Некоторые применения метода площадей к классам аналитических функций с квазиконформным продолжением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Приведенная логарифмическая площадь и теоремы искажения в некоторых классах р-листных функций

§1. Неравенство площадей для коэффициентов функций класса 0, оо)

§2. Обобщение на классы 0, оо) теорем о вращении и о произведении конформных радиусов

§3. Связь классов 0, оо) с классами С® к(Я, ах, а2)

§4. Теорема искажения в классах С® а2)

§5. Оценки искажения и вращения в классах р-листных /г-квазиконформных функций

§6. Об искажении в классах квазиконформных функций, обобщающих класс Грунского

В геометрической теории функций комплексного переменного одно из центральных мест занимают вопросы, связанные с решением различных экстремальных задач. Восходящий к Б. Риману вариационный принцип Дирихле, носивший первоначально эвристический характер, впоследствии был строго обоснован Д. Гильбертом и А. Пуанкаре и утвердился во многих других разделах математики. Широкое внимание привлекли две проблемы Л. Бибербаха [28,29], касающиеся точных оценок модулей тейлоровских коэффициентов ап однолистных в единичном круге А функций /, нормированных условиями /(0) = /'(0) — 1 = 0 (класс 5), и изучения структуры п-тел коэффициентов 1)п(5), п ^ 3.

Проблема модулей алгебраических кривых, также восходящая к Риману, и связанная с ней задача Греча-Тейхмюллера о минимизации коэффициента квазиконформности в гомотопических классах сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов / римановых поверхностей стали истоком глубокой теории пространств Тейхмюллера. Указанные ключевые проблемы в XX столетии стимулировали развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования (Т. Гронуолл, Г. Фабер, Г. Грунский, Н. А. Лебедев, И. М. Милин, Л. Л. Громова [7,8,27,46,47]); вариаций (М. А. Лаврентьев, Г. М. Голузин, М. Шиффер, П. П. Белинский, С. Л. Крушкаль [3,4,6,14,15,19,21]); модулей и экстремальных длин (Г. Греч, О. Тейхмюллер, Л. Альфорс, Дж. Джен-кинс, В. А. Зорич, П. М. Тамразов, Г. В. Кузьмина [2,4,24,25,26]); параметрических продолжений и оптимального управления (Ч. Левнер,

П. П. Куфарев, И. А. Александров, В. Я. Гутлянский, В. И. Попов, Д. В. Прохоров [1,37]); симметризаций (Д. Пойа, И. П. Митюк, В. Н. Дубинин, А. Ю. Солынин [9,10,11,41]).

Весомый вклад в геометрическую теорию функций внесли также Л. Берс, И. Н. Векуа, Ю. Г. Решетняк, Г. Д. Суворов, Л. И. Волковыский, В. М. Миклюков, В. В. Горяйнов, В. И. Рязанов, А. Ю. Васильев, В. В. Старков [12,48]. Крупным достижением явилось доказательство Л. де Бранжем [33] в 1984 г. гипотезы Бибербаха о справедливости на классе 5 точных коэффициентных неравенств |ап| ^ п для всех п ^ 2. Этому предшествовали глубокие исследования проблемы другими авторами. В. Г. Шеретовым [16,30] был обоснован вариант метода площадей для классов однолистных и р-листных функций с ¿¡-квазиконформными продолжениями с использованием метрик, порождаемых аналитическими квадратичными дифференциалами на разветвленных накрывающих сферы Римана. К полученным на этом пути результатам относится решение второй проблемы коэффициентов Бибербаха (1916 г.), заключающейся в точном описании структуры п-тел тейлоровских коэффициентов

А. (5) = {(а2,а3,. ,ап) е С*"1 : а, - /(^(0)М ^ = 2.п, / € 5} , где 5- известный класс голоморфных и однолистных в единичном круге А = {г : \г\ < 1} функций /(г), нормированных условиями /(0) = /'(0) — 1 = 0, п - произвольное натуральное число, п ^ 2.

Критерий принадлежности точки (а2, аз,., ап) телу 1)п(5) при произвольном фиксированном п, п > 2, в форме счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеризующей область коэффициентов Дзо(5), был получен В. Г. Шеретовым [16]. Это открыло путь для приближенного численного построения п-тел, точность которого зависит только от числа используемых неравенств указанной счетной системы.

В более широком плане развитие методов комплексного анализа актуально в свете их современных применений в алгебраической геометрии и теории чисел, теории многообразий малых размерностей, математической и теоретической физике. Как известно, римановы поверхности, пространства Тейхмюллера и гармонические отображения нашли глубокие приложения в теории струн и солитонов, сыграли ключевую роль при решении проблемы Ферма. Традиционными потребителями идей и методов, рожденных в комплексном анализе, остаются механика твердого тела и гидродинамика.

