экстремальные задачи в классах однолистных функций без общих значений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

§0. Определения и предварительные результаты.

Глава I. Проблемы модуля для двух семейств кривых, заданных в круге.

§1. Экстремальные задачи ,/s1

§2. Экстремальные задачи B>j(*i>*%,ict <*)

§3. Экстремальные задачи Pj (Vi,<x2, ч, f) , =

§4. Некоторые свойства экстремальных конфигураций задач

Pj и В J

Глава II. Теоремы покрытия и искажения для некоторых классов функций, заданных в круге и кольце.

§1. Теорема покрытия в классе $4?).

§2. Оценки модуля функции класса

§3. Оценки модуля производной в классе 8(d).

Глава III. Теоремы покрытия для функций Бибербаха-Эйлен-берга, заданных в кольце.

§1. Оценки модуля функции класса К).

§2. О покрытии бтрезков в классе

§3. Оценки коэффициентов почти ограниченных функций.

Геометрическая теория функций получила интенсивное развитие во многом благодаря различным по своей природе методам исследования. Таким как метод площадей, параметрический, вариационный, экстремальных метрик, симметризации и некоторым другим. Решение многих трудных экстремальных задач геометрической теории функций стало возможным в результате сочетания наиболее общих и развитых методов.

В настоящей работе методика исследования базируется на применении метода экстремальных метрик в форме общей проблемы шдуля для нескольких семейств кривых на плоскости. При решении основных задач метод экстремальных метрик применяется в сочетании с методом симметризации.

Начало развитию метода экстремальных метрик положили исследования Гретша. Основываясь на результатах Гретша, Тейхмюллер установил тесную связь метода экстремальных метрик с дифференциальной геометрией и впервые указал на ту важную роль, которую играют квадратичные дифференциалы. Так в ряде работ Тейхмюллер высказал принцип, состоящий в утверждении, что решение каждой экстремальной задачи связано с некоторым квадратичным дифференциалом. Именно, если в такой задаче предполагается, что фиксированна некоторая точка и нет других ограничений, то этот дифференциал будет иметь в этой точке простой полюс. Если дополнительно требуется, чтобы функция, рассматриваемая в задаче, имела в этой точке фиксированные значения /г первых производных, то в этой точке квадратичный дифференциал будет иметь полюс порядка п + ± . Однако Тейхмюллер не доказал • никакого общего результата, реализующего этот принцип. Конкретное выражение принципа Тейхмюллера для широкого круга экстремальных задач представляет собой "общая теорема о коэффициентах", полученная Дженкинсом [12] . Это один из самых существенных результатов метода экстремальных метрик. Как следствие из "общей теоремы о коэффициентах" Дженкинс и многие другие авторы получили большое количество новых результатов и усилили известные ранее. Однако, имеется широкий круг задач, для которых либо "общая теорема о коэффициентах" неприменима,, либо ее утверждение малосодержательно. Так рассматриваются экстремальные задачи, для которых ассоциированный квадратичный дифференциал не имеет, как это требуется в формулировке "общей теоремы о коэффициентах", ни одного полюса порядка выше первого. В этом случае добавления к "общей теореме о коэффициентах", а также теорема единственности, получены П.М.Тамразовым [30] , f3l] . Используя эти результаты, а также теорию квадратичных дифференциалов и "общую теорему о коэффициентах" , П.М.Тамразовым [30] , f3l] , [32] получено решение некоторых экстремальных задач теории конформного отображения с полным анализом множества всех экстремальных отображений.

Большое число экстремальных задач сводится к решению проблемы модуля для семейств кривых. В работах Альфорса и Аяьфорса и Бейр-линга был введен конформный инвариант, названный экстремальной длиной семейства кривых. Дженкинс [48] впервые доказал существование решения общей проблемы модуля для нескольких семейств кривых на плоскости, а затем и на римановой поверхности ГбО] . Г.В.Кузьминой [is] получено решение экстремально-метрической проблемы для нескольких семейств кривых на плоскости или в односвязной области, дополняющее соответствующий результат Дженкинса [48] . Г.В.Кузьминой [18] доказано, что общая проблема модуля для нескольких семейств кривых эквивалентна экстремальной задаче о разбиении плоскости или односвязной области на конечное число двусвязных и од-носвязных областей определенного типа. Вопрос о единственности экстремальной метрики в общей проблеме модуля полностью решен П.М.Тамразовым [29] . Решение указанной экстремально-метрической проблемы так же является конкретным выражением принципа Тейхмюл-лера. Б настояцей работе метод экстремальных метрик используется в форме экстремальной задачи о разбиении плоскости или круга на конечное число двусвязных и односвязных областей, которая эквивалентна проблеме модуля Дженкинса-Кузьминой. Общую постановку указанной экстремальной задачи мы приведем ниже.

