Однолистные интегралы некоторых дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

91

РОСТОЗС&Ь ОРлЕНА ТРУ/ЛБОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫ^ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Кочетков Владимир Константинович

ОДНОЛИСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

И-' /

У л

/-/ ) / >

/ ' • /

1 ■ \

Ростов-на-Дону 1991

Работа выполнена в Калмыцком государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Александров й.А., доктор физико-математических наук, профессор Юдовяч В.И.

Ведущая организация: Казанский государственный университет

Защита состоится /3 Н 9 1991 г. в час.

на заседании специализированного совета К 06 3. 52. И

по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344104, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5 механико-математический факультет, ауд. _.

С диссертацией ыокно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул. Пушкинская, 148).

Автореферат разослан 12 лед #_1991 г.

Ученый секрета специализированного

Общая характеристика работы

Цель работы - установление некоторых достаточных условий од-олистнооти аналитических функций, построение однолистных решений инейнего дифференциального уравнения Егорого порядка с переменны-и коэффициентами и дифференциального уравнения типа Риккати, рас-мотрение вопроса об интегрировании первого и второго дифференциальных уравнений 1евнера-луфарева в общем и в некоторых частных ¡лучаях, построение параметрических семейств однолистных функций с щределенными свойствами, указание аналитических функций, при кото-зых некоторые- интегральные операторы являются однолистными в

Б-^?-" функциями, экстремизация функцяокалоЕ, определен-

шх на введенных специальных классах функций.

Актуальность теми.В теории дифференциальных уравнений известен факт, .что однолистнооть решения

дифференциального урашейия Шварца // 2

где у , у - лвбые линейно независимые решения уравнения

имеет место тогда и только тогда, когда никакое решение последнего уравнения не обращается в нуль более одного раза в рассматриваемой области. В этой связи приобретает актуальность построение однолистных решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, которые, как известно, не обращавтоя з нуль более раза в рассматриваемой области.

Круг задач, которыми занимаются в геометрической теории функций комплексного переменного, в основном, делится на следувщие направления:

1) исследуются достаточные условия однолистности аналитических функций;

2) решавтся экстремальные задачи для различных классов однолистных функций по оценке функционалов или по нахождению областей значений систем функционалов;

3) рассматриваются интегральные операторы, определенные на

3

классе локально однолистных аналитических функций;

изучается геометрические свойства конформного отображения производимого функциями специальных классов.

Актуальность рассмотренных в диссертации задач обусловлена вхождением их в перечень Х)-1*).

Общая методика исследования. В работе использует-.я методы теории функций комплексного переменного, геометрической теории фун ций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты

Построены параметрические семейства однолистных функций, отли ные от-семейств, построенных Базилевичем.

Указаны геометрические свойства изучаемых функций. Найдены ни таградьиа^ представления" оДиодисадых функций. Указаны достаточные условия однолистности функций в виде интегрального представления функций. Рассмотрены экстремальные задачи на некоторых построенных классах однолистных функций. Дано решение дифференциального уравне ния однолистных функций Левнера-Куфарева в частных и обиих случаях Введено понятие показательно выпуклых областей и функций, которые используются для указания однолистных функций в круговых секторах.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты представляют интерес в геометрической теории функций комплексно го перепейного, в частности, в части достаточиых условий однолистности аналитических функций.

Значимость рассмотренных в диссертации задач, так же как и ак туальность, обусловлена вхождением их в перечень I) - 4).

Интеграция некоторых дифференциальных уравнений, рассматривав мых в аналитической теории дифференциальных уравнений, приводится к интеграции уравнения Риккати. Указанный» диссертации метод интег рирования уравнения Риккати может" быть использован при рассмотрени вышеуказанных дифференциальных уравнений.

Построение решений линейных дифференциальных уравнений второг порядка с переменными коэффициентами в виде функционального ряда' п К

К ,0/-с указанием рекуррентных формул для определения коэффициентов ч^и

позволяет использовать полученные результаты при приближенных вычи

лениях значений ревеиий этих уравнений или уравнений типа Риккати.

4

Положения v. выводи дксоертацки применили к исследования диф-иереициальннх уравнений с производной Сзарца, к установлении однолистности решений дифференциальных уравнений, частыми случаен которых являются некоторые дифференциальные уравнения математической физики.

