Изопериметрические экстремальные задачи типа Гронуолла в теории однолистных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТИПА ГРОМУОЛЛА

ДЛЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Дифференциальные уравнения дли экстремальных функций множества значений {log j / (/*) | Ша2} в классе S

§ 2. Методы оптимального управления в решении задачи

§ 3. Описание множества значений {log | /(г) | Ша2} в классе S

ГЛАВА И. ЗАДАЧА ГРОНУОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА

БАЗИЛЕВИЧА

§ 4. Множество значений {| /(z)|, | а2 |} в классе Ва(/1)

§ 5. Описание множества значений {| /(z)|, | а2 |} в классе Ва

Диссертационная работа посвящена решению экстремальных задач в теории конформного отображения.

Обозначим через £ - класс всех голоморфных и однолистных в единичном круге Е = {г : \г\ < 1} функций ¡(г) = г + а^х1 + через £я -класс всех функций ¡{г) £ удовлетворяющих в Е условию /(£) = ¡(г).

Одними из основных задач в теории однолистных функций являются вопросы нахождения множеств значений различных функционалов и систем функционалов в классах 5 и 5д, а также в других основных классах однолистных функций. Как самостоятельный объект исследования выделяются функционалы, аналитически зависящие от значения функции и ее производных до некоторого порядка, вычисленных в фиксированных точках области задания класса функций. В обобщенном виде система таких функционалов представима как . где г\, .,2Р - произвольные фиксированные точки Е> Частный случай такой системы связан с двумя задачами Гронуолла [32], [33] о нахождении

О) оценки |/(^)| или в зависимости от аг = в классе Первая и задача Гронуолла на классах однолистных функций и является объектом исследования данной работы.

К настоящему времени разработано большое количество методов для решения задач оценки указанных функционалов: метод контурного интегрирования, метод интегральных представлений, метод площадей, методы внутренних и граничных вариаций, метод параметрических представлений, метод экстремальных метрик, симметризация и другие. Эти методы получили развитие в работах советских математиков (М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин, И.Е.Базилевич, П.П.Куфарев, Н.А.Лебедев, И.М.Милин, И.А.Александров, В.Я.Гутлянский, Ю.А.Аленицын, Л.А.Аксентьев, Г.В.Кузьмина, И.П.Митюк, Д.В.Прохоров, В.Г.Шеретов, П.Н.Пронин, А.Ю.Васильев, Г.Н.Камышова, А.М.Захаров и др.) и зарубежных авторов (Т.Гронуолл, Х.Грунский, М.Шиффер, Дж.Дженкинс, К.Левнер, А.Шиналь, Я.Шиналь и др.).

В данной работе систематически использовался метод параметрических представлений. В своей первооснове он восходит к теории чешского математика К.Левнера [37], опубликованной в 1923 году. Метод параметрических представлений позволяет получить конформное отображение одной области на другую посредством построения однопараметри-ческого семейства конформных отображений. Это семейство представимо функцией одного комплексного и одного вещественного переменного (параметра) , равномерно дифференцируемой по параметру внутри исходной области и удовлетворяющей ка,к функция параметра некоторому дифференциальному уравнению, в частном случае - уравнению Левнера. Динамика конформного изоморфизма характеризуется изменением функции, отображающей каноническую область (например, круг) на данную область, происходящим при замене этой области на близкую к ней.Такой переход от одной области к другой может быть осуществлен в определенном классе областей посредством непрерывной деформации, оставляющей все промежуточные области в рассматриваемом классе. Лёвнер первым использовал это обстоятельство и вывел дифференциальное уравнение для отображений,соответствующих областям, получающимся из плоскости проведением переменного разреза вдоль заданной кривой. Дальнейшие исследования в этом направлении были направлены на поиск уравнения, интегралы которого индуцируют всю совокупность однолистных отображений единичного круга. Значительный вклад в решение этой проблемы внес П.П.Куфарев, получивший в работе [11] обобщение уравнения Ле-внера, называемой уравнением Левнера-Куфарева.

Пусть С[а.щ множество, состоящее из однопараметрических семейств РМ»* < * < Ь, Функций класса С, где С - класс Каратеодори функций р^), голоморфных в Е с разложением

00 рО) = 1 + £ 2ркгк к-1 и условием > 0. Для каждой функции /(¿) €.5 существует одно-параметрическое семейство р(хг, £) из множества С[о;оо] такое, что решение т = /(г, £) задачи Коши для дифференциального уравнения Левнера

Куфарева и) ю —г *=о представляет ¡(г) по формуле [2]

М= Ите'/М.