Важную роль в геометрической теории функций играет метод симметризации. Начало систематическому применению симметризации в теории функций положили работы Пойа и Сеге [27] , ХеЁмана [зз] , Дженкинса [12] , [45] . Ими применялись симметризации относительно луча и прямой. Другие виды симметризации использованы в работах Сеге [58] , Ахаронова и Кирвана [34] , Маркуса [54] , [55] , И.П.Митюка [25] . Обобщая принцип симметризации для круга 33 , И.П.Митюк [2з] , [24^распространил принцип симметризации на классы регулярных функций, заданных в кольце и в произвольной много связной области.

Одним из важных направлений теории конформных отображений является изучение пар фуншщй, отображающих канонические области на взаимно неналегащие. Такие классы пар функций удобнее рассматривать вводя соответствувдие классы функций, заданных в круге или кольце, удовлетворяющих некоторому геометрическому шли метрическому условию. Это известные классы Бибербаха- Эйленберга [38] , [39] Гельфера [ю] , Дженкинса [l2] , 1>дмана [40] . Перечисленные классы рассматривались для функций, заданных в круге. Класс функций Бибербаха-Эйленберга, заданных в кольце, рассмотрен в работах

2] , fi8] , fl9] , f42 » f57 , f6] . Гиперболический аналог класса Дженкинса рассмотрен в [& ] . При исследовании указавших классов особенно эффективным оказался метод экстремальных метрик, применяемый в сочетании с методом симметризации. Систематически используя этот прием, Дженкинс решил многие экстремальные задачи. Так им получено решение задачи Гронуола /49] , а так же качественное решение задач о покрытии круга и о максимуме и минимуме модуля функции на окружности в классе функций Бибербаха-Эйленберга, заданных в круге [45] , f46] , /47] . Указанный прием применен Г.В.Кузьминой

18] в экстремальных задачах на гиперболической плоскости. Для функций Бибербаха-Эйленберга, заданных в кольце, теорему покрытия кольца доказал А.К.Бахтин [2] . Г.В.Кузьмина /181 получила окончательные результаты в задачах о покрытии для функций Бибербаха-Эйленберга, заданных в круге и кольце. Используя специальную проблему юдуля для одного семейства кривых на плоскости и в круге, *

Г.В.Кузьмина fl9] нашла область Кебе в классах Бибербаха-Эйленберга.

С помощью своей "общей теоремы о коэффициентах" Дженкинс / 12"] исследовал специальный класс однолистных регулярных функций, который непосредственно связан с классом пар функций, отображающих круг на взаимно неналегающие области. Кюнау [ы! в этом классе и тем же методом получил теорему покрытия и точные оценки модуля функции.

При решении указанных экстремальных задач и многих других можно использовать решение экстремальной задачи о разбиении плоскости или односвязной области на конечное число двусвязных и одно-связных областей. В общей постановке эта задача решена в [18] . Следуя /18 ] , введем указанную экстремальную задачу.

Пусть S - вся замкнутая плоскость <С или же односвязная область на С гиперболического типа. Пусть на S отмечены точки fli.,.,Я* и » а на границе , если S £ С , - точки Предполагается, что хотя бы одно из этих множеств не пусто. Пусть &' получается из удалением первых двух из этих множеств. На рассмотрим гомотипические классы трех типов. К первому типу отнесем классы замкнутых жордановых кривых, отделяющих некоторые из отмеченных точек на S от остальных и от границы и не гомотопных на S' нулю; ко второму типу - классы замкнутых жордановых кривых на , от делящих одну из точек 4it .,-^м от остальных отмеченных на S* точек и от границы £ . Если S * С , то к третьему типу относятся классы дуг на S" , со единящих граничные элементы S и разделящих некоторые из точек Ом , если последние имеются.