По нерв развития методов решения экстремальных задач в классе. однолистных функций построенные параметрические семейства однолистных функций вида Ь(1}+2- S2 будут содействовать ресениа экстремальных задач.

Объектен исследования является дифференциальные уравнения Дев-нера-Куфарева и решения этих уравнений.

достоверность исследований вытекает из математической строгости постановки исследуемых задач и обеспечения необходимой точности при построения рееения, а такяе совпадением результатов з частных случаях с известными в литературе.

Апробация работы. Результаты диосертации докладывались на научных семинарах в г.г. Томске, Ленинграда, Москве, Казана, Донецке, КиеЕз, Махачкале, на 1-й Северо-Кавказской региональной конференции "^ункционально-дифференциальнио уравнения и их приложения", на научной сессии Томского городского семинара по теории функций комплексного переменного им. П.П.Куфарева, посвященной 80-летив со ¿ня рождения П.П.Куфарева.

Публикация. По материалам диссертации опубликовано 17 рзбот, из которых в автореферате приведен список, содержаний 15 работ по теме диссертации.

Объем работа. Диссертация состоит из введения, шести параграфов, списка литератур;;. Работа содержит 121 страницу машинописного текста. Список литературы содержит- наименования.

Содержание диссертации

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации, излагаются структура работы и основные результаты, выносимые на защиту.

Основныо методы п результаты геометрической теор::и функций комплексного перепейного кзлоленк з работах Г.М.Голузина, П.П.Куфарева, й.А.Александрова, Л.Е.ьазнлевича, B.Ii. Гутлянского, S.A. Зноровича, Н.А.Лебедега, $.Г.Агхадкева, Л.А.Аксентьева, В.В.Горяй-

5

нова, ¿.В.Прохорова, ¡1.Й.Сиж$ка и др. авторов.

Одним из традиционных методов решения задач геометрической теории функций комплексного переменного является параметрический метод, метод Левнера-Куфарева, основоположниками которого являют аЛевнер и П.П.Куфарев. Развитием параметрического метода эанима лись Л.А.Александров, В.п.Гутлянский, В.В.Горяйнов, К.Поммеренке и другие.

Укаяем некоторые известные классы функций, встречавшиеся в дальнейшем:

5 - класс функций $(2)— ... . регулярных и однолистных в £

5 - класс функций V/'^(2)6 Б , отображавщих. Е на область, зв дообразную относительно И/-О ;

О - класс функций аде 5 , отображающих Ь на выпуклую обла

С - класс функций р(2) , регулярных в Е и таких, что

Р - класс функций р(Н)в С , удовлетворяющих условию р(0)~ I

К - класс почти выпуклых функций -|(Г?)€ 5 . удовлетворяющих ус лових, = СрЬ)р(2) , где Ч>(2)£$ . р(2)бР !

¡^¡С^Я] - класс неубывающих функцийуЫ(в) , удовлетворявши условии уи171}-^(-Т1)-\;

С(Т} - множество функций рС1,1) , заданых в

непрерывных по совокупности переменных в Е* Т и принадлежащих классу С при каждой фиксированном ¿С Т .

Дифференциальные уравнения

(2,£),р(?,£)еССТ)

гь

называются соответственно первым и вторым дифференциальными ура] нениями Левнера-Куфарева.

Задаче интегрирования уравнений (I) и (2) и изучению свойст этих уравнений посвящены работы П.П.Куфарева, И.Е.Базилевича, И. Александрова, В.Й.Гутлянского, Ф.Г.Авхадиева, Л.А.Аксентьева, В, Горяйкова, Д.В.Прохорова, П.И.Сижука, И.А.Лебедева и др. авторо]

6

Пусть

п 3

(=№,*€ С, <*>

есть интегральные операторы, определенные на некоторых классах аналитических в Е функций.

В диссертации указывается функции , при которых

интегральные операторы в (3) и (4) являются однолистными в £" функциями, ¿¡тим самым устанавливаются достаточные уоловия однолистности в Е функций в виде их интегрального представления.

Согласно результатам К.Поимеренке и Л.В.Прохорова задание параметрического семейства однолистных функций, являющих-

ся решением уравнения (2), уже определяет некоторую геометрическую характеристику функции Поэтому для определения некоторых геометрических свойств заданной регулярной и однолистной в Е функции целесообразно знать параметрическое семейство Е(Ц ¿) являющееся решением уравнения (2) и такое, что

Обратно. Задача построения функции с определенными геометрическими свойствами в некоторых случаях эквивалентна задаче интегрирования дифференциальных уравнений (I) и (2) в некоторых частных случаях. В свете вышеизложенного рассмотренные в диссертации вопросы интегрирования уравнений (I) и (2) актуальны и значимы.