Куфаревым проведен ряд исследований свойств интегралов этого уравнения, доказана их однолистность. В.Я.Гутлянский [9] доказал, что уравнение Левнера-Куфарева порождает множество всех однолистных функций, тем самым получив исчерпывающий результат в данном направлении исследования.

Уравнение Левнера возникает как частный случай уравнения Левнера-Куфарева при и порождает класс функций всюду плотный в 5. Эти функции отображают Е на плоскость с одним разрезом.

Другой частный случай уравнения Левнера-Куфарева, исследованный И.Е.Базилевичем [7], получается при

Щ\ = 1 е~а1р1 (ш) + (1 - е~а1)ро(ю) где роМ,Р1(и>) - голоморфные в единичном круге функции класса С. В этом случае уравнение Левнера-Куфарева интегрируется в квадратурах и порождает класс функций Ва, называемых функциями Базилевича, и имеющих следующее интегральное представление

Данный класс включает в себя класс всех выпуклых функций (при = 1), класс функций с ограниченным в Е вращением (при ро[т) = 1), класс звездообразных функций, отображающих Е на область, звездную относительно точки гю = 0 (при "ро(т) = Исследование геометрических свойств функций, задаваемых интегральной формулой Базилевича, проведено в ряде работ Авхадиева и Аксентьева [1], Ле-вандовского [35], [36], Д.В.Прохорова [18] и других.

Представление всюду плотного подкласса в классе всех функций из 5 с вещественными коэффициентами разложения в Е - "типично вещественных" функций - получается подстановкой в уравнение Левнера-Куфарева: 1

Г*® о * 1 а р(щ О

1 - + ш > 1«

С помощью данного параметрического представления были решены многие задачи об оценке функционалов, расширена возможность применения вариационного метода, обеспечено проникновение в теорию функций комплексного переменного методов оптимального управления, в частности, принципа максимума Л.С.Понтрягина. Одними из первых работ по применению принципа максимума Понтрягина в теории однолистных функций явились статьи И.А.Александрова и В.ЙЛопова [3], В.И.Попова [14], [15], Г. А .Поповой [16], [17], В.П.Важдаева [5], Д.В.Прохорова [19]. В работе Д.В.Прохорова [22] с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина было найдено множество значений функционала 2 в классе функций /(¿) £ и удовлетворяющих в Е условию |/(^)| < М, 1 < М < оо - решение первой задачи Гронуолла в подклассе ограниченных "типично вещественных" однолистных функций. Этот результат был обобщен А.Ю.Васильевым в [6]. Д.В.Прохоровым [24] полностью решена и вторая задача Гронуолла в классе - исследована граница множества значений функционала г)| + 1'Ка2,/(г) ей^

С помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина удается в значительной степени унифицировать применение параметрического метода и рассматривать параметрический и вариационный методы совместно, что в некоторых случаях дает преимущество перед известным ранее вариационно-параметрическим методом.

В диссертационной работе использован также метод построения мажорантной области множества значений некоторых функционалов на классах однолистных функций. В его основе лежит использование нескольких граничных точек известных областей, которые доставляются экстремальными функциями рассматриваемого класса. После определенных модификаций области и процесса оптимизации, оставляющих выбранные точки граничными, использованием этих точек и получаются искомые оценки функционалов. Этот метод был развит в работах А.Шиналь, Я.Шиналя, С.Вайлера [40] и Д.В.Прохорова, Я.Шиналя [21], где были даны решения первой задачи Гронуолла на подклассах выпуклых и квазизвездообразных однолистных функций и функций класса Мо-кану, включающего в себе первые два класса.

Перейдем к описанию содержания настоящей работы. Объектом исследования является первая задача Гронуолла на классах однолистных функций об оценке |/(я)| в зависимости от |аг|. Эта задача была поставлена Т.Гронуоллом в 1916 году [32]. Некоторые достижения в ее решении в классе 5 были сделаны в работах Т.Гронуолла, Р.Неваннлинна [38], Г.М.Голузина [7], Н.А.Лебедева и И.М.Милина [12]. Полное описание множества значений системы функционалов