Под свободным семейством гомотопических классов кривых на S понимаем семейство гомотопических классов Н , i- i л » где Нг , c = i>-><f , - классы первого типа, Н^г , m, -классы второго типа и Н^+ьыр = 4- , - классы третьего типа, удовлетворящие следующим условиям: I) все Hi , с- .■<> J + , различны, 2) существуют кривые к £ Hi на aj , попарно не имеющие общих точек.

Под допустимым семейством областей, ассоциированных с семейством гомотопических классов Не. , с = l, -••jj-**"** , понимаем семейство взаимно неналегаюцих областей на сии. каждая из которых ассоциированна только с одним из классов Hi Пусть o<i,., - положительные числа. Через

F^i . , o^'-f^-f а) обозначим задачу об отыскании допустимого семейства областей реализущего максимум суммы

2Z rtcw (S)c). Через №(£><;) обозначаем модуль области £>i » ассоциированный с классом Не , это, соответственно, модуль дву-связной области для семейства кривых, разделяющих ее граничные компоненты; приведенный модуль односвязной области £)с-относительно точки ; модуль четырехугольника JD<; для семейства дуг, со единящих его противоположные стороны, лежащие на границе я .

Решение экстремальной задачи Pg .в случае, например, S = У. дается в теореме 0.2 из [18] . Существует единственное допустимое семейство областей £ <2)t* J^ Л , реализующее максимум суммы XI по

J • При этом области являются кольцевыми и круговыми областями для квадратичного дифференциала

Hi ^ г4е) (i-i*) /fc-l />-ч C-J

0.1)

М. где Pfy - полином вида Pfyz-B> ПС^У1'^) ' П 6>о , /(fy/^i , /ф,/* 1 , 2лл+л/2 4 . Дифференциал

0.1) будем называть ассоциированным с задачей . •

Этот результат положен в основу метода, применяемого в данной работе.

Переходя к изложению основных результатов диссертации, отметим, что нумерация лемм, теорем, следствий соответствует принятой в тексте диссертации.

В главе I в §§ I, 2, 3 рассмотрены три типа экстремальных задач о разбиении круга на пары областей. Формулируются решения этих экстремальных задач, конкретизирующие, указанный выше, общий результат. Структура каждого из первых трех параграфов следующая. Рассматриваются экстремальные задачи в двух семействах пар областей, определенных одним и тем же набором отмеченных точек tfiи. и , но разными гомотопическими классами. Для первых экстремальных задач формулируются теоремы I.I, 1.2, 1.3 о их решении. Для вторых экстремальных задач устанавливается связь с первыми, это леммы I.I, 1.4, 1.7. Указанная связь позволяет получить решение вторых экстремальных задач. Далее для каждой экстремальной задачи находится множество значений параметров o(L , с<2

I/ . при которых экстремальные области JoL > g)z не вырождаются. В §1 и §2 получены утверждения о монотонности функции килу SX) + ск^^л С <©2.)J при изменении одной отмеченной точки (Xк . Отметим, что из решения, рассмотренных в §§ I, 2, 3, экстремальных задач следует решение задачи о множестве значений системы конформных инвариантов { ^ (£)х) % и*, )] в соответствующих семействах пар областей.

Важное место во всей работе занимает §4 главы I. В нем доказываются некоторые свойства экстремальных конфигураций задач, рассмотренных в §1 и §2. Основные результаты §4 - теоремы 1.4 и 1.5, которые позволяют в поел едущих главах получить полное решение, рассмотренных там, экстремальных задач. Доказательству теорем 1.4, 1.5 предшествуют несколько лемм. Ключевым моментом доказательства являются утверждения лемм I.II и 1.32. Эти леммы дают определенную геометрическую характеристику экстремальных конфигураций задач параграфов I и 2. Для их доказательства используется прием основанный на изучении множества точек касания двух квадратичных дифференциалов, связанных с рассматриваемой экстремальной задачей. .

Результаты главы I дают метод для исследования классов однолистных и регулярных функций, которые рассштрены в главе II и главе III.