Замечательные успехи геометрической теории функций открыли новые возможности для исследования нерешенных еще задач.

Целью диссертации является систематическое изложение ряда взаимосвязанных вопросов, касающихся применений двух вариантов метода площадей к решению новых экстремальных задач на классах однолистных и р-листных аналитических функций, допускающих /г-квазиконформные продолжения на сферу Римана или ее разветвленные накрывающие.

Методика исследования заключается в адаптации метода приведенных площадей и указанного выше варианта метода площадей, развитого В. Г. Шеретовым, к задачам о неналегающих парах областей, об оценках коэффициентов и теоремах искажения и покрытия. Параллельно используются принцип Дирихле для комплексных гармонических отображений, ряды Пюизе, квазиконформные продолжения и отражения, аналитические квадратичные дифференциалы на римановых поверхностях и порождаемые ими особые римановы метрики, зависящие от нескольких комплексных параметров. При выводе оценок кривизны линий уровня в классах использованы результаты В. В. Черникова [40], Р. Кюнау [20], В. Я. Гутлянского и В. А. Щепетева [37,44]. Для построения геометрических образов, относящихся к изучаемым классам отображений, использован пакет аналитических вычислений Maple V.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все полученные в диссертации результаты, за исключением материала § 7, носящего подготовительный характер, являются новыми и обоснованы строгими математическими доказательствами. Объекты исследования - классы однолистных и р-листных аналитических функций с квазиконформным продолжением и нормировками точечного типа, отображающих канонические области (круги, круговые кольца, всю риманову сферу) на подобные канонические области либо на подходящие ]9-листные их накрывающие. Основные результаты касаются получения теорем типа искажения, вращения и покрытия, точных либо асимптотически точных оценок начальных тейлоровских (лорановских) коэффициентов для разложений отображающих функций в окрестности начала координат или бесконечно удаленной точки, а также оценок кривизны линий уровня в классах отображений с р-кратной круговой симметрией.

Указанные оценки зависят от радиусов кругов покрытия элементов либо от таких параметров изучаемых классов как коэффициент квазиконформности, число листов римановой поверхности образа и порядок группы симметрии.

Во всех случаях выполняется принцип соответствия: надлежащие специализации доказанных теорем дают известные результаты других авторов, касающиеся однолистных и р-листных функций.

Работа в целом носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть востребованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные и квазиконформные отображения.

На заключительном этапе диссертационные исследования поддержаны грантом РФФИ (проект 01.01.00112).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем итог и выделим основные положения работы, выносимые на защиту.

В начале семидесятых годов двадцатого века получили интенсивное развитие методы решения экстремальных задач в различных классах однолистных аналитических функций с квазиконформным продолжением. Крупный вклад в это направление внесли С. Л. Крушкаль, Р. Кюнау, О. Лехто, В. Я. Гутлянский, В. Г. Шеретов и другие отечественные и зарубежные специалисты.

Данная диссертация посвящена дальнейшему развитию метода площадей и его применениям к классам однолистных и р-листных квазиконформных функций. В первой главе "Приведенная логарифмическая площадь и теоремы искажения в некоторых классах р-листных функций" решается ряд экстремальных вопросов в новых классах р-листных ^-квазиконформных функций, являющихся естественными обобщениями известных в геометрической теории аналитических функций комплексного переменного классов С. А. Гельфера, Н. А. Лебедева, Г. Грунского. Основные результаты главы 1:

1. Доказательство неравенства площадей для классов ШР)к(Я,0,оо) пар р-листных /¿-квазиконформных функций в единичном круге А, аналитических в меньшем концентрическом круге и отображающих А на взаимно неналегающие области, расположенные р-листной накрывающей римановой сферы (теорема 1.1); использование для этой цели оценок приведенной логарифмической площади.

2. Доказательство аналога теоремы Лаврентьева-Шепелева о произведении конформных радиусов и соответствующей теоремы вращения для классов 0, оо) (теоремы 1.2, 1.3); получение точных двухсторонних оценок типа теорем искажения на классах С® к(Я: аьаг) р-листных /¿-квазиконформных функций, обобщающих классы Н. А. Лебедева и С. А. Гельфера (теорема 1.4).

3. Нахождение точных оценок модуля и аргумента коэффициента ар в классах Мр>к(Я, р) ограниченных р-листных /г-квазиконформных вложений единичного круга, голоморфных в меньшем концентрическом круге, связанных с классами Шр>к(Я, 0, оо) (теоремы 1.5, 1.6); доказательство теорем 1.7 и 1.8 об искажении в классах Срк(Я,р,а) и ^-листных /г-квазиконформных вложений круга А и отражений римановой сферы, соответственно, а также теоремы 1.9 об искажении в классах, обобщающих класс Грунского.