Ш) ■ в классе 5 было дано ДжДженкинсом [34] в 1954 году. В классе 5я первая задача Гронуолла для г~т%т> 0 была решена Г.В.Улиной [29]. Как упоминалось, первая задача Гронуолла была решена в других различных классах однолистных функций [31], [41], [40], [21]: выпуклых, звездообразных, квазизвездообразных. Первая глава диссертационной работы посвящена обобщению первой задачи Гронуолла в классе 5 - описанию границы множества значений системы функционалов в классе 5. При решении используются вариационный и параметрический методы совместно с принципом максимума Понтрягина. В параграфе 1 с помощью вариационного метода устанавливается, что экстремальные функции отображают единичный круг на всю плоскость с разрезами и удовлетворяют некоторому дифференциальному уравнению. Выводятся условия для параметров дифференциального уравнения. В зависимости от вида правой части дифференциального уравнения задача распадается на два случая. Во втором параграфе задача формализуется как задача оптимального управления. Для каждого случая отдельно строятся прямая и сопряженная системы дифференциальных уравнений, функция Гамильтона, записываются условия трансверсальности. Находится первый интеграл сопряженной динамической системы дифференциальных уравнений, применяется принцип максимума Понтрягина. В результате получаются определенные соотношения для сопряженных функций динамической системы. В параграфе 3 исследуются связи между вариационным и параметрическими методами и на основе результатов параграфов 1,2 формулируется основной результат I главы - теоремы об оценке log \f(r)\ в зависимости от Ша>2 в классе S.

Вторая глава посвящена решению первой задачи Гронуолла на классе функций Базилевича f(z) € Ва при дополнительных требованиях вещественности параметра а и коэффициентов 71 = Ро(0), ft = ^(0) разложения в Е функций po(w),pi(w) £ С, входящих в определение f(z). В парагра

0) фе 4 выявляются связи между коэффициентами а^ - —-— тейлоровского L разложения в Е функции f(z) £ Ва и указанными параметрами ск,71,ft; методом построения мажорантной области находится оценка \J(z)\ в зависимости от одного параметра. В параграфе 5 проводится оптимизация оценки по параметру и формулируется основная теорема II главы.

Основные результаты диссертации являются новыми. Они опубликованы в [25], [26], [27], [28] и докладывались на семинаре по геометрической теории функций СГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Д.В.Прохоров, г.Саратов), на I и II Апрельских научных конференциях механико-математического факультета СГУ (г.Саратов), на объединенном семинаре кафедр теории функций и приближений, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, математической физики и вычислительной математики, математической экономики СГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор А.П.Хромов).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Дмитрию Валентиновичу Прохорову за денные советы и постоянное внимание в ходе выполнения работы.

1. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев J1.A. Функции класса Базилевича в круге и кольце \ДАН СССР, т. 214, 1974,241-244.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

3. Александров И.А., Попов В.И. Оптимальные управления и однолистные функции. Ann. Univ. Mariae-Curie-Sklodowska Ser.A, vol. 22-24, 19681970, 13-20.

4. Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций. Матем. сб., т. 100, 1964, 628-630.

5. Важдаев В.П. Применение принципа максимума Л.С.Понтрягина к решению экстремальных задач в классе функций с ограниченным средним модулем. Сиб. мат. журн., т. 21, 1977, вып. 3, 42-55.

6. Васильев А.Ю. Оценка одного функционала в подклассе однолистных функций. Теория функций и приближений. Труды Сарат. зимн. школы, 1984, 56-63.

7. ГолузинГ.М. К теории однолистных функций. Мат. сб., т. 70, 1951, 351-358.

8. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

9. Гуглянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций \ДАН СССР, т. 194, 1970, 750-753.

10. Крючков Б.Я., Попова Г.А. О приведении одной задачи оптимального управления в теории Левнера к задаче Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория оптимальных процессов. Киев. Наукова думка, 1974, 47-52.

11. Куфарев П.П. Об однопараметрических семействах аналитических функций. Мат. сб., т. 13(55), 1943.

12. Лебедев H.A., Милин И.М. О коэффициентах некоторых классов аналитических функций. Мат. сб., т. 28(2), 1951, 359-400.

13. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: 11аука, 1976.

14. Попов В.И. Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории однолистных функций \ДАН СССР, т. 188(3), 1969, 532-534.

15. Попов В.И. Квантование управляемых систем \ДАН СССР, т. 105(5), 1972, 1048-1050.

16. Попова Г.А. Об одной задаче оптимального управления. Теория оптимальных процессов. Киев. Наукова думка, 1972, 72-81.

17. Попова ГА. Исследование экстремальных свойств одного класса однолистных функций на основе принципа максимума Л.С.Понтрмгина. Теория оптимальных процессов. Киев. Наукова думка, 1973, 35-41.