В главе II изучаются следувдне классы функций. Через обозначим класс однолистных и регулярных в кольце

Ка 1) ={z: j><12|<ij функции W- переводадих окружность в , а окружность /21 = 1 во внешнюю граничную компоненту образа кольца » и удовлетворяющих условию:

Сар . Здесь cap £ - логарифмическая емкость компакта £Г . Через S(d) обозначим класс однолистных и регулярных в круге функций йЛг 6^2 -f аг 2г+ . , удовлетворяющих условию: Сар

В §1 главы II решена задача о минимуме расстояния внешней границы образа кольца K(f>0 при отображении любой функцией из класса $(d,f) до начала координат. Эта задача решается в теореме 2.1. В ней приводится аналитическое выражение для экстремальной функции в терминах эллиптических функций. Экстремальная в этой задаче функция и/= fC^.d.f) конформно и однолистно отображает кольцо K(f,i) на область кольцевую для квадратичного дифференциала w*(w-Q)Cw-$2R'1) (0.2)

Простой нуль р и полюс R дифференциала (0.2) определяются специальной системой уравнений, причем R и есть искомое расстояние.

В §2 найдены тЫ и (>tj) в классе , где PvCtJ)* \4(*)\ t М(ъ,4)=

2 / = t ' у /2-/= £ ' ь *

Теоремы 2.2 и 2.3 дают решение задач об отыскании шеи и жа* ШСг,£) в классе ?). Для кадого *t , , построены экстремальные функции ^ (г, о/, ?) и ф^ отображающие кольцо K(f.l') на области допустимые относительно квадратичного дифференциала (0.2), нуль р и полюс R этого дифференциала находятся из определенной системы уравнений. Экстремальные области этих задач получаются из экстремальных областей задачи, рассмотренной в §1 главы I.

В §3 главы II получены точные оценки №'{2)1 в зависимэсти от значения в классе Scd) . При этом использована задача об экстремальном разбиении плоскости на две односвязные области, которая эквивалентна известной задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов двух неналегающих областей, не содержащих фиксированную точку. Решение такой задачи впервые было получено Л.И.Колбиной fl4] . Построено семейство экстремальных функций, отображающих круг U. на области допустимые относительно квадратичного дифференциала ^ 2 .

В главе III рассмотрены экстремальные задачи в классах Бибер-баха-эйленберга. Бибербахом [38] и Эйленбергом/39] введен класс регулярных в круге U функций = , удовлетворяющих условию: /feiдля всех , 2г из круга U Такой класс обозначают через R . А.К.Бахтиным [21 и Г.В.Кузьминой /18J , /~19] рассмотрен класс Бибербаха-Эйленберга в кольце. Через обозначим класс однолистных и регулярных в кольце

K(f,*) функций =

4т переводящих окружность 12-1= f в M=Af , 1, o<fАЛ, окружность ' 12) = L во внешнюю граничную компоненту образа кольца i) и удовлетворяющих условию: для всех , Вг из кольца .

В §1 главы III найдены значения и^Ы и в классе R(?,K) . При этом существенно используются результаты §§ 2, 3, 4 главы I и метод .круговой симметризации. Теоремы 3.1 и

3.2 дают решения задач о Илс'ч. ииС^,-г) и и^лх в классе к а, А) . Найдены экстремальные функции w= ) и w = , такие что функции ]Г= ^ Д ?) ] и

J^Ce,А,?)] конформно и однолистно отображают кольцо KifiO на двусвязные области допустимые относительно квадратичного дифференциала п, / гft) ( / , где *■) ^ (Г-^), 2 j ' t ^ удовлетворяет уравнению Af К(«г)]'\ K(«) - полный эллиптический интеграл первого рода, Syi(U,K)- эллиптическая функция Якоби, р , Си. - решение специальной системы уравнений. Из теорем 3.1 и 3.2 получено следствие 3.1, в котором находятся точные радиусы кругового кольца f < содержащего внешнюю граничную компоненту образа кольца К(?Л) при отображении любой функцией из класса R(f,k). Задача об отыскании решена в [2] , [18] , [19] .

В §2 главы III рассмотрен класс £ (у,Л) регулярных функций Бибербаха-Эйленберга, заданных в кольце. С помощью радиально-ус-редняющей симметризации и принципа симметризации для кольца [23] получена теорема 3.3 о покрытии образом кольца К(?.О при отображении функциями класса радиальных отрезков, выходящих из начала координат.

В §3 главы III рассмотрен класс почти ограниченных функщй /40] , [56] Этот класс обобщает класс Бибербаха-Эйленберга и тесно связанный с ним, класс Гельфера [ю] . Используя симметриза-ционный результат о поведении гармонической меры при круговой симметризации, получены асимптотические оценки тейлоровских коэффициентов почти ограниченных функций, улучшающие аналогичный результат из [56] .

Перечислим коротко основные положения диссертации, вынесенные на защиту.