Одним из самых широких классов однолистных функций, имеющих интегральное представление, является класс И.Е.Базилевича, включающий в себя класс функций с ограниченным вращением, класс почти выпуклых функций, звездообразных и выпуклых функций. Функции класса И.Е.Базилевича, имеющие вид 1/Р(0)

Та)] 1

где

о

Wz)r ecc

n

Pj^ JfpjCíJ-p^ovd^J

лолучавтся при рассмотрении дифференциального уравнения JieiMOpa-Куфароиа с линейной правой часть*)

zF'/p' = p(?)ftp (I) С5)

2 t ' 1 i '

которое легко интегрируется. Функция

F(?t ¿)-(j(2) + Í Uil)) ^ J

удовлетворяет уравнение (5). Функция f~( ~¿f i) в (6) используется для геометрической характеристик функции F(2,0)-

В диссертации рассматривается дифференциальные уравнения, правая часть которых отлична от правой части уравнения (5), и строятся параметрические сзмейства F(t}í) однолистных функций, отличающихся от семейств вида (6). Пусть

сх>

«О pcf,i)=I ynayf е CU) 7-ío,4-°°)}

п-0 1 '

о о г с 9- %C2>Í}

4(2, ¿) {(Z 0)=1£С- решение у ратания (^[(2)-J7~ >

' } ¿-veo t ilJ;t)

в) í?e 1

Lo

di Yít)

o

r -t oo.

В случае существовани;; üer.oTopux интегрлрувцкх ыно.кителзй для уравнения ЛеЕвзра-Куфарева К,А.Лебедев получил соотнозения, неясно задающие функцию 7.) • В частном случае им получена регулярная и однолистная в £ функция • ,

[г О(о) г г-аш-i Г yr.aiü)

T-g701 .nzrJA

где

V(Z)~ex

pi

ta(z)-a(o})Qj.

t

i

, Rer>0,

йе [а(Г)+£а?)]>о, 8ег«(?г]>/7т п/¡п.

Б диссертации рзшения исследуемых уравнений получены

2 явном виде, прч этом рассматривайте): случаи как удовлетвор=здие так к не удовлетворпощие условия в). Пусть

сх>, фушс-ция р(2), р(0)~1 . рэгуляр'з в Г. и удовлетворяет условна /аг^р(?)+$Ио1'-4 !с£' ■ с некоторым г | ^ о^ У' Т .

Обозначим через ¿к . класс регулярных в /Г функций \(Е) ,

задаваемых формулой

г* <*- ¿/5-/ 1

Ьф+Ф ^+д = г.. ^ гоб £.

П У

«.Е.БазнлзЕич доказал однолистность функций А при

/ о ^ о!-1 Р

о(.>£?. Однолистность функций классов О, в прп-1 ¿¿¿¿О дока-

2

зана Ф.Г.Авхадиевыи и ХиА.Аксентьевкн.

Переходим теперь к изложению результатов диссертации. Б первое параграфе рассматривается структура функций 5 > удовлетворявших услоЕнв ^

йеГ ^

кото рае нсподьзуотся в третье!! параграфе. Здесь у.е ухазахазтоя Функции р(2)/р^2)) П ,'.2} класса С , удовлетворявшие условия

используемые при доказательство теореи четвертого параграфа.

Во второй части перзого параграфа вводится понятие показательно выпуклой обл&оа:-: и фу:ти:й, которые пркненяотся затеи для построения некоторых сязщздьн*.« классов однолистных в круговых секторах функций.

Известно, что рзееки:; .«шейного дифференциального уравнения первого порядг.а и уравнешия Беркулл:: вырзлавгая через козамЬчакеитн этих ураьненнГ;. 1Ъ втором параграфе указывается способ построения в виде ряда

решения Я) уравнения

и, + р(?)-и/=

коэффициенты которого Ц>к(2) выражаются через коэффициенты р(2),

уравнения (8), выводится рекуррентная формула для определения функций Ук(2) • В силу связи уравнения (8) с уравнением Риккати решение вышеуказанной задачи одновременно решает задачу выражения уравнения Риккати через его коэффициенты. Полученные результаты используются в пятом и шестом параграфах.