18. Прохоров Д.В. Об одном обобщении класса почти выпуклых функций. Мат. заметки, т. 11, 1972, 509-516.

19. Прохоров Д.В. Метод оптимального управления в экстремальной задаче на классе однолистных функций \ДАН СССР, т. 275(4), 1984, 798801.

20. Прохоров Д.В. О геометрических характеристиках функций подклассов Базилевича. Изв. Вузов. Математика, т.2, 1975, 130-132.

21. Прохоров Д.В., Шиналь Я. Оценка модуля функции Мокану фиксированными начальными коэффициентами. Теория функций и приближений. Труды Сарат. зимн. школы, 1982, т. 1, 156.

22. Прохоров Д.В. Задача на условный экстремум в классе ограниченных однолистных функций с вещественными коэффициентами. Теория функций и приближений. Труды Сарат. зимн. школы, 1984, 25-35.

23. Прохоров Д.В. Об областях значений функционалов и интегрировании в классах однолистных функций. Изв. Вузов. Математика, т. 10, 1986, 3339.

24. Прохоров Д. В. Принщш максимума в решении экстремальной задачи на классе однолистных фушщшг. Сив.мат. жури., 1986, т.27(1), 186-190.

25. Разумовская Е. В. Изопфимегрическая задача теша Гронуолла для одаолистных фушадий. Саратов, гос. ун-т, Саратов, 1999, И. Деп. в ВИНИТИ 18.05.99 № 15-В99.

26. Разумовская Е.В. Обобщение шопериметрической задачи Гронуолла для однолистных фуяквдй. Матемштгка. Механика: Об. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2000. Вьш. 2. С. 102-105.

27. Разумовская Е.В. Оценка модуля фушащи Базипевича с фиксированным начальным коэффициентом. Саратов, гос. ун-т, Саратов, 2002, 17. Деп. в ВИНИТИ 07.10.2002 № 1681-В2002.

28. Разумовская Е.В. Задача Гронуолла для фунющй класса Базилевича. Математика. Механика* Сб. Haw. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2002. Вып. 4. С. 117-120.

29. Улика Г. В. Об областях значений некоторых систем фуЕшрюналов в классах однолнстных функций. Вешшж ЛГУ, сер. мат., мех. и астр., I960, т. 1, 34-54.

30. Шеретов В.Г. Обобщенные неравенства Литтлвуда для однолистнък функвдш. Тез. докл. ме>Едунар. конф. по теории щзиближений фушщии, посвящ. памяш П П КЪровкина, Калуга, 1996, ч. 2, 229-230.

31. Fmkelstem М Growth estimates of convex functions. Proc. AMS, vol. 18(3),1967, 412-418.

32. Gronwall T.H. Sur la deformation dans la representatins conforme sous des conditions restrictives. Comp. Rend. Acad. Sei. Paris, 1916, vol. 162, 316318.

33. Gronwall T.H. On the distortion in conformai mapping when the second coefficient in the mapping function has an assigned value. Proc. Nat. Acad. Sei.U.S.A., 1920, vol. 6, 300-302.

34. Jenkins J.A. On a problem of Gronwall. Ann. Math., 1954, vol. 59(3), 490504.

35. Lewandowski Z. Sur l'identite de certaines classes de fonctions univalentes.I. Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska., 1958, vol. 12, 131-146.

36. Lewandowski Z. Sur l'identite de certaines classes de fonctions univalentes.il. Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska., 1960, vol. 14, 19-46.

37. Löwner K. Untersuchungen über schliche konforme Abbildungen des Eiheitskreiss. Ann. Math., 1923, vol. 89, 103-121.

38. Nevanlinna R. Über die konforme Abbildung von Sterngebeiten. Över.Fin. Veten.- Soc.Förh., 1920-1921, vol. 63, Sect A, no. 6.

39. Pfaltzgraff J.A., Pinchuk B. A variational method for classes of meromorphic functions. Anal. Math., 1971, vol. 24, 101-150.

40. SzvnalA., Szynal J., Wajler S. On the problem of Gronwall for convex and quasi starlike functions. Conf. Anal. Functions. Abstracts, 1979, Kozubnic, Poland, 56.

41. Sheil-Small T. Coefficient regions of schlicht functions. Quart.J.Math., vol. 23, 1972, 135.

42. Tepper D.E. On the radius of convexity and boundary distortion of schlicht functions. Trans. AMS, vol. 150(2), 1970, 519-528.