1. Метрические свойства экстремальных конфигураций задач Pj(<*Lt<*2tR) и , у = 1,2 , - теоремы 1.4, 1.5.

2. Теоремы покрытия в классе лSV^, $) - теоремы 2.1, 2.2, 2.3.

3. Оценки модуля производной в классе S (d-) - теорема 2.4.

4. Решение задачи о максимуме и минимуме модуля функции на окружности в классе функций Бибербаха-Эйленберга, заданных в кольце-теоремы 3.1, 3.2.

5. Оценки тейлоровских коэффициентов почти ограниченных функций, заданных в вдге - теорема 3.4.'

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4] - [8] . и докладывались на Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных отображений и ее обобщениям в 1980 и 1982 годах, на Кубанских школах-конференциях по геометрической теории функций 1979, 1981, 1984 годов, а так же на семинарах Ленинградского отделения Математического института Ж СССР, Института математики .АН УССР, Института прикладной математики и механики АН УССР. Б течении работы над диссертацией, полученные результаты регулярно докладывались на научном семинаре кафедры теории функций Кубанского г о суниверсит е та.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору И.П.Митюку за постоянное внимание и поддержку в работе.

1. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М., 1946, 291 с.

2. Бахтин А.К. О некоторых экстремальных задачах конформного отображения. Укр. мат. ж., 1974 , 26, М, с.517-522.

3. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М., I960, 319 с.

4. Гаврилюк М.Н. Теоремы покрытия и искажения для функций почти ограниченных в круге и кольце. Математика, Изв. вузов, 1983,В $5, с.74-76.

5. Гаврилюк М.Н. Оценки модуля в классе функций Бибербаха-Эйлен-берга, заданных в кольце. Б кн.: Комплексные методы в математической физике. Тез. докл. Бсесоюзн. школы мэлодых ученых. Донецк, 1984, с.128.

6. Гаврилюк М.Н., Солынин А.Ю. Применение проблем модуля к некоторым экстремальным задачам. Деп. в ВИНИТИ, В 3072-83, 139 с.

7. Гаврилюк М.Н., Солынин А.Ю. Оценки модуля производной в некоторых классах однолистных функций. Деп. в ВИНИТИ, $ 5656-83,18 с.

8. Гаврилюк М.Н. О коэффициентах почти ограниченных функций. -В кн.: Экстремальные задачи теории функций. Томск, 1984

9. Гриншпан А.З. 0 коэффициентах однолистных функций, не принимающих ни одной пары значений -^ и iv . Шт. заметки, 1972, II, М, 3- 14 с.

10. Гельфер С.А. 0 классе регулярных функций, не принимающих ни одной пары значений и w . Мат. сб., 1946, т.19)(61), Щ, с.33-46.1.. Голузин Г.М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. М., 1966, 628 с.

11. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М., 1962, 265 с.

12. КЬлбина Л.И. Некоторые экстремальные задачи в конформном отображении. Докл. АН СССР, 1952, т.84, №, с. 865-868.

13. Колбина Л.И. Конформное отображение единичного круга на нена-легающие друг на друга области. Вест. ЛГУ, 1955, №5, сер. мат., физ., хим., вып.2, с.37-43.

14. Кузьмина Г. В. Экстремальные свойства гиперболического трансфинитного диаметра и однолистные функции в кольце. Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1968, т.94, с.66-78.

15. Кузьмина Г.В. О конформном модуле в семействах двусвязных областей, не содержащих заданных систем точек. Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 1972, т.24, с.78-147.

16. Кузьмина Г.В. Некоторые геометрические задачи, связанные с гиперболической емкостью. Зал. научн. семинаров ЛОМИ, 1974,т.44, с.41-92.

17. Кузьмина Г.В. Мэдули семейств кривых и квадратичные дифференциалы. Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1980, т. 139, 240 с.

18. Кузьмина Г.В. Теоремы покрытия в классах функций Бибербаха-Эйленберга. -Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 1981, с. 143-159.

19. Кузьмина Г.В. Об одной проблеме модуля для семейств кривых. -Препринт ЛОМИ Р-6-83, Л., 1983 , 43 с.

20. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М., 1975, 336 с.

21. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений. Тр. физ.-мат. ин-та АН СССР, 1934, т.5, с.195-246.

22. Митюк И.П. Принщп симметризации для кольца и некоторые его