В третьем параграфе дается решение задачи построения парамет рического семейства 1 , регулярных и однолистных в

Е функций, для которого геометрическая характеристика функции

О) состоит в том, что она осуществляет отображение круга на такую область Ь(гЙСЕсл) ,

что ее дополнение до области может быть пок-

рыто множеством непересекающихся кривых вида

где степени понимания как главные значения и fCЪ О) •

. Укажем частный результат третьего параграфа. Теорема 3. Пусть и (В) £ М С~ Л,

Я -/ Г л 19

Ш\с1шв)-ехр \ 1п(1*е

-77 1~е 2 1 .'Л 7 -

Тогда

(с?) - 1-ехр

Б.

определяемых

Обозначим через ^множество функций ^(2) теоремой 3.

Теорема Пусть §(2)£ /¡^ . Тогда имеет место неравенство

г

{Ы/при любом г = ге еЕ.

ю

и

Теорема 5. Пусть Л\ ■ Тогда

при любом 2еЕ .

Указывается граница звездообразности для класса

. Показывается, что в классе пу существуют

функции, не принадлежащие классу К''.

Четвертый параграф посвящен построению однопараметрического семейства однолистных функций вида

Е(?,1)=(гп(г)+(ц1)+1 иа)) ) ^ (9)

являющегося решением уравнения

которое при С -О совпадает с уравнением, рассмотренным И.Е.Бази-левичеи. Рассматриваются различные случаи интегрируемости уравнения (10) в зависимости от структуры функций , изучаемых з первом и четвертом параграфах. Здесь же указываются некоторые свойства функции , имеет вид (9). Положим

Ш2)- 1с1)/а(7),

Теорема I. Пусть <¿7 0, и С и такова, что

} 2 Фчк ^'ы и^ 1)4 ъ.

о

Тогда функция

^ Л Р.(°>

регулярна и однолистна в Е при каждом 1*0 . Теорема 6. Пусть

1) выполняются условия теоремы I при ¿-•¿С* ,

2) б(П= с{ 2 г

оI , 1/+РЮ)

регулярна и однолистна ъ Е . Тогда функция

с,иу г -П Л * А "¿-рм

-(1

4 0 1 Г

регулярна и однолистна б г при каидом Ь~?>0 .

Утверждение I. Пусть выполняется условия теореми 1, 6, оО . Тогда функция

£(?)= а^-г + а г

1 ¿о Г '

регулярна и однолистна в с

Теорема 4. Пусть

(2) - произвольные регулярные в Г функции удовлетворяющие условию

^/г)-л(г) =

/7 " произвольная регулярная в Е функция при которой

О ' ||3| I

( Ь(1).Ь0(2)) Р10(2)) £ С , если

или

Тогда функция

2 р 1-р

( (о) > регулярна и однолистна в Ь при казадом О

Теорема 5. Пусть

1) выполняются условия теореми 4 при р > £ ,

2) функция

ъ ^ <-/ , 1/гг

га^..-[и-рн у 0 г о)

регулярна и однолистна в Тогда функция р(£) в (II) регу-

12

лярна и однолистна в Е при каждом {.Ъ О ,

Утверждение 2. Пусть выполняется условия теорем 5 при р* i . " Тогда функция

kw-i+J f( рсЫ(Мт). п\пи{г)

1 lo п ■ 2 7 регулярна и однолистна в Е •

В пятом параграфе исследуются уравнения вида

строятся- параметрические семейства функций

3

F(z,t)Kcacy + l^<ty/.(cci)4ldcn) . . . • v.

В общем случае решения разыскиваются в виде функционального ряда. Указываются некоторые частные случаи- интегрируемости исследуемых уравнений. ' .'•■••. Теорема I. Пусть /

1) ¡>¿U)e С,

2) в - p(0) pt(О) /ср^оьрш Р2щ1р(0)P2(0)H fр*(о>1

__ ? па) 00

Тогда функция

1'1<°> (13)

WÍZ)= ÍK(ZJ) ,

являющаяся решением уравнения "

w + ( pt(0H) YL + ееZ}w =

где VV .1

регулярна и однолистна в Е •

Теорема При условиях и обозначениях теоремы I функция

2 V / " ^ \*'Р<10}

f (i)=Z+a2¿ +..=(K(2)+z*<v/P(i))&(p(o>rpi(0)) (н)

13

регулярна и однолистна в Е .