Вторая глава "Приложения метода площадей к некоторым классам однолистных функций и оценки кривизны линий уровня" содержит новые результаты об однолистных функциях с квазиконформными продолжениями, доказательство которых базируется на методе площадей, использующем метрики, отвечающие аналитическим квадратичным дифференциалам, заданным на разветвленных накрывающих римановой сферы и зависящим от конечного числа комплексных параметров. Основные результаты главы 2:

4. Получение обобщений неравенства Альфорса между вторым и четвертым тейлоровскими коэффициентами функций класса Б на подкласс образуемый нечетными элементами из 5, и на подклассы (оо) /г-квазиконформных автоморфизмов римановой сферы, оставляющих неподвижной точку г = оо и имеющих ограничения /|д, принадлежащие классу (теорема 2.6).

5. Получение асимптотически точных при к —> 1 оценок начальных

2} коэффициентов функций из указанных классов ¿¿.(оо), (оо), 5, зависящих от радиусов кругов покрытия элементов и коэффициента квазиконформности (теоремы 2.7 и 2.8) и доказательства соответствующих теорем покрытия (теоремы 2.9 и 2.10).

6. Вывод асимптотически точных при к —> 1 оценок для кривизны р) линий уровня отображений из классов , образуемых р-кратно симметричными /с-квазиконформными функциями во внешности единичного круга с гидродинамической нормировкой на бесконечности (теорема 2.11).

Уместно заметить, что надлежащие специализации всех перечисленных результатов приводят к известным утверждениям, полученным ранее другими авторами.

С помощью численного метода в Приложении получены геометрические образы, связанные с классами однолистных функций. Результат можно резюмировать следующим образом:

7. Дана демонстрация компьютерных геометрических образов, связанных с сечениями и слоениями сечений остова области коэффициентов функций класса 5; приведены графические построения средствами пакета Maple V, основанные на визуализации множеств, определяемых неравенствами из настоящей диссертации и некоторыми оценками других авторов.

Возможности методов, использованных в данной работе, не вполне исчерпаны. Например, очевидным направлением обобщения результатов главы 1 является рассмотрение семейств из трех и более р-листных fc-квазиконформных, а также гармонических вложений единичного круга в сферу Римана с условием неналегания образов и родственным ему, что с другой стороны послужило бы обобщением результатов Н. А. Лебедева и его учеников, изложенных в монографии [7]. Естественно было бы распространить результаты §8,9 главы 2 на классы однолистных функций с р-кратно круговой симметрией и квазиконформными продолжениями.

1. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

2. Альфорс JL Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. 134 с.

3. Бабенко К. И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1972. Т. 101. С. 1-318.

4. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

5. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М., 1962. 266 с.

6. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. 99 с.

7. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

8. Милин И. М. Однолистные функции и ортонор мир о ванные системы. М.: Наука, 1971. 256 с.

9. Митюк И. П. Симметризационные методы и их применение в геометрической теории функций. Введение в симметризационные методы. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1980. 91 с.

10. Митюк И. П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1985. 95 с.

11. Хейман В. К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1955. 435 с.

12. Волковыский JI. И. Квазиконформные отображения. Львов: Львовский гос. ун-т, 1954. 155 с.

13. Неванлинна Р. Униформизация. М.: ИЛ, 1955. 435 с.

14. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953. 311 с.

15. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

16. Шеретов В. Г. Аналитические функции с квазиконформным продолжением. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1991. 60 с.

17. Митюк И. П., Шеретов В.Г., Щербаков Е. А. Плоские квазиконформные отображения. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1979. 83 с.

18. Суетин П. К. Ряды по многочленам Фабера. М.: Наука, 1984, 336 с.

19. Крушкаль С. Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука, 1975. 196 с.

20. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения новые методы и приложения. М., 1984. 216 с.

21. Schaffer А. С., Spenser D. С. Coefficient Region for Schlicht Functions. AMS Colloquium Publications. V. 35. N-Y., 1950. 314 p.

22. Lehto О., Virtanen К. I. Quaziconformal Mappings in the Plane. Berlin: Spring-Verlag, 1973. 260 p.

23. Komatu Y. Distortion Theorem in Relation to Linear Integral Operators. Kluwer Academic Publisers, 1996. 305 p.

24. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Ленинград: Наука, 1980. 241 с.

25. Teichmuller О. Bxtremale Quasikonforme Abbildungen und Quadratische Differentiale // Abhand. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. 1939. N. 22. P. 1-198.

26. Pommerenke Ch. Univalent Functions. Göttingen, 1975. 375 p.

27. Grunsky H. Koeffizienten bedingugen für Schlicht Abbildende Mero-morphe Funktionen // Math. Zeitschrift. 1939. Bd. 45. S. 29-61.