Результат исследования уравнения вида

сформулирован в виде теоремы I, 2 шестого параграфа.

В заключение указывается применение теории Левнера-Куфарева к установлению достаточных признаков существования однолистных решений дифференциальных уравнений второго порядка, частным случаем которых являются некоторые дифференциальные уравнения математической физики.

При К- I в (12), (15) получим уравнения, рассмотренные И.Е.Базилевичем. В этом случае(К-1) выражения в (13), (14) совпадут с результатами, полученными И.Е.Базилевичем.

Основные результаты и выводы.

1. Разработан способ построения решевий дифференциальных уравнений Левнера-Куфарева в явном виде.

2. Показано, что в семействе решений дифференциальных уравнений Левнера-Куфарева (12), (15) всегда существуют регулярные и однолистные в Е частные решения.

3. Указанный способ построения ревений может быть использован при приближенных вычислениях значений решений некоторых дифференциальных уравнений.

Построенные параметрические семейства однолистных функций

можно рассматривать как вариации функций

^С^^) класса Базилевича в классе Б и использовать при

решении некоторых экстремальных задач.

Некоторые результаты диссертации указаны в автореферате при рассмотрении вопроса о научной новизне и других вопросов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Кочетков В.К. О кратном дифференцировании однопарамет-рических семейств однолистных функций //Сибир.матем. журнал. М., 1971. Т. 12. К 1. С. 367-373.

2. Кочетков В.К. Об однолистных параболических функциях высшего порядка //Теория функций. Дифференциальные уравнения и их приложения. Элиста, 1976. С. 90-94.

3. Кочетков В.К. Об одном методе построения некоторых клас-

14

ооз однолистных функций //Изв. Сев. Кавх. науч. центра высш. шко-лч. Естественные науки. Ростов н/Д, 1980. К 3. С. 25-27.

'I. Кочетков В.К. Построение некоторых классов однолистных функций /Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Элиста, 1982, С. 98-106.

5. Кочетков В.К. Исследование дифференциального уравнения Левнера-Куфарева в некоторых, частных случаях //дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, ¿листа. 1982. С. 106-А19.

6. Кочетков В.К. О некоторых решениях дифференциального уравнения однолистных функций //Интегральные и дифференциальные уравнения и их приложения. Элиста, 19ЬЗ. С. 73-76.

7. Кочетков В.К. О некоторых частных случаях интегрирования уравнения ЛеЕнера-Куфарева //Интегральные и дифференциальные уравнения и приближенные решения. Элиста, 1985. С. 94-101.

Б. Кочетков В.К. О новом способе построения точных и приближенных решений некоторых классов дифференциальных уравнений //Функ-ционально-дифференциаяьнне уравнения и их приложения: Тез. докл. I Сев.-Кавк. регион.конф. Махачкала, 1986. С. 108-109.

9. Кочетков В.К., Менкеева Н.С. Достаточные условия однолистности аналитических функций //Дифференциальные, интегральные уравнения и комплексный анализ. Элиста, 1986. С. 120-124.

10. Кочетков В.К. Об одном способе построения решений дифференциального уравнения //Дифференциальн«е , интегральные уравнения и комплексный анализ. Элиста, 1986. С. 124-136.

11. Кочетков В.К, К аналитической теории дифференциальных уравнений /Калм. гос.ун-т. -Элиста, 1987. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.87, № 5242-В87.

12. Кочетков В.К. Аналитические функции с определенными свойствами /Калм.гос.ун-т. -Элиста, 1987. -8с. -деп. в ВИНИТИ 20.07.87, № 5243-В87.

13. Кочетков В.К. Однолистные решения дифференциального уравнения Риккати /Калм. гос.ун-т. -Элиста, 1989. -7 с. -Деп. в ВИНИТИ 09.01.89, № 213-В89.

14. Кочетков В.К. Представление решений линейных дифференциальных уравнений -го порядка через коэффициенты уравнений // Дифференциальные, интегральные уравнения и комплексный анализ. Элиста, 1988. С. 62-66.

15. Кочетков В.К. Однолистные в круговых секторах функции // Комплексный анализ, дифференциальные и интегральные уравнения. Элис:— та. 1990. С. 72-62.

в. 15