28. Bieberbach L. Uber einige Extremalproblem in Geibiete der Konformen Abbildung // Math. Annalen. 1916. Bd. 77. S. 153-172.

29. Bieberbach L. Uber die Koeffizient Derjenigen Potentreihen, welche eine Schlichte Abbildung des Einheitskreises Vermitteln // Sitzung-sbereichite Konig. Preuss. Akad. 1916. P. 940-955.

30. Шеретов В.Г. Метод площадей в метриках аналитических квадратичных дифференциалов, заданных на накрывающих сферы Ри-мана // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С. 116-124.

31. Шеретов В.Г. Оценки модуля третьего коэффициента в классах ¿>л(°о) // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1997. С. 121-126.

32. Альфорс JI. Неравенство между коэффициентами а2 и а4 однолистной функции // Некоторые вопросы математики и механики. Л.: Наука, 1970. С. 71-74.

33. De Branges L. А. Proof of the Bieberbach Conjecture // Acta Math. V. 154. P. 137-152, (1985).

34. Fekete M., Szegö G. Eine Bemerkung über ungerade schlichte Funktionen // J. London Math. Soc. V. 8. P. 85-89, (1933).

35. Мандик В.П., Никулыпина М.Н. О регулярных функциях, не принимающих некоторые значения // Экстремальные задачи теории функций. Томск: ТГУ. 1980. С. 66-77

36. Мандик В. П. О приведенной логарифмической площади и много-листных функциях Бибербаха-Эйленберга // Научные труды Тю-менск. ун-та. Т. 22. Тюмень. 1975.

37. Гутлянский В. Я., Шепетев В. А. Точные оценки модуля однолистной аналитиченкой функции с квазиконформный продолжением. Препринт 79.13. Киев: ИМАНУССР, 1979.

38. Корицкий Г. В. О кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях. ДАН, 1957. Т. 115. N. 4. С. 653-654.

39. Корицкий Г. В. К вопросу о кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях. Успехи матем. наук, 1960. Т. 15. N. 3. С. 179-182.

40. Черников В. В. Оценка кривизны линии уровня в классах X, Ер. С. 126-129.

41. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1,2. М., 1956.

42. Григорьева В. В., Розова Е. А. О неравенствах, связывающих модули второго и четвертого коэффициентов в классах Sk{оо) // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской ун-т, 1996. С. 59-66.

43. Shah Tao-Shing On the moduli of some classes of analytic function // Acta Math. Sinica. 1955. V. 5. P. 439-454.

44. Гутлянский В. Я. О принципе площадей для одного класса квазиконформных отображений // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, N 3. С. 540-543.

45. Баранова В. А. Оценка коэффициента однолистных функций в зависимости от |сз j // Матем. Заметки. 1972. Т. 12, N 3. С. 127-130.

46. Громова J1. JI. Некоторые приложения принципа площадей // Вестник Ленинградского ун-та. 1968. N 7. С. 31-40.

47. Громова Л. Л. Приложение принципа площадей к экстремальным задачам конформного отображения неналегающих областей. Дисс.канд. физико-математических наук. Л.: ЛГУ, 1968.

48. Старков В. В. Линейно-инвариантные семейства функций. Дисс. докт. физико-математических наук. Екатеринбург: Уральское отделение РАН, 1999.

49. Королева О. Е., Шеретов В. Г. Применение метода площадей к классам пар р-листных к-квазиконформных функций без общих значений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ. 1998. С. 132-143.

50. Королева О. Е. Об искажении в некоторых классах р-листных к-квазиконформных вложений и отражений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ. 1999. С. 75-80.

51. Королева О. Е., Шеретов В. Г. Оценки коэффициентов однолистных функций, зависящие от радиусов их кругов покрытия // Перспективы развития Волжского региона. Материалы Всероссийской заочной научной конференции. Тверь: ТГТУ, 1999. С. 181-183.

52. Королева О. Е., Шеретов В. Г. Аналоги коэффициентного неравенства Алъфорса для однолистных функций классов5(2)иоо) // Ученые записки Тверского гос. ун-та. 1999. Т. 5. С. 41-44.

53. Баранова О. Е. Об искажении в классах квазиконформных функций, обобщающих класс Грунского // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, ТГУ. 2000 г. С. 31-32.

54. Баранова О. Е., Шеретов В. Г. Оценки коэффициентов однолистных функций, зависящие от радиусов кругов их покрытия // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2000 г. С. 33-39.

55. Баранова О. Е. Численное исследование геометрических образов, связанных с п-телами коэффициентов однолистных функций и теоремами покрытия // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2001 г. С. 12-21.

56. Баранова О. Е. Оценки кривизны линий уровня в классах // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2001 г. С. 21-27.